rasmus rasmussen - kursinfo.himolde.nokursinfo.himolde.no/bo-kurs/bØk711/dokumenter... · vi kan...

S P E S I E L L E E M N E R I

Bedriftsøkonomisk analyse

Rasmus Rasmussen

L I N E Æ R P R O G R A M M E R I N G O G K O S T N A D S F O R D E L I N G

1 - 1

Lineær Programmering

og kostnadsfordeling

Vansker med å bestemme relevante kostnader og inntekter når et problem skal løses ved hjelp av lineær programmering.

år et problem skal løses ved hjelp av lineær programmering må en være veldig bevisst hva som er relevante kostnader og inntekter. Vanligvis er vi interessert i å maksimere resultatet eller minimere kostnadene. For å oppnå målet må vi kunne variere verdien eller størrelsen på enkelte be-

slutningsvariabler, f. eks. å endre produktenes produksjonsmengder. Lineær pro-grammering finner så de optimale verdiene på beslutningsvariablene slik at vårt mål blir tilfredsstilt best mulig. Ofte er det restriksjoner på beslutningsvariablene, enten direkte som maksimalt salg, eller indirekte via forbruk av knappe ressurser som f. eks. bruk av begrenset produksjonskapasitet.

For å kunne løse et problem ved hjelp av lineær programmering må en ha en klar målsetting og kunnskap om hva problemet består i. Det kan ofte være uklart hva målsettingen egentlig er, og enda mer uklart hva problemet egentlig går ut på. Vi skal ikke her gjøre noe forsøk på å gi en generell beskrivelse av hvordan man kommer fram til et klart og entydig mål, og hvordan en uklar problemstilling skal struktureres til en LP -modell. Men å studere mange forskjellige problemtyper løst med LP gir nyttig veiledning. De eksemplene som blir presentert her i dette kapittelet er på ingen måte tilstrekkelig i så henseende. En må vokte seg vel for å “se alle problem som spiker hvis en er ekspert på bruk av hammer”. Det er f. eks. ikke sikkert at en stor udekket etterspørsel er et kapasitetsproblem som skal analyseres som et investerings-problem, det kan først og fremst være et prissettingsproblem.

Relevante kostnader og inntekter.

Men selv om en har lyktes i å komme fram til en tilsynelatende klar målsetting og en vel strukturert problemstilling, kan det likevel gjenstå en del uklare momenter. Om målet er størst mulig resultat må en være meget bevisst at det er kun endringer i

kostnader og inntekter ved endringer i beslutningsvariablene som er relevante å ta hensyn til i målfunksjonen. Det betyr f. eks. at de fleste produktkalkyler er irrelevante, ettersom de som regel er basert på selvkost. Faste kostnader som ikke blir påvirket av den aktuelle beslutning, dvs. av endringer i beslutningsvariablene, er derved heller ikke relevante i målfunksjonen. Selv om faste kostnader ofte er å betrakte som en kapasitetskostnad er de ikke relevante. Kostnaden ved bruk av knappe ressurser blir

Del

1

N

L I N E Æ R P R O -

G R A M - M E R I N G

Målfunksjon

Beslutningsvariabler

Restriksjoner

R E L E V A N T E

K O S T N A D E R /

I N N T E K T E R

Kun endringer i kostnader

og inntekter ved endringer

i beslutningsvariablene er

relevante å ta hensyn til i

målfunksjonen.


1 - 2

automatisk tatt hensyn til i LP, ved at knappe ressurser blir priset via skyggepri-

sene. Relevante kostnader er derfor kun direkte variable kostnader knyttet til beslut-ningsvariablene, og endringer i indirekte kostnader. Direkte kostnader ved å produ-sere et produkt er vanligvis lønn og materialforbruk. Men i enkelte situasjoner kan lønnen være en fast kostnad, hvis endringer i produksjonsvolumet ikke påvirker lønnsutbetalingene. Hvis antall ansatte er en beslutningsvariabel vil imidlertid lønnen utvilsomt være en variabel kostnad.

Men det kan også være mange relevante indirekte kostnader. F. eks. kan kostnadene i en produksjonsavdeling være relatert til antall produksjonstimer. Produktenes bruk av produksjonstimer må derfor også belastes med indirekte kostnader i produksjons-avdelingen. Slike indirekte kostnader kan være vanskelig å dokumentere via poste-ringer i regnskapet eller via registreringer i produksjonsavdelingen, selv med ABC regnskap. Imidlertid kan det hende at slike indirekte kostnader lar seg avdekke ved bruk av regresjonsanalyse.

Eksempel med faste og variable kostnader

En liten bedrift består av to avdelinger; A og B. Bedriften har tre ansatte, to arbeider i avdeling A og en i avdeling B. Hver arbeider jobber 40 timer pr. uke, og har en fast ukelønn på kr. 2.000,-. Bedriften har hittil produsert kun ett produkt. Salgsprisen er kr. 250,- pr. enhet, og råmate-rialer utgjør kr. 80,-. Produktet bearbeides i begge avdelingene, og føl-gende data gjelder :

Data pr. uke Avdeling A Avdeling B

Direkte lønn 4.000 2.000

Diverse variable kostnader 2.400 1.400

Diverse faste kostnader 3.000 2.000

Tidsforbruk pr. enhet 0,8 timer 0,4 timer

Kapasitet 80 timer 40 timer

TABELL 1-1. Kostnads og produksjonsdata pr. uke.

Etterspørselen har i den senere tid oversteget produksjonskapasiteten, og tabellen viser kostnadene ved full kapasitetsutnyttelse i begge avde-lingene. Bedriften har imidlertid betydelig overskudd av maskinkapasitet i avdeling B. Ved å ansette en mann til i denne avdelingen vil kapasiteten kunne dobles i avdelingen. Ved full kapasitetsutnyttelse vil da kostna-dene i avdelingen også dobles, unntatt de faste, som ikke endres. Bedriften overveier å starte produksjonen av et nytt produkt som vil kreve 0,2 timer i avdeling A og 0,6 timer i avdeling B. Kostnaden til råmaterialer for det nye produktet er kr. 70,- pr. enhet.

Bedriften ønsker å vite minimumsprisen for at det skal være lønnsomt å introdusere det nye produktet, og om det eventuelt er lønnsomt å an-sette en mann ekstra i avdeling B.

Vi skal her forsøke å løse problemet manuelt, for derved å skaffe oss innsikt i hva som er relevante kostnader og inntekter, og hvordan vi kan beregne og utnytte skyggepriser i vår analyse.

I N D I R E K T E

K O S T N A D E R

Kan f. eks. finnes ved re-

gresjonsanalyse


1 - 3

133

20

50

120

Qn

80

Qg

Avdeling A

1 mann

(innskrenking)

Avdeling A

2 mann

Avdeling B

2 mann

(utvidelse)

80 100

Minsteprisen på det nye produktet må være slik at vi ved optimal tilpassing med det nye produktet har like stort resultat som ved optimal tilpassing uten det nye produk-tet. Men for å bestemme optimal tilpassing må vi normalt kjenne prisen. Ved en kostnadsstruktur med faste kostnader og proporsjonale variable kostnader vil imid-lertid en kapasitetsøkning med påfølgende økning i faste og proporsjonale variable kostnader innebære at den optimale produksjonen vil opptre langs den økte kapasi-tetsgrensen (dvs. full kapasitetsutnyttelse), ellers vil ikke en økning i kapasiteten være lønnsom. Grunnen er enkel: hvis det er lønnsomt å øke produksjonen med en enhet, så er det dobbelt så lønnsomt å øke den med to enheter. Følgelig ønsker vi å øke produksjonen så mye som mulig, dvs. utnytte den nye kapasiteten maksimalt. Opti-mal løsning vil dessuten alltid være en hjørneløsning. Vi kan tegne opp mulighets-området i en graf :

Med dagens bemanning (2 mann i avdeling A og 1 mann i avdeling B), så er det kun mulig å produsere 100 stk. av det gamle produktet (Qg) pr. uke. Om vi ansetter en mann til i av-deling B, er alternative hjørne-løsninger :

Bare 100 Qg

80 Qg og 80 Qn

Bare 133,3 Qn

Hvis vi overflytter en mann fra avdeling A til B (1 mann i avde-ling A og 2 menn i avdeling B), får vi :

Bare 50 Qg

20 Qg og 120 Qn

Bare 133,3 Qn

FIGUR 1-1. Mulige produksjonsmengder.

Om vi antar at lønnen er uavhengig av produksjonsmengde, dvs. arbeiderne har fast lønn og ikke akkord, så kan lønnen betraktes som en sprangvis kostnad. Om vi også videre antar at de variable kostnadene i avdelingene varierer proporsjonalt med antall timer, så vil kostnaden pr. time i avdeling A være lik 2400/80 = kr. 30,- pr. time, mens tilsvarende tall for avdeling B er 1400/40 = kr. 35,- pr. time. Vi kan da beregne produktkalkyler for begge produktene.

Bidragskalkyle : Gammelt produkt Nytt produkt

Material 80,- 70,- Variable kostnader A 300,8 = 24,- 300,2 = 6,-

Variable kostnader B 350,4 = 14,- 350,6 = 21,-

Variable kostnader pr. enhet 118,- 97,- Salgspris 250,- Pn

Dekningsbidrag 132,- Pn 97,-

TABELL 1-2. Bidragskalkyle, lønn antatt fast kostnad.

O P T I M A L L Ø S -

N I N G

Alltid en hjørneløsning

V A R I A B L E A V -

D E L I N G S -

K O S T N A D E R

Antas proporsjonale med

antall timer


1 - 4

Med dagens produksjon på 100 enheter av det gamle produktet blir resultatet :

Resultat gammelt produkt Avdeling A Avdeling B Totalt

Lønnskostnader 4.000 2.000 6.000,- Faste kostnader 3.000 2.000 5.000,-

Totale faste kostnader 11.000,- Totalt dekningsbidrag 100 stk. á kr. 132,- pr. enhet 13.200,-

Resultat pr. uke : 2.200,- TABELL 1-3. Totalresultat ved gammel produksjonstilpassing.

Minimumsprisen på det nye produktet må altså være slik at ved optimal tilpassing med nytt produkt så blir totalresultatet like stort som før, dvs. lik kr. 2.200,-.

Om vi utvider kapasiteten i avdeling B vil de to ytterste kapasitetsrestriksjonene i FIGUR 1-1 være de eneste restriksjonene. Om vi da begynner å produsere det nye produktet, må produksjonstilpassingen foregå langs kapasitetsrestriksjonen for av-deling A (med 2 mann), inntil den krysser kapasitetsrestriksjonen for avdeling B (med 2 mann). I krysningspunktet er Qg = Qn = 80 stk. Resultatet ved denne produksjo-nen, som medfører økte faste lønnskostnader, må være minst like stort som det gamle resultatet for at introduksjonen av det nye produktet skal være lønnsomt.

80[132 + (Pn 97)] (11.000 + 2.000) 2.200 Pn 155,-

Om vi øker produksjonen av det nye produktet ytterligere, må tilpassingen skje langs kapasitetsgrensen til avdeling B (2 mann). Maksimal produksjon av det nye produktet er da 133 1/3 stk. Da er det ikke kapasitet til å produsere det gamle produktet. I så fall må prisen minst være :

(133 1/3)(Pn 97) (11.000 + 2.000) 2.200 Pn 211,-

Imidlertid ser vi av FIGUR 1-1 at vi ved denne produksjonen ikke lenger har behov for 2 mann i avdeling A. Isteden for å ansette en ny mann i avdeling B kan vi derfor greie oss med en overføring av en mann fra avdeling A til B. De faste kostnadene vil derfor ikke øke, og minsteprisen for det nye produktet er :

(133 1/3)(Pn 97) 11.000 2.200 Pn 196,-

Men vi ser også i FIGUR 1-1 at vi ved en slik overflytting får et nytt hjørnepunkt, der vi produserer 20 stk. av det gamle produktet og 120 stk. av det nye.

Minimumsprisen for at denne tilpassingen skal være like god som den gamle tilpas-singen er :

20(132) + 120(Pn 97) 11.000 2.200 Pn 185,-

Av disse alternative minsteprisene ser vi at det er prisen på kr. 155,- som er den laveste. Kr. 155,- er derfor den minste prisen vi må ha pr. enhet av det nye produktet for at en ikke skal tape på å introdusere det nye produktet. Analysen viser også at det er mer lønnsomt å ansette en ny mann i avdeling B framfor å overføre en person fra avdeling A.

M I N I M U M P R I S

Nytt resultat like stort

som gammelt


1 - 5

Vi har imidlertid i vår analyse antatt at prisen er konstant, og at omsatt mengde av det nye produktet ikke er påvirket av prisen. Hvis produktet er et tilnærmet mono-polprodukt, slik at omsatt mengde faller ved økt pris, er ikke analysen vi har foretatt gyldig. Optimal tilpassing ved det nye produktet skal nå skje slik at marginalinntek-tene fra det nye produktet er lik marginalkostnadene. Vi har ikke opplysninger som kan hjelpe oss å beregne marginalinntekten, men vi kan inntil vi har skaffet de nød-vendige opplysningene beregne marginalkostnaden.

Fra FIGUR 1-1 ser vi at om vi endrer dagens tilpassing (Qg = 100 stk, Qn = 0) og begynner å produsere det nye produktet, vil vi måtte tilpasse produksjonen langs kapasitetslinjen for avdeling A. Det gjelder helt til Qn = 80, en større produksjon av det nye produktet vil føre til at avdeling B vil være den begrensende avdeling.

Marginalkostnaden for det nye produktet er lik de variable kostnadene, pluss alter-nativkostnaden ved bruk av knappe ressurser. Alternativkostnaden vil variere, av-hengig av hvilke ressurser som er knapp faktor.

Avdeling A er flaskehalsen for Qn < 80 :

Alternativkostnaden består i at vi ved å produsere det nye produktet må redusere produksjonen av det gamle. Det gamle produktet har et dekningsbidrag på kr. 132,- pr. enhet, og bruker 0,8 timer pr. enhet i avdeling A. Tapt dekningsbidrag pr. time er derfor lik 132/0,8 = kr. 165,- De variable kostnadene for det nye produktet er kr. 97,- pr. enhet. I tillegg består marginalkostnaden av alternativkostnaden for bruk av den knappe tiden i avdeling A, og det nye produktet bruker 0,2 timer i avdeling A.

Marginalkostnaden blir derfor lik 97 + 1650,2 = kr. 130,-

Avdeling B er flaskehalsen for Qn > 80 :

Det gamle produktet trenger 0,4 timer i avdeling B, og tapt deknings-bidrag pr. time er derfor lik 132/0,4 = kr. 330,-

Marginalkostnaden er nå lik 97 + 3300,6 = kr. 295,-

Vi ser av figuren at marginalkostnaden er kr. 130,- for kvanta opp til 80 enheter av det nye produktet. Vi får så et skift i marginalkostnaden når vi passerer 80 enheter, og marginalkostnaden for kvanta over 80 stk. er kr. 295,- pr. enhet.

Merk imidlertid at idet produksjonen går fra 119 til 120 stk. så kan vi redusere be-manningen med en person, ettersom vi nå greier oss med bare en mann i avdeling A. Dermed sparer vi de sprangvise lønnskostnadene på kr. 2.000,-. Marginalkostna-

den ved 120 enheter er derfor kr. 295 2000 = kr. 1.705,-.

M A R G I N A L -

K O S T N A D

Variable kostnader

Alternativkostnad

ved bruk av knappe

ressurser

F A S T E K O S T -

N A D E R

Endringer i faste kost-na-

der gir store skift i

marginalkostnaden


1 - 6

Når vi får opplysninger som gjør oss i stand til å tegne inn marginalinntektene i figu-ren, så må vi i tillegg til å teste punktet der marginalinntekten er lik marginalkostna-den også teste de kvanta der vi har skift i marginalkostnaden, nemlig når Qn = 80, og når Qn = 120 stk.

FIGUR 1-2. Marginalkostnad ved faste kostnader.

Ved sprangvise faste kostnader kan vi altså oppleve store skift i en ellers konstant marginalkostnad innenfor et område, slik som i dette tilfellet mellom 80 og 133 en-heter av det nye produktet, hvor marginalkostnaden er negativ ved 120 stk.

Formulering av problemet som et LP problem.

Vi kan formulere dette problemet på mange måter. En mulig formulering er å ikke ta direkte hensyn til de faste kostnadene, men ta hensyn til disse i ettertid. Vi kan imidlertid ikke operere med en ukjent pris i et LP problem. Isteden kan vi ta utgangs-punkt i en vilkårlig pris, og bruke intervallene fra sensitivitetsanalysen til å finne neste verdi som vil lede til en annen optimal løsning. Vi kan f. eks. starte med en pris lik 0. Da blir problemformuleringen slik :

Max Totalt Dekningsbidrag = 132Qg + (097)Qn Under bibetingelsene :

Avdeling A : 0,8 Qg + 0,2 Qn 80 timer (2 mann)

Avdeling B : 0,4 Qg + 0,6 Qn 80 timer (2 mann)

T R I N N V I S

L Ø S N I N G

Tar ikke hensyn til faste

kostnader

-1705

130

80

Marginalkostnad

Qn 120 133

295


1 - 7

A B C D E

1 Gammelt Nytt Totalt Kapasitet

2

3 Pris 250 0

4 Variabel kostnad 118 97 Målfunksjon :

5 Dekningsbidrag =Pris - Variabel kostnad =SUMPRODUCT(B5:C5;$B$7:$C$7)

6 Beslutningsvariabler:

7 Mengde 100 0

8 Restriksjoner :

9 Avdeling A 0,8 0,2 =SUMPRODUCT(B9:C9;$B$7:$C$7) 80

10 Avdeling B 0,4 0,6 =SUMPRODUCT(B10:C10;$B$7:$C$7) 80

TABELL 1-4. Regneark som LP-formulering.

For at denne gamle løsningen skal forbli den optimale kan ikke koeffisientene i mål-funksjonen endres utover intervallet angitt i sensitivitetsanalysen :

Adjustable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Mengde Gammelt 100 0 132 1E+30 132

$C$7 Mengde Nytt 0 -130 -97 130 1E+30

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$D$9 Avdeling A Totalt 80 165 80 80 80

$D$10 Avdeling B Totalt 40 0 80 1E+30 40

TABELL 1-5. Sensitivitetsanalyse for første LP-løsning.

Koeffisienten i målfunksjonen for det nye produktet er 97, som er lik dekningsbi-draget når prisen er 0. Sensitivitetsanalysen angir at tillatt økning er 130, uten at op-timal mengde Qg = 100 og Qn = 0 endres. Denne økningen på kr. 130 er lik margi-nalkostnaden vil tidligere har beregnet, ut fra en skyggepris i avdeling A på kr. 165,- pr. time. Om vi nå endrer prisen mer enn den tillatte økningen på kr. 130, f.eks. setter prisen lik kr. 131,- får vi følgende løsning :

Her har vi fått løs-ningen med 80 stk. av hver av produktene.

Vi kan ved hjelp av sensitivitetsanalysen beregne hvor mye pri-sen må endres for å finne neste alternative hjørneløsning. Der-med finner vi også marginalkostnaden.

FIGUR 1-3. Regneark som LP-formulering, alternativ pris nytt produkt.

S E N S I T I V I T E T

A N A L Y S E N

Gir marginalkostnaden for

det nye produktet


1 - 8

Og sensitivitetsanalysen for løsningen i FIGUR 1-3 gir oss følgende informasjon :

Adjustable Cells



$B$7 Mengde Gammelt 80 0 132 4 109,33

$C$7 Mengde Nytt 80 0 34 164 1

Constraints



$D$9 Avdeling A Totalt 80 164 80 80 53,33

$D$10 Avdeling B Totalt 80 2 80 160 40

TABELL 1-6. Sensitivitetsanalyse ved alternativ pris nytt produkt.

Her ser vi at koeffisienten kan øke med kr. 164. Sett i forhold til den angitte prisen på kr. 131,- får vi da i alt en grensekostnad på 131+164 = kr. 295,-. Om vi endrer prisen til kr. 296,- og løser LP-modellen, får vi følgende :

Adjustable Cells



$B$7 Mengde Gammelt 0 -0,667 132 0,667 1E+30

$C$7 Mengde Nytt 133,333 0 199 1E+30 1

Constraints



$D$9 Avdeling A Totalt 26,667 0 80 1E+30 53,333

$D$10 Avdeling B Totalt 80 331,667 80 160 80

TABELL 1-7. Sensitivitetsanalyse ved høy pris nytt produkt.

Denne løsningen er den mest ekstreme, der vi bare produserer det nye produktet; Qg = 0 og Qn = 133,33. Denne løsningen tillater en uendelig stor økning i prisen på

det nye produktet (Allowable Decrease = 1030 er måten Solver i Excel angir ). Denne trinnvise løsningsprosessen har altså gitt oss marginalkostnaden for det nye produktet : kr. 130,- for Qn < 80; og kr. 295,- for 80 < Qn < 133,33.

For å finne minimumsprisen må ta utgangspunkt i dekningsbidraget fra løsningen uten det nye produktet i TABELL 1-4; kr. 13.200. For at den alternative løsningen skal gi samme resultat må prisen økes utover marginalkostnaden på kr. 130,- slik at den dekker lønnskostnaden på kr. 2.000,-. Fordelt på de 80 enhetene som produse-res, blir minimumsprisen lik kr. 130,- + 2000/80 = kr. 155,-. For at løsningen med bare produksjon av det nye produktet skal gi samme resultat som den gamle produk-

sjonen, må (Pn97)(133,33) 2.000 = 13.200 Pn = 211,-. Tar vi hensyn til at vi ved denne tilpassingen kan overføre en mann fra avdeling A til B isteden for å ansette

en ny mann, blir minimumsprisen : (Pn97)(133,33) = 13.200 Pn = 196,-. (Vi ser i TABELL 1-7 at vi har bare behov for 26,67 timer i avdeling A, og kan derfor frigjøre 53,33 timer; mer enn en mann som jobber maksimalt 40 timer pr. uke.)

M I N I M U M P R I S

Må finnes manuelt

Den minste av alternative

minimumspriser


1 - 9

Formulering av problemet som et IP problem

Vi kan formulere problemet slik at vi automatisk tar hensyn til faste kostnader, og slik at vi finner minimumsprisen for det nye produktet direkte. Vi må da ha flere beslutningsvariabler, nemlig antall ansatte i hver avdeling (QA og QB). Lønnskostna-dene vil da bli knyttet til disse variablene. Men antall ansatte må vanligvis være et heltall, med mindre vi har mulighet for deltidsansatte. Om vi bare kan ha heltidsan-satte må disse variablene være heltall, og vi må løse problemet som et heltallsproblem (Integer Programming = IP). Ulempen med heltallsvariabler er at vi da ikke lenger får ut sensitivitetsanalyser av løsningene. Dessuten tar det lenger tid å løse problemet, ettersom programmet da må benytte Branch & Bound i tillegg til Simplex-metoden.

For å finne minimumsprisen direkte må også prisen være en beslutningsvariabel. Men problemet blir da i tillegg ikke-lineært, fordi vi må beregne produktet mellom to beslutningsvariabler; pris og mengde, når vi skal beregne totalt dekningsbidrag. Vi ender altså opp med et ikke-lineært blandet heltallsproblem. Slike problem setter pro-gramvaren på en meget vanskelig prøve, og vi må i utgangspunktet være skeptiske til løsningene vi får.

Målfunksjonen :

Min Pn (Vi ønsker å finne minimumsprisen på det nye produktet)

Dekningsbidraget : (Nytt resultat må være like stort som gammelt resultat)

132Qg + (Pn 97)Qn 2.000 QA 2.000 QB 5.000 = 2.200

Produksjonskapasiteter : (Tilgjengelig tid like stor som tidsforbruket)

40QA 0,8 Qg + 0,2 Qn (Hver mann kan jobbe 40 timer pr. uke)

40QB 0,4 Qg + 0,6 Qn (Tilsvarende for avdeling B)

Total bemanning :

QA + QB 4 (Kan maksimalt ansette 4 mann)

Vi har her angitt maksimalt 4 ansatte totalt. Slik problemet er formulert kan alle 4 jobbe i samme avdeling samtidig. Om det er et tak på 2 ansatte pr. avdeling må vi isteden lage en restriksjon for hver avdeling :

QA 2 (Kan maksimalt ha 2 mann pr. avdeling)

QB 2

I tillegg til at alle variablene må være ikke - negative må vi også spesifisere at variab-lene QA og QB må være heltall. Dette angis som en restriksjon, der en velger INT fra listen over restriksjoner (<=|=|>=|INT|BIN). Vi kan eventuelt også ordne alle variablene på venstre side og konstantene på høyre side av ligningene.

H E L T A L L

Ingen sensitivitetsanalyse

I K K E - L I N E Æ R

Kan få lokale

optimumspunkt

D B

Lønnskostnadene

fordeles ikke

på produktene


1 - 10

FIGUR 1-4. Minimumspris ved heltallsformulering med sprangvise lønnskostnader.

Som vi ser av løsningen i FIGUR 1-4 er minimumsprisen for det nye produktet som ventet lik kr. 155,- pr. enhet, ved en produksjon på Qg = 80 og Qn = 80. Det er da optimalt å ha to mann i hver avdeling; QA = 2 og QB = 2.

Opplysningene som Solver trenger for å løse problemet slik vi har formulert det er:

Det er lagt inn en restriksjon på minimum 10 stk. av det nye produktet [$C$7>=10]. Uten vil vi få en ubegrenset nedre pris på et produkt vi ikke produserer.

FIGUR 1-5. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner.

A B C D E F G

1 Gammelt Nytt Mann A Mann B Totalt Kapasitet

2 Målfunksjon og beslutningsvariabel :

3 Pris 250 155 0 0

4 Variabel kostnad 118 97 2000 2000 Restriksjoner :

5 Dekningsbidrag =Pris - Variabel kostnad =SUMPRODUCT(B5:E5;$B$7:$E$7) =2200+5000

6 Beslutningsvariabler :

7 Mengde 80 80 2 2

8

9 Avdeling A -0,8 -0,2 40 =SUMPRODUCT(B9:E9;$B$7:$E$7)

10 Avdeling B -0,4 -0,6 40 =SUMPRODUCT(B10:E10;$B$7:$E$7)

11

12 Total bemanning 1 1 =SUMPRODUCT(B12:E12;$B$7:$E$7) 4

TABELL 1-8. Celle -definisjonene i regnearket.

S O L V E R

Finner optimale verdier på

målfunksjonen og

beslutningsvariablene


1 - 11

Vi trenger bidragskalkylen hvis vi skal redusere proble-met ned til to beslutningsva-riabler. Bidragskalkylen er overflødig om vi formulerer problemet fullstendig med alle variablene.

Eksempel uten bruk av produktkalkyler

I følgende eksempel skal vi se at vi godt kan formulere og løse et produktvalgspro-blem uten å gå veien om produktkalkyler.

En produksjonsbedrift produserer to produkter; kalt X1 og X2. I pro-duksjonen inngår tre delprodukter, kalt p1, p2 og p3. Produksjonen fore-går i to avdelinger; maskinavdelingen og monteringsavdelingen. I ma-skinavdelingen er det to maskiner som begge produktene benytter, disse maskinene benevnes m1 og m2. I monteringsavdelingen er det to ar-beidsprosesser som begge produktene også må gjennomgå, disse pro-sessene benevnes a1 og a2. Følgende tabell viser gjeldende data :

X1 X2 Kostnada) Kapasitetb)

Salgspris 1.000,- 1.500,- Delprodukt p1 2 stk 100,- Delprodukt p2 2 stk 200,- Delprodukt p3 1 stk 1 stk 300,- Maskin m1 6t 3t 10,- 24.000 t. Maskin m2 2t 6t 20,- 24.000 t. Prosess a1 2t 2t 100,- 10.000 t. Prosess a2 1t 2t 100,- 8.000 t. Maksimalt salg 2000stk 2000stk

a)Kostnad pr. delprodukt eller pr. time.

b)Kapasiteten er angitt pr. måned. Det samme gjelder også maksimalt salg.

Det vil koste Kr. 100.000,- pr. måned i markedsføring av hvert produkt for å eliminere salgsbegrensningene. Regnskapssjefen er imidlertid me-get bekymret for lønnsomheten, ettersom de faste kostnadene utgjøre hele 8,4 Mill. kroner pr. år.

Vi ønsker å finne optimale produksjonsmengder, og teste om totalt dekningsbidrag dekker de faste kostnadene, og eventuelt avgjøre om det er lønnsomt å foreta mar-kedsføringskampanjer for å kunne selge mer av produktene. Hvis vi kan redusere problemet ned til to beslutningsvariabler, så kan problemet løses grafisk.

Grafisk løsning.

For å redusere problemet ned til to beslutningsvariabler må vi beregne bidragskalky-ler for produktene X1 og X2.

Bidragskalkyle X1 X2

Materialkostnad (p1, p2, p3) 500,- 700,- Montering (a1, a2) 300,- 400,- Maskinkostnad (m1, m2) 100,- 150,-

Variable kostnader 900,- 1.250,- Salgspris 1.000,- 1.500,-

Dekningsbidrag 100,- 250,-

TABELL 1-9. Bidragskalkyle.

Bidragskalkylen gjør det mulig å redusere problemet til to beslutningsvariabler.

