propagazione in presenza di discontinuità: riflessione e rifrazione · raggio riflesso e ad uno...

Dipartimento di ElettronicaInformatica e Sistemistica

Marina Barbiroli – Propagazione M

Propagazione in presenza di discontinuità:Riflessione e Rifrazione



Propagazione in presenza di ostacoli

• L’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente dipropagazione reale prima di giungere al ricevitore; i fenomeni piùimportanti sono:

1. Riflessione2. Rifrazione (Trasmissione)3. Diffrazione4. Diffusione (Scattering)

Diffusione

Trasmissione

Riflessione

Diffrazione



Obiettivo

• Vogliamo studiare l’effetto di una discontinuità data da un piano diseparazione tra mezzi omogenei.

• Considereremo il caso di una superficie di separazione tra duesemispazi omogenei: qui il segnale incidente verrà sia riflesso chetrasmesso e vedremo come calcolare le parti riflesse e trasmesse.

• A tale scopo applicheremo le condizioni di continuità sulla superficie diseparazione tra mezzi.



Ipotesi

• Per semplificare la trattazione di queste situazioni si ricorre al concetto diONDA PIANA LOCALE:

• Si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti uncomportamento analogo a quello di un’onda piana TEM avente in tutto lospazio le medesime condizioni di incidenza valide localmente per il raggio.

• Ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad unraggio riflesso e ad uno rifratto che dipendono dalle caratteristicheelettromagnetiche dell’oggetto in un intorno del punto di riflessione e dalleproprietà del campo incidente nel punto di riflessione.



Definizione del problema

• Si considerino due semispazi costituiti da due mezzi normali, il primo dicaratteristiche ε1, μ1 e σ1, il secondo con caratteristicheε2, μ2 e σ2

• La superficie di separazione è data dal piano x=0

• Si assume che il campo incidente sia dato da un’onda piana uniformecon componenti del vettore di propagazione entrambe positive.

• Si indichino il pedice “i” le grandezze, note, relative al campo incidente,coi pedici “r” e “t” le grandezze relative alle onde riflesse e trasmesse.



Condizioni di continuità

• Le equazioni di Maxwell sono definite in volumi nei quali si assume chele proprietà del materiale siano descritte da funzioni continue edinfinitamente derivabili.

• E’ importante descrivere le condizioni a cui devono soddisfare i campisulle superfici di discontinuità (presenza di discontinuità di primaspecie), sulle quali non è possibile applicare le equazioni di Maxwell,perché in tali punti non è possibile calcolare la derivata.

n̂

!̂

1

2

S"

n"



Riflessione e rifrazione

• Consideriamo quindi un’onda piana uniforme incidente sul piano diseparazione tra i due mezzi

vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione

!

E i= E

i0" e

#S i"r

!

" H i = H i0 # e$S i #r =

S i % E i0

j&µ1

# e$S i #r

!

S = a + jk

!

S :

!

a :

!

k :

!

r :



• I campi riflesso e trasmesso necessari per scrivere le condizioni dicontinuità sono:

• Le incognite sono i coefficienti di ampiezza dei campi ed i vettori dipropagazione. Per ottenere i loro valori si impongono le condizioni dicontinuità sul piano x=0 (non esistono cariche superficiali sullasuperficie di separazione):

!

E r = E r0 " e#S r "r

$ H r = H r0 " e#S r "r =

S r % E r0

j&µ1

" e#S r "r

!

E t = E t0 " e#S t "r

$ H t = H t0 " e#S t "r =

S t % E t0

j&µ2

" e#S t "r

rS

t

rS

r

rS

i

tri eEeEeE!"!"!"

!=!+!###

000



Marina Barbiroli – Propagazione MValeria Petrini - Propagazione MUniversità degli Studi di Bologna - DEIS

• Affinché questa condizione sia verificata, i fattori esponenziali devonoessere uguali tra loro:

• Si ottengono quindi dei vincoli sulle componenti dei vettori dipropagazione che devono valere sul piano di separazione tra i mezzi.

rSrSrStri!=!=!

!

H i0

"# e

$S i#r

+ H r0

"# e

$S r#r

= H t0

"# e

$S t#r




Onda riflessa

• Ricordando che per un’onda piana uniforme e che il mezzo 1 èsenza perdite, l’ultima condizione impone:

• Da cui risulta:

• Si può dimostrare che, per la prima relazione solo la soluzioneè compatibile con il problema.

• ⇒ anche l’onda riflessa è un’onda piana uniforme come l’ondaincidente

!

a = 0

!

