HIMPUNAN

Pengertian

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang diterangkan dengan jelas.

Notasi : Penulisan himpunan diawali dengan huruf capital.

Elemen atauanggota suatu himpunan dituluis dalamtanda kurung kurawal

{ }.

Contoh :

1.Himpunana bilangan bulat yang lebih besar dari-3 dan lebih kecil dari

3.Jikanama himpunannya dinptasikan dengan himpunan A,berarti himpunan

tersebut dapat dituliskan : A={-2,-1,0,1,2}

2,Himpunan B menyatakan seluruh nama siswa laki-laki di kelas VIII,maka

himpunan B dapat dituliskan :B {nama-nama seluruh siswa di kelas VIII}

3.Himpunan C menyatakan bilangan cacah yang lebih besar dari

0,maka himpunan C dapat dituliskan : C={1,2,3,…}

Keanggotaan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan notasi

€.sedangkan untuk menyatakan bukan anggota digunakan notasi

Contoh : Himpunan A={ nama-nama bulan dalam tahun

masehi}maka jelas bahwa n(A)=12.

Himpunan Bilangan Tertentu

1.Jika G adalah himpunan bilangan genap → G= {2,4,6,…}

2.Jika L adalah himpunan bilangan asli → L= {1,3,5,7..}

3.Jika A adalah himpunan bilangan asli → A= {1,2,3,..}

4.Jika P adalah himpunan bilangan prima → P={2,3,5,7,..}

5.Jika C adalah himpunan bilangan cacah → C= {0,1,2,3,..}

Menyatakan Suatu Himpunan

a.Cara Deskripsi

Dengan penjelasan sifat-sifatnya atau dengan notasi pembentukhimpunan

b.Cara Tabulasi (roster)

Dengan mendaftarkan anggota himpunan satu per satu

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki

anggota.Himpunan kosong dinotasikan dengan ǿ atau A={ }

Contoh :X={bilangan ganjil yang habis dibagi 2},artinya X= ǿ atau

X={ }

Himpunan Semesta adalah suatu himpunan yang memuat semua

anggota dalam pembicaraan

Contoh: Jika A={a,b,c,d,e} dan X={f,g,h,i}maka himpunan semesta

dapat beruopa S={a,b,c,d,e,f,g,h,iu} atau S={a,b,c,d,e,f,g,h,i}

Himpunan Bagian

Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggotadari himpunan B maka A adalah himpunan bagian atau subsetdari B

Contoh : Jika A ={bilangan asli}, Z={Bilangan Bulat} danN={bilangan prima}

Maka hubungan yang dapat dilihat dari ketiga himpunan tersebutadalah: A c Z dan N c Z

Sifat: Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiaphimpunan dan setiap himpunan adalah himpunan bagian darihimpunan itu sendiri,yaitu untuk suatu himpunan A maka berlakuǿ c A dan A c A

HIMPUNAN BAGIAN

1. Himpunan Bilangan Asli (A)

secara tabulasi, himpunan ini ditulis : A={1,2,3,….} dengan

A adalah simbol himpunan bilangan asli.

2. Himpunan Bilangan Cacah (C)

secara tabulasi, dapat ditulis : C={0,1,2,3,….} dengan C

simbol bilangan cacah.

3. Himpunan Bilangan Prima (P)

bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat 2

faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. P={2,3,4,5,7,….} dengan P

simbol bilangan prima.

4. Himpunan Bilangan Bulat (B)

Himpunanbilangan bulat

berangotakan: bilangan bulat positif, nol,

dan bulat negatif.

B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} dengan B simbol

bilangan bulat

HIMPUNAN BAGIAN

HIMPUNAN KUASA

DIAGRAM VENN

Diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris pada tahun 1834-1923

bernama John Venn. Dalam membuat diagram Venn yang perlu

diperhatikan, yaitu:

a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang huruf S

diletakan di sudut kiri atas persegi panjang.

b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan

kosong)ditunjukkan oleh kurva tertutup.

c. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik).

d. Bila anggota suaatu himpunan banyak sekali, maka anggota-

anggotanya tidak perlu dituliskan.

