ptt digital [modo de compatibilidad]

UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Taules de veritat

Circuits lògics

Cristina Rodon Balmaña

Departament de Tecnologia

1/29



Circuits lògics

Sistemes analògics�Els sistemes analògics són els que treballen amb senyals continus o alterns: la informació pot adquirir infinits valors�Exemple: Corrent Continu i altern

Fenòmens i les magnituds físiques: la temperatura, la pressió, la velocitat, la massa, el pes, el temps, el soroll, etc.

Ona sinusoïdal d’un senyal analògic

Sistemes digitals

Sistemes digitals



2/29

Representació d’un senyal binari

Definim senyal binari com una variable que només pot tenir, dos valors, que corresponen a dos estats distints i exclusius.

�Els sistemes digitals són els que treballen amb senyals discontinus o digitals: treballen en dos estats o nivells, els senyals binaris.

�També s’anomenen circuits lògics: la resolució i el plantejament d’accions s’efectua mitjançant respostes lògiques, del tipus sí o no�Exemples: la llum està encesa (sí) o apagada (no); el motor està aturat (sí) o en marxa (no).

Sistemes digitals



Circuits lògics

Introducció a l’àlgebra de Boole Per facilitar el tractament de les variables binàries, cada un dels estats es representa amb els símbols 1 i 0 respectivament, anomenats 1 lògic i 0 lògic.

0 i 1 no representen quantitats, sinó els estats de la variable V, és a dir: 0 = V1 i 1 = V2.

Àlgebra de Boole



3/29

Quan l’interruptor està obert es considera en estat 0; quan l’interruptor està tancat, en estat 1. Per tant podem considerar el seus estats com una variable binària. Video

dos estats: V1 i V2

V1 = 0 V i V2 = 10 V.



Circuits lògics

El sistema decimal

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats per representar quantitats o dades numèriques.

Àlgebra de Boole

�El sistema decimal és de base 10, de manera que utilitza deu símbolsanomenats xifres o dígits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) .

�És un sistema de numeració posicional, és a dir, que el valor de cada dígitdepèn de la seva posició relativa dins de la quantitat a la qual pertany: unitats,desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers...



4/29

Àbac xinès que permet fer operacions aritmètiques com una calculadora digital.

desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers...

�Un número es representa en funció de les potències de la base, d’acord ambla posició que ocupen els seus dígits respectius.

�Exemple: una quantitat com 3056 es pot expressar de la manera següent:3056 = 3 X103 + 0 x102 + 5 x 101 + 6 x 100

ja que: 3 x 103 = 3 x 1000 =30000 x 102 = 0 x 100 = 05 x 101 = 5 x 10 = 506 x 100 = 6 x 1 = 6

Total 3056



Circuits lògics

El sistema binari: el bit

El sistema binari és un sistema de numeració de base 2; per tant, utilitza dos dígits, 0 i 1, anomenats bits.

El bit, de l’expressió anglesa binary digit, és la unitat d’informació bàsica.

�Abans hem vist que en els circuits elèctrics podem aconseguir variables binàriesamb un interruptor (també ho podem fer amb polsadors, commutadors o relés), jaque són elements que només tenen dos estats: obert o tancat.

Decimal Binari

0 0

1 1

Àlgebra de Boole



5/29

�En els circuits electrònics s’aconsegueixen utilitzant díodes en polarització directa(tancat) o inversa (obert), o amb transistors en mode no lineal o en commutació, onsi està a tall (OFF) i si està saturat (ON).

�És fàcil entendre que realitzar circuits elèctrics o electrònics decimals querequereixen deu estats diferents és molt més difícil.

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

�L’ordinador transforma qualsevol dada o instrucció en uns i zeros (procés decodificació), fa el tractament de la informació i després presenta els resultats en unllenguatge comprensible per a nosaltres (procés de descodificació), ja siguialfabètic, numèric o gràfic.