S i " r = S r " r # jk i " r = a r + jk r( )" r

!

a r" r = 0

kr " r = k i " r

# $ %

!

ar

= 0



• Essendo:

• Dalla seconda relazione segue:

• E’ possibile dimostrare che l’onda piana riflessa è sempre dello stessotipo di quelle incidente, qualunque sia il mezzo da cui proviene (con osenza perdite).

!

kr

= ki

=" µ1#1

riri!!!! ="= sinsin

Onda riflessa



Onda trasmessa

• Per quanto riguarda l’onda trasmessa dal mezzo 1 al mezzo 2abbiamo:

• Essendo i mezzi in cui si propagano le due onde, differenti, l’ondatrasmessa può quindi essere indifferentemente uniforme oevanescente ma deve comunque rispettare la continuità dellecomponenti tangenti del vettore di propagazione:

!

a t" r = 0

k t " r = k i " r

# $ %

!

k i sin" i= k t sin" t

# sin"t

=k i

k t

sin"i



• Consideriamo il secondo mezzo senza perdite

• Caso 1: onda trasmessa piana uniforme

• Questa relazione è valida sempre, qualunque siano le caratteristiche,dielettriche e magnetiche, dei mezzi.

• Per materiali dielettrici in cui e con(i=1,2) risulta:

Legge di Snell

!

(at

= 0)

it!"µ!"µ sinsin

1122=

!

µi= µ

0

!

"i

= "0"ri

= "0ni

!

n1sin"

i= n

2sin"

t

Onda trasmessa



• Caso 2: onda trasmessa piana evanescente

• Il passaggio dalla situazione in cui l’onda trasmessa è piana uniforme aquella in cui è piana evanescente si ha per quel particolare valoredell’angolo di incidenza, detto angolo critico (indicato con ϑc) per cuivale:

• Oltre l’angolo critico l’onda trasmessa è quindi evanescente:

• Per poter parlare di angolo critico deve essere n1>n2

21sin nn

c=!

!

"c

= arcsinn2

n1

Onda trasmessa



• Dall’espressione della componente lungo x del vettore dipropagazione, si ha propagazione nella direzione di z ma attenuazionenella direzione x nonostante il mezzo sia senza perdite e quindi l’ondasia evanescente.

• Poiché la potenza attiva si attenua per x crescente, essa rimanesostanzialmente confinata nel semispazio inferiore. Si parla quindi diriflessione totale del campo.

!

cos" t = ± 1# sin2" t = ± j sin

2" t #1 = # j1

n2

n1

2sin

2" i # n22$

$ kxt = k0n2cos" t = # jk

0n1

2sin

2" i # n22

Onda trasmessa



Formule di Fresnel

• Si sono trovate le relazioni tra i vettori di propagazione delle ondeincidente, riflessa e trasmessa ma non le relazioni tra le ampiezze deicampi.

• Per fare ciò si sfrutta la linearità delle equazioni di Maxwell e si scompone ilproblema in due parti indipendenti più semplici da analizzare.

• Ruotando il sistema di riferimento in modo tale che non ci siano variazionilungo y, il piano x-z è assunto come piano di incidenza.

• Le equazioni di continuità sono divise in due gruppi indipendenti, quelle percui l’unica componente di campo elettrico è parallela a y (TE) e quelle percui tale relazione è valida per il campo magnetico (TM).



• Campo TE:

• Campo TM:!

E = Ei0ye" j k i #r

ˆ y

H =1

$1

ˆ k i % E = "1

$1

Ei0ye" j k i #r ˆ &

'

( )

* )

!

H = Hi0ye" j k i #r

ˆ y

E =$1H % ˆ k i =$

1Hi0ye

" j k i #r ˆ &

'

( )

* )

Formule di Fresnel



• La direzione di propagazione è la stessa per i campi TE e TM, cioèquella del vettore di propagazione ; quello che cambia sono lecaratteristiche della propagazione nella direzione ortogonale allasuperficie di separazione.

• E’ possibile ora calcolare i coefficienti di riflessione e trasmissione neidue casi. !

ki



Caso TE• Imponendo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione

(x=0) si ha:

• I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono:iE r

E

tE

tH

rH

iH

x

!"#

=+

=+

tzrziz

tyryiy

HHH

EEE

!"

!#

$

=%

=+

&t

ty

r

ry

i

iy

tyryiy

EEE

EEE

'(

'(

'(

coscoscos

211

!

