H

DISSERTATIO ASTRONOMICAD E

ELEMENTIS ORBITARUM ET MOTUSCORPORUM COELESTIUM

DETERMINANDIS,

v -QUAM,

VENIA AMPL, FACULT. PHILOS. UPSALIENS»

PUBLICE VSNTILANDÅM DEFERUNT

MAG. JONAS J. BRÄNDSTRÖMMATH, ET PHILOSOPHIE NATURALIS ADJUNCTUS

E. O.

ET

HENRICUS FALCKGESTRICHJS

IN AUDIT. GUSTAV. DIE X APRILIS MDCCCXI.

H, A. M. €.

UPS AtliE,

DITTERIS TYPOGRAPHQRUM ACADEMI/g

Stenhammar et Palmsla».

Huldaste FORALDRASj

Miß framtids sållhefc var alltid målet for Ed ra önsknin¬

gar E dr a ©nuorger0 Denna sållhefc år blott möjlig:Igenom förmågan atfc uppfylla de. oms pligtei som åligga

1

i " _

«st-, tacksamt» Soe.

HENRI C FALCK.

DE

ELEMENTIS ORBITARUM ET MOTUS

CORPORUM COELESTIUM

; DETERMINANDIS'.

§. I.

Üsquequo Eulerus, Newtoni gravitationis lege fufful-tus, theoriain motus corporutn coeleftiuin lubfuum rigidum vocare inceperit examen, plunma hucfpeétantia altioris indaginis problemata, feiicisfimus, quemantehae fperabant Geometrse, latuit, Analyleos ope,folvendi aditus. Alii quidem fummi norninis viri cir¬ca eadem argumenta occupatt, quae a Nevvtono haudiatis delibata, vel mrnori lollertia propofita, in liquidumpe^ducere funt conati, Illiös vero inprimis acerrimi de-betnus ingenii fagacitati hanc theoriam, longe ultra li-mites Newtonianos promotam, atque ad id faftigium,quo hucusque fere eminuerit, eveétam Ubi fcilicet New-tonus verborum parcus, & pluj-ima fublimi volvens inge-nio, ut Uli faepenumero moris eft, in ardua qnadamfubftiterit aftronomiae pbyficae quseftione, eamdem e theo-ria gravitatis evolvendam fufcepit Eulerus. Recentioristarnen & noftri aevi Analyftis, praeter alios, Alembertiumloquor, Fnfium, La Grange, fed in primis La Place,immortalitati defervire vifum opere fuo : MechaniqueCeleße, reli&um esfet, in his caftris adeo omnera ex-

plere numerum, ut jam fere nil amplius videatür defi-derandum,

A Usque

Usqae ad initium hujus feculi invaluerafc Dondamquidem fpernendus mos, per fuppofitiones Hypothefei-cas, approximatam unius vel alterius elementi cogni-tionem adquirendi, antequam rigidior fufciperetur eie-mentorum calculus. Ab armis vero retro haud multis,de Problemate orbitam Corporis, absque omni fuppofi-tione Hypothetica, determinandi, inter eruditos omniagi inceptum eft cura, quodque, licet inter plurimostunc temporis de ejus posfibilitate haud fatis conftarefc,fua tarnen difficultate & elegantia Geometras & Ana-lyftas vere magnos aliiciebat folvendum. Hoc adeo,poft multas vigilias, votis fuccesfit, ut jam jam dubitentnulli» tres obfervationes Geocentricas, vel tria loca Geo-centrica, femper fufficere elementis orbitae vel inotusCorporis cujusdam coeleftis determinandis, eo cafu fpe-ciali, numquam forte fe oblaturo > excepto, quandoinclinatio orbitse ad Ecclipticam vel exigua eft, vel ni-tiilo evadit aequalis, ubi Latitudines omnes & Heliocen-äricae & Geocentricae evanefcunt, & haud amplius triaa fe invicem independentia conftituunt data, quo cafuquattuor faltem requiruntur obfervationes, fi problemavolueris determinatum.