G R A F I S K L Ø S -

N I N G

Maksimalt 2

beslutningsvariabler.


1 - 12

FIGUR 1-6. Produksjonsmulighetsområdet.

Vi ser av figuren at med dagens markedsbegrensninger er det optimalt å produsere 2.000 stk. av både X1 og X2. I løpet av 12 måneder gir det :

Totalt dekningsbidrag : 12[2.000(100 + 250)] = 8.400.000,-

Faste kostnader 8.400.000,-

Resultat pr. år 0,-

Om vi kan eliminere salgsbegrensningene ser vi av FIGUR 1-6 at det vil lønne seg å bare produsere 4.000 stk. av X2. Vi må i så fall kjøre en markedsføringskampanje for produkt X2, som koster kr. 100.000,- pr. måned. Resultatet blir i så fall :

Totalt dekningsbidrag : 12[4.000(250) 100.000] = 10.800.000,-

Faste kostnader 8.400.000,-

Resultat pr. år 2.400.000,-

Optimal løsning er altså å kjøre en månedlig markedsføringskampanje for produkt X2, og produsere 4.000 stk. hver måned av X2. Det gir et årsresultat på 2,4 mill. kr.

X1

X2

2000 4000 5000 8000

4000

5000

8000

2000

Maskin m1

Maskin m2

Prosess a1

Prosess a2

Salgsbegrensning X1

Salgsbegrensning X2


1 - 13

Løsning uten produktkalkyler.

Av mange grunner kan det være hensiktsmessig å formulere problemet med en de-taljert opplisting av alle produksjonsprosessene og delene som inngår i produktene direkte, isteden for indirekte via produktkalkylene. Dette medfører at vi får flere be-slutningsvariabler, men gir samtidig en mer detaljert løsning av problemet. Endres noen koeffisienter slipper vi dessuten å oppdatere kalkylene.

Målfunksjon :

Max Totalt DB =

1.000X1 + 1.500X2 100p1 200p2 300p3 10m1 20m2 100a1 200a2

100.000 R1 100.000 R2

Restriksjoner :

X1 2.000 + 10.000 R1 Salgsbegrensning X1 + mulig ekstrasalg av reklame

X2 2.000 + 10.000 R2 Salgsbegrensning X2 + mulig ekstrasalg av reklame

p1 = 2X1 Bruk av delprodukt p1

p2 = 2X2 Bruk av delprodukt p2

p3 = X1 + X2 Bruk av delprodukt p3

m1 = 6X1 + 3X2 Bruk av maskintid m1

m2 = 2X1 + 6X2 Bruk av maskintid m2

a1 = 2X1 + 2X2 Bruk av arbeidstid prosess a1

a2 = X1 + 2X2 Bruk av arbeidstid prosess a2

m1 24.000 Maksimal maskintid maskin m1

m2 24.000 Maksimal maskintid maskin m2

a1 10.000 Maksimal arbeidstid prosess a1

a2 8.000 Maksimal arbeidstid prosess a2

R1 {0, 1} Reklame produkt 1 (0 eller 1)

R2 {0, 1} Reklame produkt 2 (0 eller 1)

Alle variabler må være ikke- negative.

Denne problemformuleringen kan også løses uten å ta hensyn til reklamekampanjen. Da må man benytte skyggeprisene fra sensitivitetsanalysen for salgsbegrensningene til å evaluere lønnsomheten av en eventuell reklamekampanje.

Hvis vi benytter et regneark til å formulere problemet, står vi meget fritt til å be-stemme organiseringen av problemet. Vi skal likevel først se på en formulering i tråd med standard LP formulering. Deretter skal vi se på en alternativ måte å organisere regnearket for dette problemet, og uten bruk av binær variablene for reklamebud-sjettet.

B E S L U T N I N G S

- V A R I A B L E R

Like mange beslutningsva-

riabler som det er

inntekts - og kostnads -

komponenter


1 - 14

FIGUR 1-7. LP-løsning uten bruk av produktkalkyler. Optimalt reklamebudsjett.

Vi får et månedlig dekningsbidrag på kr. 900.000,- som tilsvarer et årlig dekningsbi-drag på kr. 10.800.000,-. Vi får m.a.o. samme løsning som før. Legg merke til at vi

har angitt cel-lene K5 og L5 som binærva-riabler, dvs. at de må anta verdien 0 eller 1. For øvrig er problemet et standard LP problem, men vi får ikke sen-

sitivitetsana-lyse.

FIGUR 1-8. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner til LP-modellen.

Vi kan løse problemet uten bruk av binærvariabler, og benytte informasjonen fra sensitivitetsanalysen for å analysere lønnsomheten av reklamekampanjene. Solver gir imidlertid ikke sensitivitetsanalyse av restriksjoner på beslutningsvariablene, selv om vi får skyggeprisene. Om vi også har behov for full sensitivitetsanalyse av restriksjo-ner på beslutningsvariablene, slik som f. eks. salgsrestriksjonene i dette tilfellet, så må vi lage "dummy" variabler som settes lik beslutningsvariablene, og putte salgsbe-grensningene på "dummy" variablene. (Se FIGUR 1-9.)


1 - 15

FIGUR 1-9. LP-modellen uten produktkalkyler, uten reklamemuligheter.

A B C D E F G H I

1 X1 X2 X1 X2

2

3 Mengde 2000 2000 2000 2000 Salgsbegrensninger

4 Kostnad

Kapa-sitet 5 Produktdata Kvantum

6 Inntekt =B$3*E6 =C$3*F6 1000 1500

7 Material p1 =B$3*E7*$G7 =C$3*F7*$G7 2 0 100 =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E7:F7)



10 Maskin m1 =B$3*E10*$G10 =C$3*F10*$G10 6 3 10 =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E10:F10) 24000

11 Maskin m2 =B$3*E11*$G11 =C$3*F11*$G11 2 6 20 =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E11:F11) 24000

12 Prosess a1 =B$3*E12*$G12 =C$3*F12*$G12 2 2 100 =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E12:F12) 10000

13 Prosess a2 =B$3*E13*$G13 =C$3*F13*$G13 1 2 100 =SUMPRODUCT($B$3:$C$3;E13:F13) 8000

14 Sum kostnad =SUM(B7:B13) =SUM(C7:C13)

15 Dekningsbidrag =B6-B14 =C6-C14 =SUM(B15:C15) Totalt dekningsbidrag

TABELL 1-10. Formlene i regnearket uten reklamemuligheter.

FIGUR 1-10. Angivelse av målfunksjon, be-slutningsvariabler og restriksjoner for LP-modellen uten reklamemu-ligheter.

L P - F O R M U L E -

R I N G

Modellen kan formu-

leres fleksibelt i et

regneark

Trenger ikke følge

standard oppbygging

Bruk tid på å finne

en god utforming


1 - 16

Adjustable Cells



$B$3 Mengde X1 2000 100 100 1E+30 100

$C$3 Mengde X2 2000 250 250 1E+30 250

Constraints



$H$10 Maskin m1 Kvantum 18000 0 24000 1E+30 6000


$H$12 Prosess a1 Kvantum 8000 0 10000 1E+30 2000


TABELL 1-11. Sensitivitetsanalyse av LP-modellen uten reklamemuligheter.

Legg merke til at koeffisientene i målfunksjonen er beregnet av Solver, de fremgår ikke direkte i regnearket. Vi ser at for beslutningsvariablene (Adjustable Cells) så er Redu-

ced Cost lik dekningsbidragene for produktene. Denne reduserte kostnaden angir (for variabler som ikke er med i den optimal løsningen) hvor mye koeffisientene i mål-funksjonen må endres for at beslutningsvariabelen skal komme med i den optimale løsningen. For variabler som er med i løsningen er redusert kostnad lik 0, med mindre variabelen er lik sin øvre eller nedre grense (utenom ikke-negativitetsbeting-elsene). I disse tilfellene er redusert kostnad lik skyggeprisen på restriksjonen på be-slutningsvariabelen. Vi får imidlertid ingen øvre eller nedre grense for endringer av denne restriksjonen, slik at vi vet ikke for hvilket intervall skyggeprisen gjelder. Vi må derfor omformulere regnearket slik at vi også får ut sensitivitetsanalysen av salgs-restriksjonene. Dette kan vi gjøre ved å lage dummy variabler som settes lik de be-slutningsvariablene som har begrensinger. Begrensningene flyttes så til dummy vari-ablene. Regnearket kan da se slik ut :

FIGUR 1-11. LP-modellen uten produktkalkyler, uten reklamemuligheter, med dummy variabler.

Salgsbegrensningene flyttes nå til dummy variablene, og vi får følgende sensitivitets-analyse :

S O L V E R

Bergener automatisk

dekningsbidragene :

Objective Coefficient

Gir skyggepriser på

restriksjoner på be-

slutningsvariablene

via Reduced Cost

Gir ikke sensitivitets-

analyse av restriksjo-

ner på beslutningsva-

riablene


1 - 17

Adjustable Cells



$B$3 Mengde X1 2000 0 100 1E+30 100

$C$3 Mengde X2 2000 0 250 1E+30 250

Constraints







$E$4 X1 2000 100 2000 1000 2000

$F$4 X2 2000 250 2000 1000 2000

TABELL 1-12. Sensitivitetsanalyse av LP-modellen med dummy variabler.

Her har vi fått sensitivitetsanalyse av salgsrestriksjonene på produktene X1 og X2. Vi ser at for begge produktene er maksimal økning i salgsbegrensningene 1.000 stk. uten at skyggeprisene for restriksjonene endres. Skyggeprisen for X1 på kr. 100,- pr. enhet for i alt 1.000 stk. dekker bare akkurat markedsføringskampanjen på kr. 100.000,-. Det er derfor mer lønnsomt å satse på markedsføring av produkt X2. Her vil de 1.000

første ekstra solgte enhetene gi et netto dekningsbidrag på kr. 2501.000 100.000,- = kr. 150.000,-. Markedsføringskampanjen vil imidlertid fjerne helt salgsbegrens-ningen for produktet. (Dette er formulert som et relativt stort tillegg [10.000 stk.] til grensen på 2.000 stk i modellen i FIGUR 1-7.) For å finne ny optimal tilpassing må vi derfor fjerne salgsbegrensningen for X2, og løse problemet på nytt. Vi må imidler-tid huske å trekke fra reklamekostnadene på kr. 100.000,- ved den nye løsningen når vi skal sammenligne resultatene.

H U S K :

Sensitivitetsanalysen

er partiell

Gjelder for kun EN

endring om gangen


1 - 18

Parametrisk analyse og LP modeller.

I det følgende eksemplet skal en avgjøre for hvilke priser det lønner seg å kjøpe eventuelt selge et halvfabrikat som inngår i den øvrige produksjonen i bedriften.

En bedrift produserer to produkter; et halvfabrikat H, og en ferdigvare F. Halvfabrikatet bearbeides bare i avdeling A, og det tar 3 timer å pro-dusere en kg. Hver kg av ferdigvaren krever ½ kg av halvfabrikatet. Fer-digvaren krever 2 timer i avdeling A og 3 timer i avdeling B. Kapasiteten i avdeling A er 42 timer og 45 timer i avdeling B.

De variable kostnadene for produksjonen av halvfabrikatet er kr. 400,- pr. kg. De variable kostnadene for ferdigvaren eksklusiv kostnadene for halvfabrikatet er kr. 1.500,- pr. kg. Salgsprisen for ferdigvaren er kr. 2.000,- pr. kg.

Igjen kan det være instruktivt å illustrere problemet grafisk, selv om en i praktiske problem neppe står over for så små problem at en slik framgangsmåte er mulig.

FIGUR 1-12. Grafisk illustrasjon av egenproduksjon/kjøp av halvfabrikat.

Om bedriften kun baserer seg på egenproduksjon, kan den maksimalt produsere 12 enheter av ferdigvaren. Den kan imidlertid øke produksjonen av ferdigvaren til 15

P A R A M E T R I S K

A N A L Y S E

Analyse av systematiske

endringer i koeffisientene i

målfunksjonen eller

høyresidene

Ingen endring i


Ingen endring i

skyggeprisene

O P T I M U M

Alltid en

hjørneløsning

12

IV

II

III

I

Bare produksjon H

Bare produk-

sjon av F

Ferdigproduksjon basert

på delvis kjøp av H

Ferdigproduksjon

bare basert på

egenproduksjon H

F

H

15

4 14 6

Avdeling A 3H + 2 F 42

Avdeling B 3F 45

Behov halvfabrikant ½F H


1 - 19

stk., enten ved å kjøpe inn alt den trenger av halvfabrikatet, eller ved å produsere 4 enheter av halvfabrikatet og kjøpe inn resten. For å avgjøre om det lønner seg å kjøpe inn halvfabrikat, eventuelt å selge halvfabrikatet, må en sammenligne med resultatet der en hverken kjøper eller selger halvfabrikat, men baserer produksjonen av ferdig-varen kun på egenprodusert halvfabrikat.

(II): Resultat ved kun egenproduksjon : 12[2.000 1.500] 6[400] = kr. 3.600,-

For at det skal lønne seg å foreta delvis innkjøp at halvfabrikatet må prisen PH for halvfabrikatet være slik at resultatet i punkt III blir minst like stort som før :

(III) : 15[2.000 1.500] 4[400] (15/2 4)[PH] 3.600 PH 4600/7 657,14

(Netto salgsinntekt egenprodusert halvfabrikat kjøp av halvfabrikat 3.600)

Hvis det skal være lønnsomt å basere all produksjon på innkjøp av halvfabrikatet, må resultatet være minst like stort som når en produserer en del av halvfabrikatet selv, dvs. resultatet i punkt IV må være minst like stort som i punkt III :

IV: 15[2.0001.500] (15/2)PH 15[2.0001.500] 4[400] (15/24)PH PH 400

IV III

Det er altså lønnsomt å basere produksjonen kun på innkjøp av halvfabrikatet hvis det er billigere å kjøpe inn enn å produsere selv.

Det gjenstår å avgjøre hvilke priser som gjør at det er lønnsomt å selge halvfabrikatet framfor å bruke det i produksjonen av ferdigvaren. Da må resultatet i punkt I være minst like stort som i punkt II :

(I) : 14[PH 400] 3.600 PH 4600/7 657,14

Det er lønnsomt å produsere halvfabrikatet for salg hvis prisen er over kr. 657,14. Vi kan dermed konkludere med følgende :

Pris halvfabrikat : PH Strategi :

Mindre enn kr. 400,- Kjøp 7 ½ stk. H, selg 15 stk. F. Mellom kr. 400,- og kr. 657,14 Kjøp 3 ½ og produser 4 stk. H, selg 15 stk. F.

Over kr. 657,14 Produser og selg 14 stk. av H.

Når kjøps- og salgsprisen for halvfabrikatet H er kr. 657,14 vil isobidragslinjen være parallell med kapasitetsskranken for avdeling A i Error! Reference source not found.. Et hvert punkt på linjen mellom punkt I og III (inklusive endepunktene) vil da gi like stort resultat, og er følgelig like gode. Når prisen er større enn 657,14 vil isobidragslinjen bli brattere slik at punkt I vil være et unikt optimumspunkt. Når pri-sen er mindre enn 657,14 vil isobidragslinjen bli flatere slik at punkt III blir et unikt optimumspunkt. Når prisen for halvfabrikat blir så lav som kr. 400,- vil isobidrags-linjen bli parallell med kapasitetslinjen for avdeling B, og et hvert punkt på linjen mellom punkt III og IV vil gi like stort resultat. Når prisen på halvfabrikatet blir


1 - 20

mindre enn kr. 400,- vil isobidragslinjen snu oppover mot høyre, slik at punkt IV blir det unike optimumspunktet.

Produksjonsstrategien utledet via LP.

Når vi skal løse en slik problemstilling ved hjelp av lineær programmering, må vi manuelt løse problemet flere ganger ved å velge forskjellige verdier på koeffisienten i målfunksjonen for kjøp og salg av halvfabrikatet. En slik metode, parametrisk ana-lyse, der vi endrer verdien på et parameter i modellen, kan gjøres automatisk i mer sofistikerte LP programmer, men som regel bare av høyresideverdiene, dvs. kapasi-tetsgrensene. Vi skal gjøre endringene manuelt, slik at vi skjønner prinsippet bak ana-lysen.

Vi får i alt 4 beslutningsvariabler i vårt problem; en for kjøp (HK), en for salg (HS), og en for produksjon (HP) av halvfabrikatet, samt en for ferdigproduktet (F).

Målfunksjon : (prisen ved kjøp er lik prisen ved salg av halvfabrikatet)

Max totalt DB = PHHK 400HP + PHHS + [2.000 1.500]F

Restriksjoner :

3 HP + 2 F 42 Kapasitetsforbruk avdeling A kapasiteten

3 F 45 Kapasitetsforbruk avdeling B kapasiteten

HK + HP HS + ½ F Tilgang halvfabrikat forbruk halvfabrikat

Om vi i utgangspunktet setter PH = 0, dvs. at vi kan kjøpe halvfabrikatet gratis, så blir selvsagt løsningen å kjøpe inn eksternt isteden for å produsere selv.

FIGUR 1-13. LP-modellen med halvfabrikat. Pris halvfabrikat kr. 0,-.

Denne løsningen med en ferdigproduksjon kun basert på innkjøpt halvfabrikat gir følgende sensitivitetsanalyse (tabellen over restriksjonene er utelatt) :


A N A L Y S E

Endringer i en koeffisient

i målfunksjonen uten at

optimale verdier på be-

slutningsvariablene endres


1 - 21

Adjustable Cells



$B$7 Mengde Kjøp H 7,5 0 0 0 400

$C$7 Mengde Produksjon H 0 -400 -400 400 1E+30

$D$7 Mengde Salg H 0 0 0 0 1E+30

$E$7 Mengde Produkt F 15 0 500 1E+30 500

TABELL 1-13. Sensitivitetsanalyse med pris halvfabrikat kr. 0,-.

Fra ”Allowable Decrease” i TABELL 1-13 ser vi at vi kan redusere koeffisienten for kjøp H med 400 uten at løsningen endres. Om vi derfor øker kjøpsprisen med mer enn 400, vil vi få en annen løsning enn å kjøpe inn 7,5 stk. H for å produsere 15 stk. F. Om vi setter kjøpsprisen til kr. 401,- blir løsningen :


Når det er dyrere å kjøpe inn enn å produsere selv, produserer vi selv så mye vi har kapasitet til og kjøper inn resten. Sensitivitetsanalysen gir oss nå følgende :

Adjustable Cells



$B$7 Mengde Kjøp H 3,5 0 -401 0 256,14

$C$7 Mengde Produksjon H 4 0 -400 448,25 1

$D$7 Mengde Salg H 0 0 401 0 1E+30

$E$7 Mengde Produkt F 15 0 500 1E+30 298,83

Constraints



$F$9 Avdeling A Totalt 42 0,33 42 10,5 12

$F$10 Avdeling B Totalt 45 99,61 45 18 9

$F$11 Produkt H Totalt 0 -401 0 1E+30 3,5


Sensitivitetsanalysen i TABELL 1-14 viser at koeffisienten for kjøp av halvfabrikat

kan reduseres med 256,14 fra 401,-; dvs. prisen kan økes til kr. 657,14 uten at denne


A N A L Y S E

Systematisk endring :

Endrer koeffisienten

i målfunksjonen slik

at løsningen ikke

lenger forblir

optimal.

Får ny løsning

A L L O A B L E D E -

C R E A S E

Adjustable Cells :

Maksimal reduksjon av

Objective Coefficient

uten at

Final Value

endres


1 - 22

løsningen (”Final Values”) endres. Løsningen med å kjøpe 3,5 enheter av halvfabri-katet og produsere 4 enheter selv, for å selge 15 enheter av ferdigproduktet vil altså endres hvis kjøps- og salgsprisen for halvfabrikatet øker over kr. 657,14.

Om vi setter prisen til kr. 658,- blir den nye løsningen :


Vi ser at med en så høy pris på halvfabrikatet så lønner det seg å kun selge halvfab-rikatet uten å produsere ferdigvaren. Sensitivitetsanalysen gir oss følgende :

Adjustable Cells



$B$7 Mengde Kjøp H 0 0 -658 0 1E+30

$C$7 Mengde Produksjon H 14 0 -400 1E+30 1,50

$D$7 Mengde Salg H 14 0 658 0 0,86

$E$7 Mengde Produkt F 0 -1 500 1 1E+30

Constraints



$F$9 Avdeling A Totalt 42 86 42 1E+30 42

$F$10 Avdeling B Totalt 0 0 45 1E+30 45

$F$11 Produkt H Totalt 0 -658 0 14 1E+30


Vi ser fra sensitivitetsanalysen at nå kan prisen på halvfabrikat økes uendelig uten at løsningen endres. Sammenfatter vi denne manuelle parametriske analysen, får vi :

Produkt Pris halvfabrikat

Mindre enn 400 Mellom 400 og 657,14 Over 657,14

Mengde Kjøp H 7,5 3,5 0

Mengde Produksjon H 0 4 14

Mengde Salg H 0 0 14

Mengde Produkt F 15 15 0

TABELL 1-16. Resultat fra parametrisk analyse av prisen på halvfabrikatet.

A L L O W A B L E

D E C R E A S E

Constraints :

Maksimal reduksjon av

Constraint R.H.Side

uten at

Shadow Price

endres


A N A L Y S E

Koeffisient

målfunksjonen

Alternative optimale

løsninger for forskjellige

verdier på koeffisienten i

målfunksjonen


1 - 23

Dette resultatet er selvsagt det samme som vi fant da vi løste problemet grafisk.

Fastsetting av pris uten kostnadsfordeling.

I følgende lille eksempel skal vi se at vi kan fastsette optimale priser uten å foreta kostnadsfordeling.

Et lokalt oljeselskap driver et lite raffineri i nærheten av noen av sine oljekilder. Raffineringen foregår i serier, og hver serie produserer en gitt mengde av i alt 5 forskjellige ferdigprodukter, kalt A, B, C, D og E. Om-satt mengde av disse produktene er en funksjon av prisen, og markeds-avdelingen har estimert etterspørselsfunksjonen for hvert av ferdigpro-duktene. Eventuelle produserte kvanta som ikke blir solgt må destrueres til en nærmere angitt kostnad. Disse data foreligger :

Produkt Mengde pr. serie Etterspørsel pr. uke Destruksjonskost

A 100 liter QA = 15.000 100PA 10,- pr. liter

B 50 liter QB = 13.333 1/3 166 2/3PB 5,- pr. liter

C 10 liter QC = 20.000 50PC 20,- pr. liter

D 20 liter QD = 12.000 20PD 50,- pr. liter

E 40 liter QE = 16.666 2/3 66 2/3PE 15,- pr. liter

Pi = Pris pr. liter produkt i; Qi = etterspurt mengde produkt i pr. uke; i = A; B, C, D, E.

Det påløper raffineringskostnader på kr. 7.000,- pr. serie. En serie krever 1000 liter fat råolje. Råoljeprisen er for tiden kr. 15,- pr. fat. Faste drifts-betingede kostnader i raffineriet utgjør kr. 500.000,- pr. uke.

LP formulering med pris som beslutningsvariabel.

Ettersom vi har en fallende etterspørselskurve, blir inntektsfunksjonen ikke lenger lineær. Følgende symboler benyttes :

XR =antall raffineringsprosesser XO = antall liter olje Xi = antall liter produsert av produkt i; i = A, B, C, D, E Qi = antall liter solgt av produkt i; i = A, B, C, D, E Di = antall liter destruert av produkt i; i = A, B, C, D, E Pi = pris pr. liter av produkt i; i = A, B, C, D, E

Beslutningsvariablene er antall raffineringsprosesser XR og prisene Pi på produktene. De øvrige variablene er entydig bestemt av likhetsrestriksjoner fra disse variablene. F. eks. er produksjon av antall liter av produktene Xi bestemt av antall raffineringer XR, og det gjelder også antall liter olje XO. Tilsvarende er antall liter solgt (Qi) gitt ut fra prisen Pi og etterspørselsfunksjonene. Antall liter destruert (Di) er lik differansen

mellom antall liter produsert og solgt : Xi Qi.

For å sikre at antall liter solgt ikke er større enn antall liter produsert, kan en skille mellom etterspørsel og salg (Si), og angi at salg er det minste av etterspørsel og pro-duserte mengder : Si = MIN { Xi ; Qi }. Isteden bør man heller legge en ikke-nega-

tivitetsrestriksjon på mengde destruert : Di = Xi Qi; Di 0. Derved oppnår man det samme, men unngår diskontinuerlige funksjoner, og problemet blir mye lettere å løse. Vi kan derfor formulere problemet som følger :


V A R I A B L E R

Kan reduseres med antall

variabler som blir bestemt

ut fra verdien på andre va-

riabler

Redusere problemet fra 22

til 6 beslutningsvariabler

Ta med variabler med se-

parate kostnader (XO)


1 - 24

Målfunksjon :

Max DB = 7000XR 15XO + PAQA + PBQB+ PCQC+ PDQD+ PEQE

10DA 5DB 20DC 50DD 15DE

Restriksjoner :

Salg : Etterspørselen bestemmes av prisen.

QA = 15.000 100PA Etterspurt mengde A

QB = 13.333 1/3 166 2/3PB Etterspurt mengde B

QC = 20.000 50PC Etterspurt mengde C

QD = 12.000 20PD Etterspurt mengde D

QE = 16.666 2/3 66 2/3PE Etterspurt mengde E

Produksjon : Kvanta bestemmes av antall raffineringer XR.

XO = 1000XR Antall liter olje

XA = 100XR Antall liter A produsert

XB = 50XR Antall liter B produsert

XC = 10XR Antall liter C produsert

XD = 20XR Antall liter D produsert

XE = 40XR Antall liter E produsert

Lager/destruksjon : Produksjon Salg.

DA = XA QA Antall liter A destruert

DB = XB QB Antall liter B destruert

DC = XC QC Antall liter C destruert

DD = XD QD Antall liter D destruert

DE = XE QE Antall liter E destruert

Ikke-negativitetsrestriksjoner :

XR, Pi, Di 0


1 - 25

FIGUR 1-16. Regneark over LP-modellen med pris som beslutningsvariabel.

Her er Produksjon av produktene XA – XE (eller forbruk av olje XO) på linje 7, bestemt ut fra XR (celle B7 i regnearket) med benevnelsen Produksjon Raffineri. Produksjonsfor-holdet er angitt i linje 6, Mengde pr. serie. Modellens 6 produksjonsrestriksjoner er angitt på linje 7 for Produksjon, som: Produksjon = Produksjon Raffineri * Mengde pr. serie. Verdien på Produksjon Raffineri bestemmes av Solver, på lik linje med Pris på produktene PA – PE. Disse beslutningsvariablene er uthevet i regnearket. De 5 etterspørselsrestriksjonene er angitt på linje 8, og benevnt Salg. Og de 5 lager/destruksjonsrestriksjonene er angitt på linje 9, kalt Lager. Målfunksjonen er beregnet via variabelen Resultat på linje 11, som er lik Pris * Produksjon eller Pris * Salg – Lager * Destruksjonskost.

A B C D E F G H

1 Raffineri Olje A B C D E

2

3 Pris -7000 -15 78,57 58,57 385,71 528,57 207,14

4 Destruksjonskost 10 5 20 50 15

5

6 Mengde pr. serie 1000 100 50 10 20 40

7 Produksjon 71,42857 =Produksjon Raffineri * Mengde pr. serie

8 Salg =15000 - 100*Pris

=13333,3 - 166,67*Pris

=20000 - 50*Pris

=12000 - 20*Pris

=16666,67 - 66,67*Pris

9 Lager =Produksjon - Salg

10

11 Resultat = Pris * Produksjon = Pris * Salg - Lager * Destruksjonskost

12 Faste kostnader 500000

13 Samlet resultat =SUM(Resultat) - Faste kostnader

TABELL 1-17. Celle definisjonene av regnearket med pris som beslutningsvariabel.

Det maksimale resultatet på kr. 321.429,- oppnås ved å produsere 71,4 serier pr. uke, og sette prisene slik at alt som produseres blir etterspurt. For å komme fram til dette resultatet er det ikke nødvendig å fordele raffineringskostnadene på produktene eller lage produktkalkyler. Opplysningene som Solver trenger er følgende :

L P

I R E G N E A R K

Kan formuleres meget

fleksibelt og kompakt


1 - 26

Marginalkostnaden kan benyttes i kostnadsfor-delingen av felleskostna-dene, se ”Felleskostna-der og fellesprodukt”. Den kan også brukes til lagervurderinger og i visse produktkalkyler. Men vær obs :

FIGUR 1-17. Opplysningene til Solver for LP-modellen i FIGUR 1-16.

Det er verd å huske på at problemet er ikke-lineært. Den løsningen vi får i første omgang er ikke nødvendigvis et globalt optimumspunkt. Det kan derfor være nød-vendig å løse problemet flere ganger og velge alternative startverdier på beslutnings-variablene, for å se om det eksisterer alternative lokal optimumspunkt som gir et bedre totalresultat. Når problemet er ikke-lineært blir også sensitivitetsanalysen am-putert, ettersom vi kun får skyggepriser og ingen opplysning om i hvilke intervall de gjelder. På grunn av ikke-lineæriteten er nå skyggeprisene marginalverdier i ordets egentlige forstand, de er kun gyldige for marginale endringer.

