programacion cuadratica
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANANUCLEO CARABOBO
EXTENSIÓN GUACARA
SECCION G-002
Alumno:Tito RodríguezC.I.: 19.247217
GUACARA, DICIEMBRE DE 2011
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Programación Cuadrática
- ¿Qué es?
La programación cuadrática (QP) es un tipo especial en la matemática de optimización
de problemas. Es el problema de optimizar (reduciendo al mínimo o maximizando) unafunción cuadrática de varias variables conforme a apremios lineales en estas variables.
El problema de la programación cuadrática se puede formular como:
Asuma x pertenece a espacio. n×n matriz Q es simétrico, y c es cualquiera n vector×1.
Reduzca al mínimo (con respecto a x)
Conforme a unos o más apremios de la forma:
(constreñimiento de la desigualdad)Ex = d (constreñimiento de la igualdad)
Si Q es a matriz semidefinite positiva, entonces f (x) es función convexa. En este casoel programa cuadrático tiene un minimizer global si existe por lo menos un vector x desatisfacción de los apremios y f (x) se limita abajo en la región factible. Si la matriz Q esdefinido positivo entonces este minimizer global es único. Si Q es cero, después el problemase convierte en a programa lineal. De teoría de la optimización, una condición necesaria paraun punto x ser un minimizer global está para que satisfaga Karush-Kuhn-Tucker Condiciones(KKT). Las condiciones de KKT son también suficientes cuando f (x) es convexo.
La importancia de la programación cuadrática recae en que, como es un caso
especial de la programación no lineal, se utiliza como una función modelo para aproximar
funciones no lineales a través de modelos locales.
La programación cuadrática trabaja con una clase especial de problemas en el que
una función cuadrática de variables de decisión sujeta a restricciones lineales de
desigualdad requiere ser optimizada, bien sea, ser minimizada o maximizada.
Una función cuadrática, en notación matricial, es una función de la forma
f (x)= ½ xT Qx + cT x.
Es de gran importancia identificar o poder definir la característica de la matriz
Hessiana, ya que a partir de ésta podemos determinar ciertas características del problema,
que nos serán útiles para encontrar su solución.
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- ¿Para que se usa?
Existen diferentes tipos de problemas de programación cuadrática, los cuales se
pueden clasificar en:
Problemas cuadráticos de minimización sin restricciones, requieren minimizar la
función cuadrática f (x) sobre el espacio completo.
Problemas cuadráticos de minimización sujetos a restricciones de igualdad, requieren
minimizar la función objetivo f (x) sujeta a restricciones lineales de igualdad Ax = b.
Problemas cuadráticos de minimización sujetos a restricciones lineales de
desigualdad. Requieren minimizar la función objetivo f (x) sujeta a restricciones lineales de
desigualdad Ax = b, también puede contener restricciones de igualdad.
Problemas de optimización de redes cuadráticas. Son problemas cuadráticos en los
que las restricciones son restricciones de baja conservación sobre una red pura o
generalizada.
Problemas cuadráticos convexos. Son cualesquiera de los mencionados arriba, en el
cual la función objetivo a ser minimizada, f (x) es convexa.
Problemas cuadráticos no convexos. Son cualesquiera de los mencionados arriba, en
el cual la función objetivo a ser minimizada, f (x) es no convexa.
Problemas de complementariedad lineal. Son problemas especiales con un sistema
de ecuaciones en variables no negativas, en el cual las variables están formadas en varios
pares llamados pares complementarios.
Historicamente, las funciones cuadráticas fueron prominentes porque proveían
modelos locales simples para funciones no lineales generales. Una función cuadrática, es la
función no lineal más simple, y cuando es usada como una aproximación para una función
no lineal general, esta puede capturar la información importante de la curvatura, lo que una
aproximación lineal no puede.
El uso de aproximaciones cuadráticas para resolver problemas con funciones no
lineales generales se remonta mucho tiempo atrás. Entre los métodos más destacados,
tenemos al método de Newton y el método de gradiente conjugado.
Para la programación cuadrática se pueden encontrar mínimos locales, mínimos
globales, puntos estacionarios o de KKT, (son los que satisfacen las condiciones de KKT del
problema).
En problemas convexos de programación cuadrática, todo punto KKT o mínimo local,
es un mínimo global.
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- Ejemplo de su aplicación.
Resolver el siguiente problema de programación cuadrática por el método de Wolfe :
Aplicando los multiplicadores de Lagrange tenemos:
Las primeras derivadas parciales son:
El problema de programación lineal equivalente al original de acuerdo al método Wolfees:
Con las siguientes restricciones de holgura complementaria:
Utilizando el método Simplex se tiene que la solución básica inicial es:
En la primera iteración entra y sale X1 ( es de aclarar que aunque el Simplexescoge 1 y 2 para entrar a la base antes que lo haga X2, 1 y 2 no son aceptables, yaque Y1 y Y2 son positivos). El punto extremo luego de recalcular es:
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En la tercera iteración no pueden entrar a la base 1 y 2 y Y1 y Y2 son positivas; elSimplex toma como siguiente candidato a 1 y de salida Y1 ; el punto extremo después deiterar es:
En la última iteración (V1 = 0 y V2 = 0) debe entrar X1 pero no puede porque 1 espositivo; el siguiente elemento a entrar a la base es 1 el cual reemplaza a V2 Luego Derecalcular ( pivotear) el punto extremo es:
La solución anterior corresponde al óptimo: