quadrilateri 14 · 2017. 11. 21. · quadrilateri 1. trapezi in questa unita` studieremo le...

Quadrilateri

1. TrapeziIn questa Unita studieremo le proprieta dei poligoni di

quattro lati, cioe dei quadrilateri (fig. 14.1). Inizieremo il

nostro percorso a partire dai trapezi, che certamente cono-

sci gia a livello intuitivo dai tuoi studi precedenti. Prima di

iniziare il nostro percorso dobbiamo, pero, precisare alcuni

termini.

A

B

C

D

Figura 14.1

Terminologia

Lati consecutivi e lati opposti

A

B

C

D

A

B

C

D

AB e BC sono consecutivi AB e CD sono opposti

Due lati di un quadrilatero chehanno un vertice in comune sidicono consecutivi; due latinon consecutivi si diconoopposti.

Vertici consecutivi e verticiopposti

A

B

C

D

A

B

C

D

B e C sono consecutivi B e D sono opposti

Due vertici di un quadrilateroappartenenti a uno stesso latosi dicono consecutivi; duevertici che non appartengono auno stesso lato si diconoopposti.

Angoli adiacenti e angoliopposti

A

B

C

D

A

B

C

D

ABC e BCD sono adiacenti ABC e ADC sono opposti

Due angoli di un quadrilateroche hanno un lato in comunesi dicono adiacenti a quel lato.Due angoli non adiacenti sidicono opposti.

Definizione e proprieta dei trapezi

TRAPEZIO

Si dice trapezio un quadrilatero che ha (almeno) una coppia di lati paralleli.

A

AB || CD

B

CD

trapezio

568

TemaD14

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GLOSSARIOMULTIMEDIALE

MATEMATICAIN LABORATORIO

SCHEDAPER IL RECUPERO

quadrilateri

trapezi

Figura 14.2 L’insieme deitrapezi e un sottoinsiemeproprio dell’insieme deiquadrilateri.

Consideriamo ora il caso di un trapezio avente una sola coppia di lati paralleli, detti

basi del trapezio. Un tale trapezio puo essere ottenuto come intersezione tra una stri-

scia e un angolo convesso i cui lati siano incidenti ai lati della striscia (fig. 14.3).

A B

CD

Figura 14.3

Dal momento che, in generale, le basi di un trapezio non sono congruenti, si distin-

guono la base maggiore e la base minore (fig. 14.4). I lati non paralleli si chiamano lati

obliqui o semplicemente lati del trapezio. I segmenti di perpendicolare condotti dagli

estremi della base minore alla base maggiore si dicono altezze del trapezio.

A H K B

C D

base maggiore

lato

ob

liqu

o lato obliquo

base minore

alt

ezza

alt

ezza

Figura 14.4

Un trapezio si dice rettangolo se uno (solo) dei suoi lati obliqui e perpendicolare alle

basi; un trapezio si dice isoscele se i suoi lati obliqui sono tra loro congruenti e le basi

non sono congruenti (fig. 14.5).

A B

CD

trapezio rettangolo

A B

CD

trapezio isoscele Figura 14.5

Gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo di un trapezio sono coniugati interni ri-

spetto alle rette parallele cui appartengono le basi, tagliate dalla retta cui appartiene il

lato obliquo considerato. Vale percio il seguente teorema.

Proprieta degli angoli di un trapezio TEOREMA 14.1

Gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo di un trapezio sono supplementari.

B + C = 180°

A

A + D = 180°

B

CD

In generale, fra i lati e gli angoli di un trapezio non sussistono altre particolari pro-

prieta. Se, pero, il trapezio e isoscele, allora valgono le proprieta espresse nel teorema

a pagina seguente.

Unita 14 Quadrilateri

569

TEOREMA 14.2 Proprieta di un trapezio isoscele

In un trapezio isoscele:

a. gli angoli adiacenti a ciascuna delle basi sono congruenti;

b. le diagonali sono congruenti.

Non diamo la dimostrazione dettagliata di questo teorema, ma ti invitiamo a produrla

da solo, aiutandoti con i suggerimenti indicati nelle didascalie delle seguenti figure.

IPOTESI ABjjCD

AD ffi BC

A H K B

CD

TESI bAA ffi bBB, bCC ffi bDD

Figura 14.6 Tracciate le altezze DH e CK del trapezio, i due triangoli rettangoli AHD e BKC

sono congruenti (ricorda i teoremi 13.9 e 13.12). Pertanto, DbAAB ffi CbBBA. Da cio segue anche

AbDDC ffi B bCCD (perche?).

IPOTESI ABjjCD

AD ffi BC

A B

CD

TESI AC ffi BD

Figura 14.7 Tenendo conto che gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezioisoscele sono congruenti, e facile dimostrare che i due triangoli ABD e ABC sono congruenti.Pertanto, si ha AC ffi BD.

Le proprieta espresse nel teorema 14.2 sono anche condizioni sufficienti a garantire

che un trapezio sia isoscele. Per ora ci limitiamo a enunciare tali condizioni (le dimo-

strazioni saranno proposte negli esercizi).

TEOREMA 14.3 Condizioni sufficienti affinche un trapezio sia isoscele

Un trapezio e isoscele se e verificata una delle seguenti condizioni:

a. gli angoli adiacenti a una delle due basi sono congruenti;

b. le diagonali sono congruenti.

2. Parallelogrammi

Definizione di parallelogramma

Continuiamo il nostro percorso alla scoperta dei quadrilateri soffermandoci sui qua-

drilateri che hanno i lati opposti paralleli.

PARALLELOGRAMMA

Si dice parallelogramma un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.

A

AB || CD, AD || BC

B

CD

parallelogramma

570

Tema D Le nozioni di base della geometria

Esercizi p. 580

Ogni parallelogramma ha due coppie di lati paralleli, quindi puo considerarsi un par-

ticolare trapezio in cui viene meno la distinzione tra basi e lati obliqui. L’insieme dei

parallelogrammi e un sottoinsieme dell’insieme dei trapezi (fig. 14.8).

Il punto d’intersezione delle diagonali di un parallelogramma si chiama centro del

parallelogramma (fig. 14.9). Il segmento di perpendicolare condotto da uno dei verti-

ci di un parallelogramma al lato opposto o al suo prolungamento si chiama altezza

del parallelogramma. Per esempio, in fig. 14.10 DH e l’altezza condotta dal vertice D

e CK l’altezza condotta dal vertice C.

A

centro

B

C D

Figura 14.9

A H B

C D

K

Figura 14.10

Proprieta dei parallelogrammi

Poiche un parallelogramma e un trapezio in cui ogni lato puo essere considerato co-

me lato obliquo, possiamo concludere che gli angoli adiacenti a ciascun lato di un

parallelogramma sono supplementari.

I parallelogrammi godono di molte altre proprieta che in generale non valgono per i

trapezi. Il prossimo teorema esprime tali proprieta.

Proprieta di un parallelogramma TEOREMA 14.4

In ogni parallelogramma:

a. i lati opposti sono congruenti (fig. 14.11);

b. gli angoli opposti sono congruenti (fig. 14.12);

c. le diagonali si intersecano nel loro punto medio (fig. 14.13).

A B

CD

A B

CD

A B

CD

O

Figura 14.11 Figura 14.12 Figura 14.13

a. IPOTESI ABCD e un parallelogramma

TESI AB ffi CD, AD ffi BC (fig. 14.11)

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli ABD e BCD (fig. 14.14);

essi hanno:

� BD in comune;

� A bDDB ffi DbBBC perche alterni interni rispetto alle rette parallele AD e BC tagliate dalla

trasversale BD;

� B bDDC ffi AbBBD perche alterni interni rispetto alle rette parallele AB e CD tagliate dalla

trasversale BD.

I due triangoli ABD e BCD sono quindi congruenti per il secondo criterio di congruenza.

In particolare:

AB ffi CD e AD ffi BC


571

quadrilateri

trapezi

parallelogrammi

Figura 14.8

A B

CD

Figura 14.14

b. IPOTESI ABCD e un parallelogramma

TESI bAA ffi bCC, bBB ffi bDD (fig. 14.12)

DIMOSTRAZIONE

Dalla congruenza dei triangoli ABD e BCD (fig. 14.14), dimostrata nel passo precedente,

segue che bAA ffi bCC e che bDD ffi A bDDBþ B bDDC ffi DbBBCþ AbBBD ffi bBB.

c. IPOTESI ABCD e un parallelogramma; AC \ BD ¼ fOg

TESI AO ffi OC, BO ffi OD (fig. 14.13)

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i due triangoli AOB e DOC (fig. 14.15);

essi hanno:

� AB ffi CD per quanto mostrato al passo a;

� B bDDC ffi AbBBD per quanto mostrato al passo a;

� AbCCD ffi CbAAB perche alterni interni rispetto alle rette parallele AB e CD tagliate dalla

trasversale AC.

I due triangoli AOB e DOC sono quindi congruenti in base al secondo criterio di con-

gruenza. In particolare, AO ffi OC e BO ffi OD.

Condizioni per stabilire se un quadrilatero e un parallelogramma

Nel sottoparagrafo precedente abbiamo visto alcune proprieta che sono soddisfatte

da tutti i parallelogrammi. Ora ci poniamo il seguente problema: quali condizioni de-

ve soddisfare un quadrilatero perche sia un parallelogramma?

Una prima condizione deriva dalla definizione stessa di parallelogramma: se un qua-

drilatero ha i lati opposti paralleli, allora e un parallelogramma. Altre condizioni suffi-

cienti a garantire che un quadrilatero sia un parallelogramma sono espresse nel pros-

simo teorema, che ci limitiamo a enunciare.

TEOREMA 14.5 Condizioni sufficienti perche un quadrilatero sia un parallelogramma

Un quadrilatero e un parallelogramma se e verificata una delle seguenti condizioni:

a. i lati opposti sono congruenti;

b. gli angoli opposti sono congruenti;

c. le diagonali si intersecano nel loro punto medio;

d. due lati opposti sono congruenti e paralleli.

Attenzione!

Le prime due condizioni sufficienti espresse dal teorema 14.5 richiedono che entrambe le coppie

di lati opposti siano congruenti ed entrambe le coppie di angoli opposti siano congruenti. Una

sola coppia di lati (o angoli) opposti congruenti non basta a garantire che un quadrilatero sia unparallelogramma, come mostrano i quadrilateri disegnati in fig. 14.16.

quadrilatero con due lati opposti congruenti che

non è un parallelogramma

quadrilatero con due angoli opposti congruenti che

non è un parallelogramma

Figura 14.16

572


A B

O

CD

Figura 14.15

Esercizi p. 582

3. Rettangoli, rombi e quadratiConcludiamo il nostro percorso alla scoperta dei quadrilateri esaminando alcuni paral-

lelogrammi particolari che ti sono certamente gia noti: i rettangoli, i rombi e i quadrati.

Rettangoli

Introduciamo anzitutto la definizione.

RETTANGOLO

Un rettangolo e un quadrilatero che ha tutti gli angoli retti.

A B

C

A ≅ B ≅ C ≅ D ≅

D

2

π

In un rettangolo gli angoli opposti sono congruenti (in quanto retti), quindi ogni

rettangolo e un parallelogramma (teorema 14.5). L’insieme dei rettangoli e percio

un sottoinsieme dell’insieme dei parallelogrammi (fig. 14.17).

Poiche ogni rettangolo e un parallelogramma, valgono

per i rettangoli tutte le proprieta che valgono per i pa-

rallelogrammi. In particolare, le diagonali di un rettan-

golo si incontrano nel loro punto medio. Si puo dimo-

strare che le diagonali di un rettangolo sono anche con-

gruenti. Questa proprieta caratterizza i rettangoli nel-

l’insieme dei parallelogrammi. Valgono infatti i seguen-

ti teoremi, che ci limitiamo a enunciare.

rettangoli

parallelogrammi

Figura 14.17

Proprieta delle diagonali di un rettangolo TEOREMA 14.6

Un rettangolo ha le diagonali congruenti.

IPOTESI ABCD e un rettangolo

TESI AC ffi BD

D C

A B

Figura 14.18 I due triangoli ABC e ABD sono congruenti peril primo criterio (perche?), quindi le diagonali di ABCD sonocongruenti.

Condizione sufficiente perche un parallelogramma sia un rettangolo TEOREMA 14.7

Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora e un rettangolo.