Plurima funt in Theoria Motus Corporum proble-mata, quse ad illud folvendum amicam & faerlioremparant väam; Inter ifta haud minimi eft moment!, quo, eduobus radiis vecftoribus magnitudine & pofttione datisTtina cum tempore quo Corpus fpatium intermedium de»fcribit, vel orbitse elemento uno, ipfa determinatur orbi-ta. Neque nos dubitavimus, hoc plus quam fimplicivice meditativ in his partibus quasdam confumere vigi¬lias, licet, in tam gravi negotio, diffiteamur forsfifcanynosr eis qui his deleftantur ftudiis, aliquid polliceri©mnibus numeris novi & abfoluth

§. II.

Loca Corporum Coeleftium in orbifcis fuis, fecun=dum Leges Attradionis defcriptis, apprime determinataconcipies per diftantias re&arum ab aliis, in piano orbi-taa du&is, & in punéto quodamfixo, fub angulo quodamdato, fe invicetn lecantibus. Si fcilicet hae diftantias x &y dicantur, & reliquarum recftarum inter lektionein in ipfoorbitae foco, fub angulo redo fieri ponatur, denotanteinfuper r ipfius loci a foco diftantiaro, vel radium vedo¬rem, e Theoria Curvarum patet asquationem r -f- ax-4- by ~ p, exhibere relationem continuam inter x, y%r. Quocunque praeterea modo, variet fitus redarum perfocum tranfeuntium, dummodo ad angulos redos egu-umfiafc interfedio, darum eft nullo modo mutari valoremsequationis, licet a & b perpetuo novos natrcifcantur va¬löres. iEque evidens eft, ejusmodi dari posfe fitum ubiquantitas b evanefcat & nihilo evadat aequalis, quo po-fito, fcribatur e pro a & aequationis forma erit r -e x= p. Denotare deinde pntetur p femiparametrum, cexcentricitatem , & fit linea in qua interfedio fit, Lineaquae dicitur Apfidum, Orbitae Curva, ad quam hae quantita-tes pertinent, quarumque relatio hac exprimitur aequa*tione, Sedio quaedam Conica, licet diverfae fpeciei, proute nihilo aequalis, unitate minor, unitati aequalis, vel uni«täte major, quorum jam fecundum poninaus cafum.

§. HL

Si jam per v denotetur aftgulus inter lineam Apfi¬dum & Radium Vedorem, qui etiam Anomalia Vera ducitur, habemus ob Triangulum Redangulum ubi Hypothe-

> 4 (

thenufa ~ r, x reprefentafc Cofinum ra v ^ x =2rCofv, quo in sequatione noftra introdu&o valöre, fuborit^ur

Pt =r _ . . Sumendo verö medium arithmeticum

i e Cof vinter valorem minimum & maximum tadii veftoris-, hoceft inter valöres iftos, qui e formula nuperrime dara emer-gunt, quando Cof v r= z, & Cof v zn -— z, obtinetur va»lor illius medius, vel diftantia media, quae etiam femia-

Pxem aequat; hoc modo erit z=z a y & igitqr r =

I ■1 ■ ß

a i — e~

i ■+- e Cof v

Quoniam vero ex Trigonometricis patefc esfe Cof. vsr 2 Cofr\v— i sr i — 2 Sin.--- v, tres alios nancifcimurvalöres, eosdem ac antea,ficet diverfam praebeant formam,

ß. i — &z a i — e2fcilicet: r =r ———, r~ - ^& r.

i - e -f- 2 etoj 2±v t —J— e — zeSinv2|a. ? 9 Cl

. Ubi etiam p (szzkz — e2),i -h eCof a * v ~\-i -e Sin2^v

& melius vifum iueritj numeratoris vice fungi poteft.

§• IV.

Jam radium veftorem per a, e, v, vel p expresfumififtunt. formulae praecedenfes; pro noftro fine vero in-terdum praeftat eum per Anomaliam, quae Excentrica di-

ci-

citur, exhibere. Sit eum m finem z AnomaHa Excentri-ca, & a principiis apud aitronomos fepisfime evolutis,

j/1 -4~ etiovimus esfe: Tang, =: ZZH. Tang. ^ztve\ Tang7~z

yL — ei - e

= -— . Tang*£ v , fi fcilicet a ponatur unitati aequa-/-4- ß

Iis, & Anomaliaa, ut quibusdam moris eft, a Perihelio.Sin2

numerentur. Quum praeterea Tang7 = —, erit exiti-Cof2

i — ß • Sin2 i- v. CoJ2^ zde Cor-l. v =

. , & Sin?±v =i -fr- e, Sin7^z 1

i -fr* £ . Cof7 {v. Sin*- z~

m , per quorum valorum, unius pofti - e. Cof7-Lz

alterum, debltam fubftitutionem, ultimo data formula,duas alias recipit formas; erit eniiii:" 1 11 "