CONTOH DIAGRAM VENN

GABUNGAN [ᴜ]

Pengertian :

Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu

himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua

himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan

disimbolkan dengan “ ᴜ“.

Misalkan, P={2,3,4,5} dan Q={1,2,4,7}, maka PᴜQ= {1,2,3,4,5,7}.

Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya

terdapat pada P dan Q, ditulis dengan notasi pembentuk

himpunan:

PᴜQ= {xIx ε P atau x ε Q}.

CONTOH GABUNGAN

IRISAN

B

•D

•f

.. h.a .c .e

.g

Perhatikan dua himpunan dibawah ini .

P = {a, b, c, d, e, f, g }, Q = {a, c, g, h, }

Terlihat bahwa anggotapersekutuan P dan Q

adalah a, c, e, dan g,. Hal ini berarti P dan Q

beririsan ditulis P ∩ Q ={a, c, e,g }.

• Irisan P dan Q ditunjukkkan oleh daerah yang

• pada gambar dibawah ini...

Contoh soal

1).Diberikan: A = {bilangan asli yang kurang dari 6}

B = {2, 4, 6 }

a) Tentukan A ∩ B!

b) Tuliskan diagram Venn A ∩ B!

Jawab :

a). {1,2,3,4,5} B = {2,4,6} maka A ∩ B = {2, 4}

b). Dagram venn A∩ B terlihat pada gambar disamping.

. 2 . 41. 3. 5.

.6

Selisih

Penulisan komplemen A terehadap B sebagai B-A

dan dibaca “ada di B tetapi tidak ada di A ̋ . Sedangkan

komplemen B terhadap A di tulis A-B, dibaca “ada

di A tetapi tidak ada di B”. Jadi, contoh di atas bila

di dalam dalam notasi B-A dan A-B adalah:

(i). B – A {7}

(ii). A –B = {2, 3, 4,}

Contoh soal:

1). P =Himpunan huruf berbentuk kata “SANTO”dan

Q= Himpunan huruf berbentuk kata”SANTOSA”

P={ s,a,n,t,o) dan Q={s,a,n,t,o} berarti P= Q, maka

P-Q =Ǿ = {}

• Jawab: - P-Q= {x I x € P dan x Є Q)

• - n (P-Q )= n (P) –n ( P∩Q)

• - P’ =S-P

• - n (S – P) = n(P’) = n(S) –n(S∩P

komplemen Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan dari elemen-

elemen yang tidak termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat

= { x | x ,x }

= { x | x }

Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.

Pernyataan:

Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu

A U A’ =U

.3

.7 .10 .

15

•4

•12

•28

Contoh soal

1). Di berikan himpunan semesta S dan himpunan D sebagai berikut.

S= { 3, 4, 7, 10, 15, 28}.

D= {x x habis dibagi 4, x Є S}

a. Tuliskan semua anggota adari D !

b. Tunjukan himpunan S pada diaram venn

Jawab:

S = {3, 4, 7, 10, 12, 15, 28, }

D = {4,12, 10, 15 }

D’ =. {3, 7, 10, 15)

TEORIMA DALAM OPERASI HIMPUNAN

Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemenmempunyai sifat-sifat yang sederhana apabila himpunan-himpunan yangditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-teorema berikut dapatdibuktikan :

TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan Badalah A, jadi,bila maka

TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan Badalah B, jadi,bila maka

TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka adalahsubhimpunan , yaitu jika maka .

TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduanA dan (BA) adalah B, yaitu, bila maka AU(B-A)=B

Contoh Soal,

Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan

C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) AUB , ( b ) AUC , (C) BUC

Jawab :

a)A={1, 2, 3, 4)

B={2, 4, 6, 8}

AUB = {1,2 ,3, 4, 6, 8)

b) AUC

A ={1, 2, 3, 4}

C ={3, 4, 5, 6,}

AUC ={1, 2, 3, 4, 5, 6, }

c) BUC

B = {2. 4. 6, 8}

C = {3, 4,5, 6 }

BUC ={2, 3, 4, 5, 6, 8 }

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan

secara jelas. Objek tersebut disebut elemen/anggota

himpunan,biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya

:a,b,p,q dll.sedangkan himpunan,biasanya dinyatakan dengan

huruf besar,misal:A,B,P,Q dll.

