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Pruebas de hipótesis

Álvaro José Flórez

1Escuela de Ingeniería Industrial y EstadísticaFacultad de Ingenierías

Febrero - Junio 2012

Prueba de hipótesis

Uno de los objetivos de la estadística es hacer inferencias acerca deparámetros desconocidos de una población con base en informaciónobtenida en una muestra aleatoria. Estas inferencias pueden hacersede dos forma: por medio de estimaciones de los parámetros o pormedio de pruebas de hipótesis para verificar si una cierta afirmaciónacerca del parámetro puede considerarse como válida basándose enlos resultados de una muestra.

Una prueba de hipótesis es muy útil en situaciones donde no es demucho interés el valor (estimado) del parámetro, sino la validez dela afirmación en cuestión (Gutierrez and Zhang, 2010).


Para el propósito de importación de cierto tipo de motocicletas, laentidad ambiental del país importador necesita verificar que el nivelde contaminantes producidos por estas motocicletas cumple con lasnormas del país. En particular la emisión de monóxido de carbono(CO), representadas por el promedio (µ), no deben superar 5,5g/Km

En este caso sólo se está interesado en verificar si la afirmaciónµ ≤ 5,5g/Km puede considerarse como válida, mientras que laestimación de µ no es de gran interés.


Definición:Procedimiento estadístico que, a través del estudio de una muestraaleatoria, permite determinar el cumplimiento de una hipótesisplanteada sobre alguna característica de la población.

En forma general, la hipótesis planteada involucra ya sea algúnparámetro (por ejemplo µ o σ2) o alguna forma funcional no conocidade distribución de interés a partir de la cual se obtiene una muestraaleatoria.

La decisión acerca de si los datos muestrales apoyan estadísticamentela afirmación se toma en base en la probabilidad y si está es mínima,entonces la hipótesis sería rechazada.

Planteamiento de una prueba de hipótesis

Pasos para realizar una prueba de hipótesis:

1 Planteamiento de las hipótesis estadísticas.2 Seleccionar un nivel de significancia.3 Calculo del estadístico de prueba.4 Formular la regla de decisión.5 A partir de una muestra aleatoria tomar una decisión.

Planteamiento de una hipótesis

Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la población, porlo tanto se expresa en términos de los parámetro poblacionales

En el ejemplo anterior se pueden plantear las siguientes hipótesis:

H0 : µ = 5,5 H1 : µ > 5,5

La hipótesis que se desea contrastar se denomina Hipótesis nula(H0), mientras que la hipótesis que se acepta cuando la evidenciamuestral está claramente en contra de ésta se denomina HipótesisAlternativa (H1) (Hipótesis de investigación o de interés)

Planteamiento de una hipótesis

Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la población, porlo tanto se expresa en términos de los parámetro poblacionales

En el ejemplo anterior se pueden plantear las siguientes hipótesis:

H0 : µ = 5,5 H1 : µ > 5,5

Debe tenerse en cuenta que el no rechazo de la Hipótesis Nulano supone ninguna garantía de la certeza de ésta, sino la falta deevidencia en la muestra en contra de su veracidad

Planteamiento de una hipótesisSegún la estructura de las hipótesis se distinguen dos tipos depruebas:

Pruebas bilaterales: En ellos se propone un valor puntual para elparámetro bajo estudio, de forma que se rechazará bien porque laevidencia muestral lleve a decidir que el valor es mayor o menor alpropuesto.

H0 : θ = θ0 H1 : θ 6= θ0

Pruebas unilaterales: En ellos se propone que el valor del parámetrose encuentre por debajo del propuesto o en otros casos, por encimade ese valor.

H0 : θ = θ0 H1 : θ > θ0

H0 : θ = θ0 H1 : θ < θ0

H0 siempre se debe plantear en términos de igualdad, esto debido acomo se realiza la prueba.

Posibilidades en una prueba de hipótesis

La siguiente tabla resume las diferentes decisiones que se pueden tomarcuando se realiza una prueba de hipótesis

Decisión EstadísticaNo rechazar H0 Rechazar H0

Estado H0 es cierta Correcta Error Tipo IReal H0 es falsa Error Tipo II Correcta





En términos de probabilidades:

P (Rechazar H0|H0 cierta) = α(Nivel de significancia)P (No rechazar H0|H0 cierta) = 1− α(Nivel de confianza)P (Rechazar H0|H0 falsa) = 1− β(Potencia de la prueba)

P (No rechazar H0|H0 falsa) = β(probabilidad del error tipo II)





Lo ideal es que α y β sean lo más pequeño posible, sin embargo esto noes posible de manera simultanea (sin aumentar n). Dado que solo se tienecontrol sobre el error tipo I, una solución es plantear las hipótesis de talforma que el error tipo I sea más grave que el error tipo II, y garantizarque α sea pequeño (entre 0.1 y 0.01).