V

a . i -h e Sin* ^ z& r ~

Sin2f- vCof*~z -f- Sin*^ v . Sin2a . i — e. Cof2i z

n r- , n~rCi i TTFT. Ti—> ve^ quoniam Sin*izCof2lv.Cof2±z~i-Cöf*%v.Sm*±z H Tr», a i "+" e-Sin*^z a.i-tCof*l&+ Copl z— i,r = —,&r=

Sm2z v / Cof*~ u

Si horum valorum dimidia addant-ur, bab?vmus etiam®b 2 Sin* ~v zz. i — Cofv, & 2 Cof* £ u = i + Cof v

rss a, fi — e.Cof*%z-f- Sin*£zJr & ultimoV zza.ft— eCofzJ, ob «Sm2~ z — Cofz±z zz — Cof. z, in qnibusniilla3 ingrediuntur quantitates, präster Excentricitatem,anomaliam Excentricam, & prasterea quamcunque ma-fueris a vel p.

§. v.

His fuffulti principiis, nos accingimus ad formuiasquasdam eruendas, quas, quodammodo propms , quemnobis propofuimus, fpeétant finem. Quum obtinuimusr= a . i — t. Cof2~ z i q- e Sin2^z^ zz a.(i ■—eCofz),exinde habetur, quod aliunde etiam novimus, Sin\z

/1 — Cof. z o . ß.i—e. CopLzJ : Xr. qnnruam r zz _ =2 Cof2 iy

e -t- Cof. va.(i—.eCofz),Cofzzz- —- , undeI -J- 6 CoI. V

Sin^z,\/i-\-eCof.vzzSin^v. \fi-e, vel, quoniam / -f- eCofv=ß.i — c Sinlz. \f ß.i-f- e zz Sin±v.\/r. Per eamdem

r

omnino viam, & fimili prorfus modo, habeas Cof Lz zzm

,1 -t- Cofz^ ^ jejn{je £pß i .\-eCofvzz Cof{v.Vi-i-e,

& ultimo; Cof-z.^/a. i—ezzCof^v.\Jr, Si igiturduas Anomaliae v, u propofitae esfent, illisque relponden-tes Anomali» Excentric» fignis z9 | notarentur, Radii

ve-

) i c

vero Veftores fignis r, Iiquet bas qaattuor nobis prsefto©sfe aequationes fcilicet:

Sin.1- z. Vfl. i ■+• e = Sin.\v . Vv.

Cof*Z. \/a • I — e == CoJ.\v*\fYcSin -21 . \fa. i + « = Sin.\u, Vf°

Co/• i— e == Cof.hi. V£►

$. VL

Ut* quae fequuntur relationen, fimpliciores fiantr^fit rf aequaiis dimidio difFerentise inter anomalias Verasv Sc it, ^sequalis différentiae inter anomalias Excentrican% Sc £, s aequalis dirnidio Summae Anomaliarum verarum,

11 — v

Sc c aequalis Summae Excentricarum, vel —-— = rf t% —- z » -f- v 14- z

= ö,-' == i- & = sv Introducatur prae-i va a

fcerea pro Excentricitate e, angulus q, cujus Sinus eftrpfa quantitas e, vet e^Sin.q. ad J'equentia, quas inTrigonometrie , de quocumque angulo, q demonftrantur:Vi -i- Sin. q = Cö/f. 450 — |q). \/2, Vi — / =-"

; f450 4- I q) . Vi = &»• f45* — é?• V2» Sin 45° =

ro/ 45® = ——, attendendo, erit Y1 - «* = Vi + «V2

Cr/2, Vi +■ ' = Cof.(45°— Vi — ezzCof.t4"

) 8 (;

V r— e+ iq)f* — Sin. C45* — $q). s/i, rm. =

\/1 4~ eSin (.45° — lq) - . „ —- ——; 7 = Tang. (45 — \A + —Cof.Cv -iqj= zCof.\ q, ^i-i-e — ~ e zn 2 Sin \ q, atque etiam\A -+- 0 = Cof.^q -f- Sin^q, & Vz - e — CVI# ~Sin\q . -