"TE =Ery

Eiy

=#2cos$ i %#1 cos$ t

#2cos$ i +#

1cos$ t

=n1cos$ i % n2 cos$ t

n1cos$ i + n

2cos$ t

&TE =Ety

Eiy

=2#

2cos$ i

#2cos$ i +#

1cos$ t

=2n

1cos$ i

n1cos$ i + n

2cos$ t

!

"TE

=1+ #TE



Caso TE

• Applicando la legge di Snell:

• Introducendo l’angolo di elevazione :

!

sin"t

=n1

n2

sin"i# cos"

t= 1$

n1

n2

sin"i

%

& '

(

) *

2

=n1

n2

n2

n1

%

& '

(

) *

2

$ sin2"i

!

" #TE

=

cos$i%

n2

n1

&

' (

)

* +

2

% sin2$i

cos$i+

n2

n1

&

' (

)

* +

2

% sin2$i

i!

"! #=

2



Caso TE

• Il coefficiente di riflessione per il caso TE risulta:

• Il coefficiente di trasmissione per il caso TE risulta:

!

"TE

=

sen# $n2

n1

%

& '

(

) *

2

$ cos2#

sen# +n2

n1

%

& '

(

) *

2

$ cos2#

!

"TE

=2sin#

sin# +n2

n1

$

% &

'

( )

2

* cos2#



Caso TE

• Riprendendo il concetto di riflessione totale per cui:

• Nel caso di mezzi dielettrici si può scrivere:

!

cos" t = # j1

n2

n1

2sin

2" i # n22

!

"TE =n1cos# i $ n2 cos# t

n1cos# i + n

2cos# t

=n1cos#i + j n

1

2sin

2#i $ n22

n1cos#i $ j n

1

2sin

2#i $ n22

=A + jB

A $ jB= e

j2arctgB

A

%

& '

(

) *

!

"

#TE =1

arg #TE( ) = 2arctgn12 sin2$ i % n2

2

n1 cos$ i

&

' (

) (



Caso TM• Imponendo nuovamente le condizioni di continuità su x=0:

• Da cui si ricavano:

!

Eiz + Erz = Etz

Hiy +Hry = Hty

" # $

%Hiy&1 cos' i (Hry&1 cos' r = Hty&2 cos' t

Hiy +Hry = Hty

" # $

iE

rE

tE

tH

rH

iH

x

2 2

21 1 2 21

2 2 10 0 12

22

10 0221 1 2

21

2 2 1

2 2

22 2

1 1

2

2 2

1 1

cos sincos cos

cos coscos sin

cos sin

cos

i ii t

r y r

TM

i y ii t

i i

i i

i

n n n nn

n n nH E nn

nH E nn n nn nn n n

n n

n n

n n

n n

!

!

" "" "

" "" "

" "

"

# $ # $% & %% ' ( ' (

) * ) *+ = = = = & =# $# $+

+ & % ' (' () *) *

# $ # $% %' ( ' (

) * ) *=

# $+' (

) *

2

2sin

i"

# $%' (

) *

ρ



2 2

22 2

1 1

2 2

22 2

1 1

sin cos

sin cos

TM

n n

n n

n n

n n

! !

! !

" # " #$ $% & % &

' ( ' () =

" # " #+ $% & % &

' ( ' (

Caso TM• E ricordando il legame tra il coefficiente di riflessione e il coefficiente di

rifrazione:

• E l’angolo di elevazione, si ottiene:

ρ

0 0

0 0

1t y r

TM TM

i y i

H E

H E

!

!

" = = = +#ρ

2

2

1

2 2

22 2

1 1

2 sin

sin cos

TM

n

n

n n

n n

!

"

! !

# $% &' (

=

# $ # $+ )% & % &

' ( ' (



Caso TM

• Nel caso di onda incidente di tipo TM, si può verificare il fenomenodella rifrazione totale:

• Ricordando la legge di Snell:

• Affiché siano soddisfatte entrambe le equazioni deve essere

!

"TM

= 0ti

nn !! coscos12

="

!

n1sin"

i= n

2sin"

t

!

"n2

n1

=cos#

t

cos#i

=sin#

i

sin#t

=cos($ /2 %#

i)

cos($ /2 %#t)

1

2tan

n

n

B=!

(12)2

i t

!" "+ =

Angolo di Brewster



Considerazioni

• Ponendo n = n2/n1 i coefficienti per i casi TE e TM risultano:

!

