PROIECT DIDACTIC - Funcţii - Matematică/Algebră

PROIECT DIDACTIC

Data: 24-X-2005

Clasa a X-a B, C, D, F.

Disciplina: Matematică / Algebră

Unitatea de conţinut: Funcţii.

Tipul lecţiei: Fixare de cunoştinţe/consolidare

Durata: 100 minute ( 2ore consecutiv)

Locul desfăşurării: Sala de clasă.

COMPETENŢE GENERALE

CG1 Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost

definite.

CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri

matematice.

CG3 Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a

unei situaţii concrete.

CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a

algoritmilor de prelucrare a acestora.

CG5 Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă.

CG6 Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din

diferite domenii.

COMPETENŢE SPECIFICE

CS1 Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii.

CS2 Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi

algebrice ale acesteia (monotonie, semn, continuitate, convexitate)

CS3 Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii.

CS4 Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor

funcţii care descriu situaţii practice.

CS5 Interpretarea pe baza lecturii grafice a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor.

Stilul vizual de învăţare va fi favorizat de vederea informaţiilor în formă tipărită (fişe de lucru) privirea, forma cuvintelor, folosirea cuvintelor.

Stilul auditiv de învăţare va fi favorizat de ascultarea altor persoane care redau sau explică informaţiile

Stilul practic de învăţare va fi favorizat de scrierea rezultatelor/rezolvărilor problemelor din “Fişe de lucru”, la tablă.

EXPRIMAREA PROPRIILOR CONCLUZII -generarea de idei şi concluzii privind problemele propuse

pentru recapitularea capitolului “Funcţii”

TRANSFERUL CONCLUZIILOR - realizarea de conexiuni, generalizări, întrebări.

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice

      Principiul participării şi învăţării active

      Principiul asigurării şi progresului gradat al performanţei

      Principiul conexiunii inverse

Metode de învăţământ/de instruire

      Conversaţia euristică

      Explicaţia

      Exemplificarea

      Algoritmizarea

      Exerciţiul

      Problematizarea

      Descoperirea dirijată

Forme de organizare a clasei:

      Frontală

      Individuală

      Pe grupe/echipe

Conţinutul învăţării:

      Câmpul de informaţii: manualul de matematică ( clasa a IX-a, clasa a X-a), culegerea de

matematică, editura Mathpress, autor Mircea Ganga.

      Informaţiile şi cunoştinţele care au legătură directă cu competenţele stabilite.

Resurse psihologice:

      Capacitatea de învăţare de care dispune clasa: elevii posedă cunoştinţe legate de funcţii (definiţie, moduri de definire a unei funcţii, analizarea graficului unei funcţii numerice, monotonie, axă de simetrie, centru de simetrie, semnul unei funcţii, compararea a două funcţii, valori extreme)

      Diagnosticul motivaţiei: elevii prezintă interes pentru lecţie, deoarece li s-a descris câmpul de aplicabilitate al acesteia.

      Motivaţia învăţării: elevilor le este explicat faptul că noţiunile din această unitate de învăţare, au numeroase aplicaţii practice.

Resurse materiale:

      Materiale didactice: fişe de lucru, proiect didactic.

      Mijloace de învăţământ: tabla, creta.

Resurse procedurale: investigaţia ştiinţifică, problematizarea, observarea sistematică a elevului,

rezolvarea de probleme/situaţii problemă.

Secvenţele activităţii didactice:

      Captarea atenţiei

      Actualizarea

      Anunţarea competenţelor

      Suport noţional

      Fixarea cunoştinţelor, prezentarea de material pentru fixarea noţiunilor.

      Asigurarea feed-backului, tema pentru acasă.

ETAPELE LECŢIEI

I Reactualizarea: Repetarea capitolului “Funcţii”, studiat în clasa a IX-a.

II Prezentarea situaţiei/problemă şi formularea temei de lucru:

      Profesorul informează elevii asupra conţinutului/tipurilor de probleme, propuse în Fişele de lucru.

III Rezolvarea problemei. Vom repeta:

1)       Noţiunea de funcţie. Graficul unei funcţii.

Fie A şi B două mulţimi nevide. Se numeşte funcţie definită pe A cu valori în B o lege, procedeu sau convenţie prin care fiecărui element x A i se asociază un singur element din B. Elementul x se numeşte argument sau variabilă independentă; y se numeşte variabilă dependentă. Notaţie: f:

A B, sau A B, sau A B, x y = f(x), unde f(x) este imaginea elementului x din A prin funcţia f în x.