TABELL 1-18. Sensitivitetsanalysen av regnearket med pris som beslutningsvariabel.

Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen ved å øke høyresiden av restriksjonen med én enhet. En økning i lagerrestriksjonen med én enhet betyr av vi produserer en enhet for lager/destruksjon. For produkt A ville det redusere totalresultatet med kr. 17,10. Destruksjonskostnaden for A er kr. 10,- pr. liter. Resten av beløpet er mar-ginalinntekten for produkt A, altså kr. 7,10 pr. liter. I optimum er marginalkostnader og inntekter like, så kr. 7,10 er derfor også marginalkostnaden for A.

I K K E - L I N E -

Æ R E P R O B L E M

Kun lokale

optimumspunkt

Løsningen følsom

for startverdier på


Forsøk med andre

startverdier og se om

andre lokale

optimumspunkt er

bedre

Adjustable Cells

Final Reduced

Cell Name Value Gradient

$B$7 Produksjon Raffineri 71,4 0,0

$D$3 Pris A 78,57 0,00

$E$3 Pris B 58,57 0,00

$F$3 Pris C 385,71 0,00

$G$3 Pris D 528,57 0,00

$H$3 Pris E 207,14 0,00

Constraints

Final Lagrange Destruksjons- Marginal-

Cell Name Value Multiplier kostnad kostnad

$D$9 Lager A 0,0 -17,1 10,- 7,10

$E$9 Lager B 0,0 -42,1 5,- 37,10

$F$9 Lager C 0,0 -391,4 20,- 371,40

$G$9 Lager D 0,0 -507,1 50,- 457,10

$H$9 Lager E 0,0 -179,3 15,- 164,30

S K Y G G E P R I S

Endringen i målfunksjo-

nen ved å øke høyresiden

av restriksjonen med en

enhet

K O S T N A D S E S T I M E R I N G O G R E G R E S J O N S A N A L Y S E

2 - 1

Kostnadsestimering og

regresjonsanalyse

I mange beslutningssituasjoner er det viktig å vite hvordan kostnadene påvirkes; hvilke er faste og hvilke er variable.

nullpunktsanalyser er det en forutsetning at en har et klart skille mellom faste og variable kostnader, og at en kjenner størrelsen både på de faste kostnadene og de (proporsjonale) variable enhetskostnadene. Har en behov for bidragskal-kyler i forbindelse med et produktvalgsproblem trenger en også å kjenne de

variable kostnadene, og for å avgjøre om produksjonen er lønnsom må en vite om totalt dekningsbidrag dekker de faste kostnadene. I svært mange situasjoner har en altså behov for detaljert kunnskap om kostnadene.

Direkte kostnader kan ofte registreres via såkalte ingeniørstudier; der en måler fysiske størrelser som antall forbruk av materialkomponenter, forbruk av produksjonstid i de forskjellige produksjonsprosessene, etc. Disse fysiske størrelsene multipliseres så med prisen på de forskjellige materialkomponentene, prisen på arbeidstid, maskintid etc., og en kommer fram til et meget nøyaktig mål på direkte kostnader eller stan-dardkost for hvert enkelt produkt eller tjeneste.

Disse direkte kostnadene er variable kostnader. Men en stadig større del av produkt-kostnadene er indirekte kostnader, kostnader som ikke er direkte knyttet til material og fysiske produksjonsprosesser. De direkte material- og produksjons -kostnadene utgjør ofte en synkende andel av produktenes variable kostnader, i takt med en stadig voksende administrasjon og en kontinuerlig automatisering av produksjonsprosess-ene. Det blir derfor mer og mer viktig å avdekke disse indirekte variable kostnadene, som ikke lar seg måle ved direkte studier av den fysiske produksjonsprosessen.

Metoder for kostnadsestimering.

En er ofte interessert i størrelsen på de framtidige kostnadene, men må som regel basere analysen på historiske data. Det er mange metoder som kan benyttes for å estimere kostnader basert på historiske data :

Tidsserie analyser : Enkelte kostnader kan predikeres basert på hvordan kostna-dene har utviklet seg tidligere. En gjør ikke noe forsøk på å forklare kostnadsutvik-lingen, men antar at den følger samme historiske mønster også i framtiden. Her er

Del

2

I

K O S T N A D E R

Faste kostnader

Variable kostnader :

- Direkte

- Indirekte

Indirekte variable kostna-

der kan være vanskelig å

beregne.


2 - 2

det mange prognosemetoder å velge i; fra glidende gjennomsnitt til forskjellige for-mer for eksponensiell glatting med eller uten sesong og trend.

Alternativt kan en benytte forskjellige former for kostnadsklassifisering : En kan foreta klassifisering av kostnadene som faste eller variable basert kontoklassifikasjo-nen. Her brukes skjønn og erfaring til å gruppere de forskjellig kontoene i faste eller variable kostnader; elektrisk kraft kan f.eks. klassifiseres som en variabel kostnad, mens avskrivninger klassifiseres som faste kostnader. Eller en kan foreta en mer be-grunnet klassifisering av kostnadene basert på ingeniørstudier av fysiske produk-sjonsprosesser. Eller en kan foreta klassifisering av kostnadene som faste eller vari-able basert på regresjonsanalyse.

Regresjonsanalyse.

Regresjonsanalyse er en metode som benyttes for å beskrive sammenhengen mellom en avhengig variabel (kostnadene) og en eller flere uavhengige variabler eller forkla-ringsvariabler (produsert mengde, arbeidstid, etc.). Regresjonsanalysen baserer seg på lineære sammenhenger, men via alternative transformasjoner kan en analysere forskjellige former for ikke-lineære kostnadsfunksjoner.

Regresjonsanalysen har den styrken at man kan angi påliteligheten av kostnadsesti-meringen om man er villig til å akseptere enkelte statistiske forutsetninger. Vi skal ikke gi noen detaljert generell innføring i regresjonsanalyse, det overlates til kurs og lærebøker i statistikk, men vi skal via praktiske eksempler se hvordan regresjonsana-lysen kan anvendes til kostnadsestimering, og peke på hva man må passe på for å unngå noen av de mange mulige feilene som kan begås i regresjonsanalyse.

En produksjonsbedrift driver serieproduksjon av ett produkt. Bedriften har dessverre ikke eget in-ternregnskap, og har derfor meget dårlig oversikt over kostnadene. Følgende informasjon om fjor-årets produksjon (stk) og kostnad (kr) er hentet inn, mest fra finansregnskapet. Årlige faste beløp som betales i én måned er fordelt med et likt beløp over samtlige måneder. De månedlige kostnadene er dessuten relatert til månedens produksjon, ikke månedens salg. Variasjonen i produksjonen skyl-des bare delvis fluktuasjoner i etterspørselen, en vel så stor årsak er en heller vilkårlig lagerstyring. Ledelsen håper derfor den kan stabilisere produk-sjonen noe kommende år, der en har budsjettert med et årlig salg på 120.000 stk., og håper å kunne produsere jevnt 10.000 stk. pr. måned.

Før vi starter regresjonsanalysen skal vi gjøre en li-ten digresjon. Disse dataene er ikke hentet fra virkeligheten, men er konstruerte tall. Produksjonen er konstruert ut fra en normalfordeling med forventning 10.000 stk. og standardavvik på 2.500 stk. Tilsvarende er kostnadene konstruert ut fra kr. 250.000,- i faste kostnader og kr. 75,- i variable enhetskostnader, med et standardav-vik på 1/100 av forventet totalkostnad. I regnearket er dette gjort slik:

E S T I M E R I N G

Tidsserieanalyse

Kontoklassifisering

Ingeniørstudier

Regresjonsanalyse

R E G R E S J O N

Y = bo + b1X1 +…+bhXh

Som estimat for :

Y = 0+1X1+..+hXh+

Måned Produksjon Kostnad

Januar 5619 671.310,-

Februar 16310 1.474.102,-

Mars 8366 867.658,-

April 13087 1.243.084,-

Mai 14748 1.350.415,-

Juni 10472 1.030.318,-

Juli 6168 702.853,-

August 10178 1.018.572,-

September 6952 766.386,-

Oktober 8787 902.111,-

November 10933 1.044.652,-

Desember 6530 727.779,-


2 - 3

Måned Produksjon Kostnad

Januar =NORMINV(RAND();10000;2500) =NORMINV(RAND();250000+75*B2;(250000+75*B2)/100)

TABELL 2-1. Simulering av data.

Funksjonen NORMINV gir den inverse kumulative normalfordelingen, med syntaks NORMINV(sannsynlighet; gjennomsnitt; standardavvik); der sannsynlighet er en sannsynlighet kor-responderende til normalfordelingen, gjennomsnitt er fordelingens aritmetiske gjen-nomsnitt, og standardavvik er fordelingens standardavvik. For å angi en tilfeldig simulert sannsynlighet, er det her benyttet funksjonen RAND(), som trekker et tilfeldig tall mel-lom 0 og 1. Med konstruerte data for bare 12 måneder er det ikke gitt at en får et representativt utvalg ved første simulering. Regnearket er derfor rekalkulert [F9] inn-til et rimelig datasett fremkommer. Dataene er så kopiert v.h.a. "Copy" og "Paste Special" – "Value", for å forhindre at nye rekalkuleringer endrer dataene.

FIGUR 2-1. Scatterdiagram over kostnader og produksjon.

Ved lineær regresjon forsøker en å finne en rett linje som passer best mulig til alle punktene i scatter-diagrammet. Normalt vil ikke alle punktene ligge nøyaktig på lin-jen, vi får avvik. Regresjonsanalysen velger den linjen som minimerer summen av de kvadrerte avvik (ESS = Error Sum og Squares):

Minimer ESS = ei2

Prediksjonsfeilen ei = [Yi Ŷi] er avviket mellom observert (Y) og predikert (Ŷ) kost-nad. Avviket kvadreres for at positive og negative avvik ikke skal oppheve hver-andre. Predikert verdi Ŷ = b0 + b1X1 (der forklaringsvariabelen X1 er produksjonen) bestemmes ved å velge b0 og b1 slik at ESS blir minst mulig.

Finne regresjonslinjen uten regresjonsanalyse.

Parametrene b0 og b1 som minimerer sum kvadrerte prediksjonsfeil kan finnes ana-lytisk, dvs. det kan utledes formler som beregner optimale parameterverdier slik at prediksjonsfeilene blir minimert. Regresjonsanalysen benytter seg av disse formlene.

S I M U L E R I N G

A V D A T A

Normalfordelt

produksjon

= 10.000 stk.

= 2.500

Normalfordelt

kostnad :

Faste = 250.000,-

Variabel = 75,-

= /100

Standardavviket er

ikke konstant, men

proporsjonal med

forventningen.

R E G R E S J O N

Velg regresjonspara-

metrene b0 og b1 slik

at :

Minimer ESS = ei2

ei = [Yi Ŷi]

Ŷ = b0 + b1X1

Kostnad

671300

771300

871300

971300

1071300

1171300

1271300

1371300

1471300

5600 7600 9600 11600 13600 15600


2 - 4

Imidlertid kan en se på problemet med å tilpasse en linje best mulig til punktene i diagrammet som et optimeringsproblem der en forsøker å minimere avvikene mel-lom linjen og punktene. Disse avvikene kan måles på mange måter; et rent avvik, absolutt avvik, kvadrert avvik, etc. Om en velger å minimere sum kvadrerte avvik, får en selvsagt samme løsning som om en benytter regresjonsanalyse.

FIGUR 2-2. Regresjonslinjeberegning basert på utgangspunktet for de simulerte data.

De predikerte verdiene i FIGUR 2-2 er basert på de kostnadene som lå til grunn for simuleringen av datasettet. Det er imidlertid ikke sikkert at disse verdiene gir minst prediksjonsfeil, selv om de kan betraktes som “de sanne” verdiene; β0 = 250.000 og β1 = 75. Om vi bruker Solver til å velge b0 [G1] og b1 [I1] slik at sum kvadrerte avvik [I15] blir minimert, får vi isteden løsningen : b0 = 237.491,7 og b1 = 75,75. I så fall blir sum kvadrerte avvik redusert til 874.298.774. Se FIGUR 2-3. En mindre sum finnes ikke, og disse estimatene gir altså mindre prediksjonsfeil enn “de sanne” ver-diene.

Dette illustrerer regresjonsanalysens dilemma, estimeringen av regresjonslinjen gir kun estimater for parametrene, ikke “de sanne” verdiene. Vi kan sogar risikere at “de sanne” verdiene ligger utenfor konfidensintervallene vi vanligvis benytter. For å kunne konstruere konfidensintervall og angi sannsynlighetsanslag for våre estimater og prediksjoner, må vi imidlertid benytte regresjonsanalysen, Solver gir oss ikke slike muligheter.

S O L V E R

Regresjonsparametrene

kan finnes med Solver,

uten bruk av

regresjonsanalyse.

E S T I M A T E R

Regresjonslinjen finner

kun estimater (bi) for re-

gresjonslinjen, ikke de

sanne verdiene βi.


2 - 5

FIGUR 2-3. Regresjonslinjeberegning basert på Solver, med optimale regresjonsparametre.

Regresjonsanalysen i Excel.

For å kunne benytte regresjonsanalyse i Excel må Analysis ToolPak være installert fra listen over add-in programmer. Når den er installert, finnes Regresjon under To-ols menyen i Data Analysis modulen.

FIGUR 2-4. Angivelse av data i regresjonsanalysen.

R E G R E S J O N

Finnes i Data Analysis un-

der Tools menyen i Excel.

Hvis den mangler må

Analysis Toolpak

installeres fra Add-Ins

som finnes under Tools

Vi må angi hvor Y-verdiene er i regnearket, og til-svarende hvor X-verdiene er. Hvis vi tar med navn (Labels) må vi krysse av for dette.

Det er angitt at re-gresjonsanalysen skal legges på et eget ark, kalt Re-sultat.


2 - 6

A B C D E F G

1 SUMMARY OUTPUT

2

3 Regression Statistics

4 Multiple R 0,999423623

5 R Square 0,998847578

6 Adjusted R Square

0,998732336

7 Standard Error 9350,394505

8 Observations 12

9

10 ANOVA

11 df SS MS F Significance F

12 Regression 1 7,57788E+11 7,57788E+11 8667,380201 5,00456E-16

13 Residual 10 874298774 87429877,4

14 Total 11 7,58662E+11

15

16 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

17 Intercept 237491,7343 8453,150763 28,09505484 7,58125E-11 218656,9374 256326,5311

18 Produksjon 75,74557079 0,813604457 93,09876584 5,00456E-16 73,93274678 77,5583948

TABELL 2-2. Resultatet fra regresjonsanalysen i Excel.

Siste del av TABELL 2-2 angir regresjonsparametrene; i kolonnen Coefficients. Der lis-tes først verdien for Intercept = b0 ≈ 237.491,73; deretter koeffisienten for X1 (Produk-

sjon) = b1 ≈ 75,75. Regresjonslinjen blir derfor :

Estimert verdi : Ŷ = b0 + b1X1 = 237.491,73 + 75,75X1

For å teste hvor godt regresjonslinjen passer dataene kan vi se på determinasjons-

koeffisienten, R2. Den er angitt i første del av TABELL 2-2 som R Square. Den angir hvor stor del av variasjonen i kostnadene som er forklart via regresjonslinjen. Her har vi altså fått forklart 0,9988 eller 99,88% av variasjonene i den avhengige variabe-len. Totalvariasjonen for den avhengige variabel Y er beregnet som:

Total Sum of Squares: TSS = ∑(Yi − Y )2 hvor Y er gjennomsnittsverdi Y.

Variasjonen som regresjonslinjen kan forklare er beregnet som :

Regression Sum of Squares: RSS = ∑(Ŷi − Y )2

Estimeringsfeilene, slik vi har målt variasjonen i Y som regresjonslinjen ikke kan forklare, dvs. sum kvadrerte avvik som vi har minimert :

Error Sum of Squares: ESS = ∑(Yi−Ŷi)2

Vi har følgende sammenheng mellom disse avvikene:

TSS = RSS + ESS

Determinasjonskoeffisienten er definert slik :

Determinasjonskoeffisienten : R2 = RSS/TSS = 1 − ESS/TSS

R 2

Determinasjons-

koeffisienten R2

Angir andelen av va-

riasjonen i den

avhengige variabel

som er forklart via

regresjonsligningen

R2 = RSS/TSS

Alltid en verdi

mellom 0 og 1.


2 - 7

Vi finner igjen RSS i ANOVA delen (ANalysis Of VAriance) av TABELL 2-2 i kolonnen SS (Sum of Squares) i linjen for Regression : RSS = 7,57788E+11. På samme måte finner vi ESS i linjen for Residual (error) : ESS = 874298744. Denne størrelsen var det vi også minimerte ved hjelp av Solver (se FIGUR 2-3). Og TSS er angitt i linjen for Total : TSS = 7,58662E+11.

Den multiple korrelasjonskoeffisienten R angir hvor sterkt lineær samvariasjon det er mellom faktisk og estimert verdi for den avhengige variabelen. En perfekt positiv

lineær korrelasjon gir verdien +1, og en perfekt negativ korrelasjon gir verdien 1, mens ingen lineær sammenheng gir verdien 0. Determinasjonskoeffisienten R2 er lik korrelasjonskoeffisienten R opphøyd i andre : R2 = (R)2 . Den multiple korrelasjons-koeffisienten R er angitt øverst i TABELL 2-2 under Regression Statistics, i linjen for Multiple R, og er lik 0,9994.

Den justerte determinasjonskoeffisienten R2a = 1 (ESS/TSS)[(n1)/(nk)] tar

hensyn til antall forklaringsvariabler som benyttes i regresjonsanalysen. Her er n = antall observasjonspar av verdier, og k = antall parameter som estimeres i regresjonsligningen. h = antall forklaringsvariabler. Merk at k er lik antall forklaringsvariabler pluss konstantleddet. R2

a kan også skrives

Den justerte determinasjonskoeffisienten R2a = 1 [(n1)/(nk)](1R2)

og vil alltid være mindre eller lik R2. Ettersom R2 alltid vil øke (eller forbli uendret) ved å ta inn flere forklaringsvariabler i regresjonsanalysen, er ikke R2 et godt mål på om regresjonsanalysen er bedre eller dårligere med flere forklaringsvariabler. Den justerte determinasjonskoeffisienten derimot kan reduseres som følge av flere for-klaringsvariabler, og indikerer derfor om nye forklaringsvariabler har hatt en gunstig effekt (sammenlignet med regresjonsanalysen uten den ekstra forklaringsvariabelen). Denne størrelsen er angitt i TABELL 2-2 under Regression Statistics, i linjen for Adjusted

R Square, og er lik 0,9987.

Ulempen med alle disse målene er at de er subjektive, dvs. hva som er gode eller dårlige verdier for R, R2 og R2

a må baseres på skjønn. Men i ANOVA delen av TABELL

2-2 er F -verdien beregnet. Der har vi i kolonnen for MS (Mean Square) :

Mean Squared Regression : MSR = RSS/(k1) = RSS/df = 7,57788E+11

Mean Squared Error : MSE = ESS/(nk) = ESS/df = 87429877,4

hvor df angir antall frihetsgrader (degrees of freedom), angitt i kolonnen df. Hvis alle stigningskoeffisientene i regresjonslinjen egentlig er 0, dvs. β1,… βh = 0 så følger F -

verdien en F -fordeling med (k1) frihetsgrader i teller og (nk) frihetsgrader i nev-ner. F -verdien er angitt i kolonnen for F i ANOVA delen av TABELL 2-2:

F -verdi : F = MSR/MSE = 8667,38; F - fordelt med hhv. 1 og 10 frihetsgrader.

I kolonnen Significance F er sannsynligheten for å observere en mer ekstrem verdi på

F hvis nullhypotesen (alle β1,… βh = 0) er riktig beregnet til 5,0045E16. I praksis betyr en så lav verdi at vi for vanlige signifikansnivå kan forkaste nullhypotesen og akseptere den alternative hypotesen om at minst en av stigningskoeffisientene er for-skjellig fra null. Med bare en forklaringsvariabel betyr det at vi aksepterer hypotesen om at β1 ≠ 0. (Det er ikke fornuftig å operere med et presisjonsnivå på særlig mer

R

Multippel korrelasjons-

koeffisient R

Alltid en verdi

mellom 1 og +1.

R 2a

Justert determinasjons-

koeffisient R2a

Tar hensyn til antall

forklaringsvariabler

Kan bli redusert ved

innføring av nye


F

F -verdien tester om alle

stigningskoeffisientene i

regresjonslinjen er 0.

Kan angi sannsynlig-

hetsanslag for

F -verdien

Kan foreta

signifikanstest av

F -verdien

(Funksjonen FINV)


2 - 8

enn 4 desimaler i regresjonsanalysen; 5E16 er for de fleste praktiske formål lik 0,0000.)

Vi kan via funksjonen FINV i Excel beregne nedre kritiske verdi som F kan ha for at vi skal kunne forkaste nullhypotesen. Funksjonen har følgende syntaks :

FINV(signifikansnivå, frihetsgrader teller, frihetsgrader nevner)

Om vi ønsker 5% signifikansnivå (5% sjanse for feilaktig å forkaste nullhypotesen), dvs. 95% konfidensnivå, får vi :

FINV(5%, 1, 10) = 4,9646; nedre kritiske verdi ved 5% signifikansnivå og 1 frihets-grad i teller og 10 frihetsgrader i nevner. Ettersom F -verdien er over 8000 overstiger vi nedre grense med god margin, og kan forkaste nullhypotesen.

Test av regresjonslinjens tilpassing.

Alle disse størrelsene; R, R2, R2a og F -verdien indikerer på forskjellig vis hvor godt

regresjonslinjen passer dataene. Den første testen bør imidlertid være å plotte data-ene i scatterdiagram, for å få et visuelt inntrykk av om det er en lineær sammenheng mellom hver uavhengig variabel og den avhengige variabel. Med bare en forklarings-variabel får vi kun et diagram:

FIGUR 2-5. Scatterdiagram med trendlinje.

En slik visuell test er nyttig for å kunne underbygge antagelsen om lineæritet. Vi ser at figuren bekrefter de høye verdiene på korrelasjonskoeffisienten R, determinasjons-koeffisienten R2 og den høye F -verdien.

Utgangspunktet for regresjonsanalysen bør være en hypotese om hva som er årsaken til variasjonene i kostnadene. Regresjonsanalysen kan kun påvise statistiske samva-riasjoner – ikke årsakssammenhenger – men vi kan bruke regresjonsanalysen til å teste vår hypotese om en bestemt sammenheng mellom kostnadene og produksjons-volum. En plausibel antagelse er at kostnaden Y består av en fast kostnad β0 pr. må-ned; og en variabel kostnad, proporsjonal med produksjonskvantumet : β1X1. X1 angir produksjonskvantumet i en måned. Hypotesen er altså :

Kostnad Y = β0 + β1X1 + ε ε = tilfeldig avvik

H Y P O T E S E

Utgangspunktet for

regresjonsanalysen bør

være en hypotese om sam-

menhengen mellom den

avhengige og de

uavhengige variablene.

Regresjonsanalysen brukes

så til å teste hypotesen.

Kostnad

671300

771300

871300

971300

1071300

1171300

1271300

1371300

1471300

5600 7600 9600 11600 13600 15600


2 - 9

Regresjonsanalysen har gitt oss følgende estimater :

Estimert kostnad : Ŷ = b0 + b1X1 = 237.491,73 + 75,75X1

Det vil imidlertid være feil å anta at månedlige faste kostnader er kr. 237.490,-. Re-gresjonsanalysen er nemlig kun gyldig innenfor det intervall vi har observasjoner, i dette tilfellet er regresjonsanalysen kun gyldig for månedlige produksjonskvanta som ligger mellom 5.600 og 15.600 stk. Vi kan IKKE ut ifra regresjonsanalysen beregne kostnadene ved en månedlig produksjon på 0 stk. Vi kan nemlig ikke utelukke at kostnadsfunksjonen er ikke-lineær eller at det er sprangvise faste kostnader i området under 5.600 stk, ettersom vi ikke har noen observasjoner i dette området som kan underbygge regresjonslinjen.

Vi kan imidlertid trygt anta at de variable enhetskostnadene er kr. 75,75 i det gjeldene området, og vi kan også med stor sikkerhet beregne de totale kostnadene.

Signifikansutsagn for regresjonslinjens estimater.

I motsetning til når vi bruker Solver til å finne parametrene i regresjonsligningen så får vi når vi benytter regresjonsanalyse i tillegg også angivelse av påliteligheten av våre estimater. I første del av TABELL 2-2, Regression Statistics, er regresjonslinjens stan-dardavvik (Standard Error) beregnet :

Regresjonslinjens standardavvik )( kn

ESSse = MSE = 9.350,39

Standardavviket til estimeringsfeilene måler spredningen av de faktiske dataene rundt regresjonslinjen. Denne størrelsen brukes også for å beregne standardavviket til re-gresjonsparametrene.

Hvis feilleddet i regresjonsligningen, ε, er normalfordelt, så vil også estimatene for

regresjonsparametrene, bi, være normalfordelt : bi N(βi, σi). Et estimat for standard-avviket til regresjonslinjens helning, σ1, vil være :

Standardavviket til b1 : XSS

ss e1 = 0,8136

Standardavvikene til koeffisientene er angitt i siste del av TABELL 2-2 i kolonnen for Standard Error. Størrelsen XSS blir ikke listet ut, men er beregnet slik :

X Sum of Squares: XSS = ∑(X1 − X 1)2

Ved hjelp av standardavvikene til parameterne kan vi angi konfidensintervall via t -tester. Disse t - verdiene er angitt i kolonnen t Stat i siste del av TABELL 2-2 :

t -verdi for b1 : t1 = b1/s1 = 93,0987

t -verdien er fordelt etter en Student t -fordeling med (nk) frihetsgrader. Nullhypo-tesen er at koeffisienten β1 = 0. Merk at t -fordelingen er symetrisk. Vi kan finne

nedre kritiske t -verdi ved et ønsket signifikansnivå (tdf

) via funksjonen TINV :

G Y L D I G H E T

Regresjonsanalysen gjelder

kun innenfor de verdier vi

har observasjoner

b0 vanligvis ikke lik

de faste kostnadene

P Å L I T E L I G

Regresjonsanalysen gir oss

mulighet til å angi hvor

pålitelige våre estimater er:

b0, b1, …,bh.


2 - 10

TINV(signifikansnivå α, antall frihetsgrader df)

Og vi får i vårt tilfelle når vi ønsker 5% signifikansnivå (95% konfidensnivå) :

TINV(5%, 10) = 2,2281

Vi ser at den beregnede t -verdien på vel 93 klart overstiger nedre kritiske verdi på 2,2281 ved 5% signifikansnivå, og vi kan derfor forkaste nullhypotesen om at koef-fisienten β1 = 0.

I kolonnen P-value i siste del av TABELL 2-2 er det angitt sannsynligheten for å ob-servere et utfall som er mer ekstrem enn den observerte t -verdien hvis nullhypotesen

er riktig. Denne p -verdien er her i praksis null (5E16). For en regresjonsanalyse med bare én forklaringsvariabel (enkel regresjonsanalyse) er F -testen for hele regre-sjonsligningen og t -testen av stigningskoeffisienten β1 identisk.

Vi kan konstruere konfidensintervall for de variable kostnadene, dvs. b1. Generelt konstrueres konfidensintervallene som :

Konfidensintervall : estimat tdf

estimatets standardavvik

Konfidensintervallet for b1 ved 5% signifikansnivå blir da : 75,75 2,22810,8136 = [73,94; 77,56]. Disse verdiene er angitt nederst til høyre i TABELL 2-2, i kolonnene Lower 95% og Upper 95%. Vi kan konkludere med at i 95% av tilfellene vil konfidens-intervaller konstruert på denne måten inneholde den sanne parameterverdien β1.

Når vi skal foreta tilsvarende beregninger for β0 er eneste forskjell i forhold til β1 at estimatet på standardavviket beregnes litt annerledes :

Standardavviket til b0 : XSS

Xss e

2

0 = 8453,15

t -verdien beregnes på samme måte :

t -verdi for b0 : t0 = b0/s0 = 28,095

Vi får da konfidensintervallet for de faste kostnadene til å bli :

237.491,73 ± 2,22818453,15 = [218.656,93; 256.326,53]. Men husk at vi har ingen observasjoner som kan underbygge dette forholdet.

K R I T I S K

t - V E R D I

Kan beregne kritiske

nedre grense for et ønsket

signifikansnivå : tdf

K O N F I D E N S

I N T E R V A L L

Vi kan angi påliteligheten i

form av øvre og nedre

grenser på våre estimater :

b0 tdf s0

b1 tdf s1

Vi kan også angi

konfidensintervall for pre-

diksjoner :

Ŷp tdf

sp


2 - 11

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R R Multippel korrelasjonskoeffisient

R Square R2 Determinasjonskoeffisient

Adjusted R Square R2a Justert determinasjonskoseffisient

Standard Error se Regresjonens standardavvik

Observations n Antall observasjoner

h Antall forklaringsvariabler

ANOVA k Antall estimerte parametre

df SS MS F Significance F

Regression h RSS MSR F p

Residual n–k ESS MSE

Total n–(k–h) TSS

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept b0 s0 t0 p0 b0 – tn–k5%s0 b0 + tn–k

5%s0

Produksjon b1 s1 t1 p1 b1 – tn–k5%s1 b1 + tn–k

5%s1

TABELL 2-3. Symbolene for resultatene av regresjonsanalysen i TABELL 2-2.

