MATEMATIKA III

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

http://polmansem3.esy.es/

1. Orde Duaa. Bentuk Umum:y’’+ p (x)y’ + q (x) y = r(x) …………….. (1)Dimana p, q, r merupakan sebarang fungsi dari xJika r(x) = o , maka persamaan (1) menjadiy” + p(x) y’ + q(x) y = 0 ……………...(2)Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen orde dua.Jika p(x), q(x) merupakan konstanta dan r(x) =0 maka persamaan (1) dapat ditulis:

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

y” + p y’ + q (y) = 0Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen orde dua dengan koefisien konstan.b. Cara MenyelesaikanUntuk menyelesaikan persamaan linier homogen orde dua dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan karakteristik (persamaan bantu) . Terdapat tiga (3) kasus terhadap nilai persamaan bantu yang aka dicariUntuk persamaan y” + p y’ + q y = 0 dan persamaan bantu r2 + p.r + q = 0

Kasus I :Jika r1 dan r2 merupakan dua akar ril yang berbeda maka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e r1x + C2 e r

2x

Kasus II:Jika persamaan bantu mempunyai akar tunggal berulang maka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e r1

x + C2 x.e r2

x

Kasus III :Jika persamaan bantu mempunyai akar kompleks saling konjugat α ± βimaka penyelesaian umumnya adalah :

y = C1 e α x cos βx + C2 e α x sin βxContoh:Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial berikut:

1.y” + 8 y’ + 15 y = 02.y” + 10 y’ + 25 y = 03.y” - 2y’ + 6 y = 0

Jawab:1.y” + 8 y’ + 15 y = 0persamaan bantu : r2 + 8r + 15 = 0(r+5) (r+3) = 0r1 = -5 v r2 = -3

Penyelesaian umum:Y = C1 e-5x + C2 e-3x

Jawab:2. y” + 10 y’ + 25 y = 0persamaan bantu : r2 + 10r + 25 = 0(r+5) (r+5) = 0r1 = -5 v r2 = -5

Penyelesaian umum:

Y = C1 e-5x + C2 x.e-5x

y” - 2y’ + 6 y = 0Persamaan bantu:r2 – 2r + 6 = 0

Penyelesaian umum:

xeCxeCy xx .5sin.5cos 21

5:1

51

2522

22442

2,1

2,1

ir

r

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN

Bentuk Umum:

Y (n) + a1 Y (n-1) + a2 Y(n-2)+ … + a(n-1)Y1 + an Y = k(x)

Langkah penyelesaian:

1.Tentukan penyelesaian umum homogen

Yh = C1 U1(x) + C2 U2(x) + … + Cn Un (x)

2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Yp terhadap persamaan tak homogen tersebut.

3.Tambahkan penyelesaian 1 dan 2, lalu nyatakan hasilnya.

Penyelesaian umum: Y = Yh + Yp

b. Metoda koefisien tak tentu.Perhatikan persamaan berikut:

Bentuk Umum : Y” + a1 Y’ + a2 Y = k(x) ……………(1)

Beberapa aturan untuk menentukan Yp

1.Aturan Dasar Jika k(x) dalam persamaan (1) merupakan salah satu fungsi yang terdapat pada kolom pertama pada tabel dibawah, pilih fungsi Yp yang bersesuaian dari kolom kedua dan tentukan koefisien tak tentunya dengan cara subsitusi Yp dan turunannya kedalam persamaan (1)

2. Aturan Modifikasi Jika k(x) merupakan penyelesaian persamaan homogen dari persamaan (1) maka kalikan Yp yang kita pilih dengan x (atau dengan x2, jika penyelesaian ini diperuntukkan bagi akar lipat dua persamaan bantu dari persamaan homogen.

3. Aturan PenjumlahanJika k(x) merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang berasal dari beberapa baris dalam kolom pertama pada tabel dibawah, maka pililah Yp yang berupa penjumlahan fungsi-fungsi dari baris yang bersesuaian pada kolom kedua.