Jika a merupakan elemen dari himp A,sedangkan b bukan elemen

dari himp A,maka dapat ditulis sebagai a E A,

Ada 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan,yaituL:

Bentuk pendaftaran (tabular-form),yaitu dengan menuliskansemua elemen himpunan tersebut dalam kurung kurawal {} .

contoh 1:

A={jakarta,bandung,surabaya}

B={…,-2,-1,0,1,2}

C={1,2,3,…}

Bentuk pencirian (set builder-form), yaitu dengan menuliskansifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.

contoh 2 :

Q= {x | x adalah bilangan rasional}

R = {y | y adalah mahasiswa jurusan informatika}

MACAM MACAM HIMPUNAN

a. Himpunan kosong

Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan ini

menggunakan notasi { }. Contoh :

D = {orang indonesia yang tinggiaya 5 m}

E = {mahasiswa unindra umurnya > 100 tahun}

b. Himpunan semesta

Adalah suatu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang

dibicarakan. Sering disebut semesta pembicaraan atau set universum

dilambangkan dengan “S” atau “U”.

c. Himpunan hingga dan tak hingga

*Himpunan hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhinggaatau terbatas atau banyak anggotanya suatu bilangan tertentu ataupembilangan anggotanya merupakan suatu proses yang dapat berhenti.

Contoh himpunan hingga :

D = {0,1,2,3….99}→banyak anggota himpunan D adalah 100 ataubilangan kardinal D atau n(D) =100

*Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidakterbatas atau tidak terhingga.

Contoh Himpunan tak hingga :

E = {1,2,3….}→ banyak anggota himpunan E tak terbatas dan bilangankardinalnya atau n(E) =( tak hingga) karena anggota-anggotanya semuabilangan bulat positif atau bilangan asli sehingga tidak mungkin untukmenuliskannya.

d. Himpunan terbilang dan tak terbilang

Terbilangi adalah sesuatu yang dapat ditunjukan satu persatu,sedangkantak terbilang adalah sesuatu yang tidak dapat ditunjukan satu persatu.

Contoh :

a. A = {x,y,z}

himpunan A ini merupakan contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3

Dan termasuk himpunan terbilang karena anggotanya dapat ditunjukansatu persatu yaitu x,y,z.

b. B = {1,3,5,7,…}

Himpunan B termasuk termasuk himpunan terbilang karena anggotanyadapat ditunjukan satu persatu yaitu 1,3,5,7 dst tapi termasuk himpunantak terhingga karena anggotanya tidak mungkin semuanya dituliskansatu-satu.

e. Himpunan terbatas dan tak terbatas

Ruang lingkup pembicaraan himpunan terbatas dan himpunan takterbatas biasanya beranggotakan bilangan.

Himpunan yang memiliki batas bawah dan batas atas disebuthimpunan terbatas.Himpunan yang hanya memiliki batas bawah/kiri saja disebut himpunan terbatas kiri .

Begitu sebaliknya yang hanya memiliki batas atas,kanan sajadisebut himpunan terbatas kanan. Himpunan yang tidakmemilikibatas kiri dan batas kanan adalah himpunan tak terbatas.

Contoh :

P = {3,4,5,7}

Himpunan p adalah termasuk himpunan terbatas. Karena memilikibatas kiri 3

PASANGAN TERURUT DAN PRODUKSI CARTESIUS

a. Dengan diagram cartesius

Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram

cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar

dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak.setiap pasangan

anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B

dinyatakan dengan titik atau noktah.

Diagram Cartesius

B. Inggris

IPA

Matematika

Olahraga

Kterampilan

Kesenian

IPS

Pu

tri

Vita

Don

i

Bu

yu

ng

b. Dengan himpunan pasangan berurut

Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel sebagai berikut.