His valoribus ita determinatus, ducatur Sm 4 (7 -+-$Jin primatn aequationum, quae ad finem §:i p aecedentisdatae funt, & CoJ.^fs -+- in fecundam, quod, licet percalculum prolixiorem & longe operofum, peragitur, opeTheorematis Trigonometrici, quo Sinus vel CofinusSummae vel d.fferentiae inter duos angulos computatui;fi produéta addantur prodit aequatio:

Cof. f[(d -f- $) ~ Sin^%. Sins ■+• — * 1 er

Cof. \z.Cof.'iC+r

1

Quum vero, nt fupra datum eft, ^i-t-e— Cof^q-^-Sin^q,& Vz — e = Co/,i q — Sin^q, illa hane fufcipit formam:

CoßiCd -*■ i) = Cof. i q . Cof.(I s — \c -f- Jj. V- —V

Sin % q. Cof. 4. (s «4-Y

Si rurfus multiplicetur tertia sequationum, ad calcemprae-

praecedentis §:i, per Sin quarta per Cof.^fs - J)tproducta vero addantur „ Iocoque quantitstum V1 4- '»%jfi - §, illarum valöres fubßituantur, modo baud disfi»mili fubo iturr:

taf-We* *J — Cof.ln.Cof.arie - i»J Vfs

a1— Sin * q . Cof\(s

fSI inter has ampas aequaribnes differentise; fumantur? abha c fcilicet ilJam fubtrraheado,, hahetur;

' A/aCoJ. \(d 4- h 2- Cof^ q.-Sin <h Sin \(s — s) ~t

— yrquae, ope anguli cujusdam auxiliaris , ponendo nimiruml/f ' -t- Tang,w)*- (Cof.w -f- Sinwj*jf — es'- — zzz — , ultimo abit"

r- (i — Icmg'.w(CofwSin wj? 'ih hane fcquentem^

Co/T f a?. Sin$, 4y a 8—— .1/ —.. Si nullo,lang 2 w v rq

lie quidem minimo, difeirimine, eidem confnlueris pro-cedendi methodotres quae fequuntur, una cum illaTumtiii niomen t i, fefe ofFerunt sequationesr

Sin fq. Sin <J 4a®Cbfi(d — ij.. = Sin.\ C + O- -n, • V—Tang. 2 w rq 3

Sm Ifdrh i)= CoJ.Kr- s) Coj. \ q.SinL Cof. zw .rq

Sm\(d- oJ zr Cof. § (s -ff. s). Sin\q. 5W. Cof.zw \t~—..rt

B §. VII,

> «6 (

§. vir.

lilas, quas jam exhibuimus, ad fcopum noftrumquam apprime vergentes, relationes, ejus esfe, nemi¬nem fugit, indolis, nt per eas, fi ambo radii ve&ores,una cum differentia inter ambas anomalfas Veras, quodponamus, cogniti esfent; non tantutn reliquas ibidem in-gredientes, verum etiaffi, quse ex illis pendenfc, quanti-tates, absque ullo negotio determinari posfe, per fun&io-nem quamdam rts A Ule igitur, qui reiht labor eft,ut videamus, utrum posfibile fit, quantitatem J per aliasquasdam datas vel cognitas exhibere, nec ne; quod fiiuccedat, nulla ampliori propofiti evolutio difflcultate la-borat. Eum in finein fit b femiaxis minor, quse igitur— V0/7» & ex fupra datis refumantur aequationes,

Sinl%\//a. i -f- « = Sin\z \/— = Sin f v , &

CoJb%\/a.i-* ^Cof.CofiWr. ubietiam pro z, «/, r9 refpeftive poni posfunt perharum identicam multiplicationem habetur Sin\z . Cof\ £

Vre Vr?=s Sin*v. Cof\u.~ — , Sin . Cof-}z —Sin fu. Cof$ v.——;eft vero Sind =: Sin zu Cof~v — Cof\u. Sin §v, & Sin$ =SinJ | Co/ — Co/ § £ .Sin~z, unde facillime obtinetur

b

Sin, d= —3. Sin S, & nullo, nifi quod e natura quantitatumVre

b*

ff fequitur, difcrimine, Sin,, s s:' 3 Sin ff, Quoniam de-