Orice funcţie este definită,deci,prin trei elemente:

a) A: domeniul de definiţie.

b) B: codomeniul sau mulţimea în care funcţia ia valori.

c) legea f care leagă cele două mulţimi.

Mulţimea = f(A) B, reprezintă mulţimea valorilor funcţiei f. Notăm cu

F(A,B) = ; dacă A, B R, atunci funcţia f: A B se numeşte funcţie numerică.

Două funcţii f: A B, g: C D sunt egale, notat: f = g, dacă:

a)       A = C ( funcţiile au acelaşi domeniu de definiţie).

b)       B = D ( funcţiile au acelaşi codomeniu).

c)       f(x) = g(x), A ( punctual funcţiile coincid).

Graficul funcţiei f este mulţimea Gf = = AXB .

Graficul unei funcţii numerice se reprezintă geometric printr-o submulţime a planului, numită reprezentarea geometrică a graficului funcţiei. Reprezentarea grafică a funcţiei f: A R, este o curbă

numită curba reprezentativă a funcţiei f: Cf = . Relaţia y = f(x) se numeşte ecuaţia curbei reprezentative a funcţiei f. În loc de reprezentarea de reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii, prin abuz de limbaj, vom spune simplu: graficul funcţiei, iar prin scrierea M(x,y)Gf, vom înţelege M(x,y) Cf, adică y = f(x).

Interpretarea geometrică a definiţiei funcţiei: faptul că unui element x îi corespunde un singur

element y , se traduce în limbaj geometric prin: orice paralelă la Oy, dusă prin x de pe Ox, x , taie graficul funcţiei într-un singur punct.

2)       Modalităţi de a defini o funcţie.

Indiferent de modul cum definim o funcţie, trebuie să precizăm cele trei elemente ce o caracterizează: domeniul de definiţie, codomeniul şi legea de corespondenţă.

a) Funcţiile definite sintetic: corespund acelor funcţii f:A , pentru care se indică fiecărui element x din A, elementul y din B. Acest lucru se poate realiza prin:

       Diagrama carteziană:

Ba

O

1 2 A

       Diagrama cu săgeţi:

1

2

3

a

b

A f B

       Tabelul de valori:

x 1 2 3f(x) a b b

       Tabloul: f =

       Graficul funcţiei: f = (A,B,Gf), unde A = , B = , este: Gf = .

b) Funcţiile definite analitic, sunt acele funcţii f:A B, care se definesc cu ajutorul unor

formule sau proprietăţi, corespondenţa f legând între ele, elementul arbitrar x din A de imaginea sa unică y =f(x) din B . Corespondenţa f poate fi definită prin:

       O regulă de calcul.

       Mai multe reguli de calcul/formule, după restricţiile care se pun asupra argumentului( funcţii multiforme).

Pentru un x dat, f(x) se calculează după o singură regulă. Fiecare formulă prin care calculăm f(x), x, este valabilă pe o anumită submulţime a lui A şi deci , două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginii unuia şi acelaşi element.

       Corespondenţe care sunt de tip funcţie, obţinute pe cale experimentală, prin studierea unui fenomen( electrocardiograma, cursul de schimb euro-leu pe o anumită perioadă,etc)

3)       Schema analizării unui grafic.

a)       Domeniul de definiţie şi mulţimea de valori ale funcţiei.

Dacă f:A B este o funcţie numerică, atunci în reperul xOy, mulţimea A este o submulţime de puncte de

pe axa Ox, iar B de pe axa Oy. f(A) = Imf se numeşte imaginea funcţiei f. Dacă A’ A, atunci

f(A’) = se numeşte imaginea mulţimii A’ prin funcţia f. Dacă f:A B, B’ B, atunci mulţimea f-1(B’) = se numeşte imaginea reciprocă a lui B’ prin f.

b)       Mărginirea unei funcţii numerice.

Funcţia f:A B , A , B R, este mărginită, dacă există două două numere reale a, b, astfel încât a

, ; altfel spus, f este mărginită, dacă f(A) [a,b], ceea ce geometric înseamnă că, graficul ei este cuprins între dreptele paralele cu axa Ox, y = a, y = b. Se arată, că funcţia f este

mărginită M>0, astfel încât , .

c)       Intersecţia graficului cu axele de coordonate.

Gf Ox: y = 0; soluţiile ecuaţiei f(x) = 0, dacă există, reprezintă abscisele punctelor în care graficul taie axa Ox.

