quando é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha, por meio de sufrágios...

Quando é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha, por meio de sufrágios ou votos que se designa por

ELEIÇÃO

O processo eleitoral tem dois momentos:

a votação

a contagem de votos.

Como funciona a contagem? Será um processo justo?

Será que existem eleitores com mais poder de voto do que outros?

1. VOTOS DE PREFERÊNCIAS.TABELAS DE PREFERÊNCIAS.

Os votos de preferência são votos em que o eleitor escolhe, por ordem de preferência, os candidatos.

Uma forma lógica de organizar os votos é agrupar os que são idênticos, e elaborar uma tabela de preferências.

Uma vez que a Universidade de Coimbra encontra-se sem reitor, suponhamos que temos quatro candidatos para ocupar o lugar vago. São eles o Dr. António , o Dr. Bernardo, a Dra. Carolina e a Dra. Daniela.

Há 37 pessoas com direito a voto nesta eleição, que constituem a população eleitora. Façamos a seguinte correspondência:

A AntónioB BernardoC CarolinaD Daniela.

Cada um dos eleitores vota indicando a sua primeira, segunda, terceira e quarta escolha. Finda a votação, qual será o candidato eleito para reitor?

Agrupando os diferentes tipos de boletins de votos obtidos, no total de 24 possíveis, temos a seguinte tabela de preferências:

Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A C D B C

2ª Opção B B C D D

3ª Opção C D B C B

4ª Opção D A A A A

TRANSITIVIDADE E ELIMINAÇÃO DE CANDIDATOS

transitividade da preferência individual

escolhas relativas de um eleitor não são afectadas pela eliminação de um ou mais candidatos.

Há dois factos a ter em conta quando se usam os votos de preferências:

VOTO

1º - C2º - B3º - D4º - A

VOTO

1º - C2º - D3º - A

Exemplificação:

2. MÉTODO DA PLURALIDADE

O candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar será o eleito.

Aplicando este método ao nosso exemplo inicial, temos que: A obtém 14 votos para 1º lugar;

B obtém 4 votos para 1º lugar;C obtém 11 votos para 1º lugar;D obtém 8 votos para 1º lugar.

Neste caso, o resultado da escolha é óbvio – o eleito é o candidato A (o Dr.António).

Características:

Simplicidade

Aplicação do princípio da regra da maioria

A maioria implica a pluralidade e o recíproco não se verifica. Tal facto conduz-nos até ao critério da maioria.

CRITÉRIO DA MAIORIA:

Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa

eleição, então essa escolha deverá ser a eleita.

CRITÉRIO DE CONDORCET:

Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.

Falhas do método da pluralidade:

não considera outras preferências além da primeira

mau resultado eleitoral

não verifica o critério de Condorcet

existência de votos que não revelam a verdadeira preferência dos eleitores

Marie Jean Antoine Caritat – Marquis de Condorcet (1743 – 1794)

Dedicou-se às Ciências Sociais

É possível encontrar exemplos de eleições em que um candidato ganha em comparação com outros, mas ainda assim, pelo método da pluralidade, esse candidato perde a eleição. A esse

candidato que ganha em comparação com os outros designa-se por CANDIDATO CONDORCET.

Exemplo da falha do método da pluralidade:

O Orfeão dos Antigos Alunos da Universidade de Coimbra foi convidado para realizar um espectáculo em cinco cidades diferentes: Roma (R), Helsínquia (H), Caracas (C), Oslo (O) e em Sidney (S). O problema surge em decidir em que cidade actuarão, uma vez que só poderão realizar um espectáculo. Os cem membros do orfeão procedem então a uma eleição.

Os resultados da eleição encontram-se na tabela seguinte:

Número de eleitores 49 48 3

1ª Opção R H C

2ª Opção H S H

3ª Opção C O S

4ª Opção O C O

5ª Opção S R R

Método da pluralidade

Roma

Senso comum Helsínquia

n pontos

Neste método, a cada lugar nos votos de preferências é atribuída uma pontuação. Numa eleição com n candidatos atribui-se :

3- MÉTODO DE CONTAGEM DE BORDA

Somam-se os pontos que foram atribuídos a cada candidato, e o que obtiver o maior número de pontos é o vencedor da eleição.

um ponto

dois pontos

...

penúltimo lugar

último lugar

primeiro lugar.

considera toda a informação que provem dos votos de preferência;

é bastante usado quando existe um número significativo de candidatos.

