WELCOME IN WORKSHOP MATEMATIKA

WELCOME IN WORKSHOP MATEMATIKA

WELCOME IN

WORKSHOP MATEMATIKA

KALKULUS II

Producted By:1.Ikhsan Hairudin (201013500677)2.Rianty Fauziah Purba (201013500687)3.Nani Ayu Wahyuni (201013500682)4.Riana Rusie (201013500641)5.Fajar Wahyu Ilahi (201013500642)

A. TEKNIK PENGINTEGRALAN1. Integral Fungsi Rasional Aljabar2. Integral Fungsi Rasional dan Sinus

B. INTEGRAL TAK WAJAR1. Konsep Integral Tak Wajar

2. Konsep Integral Wajar

C. HAMPIRAN INTEGRAL TERTENTU1. Metode Persegi Panjang2. Metode Trapesium3. Metode Simposn

C. PENGGUNAAN INTEGRAL1. Luas Daerah

2. Isi Benda Berputar

3. Panjang Busur

4. Luas Permukaan Benda Berputar

5. Kerja

6. Gaya Cairan

Fungsi Rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam bentuk , dimana adalah fungsi pangkat banyak (polinomial) dan .

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam bentuk:

dengan sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinomial.

)(

)()(

xg

xfxF = )()( xgdanxf

0)( ≠xg

xaxaxaxaaxf no +++++= 33

221)( ,..3,2,1=n

)(

)(

xg

xf

Contoh .......... fungsi rasional sejati

.......... fungsi rasional tidak sejati

.......... fungsi rasional tidak sejati

23

1)(

2 +−−=xx

xxF

44

4)(

2

2

+−−=xx

xxF

xx

xxxxF

5

12)(

3

35

++−+=

Berdasarkan contoh di atas1. Disebut fungsi rasional sejati, karena derajat

pembilang lebih kecil dari derajat penyebut2. Dinamakan fungsi rasional tidak sejati karena

derajat pembikang dan penyebu sama3. Disebut fungsi rasional tidak sejati, karena

derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

xx

xxxxF

5

12)(

3

35

++−+=

xx

xxxxF

5

12)(

3

35

++−+=

Dalam menentukan integral fungsi rasional , ,langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional sampai tidak dapat difaktorkan

lagi.3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat

berupa kombinasi antara:

0)(,)(

)()( ≠= xg

xg

xfxF

0)(,)(

)()( ≠= xg

xg

xfxF

fungsi linear berbeda,

fungsi linear berulang,

fungsi liner dan kuadrat,

fungsi kuadrat berbeda,

fungsi kuadrat berulang, dan seterusnya.

))......()()(()( txcxbxaxxg −−−−=

))......()(()()( axaxaxaxxg n −−−=−=

))(()( 2 cbxaxaxxg ++−=

))(()( 22 cqxpxcbxaxxg ++++=

ncbxaxxg )()( 2 ++=

4.Nyatakan integral menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya, Misal :

(penyebut kombinasi liner berbeda)

(kombinasi lenear berulang)

(kombinasi kuadrat berbeda)

(kombinasi linear dan kuadrat)

...)()()(

)(

22

2

11

1 ++

++

=bax

A

bax

A

xg

xf

...)()()()(

)(3

32

21 ++

++

++

=bax

A

bax

A

bax

A

xg

xf

...)(

)(

222

2

22

112

1

11 +++

++++

+=cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

xg

xf

...)(

)(

122

2

22

11

1 +++

+++

=cxbxa

BxA

bxa

A

xg

xf

∫ +++−

dxxx

xx

)1)(14(

1362

2

∫∫ +++

−=

+++−

dxx

CBx

x

Adx

xx

xx

114)1)(14(

13622

2

Karena integral fungsi rasional sejati maka

∫∫ +++

−=

+++−

dxx

CBx

x

Adx

xx

xx

114)1)(14(

13622

2

dxxx

xCBxxA∫ ++

++++=)1)(14(

)14)(()1(2

2

dxxx

CAxCBxBA∫ ++

+++++=)1)(14(

)()4()4(2

2

Diperoleh A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

∫∫ +−+

+=

+++−

dxx

x

xdx

xx

xx

1

1

14

2

)1)(14(

13622

2

∫ ∫∫ +−

++

+= dx

xdx

x

xdx

x 1

1

1)14(

222

Cxxx +−+++= arctan1ln2

114ln

4

2 2

Contoh:

Contoh: Tentukan integral di bawah ini1.