Gf Oy: x = 0 A. Dacă 0 A, se calculează f(0) şi punctul ( 0,f(0)) este punctul în care graficul taie axa Oy.

4) Continuitatea unei funcţii.

În limbaj comun , la nivel intuitiv, spunem că, graficul este continuu pe o mulţime A, dacă nu prezintă „ruperi”, „fragmentări”, în nici un punct, altfel spus, dacă acesta poate fi desenat cu creionul, pe porţiunea considerată, fără ridicarea creionului de pe foaia de hârtie. Dacă graficul este discontinuu în punctul x0, spunem că funcţia este discontinuă în x0.

Funcţiile de gradul întâi, doi, constantă sunt funcţii continue. Funcţia , ai

R, , numită funcţie polinomială de grad n, este de asemenea funcţie continuă. Funcţiile continue au proprietatea de a nu sări valori. Această proprietate permite:

       De a stabili dacă o ecuaţie de forma f(x)=0 are cel puţin o soluţie în intervalul (x1, x2).

Dacă f(x1).f(x2)<0, atunci există x0 (x1, x2), astfel încât f(x0) = 0.

       Să stabilim semnul funcţiei între două zerouri consecutive: x1, x2, x1 < x2. Dacă x0 (x1, x2), atunci semnul lui f(x0) va fi semnul lui f pe intervalul (x1, x2). Se spune că o funcţie continuă, păstrează acelaşi semn între două zerouri consecutive. În plus, dacă zerourile sunt simple, atunci semnele pe orice două intervale consecutive alternează.

Algoritmul pentru stabilirea stabilirea semnului unei funcţii f: R R, şi rezolvarea unei inecuaţii, se numeşte metoda intervalelor şi are următorii paşi:

         Se rezolvă ecuaţiaf (x) =0, pe domeniul de definiţie.

         Se ordonează aceste zerouri, pe axa numerelor reale.

         Stabilim semnul funcţiei pe fiecare din aceste intervale obţinute.

4)       Semnul unei funcţii.

A determina semnul unei funcţii numerice, f:A B, înseamnă a determina valorile lui x din A pentru care f(x)>0 şi valorile lui x din A pentru care f(x)<0.

Dacă I A, spunem că:

f este pozitivă pe I negativă pe I strict pozitivăpe I

strict negativă pe I

nulă pe I

dacă pentru

oricare x I,

avem:

f(x) f(x) 0 f(x)>0 f (x)<0 f(x)=0

poziţia graficului

funcţiei faţă de axa Ox

deasupra

sau

tangent

sub

sau

tangent

strictdeasupra

strictsub

taie

axa

Ox

Soluţiile ecuaţiei f(x) = 0 se numesc zerourile funcţiei f.

5)       Compararea funcţiilor. Rezolvări de ecuaţii, inecuaţii.

Dacă pe mulţimea A, graficul lui f este “deasupra” graficului luig, atunci f(x)>g(x); punctele în caref,g au aceeaşi valoare, sunt date de abscisele punctelor de intersecţie ale celor două curbe.

Geometric, pentru a rezolva o inecuaţie f(x)>g(x) pe mulţimea A, se urmăreşte pe desen, unde graficul lui f este situat deasupra graficului lui g şi se proiectează aceste porţiuni pe axa Ox. Reuniunea acestor mulţimi de puncte de pe axa Ox, repezintă soluţia inecuaţiei f(x)>g(x).

6)       Simetrizarea graficului.

Dreapta x = a este axă de simetrie pentru graficul funcţiei f:A B, dacă f(a- ) = f(a+ ), , pentru care au sens f(a- ), f(a+ ),

Geometric punctele M( a- , f(a- )), N( a+ , f(a+ )) sunt simetrice în raport cu dreapta x=a.

Punctul S(a,b) este centrul de simetrie pentru graficul funcţiei f, dacă :

b = , , pentru care au sens valorile: f(a- ), f(a+ ),

7) Funcţie pară, funcţie impară, funcţie periodică.

Fie A ,o mulţime simetrică în raport cu zero ( A şi –x A).

       Funcţia f: A R, se numeşte pară, dacă f(-x) = f(x), A.

       Funcţia f: A R, se numeşte impară, dacă f(-x) = - f(x), A.