Características do método:

Usando este método vejamos qual é o candidato eleito, no exemplo. A tabela seguinte mostra os pontos obtidos por cada candidato:


1ª Opção: 4 pts A: 56 pts C: 40 pts D: 32 pts B: 16 pts C: 4 pts

2ª Opção: 3 pts B: 42 pts B: 30 pts C: 24 pts D: 12 pts D: 3 pts

3ª Opção: 2 pts C: 28 pts D: 20 pts B: 16 pts C: 8 pts B: 2 pts

4ª Opção: 1pt D: 14 pts A: 10 pts A: 8 pts A: 4 pts A: 1 pt

Agora somemos os pontos:

A obtém: 4 * 14 + 1 * 10 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 1 = 79 pontos;

B obtém: 3 * 14 + 3 * 10 + 2 * 8 + 4 * 4 + 2 * 1 = 106 pontos;

C obtém: 2 * 14 + 4 * 10 + 3 * 8 + 2 * 4 + 4 * 1 =104 pontos;

D obtém: 1 * 14 + 2 * 10 + 4 * 8 + 3 * 4 + 3 * 1 = 81 pontos;

portanto o vencedor é o candidato B (Dr. Bernardo).


Falhas do método:

não satisfaz o critério da maioria

Para ilustrar a falha deste método vejamos o seguinte exemplo

Suponhamos que temos de eleger um representante do curso de Matemática, sendo os candidatos possíveis: o Joaquim, o Rodrigues, a Carlota e a Lucília.

Façamos a seguinte correspondência:

J Dr. JoaquimR Dr. RodriguesC Dra. CarlotaL Dra. Lucília.

Após a entrevista dos quatro candidatos os onze membros da direcção votaram nos

candidatos e decidiram usar este método para escolher este vencedor.


1ª Opção: 4 pts J R C

2ª Opção: 3 pts R C L

3ª Opção: 2 pts C L R

4ª Opção: 1 pt L J J

Os resultados da votação estão registados na próxima tabela:

Calculemos então a pontuação final de cada candidato:

J obtém: 4 * 6 + 1 * 2 + 1 * 3 = 29 pontos;R obtém: 3 * 6 + 4 * 2 + 2 * 3 = 32 pontos;C obtém: 2 * 6 + 3 * 2 + 4 * 3 = 30 pontos;L obtém: 1 * 6 + 2 * 2 + 3 * 3 = 19 pontos.

Concluímos assim que o Rodrigues será o representante do curso de Matemática com o total de 32 pontos. Isto verifica-se apesar do Joaquim ter seis colocações em primeiro lugar num total de onze, e portanto a maioria.

Logo, este método não verifica o critério da maioria. Tal facto, implica a violação do critério de Condorcet.

Este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. A ideia básica é a contínua eliminação dos candidatos menos aptos, um a um, até que surja um vencedor. O critério para a aptidão é o número de colocações em primeiro lugar que se obtém.

4-MÉTODO DA PLURALIDADE COM ELIMINAÇÃO

Características do método:

é utilizado em eleições com poucos candidatos ( normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6).

Contagem das colocações em 1º lugar de cada

candidato VencedorMaioria

Eliminação do candidato c/ o menor n.º de colocações em 1º lugar

Retira-se o nome do candidato eliminado da T.P.

Os candidatos posicionados em lugares inferiores sobem um

lugar

Nova contagem das colocações em 1º lugar

Maioria

Apliquemos este método à eleição do reitor da Universidade de Coimbra. Relembremos a tabela 1:






PASSO 1:

Candidato A B C D

Nº de votos da 1ª Opção 14 4 11 8

Como o candidato B é o que possui o menor número de votos na 1ª opção, ele é eliminado.

PASSO 2: Devido à eliminação de B, obtemos uma nova tabela:


1ª Opção A C D D C

2ª Opção C D C C D


Procedendo-se a uma recontagem dos votos, surge a seguinte tabela:

Neste passo, o candidato C é o eliminado pois possui o menor número de votos.

