python과 함께 배우는 시스템 해석 - 제 7 장. 라플라스 변환을...

Python과 함께배우는

시스템 해석

박섭형

라플라스변환의부호적 계산

라플라스변환의 특성

라플라스변환 예

역 라플라스변환

라플라스변환과시스템의안정성

단방향라플라스변환을이용한 선형시불변시스템의해석

연속시간선형 시불변시스템의출력 계산

단방향라플라스변환을이용한 회로해석

Python과 함께 배우는 시스템 해석

제 7 장. 라플라스 변환을 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 해석7-2 . 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석

박섭형

한림대학교 전자공학과

2014년 12월

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 1


시스템 해석

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배울 내용

라플라스 변환의 부호적 계산

라플라스 변환의 특성

라플라스 변환과 시스템의 안정성

라플라스 변환의 주요 성질

연속시간 선형 시불변 시스템의 출력 계산

단방향 라플라스 변환을 이용한 선형 시불변 시스템의 해석

단방향 라플라스 변환을 이용한 회로 해석



시스템 해석

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Sympy를 이용한 라플라스 변환 계산

Sympy 라이브러리에는 라플라스 변환과 역 라플라스 변환 함수가 포함되어있어서, 이들을 사용하면라플라스변환계산결과를확인하는데도움을받을수있다. 이 때, 주의할 점은 Sympy에 정의되어 있는 라플라스 변환 식이 이교과서에 정의된 식과 조금 다르다. Sympy에서 사용하는 라플라스 변환은다음과 같다.

X(s) =∫ ∞

0

x(t)e−stdt. (7.61)

즉, 라플라스 변환의 적분 구간이 [0,∞)인 것에 주의해야 한다. Sympy의라플라스 변환 함수의 이름은 laplace_transform인데 이 함수의 설명은다음과 같다.



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laplace_transform(f, t, s, **hints)Compute the Laplace Transform `F(s)` of `f(t)`,

.. math :: F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \mathrm{d}t.

For all "sensible" functions, this converges absolutely in ahalf plane à < \operatorname{Re}(s)`.

This function returns ``(F, a, cond)`` where ``F`` is theLaplace transform of ``f``, `\operatorname{Re}(s) > a` isthe half-plane of convergence, and ``cond`` are auxiliaryconvergence conditions.

If the integral cannot be computed in closed form, thisfunction returns an unevaluated :class:`LaplaceTransformòbject.

For a description of possible hints, refer to the docstringof :func:`sympy.integrals.transforms.IntegralTransform.doit`.If ``noconds=True``, only `F` will be returned (i.e. not``cond``, and also not the plane `à``).



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이 함수의 반환값은 원소가 3 개인 튜플인데, 첫 번째 반환값인 F는 라플라스변환 결과이고, 두 번째 반환값인 a는 수렴 영역의 경계값으로, Re(s) > a이수렴 영역이 된다. 마지막 값인 cond는 보조적인 수렴 조건이다. 다음스크립트는 e−3tu(t)의 라플라스 변환을 구하는 명령과 그 실행 결과이다.

>>> laplace_transform(exp(-3*t), t, s)(1/(s + 3), 0, True)>>>

여기에서 e−3tu(t) 대신에 e−3t를 사용한 이유는 Sympy의 라플라스 변환은 식(7.61)과 같이 정의되기 때문이다. 이 결과를 보면 라플라스 변환 결과는 1

s+3

이고, 수렴 영역은 Re(s) > 0인 것을 알 수 있다.



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Sympy를 이용한 δ(t)의 라플라스 변환 계산

Sympy에서 사용되는 임펄스 함수의 이름은 DiracDelta이다.L {δ(t − 2)} = e−2s, ROC는 s-평면 전체인데, 이는 표 7.1의 결과와 일치한다.L {δ(t)} = 1/2인 이유는 Sympy에서 사용하는 라플라스 변환 때문이다.δ(t − t0)의 라플라스 변환을 구하기 위해서는 t0 > 0으로 제한할 필요가있는데, t0 변수를 선언할 때 양수라는 조건을 지정한 것에 유의하라.

>>> from sympy import *>>> t, s, a = symbols('t s a')>>> laplace_transform(DiracDelta(t), t, s)(1/2, -oo, True)>>> laplace_transform(DiracDelta(t-2), t, s)(exp(-2*s), -oo, True)>>> t0 = symbols('t0', positive=True)>>> laplace_transform(DiracDelta(t-t0), t, s)(exp(-s*t0), -oo, True)>>>



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Sympy를 이용한 u(t)의 라플라스 변환 계산

Sympy에서 사용되는 단위 계단 함수의 이름은 Heaviside인데, 다음 예에서보듯이 Heaviside 함수를 사용해도 좋고 1을 라플라스 변환해도 같은 결과를얻는다.