Circuits lògics

Conversió binària decimal

Per convertir un número del sistema binari al decimal, es multiplica cada bit pel pes que té associat, i se sumen els resultats parcials, tal com es mostra en l’exemple següent:

1 1 0 0 1 (21 x 20 = 1 x 1 = 10 x 21 = 0 x 2 = 0

Àlgebra de Boole



6/29

0 x 2 = 0 x 2 = 00 x 22 = 0 x 4 = 01 x 23 = 1 x 8 = 81 x 24 = 1 x 16 = 16Total 25 (10

11001(2 = 25 (10



Circuits lògics

Conversió decimal binària

Per convertir un número decimal en binari es divideix el decimal entre 2, el resultat es torna a dividir entre 2, i així successivament. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i totes les restes de les divisions en ordre invers, tal com es mostra en l’exemple següent:

25 205 12 2 1 0 6 2

Àlgebra de Boole



7/29

1 0 6 20 3 2

1 11 1 0 0 1

25 (10 = 11001(2



Circuits lògics

Operacions aritmètiques amb el sistema binari

La suma i la resta en el sistema binari es fan de la mateixa manera que amb el sistema decimal, però fent servir només els dígits 0 i 1.

ExempleExemples d’operacions binàries

En la suma binàriatenim 4 casos:0 + 0 = 0

Suma

1 0 0 1 0 0 1 (2 73 (10

1 1 1 1 ® (ròssec)

1 1 1 0 1 1 (2 59 (10

Àlgebra de Boole



8/29

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 ® (com 9 + 1 = 10)I en la resta també:0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 - 1 = 1 ® i en portem 1(préstec)

1 0 0 1 0 0 1 (2 73 (10+ 1 1 0 0 0 0 (2 + 48 (101 1 1 1 0 0 1 (2 121 (10

1 1 1 0 1 1 (2 59 (10+ 1 1 0 0 1 (2 + 25 (101 0 1 0 1 0 0 (2 84 (10

Resta

1 1 0 0 1 1 (2 51 (10– 1 0 0 0 1 (2 – 17 (101 0 0 0 1 0 (2 34 (10

1 1 0 1 0 (2 26 (10–1 1 0 1 (2 – 13 (101 1 1 ® (préstec)

0 1 1 0 1 (2 13 (10



Circuits lògics

Operacions lògiques: l’àlgebra de Boole

Les operacions amb variables binàries s’anomenen operacions lògiques i les fonamentals són la suma lògica, el producte lògic i la inversió o negació.

Per tant, l’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer operacions lògiques amb les variables binàries.

L’àlgebra de Boole o àlgebra lògica és mèrit del matemàtic anglès George Boole, que durant el

Àlgebra de Boole



9/29

L’àlgebra de Boole o àlgebra lògica és mèrit del matemàtic anglès George Boole, que durant el segle XIX va estudiar les lleis del pensament i va establir la teoria matemàtica sobre la lògica de les probabilitats, teoria en què es fonamenta l’electrònica digital.



Circuits lògics

Operacions lògiques: lleis de l’àlgebra de BooleEn aquest apartat estudiarem les tres operacions lògiques i els seus postulats.

La suma La suma lògica es representa amb el símbol + de la manera següent:

Els seus postulats bàsics són els següents:1. Una variable a la qual se suma 0 dóna com a resultat ella mateixa:

S a b= +

0a a+ =

Àlgebra de Boole



10/29

2. Una variable a la qual se suma 1 dóna com a resultat 1:

3. Una variable sumada a ella mateixa dóna la mateixa variable:

4. Una variable sumada a la seva inversa dóna com a resultat 1:

En conseqüència si a=0:0 + 0 = 0 1 + 0 = 10 + 1 = 1 1 + 1 = 1

1 1a + =

a a a+ =

1a a+ =



Circuits lògics

El producteEl producte lògic es representa amb el símbol · (i també amb l’absència de símbol entre dos variables) de la manera següent: S= a·b o S=ab. Els postulats bàsics del producte són els següents:

