propriedades dos determinantes matemática dorta. o determinante de uma matriz quadrada é nulo se:...
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Matemática
Dorta
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O determinante de uma matriz quadrada é nulo se:
Observação: válido para as três primeiras propriedades que serão citadas nesta aula.
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0 Bdet
61 log74
490 cos53
30sen 32
1041
B
0 A det
962
000
531
A
P1) A matriz apresenta uma fila de zeros (fila nula).
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P2) A matriz possui filas paralelas proporcionais:
0 Bdet
9066
5255
8133
5822
B
0 A det
642
341-
321
A
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)LL(L 0 Bdet
4633
0312
9521-
4321
B
)(C 0 A det
21-3
312
431
A
431
321
CC
P3) Uma fila é a combinação linear de outras filas paralelas:
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P4) O determinante de uma matriz é igual
ao determinante de sua transposta.
731053
12B det
731051
32Adet
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(A.B)det Bdet A.det queobeservar Podemos
824-32 (A.B)det 86
44A.B
40-4 Bdet 21
02B
22-4 Adet 41
21A
P5) Teorema de Binet det (A.B) = det A . detB
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P6) Troca de filas paralelas
Dada uma matriz Anxn, se trocarmos as posições de duas filas de A, teremos uma nova matriz Bnxn, cujo determinante é igual ao determinante de A mudando-se apenas o sinal (+ ou -).
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Exemplo da P6
710332
51 B det
731051
32Adet
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P7) k. (fila)
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número real k não-nulo, o seu determinante ficará multiplicado por k.
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Exemplo da P7
Adet 3. Bdet Assim,
21 7 3. B det
2193051
96B det
B) matriz (da L A) matriz (da 3.L
731051
32Adet
11
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P8) Conseqüência da propriedade anterior
Se multiplicarmos uma matriz Amxn por um número real k não-nulo, obtemos uma matriz Bmxn= k. Amxn
tal que det B = kn.det A.
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Exemplo da P8
Adet .3 Bdet Assim,
63 7 .3 3.7 3. B det
632790153
96B det
A 3. B
731051
32Adet
2
2
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P9) Válida para matrizes triangulares
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.
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Exemplos da P9
-241.(-2).3.4 Bdet
4793
0368
002-5
0001
B
6 1.2.3 Adet
300
620
451
A
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P10) Válida para matrizes similares as triangulares
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal secundária de uma matriz quadrada são todos iguais a zero, o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicados por (-1) [n.(n-1)]/2; em que n é a ordem da matriz.
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Exemplos da P10
241.2.3.4 (-1) Bdet
4794
0330
0200
1000
B
6- .1.2.3(-1) Adet
003
025
164
2
4.3
2
3.2
A
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P11) Soma de determinantes
São dadas três matrizes, A, B e C, de ordem n, com n-1 filas correspondentes iguais. Se os elementos da outra fila de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das outras filas de A e B, então det C = det A + det B.
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Exemplo da P11
Bdet A det Cdet Assim,
6
102
154
112
det
78
202
554
412
det
84
302
654
312
det
C
B
A
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P12) Teorema de Jacobi
Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado.
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Exemplo da P12
BA
B
CC
A
detdet
1
011
201
101
det
.2
1
031
221
121
det
21
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P13) Determinante de Vandermonde
Um determinante de ordem n maior ou igual a 2 é chamado determinante de Vandermonde se na primeira linha os elementos forem todos iguais a 1; na segunda, números reais quaisquer; na terceira, seus quadrados; na quarta seus cubos, e assim sucessivamente.
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Cálculo do determinante de Vandermonde
Os elementos da segunda linha no determinante de Vandermonde são chamados de elementos característicos.
Um determinante de Vandermonde é calculado por meio do produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo de cada um dos elementos característicos os elementos que os precedem.
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Exemplo da P13
121.2.3.1.2.1det
34.24.14.23.13.12
642781
16941
4321
1111
det
A
A