>>> laplace_transform(Heaviside(t), t, s)(1/s, 0, True)>>> laplace_transform(1, t, s)(1/s, 0, True)>>> laplace_transform(Heaviside(t-a), t, s)(exp(-a*s)/s, 0, And(0 < a, 1/a != 0))>>> laplace_transform(Heaviside(t-t0), t, s)(exp(-s*t0)/s, 0, True)>>>

여기에서 양수로 지정한 t0와 범위 제약이 없는 a가 사용되었을 때의 차이에유의하라.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 7


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Sympy를 이용한 tu(t)의 라플라스 변환 계산

>>> laplace_transform(t, t, s)(s**(-2), 0, True)>>> laplace_transform(Heaviside(t)*t, t, s)(s**(-2), 0, True)>>>



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Sympy를 이용한 eatu(t)의 라플라스 변환 계산

>>> a = symbols('a', positive=True)>>> laplace_transform(exp(a*t), t, s)(1/(-a + s), a, s/a != 1)>>>

주: Sympy에서 eat의 라플라스 변환을 구할 때, a의 범위가 양수일 때만 결과가출력되고 그렇지 않을 때는 에러가 출력된다.



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Sympy를 이용한 e−at cos(ω0t)u(t)와 e−at sin(ω0t)u(t)의 라플라스변환 계산

>>> laplace_transform(exp(a*t) * cos(t), t, s)((-a + s)/((a - s)**2 + 1),-oo,Abs(periodic_argument(exp_polar(2*I*pi)*polar_lift(a - s)**2,oo)) < pi)

>>> laplace_transform(exp(a*t) * cos(w*t), t, s,noconds=True)(-a + s)/(w**2 + (a - s)**2)>>> laplace_transform(exp(a*t) * sin(w*t), t, s,noconds=True)w/(w**2 + (a - s)**2)>>>

위의 예에서 반환값 중에서 보조적인 조건을 받고 싶지 않을 때는laplace_transform 함수를 호출할 때 noconds=True를 지정하면 된다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 10


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라플라스 변환의 선형성

라플라스 변환은 선형 변환이며, 중첩 특성을 가진다.

x(s) =

∫ ∞

−∞[ax1(t) + bx2(t)]e−stdt

= a∫ ∞

−∞x1(t)e−stdt + b

∫ ∞

−∞x2(t)e−stdt

= aX1(s) + bX2(s).

(7.62)

즉,ax1(t) + bx2(t) ⇔ aX1(s) + bX2(s). (7.63)



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라플라스 변환의 시간 지연 특성

L {x(t − t0)} =

∫ ∞

−∞x(t − t0)e−stdt, (7.64)

여기에서 τ = t− t0라두면, t = τ + t0이고 dt = dτ이므로위식은다음과같이쓸 수 있다.

L {x(t − t0)} =

∫ ∞

−∞x(τ)e−s(τ+t0)dτ =

∫ ∞

−∞x(τ)e−sτdτe−t0s = e−t0sX(s).

(7.65)즉, 다음 변환 쌍을 얻을 수 있다.

x(t − t0) ⇔ e−t0sX(s). (7.66)



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s 영역에서의 이동

L {eatx(t)} =

∫ ∞

−∞eatx(t)e−stdt

=

∫ ∞

−∞x(t)

(eate−st) dt (7.67)

=

∫ ∞

−∞x(t)e−(s−a)tdt

= X(s − a). (7.68)



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콘볼루션 적분의 라플라스 변환

v(t) = x(t) ∗ y(t)라 하자. 그러면,

v(t) = x(t) ∗ y(t) =∫ ∞

−∞x(τ)y(t − τ)dτ. (7.69)

이 식의 양변에 라플라스 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

V(s) =

∫ ∞

−∞x(τ)

[e−sτY(s)

]dτ

=

(∫ ∞

−∞x(τ)e−sτdτ

)Y(s)

= X(s)Y(s).

(7.70)



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도함수의 라플라스 변환

X(s)의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

x(t) = 1

j2π

∫ σ+j∞

σ−j∞X(s)estds, (7.71)

x(t)가 모든 t에 대해서 미분 가능한 신호인 경우에, 위 식의 양변을 t에 대해서미분하면

ddtx(t) = 1

j2π

∫ σ+j∞

σ−j∞X(s)sestds =

1

j2π

∫ σ+j∞

σ−j∞[sX(s)]estds = L −1{sX(s)}

(7.72)이 된다. 즉, 다음 관계 식을 얻을 수 있다.

L

{ddtx(t)

}= sX(s). (7.73)



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도함수의 라플라스 변환

x(t)가 모든 t에 대해서 x′(t)가 미분 가능한 신호인 경우에, 식 (7.72)의 양변을t에 대해서 미분하면 다음 식을 얻을 수 있다.

d2

dt2 x(t) = 1

j2π

∫ σ+j∞

σ−j∞X(s)s2estds =

1

j2π

∫ σ+j∞

σ−j∞[s2X(s)]estds = L −1{s2X(s)}.

(7.74)

이 식으로부터 다음 관계 식을 얻을 수 있다.

L

{d2

dt2 x(t)}

= s2X(s). (7.75)

이와 비슷한 방법으로 모든 t에 대해서 x′(t), x′′(t), · · · , x(n−1)(t)가 미분 가능한신호인 경우에 x(n)(t)의 라플라스 변환은 다음과 같이 구할 수 있다.

L

{dn

dtn x(t)}

= snX(s). (7.76)



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적분의 라플라스 변환

f(t) = x(t) ∗ u(t)라고 정의하자. 그러면

f(t) =∫ ∞

−∞x(τ)u(t − τ)dτ (7.77)

가 된다. 그런데

u(t − τ) =

1, t ≥ τ (즉, τ ≤ t)0, t < τ (즉, τ > t)

(7.78)

이므로,

f(t) =∫ t

−∞x(τ)dτ (7.79)

라고 쓸 수 있다. 그런데,

F(s) = X(s)U(s) = 1

s X(s) (7.80)

이다. 이 결과를 이용하여 적분의 라플라스 변환을 다음과 같이 구할 수 있다.