Signifikansutsagn for prediksjoner.

Når vi foretar prediksjoner er det ofte ønskelig å vite hvor nøyaktige prediksjonene er. Vi må imidlertid være oppmerksomme på at prediksjoner bare er gyldige innenfor de verdier vi har observasjoner for. Vi kan i vårt tilfelle bare estimere kostnader for en produksjon mellom 5.600 og 15.600 stk. Vi har ingen observasjoner utenfor dette intervallet, og kan derfor ikke utelukke en ikke-lineær kostnadsutvikling eller sprang-vise faste kostnader utenfor dette intervallet.

Det betyr imidlertid ikke at vi ikke kan estimere de variable kostnadene for en enkelt ordre på f.eks. 100 stk. En månedlig produksjon på 10.000 stk. består ikke av en enkeltordre på 10.000 stk, men heller 100 små ordrer på 100 stk. Vi har estimert de variable kostnadene foregående år til å være kr. 75,75 og med et konfidensintervall på [73,94; 77,56]. En kan derfor bli fristet til anslå de variable kostnadene for en enkeltordre på 100 stk. til å ligge i intervallet [7.394,-; 7.756,-], med forventet verdi på kr. 7.575,-. Dette intervallet er imidlertid for snevert i forhold til vårt ønskede konfidensnivå på 95%, ettersom vi nå lager en prediksjon. Konfidensintervall for

estimatene basert på datasettet er forskjellig fra konfidensintervall for predik-

sjoner basert på regresjonslinjen.

Om vi ønsker å beregne et konfidensintervall for en prediksjon av både faste og variable kostnader basert på regresjonslinjen må vi gå mer grundig til verks. Vi må da først beregne standardavviket til prediksjonen :

Prediksjonens standardavvik XSS

XX

nss

p

ep

2)(11

Xp = predikert verdi for den uavhengige variabelen.

Konfidensintervall Ŷp: Ŷp tdf

sp Ŷp = b0 + b1Xp

P R E D I K S J O N

Kan predikere variable

kostnader for enkeltord-

rer, selv om aktivitetsni-

vået for en enkelt ordre er

mindre enn minste obser-

vasjon.

E S T I M E R I N G

Etterkontroll (estimering)

av kostnader for enkelt-

ordrer tilsvarer prediksjo-

ner av kostnader for nye

ordrer hvis en benytter de

samme regresjonspara-

metrene til begge deler.


2 - 12

Regresjonsanalysen i Excel gir ikke noen enkel måte å beregne sp på, så denne for-melen må vi konstruere selv. Et regneark som foretar beregninger av konfidensin-tervall for prediksjoner basert på regresjonsanalyse, kan f.eks. se slik ut :

FIGUR 2-6. Beregning av konfidensintervaller ved prediksjon basert på regresjonsanalyse.

Som vi ser så vil sp alltid være større enn se, men avviket er lite når n er stor og pre-dikert verdi Xp er nær gjennomsnittsverdien for X. Om vi ønsker å predikere totale kostnader i en måned der produksjonen er totalt 10.000 stk. (Xp = 10.000) får vi :

Ŷp = b0 + b1Xp = 237.491 + 75,7510.000 = 994.947,-

Og konfidensintervallet for prediksjonen ved 5% signifikansnivå blir :

Ŷp ± tdf

sp = 994.947 2,22819.733,01 = [973.261,-; 1.016.634,-]

Vi beregnet tidligere konfidensintervallet for de faste kostnadene til å bli :

237.491,73 ± 2,22818.453,15 = [218.656,93; 256.326,53] Dette er et estimat på de faste kostnadene pr. måned foregående år. Om vi predikerer kostnadene ved en produksjon Xp = 0 basert på regresjonsligningen får vi :

Ŷp ± tdf

sp = 237.492 ± 2,228112.604,98 = [209.406,-; 265.577,-]

Dette konfidensintervallet for prediksjonen av de faste kostnadene ser vi er større enn estimatet på de faste kostnadene, og illustrerer at konfidensintervall for predik-sjoner er større enn konfidensintervall for estimater. Dessuten vil prediksjoner uten-for datagrunnlaget vårt være tvilsomme, noe som gir store konfidensintervall.

K O N F I D E N S

I N T E R V A L L

Konfidensintervall for

prediksjoner basert på re-

gresjonslinjen er større

enn konfidensintervall for

estimatene av parametrene

i regresjonslinjen basert på

datasettet.


2 - 13

A B C D E F

1 Måned Produksjon Kostnad Estimat Fra regresjonsanalysen

2 Januar 5619 671310 =Faste+Variable*B2 Faste =Resultat!B17

3 Februar 16310 1474102 =Faste+Variable*B3 Variable =Resultat!B18

4 Mars 8366 867658 =Faste+Variable*B4 n =Resultat!B8

5 April 13087 1243084 =Faste+Variable*B5 Se =Resultat!B7

6 Mai 14748 1350415 =Faste+Variable*B6

7 Juni 10472 1030318 =Faste+Variable*B7 t =TINV(5%;Resultat!B13)

8 Juli 6168 702853 =Faste+Variable*B8

9 August 10178 1018572 =Faste+Variable*B9

10 September 6952 766386 =Faste+Variable*B10

11 Oktober 8787 902111 =Faste+Variable*B11

12 November 10933 1044652 =Faste+Variable*B12

13 Desember 6530 727779 =Faste+Variable*B13

14 Snitt =AVERAGE(B2:B13)

15 XSS =n*VARP(B2:B13)

16 95% konfidensintervall

17 Måned Produksjon Estimat Sp Nedre Øvre

18 Prediksjon 10000 =Faste+Variable*B18 =se*SQRT(1 + 1/n + (B18-Snitt)^2/XSS)

=C18-t*D18 =C18+t*D18

19 Prediksjon 0 =Faste+Variable*B19 =se*SQRT(1 + 1/n +

(B19-Snitt)^2/XSS) =C19-t*D19 =C19+t*D19

TABELL 2-4. Definisjon av regnearket i FIGUR 2-6.

FIGUR 2-7 illustrerer sammenhengen mellom prediksjonene og konfidensinterval-lene for prediksjonene :

FIGUR 2-7. Regresjonslinjen og konfidensintervall for prediksjoner.

K O N F I D E N S

I N T E R V A L L E T

Smalest for prediksjoner

nær gjennomsnittet

Ŷlav

Ŷhøy

Ŷp

Xp X

b0

Produksjon

X

Kostnad

Y

Regresjonslinjen :

Y = b0 + b1X

Øvre del av konfi-

densintervallene

Nedre del av konfi-

densintervallene

Dataobservasjoner


2 - 14

Teste regresjonslinjen basert på nye observasjoner.

En viktig forutsetning for regresjonsanalysen er at det bakenforliggende forhold som analysen skal forsøke å avdekke er konstant. I vårt tilfelle betyr det at sammenhengen mellom kostnadene og produksjonsvolum er den samme hver måned. Vi kan ikke ha eksterne effekter som inflasjon eller interne effekter som f.eks. produktivitetsend-ringer eller nyinvesteringer i produksjonsutstyr. Dette vil i så fall bety at sammen-hengen mellom kostnadene og produksjonsvolum ikke er konstant, og regresjons-analysen vil ikke være i stand til å estimere den sanne sammenhengen.

Anta f.eks. at kostnadene i Januar var kr. 964.307,- og at produksjonen var 9.223 stk. Er dette i samsvar med de regresjonsparametrene vi har estimert, eller har det vært et skift i den bakenforliggende sammenhengen mellom produksjonsvolum og kost-ander ?

Ved en produksjon på 9.223 stk. gir regresjonslinjen en predikert kostnad på kr. 936.093,-mens prediksjonens standardavvik blir 9.745,38. Dette gir en observert t -verdi på :

t = [Y Ŷp]/sp = [964.307 936.093]/9.745,38 = 2,90

Dvs. den observerte verdien ligger 2,90 standardavvik fra den predikerte verdien. Sannsynligheten for å observere en verdi på 2,9 standardavvik eller mer fra den pre-dikerte verdien er lik 0,0159. Dvs. det er mindre enn 1,6% sannsynlighet for å obser-vere en så stor eller større kostnad ved en produksjon på 9.223 stk. Ved 5% signifi-kansnivå kan vi derfor ikke akseptere at den observerte verdien samsvarer med pa-rametrene i regresjonsligningen.

For å finne sannsynligheten til en observert t -verdi, kan en i Excel benytte funksjo-nen TDIST, som har følgende syntaks :

TDIST(observert t -verdi; frihetsgrader df; haler)

hvor ”observert t -verdi” er [Y Ŷp]/sp, og ”frihetsgrader df” er antall frihetsgrader

(nk), og ”haler” er enten 1 eller 2 avhengig av om en foretar en enhale eller tohale test.

Vi kan også komme til samme konklusjon om vi sammenligner den observerte t -verdien på 2,9 med den nedre kritiske t -verdien på 2,228 som vi beregnet ved 5% signifikansnivå og 10 frihetsgrader. Vi ser at den observerte t -verdien overstiger denne nedre kritiske grensen.

Eller vi kan lage konfidensintervall for prediksjonen på vanlig måte. I så fall vil vi få et intervall på [914.379,-; 957.807,-]. Vi ser at den observerte kostnaden på 964.307,- ligger utenfor konfidensintervallet for 5% signifikansnivå.

Analysen gir derfor grunn til å anta at det har skjedd endringer i kostnadsstrukturen som gjør at regresjonsanalysen basert på fjorårets data kanskje ikke lenger er gyldig. Men før en forkaster regresjonsestimatene bør en undersøke om det har vært spesi-elle forhold, f.eks. produksjonsuhell, som kan være årsak til avviket.

F O R U T S E T T E R

En stabil og kontinuerlig

sammenheng mellom den

avhengige og de

uavhengige variablene.

T E S T

Sannsynligheten for å ob-

servere en så stor t -verdi

som den observerte må

være mindre enn

ønsket signifikansnivå α.


2 - 15

Nullpunktsanalyser og regresjon.

Av og til kan en av grunnene for å foreta kostnadsestimering være å kunne gjøre nullpunktsanalyser. Anta f.eks. at produktet har en salgspris P lik kr. 100,- pr. stk. Hvor stor er nullpunktsomsetningen XNull pr. måned ?

Nullpunktet er den omsetningen som gir null i resultat, dvs. at inntekten er like stor som kostnadene :

PXNull = b0 + b1XNull 100XNull = 237.491,73 + 75,75XNull XNull ≈ 9.792

Våre estimater fra regresjonslinjen gir altså en nullpunktsomsetning på 9.792 stk.

FIGUR 2-8. Regresjonslinjen brukt ved nullpunktsanalyser.

FIGUR 2-8 viser at konfidensintervallet for nullpunktet må bestemmes slik at nedre og øvre grenseverdi fra konfidensintervallet for kostnadene er like stor som inntek-ten. Vi må altså finne Xlav og Xhøy ut fra følgende ligninger :

lavlav

edflavXP

XSS

XX

nstXbb

2

10

)(1

høy

høy

edfhøyXP

XSS

XX

nstXbb

2

10

)(1

N U L L P U N K T

XNull = b0/(Pb1)

Husk : XNull=FK/db

K O N F I D E N S

I N T E R V A L L

ŶLav tαdf · sp Lav =

P·XLav

ŶHøy + tαdf · sp Høy =

P·XHøy

Xlav Xhøy

ŶNull

XNull

b0

Produksjon

X

Kostnad

Y

Regresjonslinjen :

Y = b0 + b1X

Inntekt :

100X


2 - 16

I et regneark kan vi bruke Goal Seek for å finne de verdiene vi søker, etter at vi har spesifisert ligningene, men Goal Seek kan bare løse en ligning i gangen. Om vi bruker Solver kan vi løse alle tre ligningene samtidig :

FIGUR 2-9. Beregning av nullpunkt pr. måned med øvre og nedre konfidensintervall.

Som restriksjoner til Solver har vi satt at hhv. estimert kostnad, nedre verdi i konfi-densintervallet, og øvre verdi i konfidensintervallet skal være lik tilhørende inntekt. Beslutningsvariabler er produsert mengde. Følgende informasjon er gitt til Solver :

FIGUR 2-10. Angivelse av beslutningsvariabler og restriksjoner for nullpunktsanalyser.

Vi får altså følgende konfidensintervall for nullpunktsomsetningen i stk. pr. måned:

XNull = 9.792 med nedre og øvre verdi : [9.543; 10.040].

Fra FIGUR 2-9 ser vi at inntekten er lik estimert kostnad ved en mengde lik 9.792, mens inntekten er lik nedre grense for konfidensintervallet for en mengde lik 9.543 og inntekten er lik øvre grense for konfidensintervallet for en mengde lik 10.040. Dette gir oss altså konfidensintervallet for nullpunktsomsetningen pr. måned, etter-som analysen bygger på månedlige data.

R E S T R I K S J O N

Nullpunkt :

Estimert kostnad

= Inntekt

Nedre konfidensin-

tervallgrense :

Estimert kostnad XLav

= Inntekt XLav

Øvre konfidens-

intervallgrense :

Estimert kostnad XHoy

= Inntekt XHøy


2 - 17

Nullpunktsanalyser fra måned til årsbasis.

Regresjonsanalysen vi har foretatt er basert på månedsdata. I tillegg til nullpunkts-analyser pr. måned, kan ledelsen også være interessert i nullpunktsanalyser for hele året samlet.

Vi beregnet nullpunktsomsetningen pr. måned til å være 9.792 stk. som tilsvarer 12∙9.792 = 117.504 stk. pr. år. Dette kan vi også finne direkte fra regresjonslinjen om vi husker på å multiplisere de faste kostnadene pr. måned med antall måneder :

PXNullÅr = 12∙b0 + b1XNull

År 100XNullÅr = 12∙237.491,73 + 75,75XNull

År

XNull ≈ 117.500 (forskjell p.g.a. avrundingsfeil.)

FIGUR 2-11. Beregning av nullpunkt pr. år med øvre og nedre konfidensintervall.

Vi ser i FIGUR 2-11 at vi får et konfidensintervall for nullpunktsomsetningen som strekker seg fra en årsproduksjon på vel 114.500 stk. til knapt 120.500 stk. pr. år. Men vær obs. på at vi ikke kan multiplisere nedre og øvre grense for konfidensintervallet pr. måned med 12 for å finne tilsvarende grenser pr. år. Formelen for konfidensin-tervallet er ikke lineær, og vi må nå benytte formlene :

År

lav

År

lavedf

År

lav

mnd XPXSS

XX

nstXbb

2

10

)(112

År

høy

År

høy

edf

År

høy

mnd XPXSS

XX

nstXbb

2

10

)(112

Merk at vi her beveger oss langt utenfor gyldighetsområdet for regresjonsanalysen. Vi gjorde også det da vi benyttet oss av regresjonsanalysen for å estimere kostnadene for en enkelt ordre på f.eks. 100 stk. Da argumenterte vi for at månedsproduksjonen normalt besto av slike enkeltordrer, som i sum ga et kvantum som ligger innenfor regresjonens gyldighetsområde. Her har vi i tillegg beveget oss utenfor tidsdimensjo-nen, og får derved også i tillegg problemer med konstantleddet. Nullpunktet på års-basis kan vi finne, men får problemer med usikre konfidensintervall.

N U L L P U N K T

Nullpunkt pr år :

XNullÅr =

12 XNullmnd

XNullÅr =

12 b0 /(Pb1)

K O N F I D E N S

I N T E R V A L L

XLavÅr

≠ 12 XLavmnd

XHøyÅr

≠ 12 XHøymnd


2 - 18

FIGUR 2-12. Regresjonslinjen og nullpunkt pr. år med ingen øvre og nedre konfidensintervall.

Vi kan sogar risikere å ikke finne noe nedre eller øvre grense for konfidensintervallet, spesielt hvis prediksjonens standardavvik er stort. Dette er illustrert i Error! Refer-ence source not found.. Her ser vi at linjen for inntektene hverken skjærer kurven for nedre eller øvre konfidensintervall. Det kan selvsagt tenkes situasjoner der inn-tektsfunksjonen bare krysser nedre eller bare krysser øvre konfidensintervall, men ikke begge. Selv om vi kan finne nullpunktet er vi altså ikke garantert at det finnes et lukket konfidensintervall for nullpunktsomsetningen. Vi kan f.eks. oppleve følgende:

FIGUR 2-13. Ikke lukket konfidensintervall, forskjellig fra måned til år.

N U L L P U N K T E T

Det kan hende at det ikke

eksisterer nedre eller øvre

grenser for konfidensin-

tervallet til

nullpunktsomsetningen.

Nullpunkt pr. år.

Ingen øvre

konfidensinter-

vall

Nullpunkt pr. mnd.

Ingen nedre

konfidensintervall

ŶNull

XNull

12b0

Produksjon

X

Kostnad

Y

Regresjonslinjen :

Y = 12b0 + b1X

Inntekt :

100X


2 - 19

Momenter ved regresjonsanalyse.

Mange er ganske bevisste på de rent matematiske statistiske forutsetningene som ligger til grunn for regresjonsanalysen. Disse forutsetningene har også sterke impli-kasjoner for datagrunnlaget, og vi skal ta for oss de viktigste.

Prosedyrer i innsamlingen og bokføringen av dataene.

Prosedyrene for hvordan dataene er samlet inn og bokført kan ha stor betydning for hva slags data vi har å bygge på når vi skal foreta regresjonsanalysen. Følgende mo-menter er viktige å ta hensyn til.

Nøyaktighet og ærlighet ved innsamling av data.

Regnskapsdata er som regel objektive og nøyaktige, ettersom de blir revidert og kon-trollert. De mange regler for føring av finansregnskapet gir ikke store rom for unøy-aktigheter og skjønn. Bygger regresjonsanalysen derimot på mer uformelle produk-sjonsrapporter utenfor regnskapet må vi være mer på vakt, fordi disse er mer utsatt for feil. Ofte er de som fører rapportene ikke klar over betydningen av nøyaktighe-ten, og nøyer seg med omtrentlige data. Det er dessuten ingen uavhengig verifikasjon av dataene slik som ved en revisjon av finansregnskapet. I tillegg kan en ofte bli fristet til å føre de mest gunstige data og ikke de mest korrekte data, spesielt hvis rapporten også benyttes til å evaluere den som rapporterer. Unøyaktige data kan medføre at regresjonsanalysen ikke greier å avdekke eller feiltolker den underliggende sammen-hengen i dataene.

Regnskapsmessige prosedyrer.

Regresjonsanalysen krever sammenligninger av samhørige tallpar. Det betyr bl.a. :

Nøyaktige tidsavgrensinger

Lik tidsperiode for alle data

Ingen vilkårlig kostnadsfordeling av felles kostnader Om det f.eks. har skjedd en gal tidsavgrensing i mai måned, så kan det i regnskapet være tilstrekkelig å korrigere neste måned uten konsekvenser for årsregnskapet. Imidlertid vil dette føre til to feil i regresjonsanalysen, ettersom både mai og juni vil inneholde gale tall.

Det kan også være et problem at vi for enkelte variabler har månedlige data, mens for andre variabler finnes bare kvartalsvise data. Da må i så fall alle data gjøres om til kvartalsdata.

Et annet problem er kontoinndelingen og fordelingen av felles kostnader som admi-nistrasjon, avskrivninger, etc. Hvis bokføringen inneholder bestemte prosedyrer for vilkårlig fordeling av slike felles kostnader, vil regresjonsanalysen kun avdekke disse reglene. Alle vilkårlige kostnadsfordelinger må lukes bort fra dataene før regresjons-analysen kan gi mening.

Stordriftsfordeler og læringseffekter.

Regresjonslinjen vil ikke være lineær hvis det eksisterer stordriftsfordeler eller læ-ringseffekter. Imidlertid kan slike effekter tas hensyn til ved at regresjonslinjen mo-difiseres, f.eks. ved at effekten av stordriftsfordeler måles ved en ny variabel lik kvad-rert mengde. En negativ koeffisient til en slik variabel betyr at enhetskostnaden blir mindre jo større produksjonsvolumet er.

D A T A

Nøyaktige

Korrekt

tidsavgrenset

Ingen vilkårlig

kostnadsfordeling

Ingen stordrifts- eller

læringseffekter

Stabil

produksjonsprosess

Variert aktivitetsnivå


2 - 20

Endringer i produksjonsprosessen.

Regresjonsanalysen forutsetter en stabil og kontinuerlig sammenheng mellom den avhengige og de uavhengige variablene. Hvis det har skjedd endringer i produksjons-prosessen, f.eks. nytt produksjonsutstyr, nye råmaterialer eller endrede produksjons-rutiner, så vil dette kunne endre sammenhengen mellom variablene. Slike endringer må i så fall tas hensyn til; f.eks. modellering av skift i faste kostnader med en dummy variabel, som er lik 0 i periodene med gammelt utstyr og lik 1 i periodene med nytt utstyr.

Konstant aktivitetsnivå.

Regresjonsanalysen vil fungere best om den avhengige og de uavhengige variablene er observert over et vidt spekter av verdier. Imidlertid vil en bedrift forsøke å stabi-lisere produksjonen for å unngå problemer med arbeidskraft og maskinkapasitet. I tillegg vil aggregerte data over et lengre tidsrom ofte stabiliseres på et jevnt nivå. Om produksjonen svinger fra uke til uke, så har den ofte en tendens til å jevnes ut fra måned til måned og enda mer om dataene samles kvartalsvis. Da kan vi risikere å ende opp med en regresjonsanalyse som bare er gyldig i et meget snevert intervall.

Tilpasninger til ekspansjon og innskrenkinger.

Det er ofte større vansker med å tilpasse seg innskrenkinger enn utvidelser, p.g.a. irreversible investeringer. En slik asymmetri vil medføre at det ikke er noen lineær sammenheng mellom nåværende kostnader og nåværende aktivitetsnivå. En må også ta hensyn til forhistorien bak dagens kostnadsnivå ved f.eks. å modellere endringer i produksjonsvolum som en ny forklaringsvariabel.

Valg av forklaringsvariabel.

Ofte er den mest sannsynlige forklaringsvariabelen ikke registrert i regnskapet. Da er nye registreringsrutiner påkrevet, og en kan ikke foreta regresjonsanalysen før til-strekkelige nye data er samlet inn.

Kriterier for å evaluere resultatene av en regresjonsanalyse.

Om vi kan gå god for dataene som er benyttet i regresjonsanalysen, så må vi evaluere resultatene regresjonsanalysen gir.

Er modellen logisk?

Regresjonsmodellen må være plausibel. Regresjonsanalysen måler kun samvariasjon mellom den avhengige og de uavhengige variablene, ikke årsakssammenhenger. Ana-lysen bør brukes til å stadfeste hypoteser om en underliggende prosess. I tillegg til å vurdere om det er en logisk sammenheng mellom forklaringsvariablene (de uavheng-ige variablene) og den forklarte variabelen (den avhengige variabelen), må vi også ta stilling til om det er logisk med et konstantledd.

Forklaringsevne.

Determinasjonskoeffisienten, R2, gir et grovt blide på hvor godt modellen passer til dataene, og endringen i R2

a angir om nye uavhengige variable har økt forklaringsev-nen til modellen.

Pålitelighet.

Påliteligheten av regresjonsresultatene kan måles med t- eller F- tester, både for esti-matene til koeffisientene i regresjonslinjen og for prediksjoner basert på regresjons-ligningen.

K R I T E R I E R

Logisk modell

God forklaringsevne

Pålitelige estimater


2 - 21

Spesifikasjonstester.

Vi må også teste om de statistiske forutsetningene som ligger bak pålitelighetsutsag-nene er gyldige. Husk at vi kan finne parametrene i regresjonslinjen uten bruk av regresjon. Kun når vi foretar sannsynlighetsutsagn er vi avhengige av de statistiske forutsetningene bak regresjonsanalyse.

L I N E Æ R I T E T .

Den avhengige variabelen må være en lineær funksjon av alle de uavhengige variab-lene. En første foreløpig test er å foreta plott av scatterdiagram mellom den avheng-ige og hver av forklaringsvariablene. Lineæritet er en streng forutsetning som inne-bærer at effekten på den avhengige variabelen av en endring i en uavhengig variabel ikke er påvirket av nivået på denne uavhengige variabelen eller nivået (størrelsen) på noen av de andre forklaringsvariablene. Hvis lineæritetsforutsetningen ikke holder må modellen omformuleres, eller en må benytte ikke-lineær regresjon.

F E I L L E D D E N E H A R F O R V E N T E T V E R D I 0 .

En forutsetning for t- og F- testene er at feilleddet er normalfordelt. I tillegg må vi forutsette at feilleddet har forventning lik 0, ellers har vi utelatt en forklaringsvariabel. Vi forutsetter altså at εt ~ N(0,σ2). Ettersom regresjonsanalysen gir sum feilledd lik null, er avvik fra forutsetningen vanskelig å oppdage. Imidlertid kan analyser av resi-dualene (feilleddene) i enkelte tilfeller avsløre mønstre, noe som indikerer at viktige forklaringsvariabler er utelatt.

F E I L L E D D E T H A R K O N S T A N T V A R I A N S .

Dette betyr at feilleddets varians ikke må være en funksjon av : i. Tiden (perioden) ii. Størrelsen på noen av den uavhengige variablene iii. Størrelsen på den predikerte avhengige variabelen Når alle disse betingelsene er oppfylt har vi homoskedastisitet. I motsatt fall er det heteroskedastisitet. Denne forutsetningen kan testes ved å plotte feilleddene; rangert over tid, over størrelsen på de uavhengige variablene, og over størrelsen på den pre-dikerte avhengige variabelen. Feilleddene skal da være spredt i et konstant bredt ”belte” rundt null. Hovedproblemet med heteroskedastisitet er at standardavvikene fra regresjonsligningen kan være unøyaktige.

F E I L L E D D E N E E R U A V H E N G I G E .

Hvis feilleddene er korrelerte med hverandre har vi et mindre effektivt datasett enn antatt, og våre estimat blir mindre presise enn de tilsynelatende er. Ved autokorrela-sjon vil standardavvikene underestimeres. En Durbin-Watson test vil kunne avdekke 1. ordens seriekorrelasjon, men regresjonsanalysen tillater ingen seriekorrelasjon overhode. Den vanligste årsaken til autokorrelasjon er feil spesifiserte modeller : i. Utelatelse av viktige variabler, som sesong -effekter ii. Ikke-lineær sammenheng, f.eks. p.g.a. inflasjon iii. Skift i produksjonsprosessen D E U A V H E N G I G E V A R I A B L E N E E R U K O R R E L E R T E .

Hvis to eller flere uavhengige variabler er korrelerte, så vil koeffisientene til disse variablene være upålitelige og standardavvikene store. Kolineæritet påvirker kun en-kelte koeffisienter, ikke modellens totale forklaringsevne, R2.

F E I L L E D D E N E E R N O R M A L F O R D E L T .

Forutsetningen om normalfordeling er kun nødvendig for å kunne foreta t- og F- tester. Hvis forutsetningen ikke er oppfylt vil standardavvikene være usikre, og der-ved også signifikansnivået.

S T A T I S T I S K E

F O R U T S E T -

N I N G E R

Lineæritet

Feilleddene har

forventning lik 0

Feilleddene har

konstant varians

Feilleddene er

uavhengige

Feilleddene er

normalfordelt

Ukorrelerte



2 - 22

Multippel regresjonsanalyse.

Hvis den avhengige variabelen påvir-kes av mange uavhengige variabler må vi ty til multippel regresjonsanalyse. Den er i prinsippet lik enkel regre-sjonsanalyse; vi har bare føyd til flere forklaringsvariabler. La oss se på føl-gende eksempel :

En bedrift har problemer med å be-regne produksjonskostnadene sine. De har ingen detaljerte kostnadsstu-dier å bygge på, men ønsker å kunne anslå kostnadene ut fra enkle størrel-ser som arbeidstid, maskintid, mate-rialforbruk og antall produksjonsse-rier. Dette er data som allerede i dag registreres, og bedriften har samlet da-taene for de siste 30 ukene.

Hypotesen om at produksjonskostna-dene blir påvirket av arbeidstid, ma-skintid, mengde materialforbruk og antall produksjonsserier synes å være en rimelig antakelse. Vi ønsker å bruke regresjonsanalysen til å teste om en slik sammenheng eksisterer, og hvilke kostnader hvert ledd medfører.

FIGUR 2-14. Data for multippel regre-sjonsanalyse.

FIGUR 2-15. Dialogboks for multippel regresjonsanalyse.

Om vi foretar en regre-sjonsanalyse med dataene fra FIGUR 2-14, som ang-itt i FIGUR 2-15, får vi som resultat verdiene i TABELL 2-5. Her ser vi at de faste kostnadene pr. uke er kr. 242.438,38 mens en arbeidstime medfører kostnader på kr. 99,45 og hver produksjonsserie ko-ster kr.583,75 i seriekost-nader. Imidlertid får vi det ulogiske svar at kostna-

dene blir redusert jo flere maskintimer vi benytter. Vi ser også at konfidensintervallet for koeffisienten for materialforbruk inneholder verdien 0. Det betyr at vi ikke kan

M U L T I P P E L

R E G R E S J O N S -

A N A L Y S E

Mer enn én

forklaringsvariabel


2 - 23

utelukke at den sanne verdien er lik 0. Ved 5% signifikansnivå må vi derfor akseptere nullhypotesen og anta at koeffisienten for denne variabelen er 0.