PASSO 3: Os onze votos pertencentes ao candidato C no passo 2 deslocar-se-ão para o candidato D, como se verifica na seguinte tabela:


1ª Opção A D D D D


Candidato A B C D

Nº de votos para 1ª Opção 14 - 11 12

O candidato D obteve a maioria dos votos da primeira opção no passo 3, uma vez que é apenas necessário 19 votos para que haja uma maioria, verificando-se assim o critério da maioria.

CRITÉRIO DA MONOTONIA:

Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam

X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.

não satisfaz o critério da monotonia


Falhas do método:

No Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra está prestes a realizar-se a eleição para o presidente do Núcleo de Estudantes de Matemática e Engenharia Geográfica (NEMATEG). Há três candidatos ao cargo que são a Ana (A), a Vera (V) e o Manuel (M).

Vejamos o seguinte exemplo:

Número de eleitores 7 8 10 4

1ª Opção A V M A

2ª Opção V M A M

3ª Opção M A V V

População eleitora- 29 membros

Vera é eliminada Passo 1→ Ana obteve 11 votos, a Vera 8 e o Manuel 10

Passo 2 → 8 votos que pertenciam à Vera são transferidos para o Manuel

Manuel é o presidente do NEMATEG (18 votos)

Suponhamos que os quatro eleitores da última coluna decidem trocar os votos da sua primeira opção (A) para o candidato Manuel (M).


1ª Opção A V M

2ª Opção V M A

3ª Opção M A V

Candidato (A) – 7 votos Eliminada

Candidato (V) - 15 votos Vencedor

Não satisfaz o critério da monotonia

Cada candidato é comparado com os restantes , sendo essas comparações feitas entre dois candidatos de cada vez.

5. MÉTODO DAS COMPARAÇÕES PAR A PAR

Quantas comparações são necessárias para encontrar um vencedor ?

Depende do número de candidatos pois se existirem N candidatos temos as seguintes comparações:

1º candidato N-1 comparações

2º candidato N-2 comparações. . .

Penúltimo candidato 1 comparação

são precisas 1 + 2 + 3 + … + (N-2) + (N-1) = N (N-1)/2 comparações

Para exemplificar este método vamos utilizar o exemplo inicial, cuja tabela de preferências é :

Características:

Satisfaz o critério de Condorcet

Satisfaz o critério da maioria

Satisfaz o critério da monotonia






• Comecemos por comparar A com BComecemos por comparar A com B






Como se verifica na tabela anterior, o candidato (B) ganha a comparação com 23 votos, obtendo assim 1 ponto.

• Comparação de A com C Comparação de A com C






Portanto, o candidato (C) ganha a comparação com 23 votos obtendo também 1 ponto.

• Comparação entre os candidato A e D Comparação entre os candidato A e D






Verificamos que o candidato D ganha a comparação com 23 votos, ficando com 1 ponto.

• Comparação entre os candidatos B e CComparação entre os candidatos B e C






O candidato C ganha a comparação com 19 votos contra 18 votos do candidato B

• Comparação entre os candidatos B e DComparação entre os candidatos B e D






O candidato B obteve 1 ponto ao ganhar a comparação com D.

• Comparação entre os candidatos C e DComparação entre os candidatos C e D






O candidato C ganha a comparação com 25 votos, obtendo assim 1 ponto.

Resumindo as comparações efectuadas anteriormente obtém-se o seguinte quadro:

Comparações Pontuação

A B A: 0 pt; B: 1 pts

A C A: 0 pts; C: 1 pt

A D A: 0 pts; D: 1 pt

B C B: 0 pt; C: 1 pt

B D B: 1 p ; D: 0 pts

C D C: 1 p ; D: 0 pts

Somando agora a pontuação de cada candidato, obtemos o resultado final que está expresso no seguinte quadro:

Candidato Pontuação final

A 0 pts

B 2 pts

C 3pts

D 1pt

Concluimos assim que pelo método de comparações par a par o vencedor é o candidato C.

CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:

Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos

votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.

Não satisfaz o critério de independência das alternativas irrelevantes.