Rombi

ROMBO

Un rombo e un quadrilatero che ha tutti i lati congruenti.

B

C A

D

AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA


573

Attenzione!

Il teorema 14.7 fornisce una

condizione che e valida soloper iparallelogrammi. Peresempio, ilquadrilatero in

fig. 14.19ha le diagonali

congruentimanon e unrettangolo.

D

C A

B

Figura 14.19

In un rombo, i lati opposti sono congruenti, quindi ogni rombo e un parallelogram-

ma (teorema 14.5). Anche l’insieme dei rombi (come l’insieme dei rettangoli) e per-

tanto un sottoinsieme dell’insieme dei parallelogrammi (fig. 14.20).

Poiche i rombi sono parallelogrammi, godono di tutte le proprieta dei parallelo-

grammi.

Abbiamo visto che i rettangoli sono i parallelogrammi caratterizzati dal fatto di avere

le diagonali congruenti; i rombi, invece, sono i parallelogrammi caratterizzati dal fatto

di avere le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli interni.

Valgono infatti i seguenti teoremi, che ci limitiamo a enunciare.

TEOREMA 14.8 Proprieta delle diagonali di un rombo

In un rombo le diagonali sono perpendicolari e sono bisettrici degli angoli interni

del rombo.

IPOTESI ABCD e un rombo

TESI a. AC? BD

b. D bCCA ffi B bCCA, DbAAC ffi BbAAC,

A bDDB ffi C bDDB e AbBBD ffi CbBBD

A

C

B O

D

TEOREMA 14.9 Condizioni sufficienti perche un parallelogramma sia un rombo

Un parallelogramma e un rombo se e verificata una delle seguenti condizioni:

a. le diagonali sono perpendicolari;

b. una diagonale e bisettrice di un angolo interno del parallelogramma.

Quadrati

QUADRATO

Un quadrato e un quadrilatero che ha tutti gli angoli retti e tutti i lati con-

gruenti.

A

C

B

D

AB ≅ BC ≅ CD ≅ DA

A ≅ ≅ ≅ ≅B C D π

2

Poiche un quadrato ha i quattro angoli retti e i quattro lati congruenti, esso e sia

un rettangolo sia un rombo. L’insieme dei quadrati e percio l’intersezione dell’in-

sieme dei rettangoli e dell’insieme dei rombi (fig. 14.21).

Per i quadrati valgono quindi sia le proprieta dei rettangoli sia quelle dei rombi.

In particolare, le diagonali di un quadrato sono congruenti (in quanto il quadra-

to e un rettangolo), perpendicolari e bisettrici degli angoli (in quanto il quadrato

e un rombo). Il seguente teorema riassume queste proprieta.

TEOREMA 14.10 Proprieta delle diagonali del quadrato

Le diagonali di un quadrato sono congruenti, perpendicolari e bisettrici degli ango-

li interni del quadrato.

574


parallelogrammi

rettangoli rombi

Figura 14.20

Attenzione!

Il teorema 14.9 esprime

delle condizioni sufficienti

perche un

parallelogramma sia unrombo. Non e detto che un

quadrilatero in cui le

diagonali sonoperpendicolari o in cui una

diagonale e bisettrice di un

angolo sia un rombo. Per

esempio, il quadrilaterodisegnato in fig. 14.19 ha le

diagonali perpendicolari e

BD e la bisettrice degli

angoli bBB e bDD, ma non e unrombo.

parallelogrammi

rettangoli rombi

quadrati

Figura 14.21

Per poter dire che un parallelogramma e un quadrato, bisogna verificare che e un ret-

tangolo e che e un rombo. Queste verifiche si possono fare utilizzando le condizioni

sufficienti espresse nei teoremi delle pagine precedenti.

Condizioni sufficienti perche un parallelogramma sia un quadrato TEOREMA 14.11

Un parallelogramma e un quadrato se e verificata una delle seguenti condizioni:

a. le diagonali sono congruenti e perpendicolari;

b. le diagonali sono congruenti e una di esse e bisettrice di un angolo interno del pa-

rallelogramma.

COLLEGHIAMO I CONCETTI

Dai trapezi ai quadrati

u Nel nostro percorso alla scoperta dei quadrilateri, siamo partiti da quadrilateri con

«poche proprieta», i trapezi, e abbiamo via via introdotto quadrilateri sempre piu

ricchi di proprieta: i parallelogrammi, i rettangoli, i rombi e i quadrati.

u Le relazioni di inclusione tra gli insiemi formati dai vari tipi di quadrilateri sono vi-

sualizzate nel diagramma di Venn della fig. 14.22.

rettangoli rombi

quadrati

trapezi

quadrilateri

parallelogram

mi

trapeziisosceli

Figura 14.22

u Ogni nuovo insieme di quadrilateri che abbiamo introdotto, tranne l’insieme dei

rombi, e risultato essere un sottoinsieme dell’insieme precedente. Quindi ogni

nuova figura ha «ereditato» le proprieta delle figure dell’insieme precedente e si e

arricchita di nuove proprieta.

L’unica eccezione nell’arricchimento di proprieta si e avuta per l’insieme dei qua-

drati, che e l’intersezione dell’insieme dei rettangoli e di quello dei rombi.

Di conseguenza, i quadrati godono di tutte le proprieta delle altre figure, ma non

di nuove proprieta rispetto a esse.

4. Il piccolo teorema di Talete

La corrispondenza di Talete

I teoremi che abbiamo studiato per i parallelogrammi ci consentono di dimostrare

nuove proprieta a proposito delle rette parallele tagliate da trasversali. Ricordiamo an-

zitutto che l’insieme di tutte le rette parallele a una retta data si chiama fascio impro-

prio di rette.


575

Attenzione!

Abbiamo definito «trapezio

isoscele» un trapezio che ha

i lati obliqui congruenti,ma

le basi non congruenti. La

richiesta che le basi siano

disuguali esclude che un

parallelogrammapossaconsiderarsi un trapezio

isoscele: dunque, secondo le

definizioni che abbiamo

dato, l’insieme deiparallelogrammi e quello

dei trapezi isosceli sono

disgiunti. Ma perche

abbiamo dato definizionitali da escludere che i

parallelogrammi possano

considerarsi trapezi isosceli?La risposta e semplice: se un

parallelogrammapotesse

considerarsi un trapezio

isoscele dovrebbe avere leproprieta tipiche dei trapezi

isosceli (comeper esempio

avere le diagonali

congruenti), ma cio ingeneralenon si verifica (le

diagonali di un

parallelogramma sonocongruenti se e solo se il

parallelogramma e un

rettangolo). Dunque

ammettere che iparallelogrammi siano

particolari trapezi isosceli

condurrebbe a delle

contraddizioni.

Esercizi p. 584

Si puo dimostrare che, se una retta taglia una delle rette di un fascio improprio, allora

le taglia tutte. Una tale retta si chiama trasversale (fig. 14.23).

Se un fascio improprio di rette e tagliato da due trasversali, i due punti in cui ciascuna

retta del fascio interseca le trasversali si dicono corrispondenti. Per esempio, nella

fig. 14.24, A e A0 sono corrispondenti, B e B0 sono corrispondenti, C e C0 sono corri-

spondenti, e cosı via. La corrispondenza che associa a ogni punto di una trasversale r

il punto corrispondente su di un’altra trasversale r0 e biunivoca e viene chiamata cor-

rispondenza di Talete.

fascio improprio di rette

trasversale

A A'

B B'

C C'

D D'

Figura 14.23 Figura 14.24

Due segmenti si dicono corrispondenti se gli estremi dell’uno sono i corrispondenti

degli estremi dell’altro.

Esempi Controesempi

In fig. 14.24:

� AB e A0B0 sono corrispondenti

� AC e A0C 0 sono corrispondenti

In fig. 14.24:

� AA0 e BB0 non sono corrispondenti

� BB0 e CC 0 non sono corrispondenti

In generale non sussiste alcuna particolare relazione tra due segmenti corrispondenti;

per esempio, non e detto che un segmento e il suo corrispondente siano congruenti.

Tuttavia, se due segmenti su una trasversale sono congruenti, allora anche i loro cor-

rispondenti sono congruenti. Per esempio, se sapessimo che in fig. 14.24 e AB ffi CD,

allora potremmo dire che anche A0B0 ffi C0D0. Questo e sostanzialmente il contenuto

del prossimo teorema, noto come «piccolo teorema di Talete», perche verra completa-

to nel Volume 2 da un altro teorema, a questo strettamente connesso, e ricordato co-

me «grande teorema di Talete» o semplicemente «teorema di Talete».

TEOREMA 14.12 Piccolo teorema di Talete

Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su

una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.

IPOTESI a k b k c k d, AB ffi CD (fig. 14.25)

TESI A0B0 ffi C0D0 (fig. 14.25)

DIMOSTRAZIONE

COSTRUZIONE PRELIMINARE

Conduciamo da A la parallela a r 0 e indichia-

mo con E il suo punto d’intersezione con b.

Analogamente, conduciamo da C la parallela

a r 0 e indichiamo con F il suo punto di inter-

sezione con d (fig. 14.25).

A

E

F

A'

B

a

b

c

d r

r'

B'

C C'

D D'

Figura 14.25

576


Dalla storia

Non si sa molto della vita e

dell’opera di Talete. Dalle

fonti si puo stimare che

visse fra il 625 a.C. e il 548a.C. Talete e il primo uomo

nella storia al quale sono

state attribuite specifiche

scoperte matematiche. Unadi queste e il teorema qui a

fianco.

Dimostriamo che i triangoli ABE e CDF sono congruenti

Tali triangoli hanno:

� AB ffi CD per ipotesi;

� BbAAE ffi D bCCF perche corrispondenti rispetto alle rette parallele AE e CF tagliate dalla

trasversale r;

� AbBBE ffi C bDDF perche corrispondenti rispetto alle rette parallele b e d, tagliate dalla tra-

sversale r.

quindi sono congruenti per il secondo criterio di congruenza. In particolare:

AE ffi CF

Osserviamo che AEB0A0 e CFD0C 0 sono parallelogrammi

Infatti essi hanno i lati opposti paralleli. Di conseguenza:

AE ffi A0B0 e CF ffi C0D0

Concludiamo

Abbiamo dimostrato che:

AE ffi CF, AE ffi A0B0 e CF ffi C0D0

Per la proprieta simmetrica e transitiva della congruenza, segue A0B0 ffi C0D0.

Un’immediata conseguenza del piccolo teorema di Talete e la seguente.

COROLLARIO

La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due

lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.

IPOTESI AM ffi MB eMN k BC (fig. 14.26)

TESI AN ffi NC (fig. 14.26)

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo le seguenti tre rette parallele: la retta BC, la retta MN e la retta pas-

sante per A parallela a BC (fig. 14.26). Esse risultano tagliate dalle trasversali AB

e AC. Per ipotesi i segmenti AM e MB sulla trasversale AB sono congruenti, quin-

di, per il piccolo teorema di Talete, devono essere congruenti anche i segmenti

corrispondenti sulla trasversale AC. Di conseguenza, AN ffi NC.

Teorema dei punti medi TEOREMA 14.13

Il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo e parallelo al terzo

lato e congruente alla sua meta.

IPOTESI AM ffi MB e AN ffi NC (fig. 14.27)

TESI a. MN k BC b. MN ffi1

2BC (fig. 14.27)

DIMOSTRAZIONE

a. Se conduciamo da M la parallela al lato BC del triangolo, questa, per il corollario pre-

cedente, incontra il lato AC nel suo punto medio che, per ipotesi, e N. Pertanto la

retta MN coincide con questa parallela e dunque MN k BC.

b. Conduciamo da N la parallela ad AB (fig. 14.28). Per il corollario precedente, essa in-

terseca BC nel suo punto medio O, quindi

BO ffi1

2BC

D’altra parte, per costruzione, MNOB e un parallelogramma, quindi MN ffi BO.

Per la proprieta transitiva della congruenza segue MN ffi1

2BC.


577

Rifletti

La dimostrazione del

piccolo teorema di Talete

che abbiamo fornitofunziona nell’ipotesi che le

trasversali r ed r 0 non siano

parallele (sai giustificare

perche?). Se le trasversali red r 0 sono parallele,

tuttavia, la dimostrazione

del teorema e immediata.Lasciamo a te il compito di

produrla per esercizio.