{(buyung, IPS), (buyung, kesenian), (doni, ketrampilan),

(doni, R), (vita, IPA), (putri, matematika), (putri, bahasa

inggris)}.

Contoh :

Diketahui A ={1,2,3,3,5,6} ; B = {1,2,3,…,12} dan relasi dari A ke B

adalah relasi” setengah dari “. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk

a.diagram panah

b.diagram cartesius

c.himpunan pasangan berurutan

DENGAN DIAGRAM PANAH

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

DENGAN DIAGRAM CARTESIUS

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8

A

Buyung

Doni

Vita

Putri

IPS

Kesenian

Keterampilan

Olahraga

Matematika

IPA

B. inggris

2. Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika

dan hanya jika u

ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a

dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu

kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam

domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak

terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

PENGERTIAN FUNGSI

Pandangan suatu relasi dengan setiap anggota himpunan A dikaitkandengan satu dan hanya satu anggota himpunan B. Relasi tersebutdisebut suatu fungsi dari A ke dalam B. Himpunan A disebut domaindan himpunan B disebut kodomain dari fungsi,yang biasa ditulis f:A →B.

Jika a € A,maka anggota himpunan B yang merupakan kaitan dari adapat ditulis sebagai f(a). Elemen f(a) tersebut dinamakan nilai fungsidari a. himpunan semua fungsi disebut daerah nilai(range) dari fungsi f. Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari kodomain.

Istilah fungsi disebut juga pemetaan (mapping) atau transformasi.

Contoh 1 :

A= {1,2,3,4}

B= {a,b,c,d}

F= {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d)} merupakan fungsi dari

A ke B

G= {(1,a), (1,b), (2,a), (3,d), (4,a)} bukan

fungsi,karena elemen 1 E A dipetakan ke a dan ke

B

B. Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi

injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2

dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak

sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka

f(a1) sama dengan f(a2).

2. Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan

hanya jika u

ntuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam

domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain

fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam

domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak

terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fun

Fungsi Satu-Satu :

Suatu fungsi f: A→B disebut satu-satu bila setiap elemen yang berbeda

dari mempunyai peta yang berbeda pula di B.

Grafik Fungsi / Pemetaan

Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat

grafik pemetaannya. Grafik suatu ) adalah bentuk diagram cartesius

dari suatu pemetaan(fungsi).

Jenis – Jenis Fungsi :

1. Fungsi Konstan

Didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap unsur di domain

ke satu nilai yang sama (konstanta).

2. Fungsi Identitas

Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain kedirinya

sendiri

3. Fungsi Modulus / Fungsi Nilai Mutlak

Adalah fungsi yang memetakan setiap unsur didomain ke satu nilai

positif atau nol.

4. Fungsi Linear

Adalah fungsi yang memetakan setiap x € R ke suatu bentuk ax + b,

dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

5. Fungsi kuadrat

Rumus umumnya adalah f(x) = ax” + bx + c, dengan a ≠ 0 dan x € R.

Invers atau Fungsi

Jika fungsi f : A → yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = {( a,b) Ӏa ϵ A dan b ϵ B}, maka invers f adalah g: B → yang dinyatakan dengan g

= {(b,a) l b ϵ B dan a ϵA}

Syarat Agar Invers Suatu Fungsi Merupakan Fungsi Invers

Fungsi f mempunyai fungsi invers f -1 jika dan hanya jika f merupakan

fungsi (korespondensi satu – satu).

Menentukan langkah-langkah rumus fungsi invers

1. Mengubah persamaan y = f (x) dalam bentuk x

sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan f -1

(y).

3. Mengganti y pada f -1 (y) dengan x, sehingadiperoleh f -1 (x).

Contoh Soal :

1. Fungsi invers dari f (x) = adalah…

Penyelesaian :

Jika , maka

Untuk soal diatas f (x) = →

Pengertian Relasi Beberapa Himpunan

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan

B merupakan relasi khusus, yaitu relasi yang

memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu

anggota B.

