python과 함께 배우는 신호 해석 - 제 1 강. 서론 (제 1 장) -...

Python과 함께

배우는 신호해석

박섭형

신호와시스템 개요

연속시간신호와이산시간신호의 시간영역 표현

이산시간신호로부터복원하는연속시간신호의주파수

신호의주파수 영역표현

DTMF예제

Python과 함께 배우는 신호 해석

제 1 강. 서론 (제 1 장)

박섭형

한림대학교 전자공학과

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 1 강. 서론 1

Python과 함께


박섭형





DTMF예제

배울 내용

신호란 무엇인가?

시스템이란 무엇인가?

신호의 시간 영역 표현

Nyquist-Shannon의 샘플링 정리

신호의 주파수 영역 표현

시스템의 표현

시스템의 특성 및 분류


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신호

신호: 측정 가능한 양의 추상적 표현으로 일반적으로 시간이나 공간과 같은하나 이상의 독립 변수의 함수로 표현된다.

신호의 예소리: 공기의 진동을 통해서 전달되어 청각 기관을 통해서 받아들이는 소리빛: 사물에 반사된 후에 시각 기관으로 들어오는 빛전기 신호: 전기, 전자 공학 분야에서는 일반적으로 여러 가지 신호를 전압,전류, 전기장의 세기 등으로 변환한 후에 처리한다


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시스템

시스템: 입력 신호를 변형하거나 변환하여 출력하는 장치나 방법신호에 담겨 있는 정보를 찾아내어 활용하기 위해서 신호를 목적에 맞게처리하는 과정주변이 시끄러운 환경에서 두 사람이 이야기를 나누는 상황신호 처리: 필요에 따라서 신호의 일부를 구분하거나 변경하는 과정.

원하지 않는 잡음이 포함된 신호에서 잡음 제거크기가 매우 작은 신호의 증폭신호를= 전송을 위한 변조신호의 저장 또는 전송 전 압축신호에서 중요한 특징 추출

선형 시불변 (LTI: linear time-invariant) 시스템선형 시불변 시스템의 임펄스 응답만 알면 시간 영역에서 출력을 계산할 수도있고 임펄스 응답의임펄스 응답: 임펄스 신호가 선형 시불변 시스템에 입력될 때의 출력 신호시스템도 신호로 표현할 수 있다이런 의미에서 신호와 시스템을 분리해서 생각할 수 없다.


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연속시간 (continuous time) 신호 또는 아날로그 (analog signal) 신호:x(t)

모든 시점에서 신호의 값이 존재하며 시간이 변하면서 신호의 크기가연속적으로 변하는 신호연속시간 신호는 독립변수가 연속변수인 신호

이산시간 신호 (discrete time signal): : x[n]일정 시점, 즉 이산 시간에서만 신호의 값이 정의되는 신호시변수의 정의역은 가산 집합(countable set)이 된다1/44100 초마다 한 번씩 음악 신호의 샘플을 저장하는 경우에 t의 정의역:{0, 1/44100, 2/44100, 3/44100, . . .}Ts 간격으로 신호의 크기를 샘플링하는 경우에 시변수의 정의역:{0,Ts, 2Ts, . . . ,nTs, (n + 1)Ts, . . .}정의역에 포함되어 있는 모든 시변수 값은 Ts 의 정수 배이므로, Ts 를 제외하고{0, 1, 2, . . . ,n,n + 1, . . .}와 같이 정수의 집합을 사용하기도 한다. 이 경우에이산시간 신호는 독립변수가 정수인 신호라고 말할 수 있다.


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연속시간 신호의 샘플링

x[n] = x(t)|t=nTs = x (nTs) ,n = 0, 1, · · · . (1.1)

Ts: 샘플링 주기(sampling period), 샘플링 간격fs = 1

Ts: 샘플링 주파수(sampling frequency), 샘플링 율(sampling rate)

연속시간 신호의 예:x(t) = 1

5t cos(2πt) (1.2)

0 1 2 3 4 5time (s)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

변수 t의 단위는 s(초)이다,


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이산시간 신호의 예: Ts =540

s = 0.125s,

x[n] = x(nTs) =1

5· 5

40n cos

(2π · 5

40n)

=1

40n cos

(1

4πn

)(1.3)

0 5 10 15 20 25 30 35 401.0

0.5

0.0

0.5

1.0

sample index(n)

샘플링 주파수 fs = 1/0.125 = 8 Hz. 연속시간 신호의 1 초 구간에 이산시간신호의 샘플 8 개가 포함된다이 이산 시간 신호는 시간 축에서는 이산 값을 갖지만 매 샘플의 크기는 여전히연속적으로 변하는 연속 크기 신호이다.


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양자화된 이산시간 신호의 예: Ts =540

s = 0.125s,

0 5 10 15 20 25 30 35 401.0

0.5

0.0

0.5

1.0

sample index(n)

양자화된 신호의 크기는 연속 신호가 아닌 이산 크기 신호이다.