A

N M

B C

Figura 14.26

A

N M

B C

Figura 14.27

A

N M

O B C

Figura 14.28

Suddivisione di un segmento in n parti congruenti

Il piccolo teorema di Talete giustifica la seguente costruzione, che consente di suddi-

videre un segmento in 3 parti congruenti.

COSTRUZIONE Suddivisione di un segmento in tre parti congruenti

Ripetendo un procedimento analogo, ma riportando il segmento AP1 sulla semiretta

n volte (invece di tre), si puo suddividere il segmento AB in n parti congruenti.

A

P1

r

B

A

P1

P2

P3 r

B

A

P1

P'1

P'2

P2

P3 r

B

n1 Sia dato un segmento AB. Trac-

ciamo una qualsiasi semiretta r, di

origine A, e prendiamo su di essa un

punto P1.

n2 Costruiamo su r, con il compas-

so, i due punti P2 e P3, tali che

AP1 ffi P1P2 ffi P2P3.

n3 Tracciamo la retta P3B e poi co-

struiamo le rette parallele a P3B, pas-

santi per P1 e P2, indicando con P0

1 e

P0

2 i loro punti di intersezione con

AB. Per il piccolo teorema di Talete,

il segmento AB resta diviso dai punti

P0

1 e P0

2 in tre parti congruenti.

578


Matematica in laboratorio

� Il Teorema di Varignon� Costruire rombi

Esercizi p. 587

Parole chiave

Termini tratti dal glossario e speakerati

Parallelogramma (Parallelogram)

Trapezio (Trapezium)

Trapezio isoscele (Isosceles trapezium)

Altezza di un trapezio (Height of a trapezium)

Angoli adiacenti ai lati di un quadrilatero

(Consecutive angles in a quadrilateral)

Angoli opposti di un quadrilatero

(Opposite angles in a quadrilateral)

Basi di un trapezio (Parallel sides of a trapezium)

Corrispondenza di Talete

Lati consecutivi di un quadrilatero

(Consecutive sides of a quadrilateral)

Lati obliqui di un trapezio (Legs of a trapezium)

Lati opposti di un quadrilatero

(Opposite sides of a quadrilateral)

Quadrato (Square)

Rettangolo (Rectangle)

Rombo (Rhombus)

Segmenti corrispondenti (Corresponding line segments)

Trapezio rettangolo (Right-angled trapezium)

Vertici consecutivi di un quadrilatero

(Consecutive vertices of a quadrilateral)

Vertici opposti di un quadrilatero

(Opposite vertices of a quadrialteral)

Teoremi e proprieta importanti

Tipo di quadrilatero Definizione Proprieta

Trapezio Si dice trapezio un quadrilatero che ha(almeno) una coppia di lati paralleli.

Gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquosono supplementari.

Parallelogramma Si dice parallelogramma un quadrilateroche ha i lati opposti paralleli.

I lati opposti sono congruenti. Gli angoli opposti sono congruenti. Le diagonali si intersecano nel loro puntomedio.

Rettangolo Un rettangolo e un quadrilatero che hatutti gli angoli retti.

E un parallelogramma. Ha le diagonali congruenti.

Rombo Un rombo e un quadrilatero che ha tutti ilati congruenti.

E un parallelogramma. Le diagonali sono perpendicolari e sonobisettrici degli angoli interni del rombo.

Quadrato Un quadrato e un quadrilatero che ha tuttigli angoli retti e tutti i lati congruenti.

E un rombo e un rettangolo. Le diagonali sono congruenti, perpendicolarie bisettrici degli angoli interni del quadrato.

Affinche ... ... e sufficiente che abbia ...

... un quadrilatero sia un parallelogramma i lati opposti paralleli, oppure i lati opposti congruenti, oppure gli angoli opposti congruenti, oppure le diagonali che si intersecano nel loro punto medio, oppure una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

... un parallelogramma sia un rettangolo le diagonali congruenti.

... un parallelogramma sia un rombo le diagonali perpendicolari, oppure una diagonale bisettrice di un angolo interno del parallelogramma.

Piccolo teorema di Talete

Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono seg-

menti congruenti sull’altra trasversale.

579

Sintesi Quadrilateri

1. Trapezi Teoria p. 568

Esercizi preliminari

1 Completa le seguenti affermazioni.

a. Un trapezio e un quadrilatero in cui ...................................

b. Gli angoli adiacenti a un lato obliquo di un trapezio sono ...................................

c. Se i lati obliqui di un trapezio sono congruenti (e le basi non lo sono), il trapezio si dice ...................................

d. Un trapezio si dice rettangolo se ...................................

2 Vero o falso?

a. in ogni trapezio gli angoli opposti sono congruenti V F

b. in ogni trapezio isoscele le diagonali sono congruenti V F

c. in ogni trapezio ci sono almeno due coppie di angoli congruenti V F

d. in ogni trapezio la somma degli angoli interni e 360� V F

e. in ogni trapezio le diagonali si incontrano nel loro punto medio V F

f. se in un trapezio ABCD, di base minore AB e base maggiore CD, il punto d’intersezione dei prolungamenti

dei lati obliqui forma con A e B un triangolo isoscele sulla base AB, allora il trapezio e isoscele. V F

[3 affermazioni vere e 3 false]

Problemi

3 Calcola le ampiezze di tutti gli angoli interni ai trapezi disegnati nelle seguenti figure. Tieni conto che gli elementi

contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti.

60°

A B

CD

130°

A B

CD

15°

A B

CD

4 In un trapezio ABCD, di base maggiore AB, l’ampiezza di bAA supera di 15� l’ampiezza di bBB. La somma delle ampiezze

di bAA e bBB e 65�. Determina l’ampiezza di ciascuno dei quattro angoli del trapezio. [bAA ¼ 40�, bBB ¼ 25�, bCC ¼ 155�, bDD ¼ 140�]

5 In un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB, la somma tra il triplo dell’ampiezza di bAA e l’ampiezza di bCC e

330�. Determina l’ampiezza di ciascuno dei quattro angoli del trapezio. [bAA ¼ bBB ¼ 75�, bCC ¼ bDD ¼ 105�]

6 In un trapezio ABCD, di base maggiore AB, l’ampiezza dell’angolo bBB e una volta e mezza l’ampiezza dell’angolo bAA e

la somma delle ampiezze dei tre angoli bAA, bBB e bCC e uguale a 222�. Determina l’ampiezza di ciascuno dei quattro angoli del

trapezio. [bAA ¼ 42�, bBB ¼ 63�, bCC ¼ 117�, bDD ¼ 138�]

Dimostrazioni

7 ESERCIZIO GUIDATO

Sia O il punto di intersezione delle diagonali di un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e base minore CD.

Dimostra che i triangoli AOB e COD sono isosceli.

IPOTESI AB k CD, AD ffi BC

TESI ........................................

D

O

C

A B

EserciziUnità

TemaD14

580

DIMOSTRAZIONE

� Considera i due triangoli ABD e ABC. Essi hanno:

– AB in comune;

– AD ffi ::::: per .......................................................

– BD ffi ::::: perche in un trapezio isoscele le diagonali sono .......................................................

� Contrassegna, nella figura, con lo stesso simbolo gli elementi congruenti.

� Puoi dire che i due triangoli sono congruenti in base al .............................................................................................................. In particolare:

BbAAC ffi :::::

Quindi AOB e isoscele.

� Osserva infine che:

BbAAC ffi AbCCD perche ............................................................................................................................................................................................................................

AbBBD ffi B bDDC perche ............................................................................................................................................................................................................................

Poiche, per la precedente dimostrazione, BbAAC ffi AbBBD, segue AbCCD ffi B bDDC; quindi anche COD e isoscele.

8 In un trapezio ABCD, le diagonali AC e BD si incontrano nel punto O. Dimostra che se il triangolo AOB e isoscele

sulla base AB, allora il trapezio e isoscele. (Suggerimento: ricorda il teorema 14.3)

9 Dimostra che in un trapezio isoscele in cui le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore i lati

obliqui sono congruenti alla base minore.

10 Dimostra che in un trapezio isoscele in cui i lati obliqui sono congruenti alla base minore le diagonali sono bisettri-

ci degli angoli adiacenti alla base maggiore.

11 Dimostra che il segmento che congiunge i punti medi delle basi di un trapezio isoscele e perpendicolare alle basi.

(Suggerimento: congiungi gli estremi della base minore con il punto medio della base maggiore e considera il triangolo ot-

tenuto)

12 ESERCIZIO GUIDATO

Dimostra che un trapezio che ha le diagonali congruenti e isoscele.

IPOTESI AB k CD e AC ffi BD

TESI AD ffi BC

D C

A H K B

DIMOSTRAZIONE

� Traccia le altezze CK e DH.

� Considera i triangoli rettangoli BHD e AKC. Essi hanno:

– DH ffi CK perche ............................................................................

– AC ffi BD per ipotesi

Quindi sono congruenti in base al .............................................

In particolare CbAAK ffi DbBBH.

� Considera ora i triangoli ABD e ABC. Essi hanno:

– AB in comune

– AC ffi BD per ipotesi

– CbAAB ffi DbBBA per la precedente dimostrazione.

Pertanto tali triangoli sono congruenti per il ......................

..............................................................................................................................

In particolare sara ...................................................................................

13 Dimostra che un trapezio avente gli angoli adiacenti alla base maggiore congruenti e isoscele.

(Suggerimento: fai riferimento alla figura dell’esercizio precedente e considera i triangoli AHD e BKC)

14 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le mediane AM e BN.

Dimostra che il quadrilatero ABMN e un trapezio isoscele.

15 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le bisettrici AP e BQ.

Dimostra che il quadrilatero ABPQ e un trapezio isoscele.

581


ESERCIZI

16 In un trapezio rettangolo ABCD, di base maggiore

AB e base minore CD, la diagonale AC e perpendicolare e

congruente al lato obliquo BC.

a. Determina le ampiezze di tutti gli angoli interni dei

triangoli ACB e ACD.

b. Dimostra che l’altezza e la base minore del trapezio

sono congruenti e che AB ffi 2CD.

17 Dimostra che il punto di intersezione delle diagona-

li di un trapezio isoscele appartiene alla retta che con-

giunge i punti medi delle basi.

(Suggerimento: sia AB la base maggiore, CD la base minore,

O il punto di intersezione delle diagonali ed M, N i punti

medi di AB e CD; dimostra preliminarmente che

OM ? AB e ON ? CDÞ

2. Parallelogrammi Teoria p. 570


18 Vero o falso?

a. le diagonali di un parallelogramma sono sempre perpendicolari V F

b. le diagonali di un parallelogramma sono sempre bisettrici degli angoli V F

c. ogni parallelogramma ha una coppia di lati paralleli V F

d. gli angoli adiacenti a ogni lato di un parallelogramma sono supplementari V F

e. gli angoli adiacenti ad almeno un lato di un parallelogramma sono congruenti V F


19 In riferimento alla figura qui sotto a destra, completa ciascuna delle seguenti ipotesi con un’ipotesi aggiuntiva che,

insieme a quella data, sia sufficiente a garantire che ABCD sia un parallelogramma.

a. AB k CD e ....................

b. AO ffi OC e ....................

c. AD ffi BC e ....................

d. bAA ffi bCC e ....................

BA

O

CD

Problemi

20 I quadrilateri nelle figure qui sotto sono parallelogrammi. Determina le ampiezze degli angoli indicati con il punto

interrogativo.

BA

CD

65° ?

?

BA

CD

56°

21°

?

BA

CD

65° 15°

?

?

?

21 Dato un parallelogramma ABCD, la somma delle ampiezze dei tre angoli bAA, bBB e bCC e uguale a 193�. Determina l’am-

piezza di ciascuno dei quattro angoli del parallelogramma. [bAA ¼ bCC ¼ 13�, bBB ¼ bDD ¼ 167�]

22 Dato un parallelogramma ABCD, l’angolo bCC supera di 6� il doppio di bBB. Determina l’ampiezza di ciascuno dei quat-

tro angoli del parallelogramma. [bAA ¼ bCC ¼ 122�, bBB ¼ bDD ¼ 58�]

23 Nella figura qui sotto il quadrilatero ABCD e un parallelogramma, r e una semiretta di origine B perpendicolare ad

AB ed s e una retta passante per B. Determina il valore di x.