L

{∫ t

−∞x(τ)dτ

}=

1

s X(s). (7.81)한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 17


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s 영역에서의 스케일링

L {x(at)} =

∫ ∞

−∞x(at)e−stdt. (7.82)

τ = at라 두면, dτ = adt이므로 식 (7.82)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

L {x(at)} =

∫ ∞

−∞x(τ)e−s τ

a adτ = a∫ ∞

−∞x(τ)e−

sa τdτ = aX

( sa

). (7.83)

따라서 다음과 같은 변환 쌍을 얻을 수 있다.

1

ax(at) ⇔ X( s

a

). (7.84)



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s 영역에서의 미분

L {tx(t)} =

∫ ∞

−∞tx(t)e−stdt = −

∫ ∞

−∞x(t)

(−te−st) dt

= −∫ ∞

−∞x(t) d

dse−stdt = − dds

∫ ∞

−∞x(t)e−stdt = −dX(s)

ds . (7.85)

L {t2x(t)} =

∫ ∞

−∞t2x(t)e−stdt =

∫ ∞

−∞x(t)

(t2e−st) dt

=

∫ ∞

−∞x(t) d2

ds2 e−stdt = d2

ds2∫ ∞

−∞x(t)e−stdt = d2X(s)

ds2 . (7.86)

따라서 다음과 같은 변환 쌍을 얻을 수 있다.

tnx(t) ⇔ (−1)n dnX(s)dsn , n ≥ 1. (7.87)



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이름 표현

정의 X(s) = L {x(t)} =

∫ ∞

−∞x(t)e−stdt

선형성 L {ax1(t) + bx2(t)} = aX1(s) + bX2(s)

시간 지연 L {x(t − t0)} = e−t0sX(s)

s-영역 지연 L {eatx(t)} = X(s − a)

콘볼루션 L {x(t) ∗ y(t)} = X(s)Y(s)

곱셈 L {x(t)y(t)} = X(s) ∗ Y(s)



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이름 표현

신호의 미분 L

{dx(t)

dt

}= sX(s)

신호의 n 차

미분L

{dnx(t)

dtn

}= snX(s)

신호의 적분 L

{∫ t

0

x(τ)dτ}

=1

s X(s)

시간 곱셈 L {tx(t)} = −X(s)ds

스케일링 L {x(at)} =1

|a|X( s

a

)시간 반전 L {x(−t)} = X

(X(s)

s

)신호의 켤레 L {x∗(t)} = X∗(s∗)



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라플라스 변환 예

.예제 7.5..

......

다음과 같이 t ≥ 0에서 다음 그래프와 같이 정의되는 주기적 구형파 x(t)의라플라스 변환 X(s)을 구하라.

x(t)는 다음과 같이 쓸 수 있다,.

x(t) = u(t)− 2u(t − 1) + 2u(t − 2)− 2u(t − 3) + 2u(t − 4)− · · · (7.88)



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라플라스 변환 예

이 식의 양변에 라플라스 변환을 취하면 다음과 같다.

L {x(t)} = L {u(t)− 2u(t − 1) + 2u(t − 2)− 2u(t − 3) + 2u(t − 4)− · · · }

= L {u(t)} − 2L {u(t − 1}+ 2L {u(t − 2)} − 2L {u(t − 3)}

+ 2L {u(t − 4)} − · · · }

=1

s − 2

s e−s +2

s e−2s − 2

s e−3s +2

s e−4s − · · · (7.89)

=1

s +2

s

(−e−s +

(−e−s)2 + (

−e−s)3 + (−e−s)4 + · · ·

)| − e−s| < 1의 조건을 만족하면,

L {x(t)} =1

s +2

s · −e−s

1− e−s =1− e−s + 2e−s

s(1− e−s)=

1 + e−s

s(1− e−s)

이 때, 수렴 영역은 | − e−s| < 1, 즉 Re(s) > 0이다.



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표를 이용한 역 라플라스 변환

라플라스 변환의 역변환은 식 (??)으로 정의된다. 그렇지만 많은 경우 이 적분을직접 계산해서 역변환을 구하지 않고, 표 7.1을 이용해서 역변환을 구한다..예제 7.6..

......

라플라스 변환이 다음과 같이 주어지는 신호 x(t)를 구하라.

X(s) = 1

s2 + s , Re(s) > 0.

X(s)를 다음과 같이 변형해 보자.

X(s) = 1

s(s + 1)=

1

s − 1

s + 1

그러면, 표 7.1에서 각각 다음과 같은 관계라는 것을 알 수 있다.

L −1

{1

s

}= u(t),

L −1

{1

s + 1

}= e−tu(t).

따라서, x(t) = u(t)− e−tu(t) = (1− e−t)u(t)이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 24


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표를 이용한 역 라플라스 변환 예

.예제 7.7..

......

라플라스 변환이 다음과 같이 주어지는 신호 x(t)를 구하라.

X(s) = s + 5

s2 + 4s + 5, Re(s) > −2.

X(s)를 다음과 같이 변형해 보자.