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DTMF예제


예제 1.1 (1.1)아래 그림에서 x[10]은 x(t)에서 t가 얼마일 때의 x(t) 값과 같은지 구하라. 단,Ts =

540

s.

0 5 10 15 20 25 30 35 40sample index [n]

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x[10] = x(10 · 0.125) = x(1.25)이므로, t = 1.25(s)일 때의 x(t) 값과 같다.


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n은 샘플의 순서를 나타내는 정수이므로 물리적인 단위가 없다.

샘플의 순서를 나타내는 정수 n은 시간 영역의 변수인 nTs 에 대응하기때문에 x[n]을 시간 영역 신호라고 표현할 수도 있다.

x[n]에서 n은 샘플의 순서만을 나타내기 때문에, 이산신호를 다음과 같이수열 형식으로 표현할 수도 있다.

x[n] ={−1, 2,

1

3, 3↑, 2,−4,

5

4

}, (1.4)

여기에서 ↑는 n = 0인 위치를 나타낸다.


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Nyquist–Shannon의 샘플링 정리

샘플링 주파수를 결정하는 이론적 근거


최대 주파수가 fmax Hz인 연속시간 신호 x(t)가 있다고 가정하자. 이신호를 x[n] = x(nTs)로부터 복원하기 위해서는 샘플링 율 (samplingrate) fs 가 fs = 1/Ts ≥ 2fmax 를 만족해야 한다.

2fmax: 나이퀴스트 율 (Nyquist rate), 또는 나이퀴스트 주파수

샘플링 주파수가 나이퀴스트 주파수보다 작은 경우에 에일리어싱 (aliasing)현상이 발생한다.


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DTMF예제


예제 1.2x(t) = 2 sin(20πt + π

4)로 표현되는 연속시간 신호를 샘플링하여 이산시간

신호를 얻으려고 할 때, 에일리어싱이 발생되지 않도록 하는 샘플링 주파수의최솟값을 구하라.

이 신호의 주파수를 f라고 하면, 2πf = 20π이므로, f = 10 Hz이다.Nyquist–Shannon의 샘플링 정리에 의해서 fs ≥ 2f = 20이므로, fs 의 최솟값은20이다.


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예제 1.3x(t) = 2 sin(20πt + π

4) + 3 cos(30πt + π

6)로 표현되는 연속시간 신호를

샘플링하여 이산시간 신호를 구하려고 할 때, 에일리어싱이 발생되지 않도록하는 샘플링 주파수의 최솟값을 구하라.

이 신호에는 주파수가 다른 두 개의 정현파가 포함되어 있다. 두 주파수를 각각f1과 f2라고 하면, 2πf1 = 20π이므로 f1 = 10 Hz이고, 2πf2 = 30π이므로f2 = 15 Hz이다. 두 값 중에 최댓값은 15이고, Nyquist–Shannon의 샘플링정리에 의해서 fs ≥ 2 · 15 = 30이므로, fs 의 최솟값은 30이다.


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정현파의 샘플링과 복원 신호의 주파수

x(t) = A cos(ω0t + ϕ). (1.5)

x(t) = A2

(ej(ω0t+ϕ) + e−j(ω0t+ϕ)

)=

1

2Aejϕejω0t +

1

2Ae−jϕe−jω0t. (1.6)

ω = ω0와 ω = −ω0에서 복소진폭이 각각 12Aejϕ와 1

2Ae−jϕ인 신호이다.

x[n] = x(nTs)

= x(n/fs)

= A cos{(ω0/fs)n + ϕ} (1.7)

=1

2Aejϕej(ω0/fs)n +

1

2Ae−jϕe−j(ω0/fs)n.

ω̂ = ω0/fs 와 ω̂ = −ω0/fs 에서 복소진폭이 각각 12Aejϕ와 1

2Ae−jϕ인 신호이다.


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x[n]이 될 수 있는 복소지수 신호의 주파수는 다음과 같은 모든에일리어스가 될 수 있다.

ω̂ = ω0/fs + 2πk, k = 0,±1,±2, · · · (1.8)

ω̂ = −ω0/fs + 2πk, k = 0,±1,±2, · · · (1.9)

A cos{(ω0/fs + 2πk)n + ϕ} = A cos{(ω0/fs)n + 2πkn + ϕ}

= A cos{(ω0/fs)n + ϕ}.

A cos{(−ω0/fs + 2πk)n − ϕ} = A cos{(−ω0/fs)n − 2πkn − ϕ}

= A cos{(ω0/fs)n + ϕ}.

만약에 샘플링 과정에서 에일리어싱이 발생하지 않았다면 연속시간 신호의주파수는 기본 에일리어스인 ω0 와 −ω0 일 것이다.


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이상적인 이산-연속 변환기는 언제나 다음 범위의 주파수 성분인 기본에일리어스를 선택하여 이에 대응하는 연속 주파수를 성분을 복원한다.