1. Una variable multiplicada per 0 dóna com a resultat 0:

2. Una variable multiplicada per + dóna com a resultat ella mateixa:

0 0a ⋅ =

· 1a a=

Àlgebra de Boole



11/29

3. Una variable multiplicada per ella mateixa dóna com a resultat la mateixa variable:

4. Una variable multiplicada per la seva inversa dóna com a resultat 0:

En conseqüència si a=0:

0 · 0 = 0 1 · 0 = 00 · 1 = 0 1 · 1 = 1

· 1a a=

·a a a=

0· =aa



Circuits lògics

La inversió o negacióLa inversió lògica es representa amb el símbol – sobre la variable, de la manera següent:

El seu postulat bàsic és que una variable negada i tornada a negar dóna com a resultat la variable inicial:

S a=

aa =

Àlgebra de Boole



12/29

En conseqüència:

aa =

0 1= 1 0=



Circuits lògics

Propietats de l’àlgebra de Boole

Commutativa Associativa

Suma Producte Suma Producte

a+ b = b + a a · b = b · a a + b + c = (a + b ) + c a · b · c = ( a · b ) · c

Si combinem les operacions de suma i producte es compleix la propietat

Àlgebra de Boole



13/29

Distributiva

suma producte

a +(b · c ) = (a + b ) · (a + c ) a · (b + c ) = a b + a c



Circuits lògics

Teoremes De MorganEls teoremes de De Morgan o llei de l’equivalència, són uns dels més importants de l’àlgebra de Boole. Els seus enunciats són els següents:

L Primer teorema: la negació de la suma lògica és igual al producte lògic de les variables negades:

L Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les

baba ·=+

Àlgebra de Boole



14/29

L Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les variables negades: a b a b⋅ = +



Circuits lògics

Funcions i portes lògiques. Taules de veritat

La funció lògica d’una variable binària és també una variable binària.

De manera que si a= variable binària d’entrada o senyal d’entrada, i

S = variable binària de sortida o senyal de sortida

Funcions i portes lògiques Taules de veritat



15/29

En general, els senyals d’entrada es representen amb lletres minúscules (a, b, c…) i els de sortida amb majúscules (F, S, X…).

podem escriure: ,

i es llegeix: el senyal de sortida S és funció del senyal d’entrada , o

simplement, S és funció d’a.

( )S f a=



Circuits lògics

Taules de veritat

�Una funció lògica també es pot representar per la taula de

veritat, a partir de la qual i d’una manera molt senzilla s’analitzen

tots els estats possibles de les variables d’entrada i de l’estat de

la variable de sortida.

�El nombre de combinacions possibles és de 2n, essent n el

a b F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b c F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0Taula de veritat de




16/29

�El nombre de combinacions possibles és de 2n, essent n el

nombre de variables d’entrada.

�Exemple: si funció té dues variables d’entrada, seran 22 = 4

si hi ha tres variables d’entrada, el nombre de

combinacions és de 23 = 8

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

veritat de dues variables d’entrada

Taula de veritat de tres variables d’entrada

S a b= +

S= a+b+c



Circuits lògics

Forma canònica d’una funció lògica

�A partir de qualsevol taula de veritat podem obtenir l’equació d’una funció booleana anomenades

CANÒNIQUES.

�La forma CANÒNICA vol dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.

�Exemple: F: a.b+a.b+ab

� MINTERNS : tots els termes són canònics i estan sumats entre ells.

Cada terme està multiplicat entre ells.

Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes de sortida dels

quals valgui 1. Perquè les diferents sortides valguin 1 és necessari que

a b c F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0


Dos tipus de



17/29

totes les variables que intervinguin en el producte siguin 1, per tant

haurem de negar aquelles que valguin 0.