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9930

R Square 0,9860

Adjusted R Square 0,9838

Standard Error 6312,96

Observations 30

ANOVA


Regression 4 70221040671 17555260168 440,4956 8,85968E-23

Residual 25 996335736 39853429

Total 29 71217376407


Intercept 242438,38 9158,13 26,4725 8,31319E-20 223576,87 261299,89

Arbeidstimer 99,45 4,35 22,8585 2,83379E-18 90,49 108,41

Maskintimer -9,15 32,72 -0,2796 0,782068459 -76,54 58,24

Materialforbruk 19,95 13,10 1,5233 0,140235405 -7,02 46,92

Produksjonsserier 583,75 73,29 7,9648 2,54607E-08 432,81 734,70

TABELL 2-5. Resultatet fra multippel regresjonsanalyse.

Konklusjonen blir altså at denne regresjonsanalysen må forkastes, ettersom forkla-ringsvariablene maskintimer og materialforbruk ikke har koeffisienter signifikant for-skjellig fra 0. Vi må derfor kjøre en ny regresjonsanalyse, der disse variablene er ute-latt. Koeffisientene for de øvrige forklaringsvariablene og konstantleddet vil nemlig ikke være upåvirket av at vi fjerner enkelte ikke-signifikante forklaringsvariabler.

Strengt tatt burde vi bare fjerne den variabelen med størst P-verdi, og kjøre en ny regresjonsanalyse. I dette tilfellet ville det medføre en ny analyse der vi kun fjernet maskintimer som forklaringsvariabel. Det kan nemlig tenkes at i en slik analyse så ville koeffisienten for materialforbruk bli signifikant, ettersom de estimerte koeffisi-entene vil endres. Leserne oppfordres til å teste om dette faktisk er tilfelle.

Poenget er altså at vi justerer regresjonsanalysen ved å trekke fra (eller legge til) kun en variabel i gangen.

M U L T I P P E L

R E G R E S J O N

Må ta bort variabler

med ulogisk fortegn

Må ta bort variabler

med koeffisienter

som ikke er signifi-

kant forskjellig fra 0


2 - 24

FIGUR 2-16. Dialogboks for relevante data for multippel regresjonsanalyse.

I regresjonsanalysen i Excel kan en kun angi forklaringsvariablene som ett sam-menhengende område, vi må derfor ko-piere dataene til et nytt område i regnearket og slette kolonnene for maskintid og mate-rialforbruk, som i FIGUR 2-17. Vi må så kjøre regresjonsanalysen på nytt med kun disse dataene. For å teste påliteligheten av regresjonsanalysen bør en også plotte resi-dualene, dvs. feilleddene. Disse plottene kan vi få automatisk, ved å krysse av de ønskede alternativene i dialogboksen for regresjonsanalysen, slik som i FIGUR 2-16.

FIGUR 2-17. Relevante data for multippel regresjonsanalyse.

Fra TABELL 2-6 på side 25 er vi at denne modellen forklarer 98,46% av variasjonene i felleskostnadene. Vi ser også at alle koeffisientene er signifikant forskjellig fra 0, ettersom ingen konfidensintervall spenner over verdien 0. De faste kostnadene er nå estimert til å være kr. 252.792,79 mens variable kostnader pr. arbeidstime er kr. 99,36 og kostnader pr. ny produksjonsserie er kr. 573,82.

Selv om vi nå har en logisk modell med stor forklaringsevne og signifikante koeffisi-enter, må vi teste om de statistiske forutsetningene for signifikanstestene er oppfylt. Hvis disse forutsetningene ikke er oppfylt kan vi heller ikke stole på våre sannsynlig-hetsutsagn, og vi kan ikke foreta signifikanstester og beregne konfidensintervall for våre estimater på koeffisientene eller for våre prediksjoner. For å teste disse forutset-ningene, kan vi analysere forskjellige plott av feilleddene.

Vi må også forvisse oss om at dataene er korrekte, dvs. at dataene er nøyaktige og pålitelige, at de er korrekt tidsavgrenset, at kostnadene ikke er relatert til periodens salg men periodens produksjon, at det ikke har vært endringer i produksjonsproses-sen, eller benyttet nye typer råmaterial, etc.

T E S T

Gode resultat er ikke nok :

Må teste de statist-

iske forutsetningene.

Må sjekke datagrunn-

laget.


2 - 25

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9923

R Square 0,9846


Standard Error 6359,6

Observations 30

ANOVA


Regression 2 70125385127 35062692564 866,94162 3,20663E-25

Residual 27 1091991280 40444121

Total 29 71217376407


Intercept 252792,79 6166,069758 40,99739443 7,43047E-26 240141,07 265444,52

Arbeidstimer 99,36 2,673815 37,16176584 1,00795E-24 93,87 104,85

Produksjonsserier 573,82 73,154771 7,84391838 1,96233E-08 423,72 723,92

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Felleskostnad Residuals

1 419971,7137 7755,286316

2 473307,8886 7051,111409

3 532222,9772 7590,02285

4 409794,6403 -2502,640275

5 507799,3304 -9716,330419

6 381818,7949 5696,205106

7 457036,9155 -4324,915547

8 545448,2669 -7623,266928

9 494459,9139 9284,086056

10 518689,6816 6399,318388

11 397952,8433 8729,156688

12 422895,6709 -7198,670943

13 412894,7449 2339,255125

14 437767,9526 -8207,952553

15 452742,131 4517,869012

16 488103,1688 1384,831239

17 464690,4553 4461,544662

18 544916,6383 -2755,638336

19 506316,4739 3568,52612

20 389974,0017 -6705,001685

21 497766,1275 2484,872523

22 503119,5387 -4475,53866

23 455921,7701 -5837,770131

24 456073,2399 -1792,239908

25 516625,4057 -11322,40571

26 444462,4473 -4043,447265

27 395752,0784 -1782,078428

28 496409,8453 2098,154672

29 431244,539 -2600,538974

30 533181,8044 7528,195594

TABELL 2-6. Resultatet fra modifisert multippel regresjonsanalyse.


2 - 26

FIGUR 2-18. Plott av feilleddene i forhold til antall produksjonsserier.

FIGUR 2-19. Plott av feilleddene i forhold til antall arbeidstimer.

Hvis feilleddene har forventning lik 0, bør prediksjonsfeilene plotte nær 0, uten an-tydning til mønster i plottene. Om de har konstant varians, må feilleddene plotte med samme spredning, ”bredden” må være den samme i hele diagrammet.

T E S T F E I L -

L E D D E N E

Residualene må :

Ha forventning lik 0

Ha konstant varians

Ingen mønster

Være normalfordelt Arbeidstimer Residual Plot

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

1000 1500 2000 2500

Arbeidstimer

Re

sid

ua

ls

Produksjonsserier Residual Plot

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

50 70 90

Produksjonsserier

Re

sid

ua

ls


2 - 27

FIGUR 2-20. Plott av feilleddene i forhold til tiden (ukenummer).

Hvis feilleddene er uavhengige, må det ikke være noe mønster over tid. Om vi også krysser av for Normal Probability Plots i FIGUR 2-16 får vi i tillegg FIGUR 2-21.

FIGUR 2-21. Plott av den avhengige variabel, prosentvis fordelt over utvalget.

Hvis feilleddene er normalfordelt, så er den avhengige variabel også normalfordelt. En måte å teste om feilleddene er normalfordelt er å teste om den avhengige varia-belen er normalfordelt. I så fall bør plottet i være tilnærmet en rett linje. Det ser ut til å stemme ganske bra i dette tilfellet.

Men for å teste om de uavhengige variablene er ukorrelerte må vi benytte funksjonen Correl i Excel. Vi får i så fall at arbeidstid og produksjonsserier har en korrelasjons-koeffisient på 27,49%, som tyder på at de er lite korrelerte.

Vi skal i neste kapittel ta for oss noen eksempler med bruk av regresjonsanalyse.

T E S T F O R K L A -

R I N G S V A R I -

A B L E R

Må være ukorrelerte

Residual Plot

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

1 6 11 16 21 26

Observasjoner

Re

sid

ua

ls

Normal Probability Plot

350000

370000

390000

410000

430000

450000

470000

490000

510000

530000

550000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Sample Percentile

Fell

esk

ostn

ad


2 - 1

E K S E M P L E R P Å B R U K A V R E G R E S J O N S A N A L Y S E

3-1

Eksempler på bruk av

regresjonsanalyse

Ofte avslører regresjonsanalysen at dataene ikke tilfredsstiller de statistiske forutsetningene bak regresjonsanalysen.

et vil ofte oppstå problemer når en skal foreta en praktisk regresjonsana-lyse. Vi skal nå se på noen eksempler der det viser seg at dataene i utgangs-punktet ikke tilfredsstiller de statistiske forutsetningene som er nødven-dige for at vi skal kunne foreta sannsynlighetsutsagn basert på regresjons-

analysen. Selv om disse forutsetningene ikke er nødvendige for å finne parametrene i regresjonsanalysen, så kan vi ikke foreta signifikansutsagn uten at disse forutset-ningene er oppfylte.

Analysen av residualene vil ofte kunne hjelpe oss til å avsløre svikt i forutset-ningene. Det finnes flere formelle statistiske tester til hjelp i dette, men dessverre gir ikke regresjonsanalysen i Excel slike tester. Vi skal derfor vise eksempler der forskjel-lige plott av avvikene avslører at forutsetningene ikke holder.

Når vi skal analysere avvikene eller residualene, dvs. prediksjonsfeilene som den es-timerte regresjonslinjen gir i forhold til de observerte dataene, må vi gjøre mange plott. Vi må plotte avvikene i forhold til verdiene på hver av forklaringsvariablene, vi må plotte avvikene i forhold til verdiene til den forklarte eller predikerte variabelen, og vi må plotte avvikene i forhold til rekkefølgen på dataene, ofte vil det tilsvare tidsrekkefølgen. For hver av disse plottene må avvikene være sentrert rundt 0, dvs. ha forventning lik 0; og avvikene må være spredt i et like bredt belte rundt 0, dvs. ha konstant varians. Hvis vi kan ane et mønster i noen av plottene, må vi undersøke dette nærmere.

Når vi endelig har funnet fram til en logisk modell som synes å tilfredsstille alle nød-vendige forutsetninger for å kunne komme med signifikansutsagn basert på regre-sjonsanalysen, kan vi ta i bruk analyseresultatene. Men også her er det skjær i sjøen for den uerfarne. Signifikansutsagnene kan brukes på mange måter, men de kan også meget lett misbrukes eller brukes feil.

Vi skal derfor i det første eksemplet se på hvordan signifikansutsagn fra regresjons-analysen kan brukes til hjelp i praksis, og peke på noen av fellene en må være opp-merksomme på. Deretter skal vi se på forskjellige eksempler der avviksanalysen av-slører svikt i de statistiske forutsetningene for signifikansutsagnene.

Del

3

D

A V V I K S -

A N A L Y S E

Avvikene må ha :

Konstant varians

Forventning lik 0

Normalfordeling

Ingen systematiske

variasjoner


3-2

Bruk av prediksjoner fra regresjonsanalyse.

En lokal plastprodusent produserer garnblåser til fiskeindustrien. Produksjonspro-sessen består bl.a. i å presse flytende plast inn i former, og deretter herdes produktet før formene åpnes. Bedriften har produsert en del blåser med forskjellig herdetid, og testet hvor stort trykk de kan motstå før de sprekker. Bedriften ønsker å finne ut hvor lang herdetid som trengs for at de skal kunne markedsføre blåsene med spesi-fikasjon om at det er mindre enn 5% sannsynlig at en blåse ikke kan motstå et trykk på 200 kg/cm2.

Øverst til venstre i FIGUR 3-2. er dataene for 30 forskjellige herdetider (i sekund) og tilhørende trykk (kg/cm2) blåsene tålte før de gikk i stykker. I høyre del i samme figur er resultatet fra regresjonsanalysen gjengitt. Her er regresjonsanalysen foretatt uten konstantledd, både fordi det er ulogisk at blåsene tåler trykk uten å herdes, og fordi koeffisienten for konstantleddet viser seg å ikke være signifikant forskjellig fra 0 ved 5% signifikansnivå. Vi ser at tålt trykk øker med vel 5 kg/cm2 pr. sekund herdetid.

Helt øverst til høyre i FIGUR 3-2. er kritisk t -verdi beregnet via funksjonen TINV(α

= 5%•2, df = 29). Ettersom vi i dette tilfellet foretar en enhale test må vi benytte 10% sannsynlighet ved 5% signifikansnivå, fordi funksjonen TINV måler begge halene. Over grafen i figuren er så prediksjoner basert på regresjonsresultatene beregnet. For alternative herdetider fra 20 til 90 sekunder er predikert trykk og prediksjonens stan-dardavviket beregnet, samt nedre grense til konfidensintervallet for en enhaletest med 5% signifikansnivå. Solver i Excel er så benyttet for å finne den herdetiden som trengs for at nedre grense skal være 200 kg/cm2. Oppsettet i Solver er vist i FIGUR

3-1. Merk at vi denne gangen ikke har angitt noen restriksjoner, men krevd at mål-funksjonen skal anta en bestemt verdi (den skal altså ikke maksimeres eller minime-res).

FIGUR 3-1. Solver parametre for å finne minimum herdetid i FIGUR 3-2. .

Vi ser i FIGUR 3-2. at vi må ha en herdetid på minst 50,95 sekunder for at nedre verdi på konfidensintervallet ved 5% signifikansnivå skal være 200 kg/cm2.

K R I T I S K

t - V E R D I

Funksjonen TINV er

basert på tohale test.

Ved enhale test må vi

benytte α•2 som

sannsynlighet.


3-3

FIGUR 3-2. Data og prediksjoner for herdetid og trykk av garnblåser.

Det er meget viktig å ha klart for seg om det er en enhale eller en tohale test vi ønsker å utføre. Dette har betydning for nedre kritiske t-verdi, og for konstruksjonen av konfidensintervallene for prediksjonene. Selv om en herdetid på 50,95 sekund med-fører at blåsene i snitt vil tåle et trykk på 257 kg/cm2, så er det altså 5% av blåsene som forventes å ikke tåle et trykk på mer enn 200 kg/cm2 med den samme herdeti-den.

Definisjonene av regnearket er vist i TABELL 3-1.


3-4

E F G H I J K L M N O

1 N

r.

Herd

etid

Tå

lt try

kk

SUMMARY OUTPUT

2 1 60 292

3 2 21 122 Regression Statistics Signifikansnivå 0,05

4 3 53 271 Multiple R 0,9567 Kritisk t-verdi en-hale =TINV(N3*2;J13)

5 4 74 380 R Square 0,9153

6 5 79 400 Adjusted R Square 0,8808

7 6 47 207 Standard Error 32,713

8 7 48 274 Observations 30

9 8 74 398

10 9 44 234 ANOVA

11 10 33 188 df SS MS F Significance F

12 11 80 332 Regression 1 335586 335586 313,58 9,6181E-17

13 12 75 386 Residual 29 31035 1070

14 13 17 81 Total 30 366621

15 14 22 134

16 15 83 481 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

17 16 39 179 Intercept 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A

18 17 69 328 Herdetid 5,035 0,0997 50,5155 8,008E-30 4,83 5,24

19 18 33 168

20 19 85 440 Nedre

21 20 76 450 Predikert herdetid Tålt trykk sp grense

22 21 59 270 20 =J22*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J22-$F$33)^2/$F$34) =K22-L22*$N$4

23 22 86 352 30 =J23*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J23-$F$33)^2/$F$34) =K23-L23*$N$4

24 23 84 417 40 =J24*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J24-$F$33)^2/$F$34) =K24-L24*$N$4

25 24 89 402 50 =J25*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J25-$F$33)^2/$F$34) =K25-L25*$N$4

26 25 18 98 60 =J26*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J26-$F$33)^2/$F$34) =K26-L26*$N$4

27 26 45 252 70 =J27*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J27-$F$33)^2/$F$34) =K27-L27*$N$4

28 27 41 226 80 =J28*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J28-$F$33)^2/$F$34) =K28-L28*$N$4

29 28 54 312 90 =J29*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J29-$F$33)^2/$F$34) =K29-L29*$N$4

30 29 34 160 Minimum 50,95 =J30*$J$18 =$J$7*SQRT(1+ 1/$J$8 + (J30-$F$33)^2/$F$34) =K30-L30*$N$4

31 30 46 243

32

33 Gj.snitt =AVERAGE(F2:F31)

34 SXX =VARP(F2:F31)*$J$8

TABELL 3-1. Definisjonene av regnearket i FIGUR 3-2. .

Diagrammet i FIGUR 3-2. er konstruert ved å velge kolonnene Predikert herdetid, Tålt trykk og Nedre Grense, og et Scatter diagram.

Konklusjonen er altså at bedriften må herde blåsene i minst 50,95 sekunder for at en kan garantere at det er maksimalt 5% sannsynlighet for at blåsene ikke tåler et trykk på 200 kg/cm2. Vi kan bruke Goal Seek eller Solver til å finne denne nødvendige herdetiden. Her har vi brukt Solver, og angitt at målfunksjonen (Nedre Grense) skal ha verdien 200, ved å variere beslutningsvariabelen (Herdetid).


3-5

Regresjonsanalyse og ny produksjonsprosess.

En bedrift har foretatt regresjonsanalyse mellom kostnadene og produsert mengde for de 30 siste månedene. Regresjonsanalysen ser rimelig god ut, med en forklarings-evne på over 83%, og tilsynelatende signifikante koeffisienter. Ett av residualplottene avslører imidlertid at ikke alle de statistiske forutsetningene er tilfredsstilt, ettersom det er et åpenbart mønster i feilleddene over tid. I siste halvdel av perioden, fra må-ned 16 og ut, er nesten alle feilledd negative. Dette indikerer at det har vært et skift i kostnadsstrukturen mellom måned 15 og 16. Se FIGUR 3-3.

Det er flere måter å ta hensyn til et slikt skift på. Vi kan f.eks. droppe de 15 første månedene og kun kjøre regresjonsanalysen på de 15 siste månedene, ettersom denne perioden åpenbart er den som gir det mest reelle bildet av dagens sammenheng mel-lom kostnadene og produsert mengde.

Men vi kan også fortsatt foreta regresjonsanalysen på hele datasettet, men modellere inn skiftet. Da har vi igjen flere muligheter. Vi kan modellere et skift i de faste kost-nadene, et skift i de variable kostnadene, eller et skift i både de faste og de variable kostnadene. Fordelen med å beholde hele datasettet er at vi da får sikrere estimater på de koeffisientene som forblir uendret. Vi kan altså ikke tape noe på å beholde hele datasettet, men kan vinne litt presisjon.

Om vi kjører en regresjonsanalyse og modellerer et skift i de faste kostnadene, så kan det gjøres ved å lage en binær variabel som er 0 i de første 15 månedene, og 1 i de 15 siste. Koeffisienten for denne variabelen vil da angi endringen i de faste kostnadene fra de første 15 månedene til de siste 15 månedene. Se FIGUR 3-4.

Om vi ønsker å modellere et skift i de variable kostnadene, deler vi produksjonen opp i to; en variabel er lik produksjonen for de første 15 månedene, og en annen variabel er lik produksjonen for de siste 15 månedene. Koeffisientene for disse vari-ablene vil da angi de variable kostnaden for hhv. gammelt og nytt utstyr. Denne mo-dellen har ikke så stor forklaringsevne som modellen med kun skift i de faste kost-nadene, R2 har gått ned fra 87,18% til 86,50%. Sammenlign FIGUR 3-5. og FIGUR

3-4.

Om vi ønsker å modellere både et skift i de faste og de variable kostnadene kombi-nerer vi den binære variabelen og oppdelingen av aktivitetsnivået slik at vi ender opp med 3 forklaringsvariabler. Vi får nå imidlertid problem med at forklaringsvariablene er sterkt korrelerte; den binære variabelen er f.eks. 0 når aktiviteten på den nye ma-skinen er 0, og 1 når den nye maskinen er i aktivitet. Dette gir seg bl.a. utslag i at koeffisienten til den binære variabelen nå ikke lenger er signifikant forskjellig fra 0. Determinasjonskoeffisienten har riktignok økt til 87,19%, men den justerte determi-nasjonskoeffisienten har gått ned fra 86,23% til 85,70%. Denne modellen må altså forkastes. Se FIGUR 3-6.

Om vi ønsker å ta hensyn til at både de faste og de variable kostnadene er endret må vi derfor innskrenke regresjonsanalysen til bare å gjelde de siste 15 månedene. Denne modellen viser seg å ha størst forklaringsevne (R2) og mest pålitelige estimater (de har de største t-verdiene). Se FIGUR 3-7.

A V V I K S

A N A L Y S E

Avslører skift i

kostnadsfunksjonen :

Skift i faste

kostnader ?

Skift i variable

kostnader ?

Skift i både faste og

variable kostnader ?


3-6

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

0 5 10 15 20 25 30 35

Måned

Pre

dik

sjo

ns

feil

DATA RESIDUAL OUTPUT

Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals 1 4140 627208 1 647773 -20565 2 8019 983753 2 976444 7309

3 3817 613623 3 620405 -6782

4 6286 740164 4 829605 -89441

5 4572 764816 5 684377 80439

6 2229 431547 6 485853 -54306

7 4263 649702 7 658195 -8493

8 6049 959180 8 809524 149656

9 4324 805702 9 663364 142338

10 6215 940831 10 823590 117241

11 7823 853857 11 959837 -105980

12 1910 505410 12 458824 46586

13 4186 773330 13 651671 121659

14 4467 725718 14 675480 50238

15 5837 898647 15 791561 107086

16 1712 425184 16 442047 -16863

17 2138 445489 17 478142 -32653

18 3807 498368 18 619558 -121190

19 7032 803164 19 892815 -89651

20 5790 762793 20 787579 -24786

21 5377 744191 21 752585 -8394

22 3924 487888 22 629471 -141583

23 6536 864632 23 850788 13844

24 8174 983538 24 989577 -6039

25 1274 408604 25 404935 3669

26 1377 419850 26 413662 6188

27 3441 557781 27 588546 -30765

28 3718 598970 28 612017 -13047

29 6261 764589 29 827487 -62898

30 2758 517859 30 530675 -12816

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9120

R Square 0,8317


Standard Error 77213

Observations 30

ANOVA


Regression 1 8,24736E+11 8,25E+11 138,3346 2,39E-12

Residual 28 1,66933E+11 5,96E+09

Total 29 9,91669E+11


Intercept 296988,034 35892,22675 8,274439 5,27E-09 223466,1 370510,01

Aktivitet 84,7307282 7,204031199 11,76157 2,39E-12 69,97392 99,487534

FIGUR 3-3. Avviksanalysen avslører skift i produksjonsprosessen.

O P P R I N N E L I G

M O D E L L

Må forkastes p.g.a.

systematiske avvik i

feilleddene.


3-7


Måned Aktivitet Nytt utstyr Kostnad Observation Predicted Kostnad

Residuals 1 4140 0 627208 1 686372,7 -59164,7

2 8019 0 983753 2 1001507 -17753,6

3 3817 0 613623 3 660131,8 -46508,8

4 6286 0 740164 4 860715,9 -120552

5 4572 0 764816 5 721468,8 43347,22

6 2229 0 431547 6 531121,1 -99574,1

7 4263 0 649702 7 696365,3 -46663,3

8 6049 0 959180 8 841461,8 117718,2

9 4324 0 805702 9 701321 104381

10 6215 0 940831 10 854947,8 85883,23

11 7823 0 853857 11 985583,3 -131726

12 1910 0 505410 12 505205,2 204,8185

13 4186 0 773330 13 690109,7 83220,26

14 4467 0 725718 14 712938,5 12779,53

15 5837 0 898647 15 824238,7 74408,33

16 1712 1 425184 16 415004,6 10179,38

17 2138 1 445489 17 449613,3 -4124,29

18 3807 1 498368 18 585204,6 -86836,6

19 7032 1 803164 19 847206,8 -44042,8

20 5790 1 762793 20 746305,5 16487,5

21 5377 1 744191 21 712753 31438,05

22 3924 1 487888 22 594709,8 -106822

23 6536 1 864632 23 806911,3 57720,7

24 8174 1 983538 24 939984,1 43553,91

25 1274 1 408604 25 379421 29182,95

26 1377 1 419850 26 387788,9 32061,13

27 3441 1 557781 27 555470,3 2310,66

28 3718 1 598970 28 577974,1 20995,9

29 6261 1 764589 29 784570 -19981

30 2758 1 517859 30 499982,7 17876,28

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics Multiple R 0,9337

R Square 0,8718



Observations 30

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 2 8,64535E+11 4,3227E+11 91,8021717 9,04903E-13

Residual 27 1,27134E+11 4708682561

Total 29 9,91669E+11

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 350034,833 36747,57955 9,52538473 3,9878E-10 274635,079 425434,588

Aktivitet 81,24102 6,513810632 12,4721188 1,0211E-12 67,875 94,606

Nytt utstyr -74114,843 25493,00478 -2,907262 0,00720322 -126422,133 -21807,552

FIGUR 3-4. Regresjonsanalyse med modellert skift i faste kostnader.

Her er de faste kostnadene for det gamle utstyret estimert til å være kr. 350.034,83. Når nytt utstyr tas i bruk reduseres de faste kostnadene med kr. 74.114,84 slik at de faste kostnadene fra måned 16 er kun kr. 275.920,-. De variable kostnadene er kr.81,24 pr. stk. i hele perioden. Prediksjoner etter måned nr. 30 vil da baseres på følgende modell :

Ŷ = 275.920 + 81,24 X

Hvor Ŷ er predikert kostnad og X er antall produserte enheter.

M O D E L L M E D

S K I F T I

F A S T E K O S T -

N A D E R

Akseptabel modell, men

bør også teste for endring

i variable kostnader.


3-8


Måned Gammel aktivitet Ny aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals 1 4140 0 627208 1 673766,0634 -46558,1 2 8019 0 983753 2 1022664,537 -38911,5

3 3817 0 613623 3 644713,677 -31090,7

4 6286 0 740164 4 866789,0394 -126625

5 4572 0 764816 5 712622,5059 52193,49

6 2229 0 431547 6 501880,2726 -70333,3

7 4263 0 649702 7 684829,3561 -35127,4

8 6049 0 959180 8 845471,9633 113708

9 4324 0 805702 9 690316,0297 115386

10 6215 0 940831 10 860402,9111 80428,09

11 7823 0 853857 11 1005035,225 -151178

12 1910 0 505410 12 473187,668 32222,33

13 4186 0 773330 13 677903,555 95426,45

14 4467 0 725718 14 703178,2317 22539,77

15 5837 0 898647 15 826403,5239 72243,48

16 0 1712 425184 16 432425,865 -7241,86

17 0 2138 445489 17 465031,2984 -19542,3

18 0 3807 498368 18 592774,1819 -94406,2

19 0 7032 803164 19 839611,0899 -36447,1

20 0 5790 762793 20 744550,1784 18242,82

21 0 5377 744191 21 712939,7465 31251,25

22 0 3924 487888 22 601729,1954 -113841

23 0 6536 864632 23 801647,9562 62984,04

24 0 8174 983538 24 927018,1439 56519,86

25 0 1274 408604 25 398901,9686 9702,031

26 0 1377 419850 26 406785,442 13064,56

27 0 3441 557781 27 564761,0631 -6980,06

28 0 3718 598970 28 585962,2487 13007,75

29 0 6261 764589 29 780599,8477 -16010,8

30 0 2758 517859 30 512485,2156 5373,784

SUMMARY OUTPUT


R Square 0,8650



Observations 30

ANOVA


Residual 27 1,339E+11 4959249570

Total 29 9,91669E+11


Gammel aktivitet 89,95 6,874053897 13,08477 3,341E-13 75,84108467 104,0498529

Ny aktivitet 76,54 7,296947056 10,48912 5,047E-11 61,5664875 91,51066473

FIGUR 3-5. Regresjonsanalyse med modellert skift i variable kostnader.

Her ser vi at de faste kostnadene er estimert til å være kr. 301.391,82 pr. måned i hele perioden, mens de variable kostnadene ved det gamle utstyret er redusert fra kr. 89,95 pr. enhet til kr. 76,54 med det nye utstyret. Hvis kun de variable kostnadene endres med nytt utstyr får vi følgende prognose for framtidige kostnader :

Ŷ = 301.391,82 + 76,54 X

Sammenlignet med modellen der kun de faste kostnadene endres har vi nå større faste kostnader pr. måned, men lavere variable enhetskostnader.

M O D E L L M E D

S K I F T I

V A R I A B L E

K O S T N A D E R

Akseptabel modell, men

dårligere enn med bare

skift i faste.

Bør teste skift i både faste

og variable.