Planteamiento de las hipótesisSi se considera que la emisión de CO de cierto tipo de motocicletas nodebe superar a 5.5g/Km. La entidad ambiental responsable selecciona unamuestra de motocicletas para efectuar las pruebas correspondientes. Si elsistema de hipótesis que se plantea es:

H0 : µ = 5,5 H1 : µ > 5,5

¿Que implica cada error?

• Error tipo I: Rechazar µ = 5,5 cuando realmente µ ≤ 5,5, esto es,las motocicletas que están emitiendo una cantidad permitida de COno pasan la prueba y no pueden ser importadas (perdidaeconómica).

• Error tipo II: No rechazar µ = 5,5 cuando realmente µ ≥ 5,5, estoimplica que las motocicletas que emiten gran cantidad de CO pasanla prueba y pueden ser importadas (contaminación ambiental).

Estadístico de prueba

Hipótesis sobre µ:Sea x1, . . . , xn una muestra aleatoria de una población normal conmedia desconocida y varianza σ2 conocida. Si se tiene que H0 : µ =µ0 Entonces el estadístico de prueba queda definido como:

zc =x̄− µ0

σ/√n∼ Normal(0, 1)

En caso que se desconozca la varianza y tenga que ser estimada:

tc =x̄− µ0

S/√n∼ t(n−1)

Estadístico de prueba

Hipótesis sobre σ2:Sea x1, . . . , xn una muestra aleatoria de una población normal conmedia y varianza desconocida. Si se tiene queH0 : σ2 = σ2

0 Entoncesel estadístico de prueba queda definido como:

χ2c =

(n− 1)S2

σ2∼ χ(n−1)

Hipótesis sobre P :En el caso que H0 : P = P0 y el tamaño de muestra seasuficientemente grande:

zc =p̂− p0√p0(1−p0)

n

∼ Normal(0, 1)

Región de rechazo

Un concepto importante en una prueba de hipótesis es la regiónde rechazo asociada a una regla de decisión, y se define como elconjunto conformado por todos lo valores de la estadística pruebaque conducen a la decisión de rechazar H0. Según el tipo de hipótesisque se tenga, el estadístico de prueba y en nivel de significancia, sepuede obtener una región de rechazo.

Para el ejemplo del nivel de contaminación por CO se plantea lasiguiente hipótesis:

H0 : µ = 5,5 H1 : µ < 5,5

Si luego de tomar una muestra se observa que luego de tomar unamuestra de 20 motocicletas se encuentra que x̄ = 5,3, ¿podemosdeterminar que las motocicletas cumplen con la reglamentaciónambiental? ¿y si encuentra que x̄ = 3 ?

Región de rechazo

Si H0 : µ = µ0 H1 : µ < µ0 entonces z = x̄−µσ/√n∼ N(0, 1).

z

0Zα

Región de rechazo Región de no rechazo

zα, llamado valor crítico,es el punto de divisiónentre la región en que serechaza H0 y la regióndonde no se rechaza(P (z < zα) = α)

Región de rechazo

Si H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 entonces z = x̄−µσ/√n∼ N(0, 1).

z

0 Z1−α

Región de rechazoRegión de no rechazoz1−α es el valor crítico(P (z > z1−α) = α)

Región de rechazo

Si H0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 entonces z = x̄−µσ/√n∼ N(0, 1).

z

0Zα 2 Z1−α 2

Región de rechazoRegión de rechazo Región de no rechazo

los valores zα/2 y z1−α/2son los valores críticos(P (z < zα/2 o P (z >z1−α/2) = α)

EjemploUn científico está probando el efecto de una droga en el tiempo de respuestapara 100 ratas inyectadas con una unidad de dosis de la droga, luego cadauna de las ratas es estimulada y se registra el tiempo de respuesta. Elcientífico sabe que el tiempo de respuesta medio para las ratas, sin serinyectadas, es de 1.2 segundos. El tiempo de respuesta promedio para lasratas inyectadas fue de 1.05. Si se sabe que la desviación estándar es de0.5 segundos. Hay evidencia suficiente para determinar que la droga tuvoun efecto en el tiempo de respuesta?

