quadriláteros notáveis / principais 3º matemÁtica prof ......a) a soma dos ângulos internos de...
TRANSCRIPT
A impressão deste material não é obrigatória.
Quadriláteros Notáveis / Principais Quadriláteros
3º – MATEMÁTICA – PROF. DIEGO
Questão 01 - (FGV )
No antigo Egito, quando o rio Nilo voltava ao seu leito normal após a cheia anual, os terrenos das margens eram
novamente remarcados. Cada terreno tinha a forma de um quadrilátero e o lavrador que o ocupava deveria pagar
um imposto que era proporcional à área do terreno. Para obter a área de um quadrilátero, os egípcios calculavam
o produto das médias aritméticas dos lados opostos, método que não é exato, a menos que o quadrilátero seja
um retângulo.
A figura abaixo mostra um terreno com a forma do quadrilátero ABCD, onde o ângulo de vértice A é reto e, numa
unidade adequada (u), os lados medem AB = 12, BC = 14, CD = 14 e DA = 16.
a) Calcule a área do quadrilátero ABCD.
Use as aproximações: 414,12 , 732,13 , 450,26 .
b) Determine a área do quadrilátero ABCD pelo método egípcio.
Questão 02 - (FGV )
A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a
R$ 1 800,00 o metro quadrado.
Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo.
A impressão deste material não é obrigatória.
a) As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: , , e são diretamente proporcionais
aos números 10, 20, 15 e 15, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um
trapézio retângulo?
b) Os médicos pagaram R$ 777 600,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana?
Uma escala, por exemplo 1:1 000, expressa que 1 centímetro na representação plana corresponde a 1 000
centímetros na realidade.
Questão 03 - (UFRRJ)
O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quatro quadrados, como mostra a figura.
Calcule o valor da razão b/a.
Questão 04 - (UFMS)
Sobre os vértices opostos de um quadrado de lado medindo 26(2 + ) cm , foram colocados dois insetos que, de
imediato, começam a caminhar sobre os lados do quadrado, com a mesma velocidade, em direção a um mesmo
vértice, conforme ilustração abaixo.
Num dado momento, a distância percorrida por cada um desses insetos é igual à distância que os separa.
A B C D
2
A impressão deste material não é obrigatória.
Determine, em centímetros, o quanto cada inseto caminhou até esse momento.
Questão 05 - (UNICAMP SP)
Um trapézio retangular é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo e um
ângulo obtuso . Suponha que, em um tal trapézio, a medida de seja igual a cinco vezes a media de .
a) Calcule a medida de , em graus
b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de e é reto.
Polígonos / Regulares, Nº de Diagonais e Relações Angulares
Questão 06 - (FGV )
Ao somar as medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, Arquimedes encontrou 2018º. Fazendo uma
conferência dos seus cálculos, Arquimedes descobriu que havia esquecido de somar a medida de um dos ângulos.
a) Qual a medida, em graus, do ângulo que Arquimedes havia esquecido?
b) Quantos lados tinha o tal polígono?
Questão 07 - (UFSC)
Considere um hexágono eqüiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20cm,
13cm, 15cm e 23cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono.
Questão 08 - (ITA SP)
Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°,
determine o número n de lados do polígono.
A impressão deste material não é obrigatória.
Questão 09 - (UEG GO)
Na figura abaixo, o segmento AB corresponde ao lado de um hexágono regular inscrito, enquanto o segmento BC
corresponde ao lado de um quadrado também inscrito no círculo de raio 6 cm.
Determine a distância percorrida de A até C, passando por B.
Questão 10 - (UFMT)
Na figura ao lado, o triângulo ABC é eqüilátero; M, N e O são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC
e AC e, é um arco de circunferência com centro em O e raio . Sendo 6 a medida da área da região
sombreada na figura, determine o perímetro do triângulo ABC.
Questão 11 - (UnB DF)
Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n e n + 1 lados, respectivamente. Sabendo-se que a
medida do ângulo interno do polígono P’ é 48o maior que a do ângulo externo (suplemento do ângulo interno
adjacente) do polígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é (n – 2) X 180º,
calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos.
OM
A impressão deste material não é obrigatória.
Áreas de Superficies Planas / Círculos e suas Partes
Questão 12 - (UFG GO)
O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como ilustra a figura a seguir.
Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine
a área da região varrida por essa palheta.
Dado: 3,14
Questão 13 - (UFMG)
Um quadrado Q tem área igual à área de n quadrados de área unitária de 1 cm2, mais a área de um quadrado K .
Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos.
1. Suponha que n = 19 e que a área do quadrado Q é de 100 cm2.
CALCULE a medida do lado do quadrado K.
2. Suponha que o lado do quadrado K mede 8 cm e que n = 57.
CALCULE a medida do lado do quadrado Q.
Questão 14 - (UFG GO)
O gráfico a seguir apresenta uma previsão, para os próximos dez anos, do volume de negócios, em milhões de
dólares, e o crescimento das áreas dinâmicas da biotecnologia médica.
A impressão deste material não é obrigatória.
DIEGUEZ, Flávio. A guerra dos genes.
Revista Fórum. Ano 9, ago. 2010.
Neste gráfico, as áreas dos círculos são proporcionais ao respectivo volume de negócios, e a área do círculo
associado à Europa é proporcional a 1,75×109 dólares. Assim, sendo R o raio do círculo referente aos Estados
Unidos e o raio do círculo referente à Europa, calcule o valor do volume de negócios dos Estados Unidos
para os próximos dez anos.