AB

rsx

CD150°

2x + 20°

[40�]

24 Dato un parallelogramma ABCD, considera un an-

golo esterno del parallelogramma di vertice D e un ango-

lo esterno del parallelogramma di vertice C. Sapendo che

l’ampiezza dell’angolo esterno di vertice C supera di 20�

il triplo dell’ampiezza dell’angolo esterno di vertice D, de-

termina le ampiezze degli angoli interni del parallelo-

gramma. [bAA ¼ bCC ¼ 40�, bBB ¼ bDD ¼ 140�]

25 Le diagonali di un quadrilatero ABCD si incontrano

in O e risulta AO ffi OC. La lunghezza di OB e 3 cm in piu

della meta della lunghezza di AC e la lunghezza di OD su-

pera di 6 cm un quarto della lunghezza di AC. Determina

quali devono essere le lunghezze delle diagonali affinche

il quadrilatero risulti un parallelogramma.

[AC ¼ 12 cm, BD ¼ 18 cm]

582


ESERCIZI

Dimostrazioni (le proprieta dei parallelogrammi)


Sia O il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma ABCD. Traccia una retta r passante per O e in-

dica con P il suo punto di intersezione con il lato AB e con Q il suo punto di intersezione con il lato CD. Dimostra

che O e il punto medio di PQ.

IPOTESI ..........................................................................................................

TESI PO ffi OQ

B P A

O

r C D Q

DIMOSTRAZIONE

� Considera i triangoli POB e QOD. Essi hanno:

– OD ffi :::::::::: perche in un parallelogramma le diagonali .............................................................................................................................................

– P bOOB ffi Q bOOD perche ...........................................................................................................................................................................................................................

– PbBBO ffi :::::::::: perche angoli :::::::::: rispetto alle rette parallele ..................................... tagliate dalla trasversale .....................................

� Nella figura contrassegna con lo stesso simbolo gli elementi congruenti nei due triangoli POB e QOD.

� Puoi dire che i triangoli POB e QOD sono congruenti in base al ...............................................................................................................................

In particolare, PO ffi OQ in quanto elementi :::::::::: in triangoli congruenti.

27 Dimostra che in un parallelogramma ABCD i vertici opposti B e D hanno la stessa distanza dalla diagonale AC.

28 In un parallelogramma ABCD, traccia la diagonale AC e considera, su tale diagonale, due punti E ed F tali che

AE ffi FC. Dimostra che i triangoli AED e BFC sono congruenti.

29 Dato un parallelogramma ABCD, indica con O il punto d’intersezione delle diagonali e dimostra che la distanza di

O dalla retta AD e uguale alla distanza di O dalla retta BC.

30 Dato un parallelogramma ABCD, prolunga:

� il lato AD, dalla parte di D, di un segmento DE;

� il lato BC, dalla parte di B, di un segmento BF, tale che BF ffi DE.

Indica con O il punto d’intersezione delle diagonali di ABCD e dimostra che i due triangoli DOE e BOF sono congruenti.


In un parallelogramma ABCD, in cui CD > AD, considera sul lato CD il punto P tale che DP ffi AD. Dimostra che la

semiretta AP e la bisettrice dell’angolo bAA:

IPOTESI ABCD e un ................................................................................

TESI BbAAP ffi DbAAP

B

P

A

C D

DIMOSTRAZIONE

� Dal momento che ABCD e un parallelogramma, il lato AB e parallelo al lato ............................................................................. Dunque

BbAAP ffi :::::::::: [*]

perche alterni interni rispetto alle parallele .......... e ..............., tagliate dalla trasversale ..........

� Il triangolo DAP e ............... sulla base .........., quindi:

DbPPA ffi :::::::::: [**]

Confrontando [*] e [**], per la proprieta transitiva della congruenza puoi dedurre che .......................................................

32 Dato un parallelogramma ABCD, traccia la bisettrice dell’angolo bDD e indica con P il suo punto di intersezione con il

lato AB o con il suo prolungamento. Dimostra che AD ffi AP.

33 Videolezione Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera un punto P su AB. Traccia:

� la parallela a BC, passante per P, e indica con Q il punto in cui incontra il lato AC;

� la parallela ad AC, passante per P, e indica con R il punto in cui incontra il lato BC.

Dimostra che PQ þ PR ffi AC.

583


ESERCIZI

Dimostrazioni (condizioni sufficienti perche un quadrilatero sia un parallelogramma)


Dato un segmento AB e condotta una retta a passante

per A, traccia la retta b, passante per B e parallela ad a.

Per il punto medio M di AB, traccia poi un’altra retta r

che interseca la retta a in P e la retta b in Q. Dimostra

che il quadrilatero APBQ e un parallelogramma.

A r

P

M

Q

a

b

B

IPOTESI a k b e AM ffi BM

TESI APBQ e un parallelogramma

DIMOSTRAZIONE

� Considera i due triangoli AMP e BMQ.

Essi hanno:

– AM ffi BM per ipotesi

– A bMMP ffi :::::::::: perche ....................

– M bBBQ ffi ::::::::::perche ...................................

� Contrassegna con lo stesso simbolo, nella figura, gli

elementi congruenti nei due triangoli AMP e BMQ.

� Tali triangoli sono congruenti per il .................... In parti-

colare sara AP ffi :::::::::: Ma allora il quadrilatero APBQ

ha i due lati opposti AP e BQ che sono ............... (perche

per ipotesi a k bÞ e .................... (per quanto appena dimo-

strato), quindi e un ....................................

35 Dato un triangolo ABC, prolunga il lato AC, dalla

parte di A, di un segmento AD ffi AC e il lato AB, dalla par-

te di A, di un segmento AE ffi AB. Dimostra che il quadri-

latero BCED e un parallelogramma.

36 Date due rette parallele a e b e una trasversale r che

incontra a in A e b in B, traccia le bisettrici di una coppia

di angoli alterni interni formati da a, b e r. Queste due bi-

settrici intersecano a e b, rispettivamente, in C e D (oltre

che in A e BÞ. Dimostra che il quadrilatero ACBD e un pa-

rallelogramma.

37 In un triangolo ABC, conduci la mediana CM e pro-

lungala, dalla parte diM, di un segmentoMD ffi CM. Dimo-

stra che il quadrilatero ADBC e un parallelogramma.

38 Due triangoli ABC e A0BC, appartenenti a semipiani

opposti aventi come origine la retta BC, sono tali che

AB ffi A0C e AbBBC ffi A0 bCCB. Dimostra che il quadrilatero

ABA0C e un parallelogramma.

39 Due triangoli ABC e A0BC, appartenenti a semipiani

opposti aventi come origine la retta BC, sono tali che

AbBBC ffi A0 bCCB e AbCCB ffi A0 bBBC. Dimostra che il quadrilatero

ABA0C e un parallelogramma.

40 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, pro-

lunga AC dalla parte di C e traccia la bisettrice dell’angolo

esterno di vertice C che si viene a determinare. Conside-

ra, su tale bisettrice, il punto D tale che CD ffi AB e dimo-

stra che il quadrilatero ABDC e un parallelogramma.

3. Rettangoli, rombi e quadrati Teoria p. 573


41 Vero o falso?

a. in ogni rettangolo le diagonali sono congruenti V F

b. in ogni rettangolo le diagonali sono bisettrici degli angoli del rettangolo V F

c. ogni rettangolo e un parallelogramma V F

d. ogni parallelogramma e un rettangolo V F

e. ogni quadrilatero con le diagonali congruenti e un rettangolo V F

f. ogni parallelogramma con le diagonali congruenti e un rettangolo V F


42 Vero o falso?

a. in ogni rombo le diagonali sono perpendicolari V F

b. in ogni rombo le diagonali sono congruenti V F

c. ogni rombo e un parallelogramma V F

d. ogni parallelogramma e un rombo V F

e. ogni quadrilatero con le diagonali perpendicolari e un rombo V F

f. ogni parallelogramma con le diagonali perpendicolari e un rombo V F


584


ESERCIZI

43 Vero o falso?

a. in ogni quadrato le diagonali sono

perpendicolari V F

b. in ogni quadrato le diagonali sono

congruenti V F

c. ogni quadrato e un rombo V F

d. ogni rombo e un quadrato V F

e. ogni quadrilatero con le diagonali

perpendicolari e congruenti e un quadrato V F

f. ogni rettangolo che ha due lati consecutivi

congruenti e un quadrato V F

[4 affermazioni vere e 2 false]Problemi

44 Un rettangolo ABCD e tale che la lunghezza del lato

AB supera di 1 cm il doppio della lunghezza di BC. Un

rombo, avente lo stesso perimetro del rettangolo, ha il la-

to la cui lunghezza supera di 2 cm la meta della lunghez-

za di AB. Determina la lunghezza di BC. [4 cm]

45 Un rettangolo ABCD e tale che la lunghezza del lato

AB supera di 5 cm quella del lato BC. Un rombo ha il lato

che supera di 3 cm la meta della lunghezza di AB. Inoltre

il perimetro del rombo supera di 6 cm il perimetro del ret-

tangolo. Determina la lunghezza di BC. [3 cm]

46 Un parallelogramma ABCD e tale che la lunghezza

della diagonale AC supera di 4 cm la lunghezza del lato

BC. La lunghezza della diagonale BD e 7 cm in piu della

meta della lunghezza di BC. Determina la lunghezza di

BC in modo che il parallelogramma sia un rettangolo.

[6 cm]

47 Un parallelogramma ABCD, di centro O, e tale che

l’angolo AbCCD e1

7dell’angolo A bDDC. L’ampiezza dell’ango-

lo B bCCA e 50� in meno della meta dell’ampiezza dell’ango-

lo A bDDC. Determina l’ampiezza dell’angolo A bDDC in modo

che il parallelogramma sia un rombo. [140�]

Dimostrazioni (rettangoli)

48 La definizione «un rettangolo e un parallelogramma

con tutti gli angoli retti» e corretta, ma contiene alcune

informazioni non necessarie che si potrebbero ricavare

da altre. Chiarisci questa affermazione.

49 Spiega se e possibile definire un rettangolo tramite

la seguente affermazione: «un rettangolo e un parallelo-

gramma con un angolo retto».

50 In un rettangolo ABCD, sia O il punto d’intersezio-

ne delle diagonali. Che tipo di triangolo e AOB? Che tipo

di triangolo e ABC? Perche?

51 Dimostra che un quadrilatero con tre angoli retti e

un rettangolo.

52 Dimostra che un parallelogramma con le diagonali

congruenti e un rettangolo.

53 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, pro-

lunga il lato AC, dalla parte di C, di un segmentoCD ffi AC,

e il lato BC, dalla parte di C, di un segmento CE ffi BC. Di-

mostra che il quadrilateroABDE e un rettangolo.

(Suggerimento: puo essere utile sfruttare il criterio dimo-

strato nell’esercizio precedente)

54 Sia ABC un triangolo. Traccia la retta r passante per

A e parallela a BC. Indica con B0 e C0 le proiezioni di B e C

sulla retta r. Dimostra che il quadrilatero BB0C0C e un ret-

tangolo.

55 In un quadrilatero ABCD, le due diagonali AC e BD

sono congruenti e si incontrano in O; inoltre DO ffi CO e

AB ffi DC. Dimostra, nell’ordine, che:

a. i due triangoli AOD e BOC sono congruenti;

b. il quadrilatero e un parallelogramma;

c. il quadrilatero e un rettangolo.

Dimostrazioni (rombi)

56 Spiega se e possibile definire un rombo tramite la seguente affermazione: «un rombo e un parallelogramma con

due lati consecutivi congruenti».

57 La definizione «un rombo e un parallelogramma con tutti i lati congruenti» e corretta, ma contiene alcune infor-

mazioni non necessarie che si potrebbero ricavare da altre. Chiarisci questa affermazione.

58 In un rombo ABCD, sia O il punto d’intersezione delle diagonali. Che tipo di triangoli sono AOB e BOC? Che tipo

di triangoli sono ABC e ABD? Perche?

59 In un rombo ABCD, di diagonale minore AC, il triangolo ABC e equilatero. Quali sono le ampiezze degli angoli del

rombo?

60 Sia O il centro di un rombo ABCD. Condotta da O la parallela al lato AD che incontra in E il lato CD, dimostra che il

triangolo DOE e isoscele sulla base DO.