"TE

=cos#

i$ n

2 $ sin2#

i

cos#i+ n

2 $ sin2#

i

"TM

=n

2cos#

i$ n

2 $ sin2#

i

n2cos#

i+ n

2 $ sin2#

i



Riepilogo

• Imponendo le condizioni di continuità all’interfaccia tra i due mezzi, si ha:1. Legge di Snell della riflessione: onda riflessa dello stesso tipo di quella

incidente e

2. Legge di Snell della rifrazione:

Onda rifratta uniforme:

Onda rifratta evanescente:

3. Leggi di Fresnel:• Onda TE:• Onda TM:

ir!! =

tinn !! sinsin21

=

)/arcsin( 12 nnci=!""

ci!! <

!

Er

= "TEEi E

t= #

TEEi

!

Hr

= "TMH

i H

t= #

TMH

i



Riflessione e rifrazione: caso ideale

• Onda diretta, riflessa e rifratta piana uniforme ⇒ immediata rappresentazione a raggi della propagazione• Raggio riflesso

– L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dalpunto di riflessione (PR) è:

• Raggio trasmesso– Analogamente per il raggio trasmesso risulta:

!

r E r s( ) =

r E r

TEs( ) +

r E r

TMs( ) =

"TE 0

0 "TM

#

$ %

&

' ( )

r E i

TEPR( )

r E i

TMPR( )

#

$ % %

&

' ( ( ) e

* j+s

!

r E t s( ) =

r E t

TEs( ) +

r E t

TMs( ) =

"TE 0

0 "TM

#

$ %

&

' ( )

r E i

TEPR( )

r E i

TMPR( )

#

$ % %

&

' ( ( ) e

* j+s

PR: punto di riflessione

PR: punto di riflessione



Riflessione e rifrazione: caso reale

• I risultati ottenuti nel caso del piano ideale restano validi in situazionirealistiche più generali purché le superfici d’onda e di interfaccia sianolocalmente piane.

⇒ Le grandezze in gioco nel sistema (ed in particolare i raggi di curvatura) >>λ

• L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto diriflessione (PR) diviene pertanto:

!

E r(s) = E rTE(s) + E r

TM(s) =

"TE 0

0 "TM

#

$ %

&

' ( )

E iTE(PR )

E iTM(PR )

#

$ %

&

' ( )

r1

r ) r2

r

r1

r + s( ) r2

r + s( )) e

* j+s

θr

θt

θi

PR



Appendice:calcolo dei coefficienti di riflessione e

trasmissione per la polarizzazione TE e TM



0 0 0

0 0 0

i y r y t y

i z r z t z

E E E

H H H

! + ="

+ =#

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 2

cos cos cos

i y r y t y

i y i r y i t y t

H H H

H H Hn n n

! ! !" " "

# + =$%

& =$'

0 0 0

1 1 2

0 0 0

0 0 0

cos cos cos

i y r y t y

i y i r y i t y t

E E E

n n nE E E! ! !

" " "

# + =$%& + = &$'

2) Polarizzazione TM:

1) Polarizzazione TE:

Le componenti del campo, tangenti alla superficie di separazione, in caso di polarizzazioneTE e TM sono:

( )

( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

TE TE TE

x x y y

TE TE TE

x x z z

E i E i E i

H i H i H i

!

!

" = # # = $%&% = # # = $'

r r

r r

( )

( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

TM TM TM

x x z z

TM TM TM

x x y y

E i E i E i

H i H i H i

!

!

" = # # = $%&% = # # = $'

r r

r r

0 0 0

0 0 0

i y r y t y

i z r z t z

H H H

E E E

! + ="#

+ ="$

Quindi sulla superficie di separazione tra i mezzi si ottiene:



1) Polarizzazione TE:

( ) ( ) ( )1 0 1 0 2 0cos cos cos

i y i r y r t y tn E n E n E! ! !" + = "

Substituting then the first equation into the second ...

( )( ) ( )

1 0 1 0 2 0 0

0 1 2 0 1 2

cos cos cos

cos cos cos cos

i y i r y r i y r y t

i y i t r y i t

n E n E n E E

E n n E n n

! ! !

! ! ! !

" + = " + #

" = +

The reflection and transmission coefficients for the TE polarization therefore are:

0 1 2

0 1 2

cos cos

cos cos

r y i t

TE

i y i t

E n n

E n n

! !

! !

"# = =

+

0 1

0 1 2

2 cos

cos cos

t y i

TE

i y i t

E n

E n n

!"

