proporciones notables en geometría opo c o es otab es e geo et a
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Proporciones notables en geometríaopo c o es otab es e geo et a
Ricardo Alonso LiarteIES Salvador Victoria
Proporciones notablesen geometríaP ió en geometríaProporción
TTM Zaragoza, mayo de 2012
Proporciones notablesen geometríaP ió en geometríaProporción
E G t í l l t á ill l d li l tEn Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento, dividiéndolo en dos partes. La proporción que aparece es el resultado de dividir las longitudes de ambas.
Si construimos un rectánguloSi construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento,se divide el segmento, tendremos entonces un rectángulo con dicha proporción.
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Proporciones notablesen geometríaP ió en geometríaProporción
Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción ( o módulo) del rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor.
)i (),max(),(
bbabap =),min(
),(ba
p
1),( ≥bap
En el caso de ser 1, estamos ante el cuadrado
1),( ≥bap
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Proporciones notablesen geometríaP ió en geometríaProporción
Ad á 0)()( >∀= tbaptbtapAdemás
Es decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.
0 ),(),( >∀= tbaptbtap
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Proporciones notablesen geometríaC á d i en geometríaCompás de proporciones
apb q b
aqp=
p
a
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Proporciones notablesen geometríaTi d i en geometríaTipos de proporciones
Hay dos tipos de proporción geométrica:Hay dos tipos de proporción geométrica:
Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón simple expresable como dos múltiplos de una unidad ó módulo: 3/2 5/3 5/4simple, expresable como dos múltiplos de una unidad ó módulo: 3/2, 5/3, 5/4
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Proporciones notablesen geometríaTi d i en geometríaTipos de proporciones
Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable.
Algunos ejemplos son los siguientes:
Proporción n
Proporción cordobesa
Proporciones metálicas
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Proporciones notablesen geometríaP ió √ en geometríaProporción √n
S fá il d t i l á tili d b t átiSon fáciles de construir con regla y compás utilizando como base matemática el teorema de Pitágoras
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Proporciones notablesen geometríaP ió √ en geometríaProporción √n
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
…
El caso más sencillo es el de raíz de 2, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo.
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1
1TTM Zaragoza, mayo de 2012
1
Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
Có di idi t t i ?¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?
)x2()x1()x1( 222 +=+++
1+x xx44x2x42
)x2()x1()x1(
22 ++++
+=+++
1+x
1+x
2
xx44x2x42
2
++=++
1
2x2 =
x1
2x =
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
Có t i tá l d t i ?¿Cómo construir un rectángulo de estas proporciones? x y
1 2
1
22)12(1 −=−−=xLa proporción es
22
2221
21
22)12(1
=−
−=−=xy
x2
22
221
==
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPELCOMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL
2b b 2b b =
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de laEs importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada Esto sucede en cualquier rectángulo estáticoforma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático.
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
Si b l d it d d í d 2 ti t i ióSin embargo las dos mitades de un raíz de 2 tienen esta misma proporción.
1a/2
2/a1
1a=
1 12a2
=
2a2 =a
2=a
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado derectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A0.
Dividiendo sucesivamente por la mitadese rectángulo se van obteniendo los gformatos A1, A2, A3, A4…
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Imagen: Wikipedia
Proporciones notablesen geometríaP ió í d 2 en geometríaProporción raíz de 2
Para hallar las dimensiones hay que resolver:Para hallar las dimensiones hay que resolver:
⎨⎧ =ba 1.
⎩⎨
= ab 2
4
2
221
12 =
b
a
444
222
21
=== ba
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Partiendo de un triángulo equiláterog q
1hh
31
3
343
411h2 =−=
23h =
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1
1,7320508075…
Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Có di idi t t i ?¿Cómo dividir un segmento en estas proporciones?
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los extremos de un segmento, g ,se traza la circunferencia que pasa por el otro extremo.
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Vesica Piscis
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Vesica Piscis. El rectángulo en el que se encuadra tiene proporción 3/2.Se le llama también rectángulo egipcio
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Proporciones notablesen geometríaP ió í d 3 en geometríaProporción raíz de 3
Vesica Piscis
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Pantócrator de San Isidoro de León
Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
Es la relación que existe entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado de éste.