Comentarii. a) Dacă f: A R, este funcţie pară, rezultă că punctele de coordonate (-x, f(-x)),(x, f(x)),

de pe graficul funcţiei, sunt simetrice în raport cu axa Oy.

b) Dacă f: A R, este funcţie impară, rezultă că punctele de coordonate (-x, f(-x)),(x,f(x))

de pe graficul funcţiei, sunt simetrice în raport cu originea O a reperului cartezian.

c) Fie f,g: A R şi f+g, f.g, funcţiile sumă şi produs; atunci:

c’) dacă f,g sunt pare/impare, atunci f+g este funcţie pară/impară.

c’’) dacă f,g sunt pare/impare, atunci f.g este funcţie pară.

c’’’) dacă f,g au parităţi diferite, atunci f.g este impară.

       Fie funcţia f: A R, A . Funcţia f se numeşte periodică, dacă T>0, astfel încât, A, au loc: x+T A şi f(x+T) = f(x). Numărul T se numeşte perioadă a funcţiei f. Dacă există o cea mai mică perioadă T>0, atunci aceasta se numeşte perioadă principală a funcţiei f. Dacă f: A

R, A , este periodică, de perioadă T, atunci şi , astfel încât x+kT ,

avem f(x+kT) = f(x). Graficul unei funcţii periodice este suficient să fie trasat pe un interval de lungime egal cu perioada T, iar generarea lui pe tot domeniul de definiţie, se face, translându-l la stânga şi la dreapta, de-a lungul axei Ox, pe intervale de lungime egale cu T.

8)       Monotonia unei funcţii. Intevale de monotonie.

Fie f:A B, A,B R şi I A.

       Funcţia f se numeşte strict monotonă pe I, dacă este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe I.

       Funcţia f se numeşte strict crescătoare/descrescătoare pe I I, x1<x2 f(x1)<f(x2) respectiv f(x1)>f(x2)

       Funcţia f se numeşte monotonă pe I, dacă este cresătoare sau descrescătoare.

       Funcţia f se numeşte crescătoare/descrescătoare pe I I, x1<x2 f(x1) f(x2)

respectiv f(x1) f(x2).

Comentarii: a) A preciza intervalele de monotonie pentru o funcţie f:A B, A,B R, revine la a

Indica submulţimea lui, pe care f este crescătoare şi submulţimea lui A pe care f

este descrescătoare.

b) A arăta că f nu este monotonă pe o mulţime A, revine la a găsi x1, x2, x3 A, cu

x1<x2<x3, pentru care f(x1) f(x2) f(x3).

d) Pentru a studia monotonia funcţiei numerice f:A R, A R şi I A,se pot aplica două procedee:

         Procedeul diferenţei valorilor: se consideră două elemente arbitrare x1, x2 I, x1< x2 şi se calculează diferenţa f(x2) – f(x1), care se compară cu zero:

Dacă f(x2) – f(x1)>0 f(x1)< f(x2), atunci f este strict crescătoare pe I.

( Geometric , graficul lui f “urcă”, privit de la stânga la dreapta).

Dacă f(x2) – f(x1)<0, f(x1)> f(x2), atunci f este strict descrescătoare pe I.

( Geometric, graficul lui f “coboară”, privit de la stânga la dreapta)

         Procedeul raportului de variaţie: R(x1,x2) = , x1,x2 I, x1 x2, se numeşte raportul de variaţie asociat funcţiei f şi numerelor x1,x2, sau rata creşterii,

dacă R>0, respectiv rata descreşterii, dacă R<0. Diferenţa x2-x1 se numeşte variaţia argumentului, iar diferenţa f(x2) – f(x1) se numeşte creşterea funcţiei.

Teoremă

Fie f:A R, A R şi I R

1)       f este strict crescătoare pe I R(x1, x2)>0, x1 x2.

2)       f este strict descrescătoare pe I R(x1, x2)<0, x1 x2.

3)       f este crescătoare pe I R(x1, x2) 0, x1 x2.

4)       f este descrescătoare pe I R(x1, x2) 0, x1 x2.

9)       Puncte de extrem ale unei funcţii.

Fie f: I R, I R, interval.

Definiţii a) Un punct a I, se numeşte punct de maxim local al lui f, dacă există intervalul (a- , a+ ),

>0, astfel încât f(x) f(a) şi x I (a- , a+ ). Numărul f(a) se numeşte valoarea

maximă locală a lui f. Punctul ( a,f(a)) se numeşte punct de maxim local al graficului

funcţiei.

b) Un punct a I, se numeşte punct de minim local al lui f, dacă există intervalul (b- , b+ ),

>0, astfel încât f(x) f(b) şi x I (b- , b+ ). Numărul f(b) se numeşte valoarea

minimă locală a lui f. Punctul ( b,f(b)) se numeşte punct de minim local al graficului funcţiei.

c) Valorile funcţiei în punctele sale de extrem: maximele sau minimele funcţiei se numesc

extremele locale ale funcţiei.

d) Un punct x0 I se numeşte punct de maxim absolut al funcţiei f, dacă: f(x) f(x0), .

e) Un punct x0 I se numeşte punct de minim absolut al funcţiei f, dacă: f(x) f(x0), .