Pode produzir um resultado em que todos os candidatos são vencedores;

Falhas deste método:

Para ilustrar estas duas falhas vamos apresentar dois exemplos:Para ilustrar estas duas falhas vamos apresentar dois exemplos:

EXEMPLO 1:

Os onze quartanistas do nosso curso vão realizar um jantar de curso, de modo a angariar algum dinheiro para participarem no cortejo da Queima das Fitas. É então necessário escolher o local do jantar entre os seguintes restaurantes: o Batina (B), a Liga (L) e o Democrática (D). A tabela de preferências é:

Nº de Eleitores 4 2 5

1ª Opção B L D

2ª Opção L D B

3ª Opção D B L


B 1 pt

L 1 pt

D 1 pt

Analisando a tabela anterior obtemos o seguinte quadro:


BL B: 1 pts ; L: 0 pts

BD B: 0 pts ; D: 1 pts

LD L: 1 pts ; D: 0 pts

Chegamos assim, ao quadro da pontuação final:

Notamos que existe uma situação de empate. E agora? Geralmente, não há uma regra pré -estabelecida para desempatar, mas na prática é importante estabelecer este tipo de regras.

EXEMPLO 2:

Na Associação Académica de Coimbra existem várias secções desportivas. Na secção de Rugby, é necessário eleger um representante da equipa para receber o troféu de campeã nacional nesta modalidade. Há cinco voluntários: o Rafael (R), o João (J), o Miguel (M), o Luís (L) e o Gonçalo (G). A tabela seguinte mostra os votos de preferência dos eleitores:

Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4

1ª Opção R L L M M J G

2ª Opção J R R L J R M

3ª Opção M M J R R G J

4ª Opção L J G J L M L

5ª Opção G G M G G L R

Depois de efectuar as comparações par a par como foi feito no exemplo inicial temos o seguinte quadro:


R 3 pts

L 2 + ½ pts

M 2 pts

J 1 + ½ pts

G 1 pt

O candidato eleito para ir receber o prémio em causa é o Rafael.

O mais interessante neste exemplo, é que mesmo antes de ser anunciado o resultado da eleição, o Miguel comunica que não poderá ir receber o troféu caso seja o eleito. Uma vez que o Miguel não é a escolha principal, será que a sua desistência vai afectar o resultado?

Suponhamos que o Miguel era eliminado no início da eleição, neste caso bastaria eliminá-lo do boletim de voto. Desta forma a tabela de preferências seria a seguinte:

Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4

1ª Opção R L L L J J G

2ª Opção J R R R R R J

3ª Opção L J J J L G L

4ª Opção G G G G G L R

Logo, o vencedor seria o Luís.

Por outras palavras, se a eleição fosse realizada com o conhecimento de que o Miguel não fazia parte do leque de candidatos, então o Luís seria o eleito e não o Rafael. Consequentemente o resultado original parece injusto para o Luís.

Concluímos então que este método satisfaz todos os critérios enunciados até aqui excepto o critério de independência das alternativas irrelevantes.

Finalmente depois de efectuadas as comparações necessárias temos o seguinte quadro:


R 2 pts

L 2 + ½ pts

J 1 + ½ pts

G 0 pts

2.6. RANKINGS

Muito frequentemente, é importante não só conhecer quem ganha as eleiçõesmas também quem ficou em segundo lugar, terceiro lugar, etc. Para isto, temos dois

métodos que são os seguintes:

➣ Métodos de ranking extensivos;

➣ Métodos recursivos de ranking

∲ MÉTODOS DE RANKING EXTENSIVOS

➸ ➸ Segundo o Segundo o método da pluralidademétodo da pluralidade : :

1ª Posição: vencedor da eleição

2ª Posição: candidato com maior número de colocações em 1º lugar a seguir ao anterior

. . .

Última posição: candidato com menor número de colocações em 1º lugar

EXEMPLO INICIAL:EXEMPLO INICIAL:






A tabela de preferências deste exemplo é a seguinte:

A contagem das colocações para a primeira opção é:A: 14 colocações para a 1ª opção;

B: 4 colocações para a 1ª opção;C: 11 colocações para a 1ª opção;

D: 8 colocações para a 1ª opção.

