r5 h kel 5 geotrans1
TRANSCRIPT
KELOMPOK 5GEOMETRI TRANSFORMASI
WORKSHOP
Tinjauan ulang jenis-jenis transformasi
Matriks yang bersesuaian dengan
transformasi
Menentukan bayangan suatu kurva oleh
suatu transformasi
1
2
3
JENIS-JENIS TRANSFORMASI
Translasi ( pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepajang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika translasi memetakan titik P (x,y) ke titik P’ (x’,y’), maka x’=x+a dan y’=y+d atau p’(x+a,y+b)
dapat dituliskan dalam bentuk:
PERGESERAN ATAU TRANSLASI
b
a
0
Y
X
Contoh soal:
1. Tentukan bayangan dari titik-titik A(3,4) dan B(1,-5) oleh translasi Jawab:Untuk titik A(3,4)
: A(3,4) A’(3+5,4+6) = A’(8’10)Untuk titik B(1,-5)
: B(1,5)B’(1+5,-5+6)= B’(6,1)Jadi, bayangan titik-titik A(3,4) dan B(1,-5) oleh translasi berturut-turut adalah A’(8,10) dan B’(6,1).
Lanjutan
2. Tentukan bayangan dari bangun jajargenjang ABCD yang melalui titik A(-2,6), B(-3,3), C(3,-4),dan D(4,-1) yang ditranslasikan terhadap Jawab:untuk titik A(-2,6)→A’(-2+4,6+1)=A’(2,7)titik B(-3,3)→B’(-3+4,3+1)=B’(1,4) titik C(3,-4)→C’(3+4,-4+1)=C’(7,-3)titik D(4,-1)→D’(4+4,-1+1)=D’(8,0)Jadi bayangan dari bangun jajargenjang ABCD itu adalah jajargenjang A’B’C’D’ dengan titik A’(2,7),B’(1,4), C’(7,-3),dan D’(8,0).
0-1-2-3-4-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-2-3-4-5
-6
1
23
45
6A(-2,6)
B (-3,3)
D(4,-1)
C(3,-4)
7 A’(2,7)
B’(1.4)
●
C’(7, -3)
D’(8
,0)
Y
X
Back
PENCERMINAN ATAU REFLEKSI
suatu transformasi yang memindahkan setiap titikpada bidang dengan menggunakan sifat bayangancermin dari titik-titik yang hendak di dipindahkan itu.Pada suatu refleksi,segmen garis yang menghubungkan setiap titik dengan hasil refleksiakan dibagi dua dan tegak lurus pada sumburefleksinya.a.Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y,
Garis y = x, dan Garis y = -x.b. Refleksi Titik terhadap Garis x = a dan y = b
a.Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y, Garis y = x, dan Garis y = -x. perhatikan gambar6.2
• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangannya adalah titik p (x, -y).
• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y, bayangannya adalah p (-x,y).
• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y = x, bayangannya adalah p (y,x).
• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y = -x, bayangannya adalah p (-y, x).
Y
X0
P3(Y,X)
P(X,Y)
P1(X,-Y)
P2 (-X,Y)
P4 (-Y,-X)
Y=X
Y=-X
Gambar 6.2
Back
b.Refleksi Titik terhadap Garis x = a dany = b
• perhatikan gambar 6.3:• Titik P(x,y) dicerminkan terhadap
sumbu x = a, bayangannya adalah titikP’(2a – x,y).
• Titik P(x,y) dicerminkan terhadapsumbu y= b, bayangannya adalah titikP’’(x, 2b – y).
Y x=a
X
Y=b
P(x,y)
P’’(x, 2b-y)
P;(2a-x,y)
Gambar 6.3
Jawab:• Bayangan titik-titik P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5) jika
dicerminkan terhadap sumbu X adalah P’(2,-1), Q’(5,-3), dan R’(4,-5).
• Bayangan titik-titik P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5) jika dicerminkan terhadap sumbu Y adalah P’’(-2,1), Q’’(-5,3), dan R’’(-4,5).
Contoh soal 1.Diketahui segitiga PQR, dengan P(2,1), Q(5,3), dan R(4,5).
Gambarkan bayangan segitiga PQR dalam sebuah koordinat cartesius,
jika masing-masing dicerminkan terhadap sumbu X
dan sumbu Y.
0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1-2
1
2
34
5
-3-4
-5
P(2,1)
Q(5,3)
R(4,5)
P’ (2,-1)
Q’(5,-
3)
R’ (4,-5)
P’’ (-2,1)
Q’’ (-5,3)
R’’ (-4,5)Y
X
Back
PERPUTARAN ATAU ROTASI
Rotasi(perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.
• Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)• Rotasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)
Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)
jika titik P(x,y) diputar sebesar αradian berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka :
x’= x cos α – y sin αy’= x sin α + y cos α
b. Rotasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)
Jika titik P(x,y) diputar sebesar αradian berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat A(a,b) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka:
x’-a = (x-a) cos α – (y-b) sin αy’-b = (x-a) sin α + (y-b) cos α
Segitiga ABC, dengan A(8,0), B(0,-4),
dan C(-2,6) diputar sejauh 900 searah
dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan
hasil transformasi berikut.