X(s) = s + 2 + 3

(s + 2)2 + 1=

s + 2

(s + 2)2 + 1+

3

(s + 2)2 + 1

그러면, 표 7.1에서 각각 다음과 같은 관계라는 것을 알 수 있다.

L −1

{s + 2

(s + 2)2 + 1

}= e−2t cos(t)u(t),

L −1

{1

(s + 2)2 + 1

}= e−2t sin(t)u(t).

따라서, x(t) = e−2t cos(t)u(t) + 3e−2t sin(t)u(t)이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 25


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시스템의 BIBO 안정성

어떤 연속시간 선형 시불변 시스템에서 모든 t에 대해서 |x(t)| < Bx일 때,y(t) < ∞를 만족하면, 이 시스템은 BIBO 안정이라고 한다.연속시간 선형 시불변 시스템의 출력은 다음과 같이 정의된다.

y(t) = h(t) ∗ x(t) =∫ ∞

−∞h(τ)x(t − τ)dτ. (7.90)

이 시스템이 안정하기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.

|y(t)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞h(τ)x(t − τ)dτ

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

−∞|h(τ)| |x(t − τ)| dτ

≤ Bx

∫ ∞

−∞|h(τ)| dτ < ∞. (7.91)

이 조건을 만족하기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.∫ ∞

−∞|h(τ)| dτ < ∞. (7.92)



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시스템의 BIBO 안정성

다시 말하면, 시스템의 임펄스 응답이 절대 적분가능하면 시스템은 안정하다고말할 수 있다. 반대로 시스템이 안정하기 위해서는 시스템의 임펄스 응답이 절대적분가능해야 한다. 그런데 임펄스 응답이 절대 적분가능하면 임펄스 응답의연속시간 푸리에 변환이 존재한다. 그리고 임펄스 응답의 연속시간 푸리에변환이 존재한다는 것은 H(s)의 수렴 영역이 jω 축을 포함한다는 것을 말한다.따라서 다음 문장들은 모두 의미가 같은 문장들이다.

어떤 연속시간 선형 선형 시불변 시스템은 BIBO 안정 시스템이다.

어떤 연속시간 선형 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답 h(t)가 절대적분가능하다.

어떤 연속시간 선형 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답 h(t)의 연속시간푸리에 변환 H(jω)가 존재한다.

어떤 연속시간 선형 선형 시불변 시스템의 시스템 함수 H(s)의 수렴 영역이jω 축을 포함한다.



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시스템의 BIBO 안정성 판정 예

.예제 7.8..

......

임펄스 응답이 다음과 같이 주어지는 연속시간 선형 시불변 시스템의 안정성을설명하라.

h(t) = e3tu(t)

예 이 시스템의 시스템 함수는 다음과 같다.

H(s) = 1

s − 3, Re(s) > 3.

즉, 수렴 영역이 jω 축을 포함하지 않으므로 이 시스템은 불안정하다.



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시스템의 BIBO 안정성 판정 예

.예제 7.9..

......

임펄스 응답이 다음과 같이 주어지는 연속시간 선형 시불변 시스템의 안정성을설명하라.

h(t) = e−3tu(t)

이 시스템의 시스템 함수는 다음과 같다.

H(s) = 1

s − 3, Re(s) > −3.

즉, 수렴 영역이 jω 축을 포함하므로 이 시스템은 안정하다.



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시스템 함수의 영점과 극점

H(s) = 0이 되도록 하는 s의 값을 H(s)의 영점이라고 부르고, H(s)를 정의할 수없는 s 값들을 H(s)의 극점이라고 부른다. 시스템이 안정하려면 모든 극점은수렴 영역 외부에 존재해야 한다..예제 7.10..

......

다음 전달 함수의 영점과 극점을 구하라.

H(s) = s2 − 4s + 3

(s3 + 7s2 + 16s + 10).

H(s) = s2 − 4s + 3

(s + 1)(s2 + 6s + 10)=

(s − 1)(s − 3)

(s + 1)(s + 3 + j)(s + 3− j)

이므로, 영점은 s = 1, s = 3이고, 극점은 s = −1, s = −3 + j, s = −3− j이다.



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scipy.signal.tf2zpk() 함수를 사용한 시스템 함수의 영점과 극점계산

연속시간 선형시불변 시스템의 전달함수의 영점, 극점, 이득도 이산시간의경우와 마찬가지로 scipy.signal.tf2zpk() 함수를 사용하여 구할 수 있다.다음 스크립트는 예제 7.10의 영점, 극점, 이득을 구하는 스크립트의 예이다.

>>> import scipy.signal as sig>>> sig.tf2zpk([1,-4,3],[1,7,16,10])(array([3., 1.]), array([-3.+1.j, -3.-1.j, -1.+0.j]), 1.0)>>>



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단방향 라플라스 변환의 성질: 신호의 미분

L +

{ddtx(t)

}=

∫ ∞

0−x′(t)e−stdt. (7.94)

여기에서ddtx(t)e−st = x′(t)e−st + x(t)(−s)e−st (7.95)

이고, 이 식의 양 변을 0− ≤ t < ∞ 구간에서 적분하면 다음 식을 얻을 수 있다.∫ ∞

0−

ddtx(t)e−stdt =

∫ ∞

0−x′(t)e−stdt +

∫ ∞

0−x(t)(−s)e−stdt. (7.96)

즉, ∫ ∞

0−x′(t)e−stdt =

∫ ∞

0−

ddtx(t)e−stdt + s

∫ ∞

0−x(t)e−stdt

= x(t)e−st∣∣∣∞0−

+ sX+(s)

= sX+(s) + x(t)e−s·∞ − x(t)e−s·0−

= sX+(s)− x(0−)

(7.97)

이 된다. 따라서 다음 식을 얻을 수 있다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 32


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단방향 라플라스 변환의 성질: 신호의 미분

L +

{ddtx(t)

}= sX+(s)− x(0−).L + {

x′(t)}= sX+(s)− x(0−). (7.98)

x′′(t)의 라플라스 변환은 다음과 같다.