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integral:

∫ −dx

x 1

22

∫∫ +−=

−dx

xxdx

x )1)(1(

2

1

22

∫ ++

−= dx

x

B

x

A

)1()1(

dxxx

xBxA∫ +−

−++=)1)(1(

)1()1(

∫ +−−++= dx

xx

BAxBA

)1)(1(

)()(

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

∫ ∫∫ +−+

−=

−dx

xdx

xdx

x 1

1

1

1

1

22

∫∫ +−

−=

11 x

dx

x

dx

cxx ++−−= 1ln1ln

cx

x ++−=

1

1ln

cx

xdx

x+

+−=

−∫ 1

1ln

1

22Sehingga

−

=⇔

2sin

2coscos 22 xx

x

2

2

2 11

1cos

z

z

zx

+−

+=⇔

2

2

1

1

z

z

+−=

CONTOH

xxx 22 sincos2cos −=

∫ ++ xx

dx

cossin1

Jawab

dz

z

z

z

z

dzz

xx

dx∫∫

+−+

++

+=++

2

2

2

2

1

1

1

21

1

2

cossin1∫

+−+

++

++

+=

2

2

22

2

2

1

1

1

2

1

11

2

z

z

z

z

z

zz

dz

∫ +=

z

dz

22

2∫ +

=z

dz

1

cz ++= 1ln cx ++=2

tan1ln

cx

xx

dx ++=++∫ 2

tan1lncossin1Didapat

CONTOH

Definisi : Kita menyebut F suatu antiturunan f pada selang I jika Dx F(x) = f(x) pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu turunan sepihak).

Teorema A ( Aturan Pangkat)Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka

Contoh : Carilah antiturunan yang umum dari f(x) = x4/3

Teorema B

Bukti : cukup perhatikan bahwa Dx(-cos x) = sin x dan Dx(sin x) = cos x

Teorema C (Integral Tak-Tentu adalah operator linier)Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak-tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka :

1. 2.3.

Bukti : untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendefinisikan ruas kanan dan mengamati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri

Contoh : Dengan menggunakan kelinieran hitunglah

∫ ∫ ∫+=+ xdxdxxdxxx 43)43( 22

∫ ∫+= xdxdxx 43 2

++

+= 2

2

1

3

24

33 C

xC

x

)43(2 2123 CCxx +++=

Cxx ++= 23 3

Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dari suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka

Contoh:

[ ] [ ]∫ ∫ +=′=++ C

xgdxxgxgdxxxx

31

)()()()34()3(

31303304

Cxx ++=

31

)3( 314

∫ ++

=+

Cr

uduu

rr

1

1

1; ≠r

Contoh :

∫ ++ dxxxx )126()6( 253

)(xgu = dxxgdu )(′=

xxu 63 +=dxxdu )63( 2 +=

)63(2)126( 22 +=+ xdxx

dudx 2=

Andaikan , maka

Sehingga

.

Dengan demikian :

∫ ∫=++ duudxxxx 2)126()6( 5253

∫= duu 52

+= C

u

62

6

Cu

23

6

+=

Kxx ++=

3

)6( 63

=

Definisi : Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika ada, kita katakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut , disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh

∑∫=→

∆=n

iii

P

b

a

xxfdxxf10][

)()( lim

∫b

a

dxxf )(

)(xfy =

∫ −=b

a

bawahatas AAdxxf )(

∫ =a

a

xf 0)(

∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()( ba >,

jika , jika

=1

1)( 2xxf 0≠x 0=x

Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]

Contoh: Hitunglah

Jadi,

∫−

+3

2

)3( dxx

20 −=x

nxx

5221 +−=∆+−=

+−=∆+−=n

xx5

22222

+−=∆+−=n

ixixi5

22

35

22 =

+−=∆+−=n

nxnxn

+=+=n

ixxf ii

513)(

i

n

iii

n

ii xxfxxf ∆=∆ ∑∑

== 11

)()(

∑=

+=

n

i nni

1

551

∑∑==

+=n

i

n

i

inn 1

21

251

5

++=

2

)1(25)(

52

nn

nn

n

++=

n

11

2

255

0→P∞→n

∑∫=− →

∆=+n

iii

p

xxfdxx1

3

2 0

)()3( lim

2

3511

2

255lim =

++=

∞→ nn

Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung titik-titik a,b, dan c, maka

Tidak peduli apapun orde a,b, dan c.

Contoh:

Yang oleh sebagian besar orang telah dianggap benar bahwa

∫ ∫ ∫+=c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf )()()(

∫ ∫ ∫+=2

0

1

0

2

1

222 dxxdxxdxx

∫ ∫∫ +=2

0

2

3

23

0

22 dxxdxxdxx

Perhatikan integral tentu Fungsi f(x) fungsi dapat bernilai negatif ataupun tak kontinu, asalkan titik diskontinuitasnya berhingga.

Gambar 1: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kiri / Left Riemann Sum

Partisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:

p : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =

Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk persegi-panjang (pp) dengan

panjang f(xi−1) dan lebar h (lihat gambar 1). Luas

persegi panjang tersebut, ΔLi = hf(xi−1)

Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kiri (Left Riemann Sum).

Gambar 2: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kanan / Right Riemann Sum

Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kanan (Right Riemann Sum).