CONTOH
SOAL
Untuk titik A(8,0)A(8,0) → A’(x’,y’), dengan
x’= 8 cos (-900) – 0 sin (-900) = 0y’= 8 sin (-900) + 0 cos (-900) = -8
untuk titik B(0,-5)B(0,-4) → B’(x’,y’), dengan
x’= 0 cos (-900) – (-4) sin (-900) = -5y’= 0 sin (-900) + (-4) cos (-900) = 0
Untuk titik C(-3,6)C(-2,6) → C’(x’,y’), dengan
x’= (-2) cos (-900) – 6 sin (-900) = 6y’= (-2) sin (-900) + 6 cos (-900) = 3
Jadi, hasil transformasi tersebut adalah A’(0,-8), B’(-5,0), dan C’(6,3)
0-1-2-3-4-5-6-7-8
1234
5
67
8
-1-2-3-4
-5
-6
-7-8
1 2 3 4 5 6 7 8●
●
A(8,0)
A’(0,-8)
●
●
B(0,-5)
B’(-5,0)
C(-3,6)
C’(6,3)
Y
X
back
PERKALIAN ATAU DILATASI
• Dilatasi (perbesaran atau perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi. Dilatasi yang berpusat dititik asal 0 dan dititik sembarang P(x,y) dengan masing-masing faktor skala k dilambangkan berturut-turut dengan [O,k] dan [P,k].
lanjutan
a. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala k didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:
x’= kxy’= ky
b. Dilatasi Terhadap Titik Pusat A(a,b)Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka:
x’= a+k(x-a)y’= b+k(y-b)
Contoh soal
1. Tentukan bayangan titik P(12,-5) oleh dilatasi:a. [0,3]b. c. [0,-3]
Jawaban: x’= kxy’=ky
a. P(12,-5) P’(36,-15)
b,. P(12,-5) P’
c. P(12,-5) P’(-36,15)
2. Sebuah segitiga DEF dengan D(x,y), E(1,4),dan F(2,6) dilatasi terhadap [p,-2] dimana P(1,2) meghailkan segitiga D’E’F’, dengan D’(-7,-2), maka tentukanlah titik D,E’,dan F’ serta gambarlah bayangan segitiga DEF.Jawab :
• D(x,y) [p,-2] D’(1-2(x-1),2-2(y-2))=d’(-7,-2) sehingga diperoleh persamaan:1-2(x-1) =-7, maka x=-72-2(x-2) =-2, maka x=4
• Koordinat titik D(5,4) dan D’(-7,-2)E(1,4) E’(1-2(1-10,2-2(4-2))=E’(1,-2)F(2,6) F’(1-2(2-1),2-2(6-2)=F’(-1,-6)
0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7
1
23
45
6
-1-2
-3
-4
-5-6
y
X
D(5,4)E(1,4)
F(2,6)
E’(1,-2)
F’(-1,-6)
D‘(-7,-2)
MATRIKS YANG BERSESUAIAN DENGAN TRANSFORMASI
Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi
Transformasi gusuran dan regangan serta matriks transformasinya
Persamaan transformasi dilatasi terhadappusat O dengan faktor skala k, ditulis [0,k].
Untuk pemetaan dari (x,y) ke(x’,y’) dapat dinyatakan sebagai berikut.
MATRIKS YANG BERSESUAIAN DENGAN dilatasi
Contoh soal
Carilah bayangan daripersegipanjang OABC
dengan A(6,0), B(6,6), danC(0,6) oleh dilatasi [0,3].
• Jawaban:Matriks yang bersesuain dengandilatasi [0,k] adalah . Bayangan titik O(0,0), A(6,0), B(6,6), dan C(0,6) ditentukan sebagai berikut.
Jadi, bayangan titik O, A, B, dan C berturut-turut adalah O’(0,0), A’(18,0), B’(18,18), dan C’(0,18).
Back
Persamaan transformasi dengan pusat O (0,0)dan sudut rotasi berlawanan arah jarum jam,ditulis R[O, θ], untuk pemetaan (x,y) ke (x’,y’)dapat dinyatakan sebagai berikut.
Matriks yang bersesuaian dengan Rotasi
Tentukan matriksyang bersesuaindengan rotasi
sebesar radsearah jarum jam
terhadap O.
soal
Jawaban:Rotasi sebesar searah jarumjam, artinya Dengandemikian, matriks transformasinyaadalah
Back
TRANSFORMASI GUSURAN
• Transformasi gusuran adalah suatutransformasi yang menggeser suatutitik menurut arah sumbu X atausumbu Y.
• Ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:a. Transformasi gusuran arah sumbu Xb. Transformasi gusuran dengan arahsumbuY
A. Transformasi gusuran arah sumbuX• Matriks transformasi yang
bersesuaian adalah denganfaktor skala.