L + {x′′(t)} = sL + {x′(t)} − x′(0−)

= s[sX+(s)− x(0−)

]− x′(0−)

= s2X+(s)− sx(0−)− x′(0−).

(7.99)

이 과정을 일반화하면 다음 식이 성립하는 것을 증명할 수 있다.

L +{x(n)(t)} = snX+(s)− sn−1x(0)− sn−2x′(0)− · · · − sx(n−2)(0)− x(n−1)(0)

= snX+(s)−n−1∑k=0

skx(n−k−1)(0−). (7.100)



시스템 해석

박섭형









단방향 라플라스 변환의 성질: 초기값 정리(initial valuetheorem)

만약에 x(t)가 t < 0일 때 x(t) = 0이고, 미분 가능하다고 하자. 그러면 다음식이 성립하는 것을 알고 있다.

L +{x′(t)} = sX+(s)− x(0−). (7.101)

그런데, L +{x′(t)}는 다음과 같이 쓸 수 있다.

L +{x′(t)} =

∫ ∞

0−x′(t)e−stdt

=

∫ 0+

0−x′(t)e−stdt +

∫ ∞

0+x′(t)e−stdt

= x(t)∣∣∣0+0−

+

∫ ∞

0+x′(t)e−stdt

= x(0+)− x(0−) +∫ ∞

0+x′(t)e−stdt.

(7.102)



시스템 해석

박섭형









단방향 라플라스 변환의 성질: 초기값 정리

따라서, 다음 식이 성립한다.

sX+(s)− x(0−) = x(0+)− x(0−) +∫ ∞

0+x′(t)e−stdt. (7.103)

즉,

sX+(s) = x(0+) +∫ ∞

0+x′(t)e−stdt (7.104)

이므로,

lims→∞

sX+(s) = x(0+) + lims→∞

∫ ∞

0−x′(t)e−stdt

= x(0+) +∫ ∞

0−x′(t)

[lim

s→∞e−st

]dt = x(0+)

(7.105)

이 된다. 따라서 다음 관계식을 얻을 수 있다.

lims→0

sX+(s) = x(0+). (7.106)



시스템 해석

박섭형









초기값 정리 예

.예제 7.11..

......x(t) =

(2 + 3e−4t) u(t)의 단방향 라플라스 변환을 구한 후에 초기값 정리가

성립하는지 확인하라.

X+(s) = L + {(2 + 3e−4t) u(t)

}=

2

s +3

s + 4이므로,

lims→∞

sX+(s) = lims→∞

s(2

s +3

s + 4

)= 2 + 3 = 5 (7.107)

이고, x(0+) = 2 + 3 = 5이므로, 초기값 정리가 성립한다.



시스템 해석

박섭형









단방향라플라스변환의성질: 최종값 정리(final value theorem)

만약에 x(t)가 t < 0일 때 x(t) = 0이고, 미분 가능하다고 하자. 그러면 다음식이 성립하는 것을 알고 있다.

L +{x′(t)} = sX+(s)− x(0−). (7.108)

그러면, 다음 식이 성립한다.

lims→0

L +{x′(t)} = lims→0

sX+(s)− x(0−). (7.109)

그런데, 식 (7.109)의 왼쪽 변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

lims→0

L +{x′(t)} = lims→0

∫ ∞

0−x′(t)e−stdt = lim

s→0

∫ ∞

0−x′(t)dt

= x(t)∣∣∣∞0−

= x(∞)− x(0−). (7.110)

이 두 식으로부터 다음 관계식을 얻을 수 있다.

lims→0

sX+(s) = x(∞). (7.111)



시스템 해석

박섭형









최종값 정리 예

.예제 7.12..

......x(t) =

(2 + 3e−4t) u(t)의 단방향 라플라스 변환을 구한 후에 최종값 정리가

성립하는지 확인하라.

X+(s) = L{(

2 + 3e−4t) u(t)}=

2

s +3

s + 4이므로,

lims→0

sX+(s) = lims→0

s(2

s +3

s + 4

)= lim

s→0

(2 +

3ss + 4

)= 2 (7.112)

이고, limt→∞

x(t) = 2이므로, 최종값 정리가 성립한다.