Desta forma, o quadro do ranking é:

PosiçãoCandidato Colocações para 1ª

opção

1º Lugar A 14

2º Lugar C 11

3º Lugar D 8

4º Lugar B 4

➸ ➸ O O método das comparações par a parmétodo das comparações par a par

O número de comparações ganhas por cada candidato é a base para se elaborar o ranking

Utilizando o exemplo anterior temos:


A B A: 0 pt; B: 1 pts

A C A: 0 pts; C: 1 pt

A D A: 0 pts; D: 1 pt

B C B: 0 pt; C: 1 pt

B D B: 1 p ; D: 0 pts

C D C: 1 p ; D: 0 pts

Portanto, o quadro do ranking é:

PosiçãoCandidato Pontos

1º Lugar C 3

2º Lugar B 2

3º Lugar D 1

4º Lugar A 0

∲ MÉTODOS RECURSIVOS DE RANKING

Utiliza-se o método X para eleger o vencedor ( 1º vencedor );

Ranking:

1ª Posição

2ª Posição

. . .

Última Posição

Retiramos o vencedor anterior e aplicamos novamente o método X (2º vencedor);

. . .

Retiramos o vencedor anterior e aplicamos o método X aos últimos dois candidatos (penúltimo vencedor);

Penúltima Posição

➸ ➸ Segundo o Segundo o método da pluralidade recursivométodo da pluralidade recursivo : :

Para melhor ilustrar este processo vamos apresentar dois exemplos:

PASSO 1: O candidato eleito é o Dr. António com 14 colocações para a 1ª opção, logo é colocado no 1º lugar do ranking.

PASSO 2: Removendo o candidato (A) da tabela original, obtemos uma nova tabela de preferências:

Eleição original

Nº de eleitores

14 10 8 4 1





Após a remoção do candidato (A)

Nº de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção B C D B C

2ª Opção C B C D D

3ª Opção D D B C B

Usando esta nova tabela concluímos que o candidato B é o vencedor, colocando-se em 2º lugar no ranking.

PASSO 3: Retirando desta vez o candidato (B), obtemos a seguinte tabela:

Após a remoção dos candidatos (A) e (B)

Nº de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção C C D D C

2ª Opção D D C C D

O candidato C é colocado na 3ª posição do ranking porque é o vencedor deste passo. Como só nos resta o candidato D, este fica na ultima posição do ranking.

Finalmente o ranking recursivo deste método aparece no seguinte quadro:

Posição Candidato

1º Lugar A

2º Lugar B

3º Lugar C

4º Lugar D

Como vimos anteriormente, o resultado das comparações dos candidatos está no quadro seguinte:

CandidatoPontuação final

A 0 pts

B 2 pts

C 3pts

D 1pt

➸ ➸ Segundo o Segundo o método das comparações par a par recursivométodo das comparações par a par recursivo : :

Portanto o vencedor é a Dra. Carolina (C), que colocamos no primeiro lugar do ranking.


A B A: 0 pts ; B: 1 pt

A D A: 0 pts ; D: 1 pt

B D B: 1 pt ; D: 0 pts

Depois de efectuar novas comparações temos o seguinte quadro:

Candidato Pontuação Final

A 0 pts

B 2 pts

D 1 pt

Desta forma, o candidato (B) ganha, colocando-se em segundo lugar do ranking.

Concluímos assim o seguinte quadro:

Elimina-se o candidato (B) e temos então:

Após remoção dos candidatos (B) e (C)

Nº de eleitores 14 23

1ª Opção A D

2ª Opção D A

Comparando A com D, o candidato D ganha a comparação e portanto este ocupará o terceiro lugar do ranking, e o candidato A ocupará o quarto lugar. Temos o seguinte quadro de ranking:

Posição Candidato

1º Lugar C

2º Lugar B

3º Lugar D

4º Lugar A

CRITÉRIO DA MAIORIA:Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição,

então essa escolha deverá ser a eleita.

CRITÉRIO DE CONDORCET:Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida

pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.

CRITÉRIO DA MONOTONIA:Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas

mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.

CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for

removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.

Como foi visto, nenhum método anterior satisfaz os seguintes quatro critérios:Como foi visto, nenhum método anterior satisfaz os seguintes quatro critérios:

TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW:

Um método democrático e justo para determinar o resultado de uma eleição é matematicamente impossível.