Misalkan F adalah satu fungsi dari himpunan A ke

himpunan B, maka fungsi F di notasikan dengan:

f : A → B

Contoh Soa:

Relasi dari himpunan A {a, b, c} ke himpunan B = {p, q, r}

yang merupakan fungsi adalah…

(1) A B (2) A B

p

q

r

a

b

c

a

b

c

p

q

r

(3) A B (4) A B

Pembahasan:

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, relasi-relasi di atas yang merupakan fungsiadalah (1), (2), dan (3). Sedangkan (4) bukan fungsi, seebab adaanggota himpunan A yaitu a dan c tidak berpasangan dengananggota B. selain itu ada anggota himpunan A yaitu b berpasangan dengan semua anggota himpunan B. jadi pilihan (1), (2) dan (3) bernilai benar.

a

b

c

p

q

r

a

b

c

p

q

r

FUNGSI KOMPOSISI

Pengertian Fungsi Komposisi

Suatu fungsi dapat dikombinasikan atau

digabungkan dengan fungsi lain, dengan

syarat tertentu, sehingga menghasilkan

fungsi baru. Fungsi baru hasil kombinasi

fungsi-fungsi sebelumnya ini dinamakan

fungsi kombinasi.

Sifat-sifat komposisi fungsi

1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi umumn ya

tidak komutatif

(g o f) (x) ≠ (f o g) (x)

2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat

asosiatif

(f o (g o a)) (x) = {(f o g) o h} (x)

3. Terdapat fungsi identitas I (x) = x sedemikian

sehingga (f o i) (x) = (I o f) (x) = f (x)

• Contoh soal:

Diketahui fungsi f (x) = 6x – 3, g (x) = 5x + 4 dan (f o g) (a) = 81. nilai a = …

Pembahasan:

(f o g) (x) = f (g (x))

= f (5x + 4)

= 6 (5x + 4) – 3

= 30x + 24 – 3

= 30x + 21

(f o g) (a) = 30a + 21 = 81

30a = 81 – 21

a = 2

HUKUM-HUKUM HIMPUNAN

1. Hukum komutatif :

a. AUB = BUA

b. A∩B = B∩A

2. Hukum Asosiatif

a. (AUB)UC = AU(BUC)

b. (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

3. Hukum Distributif

a. AU(B∩C) = (AUB)∩ (AUC)

b. A∩(BUC) = (A∩B)U (A∩C)

4. Hukum Idempoten :

a. AUA = A

b. A∩A = A

5. Hukum Identitas :

a. AUØ = A

b. AUU= U

c. A∩Ø = Ø

d. A∩U = A

6. (AC)C=A

7. a. AUCC=U

b. A∩CC=Ø

8. a. Uc=Ø

b. Øc=U

9. Hukum De Morgan

a. (AUB)c = Ac ∩ Bc

b. (A∩B)c = Ac U Bc

10. Hukum absorbsi :

a. AU(A∩B)=A

b. A∩(AUB)=A

PRINSIP DUALITAS

Prinsip dualitas pada himpunan. Misalkan S adalah suatu

kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi

seperti komplemen,U,∩.Jika S* diperoleh dari S dengan

mengganti U→∩,∩→U,Ø→U,U→Ø maka kesamaan S* juga

benar dan disebut dual dari kesamaan S.

PrinsipDualitas merupakan prinsip yang penting dalam

Aljabar himpunan, karena kita dapat menggunakan prinsip ini untuk

menurunkan hukum yang lain atau membuktikan suatu kalimat

himpunan.

→Hukum identitas :AUØ=A

Dualnya :A∩U=A

→Hukum null :A∩Ø=Ø

Dualnya :AUU=U

→Hukum Komplemen :AUĀ=S

Dualnya :A∩Ā=Ø

HIMPUNAN INDEKS

Misalkan I adalah himpunan tidak kosong dan U

himpunan semesta. Untuk setiap i ϵ I . I disebut

himpunan indeks (atau himpunan dari indeks) dan setiap

i ϵ I disebut indeks.

ᴜ Ai = {x І x ϵ Ai untuk sekurang-kurangnya satu i ϵ I}

dan

∩ Ai = {x І x ϵ Ai untuk setiap i ϵ I}

Dapat ditulis menggunakan kuantor :

Jadi,

(i).

artinya jika dan hanya jika x Ai untuk

setiap indeks i ϵ I.