61 Esternamente a un rettangolo ABCD, costruisci i triangoli equilateri ABE, BCF, CDG, DAH. Dimostra che il quadrila-

tero EFGH e un rombo.

62 Videolezione Disegna un rombo ABCD e prolunga AD, dalla parte di A, di un segmento AE ffi AD. Dimostra che

il quadrilatero AEBC e un parallelogramma e che BD e perpendicolare a BE.

585


ESERCIZI

63 Dimostra che i punti medi dei lati di un rettangolo

sono i vertici di un rombo.

64 Un quadrilatero ABCD e tale che AB ffi AD,

BC ffi CD e bAA ffi bCC. Dimostra che e un rombo.

(Suggerimento: dimostra che i due triangoli ABD e CBD

sono congruenti)

65 Dimostra che il punto di intersezione delle diagona-

li di un rombo e equidistante dai lati del rombo.

66 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci

l’altezza CH. Da H traccia la parallela ad AC, che incontra

CB in K, e la parallela a BC, che incontra AC in R. Dimo-

stra che il quadrilatero HKCR e un rombo.

Dimostrazioni (quadrati)

67 Spiega se e possibile definire un quadrato tramite la

seguente affermazione: «un quadrato e un rombo con un

angolo retto».

68 Spiega se e possibile definire un quadrato tramite la

seguente affermazione: «un quadrato e un rombo avente

tutti gli angoli congruenti».

69 La definizione «un quadrato e un parallelogramma

con tutti gli angoli retti e tutti i lati congruenti» e corret-

ta, ma contiene alcune informazioni non necessarie che

si potrebbero ricavare da altre. Chiarisci questa afferma-

zione.

70 Dimostra che un rettangolo in cui le diagonali sono

bisettrici degli angoli e un quadrato.

71 Un quadrilatero ABCD e tale che bAA ffi bCC, AB ffi AD,

BC ffi CD, AC ffi BD. Dimostra che e un quadrato, seguen-

do i passi qui indicati.

a. Dimostra che il triangolo ABD e congruente al trian-

golo BDC.

b. Deduci che ABCD e un rombo.

c. Deduci che ABCD e un rettangolo.

d. Deduci che ABCD e un quadrato.

72 E dato un quadrato ABCD. Conduci per il vertice D

una retta r esterna al quadrato e indica con H e K, rispetti-

vamente, le proiezioni di A e di B su r e con R la proiezio-

ne di A su BK. Dimostra che il quadrilatero AHKR e un

quadrato.

73 Dimostra che congiungendo i punti medi dei lati di un quadrato si ottiene ancora un quadrato.

74 Dato un quadrato ABCD, considera sui lati AB, BC, CD e AD, rispettivamente, i punti P, Q, R e S, tali che

AP ffi BQ ffi CR ffi DS. Dimostra che il quadrilatero PQRS e un quadrato.

75 Considera un rombo e traccia le bisettrici degli angoli formati dalle diagonali del rombo. Tali bisettrici incontrano i

lati del rombo in quattro punti. Dimostra che tali punti sono i vertici di un quadrato.

Collegamenti Geometria e logica (condizioni necessarie e/o sufficienti)

76 Parallelogrammi. Completa scrivendo al posto dei puntini «necessaria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma

non necessaria), «necessaria e sufficiente».

a. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un parallelogramma e che abbia una coppia di lati opposti con-

gruenti;

b. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un parallelogramma e che abbia i lati opposti congruenti;

c. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un parallelogramma e che abbia tutti i lati congruenti;

d. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un parallelogramma e che le diagonali si incontrino nel loro pun-

to medio;

e. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un parallelogramma e che abbia una coppia di angoli adiacenti a

un lato supplementari.

77 Rettangoli. Completa scrivendo, al posto dei puntini, «necessaria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma non ne-

cessaria), «necessaria e sufficiente».

a. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rettangolo e che abbia i quattro angoli congruenti;

b. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rettangolo e che abbia le diagonali congruenti;

c. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rettangolo e che abbia i quattro angoli e i quattro lati con-

gruenti;

d. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rettangolo e che le diagonali si intersechino nel loro punto

medio.

586


ESERCIZI

78 Rombi. Completa scrivendo, al posto dei puntini, «necessaria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma non neces-

saria), «necessaria e sufficiente».

a. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rombo e che abbia i quattro lati congruenti;

b. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rombo e che abbia le diagonali perpendicolari;

c. condizione ......................... perche un parallelogramma sia un rombo e che abbia le diagonali perpendicolari;

d. condizione ......................... perche un parallelogramma sia un rombo e che abbia le diagonali perpendicolari e con-

gruenti;

e. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un rombo e che le diagonali si intersechino nel loro punto medio

79 Quadrati. Completa scrivendo al posto dei puntini «necessaria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma non neces-

saria), «necessaria e sufficiente».

a. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un quadrato e che abbia le diagonali congruenti;

b. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un quadrato e che abbia le diagonali perpendicolari;

c. condizione ......................... perche un quadrilatero sia un quadrato e che abbia le diagonali perpendicolari e congruenti;

d. condizione ......................... perche un parallelogramma sia un quadrato e che abbia le diagonali perpendicolari e con-

gruenti;

e. condizione ......................... perche un rombo sia un quadrato e che le diagonali siano congruenti.

4. Il piccolo teorema di Talete Teoria p. 575


80 Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino corrette.

A B

E F

CD

a. Nella figura qui a lato AB k EF k CD e AE ffi ED. Applicando il piccolo teorema di

Talete alle tre rette parallele: ..............., ..............., ..............., tagliate dalle trasversali AD e

.........., possiamo dedurre che BF ffi ::::::::::

b. Nella figura qui a lato AE ffi EB e gli angoli indicati sono retti. Consideriamo le

seguenti rette parallele: .................., .................., .................., tagliate dalle trasversali

........................................ Applicando a queste rette il piccolo teorema di Talete possiamo

dedurre che CF ffi :::::::::: Consideriamo poi le rette parallele: ..............., ..............., ...............,

tagliate dalle trasversali .................... Sempre in base al piccolo teorema di Talete, pos-

siamo concludere che CG ffi :::::

A BE

F

C

G

81 Vero o falso?

Fai riferimento alla figura qui sotto a destra. Supponendo unicamente che le quattro rette AA0, BB0, CC0 e DD0 siano paral-

lele, stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false.

a. CD ffi C0D0 V F

b. se A0B0 ffi C0D0, allora AB ffi CD V F

c. AB0 k CD0 V F

d. se AB ffi CD, allora A0B0 þ C0D0 ffi 2A0B0 V F

e. se A0C0 ffi B0D0, allora AB ffi CD V F

f. se AB ffi A0B0, allora CD ffi C0D0 V F


A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

Problemi

82 Considera un triangolo ABC tale che AB ¼ 6 cm, BC ¼ 8 cm, AC ¼ 10 cm. Siano P, Q, R rispettivamente i punti medi

diAB, BC eAC. Verifica che i triangoliAPR, PBQ, RQC, PQRhanno tutti lo stesso perimetro, che devi determinare. [12 cm]

587


ESERCIZI

83 Un rombo ha le diagonali lunghe 12 cm e 10 cm.

Considera il quadrilatero che ha come vertici i punti me-

di dei lati del rombo; specifica di che tipo di quadrilatero

si tratta e determina il suo perimetro. [22 cm]

84 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB ¼ 10 cm, il

cui perimetro e 34 cm. Siano M ed N rispettivamente i

punti medi di AC e BC. Considera il quadrilatero ABNM;

specifica di che tipo di quadrilatero si tratta e determina

il suo perimetro. [27 cm]

Problemi con equazioni

85 Dato un triangolo ABC, indica con M ed N rispetti-

vamente i punti medi di AC e BC. La lunghezza di AB e

il doppio di quella di AC e la lunghezza di AC supera di

2 cm quella di AC. Sapendo che il perimetro del quadri-

latero ABNM e 21 cm, determina le lunghezze dei lati del

triangolo ABC. [AB ¼ 10 cm, BC ¼ 7 cm, AC ¼ 5 cm]

86 Dato un triangolo ABC, indica con M ed N rispetti-

vamente i punti medi di AC e BC. La lunghezza di BC su-

pera di 2 cm quella di AB e la lunghezza di AC e 8 cm in

piu della meta di AB. Sapendo che il perimetro del quadri-

latero ABNM e 23 cm, determina le lunghezze dei lati del

triangolo ABC. [AB ¼ 8 cm, BC ¼ 10 cm, AC ¼ 12 cm]

87 In un parallelogramma ABCD, la lunghezza della

diagonale AC supera di 10 cm la meta della lunghezza del-

la diagonale BD. E noto inoltre che il quadrilatero che ha

come vertici i punti medi dei lati del parallelogramma ha

perimetro uguale a 22 cm. Determina le lunghezze delle

diagonali del parallelogramma. [AC ¼ 14 cm, BD ¼ 8 cm]

88 In un parallelogramma ABCD, la lunghezza della

diagonale BD supera di 4 cm un terzo della lunghezza di

AC. E noto inoltre che il quadrilatero che ha come vertici

i punti medi dei lati del parallelogramma ha perimetro

uguale a 24 cm. Determina le lunghezze delle diagonali

del parallelogramma. [AC = 15 cm, BD = 9 cm]

Dimostrazioni (piccolo teorema di Talete)


In un parallelogramma ABCD, sia M il punto medio di AD ed N il punto medio di BC. Dimostra che:

a. i segmenti AN eMC sono paralleli;

b. i segmenti AN edMC dividono la diagonale BD in tre segmenti congruenti.

A B

CD

M N

P

Q

IPOTESI ABCD e un parallelogramma,

AM ffi MD e BN ffi NC

TESI a. AN k MC b. DP ffi PQ ffi QB

DIMOSTRAZIONE

Osserva che ANCM e un parallelogramma perche AM k NC e AM ffi :::::::::: quindi AN k MC.

Considera le seguenti tre rette parallele: la retta AN, la retta MC e la retta r per D parallela ad MC. Queste tre rette sono

tagliate dalle trasversali AD e BD. Poiche AM ffi MD (per ipotesi), puoi dire, per il piccolo teorema ...................., che:

DP ffi :::::::::: [*]

Considera le tre rette parallele .........., .......... e .......... Queste tre rette sono tagliate dalle trasversali BD e BC. Poiche

BN ffi NC (per ipotesi) puoi dire, per il piccolo teorema ...................., che:

.................... [**]

Da [*] e [**] segue la tesi.

Nota Poiche abbiamo dimostrato che DP ffi PQ ffi QB, possiamo dedurre, per esempio, che DQ ffi 2QB e che BP ffi 2PD. In alcuni dei prossimiesercizi ti verra chiesto di dimostrare che un segmento e doppio di un altro. La tesi e formalmente diversa da quella dell’esercizio che abbiamoappena svolto ma, in pratica, si puo ottenere con ragionamenti simili a quelli che abbiamo appena formulato: mediante il piccolo teorema diTalete si dimostra che un segmento resta diviso in tre segmenti congruenti e di qui si deduce che un segmento e doppio di un altro.

90 Sia ABCD un parallelogramma e O il punto di inter-

sezione delle diagonali del parallelogramma. Una retta

passante per O interseca AB e CD, rispettivamente, in P e

Q. Dimostra, utilizzando il piccolo teorema di Talete, che

PO ffi OQ.

91 Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB,

in cui CH e l’altezza relativa ad AB. Traccia da H la retta

parallela a BC, che interseca AC in K. Dimostra, utilizzan-

do il piccolo teorema di Talete, che K e il punto medio di

AC.

92 In un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, sia

M il punto medio di BC. Detta H la proiezione di M su

AC, dimostra che, comunque si scelga un punto P sul ca-

teto AB, il punto d’intersezione fra PC e MH dimezza PC.

In corrispondenza di quale posizione di P il punto d’in-

tersezione fra PC e MH dimezza anche MH?

93 In un parallelogramma ABCD, siano M ed N, rispet-

tivamente, i punti medi di AD e di BC. Dimostra che, co-

munque scelto un punto P su AB, il punto d’intersezione

fraMN e DP e il punto medio di DP.

588


ESERCIZI

94 Videolezione In un parallelogramma ABCD, il lato

AB e il doppio del lato BC. Prolunga BC, dalla parte di C, di

un segmento CE ffi BC. Dimostra che AE e la bisettrice di

BbAAD e che, comunque scelto un punto P suAB, il segmento

PE resta dimezzato dal suo punto di intersezione conCD.