• Titik A ( x, y ) ditransformasikanmenjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = x + qyy' = y
B. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y
• Matriks transformasi yang bersesuaian adalah denganfaktor skala.
• Titik A ( x, y ) ditransformasikanmenjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = x y' = y + p
Contoh Soal1. Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu
oleha. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala -3 b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4
Jawab:a.
b.
TRANSFORMASI REGANGAN
Suatu transformasi yang memetakanhimpunan titik pada bidang ke himpunan titiklainnya dengan caramemperbesar/memperkecil jarak titik-titik ituke garis tertentu (invariant) . Perbandinganantara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut faktor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebutarah regangan.
A. Regangan searah sumbu X• Garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan faktor
regangan k • Matriks transformasi yang bersesuaian• Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = kxy' = y
B. Regangan searah sumbu Y • garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan faktor regangan
k • Matriks transformasi yang bersesuaian• Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = x y' = k y
CONTOH SOAL
• Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan
jawab:
Maka sehingga diperoleh
Jadi bayangan dari 3x’ + y’=3x – 2y = -18
MENENTUKAN BAYANGAN SUATU KURVAOLEH SUATU TRANSFORMASI
Pengertian transformasi invers
Menentukan bayangan suatu kurva oleh
suatu transformasi
Pengertian transformasi invers
Jika diberikan matriks transformasi M dapat diperolehkoordinat bayangan (a’,b’) dari koordinat benda (a,b) melaluipersamaan matriks;
Proses kebalikannya (atau invers) adalah dapat memperolehkoordinat benda (a,b) jika koordinat bayangan (a’,b’) diberikan,yaitu melalui invers dari matriks transformasi.
dengan demikian,
Dalam hal ini , adalah invers dari matriks transformasiM.
Contoh soal
Persamaan garis 3x + y – 2 = 0dicerminkan terhadap garis y = -x. Tentukan persamaan bayangannya.
Jawaban:
Jadi, kurva bayangannyaadalah
Back
MENENTUKAN BAYANGAN SUATU KURVA OLEH SUATU TRANSFORMASI
Langkah-langkah menentukan persamaan bayangankurva hasil transformasi dengan menggunakan matrikstransformasi.
• Langkah 1:Tentukan matriks transformasi M dan inversnya.
• Langkah 2:Misalkan, titik (a,b) terletak pada kurva y=f(x)yang diberikan, maka (a,b) dinyatakan dalam a’ dan b’ dapat diperoleh dari persamaan
LANJUTANDari uraian tersebut, diperoleh hubungan
a=f(a’,b’) ..... (1)b=f(a’,b’) .....(2)
• Langkah 3:Titik (a,b) terletak pada kurva y=f(x) sehingga memenuhipersamaan y=f(x) dengan mensubstitusi dan . Dari langkah tersebut, diperoleh
b=f(a) .... (3)Selanjutnya, substitusikan a=f(a’,b’) dari persamaan (1) dan b=f(a’,b’) dari (2) untuk memperoleh persamaankurva bayangan, yang dinyatakan dalam a’ dan b’.
lanjutan
• Langkah 4:
(a’,b’) adalah koordinat bayangan sehinggapersamaan bayangan kurva diperoleh denganmensubstitusikan a’=x dan b’=y ke dalampersamaan kurva bayangan dalam a’,b’ yang telah diperoleh dari langkah 3.
Tentukan persamaanbayangan dari lingkaranx2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 , oleh transformasi yang
bersesuaian denganmatriks
soal
Jawab:• Langkah 1
Menentukan matriks transformasiM dan inversnya M-1. Oleh karena
telah diberikan makatentukanlah M-1.
lanjutan•Langkah 2:Misalkan, titik (a,b) terletak pada kurvalingkaran maka (a,b) dapat dinyatakan dalama’ dan b’ dengan (a’,b’) adalah koordinatbayangan, dengan persamaan matriks.
• Langkah 3:Titik (a,b) terletak pada lingkaran x2+y2+4x-6y=0 sehingga dipenuhi a2+b2+4a-6b-3=0 Selanjutnya, substitusikan a=-b’ daripersamaan (1) dan b=a’ dari persamaan (2)Dalam persamaan (3) tersebut untukmemperoleh persamaan kurva bayangandalam a’ dan b’. a2+b2+4a-6b-3=0(-b’)2+(a’)2+4(-b’)-6(a’)-3=0(b’)2+(a’)2-4b’-6a’-3=0 ..... (4)
lanjutan
lanjutan• Langkah 4:
(a’,b’) adalah koordinat bayangan sehinggapersamaan bayangan kurva dapat diperolehdengan mensubstitusikan a’=x dan b’=y kedalam persamaan (4).
(b’)2+(a’)2-4b’-6a’-3=0y2+x2-4y-6x-3=0
Ataux2+y2-6x-4y-3=0
TERIMA KASIH
SEMOGA BERMANFAAT