시스템 해석

박섭형









단방향 라플라스 변환의 주요 성질

이름 표현

정의 X+(s) = L +{x(t)} =

∫ ∞

0−x(t)e−stdt

신호의 미분 L +

{dx(t)

dt

}= sX+(s)− x(0−)

신호의 n차

미분L +{x(n)(t)} = snX+(s)−

n−1∑k=0

skx(n−k−1)(0−)

초기값 정리 lims→0

sX+(s) = x(0+)

최종값 정리 lims→0

sX+(s) = x(∞)



시스템 해석

박섭형









콘볼루션 적분의 라플라스 변환

앞에서 정의한 대로 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답 h(t)의 라플라스 변환을시스템 함수 (system function) 또는 전달 함수 (transfer function)이라고 한다.연속시간 선형 시불변 시스템에서 출력 y(t)는 입력 x(t)와 임펄스 응답 h(t)의콘볼루션 적분으로 나타난다. 즉,

y(t) = h(t) ∗ x(t) =∫ ∞

−∞h(τ)x(t − τ)dτ. (7.113)

이 식의 양변에 라플라스 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

Y(s) =∫ ∞

∞h(τ)

[e−sτX(s)

]dτ =

(∫ ∞

∞h(τ)e−sτdτ

)X(s) = H(s)X(s).

(7.114)

즉, 출력의 라플라스 변환은 입력의 라플라스 변환에 선형 시불변 시스템의시스템 함수를 곱한 것과 같다는 것을 알 수 있다.

y(t) = h(t) ∗ x(t) ⇔ Y(s) = H(s)X(s). (7.115)



시스템 해석

박섭형









연속시간 선형 시불변 시스템의 출력 계산 방법 비교

.예제 7.13..

......

임펄스 응답이 h(t) = eatu(t)인 연속시간 선형 시불변 시스템에 입력 신호x(t) = ebtu(t)가 인가될 때의 출력 y(t)를 다음 두 가지 방법으로 구하라. 단,a ̸= b이다.

(a) 콘볼루션 적분을 이용한 방법(b) 라플라스 변환을 이용한 방법

(a) 컨볼루션 적분을 이용한 방법을 이용한 풀이i) t < 0일 때, y(t) = 0

ii) t ≥ 0일 때,

y(t) =∫ t

0h(τ)x(t − τ)dτ =

∫ t

0eaτeb(t−τ)dτ = ebt

∫ t

0e(a−b)τdτ

=1

a − bebte(a−b)τ

∣∣∣t0=

1

a − bebt

[e(a−b)t − 1

]=

1

a − b

(eat − ebt

)(7.116)

따라서 y(t) = 1

a − b

(eat − ebt

)u(t)이다.



시스템 해석

박섭형









연속시간 선형 시불변 시스템의 출력 계산 방법 비교

(b) 라플라스 변환을 이용한 방법H(s) = 1

s − a이고, X(s) = 1

s − b이므로, Y(s) = 1

s − a · 1

s − b이다.따라서 y(t)는 다음과 같이 구할 수 있다.

y(t) = L −1

{1

s − a · 1

s − b

}

= L −1

{1

a − b

(1

s − a − 1

s − b

)}

=1

a − b

(L −1

{1

s − a

}− L −1

{1

s − b

})

=1

a − b[eatu(t)− ebtu(t).

].

(7.117)



시스템 해석

박섭형









Sympy를 이용한 연속시간 선형 시불변 시스템의 출력 계산

이 예제를 Sympy를 이용하여 풀어 보면 다음과 같다.

>>> a, b = symbols('a b', positive=True)>>> inverse_laplace_transform(1/((s-a)*(s-b)), s, t)(exp(a*t) - exp(b*t))*Heaviside(t)/(a - b)



시스템 해석

박섭형









선형 상계수 미분 방정식으로 주어지는 시스템의 응답 계산

선형 시불변 시스템의 입출력 신호 사이의 관계식이 선형 상계수 미분 방정식(linear constant coefficient differential equation)으로 표현된다면, 라플라스변환은 이 방정식을 대수 방정식으로 바꿀 수 있다. 그 이유는 다음과 같은 성질때문이다.

L +{

x(n)(t)}= snX+(s)−

n−1∑k=0

skx(n−k−1)(0−). (7.118)



시스템 해석

박섭형









단방향 라플라스 변환을 이용한 선형 상계수 미분 방정식으로주어지는 시스템의 응답 계산

.예제 7.14..

......

시스템의 입출력 관계식이 다음과 같이 주어지는 연속시간 선형 시불변시스템의 단위 계단 응답과 임펄스 응답을 구하라.

y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = 2x(t), (7.119)

단, 초기 조건은 y(0−) = 3, y′(0−) = −6이다.

이 식의 양변에 단방향 라플라스 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

s2Y+(s)− sy(0−)− y′(0−) + 4[sY+(s)− y(0−)

]+ 3Y+(s) = 2X+(s),(

s2 + 4s + 3)

Y+(s) = sy(0−) + y′(0−) + 4y(0−) + 2X+(s),

(s + 1)(s + 3)Y+(s) = 3s − 6 + 4 · 3 + 2X+(s),

(s + 1)(s + 3)Y+(s) = 3s + 6 + 2X+(s).



시스템 해석

박섭형










양변을 (s + 1)(s + 3)로 나누면,

Y+(s) = 3(s + 2)

(s + 1)(s + 3)+

2

(s + 1)(s + 3)X+(s). (7.120)

x = u(t)일 때, X+(s) = 1

s 이므로,

Y+(s) =3(s + 2)

(s + 1)(s + 3)+

2

(s + 1)(s + 3)· 1s

=3s(s + 2) + 2

s(s + 1)(s + 3)

(7.121)

이 된다. 이 식을 다음과 같이 부분 분수로 나눌 수 있다.