Comentarii: Toate aceste, aspecte teoretice referitoare la funcţii, vor fi repetate concomitent cu rezolvarea problemelor propuse în Fişele de lucru.

Secvenţele

activităţii

didactice

Activitateaprofesorului

Activitatea elevului

Metode Procedee

de

evaluareCaptarea

atenţiei (2 min.)Se captează atenţia elevilor

şise verifică prezenţa la ore

Elevii se pregătesc pentru

oră

conversaţia Observaţia

Actualizarea

cunoştinţelor

(7 min)

Se verifică, individual/frontal,

calitativ/cantitativ, tema pentru acasă, prin sondaj.

Se reactualizează noţiunea de funcţie.

Elevii urmăresc noţiunile

prezentate de colegi la tablă,

răspund la întrebări

conversaţia Analiza răspunsurilor

Anunţarea competenţelor. Prezentarea de material pentru

fixarea noţiunilor (3 min)

Profesorul anunţă competenţele vizate şi

distribuie fişele de lucru, formând grupe de elevi.

Elevii analizează fişele de lucru

conversaţia Observaţia

Asigurarea transferului

Obţinerea de performanţe

(35 min)

Dirijarea învăţării:

       Se discută modul de rezolvare a fiecărei probleme de pe fişă

       Se reactualizează noţiunile teoretice,

întâlnite în clasa a IX-a şi prezentate mai

sus.

       Se rezolvă la tablă exerciţiile propuse

       Se notează răspunsurile primite

Răspund la întrebările

profesorului.Rezolvă

probleme şi comunică rezultatele

Explicaţia,

conversaţia euristică, exerciţiul,

problematizarea, învăţarea prin descoperire,

studiul de caz.

Observarea sistematică a

elevilor, aprecierea

răspunsurilor primite.

Asigurarea feed-bak-ului, tema pentru acasă.

(3 min.)

Tema pentru acasă:

       De rezolvat problemele de pe

fişele de lucru.

       Din manual, pag.202,203,204 ex.

1,2,3,4,5,8,9,10,

11,15,18,21,22,25,27,30.

Notează tema Activitate independentă

Notarea răspunsurilor

IV Evaluarea rezultatelor şi stabilirea concluziilor.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a defini o funcţie: sintetic/analitic.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a defini graficul unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a determina mulţimea de valori a unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a manevra calculul algebric, în determinarea unor valori.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a recunoaşte egalitatea a două funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a reprezenta grafic funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a stabili semnul unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a determina o axă/centru de simetrie, la graficul unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a stabili paritatea unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a stabili/studia monotonia unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a exprima o funcţie, în diferite moduri.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a rezolva grafic inecuaţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a determina imaginea unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a determina valorile extreme ale unei funcţii.

       Se evaluează capacităţile elevilor de a stabili continuitatea unei funcţii, utilizând graficul.

Momentele de evaluare facilitează munca profesorului, în realizarea unui feed – back continuu, permanent, corectiv.

OBIECTIVE DERIVATE

La sfârşitul orei elevii vor fi capabili:

OP1 Să recunoască o funcţie dintr-o serie de corespondenţe date.

OP2 Să determine valori ale unei funcţii, imaginea unei funcţii.

OP3 Să recunoască funcţii egale.

OP4 Să reprezinte grafic funcţii.

OP5 Să stabilească paritatea unei funcţii.

OP6 Să stabilească domeniul de definiţie al unei funcţii.

OP7 Să determine mulţimea de valori pentru diferite funcţii.

OP8 Să studieze monotonia unei funcţii.

OP9 Să rezolve grafic inecuaţii.

Concluzii

1)       Se vor face aprecieri individuale şi colective asupra activităţii elevilor.

2)       Tema pentru acasă.

Fişă de lucru 1 – clasa a X-a (3h/săpt)

Funcţii – recapitulare

1)       Fie A = , B = . Determinaţi toate funcţiile f:A B, descriindu-le efectiv.