! != =

+

1TE TE! = +"

Si noti che risulta:

And similarly:

( ) ( )( )

( )

0 1 2 0 0 1 2

0 1 0 1 2

cos cos cos cos

2 cos cos cos

i y i t t y i y i t

i y i t y i t

E n n E E n n

E n E n n

! ! ! !

! ! !

" = " + #

= +

Coefficienti di Fresnel

ρ

ρ



I coefficienti di Fresnel possono essere espressi in funzione del solo angolo θi, utilizzando laLegge di Snell………

2 2

21 1 1 2

2 2 2 1

sin sin cos 1 sin sint i t i i

n n n n

n n n n! ! ! ! !

" # " #= $ = % = %& ' & '

( ) ( )

Thus………2 2

2 22 2

1 1

1 1

2 2

2 22 2

1 1

1 1

cos sin cos sin

cos sin cos sin

i i i i

TE

i i i i

n nn n

n n

n nn n

n n

! ! ! !

! ! ! !

" # " #$ $ $ $/ / % & % &

' ( ' () = =

" # " #+ $ + $/ / % & % &

' ( ' (

Using the elevation or grazing anglei!

"! #=

2

2

22

1

2

22

1

sin cos

sin cos

TE

n

n

n

n

! !

! !

" #$ $% &

' () =

" #+ $% &

' (

And2

22

1

2sin

sin cos

TE

n

n

!"

! !

=

# $+ %& '

( )

1TE TE! = +"ρ

ρ

ρ



2) Polarizzazione TM:

E dalla seconda equazione:

1 1

0 0

2 2

cos cos cos cosi y i t r y i t

n nH H

n n! ! ! !

" # " #$ = +% & % &

' ( ' (

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 2

cos cos cos

i y r y t y

i y i r y i t y t

H H H

H H Hn n n

! ! !" " "

# + =$%

& =$'

( )

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

1 1 2

cos cos cos

t y i y r y

i y i r y i t i y r y

H H H

H H H Hn n n

! ! !" " "

= +#$%

& = +$'

0 0 0 0

0 0

1 2 1 2

cos cos cos cosi y i t r y i t

H Hn n n n

! ! ! !" " " "

# $ # $% = +& ' & '

( ) ( )



Si ottiene …

2

2

1

2 2

22 2

1 1

2 sin

sin cos

TM

n

n

n n

n n

!

"

! !

# $% &' (

=

# $ # $+ )% & % &

' ( ' (

2 2

21 1 2 21

2 2 10 0 12

22

10 0221 1 2

21

2 2 1

2 2

22 2

1 1

2

2 2

1 1

cos sincos cos

cos coscos sin

cos sin

cos

i ii t

r y r

TM

i y ii t

i i

i i

i

n n n nn

n n nH E nn

nH E nn n nn nn n n

n n

n n

n n

n n

!

!

" "" "

" "" "

" "

"

# $ # $% & %% ' ( ' (

) * ) *+ = = = = & =# $# $+

+ & % ' (' () *) *

# $ # $% %' ( ' (

) * ) *=

# $+' (

) *

2

2sin

i"

# $%' (

) *

Quindi, considerando l’angolo di elevazione :

2 2

22 2

1 1

2 2

22 2

1 1

sin cos

sin cos

TM

n n

n n

n n

n n

! !

! !

" # " #$ $% & % &

' ( ' () =

" # " #+ $% & % &

' ( ' (

0 0

0 0

1t y r

TM TM

i y i

H E

H E

!

!

" = = = +#

ρ

ρ

ρ



Considerando i coefficienti di riflessione possono essere scritti come:2 1

n n n=

2 2 2

2 2 2

cos sin

cos sin

i i

TM

i i

n n

n n

! !

! !

" "# =

+ "

2 2

2 2

cos sin

cos sin

i i

TE

i i

n

n

! !

! !

" "# =

+ "

Se il mezzo 1 è l’aria, per cui , si ottiene:2 r

n n != =

2

2

cos sin

cos sin

i r i

TE

i r i

! " !

! " !

# #$ =

+ #

2

2

cos sin

cos sin

r i r i

TM

r i r i

! " ! "

! " ! "

# #$ =

+ #

ρρ

ρ ρ



Calcolo dell’angolo di BrewsterL’angolo di Brewster è pari ad un angolo di incidenza tale per cui il coefficiente di riflessionedella polarizzazione TM è nullo.

Angolo di Brewster

( )

( )

2

1

2

2

2

1

2

2

1

i

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

i

2

2

2

1

2

2

1

4

2

1

i

2

i

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

i

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