Su valor es c = 1,306562964 …
Concretamente su valor exacto esConcretamente, su valor exacto es
22
1
22 −
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Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESAVALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA
QCD y CPD son semejantes
OPC es isósceles
x2
y j
221x −
=22
22x
x2
2 −=
=
1O
22x −=
22
1LadoRadio
−=
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Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
CÓMO DIVIDIR UN SEGMENTO EN PROPORCIÓN CORDOBESACÓMO DIVIDIR UN SEGMENTO EN PROPORCIÓN CORDOBESA
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Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO CORDOBÉSCÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO CORDOBÉS
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Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
Se llamó así al ser encontrado por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba .
Mirab de la mezquita de Córdoba
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Proporciones notablesen geometríaP ió d b en geometríaProporción cordobesa
Arco de la Defensa, París Arco de la Victoria, Madrid
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Proporciones notablesen geometríaP ió d l t en geometríaProporción de plata
También en el octógono regular de lado 1
21
1xx 22 =+
g g
13
22
21x ==
El lado del rectángulo sombreado es
x
x 212221x21 +=+=+x
1 2
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Proporciones notablesen geometríaP ió d l t en geometríaProporción de plata
El ú d l t 21δEl número de plata es 21+=δ
1x2
x1 +=
131 xx21 2+=
21x +−=
1 1 x 21x −−=
Por tanto el lado mayor del rectángulo es 21+y g 21+
Si se extrae un cuadrado de un rectángulo raíz de dos, queda un rectángulo de plata
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Si se extrae un cuadrado de un rectángulo raíz de dos, queda un rectángulo de plata
Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
ACAB
El todo es a la parte, como la parte al resto
BAC BC
ACACAB
=
Si el segmento AC=x y el BC=1, entonces AB=x+1g y ,
01xx1xxx1x 22 =−−⇒+=⇒=+ 01x x 1x x
1x=−−⇒+=⇒=
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
x1x + 01x x 1x x 1x
x1x 22 =−−⇒+=⇒=
+
Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo: 2
51+=φ
Cuyo valor aproximado es 1,61803…
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
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)15(215
2 +=
+=
−
115 −
2
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
Buscando la proporción en un segmento dadop p g
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus l d L l i d l é ti d l l d t ll
¿CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES?
lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Otra forma de construirlo
Papiroflexia
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Otra forma de construirlo
Papiroflexia
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P ió áProporción áurea
E l l ió t l di l
AD = xEs la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular
1 Los triángulos ABD y AFB son isósceles y semejantes
1x1
1x
−=
1
1xx
1x1
2 =−
1 01xx2 =−−
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P ió áProporción áurea
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadradoEl rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial.
1x
1 1x1
1x
−=
01xx2 =−−
1x −1
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Có b tá l á ?¿Cómo comprobar que un rectángulo es áureo?
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Repitiendo el proceso de quitar un cuadradoRepitiendo el proceso de quitar un cuadrado…
Taza gigante volante conanexo inexplicable de cincometros de longitud.(1944-1945)
Salvador Dalí(1904-1989)
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso:Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso:
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21
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
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211, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
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5
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
1 : 1 = 1
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1 : 1 12 : 1 = 23 : 2 = 1´5
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5 : 3 = 1´666666668 : 5 = 1´613 : 8 = 1´625
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13 : 8 = 1 62521 :13 = 1´6153846....34 :21 = 1´6190476....
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855 :34 = 1´6176471....89 :55 = 1´6181818....
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Proporciones notablesen geometríaP ió á en geometríaProporción áurea
Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 8913
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
21 3421
21 1313 88 5
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5
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... 55
8955
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Proporciones notablesen geometríaP t i en geometríaPara terminar
Un cortometraje inspirado en números, la geometría sagrada y la naturaleza.j p , g g y
Realizado por Cristóbal Vila.
De Etérea Estudios
Zaragoza
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http://www.youtube.com/watch?v=ME-bLr7mGL4
Proporciones notablesen geometríaBibli fí en geometríaBibliografía
- FERNÁNDEZ I., REYES E. Geometría del hexágono y el octógono. Proyecto Sur de ediciones. Granada, 2003
- VVAA. Papiroflexia y Matemáticas, Revista 1, nº 53. Editorial Grao, 2010
- VVAA La proporción: arte y matemáticas Biblioteca de UNO Editorial- VVAA. La proporción: arte y matemáticas. Biblioteca de UNO. Editorial Grao, 2009
- SKINNER S Geometría Sagrada Gaia Ediciones Madrid 2007SKINNER S. Geometría Sagrada. Gaia Ediciones. Madrid, 2007
-CORBALÁN F. La proporción áurea. Colección El mundo es matemática. RBA editores, 2010RBA editores, 2010
-Sobre el video: http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm
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