2)       Fie A = ; B = . Care din diagramele următoare reprezintă o funcţie definită pe A cu valori în B ? De ce ?

1

2

3

a

b

c

12 3

a

b

c

1

2

3

a

b

c

A B A B A B

f g h

3) Stabiliţi care din următoarele enunţuri f: A B este o funcţie: a) f: R R, f(x) = ;

b) Gf = , A = B = ;c) Gf = , A = B = ;

4) Determinaţi mulţimea de valori pentru fiecare din funcţiile maşină: a)

4 9

25 64

Funcţia maşină:

f(x)=

? ;

b) -4 2

0 -2

Funcţia maşină:

f(x)=x2

?

5) Se consideră funcţia f:R R, f(x) = ; să se calculeze: f(-2),f(-1),f(o),f(),f(1),f(2).

6) Stabiliţi care din următoarele funcţii (f,g) sunt egale: a) f,g:R R, f(x) = 3x+1, g(x) = 3(x+1).

b) f,g: ,f(x) =x2, g(x)= .

7) Să se reprezinte grafic funcţiile: a) f: , f(-1 )= 0, f(1) = 5, f(0 )= -2;

b) f:R , f(x) = -2;c) f:[-3,5] , f(x) = -2; d) f:[-5,-1] [2,6] , f(x) = -2.

8) Determinaţi punctele de intersecţie ale graficului funcţiei:

f:R , f(x) = x(x+1)(x-2) cu axele de coordonate.

9) Stabiliţi semnul funcţiei f:R , f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) utilizând metoda intervalelor.

10) Arătaţi că graficul funcţiei: a) f:R , f(x)= are ca axă de simetrie dreapta x = 2;

b) g:R , g(x) = x3+2 are drept centru de simetrie punctul S(0,2).

11) Stabiliţi paritatea funcţiei f:R , în cazurile:

a) f(x) = -3x2, b) f(x) = 2x+1, c) f(x) = -x.

12) Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei f: A , în cazurile: a) f(x) = x2-3, b) f(x) = ,

c) f(x) = , d) f(x) = , f(x) = .

13) Stabiliţi monotonia funcţiei f în cazurile:

1)

2)

x -3 0 1 2f(x) 9 6 0 -5

x -9 -6 0 1 8f(x) -3 -3 0 5 5

prof. Mătrescu Maria.

Fişă de lucru 2- clasa a X a (3h/săpt.)

(Funcţii- aplicaţii)

1)       Fie funcţia definită prin diagrama alăturată: f

1

2

3

2

4

6

a) Scrieţi funcţia sub formă de tabel.

b) Determinaţi Gf.

c) Trasaţi graficul lui f.

d) Exprimaţi corespondenţa printr – o formulă.

2)       Se consideră funcţiile f,g: R R, f(x) = x2- 9, g(x) = -x2 + 9. Trasaţi graficele acestor funcţii în acelaşi reper cartezian şi rezolvaţi grafic inecuaţiile: a) f(x) > g(x); b) f(x) < g(x).

3)       Să se calculeze f(A’) în cazurile:

a)

A1’ =

A’2 = .

b) f: R, f(x) = 2x+5, A’1 = ; A’

2 = .

c) f: R, f(x) = x2, A’1 = , A’

2 = .

4) Să se determine imaginile următoarelor funcţii, definite astfel:

a) b) f: [ -2,3] R, f(x) = 2x

c) f:[-2,3] R, f(x) =

5) Determinaţi f -1(B’) în cazurile:

a) B ’1 = ; B’

2 = .

x -5 -3 -2 0 1 3 f (x) 0 1 -1 0 -1 1

x -3 -1 1 2 f(x) 1 0 1 0

x -1 1 5 9 f(x) -3 0 -3 0

b)

B’1 = ; B’

2 = .

c) f: R R, f(x) = x2 – 4x, B’1 = ; B’

2 =

6)       Să se determine valorile extreme ale lui f, în cazurile:

a)

x -10 -3 1 15 20 f(x) 6 0 -4 8 5

b) f: R, f(x) = -3x+1.

c) f: [- 5,3] R, f(x) = 2x+1.

d) f: [- 3,2] R, f(x) = x2.

7)       Studiaţi monotonia funcţiilor f: R R, în cazurile: a) f(x) = 6x+5;

b) f(x) = .

8) Utilizând graficul funcţiei, stabiliţi care din funcţiile, următoare, f: R R sunt continue:

a)       f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = .

x -5 0 3 6 8 11 f(x) 1 1 1 0 2 3