quadratische gleichungen und funktionen gleichungen und... · 2 bei einer quadratischen gleichung...
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2
Bei einer quadratischen Gleichung kommt die Unbekannte Variable x mindestens einmal in der 2.Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz.
002 ≠=++ acbxax
a, b und c sind Koeffizienten Beispiel:
0987 2 =++ xx
konstanter Anteil
linearer Anteil
quadratischer Anteil
Sollte a = 0 sein, würde der erste Summand zu Null lineare Gleichung Beispiel:
0980980 2 =+⇒=++ xxx
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Allgemeine Form
)0(02 ≠=++ acbxax
Normalform
02 =++ qpxxKoeffizient a ist nicht vorhanden…also 1. Übliche Benennung der beiden anderen Koeffizienten mit p und q.
Reinquadratische Gleichung
)0(02 ≠=+ acax Lineares Glied fehlt.
Quadratische Gleichung ohne Absolutglied
)0(02 ≠=+ abxax Absolutes Glied (= konstantes Glied) fehlt.
4
Faktorisierte Form
0)()( =+⋅+ bxax Manchmal kann man eine quadr. Gleichung nicht gleich erkennen. Ausmultiplizieren der Klammern:
0)(0
0)()(
2
2
=+++
=+++
=+⋅+
abxbaxabbxaxx
bxax
cbxax =+⋅+ )()(
Sonderfall a = b
0)(0)()(
2 =+
=+⋅+
axbxax
0)()(
)()(
2
2
=−+++
=+++
=+⋅+
cabxbaxcabbxaxx
cbxax
caxcbxax
=+
=+⋅+2)(
)()(Sonderfall a = b
5
Reinquadratische Gleichung
)0(02 ≠=+ acax
44
/16
5/80580/0805
2
1
2
2
2
−==
=
=
+=−
xx
x
xx
auch (-4)•(-4) = 16
Wenn man aus einer Zahl x > 0 die Quadratwurzel zieht, erhält man stets 2 Lösungen
6
Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied, also Gleichungen der Form ax² + bx = 0 , kann man lösen, indem man x ausklammert. Man erhält x(ax + b) = 0 .
Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist. Diese Gleichung hat immer zwei Lösungen, x1 = 0 und x2 = -b/a .
Beispiel
( ){ }0;31
31
311310310
0)31(031
2
21
2
−=
−=
−=
−→=
−=+=
=+=+
L
xabxx
xxxx
7
Beispiel
=
=
=⋅=
⋅=
+=−
=
=
−
=−
−=
0;89
89
89
23
43
23/
43
32
43/0
43
32
0
/043
32
/043
32
43/
43
32
2
2
2
2
1
2
2
L
x
x
x
x
x
tNullprodukxx
nausklammerxxx
xxx
3227
3227
6:1926:162/
3227
192162
8493
8899
32
89
43
89
32
43
32
89
2
2
=
=
⋅⋅
=⋅⋅
⋅
⋅=
⋅⇒
=
=
xx
x
Probe
Erste binomische Formel (a+b)²=a² +2ab+b² Plus-Formel Zweite binomische Formel (a-b)²=a²-2ab+b² Minus-Formel Dritte Binomische Formel (a+b)*(a-b)=a²-b² Plus-Minus-Formel
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1. Sofern die Zahl vor der quadratischen Variable keine 1 ist, dividiert durch diese. 2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht) 3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung 4. Schafft bei eurer Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite 5. Baut die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein 6. Bildet den Klammerausdruck
Beispiel: diesedurch Division 1 Variablen her quadratisc vor Zahl2:/0482 2 →≠=−− xx
Warum? Zur Lösung Q.Gl. oder um diese in die Scheitelpunktform zu bringen!
Variablen einfachen der vor Zahlen herausfind p40242
→−==−−
pxx
22
2pdurch bilden Ergänzung hequadratisc4
24
=
−
24Seite andere die auf Variable ohne Zahlendealleinsteh die2/024
2
2
=−
+=−−
xxxx
einbauen Gleichung diein Ergänzung hequadratisc42442 +=+− xx
essen!nicht vergKlammer der hinter Quadrat Das 2.- = 2 : 4- also 2, : pnun dahinter undein x wir schreiben Klammer dieIn