3s(s + 2) + 2

s(s + 1)(s + 3)=

As +

Bs + 1

+C

s + 3. (7.122)



시스템 해석

박섭형










A,B,C는 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

A =3s(s + 2) + 2

(s + 1)(s + 3)

∣∣∣s=0

=2

3,

B =3s(s + 2) + 2

s(s + 3)

∣∣∣s=−1

=−1

−2=

1

2,

C =3s(s + 2) + 2

s(s + 1)

∣∣∣s=−3

=11

6.

(7.123)

참고로 이 부분 분수의 A,B,C륽 구하는 Python 스크립트는 다음과 같다.

>>> s = symbols('s')>>> expr = (3*s*(s+2)+2)/(s*(s+1)*(s+3))>>> expr.apart()11/(6*(s + 3)) + 1/(2*(s + 1)) + 2/(3*s)>>>



시스템 해석

박섭형










따라서Y+(s) = 2

3· 1s +

1

2· 1

s + 1+

11

6· 1

s + 3(7.124)

이 되고, L +{

eatu(t)}= 1

s−a를 이용하면 y(t)는 다음과 같이 구할 수 있다.

y(t) = 2

3u(t) + 1

2e−tu(t) + 11

6e−3tu(t). (7.125)

여기에서 단위 계단 응답은 세 개의 항으로 이루어진 것을 알 수 있다. 먼저23u(t)는 입력 신호 u(t)에 비례한다. 이 성분을 시스템의 정상 상태 응답

(steady-state response)이라고 부른다. 12e−tu(t)와 11

6e−3tu(t)는 시스템

함수의 극점인 s = −1과 s = −3에 의해서 결정되는 성분으로 t가 증가하면서이 두 항의 값은 점점 0으로 수렴하면서 소멸한다. 이 두 항을 과도 응답(transient response)이라고 부른다.



시스템 해석

박섭형










임펄스 응답은 x(t) = δ(t)일 때 X+(s) = 1이므로, X+(s) = 1을 대입하여 구할수 있다.

Y+(s) = 3(s + 2)

(s + 1)(s + 3)+

2

(s + 1)(s + 3)=

3s + 8

(s + 1)(s + 3). (7.126)

이 식을 다음과 같이 부분 분수로 나눌 수 있다.

3s + 8

(s + 1)(s + 3)=

As + 1

+B

s + 3. (7.127)

A,B는 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

A =3s + 8

s + 3

∣∣∣s=−1

=5

2,

B =3s + 8

s + 1

∣∣∣s=−3

=−1

−2=

1

2.

(7.128)



시스템 해석

박섭형










따라서Y+(s) = 5

2· 1

s + 1+

1

2· 1

s + 3(7.129)

이 되고, L +{

eatu(t)}= 1

s−a를 이용하면 y(t)는 다음과 같이 구할 수 있다.

y(t) = 5

2e−tu(t) + 1

2e−3tu(t). (7.130)



시스템 해석

박섭형










.예제 7.15..

......

시스템의 입출력 관계식이 다음과 같이 주어지는 연속시간 선형 시불변시스템에 x(t) = sin(2t)u(t)가 주어졌을 때의 출력 y(t)를 구하라.

y′′(t) + 4y′(t) + 5y(t) = x(t), (7.131)

단, 초기 조건은 y(0−) = 1, y′(0−) = −2이다.

x(t) = sin(2t)u(t)일 때, 입출력 관계식은 다음과 같다.

y′′(t) + 4y′(t) + 5y(t) = sin(2t)u(t), (7.132)

이 식의 양변에 단방향 라플라스 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

s2Y+(s)− sy(0−)− y′(0−) + 4[sY+(s)− y(0−)

]+ 5Y+(s) = 2

s2 + 4.(

s2 + 4s + 5)

Y+(s) = sy(0−) + y′(0−) + 4y(0−) + 2

s2 + 4.

(s2 + 4s + 5)Y+(s) = s − 2 + 4 · 1 + 2

s2 + 4.



시스템 해석

박섭형










(s2 + 4s + 5)Y+(s) = s + 2 +2

s2 + 4. (7.133)

양변을 (s2 + 4s + 5)로 나누면,

Y+(s) = s + 2

(s2 + 4s + 5)+

2

(s2 + 4)(s2 + 4s + 5). (7.134)

이 식을 다음과 같이 부분 분수로 나눌 수 있다.

s + 2

(s2 + 4s + 5)+

2

(s2 + 4)(s2 + 4s + 5)=

As + Bs2 + 4

+Cs + D

s2 + 4s + 5. (7.135)

>>> expr = ((s+2)+2/(s**2+4)) /(s**2 + 4*s + 5)>>> expr.apart()-2*(4*s - 1)/(65*(s**2 + 4)) + (73*s + 160)/(65*(s**2+ 4*s + 5))>>>



시스템 해석

박섭형










따라서, A,B,C,D는 각각 다음과 같다.