−π < ω̂ ≤ π. (1.10)

−0.5 < f̂ ≤ 0.5. (1.11)

이 식에 ω̂ = ω/fs 과 f̂ = f/fs 를 각각 대입하여 연속시간 주파수 표현으로바꾸면 다음과 같다.

−π <ω

fs≤ π,

−π <2πffs

≤ π, (1.12)

−1

2fs <f ≤ 1

2fs.

이 식은 이산시간 정현파 신호로부터 복원할 수 있는 연속시간 정현파신호의 주파수 범위를 의미한다.


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예제 1.4어느 정현파 신호의 주파가 각각 다음과 같다고 가정하자. 각 경우에 이 정현파신호를 fs = 8000 Hz로 샘플림하고 이상적인 방법으로 연속시간 신호를복원했을 경우에 각 정현파 신호의 주파수를 구하라.

(a) 500 Hz

(b) 2500 Hz

(c) 5500 Hz

(d) 7500 Hz

(e) 8500 Hz

각 경우의 복원 주파수는 다음과 같다.

(a) 500 Hz: 복원 주파수 f = 500 Hz(b) 2500 Hz: 복원 주파수 f = 2500 Hz(c) 5500 Hz: 복원 주파수 f = 2500 Hz(d) 7500 Hz: 복원 주파수 f = 500 Hz(e) 8500 Hz: 복원 주파수 f = 500 Hz한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 1 강. 서론 17

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연속 주기 신호의 주파수 성분을 분석하여 시간 영역과 주파수영역에서 비교

t

+

t

+

t

+

t

||

t

f

+

f

+

f

+

f

||

f

f0−f0

3f0−3f0

5f0−5f0

7f0−7f0

f0−f0 3f0−3f0 5f0−5f0 7f0−7f0

(a) 연속시간 신호의 시간 영역 표현. (b) 연속시간 신호의 주파수 영역 표현.

그림 1.2: 연속 주기 신호의 주파수 성분을 분석하여 시간 영역과 주파수 영역에서 비교한그림.


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푸리에 변환

시간 영역의 신호와 주파수 영역의 신호를 서로 변환할 수 있는 도구

Jean Baptiste Joseph Fourier(1768–1830): 프랑스의 수학자이자물리학자

신호의 종류에 따른 푸리에 변환의 특성주기 신호: 주기 신호는 기본 주파수의 정수 배 주파수 성분들인 고조파들(harmonics)의 합으로 나타낼 수 있다. 주기 신호의 주파수 성분을 분석해보면 주파수가 기본 주파수의 정수 배 성분만 있다. 즉, 주파수 영역에서 이산주파수 신호로 표현된다.비주기 신호: 비주기 신호에는 모든 주파수가 다 포함되어 있다. 즉, 주파수영역에서 연속 주파수 신호로 표현된다.


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DTMF 톤 신호

DTMF(dual-tone multi-frequency) 톤: 전화기의 버튼을 누를 때발생하는 소리

전화기에는 모두 12 개의 버튼이 있는데 각 버튼을 누를 때마다 다음 표에있는 서로 다른 두 개의 주파수를 가진 톤 신호를 발생시킨다.

표 1.1: 전화기 버튼의 DTMF

1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz697 Hz 1 2 3770 Hz 4 5 6852 Hz 7 8 9941 Hz ∗ 0 #

이 외에도 전화기에서 사용되는 세 개의 신호의 주파수는 다음과 같다.

DTMF busy signal = 480 Hz & 620 Hz

DTMF dial tone = 350 Hz & 440 Hz

DTMF ringback tone (US) = 440 Hz & 480 Hz한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 1 강. 서론 20

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DTMF 톤 신호의 주파수 분석

from numpy import cos, pi, linspaceimport matplotlib.pyplot as pltfrom numpy.fft import rfftn = linspace(0, 512/8000., 512)dtmf_1 = cos(697*2*pi*n) + cos(1209*2*pi*n)dtmf_5 = cos(770*2*pi*n) + cos(1336*2*pi*n)dtmf_9 = cos(852*2*pi*n) + cos(1477*2*pi*n)DTMF_1 = rfft(dtmf_1); DTMF_5 = rfft(dtmf_5)DTMF_9 = rfft(dtmf_9)plt.subplot(321); plt.plot(dtmf_1[:100])plt.subplot(322); plt.plot(abs(DTMF_1[0:256]))plt.subplot(323); plt.plot(dtmf_5[0:100])plt.subplot(324); plt.plot(abs(DTMF_5[0:256]))plt.subplot(325); plt.plot(dtmf_9[0:100])plt.subplot(326); plt.plot(abs(DTMF_9[0:256]))plt.show()


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DTMF 톤 신호의 주파수 분석

0 20 40 60 80 1002.01.51.00.50.00.51.01.52.0

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 1002.01.51.00.50.00.51.01.52.0

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 1002.01.51.00.50.00.51.01.52.0

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

그림 1.3: 전화기의 1, 5, 9 버튼의 DTMF 파형과 크기 스펙트럼.


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