Bentuk pada k(x) Pilihan Untuk Ypanxm + ….. + a1x + a0 An.xm + ….. + A1x + A0

a.emx Aemx

acosβx + b sin βx Acosβx + B sin βx

Contoh:Selesaikanlah persamaan diferensial tak homogen berikut:

1.y” + 4 y = 8 x2

2.y” + y = 2 e3x

3.y” -3y’ + 2y = 10 ex

4.y” + 3 y = cos 2x5.y” + 2 y’ + 5y = 16ex + sin 2x

1. y” + 4 y = 8 x2 ………… (1)

PDL Homogen

Persamaan bantu : r2 + 4 = 0 r1,2 = ± 2i

y” + 4 y =0

Penyelesaian umum homogenYh = C1 cos 2x + C2 sin 2x

Fungsi percobaan: y = Ax2 + Bx + C y’ = 2 Ax + B y” = 2A

Subsitusi ke persamaan (1) diperoleh:2A + 4(Ax2 + Bx + C) = 8 x2

2A + 4 Ax2 + 4 Bx + 4C = 8x2

4A = 8 A = 24B = 0 B = 02A + 4C = 0 4 + 4C = 0 C = -1

Penyelesaian khususYp = 2x2 – 1Penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 2x2 -1

2. y” + y = 2 e3x …………….. (1)PDL Homogen y” + y = 0Persamaan bantu: r2 + 1 = 0 r2 = -1 r1,2 = ± i

Penyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin x

Fungsi Percobaan:Y = A e3x

Y’= 3A e3x

Y” = 9 A e3x …………….(2)

Subsitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh:9 Ae3x + A e3x = 2 e3x

10 A e3x = 2e3x 10 A = 2 A = 1/5Penyelesaian khususYp = 1/5 e3x

Penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 cos x + C2 sin x + 1/5 e3x

3. y” – 3 y’ + 2y = 10 ex

PDL Homogen: y” – 3 y’ + 2y = 0Persamaan bantu : r2 – 3r + 2 = 0 (r-1)(r-2) = 0 r1 = 1 v r2 = 2Penyelesaian umum homogenYh = C1 ex + C2 e2x Fungsi percobaan:Karena k(x) = 10 ex, dan koefisien pangkat dari eksponen adalah 1 dan sama dengan salah satu akar dari persamaan bantu, maka bentuk fungsi percobaan adalah: Y = Ax.ex

Dari : Y = Ax.ex Y’ = A(xex + ex)Y” = A(xex + 2ex) ………………………. (2)Subsitusi persamaan (2) ke (1)A(xex + 2ex) -3A(xex + ex) + 2Axex = 10 ex

Axex + 2Aex -3Axex -3A ex + 2Axex = 10 ex

- Aex = 10 ex A = -10Penyelesaian khususYp = -10x.ex

Penyelesaian umumY = Yh + Yp Y = C1 ex + C2 e2x -10xex

4. y” + 3y = cos 2x ....…. (1)PDL Homogen: y” + 3 y = 0Persamaan bantu : r2 + 3 = 0

r1,2 = ± iPenyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin xFungsi Percobaan:Y= A cos 2x + B sin 2xY’ = -2A sin 2x + 2B cos2xY” = -4A cos 2x – 4B sin 2x …….. (2)

3

33

Subsitusi persamaan (2) ke (1)-4A cos 2x – 4Bsin2x+3(Acos2x+Bsin2x) = cos2x-4A cos 2x – 4Bsin2x+3Acos2x+3Bsin2x) = cos2x- A = 1 A = -1- B sin 2x = 0 B = 0Penyelesaian khususYp = - cos 2xPenyelesaian umumY = Yh + YpY = Yh = C1 cos x + C2 sin x - cos 2x

3 3

5. Y” + 2 Y’ + 5Y = 16 ex + sin 2x ……….. (1) PDL Homogen : Y” + 2 Y’ + 5Y = 0Persamaan Bantu : r2 + 2r + 5 = 0

ir 212

20422,1

Penyelesaian Umum HomogenYh = C1 e-x cos 2x + C2 e-x sin 2x

Fungsi Percobaan :Y = Aex + B cos 2x + C sin 2xY’ = A ex – 2 B sin 2x + 2C cos 2xY” = Aex – 4B cos x - 4C sin 2x …….. (2)

Subsitusi persamaan (2) ke (1)Aex – 4B cos 2x – 4C sin 2x + 2(Aex-2B sin 2x + 2C cos 2x) + 5(Aex + B cos 2x + C sin 2x) = 16 ex + sin 2x8Aex + (B + 4C) cos 2x + (C-4B) sin 2x = 16 ex + sin 2x8A = 16 A = 2

B + 4c = 0 x1 B + 4C = 0 -4B + C = 1 x4 -16 B + 4C = 4 -

17 B = - 4 B = -4/17 C= 1/17

Penyelesaian khususYp = 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x

Penyelesaian umumY= Yh + YpY = C1 e-x cos 2x + C2 e-x sin 2x + 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x

TERIMA KASIHSelamat Belajar