Galat Metode RRS : En = −(b−a)2 / 2n f(c), a ≤ c ≤ b

Gambar 3: Ilustrasi metode Persegi Panjang Tengah / Midpoint Riemann Sum

Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Tengah (Midpoint Riemann Sum)

Gambar 4: Ilustrasi metode Trapesium

Partisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:

P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =

Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk trapesium dengan sisi-sisi f(xi−1) dan f(xi) dan lebar h (lihat gambar 4).

Hampiran ini disebut metode Trapesium

Gambar 5: Ilustrasi metode Simpson/Parabol

Partisikan interval [a, b] atas n bagian (n genap):

P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =

Pada setiap dua subinterval [xi−1, xi] dan [xi, xi+1] dibentuk parabol (fungsi kuadrat) p2(x) yang melalui titik-titik (xi−1, f(xi−1)), (xi, f(xi)), dan(xi+1, f(xi+1)).

Selanjutnya:

Perhatikan keping yang dibatasi oleh fungsi positif f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu-x. Akan dihitung luas keping tersebut memakai konsep integral.

Metode kulit tabung lebih mudah digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin.

Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sepusat.

Jika jari-jari dalam adalah r1 dan jari-jari luar adalah r2 dan tinggi tabung adalah h, maka volumenya diberikan oleh:

Persamaan , yang akan kita tandai dengan r, adalah rata-rata dari . Jadi

CONTOH SOAL: Daerah yang dibatasi oleh kurva ,

sumbu x , x = 1, dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu y. tentukan volume benda yang terbantuk.

PENYELESAIAN: Kita dapat melihat bahwa volume kulit

tabung diperoleh dari irisan.

Di mana, untuk menjadi

Volume benda putar itu dicari lewat integrasi.

Diferensial Panjang BusurAndaikan f fungsi yang terdiferensasi secara kontinu pada [a, b]. Untuk masing-masing x dalam (a, b), definisikanlah s (x) dengan

Maka s (x) memberikan panjang busur kurva y = f (u) dari titik (a, f(a)) ke (x, f(x)). Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama, maka:

dudufxsx

a∫ += 2)]('[1)(

22 1)]('[1)('

+=+==dx

dyxf

dx

dsxs

Jadi, ds, diferensial panjang busur dapat dituliskan sebagai

dxdx

dyds

2

1

+=

Kenyataannya, bergantung pada bagaimana cara grafik tersebut diparameterkan, kita dituntun ke tiga

rumus untuk ds, yakni

dtdt

dy

dt

dxdy

dx

dydx

dx

dyds

2222

11

+

=

+=

+=

Beberapa orang lebih senang menghafal rumus-rumus ini ketimbang menuliskan

222 )()()( dydxds +=

Ketiga bentuk rumus di atas timbul dari pembagian dan kemudian perkalian ruas kanan

masing-masing dengan

.

2)(dx 2)(dy 2)(dt

)(dx

)(dy)(ds

Jika sebuah kurva bidang mulus diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidangnya, maka kurva membentuk suatu permukaan benda putar.

Untuk memulai, kita perkenalkan rumus untuk luas permukaan kerucut terpacung. Sebuah kerucut terpacung adalah bagian permukaan kerucut yang terletak antara dua bidang yang tegak lurus pada sumbu kerucut. Jika kerucut terpancung mempunyai jari-jari alas dan sedangkan tinggi miring , maka luas A diberikan oleh:

+

=2

2 21 rrA π π2= (rata-rata jari-jari) . (tinggi miring)

Dalam fisika, suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dikenai gaya konstan F yang searah dengan arah benda tersebut, maka

Kerja = (Gaya) . (Jarak) Atau W = F . d

Di dalam banyak situasi praktis, gaya itu konstan tapi tidak bervariasi seraya benda itu bergerak sepanjang garis. Pada kenyataannya, andaikan bahwa benda sedang bergerak sepanjang sumbu x dari a ke b terhadap gaya peubah sebesar F(x) di titik x, dengan F suatu fungsi kontinu. Berapa besar kerja yang dilakukan? Sekali lagi, kata-kata iris, hampiri, integrasikan, mengatar kita ke suatu jawaban.

Dalam hal ini, iris berarti mempartisikan selang [a,b] menjadi potongan-potongan kecil; hampiri bermakna mengandaikan bahwa potongan khas dari ke , gaya adalah konstan dengan nilai F(x), jika gayanya konstan (dengan nilai F ) sepanjang selang [ , ], maka kerja yang diperlukan untuk memindahkan benda dari ke adalah F( ) ( - ). Integrasikan berarti jumlahkan semua keping kerja yang berpadanan terhadap potongan dan kemudian ambil limit seraya panjang potongan mendekati nol. Jadi, kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari a ke b diberikan oleh

∑ ∫=→∆

=∆=n

i

b

a

ix

dxxFxxFW10

)()(lim

∫=

∆≈∆b

a

dxxFW

xxFW

)(

)(

Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10 kaki dan jari-jari lingkaran atas 4 kaki. Tentukan lah kerja yang diperlukan untuk memompa air melewati tepi atas tangki dan mencapai 10 kaki di atas puncak tangki.