Artinya

jika dan hanyax ϵAi unuk sekurang-kurangnya satu indeks i ϵI.

OPERASI PADA HIMPUNAN

Apabila terdapat 2 himpunan sembarang S dan T dimana keduanya

adalah subset dari U. Union (gabungan) dari S dan T dilambangkan

dengan SUT, yang merupakan himpunan yang beranggotakan elemen

dari S atau dari T. Notasi matematikanya adalah:

S ᴜ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

Irisan (intersection) dari dua himpunan S dan T

dilambangkan dengan S ∩ T, dimana S ∩ T adalah

himpunan yang terbentuk dari elemen yang

terkandung pada S dan pada T. Atau notasi

matematikanya:

S ∩ T = { x : x ϵ S atau x ϵ T }

Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila

pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.

Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩

T = Ø

Sedangkan dua buah himpunan disebut tidak beririsan apabila

pada kedua himpunan tersebut tidak terdapat elemen yang sama.

Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila S ∩

T = Ø

S

Irisan dari himpunan bilangan positif dan himpunan

bilangan negative adalah himpunan kosong.

Apabila terdapat sembarang himpunan S dan T, komplemen

relative (relative complement) T terhadap S dilambangkan S \

T, adalah himpunan yang dibentuk dari seluruh elemen S

yang bukan dari elemen T. Berikut adalah notasi

matematikanya:

S \ T = { x : x ϵ S atau x T }

Asumsikan U adalah himpunan semesta. Bila terdapat sembarang

himpuanan S pada U, Komplement Absolut (absolute complement)

dari S, dinotasikan dengan Sc,adalah U \ S atau :

Sc = U \ S = { x ϵ S atau x S }

Beda Simetris (symmetric different) dari 2 himpuanan S dan T,

adalah himpunan S T yang didefinisikan dengan :

S T= { x : x ϵ ( S ᴜ T ) dan x }

= {( S ᴜ T ) \ ( S ∩ T) }

= ( S \ T ) ᴜ ( T \ S)

Jika terdapat dua himpunan S dan T dimana s ϵ S dan t ϵ T,

maka pasangan berurutan (ordered pair) (s , t) adalah hasil

kali (product, X) dari S dan T dimana :

S X T ={ (s,t) : s ϵ S dan t ϵ T}

Dua buah pasangan berurutan ( x , y) dan ( u , v ) adalah

sama apabila :

( x , y ) = ( u , v ) jika dan hanya jika x = u dan y = c.

KARDINALITAS (URUTAN)

Kesamaan dua himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dansebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

atau

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A danB adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudianbuktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknyaelemen yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan{apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} juga memiliki elemensejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, ataudikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

KONSEP KARDINALITAS

Konsep Kardinalitas

Bila A ekuivalen dengan B, yaitu A ~ B maka dikatakan bahwa A dan B

mempunyai bilangan kardinal yang sama atau kardinalitasnya sama.

Untuk menyatakan bilangan kardinal dari A ditulis #(A). Jadi #(A) =

#(B) bila dan hanya bila A ~ B. Bila A < B maka dikatakan A mempunyai

kardinalitas lebih kecil dari B atau kardinalitas B lebih besar dari A,

dengan kata lain :

#(A) < #(B) bila dan hanya bila A < B

#(A) > #(B) bila dan hanya bila A B

PENGERTIAN PROPOSISIProposisi adalah pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyainilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya.

Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak bolehmengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.

Rumus ketentuannya :

Q + S + K + P

Keterangan:

Q : Pembilang/jumlah.

(contohnya: sebuah,sesuatu, beberapa,semua,bagian, salah satu, bilangan satu s.d takterhingga).

Q boleh tidak ditulis, jika S (subjek) merupakan nama dan subjek yang pembilangnya sudahjelas berapa jumlahnya.

S : Subjek adalah sebuah kata atau rangkaian beberapa kata untuk diterangkan atau kalimatyang dapat berdiri sendiri (tidak menggantung).