F= a . b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c

MAXTERNS: tots els termes són canònics i estan multiplicats entre

ells. Les variables que componen cada terme estan sumades entre elles.

Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes que donin a la

funció el valor 0. Les variables hauran de ser negades quan el valor

lògic sigui 1.

F= (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .( a + b + c)

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Taula de veritat de tres variables d’entrada

Dos tipus de

CANÒNIQUES



Circuits lògics

Mètodes de simplificació d’una funció lògica

�Simplificar una funció lògica es trobar-ne una altre equivalent amb la qual hi hagi el nombre menor

de termes amb el nombre menor de variables possibles.

Aplicació de les LLEIS BOOLEANES: es basa en l’aplicació de tot el

conjunt de propietats postulats i teoremes de àlgebra de Boole. Té

dificultats en la seva aplicació ja que no existeix cap regla específica i per

tan cal un extraordinari domini d’aquests coneixements.


Dos tipus de



18/29

tan cal un extraordinari domini d’aquests coneixements.

Mètodes tabulars: MAPES KARNAUGH (funcions 5 variables màxim).

N'existeixen d’altres, ex. Taules Quine McCluskey

Dos tipus de

SIMPLIFICACIÓ



Circuits lògics

Mètode Karnaugh

� Qualsevol funció que s’hagi de simplificar mitjançant aquest mètode tabular haurà d’estar en forma CANÒNICA vol

dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.

� Segons el nombre de variables (2n) hi haurà diferents mapes, tal com es mostra a continuació:

a b c F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1


00 101101

0

1

abc

00 101101

01

11

10

00

cdab



19/29

� Exemple:

1. Una vegada dibuixat el mapa de Karnaugh s’ha d'omplir: El procediment consisteix n posar un 1

en el quadre corresponent a les combinacions d’entrada de la forma canònica que donin 1.

2. Una vegada completat el mapa hem de fer agrupacions. Al ser dins el sistema binari questes només

podran ser de 2n quadrícules (1, 2, 4, 8,...) i sempre hauran de ser el més gran possible.

En el nostre cas podem fer 2 agrupacions de 2 variables en cadascuna

3. En cada agrupació mirem els valors de les variables d’entrada:

a) Si el valor de la variable és el mateix en tota l’agrupació, aquesta formarà part de l’expressió simplificada,

sent negada si el valor és 0 i sense negar si és 1.

b) Si el valor d’una variable d’entrada varia dins de l’agrupació l’eliminarem, ja que la sortida no depèn del

valor d’aquesta variable.

En el nostre cas F= b .c + a. c

1 1 1 1

F= a . b. c + a. b. c + a. b. c

1 1 1

bca

00 101101

0

1

1 1 1

0

1

abc

00 101101



Circuits lògics

Funcions i portes lògiquesEls sistemes digitals per dur a terme la seva tasca fan servir les funcions lògiques, i per obtenir una funció lògica es necessiten uns dispositius que són els encarregats de processar o tractar els senyals binaris d’entrada amb operacions lògiques per generar el corresponent senyal de sortida.

Els dispositius que efectuen directament les diferents funcions o operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.




20/29

Diagrama de blocs d’una funció lògica

Es pot simular el funcionament d’una porta lògica amb un circuit elèctric anomenat circuit elèctric equivalent.



Circuits lògics

Funció NO

Amb el circuit lògic que realitza la funció NO (també anomenada

inversió, negació o complement) s’obté a la sortida l’estat invers de la

variable d’entrada. Es representa amb el símbol – damunt de la variable.

Així:0 1a a= = 1 0a a= =




21/29

Si i si

És una funció lògica d’una sola variable d’entrada i té l’expressió lògica,

que es llegeix: F igual a no a . El dispositiu que du a terme aquesta

funció és la porta NO (NOT) o porta inversora.

La funció NO dóna com a sortida l’estat invers de l’entrada.