3-9


Måned Gammel aktivitet Ny aktivitet Nytt utstyr Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals 1 4140 0 0 627208 1 687082,8741 -59874,9

2 8019 0 0 983753 2 998783,7067 -15030,7

3 3817 0 0 613623 3 661127,8937 -47504,9

4 6286 0 0 740164 4 859526,7996 -119363

5 4572 0 0 764816 5 721796,6559 43019,34

6 2229 0 0 431547 6 533522,6031 -101976

7 4263 0 0 649702 7 696966,6592 -47264,7

8 6049 0 0 959180 8 840482,4331 118697,6

9 4324 0 0 805702 9 701868,3738 103833,6

10 6215 0 0 940831 10 853821,5252 87009,47

11 7823 0 0 853857 11 983033,9354 -129177

12 1910 0 0 505410 12 507889,0466 -2479,05

13 4186 0 0 773330 13 690779,249 82550,75

14 4467 0 0 725718 14 713359,2784 12358,72

15 5837 0 0 898647 15 823446,9661 75200,03

16 0 1712 1 425184 16 413575,0465 11608,95

17 0 2138 1 445489 17 448426,4202 -2937,42

18 0 3807 1 498368 18 584968,539 -86600,5

19 0 7032 1 803164 19 848808,1634 -45644,2

20 0 5790 1 762793 20 747199,229 15593,77

21 0 5377 1 744191 21 713411,3949 30779,61

22 0 3924 1 487888 22 594540,3951 -106652

23 0 6536 1 864632 23 808230,0382 56401,96

24 0 8174 1 983538 24 942236,0242 41301,98

25 0 1274 1 408604 25 377741,944 30862,06

26 0 1377 1 419850 26 386168,4499 33681,55

27 0 3441 1 557781 27 555025,8095 2755,19

28 0 3718 1 598970 28 577687,3835 21282,62

29 0 6261 1 764589 29 785732,0858 -21143,1

30 0 2758 1 517859 30 499149,0767 18709,92

SUMMARY OUTPUT


R Square 0,8719



Observations 30

ANOVA


Residual 26 1,27078E+11 4,888E+09

Total 29 9,91669E+11


Gammel aktivitet 80,36 10,6047 7,5773455 4,82E-08 58,5575534 102,1544

Ny aktivitet 81,81 8,5084 9,6152868 4,768E-10 64,3214516 99,3000209

Nytt utstyr -80894,06 68475,22837 -1,181362 0,2481523 -221647,006 59858,8744

FIGUR 3-6. Regresjonsanalyse med skift i både faste og variable kostnader.

Her har vi estimert de gamle faste kostnadene til å være kr. 354.409,13 pr. måned, som blir redusert med kr. 80.8940,07 når nytt utstyr introduseres i måned 16. De variable kostnadene med det gamle utstyret er kr. 80,36 og blir økt til kr. 81,81 pr. enhet med det nye utstyret. Vi ser imidlertid at endringen i de faste kostnadene ikke er signifikant forskjellig fra 0 [konfidensintervallet spenner over verdien 0]. Det har vært en ørliten økning i R2, men R2

a er blitt redusert ved innføringen av flere forkla-ringsvariabler. Vi får også illustrert at koeffisientene til korrelerte forklaringsvariabler får usikre estimater. Selv om vi kan predikere de totale kostnadene ganske godt med denne modellen, er fordelingen på faste og variable kostnader usikker.

M O D E L L M E D

S K I F T I

F A S T E O G V A -

R I A B L E K O S T -

N A D E R

Ikke signifikante para-

metre p.g.a. sterkt korre-

lerte forklaringsvariabler.

Bør teste modellen med

redusert datasett.


3-10


Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals 16 1712 425184 1 413575,0465 11608,95

17 2138 445489 2 448426,4202 -2937,42

18 3807 498368 3 584968,539 -86600,5

19 7032 803164 4 848808,1634 -45644,2

20 5790 762793 5 747199,229 15593,77

21 5377 744191 6 713411,3949 30779,61

22 3924 487888 7 594540,3951 -106652

23 6536 864632 8 808230,0382 56401,96

24 8174 983538 9 942236,0242 41301,98

25 1274 408604 10 377741,944 30862,06

26 1377 419850 11 386168,4499 33681,55

27 3441 557781 12 555025,8095 2755,19

28 3718 598970 13 577687,3835 21282,62

29 6261 764589 14 785732,0858 -21143,1

30 2758 517859 15 499149,0767 18709,92

SUMMARY OUTPUT


R Square 0,9367

Adjusted R Square

0,9319


Observations 15

ANOVA


Residual 13 30523302374 2,348E+09

Total 14 4,82403E+11


Aktivitet 81,81 5,897158832 13,872907 3,604E-09 69,0707016 94,5507709

FIGUR 3-7. Regresjonsanalyse med data for kun perioden med nytt utstyr.

Denne modellen med kun data for perioden med nytt produksjonsutstyr ser ut til å gi de beste prediksjonene. Den har størst forklaringsevne (R2) og mest presise koef-fisienter (de har lavest t-verdier).

Prognosen for kostnadene etter denne modellen blir :

Ŷ = 273.515,06 + 81,81 X

Vi ser vi får de samme kostnadene som i modellen der vi varierte både faste og vari-able kostnader (Figur 3-6), men presisjonen er mye større med redusert datasett.

Konklusjon :

Den første regresjonsanalysen avslørte at det var systematiske variasjoner i avvikene, når disse ble plottet over tid. Skiftet i kostnadsstrukturen etter måned nr. 15 ser ut til å ha påvirket både de faste og de variable kostnadene. Å modellere en endring i både faste og variable kostnader skaper sterke korrelasjoner mellom de nye forklaringsva-riablene, slik at de estimerte koeffisientene blir meget usikre. Derfor lønner det seg å foreta en regresjonsanalyse kun på de data som gjengir den nye kostnadsstrukturen, ettersom vi da riktignok får de samme verdiene på de estimerte koeffisientene i re-gresjonsligningen, men presisjonen blir større.

Vi skal nå se på flere eksempler der avviksanalysen avslører systematiske avvik. Vi må så prøve å tolke avvikene, slik at vi kan modifisere vår modell/hypotese.

M O D E L L M E D

R E D U S E R T

D A T A S E T T

Tar kun med data i

periodene etter skiftet i

kostnadsstrukturen.


3-11

Regresjonsanalyse og prisstigning.

En bedrift har i det siste opplevd en sterk kostnadsvekst, og ønsker å få en bedre oversikt over sine kostnader. De har funnet fram data for de 30 siste månedene for produsert mengde og kostnadene i produksjonsavdelingen. Regnskapssjefen føler at kostnadene er ute av kontroll, og ønsker å foreta en regresjonsanalyse for å avdekke kostnadsstrukturen i produksjonsavdelingen. Myndighetene har store problemer med å begrense prisstigningen, som har vært på nesten 12,7% pr. år den siste tiden.

Den første regresjonsanalysen avslører et tydelig mønster i feilleddene over tid. Som vi ser av FIGUR 3-8 er det de første månedene stort sett negative feilprediksjoner, som så går mot null og etter hvert stigende positive feilprediksjoner. Dette gir oss indikasjoner på at dataene ikke er korrigerte for prisstigningen, vi har fått nominelle data og ikke realdata.

For å ta hensyn til den sterke prisstigningen må vi derfor deflatere kostnadene til en gitt periode, f.eks. til måned 0. Vi tar da den nominelle kostnaden i måned t (Xt

n) og dividerer med (1+pmnd)

t, der pmnd er den månedlige prisstigningen :

Kostnader i realverdi måned 0 : Xtr = Xt

n · (1+pmnd)t

Når vi skal finne den månedlige prisstigningen må vi regne om prisstigningen pr. år pår til prisstigningen pr. måned pmnd :

Månedlig prisstigning : pmnd = (1+pår)1/12 1 = (1+0,127)1/12 1 = 1%

Når vi foretar regresjonsanalysen på nytt, basert på prisjustering av kostnadsdataene, får vi økt forklaringsevnen fra knapt 47% til vel 71% (R2). Den økte forklaringsevnen gir oss også mer presise estimater; standardavvikene til estimatene både for de faste kostnadene og de variable kostnadene er nesten halvert.

Når analysen foretas på prisjusterte data ser det ut til at både de variable og de faste kostnadene er redusert. Dette er imidlertid en illusjon, fordi koeffisientene fra analy-sen i FIGUR 3-8 er nominelle verdier mens koeffisientene fra analysen i FIGUR 3-9 er realverdier. Disse må derfor oppjusteres med prisstigningen.

Anta at vi predikerer kostnadene i måned 31. For regresjonsanalysen basert på no-minelle data beregnes kostnadene ved aktivitet X30 til å være :

163.799,35 + 291,98 X30

Benytter vi regresjonsanalysen for de prisjusterte dataene må vi oppjustere kostna-dene fra måned 0 til måned 31, slik at predikert kostnad blir :

136.530,76 (1,01)31 + 260,47 (1,01)31 X30 = 185.863,07 + 354,58 X30

Regresjonsanalysen basert på nominelle data (FIGUR 3-8) vil systematisk predikere for store kostnader i tidlige tidsperioder og for små kostnader i sene tidsperioder.

P R I S Ø K N I N G

Feilleddene vil vise

systematiske avvik

over tid.

P R I S J U S T E -

R I N G

Deflatere nominelle ver-

dier til realverdier :

Xtr = Xt

n / (1+pmnd)t

pmnd =(1+pår)1/12 1

P R I S J U S T E -

R I N G

Justere predikerte

kostnader tilbake til

nominelle verdier :

Ŷnt = Ŷr

t (1+p)t


3-12


Måned Aktivitet Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals

1 381 239913 1 275045,3021 -35132,3 2 107 171970 2 195041,6567 -23071,7

3 151 149703 3 207888,9575 -58186

4 301 221813 4 251686,5735 -29873,6

5 465 250267 5 299571,9671 -49305

6 368 218016 6 271249,5087 -53233,5

7 323 255075 7 258110,2239 -3035,22

8 120 192810 8 198837,4501 -6027,45

9 167 162333 9 212560,7032 -50227,7

10 450 263415 10 295192,2055 -31777,2

11 190 230941 11 219276,3376 11664,66

12 322 224999 12 257818,2398 -32819,2

13 220 241036 13 228035,8609 13000,14

14 330 278632 14 260154,1127 18477,89

15 302 276109 15 251978,5577 24130,44

16 307 224433 16 253438,4782 -29005,5

17 421 281831 17 286724,6664 -4893,67

18 194 232168 18 220444,2741 11723,73

19 231 221938 19 231247,686 -9309,69

20 357 256485 20 268037,6835 -11552,7

21 80 207928 21 187158,0858 20769,91

22 464 325886 22 299279,983 26606,02

23 276 261631 23 244386,9709 17244,03

24 418 355240 24 285848,7141 69391,29

25 167 242417 25 212560,7032 29856,3

26 188 223612 26 218692,3694 4919,631

27 164 206746 27 211684,7509 -4938,75

28 190 264579 28 219276,3376 45302,66

29 431 381155 29 289644,5075 91510,49

30 140 252469 30 204677,1323 47791,87

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics Multiple R 0,68547 R Square 0,46974



Observations 30

ANOVA

Df SS MS F Significance F Regression 1 33945715111 33945715111 24,804652 2,92581E-05 Residual 28 38318618379 1368522085

Total 29 72264333491

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 163799,35 17434,76525 9,39498496 3,747E-10 128085,81 199512,89 Aktivitet 291,98 58,62632044 4,98042696 2,925E-05 171,89 412,06

FIGUR 3-8. Regresjonsanalyse med prisstigning.

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

1 6 11 16 21 26

Fe

ille

dd

Måned


3-13


Måned Aktivitet Prisjustert Predicted Prisjustert Residuals

1 381 237538 235770,6835 1767,317 2 107 168582 164401,2918 4180,708

3 151 145300 175862,0701 -30562,1

4 301 213158 214932,9049 -1774,9

5 465 238120 257650,351 -19530,4

6 368 205381 232384,5445 -27003,5

7 323 237913 220663,294 17249,71

8 120 178057 167787,4309 10269,57

9 167 148428 180029,6258 -31601,6

10 450 238466 253743,2675 -15277,3

11 190 206998 186020,4871 20977,51

12 322 199675 220402,8218 -20727,8

13 220 211789 193834,6541 17954,35

14 330 242400 222486,5996 19913,4

15 302 237826 215193,3771 22632,62

16 307 191401 216495,7383 -25094,7

17 421 237972 246189,5728 -8217,57

18 194 194096 187062,3761 7033,624

19 231 183707 196699,8486 -12992,8

20 357 210201 229519,3499 -19318,3

21 80 168719 157368,5416 11350,46

22 464 261816 257389,8787 4426,121

23 276 208112 208421,0991 -309,099

24 418 279775 245408,1561 34366,84

25 167 189029 180029,6258 8999,374

26 188 172639 185499,5427 -12860,5

27 164 158037 179248,2091 -21211,2

28 190 200243 186020,4871 14222,51

29 431 285616 248794,2951 36821,7

30 140 187313 172996,8755 14316,12

SUMMARY OUTPUT


R Square 0,7128



Observations 30

ANOVA

Df SS MS F Significance F Regression 1 27014031333 27014031333 69,5082 4,52853E-09

Residual 28 10882053445 388644765,9

Total 29 37896084777


Aktivitet 260,47 31,24231047 8,337162 4,52E-09 196,4751885 324,469276

FIGUR 3-9. Regresjonsanalyse med prisjustering.

Vi må altså huske på å prisjustere disse kostnadsestimatene fra realverdier til nomi-nelle størrelser når vi skal foreta prediksjoner.

Konklusjon :

Når dataene er ”forurenset” med prisstigning vil regresjonsanalysen gi systematiske prediksjonsfeil. Dette avslører også plottene av residualene over tid. Vi må derfor foreta regresjonsanalysen på realverdier, men må da huske på å justere predikert kost-nad fra realverdi til nominell verdi :

Ŷnt = Ŷr

t (1+p)t


3-14

Regresjonsanalyse og sesongvariasjoner.

Et dagbrudd utvinner mineraler fra et gruvefelt, og opplever store variasjoner i kost-nadene. Dette har skapt hodebry for økonomiavdelingen, som ikke greier å lage på-litelige budsjetter og kostnadskalkyler. I håp om å bedre økonomistyringen har de leid inn en konsulent, som har fått data over produksjon og kostnader for hvert kvar-tal de 10 siste årene. Bedriften forsikrer at det ikke har skjedd forandringer i produk-sjonen ut over ordinært vedlikehold og utskiftninger, og har også prisjustert dataene til realverdier.

En regresjonsanalyse på disse dataene gir liten forklaringsevne, bare 14,8% av varia-sjonene i kostnadene blir forklart ut fra den opprinnelige modellen. Dataene samt prediksjonene og residualene er gjengitt i Tabell 3-2, og regresjonsanalysen er gjengitt i FIGUR 3-10.


År Kvartal Produksjon Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals

1 1 6429 1014988 1 784201,5368 230786,5 1 2 8149 830558 2 840854,7201 -10296,7 1 3 7236 508740 3 810782,4199 -302042 1 4 5319 840254 4 747640,4709 92613,53 2 1 4052 910961 5 705908,1552 205052,8 2 2 8814 843126 6 862758,4217 -19632,4 2 3 7377 525091 7 815426,6634 -290336 2 4 4567 794415 8 722871,1722 71543,83 3 1 4162 902329 9 709531,3238 192797,7 3 2 2431 576873 10 652515,8238 -75642,8 3 3 8879 578368 11 864899,385 -286531 3 4 7459 922971 12 818127,571 104843,4 4 1 2586 827843 13 657621,1978 170221,8 4 2 8441 835606 14 850472,5861 -14866,6 4 3 3791 427348 15 697311,364 -269963 4 4 4803 798674 16 730644,516 68029,48 5 1 9235 1160572 17 876625,2765 283946,7 5 2 1561 572203 18 623859,8532 -51656,9 5 3 9748 585112 19 893522,4177 -308410 5 4 2632 713905 20 659136,3411 54768,66 6 1 8964 1133987 21 867699,1063 266287,9 6 2 5539 734262 22 754886,8083 -20624,8 6 3 4111 433134 23 707851,4911 -274717 6 4 9138 993454 24 873430,3004 120023,7 7 1 4868 951085 25 732785,4793 218299,5 7 2 8943 876921 26 867007,4105 9913,59 7 3 9297 577255 27 878667,4261 -301412 7 4 2742 731457 28 662759,5098 68697,49 8 1 6250 1002506 29 778305,6532 224200,3 8 2 7734 803598 30 827185,4927 -23587,5 8 3 3110 404035 31 674880,656 -270846 8 4 4747 819838 32 728799,9937 91038,01 9 1 2918 847551 33 668556,5797 178994,4 9 2 6889 774109 34 799352,9696 -25244 9 3 3002 402020 35 671323,3631 -269303 9 4 6049 866400 36 771685,1359 94714,86

10 1 7404 1074008 37 816315,9866 257692 10 2 4430 675309 38 718358,6803 -43049,7 10 3 4229 441813 39 711738,163 -269925 10 4 8264 968265 40 844642,5783 123622,4

TABELL 3-2. Data, prediksjoner og feilledd for regresjonsanalyse med sesongdata.


3-15

SUMMARY OUTPUT


R Square 0,1481



Observations 40

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 1 2,46213E+11 2,46213E+11 6,6042 0,0142

Residual 38 1,41669E+12 37281383849

Total 39 1,66291E+12


Produksjon 32,94 12,8170 2,5699 0,0142 6,99 58,88

FIGUR 3-10. Regresjonsanalyse med sesongvariasjoner.

Igjen ser vi at plottet av feilleddene over tid avslører et tydelig mønster, noe som strider mot forutsetningen om at feilleddene er uavhengige. Her har vi kvartalsvise variasjoner, som betyr at hvert 4. feilledd er korrelerte med hverandre. Vi har altså autokorrelasjon av 4. orden. Selv om analysen tilsynelatende gir signifikante koeffisi-enter for faste og variable kostnader, så er forutsetningene bak signifikansutsagnene brutt, og dermed blir signifikansutsagnene ugyldige.

Hvis bedriften ikke tar hensyn til sesongvariasjonene hvert kvartal, vil budsjetter og kostnadskalkyler nødvendigvis også bli meget upålitelige. Vi vet imidlertid ikke om det er de faste, de variable eller begge kostnadskomponentene som varierer hvert kvartal. Vi bør derfor teste alle disse mulighetene.

Om vi først antar at det er de faste kostnadene som varierer, kan vi lage binærvari-abler for 3 av kvartalene som angir endringene i de faste kostnadene i forhold til kvartalet vi ikke har laget binærvariabel for. Dette er gjort i TABELL 3-3.

-400000

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Kvartal

Av

vik

S E S O N G -

V A R I A S J O N E R

Faste kostnader :

Lager binærvariabler

for 3 kvartal.

Koeffisientene til

disse variablene angir

endringene i faste

kostnader i forhold

til faste kostnader i

det kvartalet som er

utelatt.


3-16


År Kvartal Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Produksjon Kostnad Observation Predicted Kostnad Residuals

1 1 0 0 0 6429 1014988 1 1011614,678 3373,322

1 2 1 0 0 8149 830558 2 824851,3425 5706,658

1 3 0 1 0 7236 508740 3 533587,5899 -24847,6

1 4 0 0 1 5319 840254 4 835067,0259 5186,974

2 1 0 0 0 4052 910961 5 918636,6406 -7675,64

2 2 1 0 0 8814 843126 6 850863,2883 -7737,29

2 3 0 1 0 7377 525091 7 539102,9047 -14011,9

2 4 0 0 1 4567 794415 8 805652,0135 -11237

3 1 0 0 0 4162 902329 9 922939,3685 -20610,4

3 2 1 0 0 2431 576873 10 601187,7242 -24314,7

3 3 0 1 0 8879 578368 11 597854,6981 -19486,7

3 4 0 0 1 7459 922971 12 918774,641 4196,359

4 1 0 0 0 2586 827843 13 861293,0127 -33450

4 2 1 0 0 8441 835606 14 836273,1292 -667,129

4 3 0 1 0 3791 427348 15 398833,9758 28514,02

4 4 0 0 1 4803 798674 16 814883,3206 -16209,3

5 1 0 0 0 9235 1160572 17 1121373,355 39198,64

5 2 1 0 0 1561 572203 18 567157,0582 5045,942

5 3 0 1 0 9748 585112 19 631846,2483 -46734,2

5 4 0 0 1 2632 713905 20 729963,1185 -16058,1

6 1 0 0 0 8964 1133987 21 1110772,998 23214

6 2 1 0 0 5539 734262 22 722759,3446 11502,66

6 3 0 1 0 4111 433134 23 411351,0024 21783

6 4 0 0 1 9138 993454 24 984449,9147 9004,085

7 1 0 0 0 4868 951085 25 950555,0583 529,9417

7 2 1 0 0 8943 876921 26 855909,2146 21011,79

7 3 0 1 0 9297 577255 27 614205,064 -36950,1

7 4 0 0 1 2742 731457 28 734265,8464 -2808,85

8 1 0 0 0 6250 1002506 29 1004612,967 -2106,97

8 2 1 0 0 7734 803598 30 808618,3236 -5020,32

8 3 0 1 0 3110 404035 31 372196,1787 31838,82

8 4 0 0 1 4747 819838 32 812692,8409 7145,159

9 1 0 0 0 2918 847551 33 874279,4277 -26728,4

9 2 1 0 0 6889 774109 34 775565,5504 -1456,55

9 3 0 1 0 3002 402020 35 367971,6822 34048,32

9 4 0 0 1 6049 866400 36 863621,4927 2778,507

10 1 0 0 0 7404 1074008 37 1049752,494 24255,51

10 2 1 0 0 4430 675309 38 679380,0244 -4071,02

10 3 0 1 0 4229 441813 39 415966,6559 25846,34

10 4 0 0 1 8264 968265 40 950262,7859 18002,21

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9951

R Square 0,9902



Observations 40

ANOVA


Regression 4 1,64655E+12 4,11637E+11 880,7073 1,37582E-34

Residual 35 16358767687 467393362,5

Total 39 1,66291E+12

Coefficients Standard Er-

ror

t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept 760139,79 10693,6048 71,08359 1,9276E-39 738430,59 781848,99

Kvartal 2 -254042,35 9708,1011 -26,16808 1,4366E-24 -273750,87 -234333,84

Kvartal 3 -509593,46 9684,9695 -52,61694 6,5418E-35 -529255,02 -489931,91

Kvartal 4 -133129,22 9669,8618 -13,76744 1,0837E-15 -152760,10 -113498,33

Produksjon 39,12 1,4459 27,05212 4,7366E-25 36,18 42,05

TABELL 3-3. Data, prediksjoner og feilledd for sesongjusterte faste kostnader.


3-17

Som vi ser av analysen i TABELL 3-3 har vi nå forklart hele 99% av variasjonene i kostnadene, og vi har fått meget presise estimater på koeffisientene. De faste kost-nadene i kvartal 1 er anslått til å være kr. 760.140,- (nærmeste hele 10-krone), mens de faste kostnadene i kvartal 2 reduseres med kr. 254.040,- i forhold til kvartal 1. Tilsvarende reduseres de faste kostnadene i kvartal 3 med 509.600,- i forhold til kvar-tal 1, og kostnadene i kvartal 4 reduseres med kr. 133.130,- i forhold til i kvartal 1. Vi får dermed følgende kvartalsvise faste kostnader :

Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 760.140 254.040 760.140 509.600 760.140 133.130

Kr. 760.140,- Kr. 506.100,- Kr. 250.540,- Kr. 627.010,-

De variable kostnadene er stipulert til å være kr. 39,12 pr. enhet produsert.

Det kan imidlertid hende at det er de variable kostnadene som varierer pr. kvartal. Driften i et dagbrudd vil f. eks. lett bli påvirket av været, og det er naturlig å tro at det er de variable kostnadene som varierer for hvert kvartal. For å teste dette må vi splitte produksjonen opp i 4 ledd, ett for hvert kvartal, som i TABELL 3-4. DATA Produksjon

År Kvartal Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Kostnad

1 1 6429 0 0 0 1014988 1 2 0 8149 0 0 830558

1 3 0 0 7236 0 508740

1 4 0 0 0 5319 840254

2 1 4052 0 0 0 910961

2 2 0 8814 0 0 843126

2 3 0 0 7377 0 525091

2 4 0 0 0 4567 794415

3 1 4162 0 0 0 902329

3 2 0 2431 0 0 576873

3 3 0 0 8879 0 578368

3 4 0 0 0 7459 922971

4 1 2586 0 0 0 827843

4 2 0 8441 0 0 835606

4 3 0 0 3791 0 427348

4 4 0 0 0 4803 798674

5 1 9235 0 0 0 1160572

5 2 0 1561 0 0 572203

5 3 0 0 9748 0 585112

5 4 0 0 0 2632 713905

6 1 8964 0 0 0 1133987

6 2 0 5539 0 0 734262

6 3 0 0 4111 0 433134

6 4 0 0 0 9138 993454

7 1 4868 0 0 0 951085

7 2 0 8943 0 0 876921

7 3 0 0 9297 0 577255

7 4 0 0 0 2742 731457

8 1 6250 0 0 0 1002506

8 2 0 7734 0 0 803598

8 3 0 0 3110 0 404035

8 4 0 0 0 4747 819838

9 1 2918 0 0 0 847551

9 2 0 6889 0 0 774109

9 3 0 0 3002 0 402020

9 4 0 0 0 6049 866400

10 1 7404 0 0 0 1074008

10 2 0 4430 0 0 675309

10 3 0 0 4229 0 441813

10 4 0 0 0 8264 968265

TABELL 3-4. Data, prediksjoner og feilledd for sesongjusterte variable kostnader.

S E S O N G -

V A R I A S J O N E R

Variable kostnader :

Deler produksjonen

inn i 4 kvartaler; en

for hvert kvartal.


3-18

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics Multiple R 0,96363 R Square 0,92859



Observations 40

ANOVA

df SS MS F Significance F Regression 4 1,544E+12 3,8604E+11 113,7818 1,50516E-19 Residual 35 1,187E+11 3392803753

Total 39 1,663E+12

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 523222,15 24901,89 21,0113 1,986E-21 472668,57 573775,73 Kvartal 1 76,47 4,84 15,7885 1,716E-17 66,64 86,31

Kvartal 2 37,01 4,35 8,5132 4,789E-10 28,18 45,83

Kvartal 3 -0,71 4,46 -0,1589 8,747E-01 -9,77 8,35

Kvartal 4 55,95 5,00 11,1810 4,223E-13 45,79 66,10

TABELL 3-5. Resultat fra regresjonsanalysen for sesongjusterte variable kostnader.

Analysen der de variable kostnadene varierer hvert kvartal forklarer en mindre andel av variasjonene i kostnadene ettersom R2 er redusert fra 99% til knapt 93%. Dess-uten gir analysen ikke grunn for å anta at de variable kostnadene for kvartal 3 er forskjellig fra 0, noe som jo er lite sannsynlig. Vi ser at de variable kostnadene er størst i kvartal 1, lik kr. 76,47, og blir redusert til kr. 37,01 i kvartal 2. I kvartal 3 angir analysen at de variable kostnadene er negative lik kr. 0,71 og øker så til kr. 55,95 i kvartal 4. Analysen gir altså ikke et logisk svar, ettersom de variable kostnadene i kvartal 3 ikke er signifikant forskjellig fra 0, og modellen må derfor forkastes.

Men vi bør for fullstendighetens skyld også teste en modell der både de faste og de variable kostnadene varierer. Det er gjort i TABELL 3-6, og vi ser at denne modellen er usannsynlig god, ettersom den har forklart hele 99,9% av variasjonene i kostna-dene.

De kvartalsvise faste kostnadene er anslått til å være :

Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 705.720 209.870 705.720 385.840 705.720 99.760

Kr. 705.720,- Kr. 495.850,- Kr. 319.880,- Kr. 605.960,-

De variable kvartalsvise enhetskostnadene er anslått til å være :

Kvartal 1 Kvartal 2 Kvartal 3 Kvartal 4 Kr. 48,69 Kr. 40,74 Kr. 27,71 Kr. 42,89

En så stor forklaringsevne er neppe realistisk å håpe på, for mange analyser er en forklaringsevne over 70% et meget godt resultat. Dette eksemplet var konstruert med faste kostnader på hhv. 700.000, 500.000, 300.000 og 600.000 pr. kvartal, og variable kostnader på hhv. 50, 40, 30 og 45 pr. kvartal. Dataene var selvsagt konstru-ert slik at sesongvariasjonene skulle være lette å oppdage. Det er ikke alltid tilfellet.