K : Kopula, ada 5 macam : Adalah, ialah, yaitu, itu, merupakan.

P : Kata benda (tidak boleh kata sifat, kata keterangan, kata kerja).

CONTOH SOAL

1) Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI”!

{(pvq) ⇒ r } ⇔ {(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)}

{p ⇒(q ∧ r)} ⇔ {(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)}

{(p ∧ q) ⇒ r } ⇔ {(p ∧ ∼ r) ⇒∼ q)}

{(p ∧ q) ⇒ r} ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r)}

(p ⇒ r) ⇒ {(p ∧ q) ⇒ r} ∧ {p ⇒ (q ∧ r)} ⇒ (p ⇒ q)

2) Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi berikut. Kemudiantentukan kebenarannya!

Jika x=5, Maka x^2=25

Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli

Jika ∆ABC sama kaki, maka <A=<C

PENYELESAIAN

1) Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r}⇔{(p⇒r)∧(q⇒r)}JAWAB:

p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }B B B B B B B B BB B S B S B S S SB S B B B B B B BB S S B S B S S BS B B B B B B B BS B S B S B B S SS S B S B B B B BS S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p⇒(q∧r)}⇔{(p⇒q)∧(p⇒r)}JAWAB:

p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }B B B B B B B B BB B S S S B B S SB S B S S B S S BB S S S S B S S SS B B B B B B B BS B S B S B B B BS S B B S B B B BS S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧∼r)⇒∼q)}JAWAB:

p q r ∼q ∼r { (p ∧ q ) ⇒ r } ⇔ { (p ∧ ∼r) ⇒∼q )}B B B S S B B B S BB B S S B B S B B SB S B B S S B B S BB S S B B S B B B BS B B S S S B B S BS B S S B S B B S BS S B B S S B B S BS S S B B S B B S B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r)v(q⇒r)}JAWAB:

p q r {(p ∧ q ) ⇒r } ⇔ {(p ⇒ r) v (q ⇒ r )}B B B B B B B B BB B S B S B S S SB S B S B B B B BB S S S B B S B BS B B S B B B B BS B S S B B B B SS S B S B B B B BS S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r)}⇒(p⇒q)

JAWAB:p q r (p⇒r) ⇒ { (p∧q) ⇒ r } ∧ { p ⇒ (q∧r)} ⇒ (p ⇒ q)B B B B B B B B B B B BB B S S B B S B S S B BB S B B B S B B B S B SB S S S B S B B B S B SS B B B B S B B B B B BS B S B B S B B B S B BS S B B B S B B B S B BS S S B B S B B B S B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

2) Konvers, Invers, Kontraposisi dan TabelKebenaran

Jika x=5 , Maka x^2=25Jawab :

p : x =5q : x^2=25

konvers (q ⇒p)Jika x^2=25 , maka x=5

Invers (∼p⇒∼q)Jika x≠5 , maka x^2≠25

Kontraposisi (∼q⇒∼p)Jika x^2≠25 , maka x≠5

Negasi (p∧∼q)x=5 , akan tetapi x^2≠25

Tabel Kebenaranp q ∼p ∼q Implikasi( p⇒q) Konvers(q ⇒p) Invers(∼p⇒∼q) Kontraposisi(∼q⇒∼p) Negasi(p∧∼q)B B S S B B B B SB S S B S B B S BS B B S B S S B SS S B B B B B B s

Jika x^2 bilangan asli, maka x bilangan asli.

Jawab:

P: x^2 bilangan asli.

q: x bilangan asli.

Konvers (q ⇒p)

Jika x bilangan asli, maka x^2 bilangan asli

Invers (∼p⇒∼q)

Jika x^2 bukan bilangan asli, maka x bukan bilangan asli.

Kontraposisi (∼q⇒∼p)

Jika x bukan bilangan asli, maka x^2 bukan bilangan asli.