Kenneth Arrow (1921 - )

1952 – Teorema da impossibilidade de Arrow

1972 – Prémio Nobel da Economia

SISTEMA DE VOTO COM PESO: qualquer arranjo formal em que cada eleitor tem um número diferente de votos.

O melhor exemplo de um sistema de voto com peso:

Eleição do presidente dos Estados Unidos.

VOTO PODER

A principal vantagem de um sistema de voto com peso é de que:

• Não temos que nos preocupar com a escolha do método de voto a usar, pois todos eles seguem a:

regra da maioria.

•Temos apenas duas hipóteses (aceitar ou recusar),

NOTAÇÕES:

Jogador → Eleitor

Moção – apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia;

• Moção → Haver uma mudança;

Sistema de voto com peso : [C: P1,..., PN]

• C - cota

isto é, o numero de votos necessários para que haja uma mudança; metade do total dos votos ≤ cota ≤ total dos votos

• P1,..., PN – o peso de voto de cada jogador, ordenados por ordem decrescente.

Chamam-se ditadores a todos os jogadores que tiverem peso de voto superior ou igual à cota.

Exemplo: [11: 12, 5, 4] o primeiro jogador é ditador

Numa situação em que há um ditador todos os outros jogadores ficam submetidos a ele, e estes jogadores chamam-se jogadores neutros.

O jogador que não é ditador mas que individualmente pode prevenir que os restantes jogadores juntos aceitem uma moção tem:

Poder de Veto

Neste caso não há ditador: [12: 9, 5, 4, 2], e o jogador P1, apesar de não ser ditador, tem o poder de obstruir, prevenindo qualquer mudança de posição dos restantes jogadores, isto é, que estes jogadores unam as forças e assim juntem mais votos que o primeiro jogador. Ao jogador P1 é dado o poder de prevenir tais mudanças porque mesmo que os restantes jogadores votem juntos, estes não tem votos superiores à cota. Isto faz com eles não possam aceitar uma moção contra a vontade de P1.

1. INDICADOR DE PODER DE BANZHAF

Em 1965 John Banzhaf introduziu uma interpretação matemática do poder para o sistema de voto com peso.

CONCEITOS IMPORTANTES:

COLIGAÇÃO: um grupo de jogadores que unem forças e juntos levarem à mudança.

Esta designação também é válida para jogadores singulares.

•COLIGAÇÃO VENCEDORA: são todas aquelas com votos suficientes para ganhar, as outras coligações são PERDEDORAS.

PESO DA COLIGAÇÃO: número total de votos controlado por uma coligação

A coligação que contém todos os jogadores é sempre vencedora e chama-se grande coligação.

Notação: coligação genérica de N eleitores é: {P1, P2,....,PN}.

•Uma coligação vencedora pode ter mais do que um jogador crítico, e só ocasionalmente uma coligação não tem jogador crítico.

•As coligações perdedoras nunca têm jogadores críticos.

Este conceito é a base da definição para o indicador de poder de Banzhaf.

JOGADOR CRÍTICO: é o jogador que transforma uma coligação vencedora em perdedora ao abandonar a coligação.

O poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é critico, isto é, quanto mais frequentemente um jogador é critico mais poder ele tem.

Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de qualquer jogador num sistema de voto com peso genérico com N jogadores, seguimos os seguintes passos:

Passo 1: fazer uma lista de todas as coligações possíveis,

Passo 2: determinar quais são as coligações vencedoras,

Passo 3: em cada coligação vencedora determinar quais são os jogadores críticos,

Passo 4: contar o numero total de vezes que o jogador P, é critico – seja esse valor representado por B,

Passo 5: contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos – seja esse valor representado por T

O indicador de poder de Banzhaf é dado pela fracção: B/T.

A uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador, chamamos: distribuição de poder de Banzhaf.

É comum escrever os indicadores de poder em percentagem.

Para melhor percebermos os conceitos introduzidos anteriormente vamos analisar alguns exemplos:

Sistema de voto com peso da forma: [101: 99, 98, 3].À primeira vista somos conduzidos a pensar que os dois primeiros jogadores têm mais poder do que o terceiro.

depois de analisarmos a situação verificamos que por mais estranho que nos pareça, os três jogadores tem o mesmo poder.