95 In un triangolo ABC, sia CM la mediana relativa ad

AB. Detto N il punto medio di CM, sia P il punto in cui la

retta AN incontra il lato BC. Dimostra che PB ffi 2CP.

(Suggerimento: traccia daM e da C le parallele ad AP)

96 In un parallelogramma ABCD, di centro O, risulta

AB ffi 2BC. Traccia la diagonale BD e indica con M il pun-

to medio di OD e con N il punto medio di OB. La semiret-

ta di origine A, passante per M, interseca DC in P e la se-

miretta di origine A, passante per N, interseca BC in Q.

Dimostra che PCþ CQ ffi AB.

(Suggerimento: considera i triangoli ADC e ABC e osserva

che si verifica una situazione simile a quella descritta nel-

l’esercizio precedente)

Dimostrazioni (teorema dei punti medi)

97 In un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e

base minore CD, sia M il punto medio del lato obliquo

AD ed N il punto medio di CD. Dimostra che

MN ffi1

2BD.

98 Considera un rombo ABCD e indica con M il punto

medio di BC e con N il punto medio di CD. Dimostra che

NM e perpendicolare alla diagonale AC.

99 Considera un triangolo ABC e indica rispettivamen-

te con M, N, O i punti medi dei lati AB, BC, AC. Dimostra

che i due triangoli AMO e MBN sono congruenti.

100 Dato un parallelogramma ABCD di centro O, siano

P, Q, R e S, rispettivamente, i punti medi di AO, BO, CO e

DO. Dimostra che PQRS e un parallelogramma.

101 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia CH

l’altezza relativa ad AB. Chiama M e N, rispettivamente, i

punti medi di AC e di BC; poi dimostra che i segmenti BM

eHN si incontrano nel loro puntomedio.

102 Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilate-

ro sono i vertici di un parallelogramma. Quale caratteri-

stica deve avere il quadrilatero affinche tale parallelo-

gramma sia un rombo? E affinche sia un rettangolo?

(Suggerimento: traccia le diagonali del quadrilatero)

103 Dimostra che il segmento congiungente i punti me-

di dei lati obliqui di un trapezio e congruente alla semi-

somma delle basi.

(Suggerimento: conduci, da uno degli estremi della base

minore, la parallela al lato obliquo che non contiene

quell’estremo)

104 Dimostra che il segmento congiungente i punti me-

di delle diagonali di un trapezio e congruente alla semi-

differenza delle basi.

(Suggerimento: prolunga il segmento che congiunge i pun-

ti medi delle diagonali fino a incontrare un lato obliquo e

utilizza il teorema dei punti medi)

Collegamenti Il piccolo teorema di Talete e la rappresentazione di numeri razionali sulla retta

105 Il segmento OA e suddiviso in 7 parti congruenti e

le due rette colorate in rosso sono parallele.

A quale numero corri-

sponde sulla retta reale il

punto B?

x1O

A

B

2 3 4

106 Il segmento OA e suddiviso in 8 parti congruenti e


A quale numero corri-

sponde sulla retta reale il

punto B?

x1O

A

B

2 3 4

107 Il segmento OB e suddiviso in 9 parti congruenti e


a. A quale numero cor-

risponde sulla retta rea-

le il punto B0?

b. A quale numero cor-


le il punto medio di

A0B0?x

?O

B

A

B'A'

3

4

108 Il segmento OB e suddiviso in 7 parti congruenti e


a. A quale numero cor-


le il punto B0?

b. A quale numero cor-


le il punto medio di

A0B0?x

?O

B

A

B'A'

2

3

589


ESERCIZI

ESERCIZI DI RIEPILOGO

Esercizi interattivi

109 Vero o falso?

Indichiamo con T l’insieme dei trapezi; con P l’insieme

dei parallelogrammi; con O l’insieme dei rombi; con R

l’insieme dei rettangoli e con Q quello dei quadrati.


Test

110 Quale delle seguenti proprieta non e vera per ogni

trapezio isoscele?

A Le diagonali sono le bisettrici degli angoli interni

del trapezio.

B Le diagonali sono congruenti.

C Gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono

supplementari.

D Gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

111 Quale delle seguenti proprieta non e vera per ogni

parallelogramma?

A Gli angoli opposti sono congruenti.

B I lati opposti sono congruenti.

C Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplemen-

tari.

D Le diagonali sono congruenti.

112 Dato un quadrilatero ABCD, quale dei seguenti

gruppi di ipotesi non e sufficiente a garantire che il qua-

drilatero sia un parallelogramma?

A AB ¼ 15 cm, BC ¼ 10 cm, CD ¼ 15 cm, AD ¼ 10 cm

B AD k BC, AD ¼ 5 cm, BC ¼ 5 cm

C bAA ffi bBB e bBB ffi b

D bAA ffi bCC e bBB ffi bDD

113 Quale delle seguenti affermazioni e falsa?

A Ogni quadrato e un particolare rettangolo.

B Ogni rombo e un particolare parallelogramma.

C Ogni rettangolo e un particolare parallelogramma.

D Ogni parallelogramma e un particolare trapezio iso-

scele.

114 Nel parallelogramma raffigurato qui sotto, l’ampiez-

za dell’angolo bDD supera di 15� il doppio di bAA. Quanto vale

la somma delle ampiezze dei tre angoli bAA, bCC e bDD?

x

A B

D C

2x +15°

115 Un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, e tale che

AB ¼ 6 cm e AC ¼ BC ¼ 10 cm. Siano M ed N, rispettiva-

mente, i punti medi dei lati obliqui AC e BC del triangolo.

Qual e il perimetro del trapezio ABNM?

A 18 cm

B 19 cm

C 20 cm

D I dati non sono sufficienti per determinarlo

116 I punti medi dei lati di un parallelogramma sono i

vertici di un quadrilatero che:

A e sempre un parallelogramma ma non puo mai esse-

re un rettangolo

B non puo mai essere un parallelogramma

C e sempre un parallelogramma ed e un rombo se e

solo se il parallelogramma originario e un rombo

D e sempre un parallelogramma ed e un rettangolo se

e solo se il parallelogramma originario e un rombo

117 Il punto E nella figura qui sotto e l’intersezione del-

le bisettrici degli angoli bAA e bBB del parallelogramma ABCD.

Che cosa si puo affermare del triangolo AEB?

A Non e mai isoscele, qualsiasi sia il parallelogramma

ABCD.

B E sempre rettangolo, qualsiasi sia il parallelogram-

ma ABCD.

C Non puo mai essere ne rettangolo ne isoscele, qual-

siasi sia il parallelogramma ABCD.

D E rettangolo se e solo se il parallelogramma ABCD e

un rettangolo.

A B

D C

E

118 In un parallelogramma di perimetro 2p si ha che:

A almeno una diagonale ha lunghezza uguale a p

B ogni diagonale ha lunghezza minore di p

C ogni diagonale ha lunghezza maggiore di p

D la somma delle lunghezze delle diagonali e mi-

nore di p

E una diagonale ha lunghezza maggiore di p, l’altra

minore di p

(Test di ammissione, Ingegneria 2007)

a. P T V F

b. T P V F

c. O � R V F

d. R � Q V F

e. R \ Q ¼ Q V F

f. R [ Q ¼ P V F

g. R \ P ¼ R V F

h. R [ Q ¼ Q V F

A 205� B 215� C 225� D 235�

590


ESERCIZI

119 Sia ABCD un quadrilatero e O il punto di intersezione delle sue diagonali. Completa la seguente tabella, scrivendo a

parole il tipo di quadrilatero che soddisfa le condizioni in simboli o, viceversa, completando le condizioni in simboli in

modo che siano sufficienti a garantire che il quadrilatero sia del tipo indicato.

In simboli A parole

AB k :::::::::: e ............... ABCD e un parallelogramma

AB ffi BC ffi CD ffi AD ABCD e un ....................

.............................. ABCD e un rettangolo

AO ffi OC e DO ffi OB ABCD e un ....................

......................... ABCD e un trapezio, di basi AB e CD

AB k CD e AD ffi BC ABCD e un ....................

AC? BD, AB k CD e .............................. ABCD e un rombo

AB k CD e AB ffi CD ABCD e un ..............................

AB ffi BC ffi CD ffi AD e .............................. ABCD e un quadrato

bAA ffi bBB ffi bCC ffi bDD ABCD e un ..............................

120 Figure impossibili. Spiega perche ciascuna delle seguenti figure e impossibile. Nella prima figura supponi che AB e

CD siano paralleli. Nell’ultima figura supponi che AB e CD siano paralleli e che E appartenga a CD.

120°

50° 50°

120° 4 c

m

4 c

m

5 c

m

5 c

m

A A B

B

D C

CD

80°

10 cm

4 c

m 4

cm

A

A

B

B

C

C

D

D

E

Problemi

121 Esprimi in funzione di e � le ampiezze di tutti gli

angoli interni del parallelogramma e di tutti gli angoli in-

terni del trapezio disegnati qui sotto.

A B

D

α

C

!

A B

D

α

C

!

122 In un parallelogramma ABCD, l’ampiezza dell’ango-

lo bAA e il triplo dell’ampiezza dell’angolo bBB. Determina le

ampiezze di tutti gli angoli del parallelogramma.

[bAA ¼ bCC ¼ 135�, bBB ¼ bDD ¼ 45�]’

123 Nella figura qui sotto ABCD e un quadrato, BD una

sua diagonale ed EF e un segmento che ha gli estremi sui

lati BC e AD del quadrato. Sapendo che AbFFG ¼ 110�, de-

termina l’ampiezza dell’angolo B bGGE.

110°

A B

CD

E

F

G

?

[65�]

Dimostrazioni

124 Sia ABCD un rombo. Dimostra che le distanze di A dai lati BC e CD sono congruenti.

125 Dato un parallelogramma ABCD, sianoM ed N, rispettivamente, i punti medi di AB e CD. Dimostra che MN e paral-

lelo e congruente a BC e AD.

126 Sia ABCD un parallelogramma. Sulla diagonale AC, considera due punti H e K tali che AH ffi KC. Dimostra che il

quadrilatero HBKD e un parallelogramma.

127 Considera un rombo ABCD. Prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CE e CD, dalla parte di C, di un segmen-

to CF ffi CE. Dimostra che il quadrilatero BFED e un trapezio isoscele.

591


ESERCIZI

128 Sia ABCD un parallelogramma e DBCF un altro pa-

rallelogramma, appartenente al semipiano di origine BD

cui non appartiene A. Dimostra che:

a. A, D e F sono allineati;

b. se AB ffi BF, DBCF e un rettangolo.

129 Dimostra che i punti medi dei lati di un trapezio

isoscele sono i vertici di un rombo.

130 In un quadrato ABCD, sia M il punto medio di AB.

Conduci per M la perpendicolare a MC che incontra il la-

to AD in E. Dimostra che la semiretta MC e la bisettrice

dell’angolo B bCCE, seguendo i passi qui indicati.

a. Indica con H il punto d’intersezione tra la retta BC e

la retta EM.

b. Dimostra che i triangoli AEM e BHM sono con-

gruenti.

c. Dimostra che i triangoli EMC e HMC sono con-

gruenti.

d. Deduci la tesi.

131 In un parallelogramma ABCD, sia M il punto medio

di AD. Indicata con K la proiezione di B sulla retta MC, di-

mostra che il triangolo ABK e isoscele sulla base BK, se-

guendo i passi qui indicati.

a. Traccia la retta passante per A e parallela a MC e in-

dica con R il suo punto d’intersezione con la retta BK.

b. Traccia la retta passante per B e parallela a MC e in-

dica con S il suo punto d’intersezione con la retta AD.

c. Dimostra che AS ffi AM.

d. Applica il piccolo teorema di Talete. Che cosa puoi

dire dei segmenti BR e RK?

e. Considera il triangolo AKB. Quale proprieta ha l’al-

tezza relativa a BK? Perche?

f. Deduci che AB ffi AK.

132 Dato un parallelogramma ABCD, prolunga AB, dal-

la parte di B, di un segmento BE ffi AB e AD, dalla parte

di D, di un segmento DF ffi AD. Dimostra che E, C e F so-

no allineati.