Negasi (p∧∼q)

x^2 bilangan asli akan tetapi bukan bilangan asli

Tabel kebenaran:

p q ∼p ∼q Implikasi,

( p ⇒q ) Konvers,

(q ⇒p) Invers,

(∼p⇒∼q) Kontraposisi,

(∼q⇒∼p) Negasi,

(p∧∼q)

B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B S

Jika ∆ ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠CJawab :

p : ∆ ABC sama kakiq : ∠A= ∠C

konvers (q ⇒p)Jika ∠A= ∠C, maka ∆ ABC sama kaki

Invers (∼p⇒∼q)Jika ∆ ABC bukan sama kaki , maka ∠A ≠∠C

Kontraposisi (∼q⇒∼p)Jika ∠A ≠∠C, maka ∆ ABC bukan sama kaki

Negasi (p∧∼q)∆ ABC sama kaki, akan tetapi ∠A ≠∠C

Tabel kebenaran:

p q ∼p ∼q Implikasi,

( p ⇒q ) Konvers,

(q ⇒p) Invers,

(∼p⇒∼q) Kontraposisi,

(∼q⇒∼p) Negasi,

(p∧∼q)

B B S S B B B B S

B S S B S B B S B

S B B S B S S B S

S S B B B B B B S

HIMPUNAN TERBILANG

Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunanA tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

Contoh :

A =

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebabdapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhinggasebab n(A) = 3.

B =

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapijuga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

CONTOH SOAL DAN JAWABAN

1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang?

Jawaban:

N: 1 2 3 4 5 6 …

| | | | | |

Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ...

Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.

2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang?

Jawaban:

N : 1 2 3 4 5 6 7 …

| | | | | | |

K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ...

Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang.

HIMPUNAN TIDAK TERBILANG

Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A

tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.

Contoh :

R =

Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang,

karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan

R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.

CONTOH SOAL DAN JAWABAN

1) Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan

tak terbilang, buktikanlah:

Jawaban:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal

tanpa akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti

oleh berhingga banyaknya digit nol.

Jadi 0,5 atau diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....

Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k1k2k3 … kn, a1a2a3 … an

…bagian bulat bagian desimal

Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi Rdapat dibariskan sebagai berikut:

r1 = B1, a11 a12 a13 a14 a15 …

r2 = B2, a21 a22 a23 a24 a25 …

r3 = B3, a31 a32 a33 a34 a35 …

r4 =B4, a41 a42 a13 a44 a45 …

r5 = B5, a51 a52 a53 0554 a55 …

Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks diatas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut.

r* = B*, b1 b2 b3 b4 b5 …

dengan bi = 1 jika aii ≠ 1

bi = 2 jika aii = 1

Ini berarti bahwa bi = ai; iN.

Juga r*≠ri iN.

2)Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka Iadalah himpunan tak terbilang, buktikanlah!

Jawaban:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Qhimpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semuabilangan rrasional, maka R = QI.

Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. MisalkanI himpunan terbilang.

Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi.Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

KOLEKSI HIMPUNAN TERBILANG

Anggota-anggota dari suatu himpunan dapat merupakan himpunan.

Misalnya, suatu gudang adalah himpunan dari beberapa peti rokok,

setiap peti terdiri dari beberapa bungkus rokok. Jadi jelas bahwa suatu

himpunan mungkin saja anggota-anggotanya merupakan himpunan

pula. Kondisi seperti ini disebut sebagai koleksi himpunan atau

himpunan dari himpunan.

Contoh:

a) A = {{a,b,c},{d},{e}}

b) B = {{1,2},{3},{2,3,4},{Ø}}

FUNGSI KARAKTERISTIK

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah

himpunan atau tidak.

Jika maka:

Terdapat korespondensi satu-satu antara

himpunan kuasa dengan himpunan dari

semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini

mengakibatkan kita dapat menuliskan

himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan

1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah

elemen dalam himpunan tersebut.

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

DI SUSUN OLEH:

Kelompok 3

Hana Putri Kriscita (201013500023)

Juni Triastuti (201013500007)

Jasni (201013500030)

Mursiti (201013500025)

Melysa Natalia (201013500106)

Muhammad Irwansyah Akbar (2010135000 )

Durahi (2010135 )