3-19

DATA Produksjon

År Kvartal FK 2 FK 3 FK 4 VK 1 VK 2 VK 3 VK 4 Kostnad

1 1 0 0 0 6429 0 0 0 1014988

1 2 1 0 0 0 8149 0 0 830558

1 3 0 1 0 0 0 7236 0 508740

1 4 0 0 1 0 0 0 5319 840254

2 1 0 0 0 4052 0 0 0 910961

2 2 1 0 0 0 8814 0 0 843126

2 3 0 1 0 0 0 7377 0 525091

2 4 0 0 1 0 0 0 4567 794415

3 1 0 0 0 4162 0 0 0 902329

3 2 1 0 0 0 2431 0 0 576873

3 3 0 1 0 0 0 8879 0 578368

3 4 0 0 1 0 0 0 7459 922971

4 1 0 0 0 2586 0 0 0 827843

4 2 1 0 0 0 8441 0 0 835606

4 3 0 1 0 0 0 3791 0 427348

4 4 0 0 1 0 0 0 4803 798674

5 1 0 0 0 9235 0 0 0 1160572

5 2 1 0 0 0 1561 0 0 572203

5 3 0 1 0 0 0 9748 0 585112

5 4 0 0 1 0 0 0 2632 713905

6 1 0 0 0 8964 0 0 0 1133987

6 2 1 0 0 0 5539 0 0 734262

6 3 0 1 0 0 0 4111 0 433134

6 4 0 0 1 0 0 0 9138 993454

7 1 0 0 0 4868 0 0 0 951085

7 2 1 0 0 0 8943 0 0 876921

7 3 0 1 0 0 0 9297 0 577255

7 4 0 0 1 0 0 0 2742 731457

8 1 0 0 0 6250 0 0 0 1002506

8 2 1 0 0 0 7734 0 0 803598

8 3 0 1 0 0 0 3110 0 404035

8 4 0 0 1 0 0 0 4747 819838

9 1 0 0 0 2918 0 0 0 847551

9 2 1 0 0 0 6889 0 0 774109

9 3 0 1 0 0 0 3002 0 402020

9 4 0 0 1 0 0 0 6049 866400

10 1 0 0 0 7404 0 0 0 1074008

10 2 1 0 0 0 4430 0 0 675309

10 3 0 1 0 0 0 4229 0 441813

10 4 0 0 1 0 0 0 8264 968265

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9993

R Square 0,9985


Standard Error 8778

Observations 40

ANOVA


Regression 7 1,660E+12 2,372E+11 3078,324 2,1709E-43

Residual 32 2465816408 77056763

Total 39 1,663E+12


Intercept 705719,22 7579,59 93,1078 1,570E-40 690280,11 721158,33

FK 2 -209866,95 10580,67 -19,8349 1,525E-19 -231419,04 -188314,85

FK 3 -385840,75 10422,09 -37,0214 7,625E-28 -407069,84 -364611,66

FK 4 -99761,72 11005,37 -9,0648 2,366E-10 -122178,91 -77344,52

VK 1 48,69 1,24 39,2549 1,217E-28 46,16 51,21

VK 2 40,74 1,09 37,4824 5,176E-28 38,53 42,96

VK 3 27,71 1,08 25,5453 7,440E-23 25,50 29,92

VK 4 42,89 1,34 31,9492 7,541E-26 40,16 45,63

TABELL 3-6. Resultat fra regresjonsanalysen for sesongjusterte faste og variable kostnader.


3-20

Regresjonsanalyse og manglende variabler.

En konfeksjonsbedrift har spesialisert seg på produksjon av arbeidsklær. Etterspør-selen er svært variabel, men bedriften har forsøkt å holde de ansatte sysselsatt med annet forefallende arbeide i perioder med lav etterspørsel. Bedriften trenger gode kalkyler for å kunne gi presise anbud, og har derfor kjørt en regresjonsanalyse over dataene for de siste 36 ukene. Dataene er vist i TABELL 3-7.

DATA

Uke Mengde Arbeidstimer Produksjonsserier Felleskostnad

1 1143 1101 11 378834

2 518 598 24 417034

3 532 369 7 183777

4 898 971 13 333041

5 703 696 18 318129

6 1018 1032 16 344339

7 444 696 14 402708

8 952 1163 27 379257

9 324 479 29 374509

10 1116 1246 9 427690

11 1088 1002 13 371052

12 907 1053 28 411124

13 864 953 9 338973

14 921 825 7 314236

15 642 531 8 307243

16 1159 991 17 385784

17 733 834 9 411433

18 762 730 9 252084

19 522 745 15 332907

20 738 692 6 268790

21 1032 907 30 347367

22 853 831 12 375837

23 1149 1069 13 389369

24 448 551 6 425991

25 420 640 13 249093

26 452 401 20 197562

27 360 80 12 130922

28 858 812 29 289929

29 1163 1183 12 409914

30 354 492 15 432446

31 685 726 26 264186

32 931 1004 9 329224

33 712 777 27 357500

34 954 1030 6 356802

35 1115 1132 22 401679

36 1138 1424 26 436783

TABELL 3-7. Data fra konfeksjonsbedriften for de siste 36 ukene.

Bedriften har en sterk antagelse om at felleskostnadene varierer med produksjonen, og at arbeidstiden også påvirker felleskostnadene føler de seg ganske sikre på. De mener også at det påløper ekstra kostnader for hver produksjonsserie, ettersom det må foretas mange tilpasninger mellom hver serie.

Bedriften ble derfor meget forundret når regresjonsanalysen bare forklarte ca. 50% av variasjonene i felleskostnadene, og enda mer forundret over at koeffisienten for produksjonsserier ikke var signifikant forskjellig fra 0. Men mest av alt ble de for-skrekket over at kostnadene reduseres ved økt mengde. Se TABELL 3-8.


3-21

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,7127

R Square 0,5080



Observations 36

ANOVA


Regression 3 98163042663 32721014221 11,0132 3,9891E-05

Residual 32 95074584880 2971080778

Total 35 1,9324E+11


Intercept 223354,87 33965,807 6,5759 2,071E-07 154168,85 292540,90

Mengde -206,85 76,850 -2,6916 1,122E-02 -363,38 -50,31

Arbeidstimer 339,85 73,926 4,5972 6,382E-05 189,27 490,43

Produksjonsserier 190,98 1214,485 0,1573 8,760E-01 -2282,84 2664,80

TABELL 3-8. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften for de siste 36 ukene.

Bedriften foretok derfor en ny analyse, der produksjonsserier var utelatt som forkla-ringsvariabel. Dessverre ga den nye analysen omtrent samme resultat.

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,7125

R Square 0,5076



Observations 36

ANOVA


Regression 2 98089571838 49044785919 17,0101 8,3769E-06

Residual 33 95148055705 2883274415

Total 35 1,9324E+11


Intercept 226048,03 28895,356 7,82299 5,132E-09 167259,94 284836,12

Mengde -209,20 74,260 -2,81711 8,121E-03 -360,28 -58,11

Arbeidstimer 342,49 70,922 4,82910 3,050E-05 198,20 486,78

TABELL 3-9. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, uten produksjonsserier.

Bedriften kan ikke akseptere dette resultatet, ettersom kostnadene så avgjort ikke reduseres ved økt mengde. Tvert imot har de inntrykk av at kostnadene øker ved økt mengde, men blir ikke redusert særlig om produksjonen synker, fordi de ansatte blir forsøkt sysselsatt med annet arbeid.

Denne kunnskapen gir opphav til ideen om å lage en ny modell, der en også tar hensyn til de gangene produksjonen reduseres. En ny variabel konstrueres, lik diffe-ransen mellom denne uke og forrige ukes produksjon hvis produksjonen reduseres, ellers settes variabelen til 0. Hvis produksjonen er angitt i kolonne B, vil den nye variabelen i linje 5 kunne skrives som =MAX(B4 B5;0). Merk at denne variabelen ikke er definert i den første uken, ettersom vi da ikke er i stand til å beregne noen endring i forhold til foregående uke. Regresjonsanalysen må derfor starte i uke 2.

D Å R L I G

M O D E L L

Ulogisk resultat kan

skyldes at viktige


er utelatt.

Detaljert kunnskap

omkring produk-

sjonsforholdene og

bedriftens praksis er

ofte nødvendig for å

lage gode modeller.


3-22

A B C D E F

1 DATA

2

3 Uke Mengde Reduksjon Arbeidstimer Produksjonsserier Felleskostnad

4 1 1143 - 1101 11 378834

5 2 518 625 598 24 417034

6 3 532 0 369 7 183777

7 4 898 0 971 13 333041

8 5 703 195 696 18 318129

9 6 1018 0 1032 16 344339

10 7 444 574 696 14 402708

11 8 952 0 1163 27 379257

12 9 324 628 479 29 374509

13 10 1116 0 1246 9 427690

14 11 1088 28 1002 13 371052

15 12 907 181 1053 28 411124

16 13 864 43 953 9 338973

17 14 921 0 825 7 314236

18 15 642 279 531 8 307243

19 16 1159 0 991 17 385784

20 17 733 426 834 9 411433

21 18 762 0 730 9 252084

22 19 522 240 745 15 332907

23 20 738 0 692 6 268790

24 21 1032 0 907 30 347367

25 22 853 179 831 12 375837

26 23 1149 0 1069 13 389369

27 24 448 701 551 6 425991

28 25 420 28 640 13 249093

29 26 452 0 401 20 197562

30 27 360 92 80 12 130922

31 28 858 0 812 29 289929

32 29 1163 0 1183 12 409914

33 30 354 809 492 15 432446

34 31 685 0 726 26 264186

35 32 931 0 1004 9 329224

36 33 712 219 777 27 357500

37 34 954 0 1030 6 356802

38 35 1115 0 1132 22 401679

39 36 1138 0 1424 26 436783

TABELL 3-10. Data fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel.

Legg merke til at vi nå må be-gynne analysen fra uke nr. 2, og at vi derfor ikke kan bruke ”La-bels” lenger.

Ettersom vi ikke har fullt data-sett for uke 1 (vi mangler data for den nye variabelen), mister vi en frihetsgrad, fordi n (antall observasjoner) blir redusert med 1. Husk også at alle forkla-ringsvariablene må være i ett sammenhengende område.

FIGUR 3-11. Regresjonsanalyse med ny konstruert forklaringsvariabel (Reduksjon).


3-23

Benevning : Gjelder :

X Variable 1 Mengde X Variable 2 Reduksjon X Variable 3 Arbeidstimer X Variable 4 Produksjonsserier

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,9906

R Square 0,9813



Observations 35

ANOVA


Regression 4 1,8833E+11 47082121277 393,7232 1,8688E-25

Residual 30 3587453303 119581777

Total 34 1,9192E+11


Intercept 54934,68 9176,493 5,98646 1,4481E-06 36193,80 73675,56

X Variable 1 112,07 19,462 5,75839 2,7441E-06 72,32 151,82

X Variable 2 303,27 10,980 27,61913 6,8681E-23 280,84 325,69

X Variable 3 185,06 15,882 11,65203 1,1598E-12 152,62 217,50

X Variable 4 129,43 244,874 0,52857 0,6009909 -370,66 629,53

TABELL 3-11. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel.

Merk at ettersom vi nå ikke kan angi ”Labels”, i

FIGUR 3-11 så angis variablene med nummer i TABELL 3-11 :

Forbedringen i forklaringsevnen er enorm, man har nå lyktes å forklare over 98% av variasjonene i felleskost-nadene. Men bedriftsledelsen er fort-

satt overrasket over at produksjonsseriene ikke har en koeffisient signifikant forskjel-lig fra 0. En ny regresjonsanalyse uten produksjonsserier gir litt mer presise koeffisi-enter, men overfører seriekostnadene til de faste kostnadene. Se TABELL 3-12. Be-driften vurderer derfor fortsatt å benytte produksjonsserier som forklaringsvariabel i sine anbudskalkyler, ettersom de meget bestemt mener det er kostnader forbundet med å starte en ny produksjonsserie. Bedriften vi derfor benytte resultatene fra TA-

BELL 3-11.

SUMMARY OUTPUT


Multiple R 0,99052

R Square 0,98113



Observations 35

ANOVA


Regression 3 1,8830E+11 62765025087 537,3624 8,460E-27

Residual 31 3620863149 116802037

Total 34 1,9192E+11


Intercept 56668,56 8469,963 6,69053 1,7491E-07 39393,95 73943,17

X Variable 1 110,70 19,063 5,80706 2,1268E-06 71,82 149,58

X Variable 2 303,35 10,851 27,95650 1,4927E-23 281,22 325,48

X Variable 3 186,75 15,374 12,14725 2,5413E-13 155,40 218,11

D I L E M M A

Velge mellom :

Logisk modell, men

med en ikke signifi-

kant koeffisient.

Signifikant modell,

men ikke fullt så

logisk.


3-24

TABELL 3-12. Regresjonsanalysen fra konfeksjonsbedriften, med ny variabel, uten serier.


3-1

N U L L P U N K T S A N A L Y S E R O G P R I S S E T T I N G

4 - 1

Nullpunktsanalyser og

prissetting

Omsatt mengde og oppnådd salgspris er ofte de viktigste og mest usikre størrelsene for en bedrift.

et er viktig å skille mellom langsiktige beslutninger ved investeringer i pro-duksjonsmidler, og kortsiktige beslutninger om utnyttelsen av allerede an-skaffet utstyr. Investeringsanalyse og langsiktige beslutninger skal vi la ligge i denne omgang, og konsentrere oss om de daglige, kortsiktige be-

slutningene.

På kort sikt (under ett år) er produktenes kostnader og priser ofte fastsatt. IKEA har f.eks. fastsatt sine priser i sin produktkatalog for ett år av gangen. Den største usik-kerheten er derfor knyttet til solgt mengde. I slike situasjoner kan nullpunktsanalyser gi nyttig innsikt.

Nullpunktsanalyser

Nullpunktsanalyser har som mål å finne ut hvor stor omsatt mengde må være for at produksjonen skal være lønnsom. Alle de tre komponentene som inngår – mengde, kostnader og inntekter – kan analyseres, selv om det som regel er mengde vi anser som den usikre variabelen.

Nullpunktomsetningen, X0 er den omsetning som gir null i resultat :

p∙X0 [vk∙X0 + FK] = 0 db

FKX 0

p = enhetsprisen (eller gjennomsnittsprisen for et produktspekter). vk = variable enhetskostnader. db = dekningsbidraget = (p – vk). FK = totale faste kostnader i en gitt tidsperiode, upåvirket av aktivitetsnivået X. X0 = omsatt mengde X som gir 0 i totalresultat i en gitt tidsperiode. De viktigste forutsetningene som ligger til grunn for nullpunktsanalyser er at total inntekt og totale variable kostnader varierer proporsjonalt med mengden, mens de faste kostnadene forblir konstante i perioden, upåvirket av aktivitetsnivået X. Analy-sen avhenger derfor av hvilke faktorer som måler aktiviteten, og lengden på tidspe-rioden.

Del

4

D N U L L P U N K T S -

A N A L Y S E R

På kort sikt er vanligvis

omsatt mengde de usikre

faktoren.


4 - 2

De faste kostnadene kan betraktes som kapasitetskostnader på kort sikt (maksimalt ett år). Driftsuavhengige faste kostnader; som avskrivninger, eiendomsskatt, etc. vil også påløpe selv om driften innskrenkes eller stanses i en kort periode. Driftsavheng-ige faste kostnader; som annonser, vedlikehold, etc. kan falle bort dersom driften innskrenkes eller faller bort i en periode.

De variable kostnadene endres i takt med bedriftens aktivitetsnivå; som material og enkelte lønnskostnader, salgskostnader, etc. De variable kostnadene antas normalt å være proporsjonale, dvs. at enhetskostnaden er konstant slik at vi får en lineær ana-lyse. Men analysen kan også gjøres ikke-lineær hvis de variable kostnadene er over- eller under- proporsjonale, eller sprangvise (”faste” i små intervall).

Relevant tidsperiode for analysen er avgjørende for hvilke kostnader som er faste og hvilke som er variable. Ved en lang tidshorisont vil alle kostnadene bli variable. Ved innskrenkinger kan en selge bygninger etc., mens ved utvidelser vil nye investe-ringer bli foretatt. Ved en meget kort tidshorisont vil alle kostnadene være faste. Ma-terial er innkjøpt, arbeidere ansatt, etc. For statistiske analyser er tidsperioder på uker, måneder, kvartal eller maksimalt ett år hensiktsmessige periodelengder.

Prisen forutsettes konstant uavhengig av mengden. Ideelt fastsettes pris og mengde simultant; en kan ikke selge ubegrensede kvanta til en gitt pris. Men om vi er i en atomistsituasjon, der produksjonen utgjør en forsvinnende del av totalmarkedet for et homogent produkt, kan antagelsen om en konstant enhetspris være realistisk.

Nullpunktsanalyse og ett produkt.

En bedrift har nettopp investert i nytt produksjonsutstyr og topp mo-derne lokaler for 25 millioner kroner. Bedriften har spesialisert seg på et høyteknologiprodukt, som i den senere tid har hatt store prisvaria-sjoner. Følgende opplysninger foreligger :

Investeringer

Omløpsaktiva 20% av produksjonskostnadene.

Varelager 15% av omsetningen.

Maskiner, anlegg Kr. 25 mill. Levetid 15 år.

Produksjonsutstyret har en månedlig kapasitet på 10.000 enheter av produktet. Imidlertid øker kostnadene når kapasitetsutnyttelsen over-stiger 75%. Produksjonskostnadene er anslått til å være :

Variabel enhetskost

Kr. 200,- opp til 75% av kapasiteten.

Kr. 220,- fra 75% til 80% av kapasiteten.



Månedlige faste kostnader totalt beløper seg til ½ million kroner, ink-lusive avskrivninger. Med unntak av avskrivninger, forsikringer og


4 - 3

kommunale avgifter er alle disse driftsbetingede. Kalkulatoriske avskri-vinger er beregnet etter lineær metode. I tillegg påløper salgskostnader, som utgjør 5% av omsetningen.

Eierne vurderer investeringen i bedriften som en høyrisiko investering, både på grunn av ny og moderne teknologi, og også på bakgrunn i de store prisvariasjonene som har vært. De ønsker derfor 20% årlig av-kastning (nominell, før skatt) på sin kapital med utgangspunkt i 80% kapasitetsutnyttelse.

Vi må først beregne prisen eierne forlanger for å oppnå den ønskede avkastningen ved den angitte kapasitetsutnyttelsen.

Priskalkyle :

Omsetning : P8.000 stk. = 8000P

Produksjonskostnader kr. 2007.500 stk + kr. 220500 stk. = 1.610.000,-

Faste kostnader = 500.000,-

Salgskostnader 5%8000P = 400P

Resultat pr. måned : 7.600P–2.110.000

Dette månedlige resultatet skal gi 20% årlig avkastning på investert kapital.

Investert kapital :

Omløpsaktiva 20%1.610.000,- = 322.000,-

Varelager 15%8.000P = 1.200P

Anleggsaktiva = 25.000.000,-

Sum aktiva : 25.322.000 + 1.200P

20% avkastning pr. år av investert kapital tilsvarer en månedlig avkastning lik :

[25.322.000 + 1.200P](1,20(1/12) 1) = 387.666,41 + 18,37P

Vi får dermed følgende ligning når vi skal sette månedlig resultat lik ønsket månedlig

avkastning : 7.600P 2.110.000 = 387.666,41 + 18,27P P = 329,43 330,-

Om vi antar at nullpunktsomsetningen skjer før 7.500 stk. vår vi følgende ligning for å beregne nullpunktsomsetningen :

(330 200 3305%)X0 500.000 = 0 X0 = 500.000/(330–216,50) = 4.405 stk.

Ved en pris på kr. 330,- pr. stk. vil bedriften dekke sine kostnader ved en omsetning på 4.405 stk. pr. måned.

Merk at vi her fikk et svar som var innenfor vår forutsetning om at nullpunktet måtte inntre før de variable kostnadene begynte å øke. Vi kan illustrere beregningene i en figur, slik som i FIGUR 4-1.

A V K A S T N I N G

Årlig avkastningskrav for-

skjellig fra månedlig av-

kastningskrav.


4 - 4

FIGUR 4-1. Nullpunktsanalyse.

Prisen har den siste tiden sunket på grunn av sterk konkurranse, og ligger for tiden helt nede på kr. 260,- pr. stk. Som en ser av FIGUR 4-2 så vil en så lav pris aldri dekke de totale kostnadene. Bedriften kan derfor ikke leve med en slik pris på lang sikt. Det er imidlertid ikke opplagt at bedriften bør legges ned kommende måned.

Optimal tilpassing skjer som alltid der marginalkostnaden er lik marginalinntekten.

Netto marginalinntekt = Pris Salgskostnader = 260 5%260 = 247,-

Marginalkostnaden er i dette tilfellet lik de variable enhetskostnadene :

P R I S E N D R I N G

Helningen på inntektslin-

jen endres ved endring i

salgspris.

Omsetning

Pris = 330

Totale

kostnader

Faste

kostnader

Nullpunkt

Marginalkostnad

Kr. 200,- opp til 7500 stk.

Kr. 220,- fra 7500 til 8000 stk.

Kr. 240,- fra 8000 til 9000 stk.

Kr. 250,- fra 9000 til 10000 stk.

Optimal tilpassing skjer ved 9.000 stk. Da er marginalinntekten lik marginalkostnaden.

Optimum

200

9000

Marginal-

kostnad

Mengde

Inntekt/Kostnad


4 - 5

FIGUR 4-2. Nullpunktsanalyse, redusert salgspris.

Selv om vi altså ikke får dekt alle kostnadene våre, så kan det likevel hende at det er lønnsomt å drive produksjonen neste måned, også ved en så lav pris som kr. 260. Optimal tilpassing er i så fall ved en produksjon på 9.000 stk.

Driftsresultat :

Omsetning : 2609.000 stk. = 2.340.000,-

Produksjons-

Kostnader :

kr. 2007.500 stk + kr. 220500 stk. +

kr. 2401.000 stk = 1.850.000,-

Driftsbetingede

faste kostnader :

500.000

(25.000.000/15 år)/12 mnd = 316.111,-

Salgskostnader : 5%2609.000 = 117.000,-

Resultat pr. måned : 11.889,-

Vi ser at selv med en så lav pris som kr. 260,- pr. stk. så er driften lønnsom, i den forstand at den dekker kr. 11.889,- av de driftsuavhengige faste kostnadene. Å legge ned driften en måned vil medføre et tap som er kr. 11.889,- større enn om produk-sjonen opprettholdes. På lang sikt, dvs. en tidshorisont der salg av hele anlegget er aktuelt, slik at også årlige faste kostnader kan endres eller falle bort, så kan bedriften ikke leve med en så lav pris. (Minimumsprisen på lang sikt er kr. 273,68 ved 10.000 stk. pr. måned. Den gir imidlertid 0% avkastning på investert kapital.)

Omsetning Pris = 260

Totale kostnader

Faste kostnader

Inntekt/kostnad


4 - 6

Nullpunktsanalyse i regneark.

Vi kan også foreta nullpunktsanalysen i regneark. En bør imidlertid ta seg tid til å organisere regnearket på en oversiktlig måte, det letter både arbeidet med regnearket og den senere bruken av utskriften eller analysene fra regnearket.

Det finnes ingen entydig beste måte å organisere et regneark på. Eksemplet under er derfor ikke den eneste riktige måten å løse problemet på.

FIGUR 4-3. Priskalkylen i regneark.

For å finne prisen som gir den ønskede avkastningen, kan man benytte ”Goal Seek”, som finnes under Tools -menyen i Excel. Det gir følgende dialogboks :

FIGUR 4-4. Goal Seek dialog boks.

En ønsker å sette verdien i celle F22, som er lik Resultat - Ønsket avkastning, til ver-dien 0; ved å endre celle $F$4, som er Pris. Dermed finner vi prisen som gir en avkast-ning på 20% pr. år.


4 - 7

A B C D E F

1

2 Kostnadsanslag Produktkalkyle

3 Kvantum Enhetskostnad Mengde 8000

4 7500 200 Pris 329,436659602665

5 8000 220 Omsetning =Pris * Mengde

6 9000 240

7 10000 250 Produksjonskostnader

=MIN($B$4;F$3)*$C$4 + MAX(MIN($B$5;F$3)-$B$4;0)*$C$5 + MAX(MIN($B$6;F$3)-$B$5;0)*$C$6 + MAX(MIN($B$7;F$3)-$B$6;0)*$C$7

8 Faste kostnader 500000

9 0,05 Salgskostnader =$D$9 * Omsetning

10 Totale kostnader =Produksjonskostnader + Faste kostnader + Salgskostnader

11

12 Resultat =Omsetning - Totale kostnader

13

14 Investeringer

15 0,2 Omløpsaktiva =$D$15 * Produksjonskostnader

16 0,15 Varelager =$D$16 * Omsetning

17 Anlegg =25000000

18 Aktiva =Omløpsaktiva + Varelager + Anlegg

19

20 0,2 Ønsket avkastning =Aktiva * ((1 + $D$20)^(1/12) - 1)

21

22 Målsettingsavvik =Resultat - Ønsket avkastning

TABELL 4-1. Formlene i regnearket.

Dette regnearket er ganske lite og relativt oversiktlig. Men definisjonen av produk-sjonskostnader (celle F7) kan vel trenge en liten forklaring:

Første leddet i formelen; =MIN($B$4;F$3)*$C$4 beregner kostnadene for alle produk-

sjonsmengder (F$3) mindre enn 7500 ($B$4) stk.; ved å multiplisere den minste av

disse størrelsene (MIN($B$4;F$3)) med enhetskostnaden på kr. 200 ($C$4) pr. stk.

Neste ledd i formelen : + MAX(MIN($B$5;F$3)-$B$4;0)*$C$5; beregner eventuelle kvanta

mellom 8.000 stk. ($B$5) og 7.500 stk. ($B$4) ved å ta det minste av produksjonsmeng-

den (F$3) og øvre grense på 8.000 stk. ($B$5) og trekke fra nedre grense ($B$4). I tilfel-

ler hvor dette gir et negativt tall ( produksjonen er mindre enn 7.500 stk.) benyttes ut-

trykket MAX(………;0) for å nøytralisere disse tilfellene. Kvanta mellom 7.500 og 8.000

stk. multipliseres så med enhetskostnaden på kr. 220 ($C$5).

De to siste leddene beregner kvanta mellom 8.000 og 9.000 stk. og kvanta mellom

9.000 og 10.000 stk.; og multipliserer disse med kostnadene på hhv. 240 og 250.

Dette regnearket kan nå benyttes til å finne nullpunktsomsetningen, og uten at vi behøver å ta forutsetninger om at nullpunktet inntrer før produksjonskostnadene begynner å stige, fordi vi har definert produksjonskostnadene fullstendig for at hvil-ket som helst kvantum.


4 - 8

Vi kan benytte samme framgangsmåte som da vi fant ønsket salgspris, ved at vi be-nytter Goal Seek funksjonen. Men Target Cell er nå celle F12; Resultat, som ønskes satt lik 0, ved å endre celle F3, Mengde.

Om vi ønsker å beholde løsningen vår ved 80% kapasitetsutnyttelse, kan vi lage flere kolonner i regnearket, og la mengden variere fra kolonne til kolonne. Enkleste måten å gjøre dette på er å markere cellene F3:F22 og flytte markøren ned til nederste høyre hjørnet av det markerte området slik at kopieringssymbolet (+)vises. Da er det bare å holde nede venstre mustast og dra over det ønskede antall nye kolonner. En kan så f.eks. foreta Goal Seek analysen for nullpunktet i kolonne G.

FIGUR 4-5. Regnearket utvidet med flere kolonner for forskjellige kvanta.

FIGUR 4-6. Goal Seek for nullpunktsanalysen.

Vi finner altså nullpunktet ved å sette resul-tatet (celle $G$12) til verdien 0; ved å vari-ere mengden (celle $G$3).

Legg merke til at prisen er rundet av til kr. 330,- i de nye kolonnene.

Det finnes også en alternativ metode for å lagre alternative løsninger for et regneark. I stedet for at vi laget nye kolonner for alternative mengder, kunne vi f.eks. benytte Scenario under Tools menyen. Da får vi først opp en dialogboks tilsvarende FIGUR

4-7. Når vi lager et nytt scenario må vi flytte pekeren på ”knappen” merket ”ADD” og trykke på venstre mustast. Da dukker en ny dialogboks opp, som i FIGUR 4-8. Her fyller vi ut et passende navn på scenariet; f.eks. Basis, for å angi at dette er ut-gangspunktet. Vi må også angi hvilke celler i regnearket som skal endres i de alterna-tive scenariene, i FIGUR 4-9.


4 - 9

FIGUR 4-7. Dialogboks for Scenario Manager.

FIGUR 4-8. Dialogboks for angivelse av navn og endringsceller for scenariet.

FIGUR 4-9. Dialogboks for angivelse av verdier i endringscellene.


4 - 10

FIGUR 4-10. Dialogboks for å velge ønsket scenario.

Vi kan så foreta nullpunktsanaly-sen med Goal Seek, og så lage et nytt scenario som vi kan kalle Nullpunkt, på samme måte som vi laget scenariet Basis. Vi kan da skifte mellom de forskjellige sce-nariene ved å velge ett av de og så trykke på ”Show”, som i FIGUR

4-10.

Vi kan også lage et sammendrag av de alternative scenariene ved å trykke på ”Summary”. Da oppret-tes et nytt ark, med verdiene for endringscellene, samt verdiene på de cellene vi angir som reslutat-celler.

FIGUR 4-11. Dialogboks for å angi re-sultatcellene for et sammendrag av alle scenariene.

Dette gir følgende sammendrag av scenariene :

FIGUR 4-12. Sammendrag av alle sce-

nariene.


4 - 11

En tredje måte å analysere effekten av alternative produksjonskvanta er å benytte Tabell funksjonen i Excel. Men først må en klargjøre regnearket. Det kan f.eks. gjøres slik :

FIGUR 4-13. Regneark klargjort for bruk av Tabell funksjonen.