Questão 15 - (UFF RJ)
Na figura abaixo, A e B são dois pontos da circunferência de centro em C, o segmento AC mede 2 cm e o arco de
círculo AB, que subtende o ângulo, mede 1 cm.
Calcule:
4
7R
A impressão deste material não é obrigatória.
a) o perímetro do setor circular ACB de ângulo central ;
b) a medida do ângulo em radianos e em graus;
c) a área do setor circular ACB de ângulo central .
Questão 16 - (UFG GO)
O papiro de Rhind, escrito pelos egípcios no século XVIII a.C., apresenta 87 problemas de matemática e suas
soluções. No problema 50, calcula-se a área de um círculo da seguinte maneira: subtrai-se do diâmetro sua nona
parte e eleva-se esta diferença ao quadrado; o resultado, para os egípcios, era a área do círculo.
De acordo com essas informações,
a) expresse a área do círculo em função de seu raio R, segundo o método egípcio;
b) considerando um círculo de raio 9 cm, calcule a diferença aproximada entre a área obtida pelo método egípcio
e a área calculada pelo método correto.
Use = 3,14
Questão 17 - (UFRJ)
Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro
e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura.
a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizza grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas.
Qual dessas opções permite que elas comam mais?
b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas.
Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em pizzas.
Questão 18 - (UFRRJ)
Na figura abaixo, o ponto 0 significa o centro de uma região circular de raio r = 5m. O arco BC é igual ao arco CD e
a medida do seguimento AB é 8m. O polígono ABCD representa uma piscina vista do alto. Determine a área da
região circular que está fora da piscina.
Considere: = 3,14
A impressão deste material não é obrigatória.
GABARITO:
1) Gab:
a) No triângulo ABD, retângulo em A o teorema de
Pitágoras fornece BD = 20.
Sendo M o ponto médio de BD temos que MC é perpendicular a DB porque CD = CB. Assim, no triângulo
retângulo DMC calculamos
A área do quadrilátero ABCD é
b) Pelo método egípcio a área do quadrilátero ABCD é
2) Gab:
A banca responsável pela elaboração da prova de Matemática Aplicada cometeu um engano no enunciado dessa
questão: os dados apresentados são incompatíveis com o enunciado do problema.
Preocupados, em primeiro lugar, com ressalvar a responsabilidade dos candidatos que se submeteram a essa
prova, os membros da banca assumem a responsabilidade pelo erro cometido e decidem considerar corretas as
duas resoluções da referida questão.
8,945,2464961014MC 22
2u 19498962
8,920
2
1612S
2
e u 19513152
1412
2
1416S
A impressão deste material não é obrigatória.
Essa decisão baseia-se no fato de que, embora a segunda resolução não seja a correta, seu enunciado, tal como
chegou ao candidato, pode, como ocorreu em alguns casos, induzi-lo a erro.
Julgam, assim, fazer justiça àqueles que prestaram a prova de Matemática Aplicada.
a)
1ª Resolução:
A soma das medidas dos quatro ângulos do quadrilátero ABCD é igual a 360º:
10k + 20k + 15k + 15 = 360º k = 6º
O ângulo  mede 10(6º) = 60º
No entanto, o triângulo ABB' é retângulo e isósceles.
Portanto: m(Â) = 45º
b) Não existe a representação plana sugerida pelos dados apresentados e a parte B não tem significado.
2ª Resolução:
a)
; ;
A representação plana é um trapézio retângulo.
b)
192k2 = 432 k2 = 2,25 k = 1,5
O lado de 20 cm, por exemplo, corresponde a 201,5 = 30 metros.
A representação plana foi feita na escala 1:150.
º660
º360
15
D
15
C
20
B
10
A
º60A º120B º90DC
77760018002
k16)k4k20(
A impressão deste material não é obrigatória.
3) Gab:
b/a = 3/5
4) Gab: 52
5) Gab:
a) = 30°
b) = 90°
6) Gab:
a) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1800(n – 2) e, portanto, sempre um
múltiplo de 180º.
Assim, como 2018 = 180 11 + 38, Arquimedes esqueceu de somar um ângulo cuja medida é 1800 – 380 =
1420.
b) A soma correta é, portanto, 20180 + 1420 = 21600 = 1800 12.
Logo, n – 2 = 12 n = 14, isto é, o polígono tinha 14 lados.
7) Gab: 99
8) Gab: n = 14
9) Gab:
10) Gab: 36
11) Gab: 11
12) Gab: 2826 cm2
cm223
A impressão deste material não é obrigatória.
13) Gab:
1. LK = 9 cm
2. LQ = 11 cm
14) Gab:
O volume de negócios dos EUA será de 4 bilhões de dólares.
15) Gab:
a) 5 cm.
b) Em radianos = ; em graus = .
c) 1 cm2.
16) Gab:
a)
b) D = 1,66 cm2
17) Gab:
a) A sugestão de Raquel permite que elas comam mais, pois o volume de uma pizza grande é 400 h cm3 e o
volume de três pequenas é 300 h cm3, com indicando a espessura da pizza em centímetros. h
b) Eles também poderiam gastar os mesmos R$ 60,00 de três outras formas diferentes: uma grande e sete
pequenas; duas grandes e quatro pequenas ou três grandes e uma pequena.
18) Gab: 30,5m2
2
1
90
2E R
81
256A