(Suggerimento: traccia la diagonale BD e considera i qua-

drilateri BCFD e BECD)

133 In un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, le bisettrici degli angoli adiacenti alla base

maggiore si incontrano in un punto O appartenente a CD. Dimostra che CD ffi 2BC.

134 Dato un parallelogramma ABCD, sia O il punto di intersezione delle diagonali. Traccia:

� una retta r, passante per O, che interseca il lato AB in P e il lato CD in R;

� una retta s, passante per O, che interseca AB in Q e CD in S.

Dimostra che il quadrilatero PQRS e un parallelogramma.

ESERCIZI DALLE GARE DI MATEMATICA

135 Quanti quadrati si possono tracciare che abbiano come vertici quattro dei punti in figura?

A 2 B 3 C 4 D 5 E 6

(Kangourou 2008) [C]

136 Quanti angoli maggiori di 90� puo avere un quadrilatero (non intrecciato)?

A Ne ha sempre uno B Ne ha al piu uno C Ne ha al piu due D Ne ha al piu tre E Puo averne quattro

(Giochi di Archimede 1996) [D]

137 In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC e CD sono congruenti; inoltre AC ffi BD ffi AD. Quanto misura l’an-

golo in D?

(Olimpiadi di matematica, gara di febbraio 1997) [72�]

SOLVE MATH IN ENGLISH

138 In quadrilateral ABCD, bAA ¼ 110�, bBB ¼ 44� and bCC is 20� more than bDD. Find the measure of bDD. [93�]

139 Prove that a quadrilateral ABCD is a rectangle if and only if AB ffi CD, AB k CD and AC ffi BD.

140 Let ABCD be a square. Point P is on side AB with AP ¼ 2PB. Point Q is on side BC with BQ ¼ 2CQ. What is the sum

of the measures of the angles Q bAAB, P bDDQ e P bCCB?

A 60� B 75� C 100� D 120� E None of the previous choices

(High School Math Contest 2008) [E]

592


ESERCIZI

Quadrilateri

1 Il quadrilatero ABCD nella figura seguente e un pa-

rallelogramma. Qual e l’ampiezza di A bDDB?

A B

D C

65°

35°

?

2 Nella figura qui sotto si sa che a k b k c k d, che

AB ffi BC e che B0C0 ffi C0D0.

A a

b

c

d

A' A"

B"

C"

D"

B B'

C C'

D D'

a. Da queste informazioni si puo dedurre una sola del-

le seguenti congruenze; quale?

A A00B00 ffi C00D00

B AB ffi A0B0

C B0C0 ffi B00C00

b. Come si puo dedurre tale congruenza?

3 Disegna un parallelogramma ABCD e traccia il seg-

mento che congiunge il centro O di ABCD con il punto

medio M di AB.

a. Individua quale delle seguenti affermazioni e cor-

retta.

A OM e congruente alla meta della diagonale minore

del parallelogramma

B OM e congruente alla meta della diagonale maggio-

re del parallelogramma

C OM e congruente alla meta di AB

D OM e congruente alla meta di BC

b. Giustifica l’affermazione che hai individuato essere

corretta.

4 a. Scrivi la definizione di rombo.

b. Giustifica perche un rombo e certamente un paral-

lelogramma.

c. Elenca le proprieta dei lati, degli angoli e delle dia-

gonali di un rombo.

d. Scrivi una condizione sufficiente perche un paralle-

logramma sia un rombo ma non sufficiente perche un

quadrilatero sia un rombo.

5 a. Enuncia il piccolo teorema di Talete.

b. Considera un parallelogramma ABCD. Traccia per il

centro O del parallelogramma una retta r, che incontra il

lato AB in P e il lato CD in Q. Chiarisci perche il piccolo

teorema di Talete permette di affermare che O e il punto

medio di PQ.

6 Completa, scrivendo al posto dei puntini, l’espres-

sione opportuna: «necessaria» (ma non sufficiente); «suf-

ficiente» (ma non necessaria); «necessaria e sufficiente».

a. condizione .................... perche un quadrilatero sia un

parallelogramma e che le diagonali si intersechino nel

loro punto medio;

b. condizione .................... perche un quadrilatero sia un

rombo e che le diagonali si intersechino nel loro punto

medio;

c. condizione .................... perche un quadrilatero sia un

parallelogramma e che abbia tutti i lati congruenti;

d. condizione .................... perche un quadrilatero sia un

rettangolo e che abbia tutti gli angoli congruenti.

7 Dato un parallelogramma ABCD, prolunga AB, dalla

parte di B, di un segmento BE e CD, dalla parte di D, di

un segmento DF, in modo che BE ffi DF. Dimostra che AC

ed EF si incontrano nel loro punto medio.

8 Dato un parallelogramma ABCD, di centro O, chia-

ma P, Q e R, rispettivamente, i punti medi di AB, OB e OC.

Dimostra che PQRO e un parallelogramma.

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 Totale

Punteggio 0,5 0,5þ 1 ¼ 1,5 0,5þ 1 ¼ 1,5 0,25 � 4 ¼ 1 0,5þ 1 ¼ 1,5 0,25 � 4 ¼ 1 1,5 1,5 10

Punteggio

ottenuto

Tempo massimo: 1 ora

Risposte p. 675Scheda per il recupero

593

ESERCIZI

Prova di autoverifica

Tema D

594

Verso le competenze

Confrontare e analizzare figure geometriche

1 Disegna due triangoli ABD e BCD, che giacciono in

semipiani opposti aventi come origine la retta BD. Stabili-

sci se ciascuno dei seguenti gruppi di condizioni permette

di dire che i due triangoli ABD e BCD sono congruenti.

a. A bDDB ffi DbBBC e C bDDB ffi AbBBD

b. AD ffi BC e AB ffi CD

c. AB ffi CD e BbAAD ffi B bCCD

d. A bDDB ffi DbBBC e BbAAD ffi B bCCD

2 Nella figura qui sotto P e il punto di intersezione

delle bisettrici del triangolo relative ad bAA e a bBB. Sapendo

che AbPPB ¼ 105�, qual e l’ampiezza di AbCCB?

A

P

B

105°

?

C

[30�]

3 Considera la seguente figura, in cui r ed s sono due

rette parallele. Determina le ampiezze dei due angoli co-

lorati.

s

t

(3x + 20)°

x° r

[40�, 140�]

4 Nella seguente figura il pentagono e l’esagono han-

no tutti gli angoli congruenti. Determina le ampiezze de-

gli angoli �, �, e �.

α

γδ

[� ¼ 72�, � ¼ 132�, ¼ 60�, � ¼ 96�]

5 Esprimi in funzione di x le ampiezze degli angoli interni al triango-

lo colorato in giallo.

x°20° 2x°

[ð2x 20Þ�, ðxþ 20Þ�, ð180 3xÞ�]

6 Nei quadrilateri disegnati nelle seguenti figure sono indicate le ampiezze di alcuni angoli, e gli angoli contrassegna-

ti con lo stesso simbolo sono congruenti. Non farti ingannare dalle figure: anche se i quadrilateri sembrano rettangoli

(perche le ampiezze degli angoli sono molto prossime a degli angoli retti), non tutti lo sono! Per ciascun quadrilatero, sta-

bilisci se le informazioni date circa gli angoli consentono di affermare che si tratta di un trapezio isoscele o rettangolo, di

un parallelogramma, di un rettangolo o di un rombo.

91° 91°

a.

89° 88°

91° 92°

b.

89° 91°

c.

91° 89°

d.

90°

90°

e.

89° 91°

7 Nella figura qui a lato il pentagono colorato in giallo ha tutti gli

angoli congruenti. Il quadrilatero colorato in azzurro e un quadrato. Il

poligono colorato in rosso, che e stato riprodotto solo in parte, ha tutti

gli angoli congruenti. Quanti lati ha tale poligono?

[20]

Versole

competenze

595

Tema D

Risolvere problemi

8 Larghezza di un fiume. Per stimare la larghezza di un fiume Barbara procede come segue.

Si pone nel punto P, di fronte al punto S, posto sulla riva opposta del fiume, dove cresce un albero. Cammina da P in li-

nea retta, facendo 6 passi, fino a giungere al punto O, dove conficca un bastone. Quindi continua a camminare, sempre

in linea retta, di altri 6 passi fino al punto Q. Qui si ruota di 90� e cammina, sempre in linea retta, fino al punto R in cui

ella stessa risulta allineata con l’albero e il bastone. Per raggiungere R a partire da Q Barbara compie in tutto 14 passi.

P

O

R

SSSS

a. Quale dei segmenti rappresentati in figura ha lunghezza uguale alla larghezza del fiume? Perche?

b. Supposto che a ogni passo Barbara percorra 60 cm, quale possiamo stimare che sia la larghezza del fiume?

A 3 m e 60 cm

B 7 m e 20 cm

C 8 m e 40 cm

D Le informazioni date non sono sufficienti per stimare la larghezza del fiume.

9 Carpentiere. Un carpentiere ha 32 m di legno e vuole fare il recinto a un giardino. Per un recinto prende in consi-

derazione i seguenti progetti.

6 m

10 m

6 m

10 mA B

6 m

10 m

6 m

10 mC D

Indica, per ciascun progetto, se e possibile realizzarlo con 32 m di tavole. Fai un cerchio intorno a «Sı» o No».

Progetto per il recinto Utilizzando questo progetto, si puo realizzare il recinto con 32 metri di tavole?

Progetto A Sı No

Progetto B Sı No

Progetto C Sı No

Progetto D Sı No

(Prove OCSE-Pisa 2003)

Verso

lecompetenze

596

Tema D

10 Il tesoro. Andrea ha ritrovato un antico documento che contiene il seguente messaggio:

«Per trovare il tesoro seguite queste istruzioni:

Recatevi in giardino e, a partire dall’albero di ciliegie, dirigetevi verso la fontana, percorrendo in linea retta una distan-

za uguale al doppio di quella tra l’albero di ciliegie e la fontana;

a partire dal punto cui siete giunti dirigetevi verso l’albero di albicocche, percorrendo in linea retta una distanza dop-

pia di quella che vi separa dall’albero di albicocche;

a partire dal nuovo punto cui siete arrivati, dirigetevi verso il porticato, percorrendo in linea retta una distanza doppia

di quella che vi separa dal porticato. Il tesoro si trova a meta strada tra il punto cui siete giunti e l’albero di ciliegie».

Sfortunatamente l’albero di ciliegie non c’e piu, perche e morto molti anni prima, e Andrea non sa individuare in quale

punto si trovasse. Andrea riflette pero attentamente sulle informazioni fornite nel documento e, ricordando alcune pro-

prieta geometriche che ha studiato, afferma di essere ugualmente in grado di individuare dove si trova il tesoro. Sapresti

fare altrettanto?

Esporre, ragionare e dimostrare

11 Logica Spiega il significato di teorema inverso. Forni-

sci l’esempio di un teorema per cui vale l’inverso e di un

teorema per cui non vale l’inverso.

12 Logica Quale proprieta hanno le diagonali di un

rombo che, in generale, non e posseduta dalle diagonali

di ogni parallelogramma? Mostra con un controesempio

che questa proprieta non e sufficiente a garantire che un

quadrilatero sia un rombo.

13 Logica Quale proprieta hanno le diagonali di un ret-

tangolo che, in generale, non e posseduta dalle diagonali

di ogni parallelogramma? Mostra con un controesempio

che questa proprieta non e sufficiente a garantire che un

quadrilatero sia un rettangolo.

14 Dato un rombo ABCD, indica con P la proiezione di

A sul lato BC e con Q la proiezione di A sul lato CD. Di-

mostra che il triangolo APQ e isoscele.

15 Considera un parallelogramma ABCD. Sia E il punto

medio di BC ed F il punto medio di AD. Dimostra che:

a. il quadrilatero BEDF e un parallelogramma;

b. i due triangoli ABF e CDE sono congruenti.

16 Dato un parallelogramma ABCD, siano E, F, G, H, ri-

spettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA. Di-

mostra che il segmento EH e parallelo al segmento FG.

17 Due triangoli ABC e A0B0C0 sono tali che BC ffi BC0,

AbCCB ffi A0 bCC0B0 e l’angolo esterno di vertice B e congruente

all’angolo esterno di vertice B’. Siano M e M’, rispettiva-

mente, i punti medi di BC e di B’C’. Dimostra che

AM ffi A0M 0.