H0 : µ = 1,2 La droga no tuvo efecto

H1 : µ 6= 1,2 La droga tuvo efecto

Estadístico de prueba:

zc =x̄− µσ/√n

Regla de decisión:

Rechazo H0 si zc < zα/2 o zc > z1−α/2

EjemploUn científico está probando el efecto de una droga en el tiempo de respuestapara 50 ratas inyectadas con una unidad de dosis de la droga, luego cadauna de las ratas es estimulada y se registra el tiempo de respuesta. Elcientífico sabe que el tiempo de respuesta medio para las ratas, sin serinyectadas, es de 1.2 segundos. El tiempo de respuesta promedio para lasratas inyectadas fue de 1.05. Si se sabe que la desviación estándar es de0.5 segundos. Hay evidencia suficiente para determinar que la droga tuvoun efecto en el tiempo de respuesta?

H0 : µ = 1,2 H1 : µ 6= 1,2


zc =1,05− 1,2

0,5/√

50= −2,12

Regla de decisión (con un α = 0,05):

Dado que |zc| = −2,12 < zα/2 = −1,96 Se rechaza H0. Con un nivel deconfianza del 95%, hay evidencia suficiente para determinar que la media

de las ratas inyectadas es diferente de 1.2 segundos.

Ejemplo

De acuerdo a la afirmación de un fabricante de una marca decigarrillos, el contenido medio de nicotina de cada cigarrillo es iguala 3.5mg. Un organismo de control está interesado en determinar si elcontenido de nicotina de esos cigarrillos no excede lo que el fabricanteafirma. De acuerdo a esto, ¿Cuál debería ser el sistema de hipótesis?

H0 = 3,5 H1 > 3,5

para esto toma una muestra de 15 cigarrillos y encuentra lossiguientes resultados:

x̄ = 4,2mg S = 1,4mg

De acuerdo con estos resultados muestrales, ¿Está de acuerdo conla afirmación del fabricante?

Ejemplo

De acuerdo a la afirmación de un fabricante de una marca decigarrillos, el contenido medio de nicotina de sus cigarrillos es igual a3.5mg. Un organismo de control está interesado en determinar si elcontenido de nicotina de esos cigarrillos no excede lo que el fabricanteafirma. De acuerdo a esto, ¿Cuál debería ser el sistema de hipótesis?

H0 = 3,5 H1 > 3,5

tc =4,2− 3,5

1,4/√

15= 1,936

Dado que 1,936 > t0,95,14 = 1,76, se puede concluir que, con un nivelde significancia del 5%, hay evidencia suficiente para determinar queel contenido medio de nicotina de los cigarrillos es superior a 3.5mg.

valor p

Una forma de informar los resultados es mediante α y la decisióntomada sobre H0 (rechazo o no rechazo). Si α es pequeño la decisiónde rechazar H0 es muy convinciente, pero si α es grande le restafuerza a la prueba si la decisión adoptada es la de rechazar H0. Porotro lado, para α muy pequeño, el hecho de no rechazar H0 no seinterpretará como un apoyo indiscutible a esta hipótesis.

Una forma alternativa de presentar resultados es por medio delvalor p, definido como el mayor de los valores α para los cuálesse rechazaría la hipótesis nula si ésta se contrasta a nivel α. Estevalor depende de los datos muestrales.

A partir del valor p se puede tomar la decisión de rechazar H0 si estevalor es pequeño.

valor p

Probabilidad, calculada suponiendo que H0 sea cierta, de que elresultado tomó un valor al menos tan extremo como el observado.

t

0 tc

Para el ejemplo delcontenido de cigarrillo:

P (x̄ > 4,2|µ = 3,5)

P (t > tc)

valor p

En el ejemplo de la respuesta de las ratas donde las hipótesis son:

H0 : µ = 1,2 H1 : µ 6= 1,2

y se encontró que x̄ = 1,05 y σ = 0,05. zc = −2,12

¿Como se determina el valor p?