1ª - {P1} 99 Perde 2ª - {P2} 98 Perde 3ª - {P3} 3 Perde 4ª - {P1, P2} 197 Vence 5ª - {P1, P3} 102 Vence 6ª - {P2, P3} 101 Vence 7ª - {P1, P2, P3} 200 Vence

Coligações Peso da coligação Vence ou perde

As coligações 4, 5, 6, são vencedoras, mas basta que um jogador, o jogador crítico, abandone a coligação para que esta se torne numa coligação perdedora,

Em contrapartida a coligação 7 permanece vencedora mesmo que um jogador abandone a coligação,

Assim que cada jogador é duas vezes critico,

concluímos que cada jogador tem um terço do poder:2/6=1/3.

Cada membro tem um poder diferente nas decisões finais:

O1 → três votos,

O2 →dois votos,

O3 → um voto.

São necessários quatro dos seis votos possíveis para que haja mudança, isto é, para que seja aceite a moção. O que dá origem a um sistema de voto com peso da forma: [4: 3, 2, 1].

Numa empresa onde na direcção estão envolvidas três gerações da família Oliveira:

Oliveira I → O1

Oliveira II → O2

Oliveira III → O3

Aplicando agora a cinco regras para o cálculo do indicador de poder de cada um dos jogadores, obtemos:

1º- Há sete coligações possíveis, {O1} {O2} {O3} {O1, O2} {O1, O3} {O2, O3} {O1, O2, O3},

2º- Coligações vencedoras {O1, O2} {O1, O3} {O1, O2, O3},

3º- Jogadores críticos O1 e O2 → coligação {O1,O2} O1 e O3 → coligação {O1, O3} Apenas O1 → coligação {O1, O2, O3},

4º- O1 é três vezes jogador crítico O2 é uma vez jogador crítico O3 é uma vez jogador critico,

5º- O número total de jogadores críticos é cinco.

O indicador de poder de Banzhaf de cada jogador é: O1: 3/5 O2: 1/5 O3: 1/5

Sendo a distribuição de poder da forma: O1 tem 60% do poderO2 tem 20% do poderO3 tem 20% do poder.

Que a primeira geração tem mais poder, e que a segunda e terceira geração têm igual poder.

Existem tantas coligações quantos os subgrupos menos um, que é o subgrupo vazio.

Quantas coligações existem para um dado número de jogadores?

Identifiquemos as coligações com grupos.

A cada subgrupo diferente, excluindo o subgrupo vazio, fazemos corresponder uma coligação.

Nº de jogadores Nº de subgrupos Nº de coligações

A tabela seguinte mostra quantos subgrupos é possível formar com N elementos:

2 4=22 22 - 1=3

3 8=23 23 - 1=7

… … …

N 2N 2N – 1

Conselho de segurança das Nações Unidas

Constituído por:

15 nações de voto → 5 permanentes

→ 10 não permanentes

Para que uma moção seja aceite é necessário um voto a favor de cada um dos membros permanentes, mais votos adicionais a favor de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes.

Contêm todos os membros permanentes mais pelo menos quatro dos membros não permanentes.

Então existem:

+ + + + + + =

= 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 10

= 848 Coligações

• Todos os membros permanentes são críticos nestas coligações.

Coligações vencedoras

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

9

10

10

10

Coligações vencedoras mínimas - são formadas pelos cinco membros permanentes e por exactamente quatro dos membros não permanentes.

Então existem:

= 84 Coligações

• E os membros não permanentes são apenas críticos nas :

3

9

Número total de vezes que todos os jogadores são críticos:

5 * 848 + 10 * 84 = 5080 .

O indicador de poder de Banzhaf :

Membros permanente é: 848/5080 = 0.167 ou 16.7%

Membro não permanente é: 84/5080 = 0.0165 ou 1.65%

mais poder que os membros não permanentes

Os membros permanentes têm

4. ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY - SHUBIK

Neste método as coligações são formadas sequencialmente, isto é, é importante a ordem do eleitor na coligação (todas as coligações

começam com um primeiro eleitor que pode ser seguido pelo segundo, depois o terceiro e assim sucessivamente).