F a=

Esquema elèctric equivalent



Circuits lògics

Funció O (OR)La funció O o suma lògica té dues o més variables d’entrada i es representa amb el símbol +. Una funció de dues variables d’entrada té l’expressió lògica , i es llegeix: S és igual a més b. El dispositiu que du a terme la suma lògica és la porta O (OR).La funció O dóna 1 a la sortida quan almenys una de les variables d’entrada val 1.

S a b= +

a b S

0 0 0




22/29

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1




Circuits lògics

Funció I (AND)La funció I o producte és una funció de dues o més variables d’entrada ies representa amb el símbol ·. Una funció I de dues entrades tél’expressió lògica i es llegeix: P és igual a per b. Elcomponent que du a terme el producte lògic és la porta I (AND).La funció I dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 1.

·P a b=

a b S

0 0 0




23/29

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1




Circuits lògics

Funció NO-O (NOR)És la negació de la suma lògica o funció O. Primer realitza la suma lògica i després la nega. Una funció NO-O de dues variables té l’expressió lògica i es llegeix: S és igual a la negació d’amés b. El component que du a terme la suma lògica negada és la porta NO-O (NOR). La funció NO-O dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 0.

S a b= +




24/29

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0




Circuits lògics

Funció NO-I (NAND)La funció NO-I és la negació del producte lògic o funció I. Primer realitza el producte lògic i després la negació. Una funció NO-I de dues entrades té l’expressió lògica i es llegeix: P és igual a la negació d’a per b. L’operador que du a terme el producte negat és la porta NO-I (NAND).

La funció NO-I dóna 1 a la sortida quan almenys una de les entrades val 0.

·P a b=




25/29

a b P

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0




Circuits lògics

Tecnologia de les portes lògiques

�Els circuits lògics digitals poden estar construïts amb tecnologia elèctrica, pneumàtica o electrònica.

�En els automatismes elèctrics s’implementen les funcions lògiques amb interruptors, polsadors, commutadors,

relés, contactors, etc. De fet, ja hem vist el circuit elèctric equivalent de cada funció lògica.




26/29

�En pneumàtica i oleohidràulica també es fan servir molt les portes lògiques per resoldre circuits automàtics que

han de funcionar amb aquestes tècniques.

�Amb tot, l’electrònica és la tecnologia que fa servir més portes lògiques per elaborar circuits lògics digitals,

sobretot perquè permet fabricar portes de petites dimensions. Normalment, es fabriquen en circuits integrats

formats principalment per transistors. La indústria electrònica fabrica xips que apleguen diverses portes lògiques

(normalment quatre), totes iguals, que són les anomenades portes integrades.



Circuits lògics

Circuits lògics

Esquemes de circuits lògics

�La representació gràfica d’un circuit digital utilitzant els símbols de les portes lògiques

s’anomena logigrama, o simplement esquema del circuit lògic.

�Per obtenir el logigrama d’una funció lògica a partir de la seva expressió booleana només cal

utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol efectuar.

Circuits lògics



27/29

�Per exemple, per representar gràficament la funció

primer es resolen els parèntesis, després els productes i finalment les sumes.

· ( )F a b c= +



Circuits lògics

Obtenció d’una funció lògica a partir d’un logigrama�Per obtenir la funció lògica a partir de l’esquema del circuit e s parteix de les variables

d’entrada i s’escriu a la sortida de cada porta la funció que realitza.

�Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan

connectades, i així successivament fins a arribar al final del circuit, en què obtindrem

l’expressió booleana o equació que defineix la funció lògica del circuit.

Circuits lògics



28/29



Circuits lògics

Obtenció i implementació d’una funció lògica a partir de la taula de veritat

�Quan ja tenim la funció simplificada, només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol fer.

�Exemple: per implementar el circuit de la funció F només necessitarem 2 portes inversores, 1 porta I i una porta O de dues entrades.

a b F

0 0 1

F a b b= +

Circuits lògics



29/29

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

ptt digital [modo de compatibilidad]

Education