bildendruck Klammeraus62 2 =− )(x
10
1. Sofern die Zahl vor der quadratischen Variable keine 1 ist, dividiert durch diese.
2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht)
3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung
4. Schafft bei eurer Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite
5. Baut die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein
6. Bildet den Klammerausdruck
Beispiel 2:
2pdahinter und x bilden druck Klammeraus
1633
41
einbauen Gleichung diein Ergänzung hequadratisc1612
161
21
Seite andere die auf Variable ohne Zahlendealleinsteh die221
2pdurch bilden Ergänzung hequadratisc0625,0
161
41
221
221
Variablen einfachen der vor Zahlen herausfind p21
221
diesedurch Division 1 Variablen her quadratisc vor Zahl8:/1648
2
2
2
2
2
22
2
2
2
→=
+
+=++
=+
===
⋅=
→=
=+
→≠=+
a
aa
aa
p
aa
aa
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1. Faktor vor dem x2 aus den ersten beiden Termen ausklammern
2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht)
3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung
4. Quadratische Ergänzung
5. Ausmultiplizieren
6. Binomische Formel anwenden
Beispiel:
18)3(2)(2.618)96(2.]4[.5)996(2..4
9326
2.3
6.2)6(2.1
122)(
2222
2
2
222
2
2
−+⇒+=++
−++⇒
−++⇒
==
⇒
=⇒+⇒
+=
xbxbxbxanwendenFormelBinomischexxausZahligenüberschüssderizierenAusmultiplxxErgänzungQuadr
berechnenp
penherausfindxvorpZahlxxnAusklammer
xxxf
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( )
notwendig. cheidungFallunters eineist kann,sein 5-auch als 5+ sowohl 25 aus Wurzeldie Da5325)3(
/25)3(
2:/50)3(250/050)3(2
.7050)3(2)(2.6
050)96(203218)96(2.]4[.5032)996(2..4
9326
2.3
6.2032)6(2.1
032122
2
2
2
2
2222
22
2
222
2
2
=−
=−
=−
=−
+=−−
=−−⇒−=+−
=−+−→=−−+−⇒
=−−+−⇒
=−=
−⇒
−=⇒=−−⇒
=−−
xx
x
xx
auflösenxnachGleichungxbxbxbxanwendenFormelBinomische
xxxxausZahligenüberschüssderizierenAusmultiplxxErgänzungQuadr
berechnenp
penherausfindxvorpZahlxxnAusklammer
xx
( ){ }8;223/53
5-ist Seite rechte :2 Fall8
3/535+ist Seite rechte :1 Fall
−=−=+−=−
=+=−
Lxx
xx
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Die Diskriminante D bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.
qppxFormelqp −
±−=−−
2
2/1 22:
Normalform der quadratischen Gleichung: f(x)=x²+px+q
qpD −
=
2
2:nteDiskrimina
DpxDpx −
−=∨+
−=
22 21
D > 0 L = {x1;x2} zwei Lösungselemente
D = 0 L = {x} ein Lösungselement
D < 0 L = {} kein Lösungselement
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Eine quadratische Gleichung der Form mit (Normalform) lässt sich mithilfe der p-q-Formel lösen. Wichtig ist hierbei, dass der Koeffizient vor dem x² - Term 1 ist.
02 =++ qpxx Rqp ∈,
qppxFormelqp −
±−=−−
2
2/1 22:
Beispiel:
12
123
21
49
21
22
223
21
49
21
22
/,49
48
412
412
21
2/02
3:/0633
22:
2
1
2
2
2
1
2
2
22
2
2
2/1
−==
−=−=−−
−=−
−−=
=+=+−
−=−
+−=
−−=+=+=+
−
=−−
=−−
−
±−=−−
xx
qppx
qppx
Formelqplösbaralsopositiv
qpbestimmenDxx
xx
qppxFormelqp
qppxFormelqp −±−=−−42
:2
2/1
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Normalform einer quadratischen Funktion mit a = 1
qpxxy ++= 2
Sonderfall mit a = 1, b = 0 und c = 0 Normalparabel mit y = x²
)0(02 ≠=++ acbxax
Der Graph einer solchen quadratischen Funktion heißt Parabel.
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Einfluss des Faktors a auf Parabel y = ax²
•Normalparabel a = 1
•Streckung |a| > 1
•Stauchung |a| < 1
•Nach oben geöffnet a > 0
•Nach unten geöffnet a < 0
Scheitelpunkt: …ist der tiefste (nach oben offene Parabeln) bzw. der höchste (nach unten offene Parabeln) Punkt des Graphen.
Extremstelle: x-Koordinate des Scheitelpunktes.
Extremwert: y-Koordinate des Scheitelpunktes.
Hochpunkt: Ist der Scheitelpunkt die höchste Stelle des Graphen, so wird dieser Punkt als Hochpunkt bezeichnet.
Tiefpunkt: Ist der Scheitelpunkt die tiefste Stelle des Graphen, so wird dieser Punkt als Tiefpunkt bezeichnet.
Der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion kann durch Verschieben und Strecken der Normalparabel erzeugt werden.
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Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 6 Einheiten nach rechts verschoben ist.
Parabelgleichung: f(x)=(x−d)2
f(x)=(x−6)2
Auf das richtige Vorzeichen achten. Obwohl die Parabel nach rechts (also in positiver) Richtung verschoben ist, braucht man ein negatives Vorzeichen. Grund dafür ist, dass die Formel f(x)=(x−d)2 lautet. Die Lösung für unsere Aufgabe erhalten wir, wenn wir d = 6 einsetzen.
Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 3 Einheiten nach links verschoben ist.
f(x)=(x+3)2
Die Lösung für unsere Aufgabe erhalten wir, wenn wir d = -3 einsetzen.
22 )3())3(()( +=−−= xxxf
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Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 6 Einheiten nach oben verschoben ist.
Parabelgleichung: f(x)=(x−d)2
f(x) = x2 + 6
Allgemein können wir die Normalparabel nach oben verschieben, wenn wir eine konstante Zahl c addieren.
Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 3 Einheiten nach unten verschoben ist.
f(x) = x2+c
f(x) = x2 - 3
Allgemein können wir die Normalparabel nach oben verschieben, wenn wir eine konstante Zahl c addieren.
f(x) = x2+c