- Coligação Sequencial

Palavra chave deste método:

Segundo Shapley – Shubik, os mesmos três eleitores podem formar seis diferentes coligações sequenciais: <P1, P2, P3> - significa que P1 iniciou a coligação, em seguida juntou - se o eleitor P2 e , por fim P3.

IMPORTANTE: A questão da ordem de cada eleitor na coligação.

Ilustre-se então a diferença com um simples exemplo.

De acordo com a interpretação de Banzhaf

-uma coligação com os eleitores {P1, P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram poder e votaram em conjunto, não interessando como formaram (a ordem) a coligação

Vamos ter n! coligações sequenciais possíveis.

Em cada coligação sequencial existe um jogador que no momento em que este se junta á coligação, esta parte de perdedora a uma coligação vencedora. A este jogador daremos o nome de:

PIVOT

Para um dado número de eleitores, N, quantas coligações sequenciais existem?

Procedimento para encontrar o índice de poder de Shapley - Shubik de cada eleitor num sistema de voto com peso com N eleitores é o seguinte:

1º Passo – Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais com os N eleitores, há N!.

2º Passo – Em cada coligação sequencial determinar o Pivot. ( Há um em cada .)

3º Passo – contar o número de vezes que o eleitor P é Pivot. ( Designemo-lo por S )

O indicador de poder de Shapley – Shubik do eleitor P é dado por:

S/N!

Exemplo:Vamos retomar o exemplo da empresa da família Oliveira

considerada anteriormente. Tenhamos em conta que o sistema de votação que estamos a utilizar é 4 : 3, 2, 1 . Para a sua análise vamos então seguir os passos observados anteriormente.

< P1,, P2 ,P3 > < P1,, P3 ,P2 > < P2, P1 ,P3 > < P2,, P3 ,P1 > < P3, P1 ,P2 > < P3,, P2 ,P1 >

Coligação sequencial Jogador pivotal< P1,, P2 ,P3 > P2

< P1,, P3 ,P2 > P3

< P2, P1 ,P3 > P1

< P2,, P3 ,P1 > P1

< P3, P1 ,P2 > P1

< P3,, P2 ,P1 > P1

Passo 1

Passo 2

P1 é pivotal 4 vezes P2 é pivotal 1 vez P3 é pivotal 1 vez

A distribuição de poder segundo o modelo de Shapley – Shubik é assim:

P1 4/6 = 66, (6)%

P2 1/6 = 16,(6)%

P3 1/6 = 16,(6)%

Passo 3

Podemos então concluir que a distribuição de poder dos dois métodos é diferente.

Conclusão:

Utilizando o modelo de Banzhaf P1 : 60% ;P2: 20%; P3 : 20%.

Utilizando o modelo de Shapley – Shubik P1 : 66, (6)%

P2 :16,(6)%

P3 : 16,(6)%

O Oliveira I tem ainda mais poder.

Interpretação:

Em contrapartida o seu filho e o seu neto têm menos poder.

O Oliveira II continua com o mesmo poder que o filho.

BanzhafBanzhaf Shapley -ShubikShapley -Shubik

60%60% 66,(6)%66,(6)%

BanzhafBanzhaf Shapley -ShubikShapley -Shubik

20%20% 16,(6)%16,(6)%

20%20% 16,(6)%16,(6)%

Conselho de Segurança das Nações Unidas

Exemplo :

No conselho de Segurança das Nações Unidas temos:

15 membros 5 membros permanentes

10 membros não permanentes

De acordo com o método temos:

15! Coligações Sequenciais

Quando é que um membro não permanente é pivotal?

Nas coligações em que for precedido:

- pelos 5 membros permanentes

-por 3 não permanentes ( Podem ser escolhidos das possibilidades)

3

9

Estes 8 elementos podem ainda permutar entre si:

temos assim mais 8! possibilidades

Até agora temos 9 lugares preenchidos! Resta-nos ocupar os 6 restantes.

Para estes existem 6! possibilidades.

O índice de poder de cada membro é assim

[(9!8!)/3!]/15!

[(9!8!6!)/3!6!]/15!

[ (9!8!)]/15!

3

9

quando é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha, por meio de sufrágios...

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