P (z > 2,12 o z < −2,12) = 2P (z < −2,12)

2P (z < −2,12) = 0,033 = Valor p

Si el valor p es menor o igual que el nivel de significancia, entoncesse rechaza la hipótesis nula. Si por el contrario es mayor que el nivelde significancia, la hipótesis nula no se rechaza

Prueba de hipótesis para la varianzaSi H0 : σ2 = σ2

0 H1 : σ2 < σ20 entonces

χ2 =(n− 1)S2

σ20

∼ χ2(n−1)

χ2

χα2

Rechazo No rechazo Rechazo si χ2c < χ2

(n−1,α)


0 H1 : σ2 > σ20 entonces

χ2 =(n− 1)S2

σ20

∼ χ2(n−1)

χ2

χ1−α2

No Rechazo RechazoRechazo siχ2c > χ2

(n−1,1−α)


0 H1 : σ2 6= σ20 entonces

χ2 =(n− 1)S2

σ20

∼ χ2(n−1)

χ2

χ1−α 22χα 2

2

No Rechazo RechazoRechazo

Rechazo siχ2c < χ2

(n−1,α/2) oχ2c > χ2

(n−1,1−α/2)

Ejemplo

Una maquina de llenado de botellas debe estar programada para efectuarun llenado con una desviación estándar no superior a 5ml. Para probarque esto se está cumpliendo eso se extrajeron aleatoriamente 20 botellasde llenado y se encontró que S = 6,2. Se supone que los datos estánnormalmente distribuidos. Si se desea evaluar la calidad de la máquina dellenado, ¿cuál debería ser el sistema de hipótesis a probar?

H0 : σ2 = 25 H1 : σ2 ≥ 25


χ2c =

(n− 1)S2

σ20

Regla de decisión:

Rechazo H0 si χ2c < χ2

1−α

Prueba de hipótesis para una proporciónSi H0 : P = P0 H1 : P < P0 Si n es grande, entonces

z =P − P0√P0(1−P0)

n

∼ N(0, 1)

.

z

0Zα

Región de rechazo Región de no rechazo Rechazo si z < zα

Prueba de hipótesis para una proporciónSi H0 : P = P0 H1 : P > P0 Si n es grande, entonces

z =P − P0√P0(1−P0)

n

∼ N(0, 1)

.

z

0 Z1−α

Región de rechazoRegión de no rechazo Rechazo si z > z1−α

Prueba de hipótesis para una proporciónSi H0 : P = P0 H1 : P 6= P0 Si n es grande, entonces

z =P − P0√P0(1−P0)

n

∼ N(0, 1)

.

z

0Zα 2 Z1−α 2

Región de rechazoRegión de rechazo Región de no rechazoRechazo si

z < zα/2 o z > z1−α/2

Ejemplo

El gerente de una empresa de producción asegura que su proceso generauna proporción de unidades defectuosas de máximo 5%, al tomar unamuestra de su producto se obtiene que de 200 unidades revisadas, un totalde 15 unidades fueron defectuosas. Realizar una prueba de hipótesis del90% ¿Los datos corroboran la afirmación del productor?

H0 : P = 0,05 H1 : P ≥ 0,05


zc =p− P0√P0(1−P0)

n

Regla de decisión:

Rechazo H0 si zc > z1−α

Ejercicio

Una central lechera compra leche a varios proveedores. La centra sospechaque algunos ganaderos añaden agua a la leche para aumentar susbeneficios. El exceso de agua se puede detectar midiendo el punto decongelación de la leche. La temperatura de congelación de la leche naturalvaria normalmente, con una media de -0.545◦C y una desviación estándarde 0.008◦C. La adicción de agua aumenta la temperatura de congelacióny la acerca a 0◦C (punto de congelación del agua).

El director del laboratorio de la central lechera determina la temperaturade congelación de 15 lotes consecutivos de leche procedentes de un mismoproveedor y encuentra que x̄ = −0,538oC.

¿hay evidencia de que el proveedor está añadiendo agua a la leche?

Ejercicio

Una compañía de seguros asegura que el 90% de sus reclamos son resueltosen menos de 30 días. Un grupo de clientes duda de esa afirmación y paraprobarla toman una muestra aleatoria de 75 reclamos hechos a la compañía.El grupo encontró que 55 de los reclamos fue resuelto en menos de 30 días.

¿El grupo de clientes tiene evidencia suficiente para determinar que lodicho por la compañía es falso?

Bibliografía

Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería yciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.

Gutierrez, A. and Zhang, H. (2010). Teoría Estadística: Aplicacionesy Métodos. Universidad Santo Tomás, Bogotá,Colombia, vol. 1edition.

Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadísticaaplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.

Moore, D. S. (2005). Estadística aplicada básica. Antoni BoschEditor, Barcelona, España, vol. 2 edition.

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