18 Dimostra che due quadrilateri convessi aventi i lati

e un angolo ordinatamente congruenti sono congruenti.

Tale condizione e sufficiente a garantire che due pentago-

ni convessi sono congruenti?

19 Sia ABC un triangolo e CM la mediana relativa ad

AB. Indica con H e K, rispettivamente, le proiezioni di A e

di B sulla retta CM. Dimostra che la retta BH e parallela al-

la retta AK.

20 Sia ABC un triangolo rettangolo, di ipotenusa BC.

Prolunga BC, dalla parte di B, di un segmento BE ffi CB e

AC, dalla parte di A, di un segmento AD ffi CA. Dimostra

che:

a. il triangolo DEB e isoscele;

b. il triangolo DEC e rettangolo.

21 In un quadrato ABCD, sia E il punto medio di AB ed

F il punto di intersezione tra la diagonale AC e DE.

Traccia la parallela a DE passante per B e indica con G e

H, rispettivamente, i punti in cui tale parallela interseca

AC e CD. Dimostra che:

a. AF ffi FG

b. H e il punto medio di CD

c. FG ffi GC

d. FC ffi 2AF

e. FD ffi 2GH

f. i due triangoli AFE e CGH sono congruenti

g. FD ffi 2EF

K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K









Versole

competenze

Tema D

597

Verso le prove INVALSI

VERSO LE PROVE INVALSI

1 Considera il quadrilatero ABCD in figura.

A B

CD

110°

111°

36°

34°

a. Le due rette AB e CD sono parallele?

Sı, perche .............................................................................................................. No

b. Le due rette BC e AD sono parallele?

Sı, perche .............................................................................................................. No

c. Che tipo di quadrilatero e ABCD?

Risposta: ..............................................................................................................

2 Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm. Quale tra le seguenti non puo essere la lunghezza del terzo lato?

A 6,5 cm B 10 cm C 15,5 cm D 17 cm

(Prova INVALSI 2011)

3 In riferimento alla figura a destra, una sola delle seguenti affermazioni non e corretta, quale?

A I segmenti AB e BC sono adiacenti

B Gli angoli AbBBD e AbBBC sono consecutivi

A B

D

C

C I segmenti AB e BC sono consecutivi

D Gli angoli AbBBD e CbBBD sono adiacenti

4 In riferimento alle figure qui sotto, una sola affermazione non e corretta; quale?

A B C

A la figura A e un poligono concavo

B soltanto due delle tre figure rappresentate sono poligoni

C la figura B e un poligono convesso

D la figura C e un poligono concavo

5 Nella figura sotto a destra gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti; inoltre A, O e A0, non-

che B, O e B0, sono allineati. Allora si puo dire che:

A i triangoli AOB e A0OB0 sono congruenti in base al primo criterio

B i triangoli AOB e A0OB0 sono congruenti in base al secondo criterio

A

O

B

B'

A'

C i triangoli AOB e A0OB

0 sono congruenti in base al terzo criterio

D le informazioni date non sono sufficienti a garantire che i due triangoli siano congruenti

6 In figura sono rappresentati un pentagono regolare e un ottagono regolare, aventi un lato in comune.

a. Qual e l’ampiezza di ciascun angolo interno di un pentagono regolare?

Risposta: ..............................................................................................................

b. Qual e l’ampiezza di ciascun angolo interno di un esagono regolare?

Risposta: ..............................................................................................................

c. Qual e l’ampiezza dell’angolo CbAAD?

Risposta: ..............................................................................................................

D

A B

C

?

Verso

leproveIN

VALSI

598

Tema D

7 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB, i cui an-

goli alla base hanno ampiezza (in gradi) uguale a x. Le bi-

settrici dei due angoli alla base del triangolo si interseca-

no in P. Indicata con S la somma delle ampiezze dei due

angoli AbPPB e AbCCB, scrivi la formula che esprime S in fun-

zione di x:

S ¼ ........................................

8 Quale delle seguenti affermazioni e vera?

A In un triangolo non possono esserci tre angoli acuti

B In un triangolo c’e sempre almeno un angolo ottuso

C In ogni triangolo ci sono sempre almeno due angoli

acuti

D In un triangolo puo esserci piu di un angolo ottuso

9 Qual e la somma delle ampiezze degli angoli interni

di un ettagono?

Risposta: ...................................

10 Facendo riferimento alla figura qui sotto, in cui

DE k AB e C 2 DE, quale delle seguenti affermazioni e cor-

retta?

A

D

B

C

80°

135°

E

A D bCCA ed EbCCB sono congruenti.

B D bCCA < AbBBC

C D bCCA e AbCCB sono congruenti.

D D bCCA > AbBBC

11 Un quadrilatero ABCD e tale che AB k CD e

AB ffi BC ffi CD. Allora il quadrilatero:

A e un trapezio, ma non necessariamente un paralle-

logramma

B e un parallelogramma, ma non necessariamente un

rombo

C e un rombo, ma non necessariamente un quadrato

D e un quadrato

12 Considera il quadrilatero concavo ABCD in figura.

Qual e la somma delle ampiezze degli angoli interni del

quadrilatero?

A

B

C

D

a. Risposta: ..............................

b. Spiega il ragionamento tramite cui sei giunto alla ri-

sposta:

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

13 Paolo e Barbara hanno opinioni differenti circa l’esi-

stenza di un poligono regolare i cui angoli interni hanno

ampiezza uguale a 100� . Paolo e convinto che esista un

poligono regolare siffatto, mentre Barbara che non esista.

a. Chi ha ragione? Paolo Barbara

b. Giustifica la tua risposta:

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

14 Il quadrilatero ABCD disegnato qui sotto e un trape-

zio isoscele. Quale delle seguenti affermazioni potrebbe

non essere vera?

A B

CD

O

A AO ffi BO

B BC ffi CD ffi DA

C DO ffi CO

D Il triangolo ADC e congruente al triangolo BCD.

15 Quale delle seguenti condizioni e non sufficiente a garantire che il quadrilatero ABCD sia un rettangolo?

A ABCD ha le diagonali congruenti.

B ABCD ha quattro angoli congruenti.

C ABCD e un parallelogramma e ha un angolo retto.

D ABCD ha due angoli opposti retti e gli altri due angoli congruenti.

16 Qual e la somma degli angoli a, b, c, d, e, f nella figura qui sotto?

a

c

d

e f

b

A Un angolo piatto, ossia 180�

B Tre angoli retti, ossia 270�

C Due angoli piatti, ossia 360�

D Cinque angoli retti, ossia 450�

Versole

proveIN

VALSI

599

Tema D

17 Dati due punti A e B, sono stati tracciati, con lo stesso raggio maggiore della meta del segmento AB, due archi di cir-

conferenza: uno con centro in A e uno con centro in B. E stato chiamato C uno

dei punti di intersezione tra i due archi.

A

?

B

C

Se l’angolo AbCCB misura 40�, quanto misura l’angolo AbBBC segnato?

A 50� B 60� C 70� D 140�

Scrivi il procedimento che hai seguito:

................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

18 In riferimento alla figura qui sotto, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni e vera o falsa.

a. il triangolo ABC e isoscele V F

b. il triangolo ACD e isoscele V F

c. BC e minore di AC V F

d. l’angolo B bCCD e retto V F

e. l’angolo BbAAD ha ampiezza 135� V F

A

65°

62°

40°

70°

B

C

D

19 Se n rette ðn 2Þ passanti per un dato punto O suddividono il piano in 242 angoli di vertice O, quanto vale n?

Scrivi la tua risposta: n ¼ ...............

20 Le diagonali di un parallelogramma ABCD misurano, in centimetri, a e b. Quanto misura (in centimetri) il perime-

tro del quadrilatero che ha come vertici i punti medi dei lati di ABCD?

A 2aþ 2b

B aþ b

Caþ b

2

D Le informazioni date non sono sufficienti per determinarlo

21 Barbara afferma che non puo esistere un pentagono convesso avente quattro angoli retti. Paolo, invece, afferma

che, siccome esistono quadrilateri convessi con quattro angoli retti (i rettangoli), a maggior ragione devono esistere dei

pentagoni convessi con quattro angoli retti.

a. Chi ha ragione? Barbara Paolo

b. Giustifica adeguatamente la risposta:

................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

22 Considera un trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB. Le bisettrici dei due angoli BbCCD e C bDDA si intersecano in

P. Che cosa si puo affermare dell’angolo CbPPD?

a. E sempre retto

b. E sempre ottuso e la sua ampiezza e la stessa di ciascuno dei due angoli del trapezio adiacenti a CD

c. E sempre acuto e la sua ampiezza e la stessa di ciascuno dei due angoli del trapezio adiacenti ad AB

d. Puo essere retto, acuto od ottuso: dipende dal trapezio considerato

23 Barbara afferma che due triangoli aventi due lati e un angolo ordinatamente congruenti devono essere congruenti.

Paolo invece afferma che due triangoli aventi due lati e un angolo ordinatamente congruenti possono non essere con-

gruenti.

a. Chi ha ragione? Barbara Paolo

b. Giustifica adeguatamente la risposta:

................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................

Verso

leproveIN

VALSI

600

1 Considera la figura, in cui ABCD e un trapezio isoscele, i punti E ed F sono rispettivamente i punti medi dei lati

obliqui BC e AD del trapezio ABCD, e O e il punto di intersezione di AE e BF.

a. Dimostra che i due triangoli ABE e BAF sono congruenti.

b. Quale altra coppia di triangoli congruenti puoi individuare in figura, oltre

ad ABE e BAF (senza tracciare altri segmenti)? Dimostra che anche i due

triangoli individuati sono congruenti.

c. Indica con G e H, rispettivamente, i punti medi dei lati AB e CD del trape-

zio. Di che natura e il quadrilatero GEHF? Dimostra la tua affermazione.A

F EO

B

CD

2 Fai riferimento alla figura, dove ABCDEF e CGHIJKLD sono rispettivamente un esagono e un ottagono regolari.

a. Determina qual e l’ampiezza di ciascun angolo interno dell’esagono.

b. Determina qual e l’ampiezza di ciascun angolo interno dell’ottagono.

c. Determina le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero BCGN.

d. Stabilisci se esiste un poligono regolare avente angoli interni la som-

ma delle cui ampiezze e uguale alla somma tra le ampiezze degli angoli

interni all’esagono ABCDEF piu il doppio della somma delle ampiezze

degli angoli esterni all’ottagono CGHIJKLD. In caso affermativo, deter-

mina il numero dei lati di tale poligono.

D

L K

J

I

HGN

A

B

C

E

F

3 Lucia, partendo dalla sua abitazione e viaggiando con la sua auto a una velocita che puo considerarsi approssimati-

vamente costante, uguale a 50 km/h, impiega lo stesso tempo sia per recarsi sul luogo di lavoro, sia per recarsi a trovare i

suoi genitori presso la loro abitazione. L’abitazione di Lucia, la sede di lavoro e

l’abitazione dei suoi genitori sono collegati a due a due da strade che possono

considerarsi rettilinee, e le due strade che dall’abitazione di Lucia portano ri-

spettivamente al luogo di lavoro e all’abitazione dei genitori formano un ango-

lo di 56�. La sede di lavoro di Lucia e piu distante dall’abitazione di Lucia o da

quella dei suoi genitori? Giustifica adeguatamente la risposta.

sede di lavorodi Lucia

abitazionedi Lucia

abitazionedei genitoridi Lucia

56°

4 Per spostare un blocco di legno, troppo pesante per essere sollevato, lo si collega a una fune da traino avvolta a una

puleggia, come indicato in figura. La fune viene tirata di 2 m e corrisponden-

temente il blocco di legno si sposta. Che cosa possiamo affermare a proposito

dello spostamento del blocco di legno: risulta inferiore, uguale o superiore a

2 m? Giustifica adeguatamente la risposta.

2 m

?

Esercizio 1 2 3 4

Competenzeprevalenti

Confrontare e analizzarefigure geometriche

Confrontare e analizzarefigure geometriche

Risolvereproblemi

Risolvereproblemi

Livello Base: 1aMedio: 1bAvanzato: 1c

Base: 2a, 2bMedio: 2cAvanzato: 2d

Medio Avanzato

Risposte p. 677

Prova

dicompetenza

Prova di competenza

quadrilateri 14 · 2017. 11. 21. · quadrilateri 1. trapezi in questa unita` studieremo le...

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