A = −8, B = 2, C =73

65, D =

160

65. (7.136)

따라서Y+(s) = − 2

65· 4s − 1

s2 + 4+

1

65· 73s + 160

s2 + 4s + 5(7.137)

이 된다. 그런데

4s − 1

s2 + 4= 4 · s

s2 + 4− 1

s2 + 4= L

{4 cos(2t)u(t)− 1

2sin(2t)u(t)

}(7.138)

이고

73s + 160

s2 + 4s + 5=

73(s + 2)

(s + 2)2 + 1+

14

(s + 2)2 + 1

= L{73e−2t cos(t)u(t)− 14e−2t sin(t)u(t)

}(7.139)

이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 20 강 라플라스 변환의 특성과 단방향 라플라스 변환을 이용한 시스템 해석 53


시스템 해석

박섭형










따라서 y(t)는 다음과 같이 구할 수 있다.

y(t) = − 8

65cos(2t)u(t) + 1

65sin(2t)u(t) + 73

65e−2t cos(t)u(t)− 14

65e−2t sin(t)u(t).

(7.140)여기에서 sin(2t)에 대한 응답은 네 개의 항으로 이루어진 것을 알 수 있다. 먼저− 8

65cos(2t)u(t) + 1

65sin(2t)u(t)는 시스템의 정상 상태 응답 (steady-state

response)이고, 7365

e−2t cos(t)u(t)− 1465

e−2t sin(t)u(t)는 t가 증가하면서 점점 0으로 수렴하면서 소멸하는 과도 응답 (transient response)이다.



시스템 해석

박섭형









단방향 라플라스 변환을 이용한 회로 해석

이 절에서는 라플라스 변환을 이용하여 s 영역에서 회로를 해석하는 방법에 대해설명한다. 회로 중에서 수동 소자인 저항, 인덕터, 그리고 커패시터로 이루어진간단한 회로를 예로 들어 설명한다.



시스템 해석

박섭형









s 영역에서의 기본 회로 요소

저항은 시간 영역과 s 영역에서 다음과 같이 표현된다.

시간 영역 s 영역

심볼 ...R

...+

.−

.v

.. i ...R

...+

.−

.V

.. I

관계식v = iR V = IR,

V = L {v}, I = L {i}.



시스템 해석

박섭형










인덕터는 시간 영역과 s 영역에서 다음과 같이 표현된다. 단, 인덕터의 초기전류는 I0라 가정한다.


심볼...

L...

+.

−.

v.. i.

→ I0

...sL

... I. +. −..

LI0

..

+ V −

...... I...

VsL

...

I0s

..... + V −

관계식v = L di

dt , V = sLI − LI0,

i = 1

L

∫ t

0−v(τ)dτ + I0 I = V

sL +I0s



시스템 해석

박섭형










커패시터는 시간 영역과 s 영역에서 다음과 같이 표현된다. 단, 커패시터의 초기전압은 V0라 가정한다.


심볼...

C

....i

.

+ V0 −

.

+ v −

...... I...

IsC

...

CV0

..... + V − .. +. −..

V0

s

...

IsC

...I

.

+ V −

관계식i = Cdv

dt , I = sCV − CV0,

v =1

C

∫ t

0−i(τ)dτ + V0 V =

IsC +

V0

s



시스템 해석

박섭형









기본 회로 해석

.예제 7.16..

......

다음과 같이 주어지는 RC 회로에서 커패시터에 V0의 전압이 충전되어 있다.t = 0에서 스위치가 닫힌 후에, 이 회로의 저항 양단에 걸리는 전압 v(t)를구하라.

...

C

...

R

..i

.

t = 0

.

+

.

V0

.

−

.

+

.

v

.

−

그림 7.5: RC 회로



시스템 해석

박섭형










(a) 전류에 대한 문제 풀이주어진 회로를 s 영역의 회로로 바꾸면 다음과 같다.

...

1

sC

...

I

..

R

.

+

.

−

..

V0

s.

+

.

V

.

−

s 영역의 회로에서 KVL을 적용하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

V0

s =1

sCI + IR = I(

R +1

sC

)= I · sRC + 1

sC . (7.141)

이 식을 정리하면 다음 식을 얻는다.

CV0 = I (sRC + 1) . (7.142)



시스템 해석

박섭형










이 식을 I에 대해서 정리하면 다음과 같다.

I = CV0

sRC + 1=

V0

Rs + 1

RC

. (7.143)

따라서 i(t)는 I의 역 라플라스 변환을 통해서 다음과 같이 구할 수 있다.

i(t) = V0

R e−1

RC tu(t). (7.144)

그리고 v(t)는 다음과 같다.

v(t) = Ri(t) = V0e−1

RC tu(t). (7.145)



시스템 해석

박섭형










(b) 전압에 대한 문제 풀이주어진 회로를 s 영역의 회로로 바꾸면 다음과 같다.

....

CV0

..

R

.

+

.−

.

V

..

1

sC

.

a

s 영역의 회로에서 노드 a에 KCL을 적용하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

CV0 = sCV +VR = V

(sC +

1

R

)= V · sRC + 1

R . (7.146)



시스템 해석

박섭형










따라서,RCV0 = V (sRC + 1) (7.147)

이 되고,

V =RCV0

sRC + 1=

V0

s + 1

RC

(7.148)

이 된다. 이 식의 양변에 역 라플라스 변환을 적용하여 v(t)를 다음과 같이 구할수 있다.

v(t) = Ri(t) = V0e−1

RC tu(t). (7.149)


python과 함께 배우는 시스템 해석 - 제 7 장. 라플라스 변환을...

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