Her er det klargjort for en tabell der Inntekt (F5), Faste kostnader (F8), Totale kost-nader (F10) og Overskudd (F12) skal beregnes for varirende Mengde. Dette gjøres ved å lage en tabell med henvisning til de formlene en ønsker å beregne forskjellige verdier ved varierende mengder. Disse henvisningene skrives inn i øverste linje i ta-bellen (B25:E25). I første kolonne (A26:A46) angis så de verdiene en ønsker å be-nytte for variabelen Mengde.


4 - 12

FIGUR 4-14. Regneark med angivelse av område for tabellen.

Fra Data menyen velger vi så ”Table”. Vi må så angi hvilken celle i regnearket som skal referere til kolonnen med de alternative verdiene for produksjonskvanta :

FIGUR 4-15. Angivelse av cellereferansen i regnearket som skal anta varierende verdier.


4 - 13

Da ender vi opp med følgende tabell :

FIGUR 4-16. Resultatet av bruk av Tabell funksjonen under Data menyen.

Vi har nå fått analysert Inntekt, Faste kostnader, Totale kostnader og Overskudd for varierende kvanta. Denne tabellen er et godt utgangspunkt for å lage en grafisk fram-stilling av vår nullpunktsanalyse. Dette gjøres enklest ved å bruke ”Chart Wizard” og velge typen Scatter diagram. Da kan vi f.eks. ende opp i et diagram tilsvarende FI-

GUR 4-17.

Vi har nå vist tre forskjellige metoder for å analysere et en problemstilling ved hjelp av et regneark; enten å lage flere kolonner der vi varierte produksjonsmengden, eller ved at vi benyttet forskjellige Scenario til å analysere effekten av forskjellige verdier for pris og mengde, eller ved at vi benyttet Tabell funksjonen. Men dette er bare noen få av mulighetene som bruk av regneark gir oss.


4 - 14

FIGUR 4-17. Grafisk presentasjon av tabellen i FIGUR 4-16.

Nullpunktsanalyse og flere produkter.

Hvis foretaket produserer mange forskjellige produkter, blir problemstillingen mer kompleks. Hvis en kan henføre noe av de faste kostnadene til de enkelte produktene (produktgruppene), kan en foreta en nullpunktsanalyse for hvert produkt. Men det vil uansett være kostnader som ikke direkte kan henføres til et bestemt produkt og som derfor er felles for alle produktene. Disse kostnadene vil derfor forbli udekket ved denne framgangsmåten. En alternativ metode er derfor å anta at det er et kon-stant omsetningsforhold mellom produktene. En finner da den totale omsetningen som med det gitte forholdet mellom produktene gir null i resultat. Anta f.eks. at et foretak produserer 3 forskjellige produkter :

Produkt A Produkt B Produkt C

Salgspris 20 25 40 Variable enhetskostnader : Material 5 6 15 Lønn 4 5 10 Indirekte kostnader 2 2 3 Salgskostnader 2 3 4

Variabel enhetskost 13 16 32

DB 7 9 8

Tabell 4-2. Data for et multiprodukt foretak.

De faste kostnadene utgjør totalt kr. 800.000, hvorav 500.000 er i produksjonen. Om vi antar at produkt A , B og C utgjør hhv. 20%, 30% og 50% av produksjonen, kan vi foreta en nullpunktsanalyse.

Nullpunktanalyse

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Mengde

Inntekt

Faste kostnader

Totale kostnader


4 - 15

FIGUR 4-18. Nullpunktsanalyse med multiple produkter.

Her er Solver benyttet til å finne nullpunktet. Goal Seek kan nemlig ikke benyttes hvis den cellen som skal justeres består av en formel. Solver finnes under Tools me-nyen, og gir følgende dialogboks :

FIGUR 4-19. Angivelse av målsettingen og end-ringsceller i Solver.

Her ønskes Resultat ($F$22) lik 0, ved å endre Mengde Totalt ($F$13).

Forutsetningen for at en multippel nullpunktsanalyse skal fungere, er at vi antar et konstant omsetnings-forhold, som f.eks. 20% A, 30% B og 50% C. Hvis disse andelene kan variere fritt finnes nemlig et uendelig antall mengdekombinasjoner som gir et dekningsbidrag like stort som de faste kostnadene.


4 - 16

Prissetting

Prissettingsbeslutninger kan være meget komplekse og viktige. Å fastsette prisen på et nytt serieprodusert produkt med forventet lang levetid og store investeringer kan være en svært strategisk viktig og langsiktig beslutning. Derimot vil en liten tilleggs-ordre ved ledig kapasitet for en ordreproduserende bedrift ikke være noen kompli-sert prisbeslutning.

I praksis er prissettingen ofte basert på kostnadsanalyser. En bedrift som produserer et vidt spekter av spesialprodukter vil ofte differensiere prisene basert på produkte-nes kostnader. For standardprodukter med en gitt markedspris er kostnadene avgjø-rende for valg av produksjonsmengde, produksjonsmetode, etc.

Selv om det i praksis synes å være stor forskjell på prisbeslutningene som f.eks. IKEA foretar når de fastsetter prisene i sin produktkatalog for ett år i gangen, i forhold til et lite verksted som tar tilfeldige reparasjonsoppdrag, så bygger de på samme prin-sipp: de ønsker å ta den prisen som gir størst fortjeneste.

Teoretisk prissetting

Optimal pris og mengde må i prinsippet fastsettes simultant, og vil alltid inntre der marginalkostnaden er lik marginalinntekten :

Dette kan illustreres i en figur :

FIGUR 4-20. Optimal prisfastsetting.

Metoden er kanskje best egnet til å finne agreert markedslikevekt, den kan være vans-kelig å anvende på spesifikke produkter for en enkelt produsent.

O P T I M A L P R I S

Marginalkostnad

=

Marginalinntekt

Optimal pris/mengde : Marginalkostnad = Marginalinntekt

Marginal-

inntekt

Monopol Atomist

P*

P

Q* Q*

Etterspørsel

Marginal-

kostnad

Marginal-

kostnad


4 - 17

Problemer med teoretisk prissetting.

1) VANSKER MED Å ESTIMERE ETTERSPØRSELEN:

a) Total., aggregert markedsetterspørsel kan ofte estimeres, men sjelden for et spesifikt produkt fra en produsent.

b) Krever økonometriske ferdigheter; må ta hensyn til alle variabler, pro-blem med ikke-stasjonæritet og simultane ligninger.

c) Vansker med å modellere konkurrentenes reaksjoner på prisendringer.

d) Andre faktorer som produktegenskaper, reklame, distribusjon, service, etc. påvirker både kostnadene og etterspørselen.

2) VANSKER MED Å ESTIMERE MARGINALKOSTNADEN:

a) Prissetting og produktmiksbeslutninger er i utgangspunktet langsiktige beslutninger. Marginalkostnaden må i tillegg til de kortsiktige variable kostnadene også innbefatte:

i) Produktets kapasitetskostnader

ii) Felleskostnader og indirekte kostnader, nødvendig for å beholde produktet.

iii) Produktets kapitalkostnader.

Ad i): Fastsettelse av produktets kapasitetskostnader krever estimering av periodens verdifall, samt eventuelle problemer med å fordele felles-kostnader for fellesprodukter, og å fastslå alternativkostnaden for bruk av knappe ressurser.

Ad ii): Faste kostnader og administrasjonskostnader er typiske felleskost-nader og indirekte kostnader, nødvendig for å beholde produktet. Selv om disse kostnadene er ”historiske” eller ”faste”, utgjør de en del av marginalkostnaden, fordi en del av disse kostnadene vil for-svinne hvis produktet legges ned.

Ad iii): Produktets kapitalkostnader, inklusive arbeidskapital og langsiktige aktiva, er en alternativ rentekostnad. I tillegg til problemet med å fastslå et spesifikt produkt's kapitalbehov, kan det være vanskelig å angi korrekt rentesats for kapitalkostnaden.

En langsiktig marginalkostnadsfunksjon kan derfor ikke utledes av et historisk kost og transaksjonsbasert kostnadsregnskap.

Og husk : Q

TCMC

MC = Marginalkostnad

TC = Totale kostnader

Q = Mengde


4 - 18

Prissettingsmetoder i praksis.

I praksis er de fleste metodene for prissetting ensidig basert på kostnadene, uten særlig hensyn til etterspørselen.

Full kost prissetting.

De vanligste formene for prissetting i praksis tar sikte på full kostnadsdekning, med et tillegg for ønsket fortjeneste.

1) ESTIMERING AV DIREKTE KOSTNADER.

2) ESTIMERING AV INDIREKTE KOSTNADER : a) Fordeling av indirekte kostnader etter :

i) Direkte arbeidstid ii) Materialkostnader iii) Produksjons/maskintid

b) Fordelingssatsene blir typisk beregnet ut fra forventede totale kostnader og forventet total mengde.

c) Fordeling av felles administrasjonskostnader etter f.eks. tilvirkningskost. 3) PÅSLAG FOR ØNSKET FORTJENESTE.

Metodens største fordel er at den gjør det enkelt å fastsette priser etter at budsjettene for totale kostnader og aktivitetsnivå er utarbeidet. Den har imidlertid enkelte ulem-per. Prisen vil sjelden samsvare med markedsprisen; man kan lett prise for høyt og derved tape kunder, eller prise for lavt og tape inntekter. Man blir også sårbar overfor konkurrenter som benytter minimumkostmetoden ved ledig kapasitet. Metoden tar dessuten sjelden hensyn til alternativkostnadene ved bruk av knappe ressurser, og som regel overser en at forskjellige produkter legger ulik beslag på kapital. Det er dessuten ikke alltid at ønsket fortjeneste samsvarer med ønsket avkastning; 20% for-tjeneste gir ikke nødvendigvis 20% avkastning på investert kapital.

Metoden er imidlertid enklere å bruke enn teoretisk prissetting basert på marginal-kostnader og inntekter. Full kost prissetting vil også gi stabile priser tross fluktuasjo-ner i etterspørselen, hvis kalkylene er basert på et standard aktivitetsnivå. (Det vil da imidlertid oppstå problemer med over/underdekning av faste kostnader.) Hvis alle i en bransje benytter full kost prissetting kan det dessuten skape ensartede priser uten prissamarbeid. Det har dessuten vært moralsk akseptert å foreta prisøkninger i for-bindelse med kostnadsøkninger i perioder med priskontroll, med henvisning til pris-kalkyler basert på full kostnadsdekning. Mange av ulempene kan dessuten reduseres ved variasjoner i fortjenestepåslaget. Et lite eksempel på metoden:

Direkte material 2 stk. á kr. 50,- 100,00 Direkte lønn 1 time á kr. 150,- 150,00 Indirekte variable kostnad : 20% av material 20,00 20% av lønn 30,00 Indirekte fast kostnad : kr. 50,- pr. time 50,00 350,00

Felles administrasjon : 20% av tilvirkningskost 70,00 420,00 Fortjeneste : 10% av kostnadene 42,00

Salgspris : 462,00

Prissetting basert på avkastningskrav.

Metoden er i prinsippet basert på full kostnadsdekning, men har en mer systematisk begrunnelse og beregning av påslaget for fortjeneste.

F U L L K O S T

Direkte kostnad

+ indirekte variable

+ faste kostnader

+ påslag for fortjeneste

= Salgspris


4 - 19

1) ESTIMERING AV VARIABLE KOSTNADER.

2) ESTIMERING AV FASTE KOSTNADER.

3) FORDELING AV FASTE KOSTNADER, BASERT PÅ ET STAN-DARD AKTIVITETSNIVÅ.

4) ESTIMERING AV ANLEGGSAKTIVA OG ARBEIDSKAPITAL.

5) BEREGNING AV PÅSLAG BASERT PÅ ØNSKET AVKASTNINGS-KRAV OG ESTIMERT KAPITALBEHOV.

Metoden har de samme fordelene som full kost prissetting: Det er enkelt å fastsette prisene, straks budsjettene for totale kostnader og aktivitetsnivå er utarbeidet. I tillegg blir det lett å tallfeste og begrunne påslaget (hvis en ser bort fra vanskene med å fastsette relevant avkastningskrav på investert kapital). Metoden vil gi stabile priser hvis kalkylen baseres på et standard aktivitetsnivå. Og prisene oppfattes som moralsk forsvarlige.

Men metoden har mange av de samme ulempene: Den tar ikke hensyn til konkur-ransesituasjonen, ei heller ikke hensyn til alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser (om metoden modifiseres vil den gi ustabile priser, ettersom alternativkost-nadene varierer med aktivitetsnivået).

Metoden tar heller ikke hensyn til etterspørselssituasjonen. Dette kan imidlertid til-passes. En kan f.eks. først beregne prisen, og så vurdere om den må justeres for å nå ønsket mengde. Eller en kan først anslå markedsprisen, og så vurdere om kostnadene må reduseres for å oppnå ønsket avkastning på investert kapital.

Et eksempel på denne måten å fastsette prisen på er vist i det første eksemplet i dette kapittelet (med ønske om 20% avkastning på investert kapital).

Aktivitets/ transaksjonsbasert kostnadsfordeling (ABC- kalkyler).

De tradisjonelle kostnadsfordelingsmetodene er ofte grove og for unøyaktige til at de gir en rimelig beskrivelse av sammenhengen mellom kostnadene og produktene.

Endringsanalyser, bidragskalkyler, nullpunktsanalyser, etc. har en tendens til å under-vurdere variable kostnader som : kostnader som varierer med mengdeendringer over en kort periode. Felleskostnader, salgskostnader, administrasjonskostnader, etc. vil

I N F L U E N S -

D I A G R A M

Pris

Inntekt

Mengde

Produksjonskost

Salgskostnad

Faste kostnader

RESULTAT

Omløpsaktiva

Varelager

Anlegg

Sum AKTIVA

Ønsket av-

kastning


4 - 20

ofte ikke variere med produksjonsmengden, men med produktspekterets spenn-vidde og kompleksitet. Disse kostnadene er typisk sprangvise og kan vokse fort. Disse kostnadene blir ikke påvirket av produksjonsvolumet, man av transaksjonsvo-lumet :

bestille, utføre og bekrefte materialbevegelser,

utføre produksjonsplanlegging og material- og lagerplanlegging,

utføre kvalitetskontroll,

ajourføre eller endre materiallister, produksjonsrutiner, standarder og spesi-fikasjoner.

Kostnadsfordelingen av disse indirekte kostnadene bør derfor baseres på produktets transaksjonsbehov. F.eks. antall setups, deler, forhandlere, inspeksjoner, betalinger, modifikasjoner.

Et kostnadsfordelingssystem bør forsøke å spore direkte til produktene alle kostna-dene i en bedrift/organisasjon, ikke bare de rene produksjonskostnadene. Dette in-kluderer også kostnadene ved å etablere distribusjonskanaler, salgskostnader, inklu-sive reklamekostnader, servicekostnader ovenfor kunden, og administrasjonskostna-der som ingeniørdesign, produksjonsforbedringer, kjøp, informasjonssystemer, øko-nomiske analyser. Å fordele disse kostnadene like på alle produktene ved en felles % sats kan skape enorme feil og kryss subsidiering mellom produktene :

Indirekte kostnader er ofte større for lavvolum, ny introduserte spesial pro-dukter enn masseproduserte enkle standardprodukter.

En felles % sats vil belaste de masseproduserte standardproduktene med uforholdsmessig høye kostnader samtidig som lavvolum spesialprodukter blir belastet for lite.

Dette kan føre til gale produktvalg. Husk faren ved å fordele faste kostnader !

Prissetting nye produkter og produksjonsbeskrankninger.

Fortsatt er prinsippet at optimal tilpassing krever likhet mellom marginalinntekter og marginalkostnader. Men like enkelt kan en si at prisen må være slik at resultatet med det nye produktet må være minst like stort som resultatet uten at produktet lanseres. For nye produkter der etterspørselsfunksjonen er ukjent kan et slikt resonnement hjelpe til å finne en akseptabel pris, uten kjennskap til marginalinntektene.

Problemet er selvsagt at uten prisen på det nye produktet kan en ikke finne de opti-male mengdene. I eksemplene som følger skal vi vise hvordan vi kan søke oss fram til logiske optimale mengder for det nye produktet, og derved finne hvilke priser som i så fall må gjelde for at disse alternative kvantaene skal gi like godt resultat som uten det nye produktet.

Minimumspris på gammelt produkt.

En bedrift produserer to produkter, X og Y. Produkt Y er et standard produkt med en markedspris på kr. 500,- pr. stk. Produkt X har ingen entydige konkurrenter, og bedriften er derfor svært usikker på hvilken pris de skal forlange. Bedriften er imidlertid redd for å prise for høyt, ettersom en større konkurrent da kan kaste seg inn i markedet. Hvis dette ikke skjer, regner bedriften med at etterspørselen etter både pro-


4 - 21

dukt X og Y vil overstige bedriftens egen produksjonskapasitet. Pro-duksjonen foregår i tre avdelinger; A, B og C. Følgende tabell viser ka-pasitetsforbruk, kapasiteter og kostnader :

Avdeling X Y Kapasitet Fast kostnad Variabel kostnad

A 2t 4t 16.000t pr. år 150.000,- pr. år 30,- pr. t B 5t 6t 26.000t pr. år 250.000,- pr. år 20,- pr. t C 2t 2t 10.000t pr. år 100.000,- pr. år 10,- pr. t

Material 20,- 120,- Totalt: 500.000,- pr. år

Dette gir følgende kalkyle :

BIDRAGSKALKYLE: X Y

Material 20,- 120,- Variabel kostnad avd. A 230,- = 60,- 430,- = 120,-

B 520,- = 100,- 620,- = 120,- C 210,- = 20,- 210,- = 20,-

Variable kostnader 200,- 380,- Pris P 500,-

Dekningsbidrag P – 200,- 120,-

FIGUR 4-21. Grafisk analyse.

For en gitt pris på produkt X vil optimal tilpassing være i ett av punktene 0 – 4.

Punkt 0 [ingen produksjon] vil være det optimale hvis driftsresultatet er negativt.

Punkt 1 [produksjon av kun Y] gir årlig resultat: 4000120 – 500.000 = –20.000,- Hvis de faste kostnadene er driftsbetingede, er det mer lønnsomt å legge ned pro-duksjonen [punkt 0]. Det vil i så fall gi et resultat på 0,-.

Punkt 2 [1000X og 3500Y] er bedre enn punkt 1 [4000 Y] hvis :

1000(P–200) + 3500120 > 4000120 P > 260,-

Når P > 260,- vil det lønne seg å produsere 1000X og 3500Y [punkt 2] framfor kun 4.000Y [punkt 1]. Men for å dekke de faste kostnadene må prisen være slik at :

1000(P–200) + 3500120 = 500.000 P = 280,-

Punkt X Y

0 0 0 1 0 4000 2 1000 3500 3 4000 1000 4 5000 0

Y

X 0

1

2

4

3

Avdeling C:

2X + 2Y 10.000

Avdeling A:

2X + 4Y 16.000

Avdeling B:

5X + 6Y 26.000


4 - 22

Punkt 3 [4000 X og 1000 Y] er bedre enn punkt 2 [1000X og 3500Y] hvis :

4000(P–200) + 1000120 > 1000(P–200) + 3500120 P > 300,-

Punkt 4 [5000 X] er bedre enn punkt 3 [4000 X og 1000 Y] hvis :

5000(P–200) > 4000(P–200) + 1000120 P > 320,-

Vi får derfor følgende konklusjon :

Pris X Optimal tilpassing :

P < 260 Punkt 1 [4000Y]. Hvis de faste kostnadene er driftsbetingede bør driften legges ned [punkt 0]

260 P < 300

Punkt 2 [1000X og 3500Y] Nullpunkt for P = 280,- Legg ned [punkt 0] for P < 280,-.

300 P < 320 Punkt 3 [4000X og 1000Y]

320 P Punkt 4 [5000X]

FIGUR 4-22. Optimal tilpassing og resultat for alternative priser P for produkt X.

280 260 300 320

100.000

20.000

-20.000

0

Tilpassing i punkt 1 : 4000Y. Punkt 0 optimalt for P < 280.

Tilpassing i punkt 2 : 1000X og 3500Y. Punkt 0 optimalt for P < 280.

Tilpassing i punkt 3 : 4000X og 1000Y.

Tilpassing i punkt 4 : 5000X.


4 - 23

Om vi løser problemstillingen i regneark, kan regnearket f. eks. se slik ut :

FIGUR 4-23. Regneark med pris P for produkt X lik 0. Tilpassing i punkt 1.

A B C D E F G H I

1

2 X Y Totalt Kapasitet Faste Variable

3 Avdeling A 2 4 =SUMPRODUCT

($C$11:$D$11;C3:D3) ≤ 16000 150000 30

4 Avdeling B 5 6 =SUMPRODUCT

($C$11:$D$11;C4:D4) ≤ 26000 250000 20

5 Avdeling C 2 2 =SUMPRODUCT

($C$11:$D$11;C5:D5) ≤ 10000 100000 10

6 Material 20 120 =SUM(H3:H5)

7 Variable =SUMPRODUCT (C3:C5;$I$3:$I$5)

=SUMPRODUCT (D3:D5;$I$3:$I$5)

8 Pris 0 500

9 Dekningsbidrag =C8-SUM(C6:C7) =D8-SUM(D6:D7) =SUMPRODUCT

($C$11:$D$11;C9:D9) =E9-H6 Resultat

10

11 Mengde 0 4000

TABELL 4-3. Definisjonen av regnearket.

FIGUR 4-24. Bruk av Solver.

Totalt resultat ($G$9) maksimeres ved å va-riere mengden ($C$11:$D$11), men slik at kapasitetene ikke overskrides.


4 - 24

Vi ser at med en pris P lik 0 for produkt X får vi optimal tilpassing i punkt 1, dvs. å bare produsere maksimalt med produkt Y. Ettersom de faste kostnadene ikke blir påvirket av produksjonsvolumet, vil Solver aldri velge punkt 0 så lenge minst ett av produktene gir et positivt dekningsbidrag. (Vi kan ta hensyn til de faste kostnadene vha. binærvariabler, men det skal vi komme tilbake til senere.) Resultatet i punkt 0 vil nemlig bli –500.000,-.

For å finne ut hvor mye prisen på produkt X må økes (fra 0), for at det skal bli lønnsomt å produsere produktet, kan vi be om sensitivitetsanalysen i Solver :

FIGUR 4-25. Be om Sensitivity rapport i Solver.

Vi får da følgende rapport :

Adjustable Cells



$C$11 Mengde X 0 -260 -200 260 1E+30

$D$11 Mengde Y 4000 0 120 1E+30 120

TABELL 4-4. Utdrag fra sensitivitetsanalyse med pris P = 0.

Vi ser fra kolonnen ”Allowable Increase” at koeffisienten i målfunksjonen (dvs. dek-ningsbidraget) kan øke med 260 uten at løsningen ”Final Value” endres. Hvis vi øker prisen på produkt X med mer enn kr. 260,- (fra 0,-) så vil altså den optimale løsningen bli en annen. Om vi bruker Solver når prisen er endret til 261, får vi :

FIGUR 4-26. Optimal løsning når P = 261. Tilpasning i punkt 2.

Vi ser at vi fortsatt går med underskudd.

X Y Totalt Kapasitet Faste Variable

Avdeling A 2 4 16000 16000 150000 30

Avdeling B 5 6 26000 26000 250000 20

Avdeling C 2 2 9000 10000 100000 10

Material 20 120 500000

Variable 180 260

Pris 261 500

Dekningsbidrag 61 120 481000 -19000 Resultat

Mengde 1000 3500


4 - 25

FIGUR 4-27. Goal Seek for å finne minimumsprisen.

For å finne ut hva prisen må være for at resul-tatet skal bli 0 kan vi bruke ”Goal Seek”. Ikke uventet blir svaret : 280.

FIGUR 4-28. Regneark med svar fra Goal Seek.

Om vi setter prisen tilbake til 261 og ber om sensitivitetsanalyse av denne løsningen, gir Solver følgende svar :

Adjustable Cells



$C$11 Mengde X 1000 0 61 39 1

$D$11 Mengde Y 3500 0 120 2 46,8

TABELL 4-5. Sensitivitetsanalyse når P = 261.

Vi ser at dekningsbidraget (og derved prisen) kan økes med 39, dvs. prisen må være større enn 261+39 = 300, for at vi skal få en annen løsning enn punkt 2. Om vi setter prisen til kr. 301,- og løser regnearket på nytt v.h.a. Solver, får vi følgende sensitivi-tetsanalyse :

Adjustable Cells



$C$11 Mengde X 4000 0 101 19 1

$D$11 Mengde Y 1000 0 120 1,2 19


For å få en annen løsning enn den i punkt 3, ser vi at prisen må økes med mer enn 19, dvs. prisen må være større enn 301+19 = 320. Om vi setter prisen til kr. 321,- og løser regnearket på nytt med Solver, får vi følgende sensitivitetsanalyse :

Adjustable Cells



$C$11 Mengde X 5000 0 121 1E+30 1

$D$11 Mengde Y 0 -1 120 1 1E+30


Her ser vi at prisen på produkt X kan økes uendelig uten at det påvirker optimal løsning (1E+30 er det største tallet Excel kan bruke, og angir her uendelig). Det vil uansett være optimalt å bare produsere produkt X, dvs. tilpasningen vil forbli i punkt 4. Denne framgangsmåten (sensitivitetsanalyse av LP-modellen) må benyttes hvis vi har mer enn to produkter, da kan vi ikke lenger løse problemet grafisk.

Pris 280 500

Dekningsbidrag 80 120 500000 0 Resultat

Mengde 1000 3500


4 - 26

Minimumspris på nytt produkt.

I det følgende eksemplet skal vi se på hvordan prisen på et nytt produkt kan fastset-tes, uten at en kjenner etterspørselsfunksjonen. Selv om bedriften har mange pro-dukter fra før, skal vi se at analysen kan gjøres enkelt når det kun er én knapp faktor.

En bedrift produserer tre produkter; A, B og C. Produksjonen er spe-sialisert, slik at hvert produkt produseres på en spesialmaskin. Produkt A produseres på maskin a, produkt B produseres på maskin b, og pro-dukt C produseres på maskin c. Bedriften vurderer imidlertid å intro-dusere et nytt produkt D, som kan produseres på hvilken som helst av maskinene a, b eller c. Hver av maskinene a, b og c betjenes av én arbeider, som jobber 35 timer i uken, 48 uker pr. år. Bare én arbeider kan betjene en maskin om gangen.

Bedriftens selvkostkalkyle er basert på årlige faste kostnader på kr. 100.800,- :

Produkt A B C D

Material 10,- 5,- 120,- 40,- Produksjonskost1) 40,- 10,- 160,- 20,-

Selvkost 50,- 15,- 280,- 60,- Pris 50,- 20,- 320,- ?

Etterspørsel (stk. pr. år) 2.000 6.000 400 ? 1)Satsen er kr. 40,- pr. time, inkludert faste kostnader fordelt pr. time, basert på full

kapasitetsutnyttelse.

Bedriften ønsker å finne minimumsprisen for produkt D, ved følgende alternative etterspurte mengder : Etterspørsel : 500stk., 2.000stk., 5.000stk., 8.000stk. og 12.000stk. D.

Selvkostkalkylen er ikke til mye hjelp, vi må renske ut de faste kostnadene og lage en bidragskalkyle. Vi må derfor finne hva de faste kostnadene utgjør i kalkylen.

Totalt antall timer pr. år er: 3 mann 35 timer 48 uker = 5.040 timer pr. år. Faste kostnader pr. time blir da : kr. 100.800/5.040 timer = kr. 20,- pr. time.

Timeforbruket for hvert produkt kan finnes ved å dele produksjonskostnaden med timesatsen på kr. 40,- :

Produkt A B C D

Tidsforbruk : 40/40 = 1t 10/40 = ¼t 160/40 = 4t 20/40 = ½t

Dermed er det mulig å konstruere en bidragskalkyle, ettersom vi nå vet at de variable produksjonskostnadene utgjør kr. 40 – 20 = kr. 20,- pr. time. Samtidig vet vi tidsfor-bruket for hvert av produktene.


4 - 27

Bidragskalkyle : A B C D

Material 10,- 5,- 120,- 40,- Produksjonskost 201 = 20,- 20¼ = 5,- 204 = 80,- 20½ = 10,-

Variable kostnader 30,- 10,- 200,- 50,- Pris 50,- 20,- 320,- ?

Dekningsbidrag 20,- 10,- 120,- ?

DB pr. time 20/1 = 20,- 10/(¼) = 40,- 120/4 = 30,- TABELL 4-8. Bidragskalkyle.

Ettersom vi kun har én felles knapp faktor i produksjonen – arbeidstid – kan vi rang-ere produktene etter bidrag pr. knapp faktor. Vi ser da at vi taper minst DB/t ved å produsere produkt D på bekostning av A, dernest C, og det koster mest pr. time å produsere D på bekostning av produkt B. Men vi bør først undersøke om vi har ledig tid til å produsere D uten at det går ut over etterspørselen etter de andre pro-

duktene. Hver mann kan jobbe 35 timer 48 uker = 1.680 timer pr. år på en maskin. Antall timer pr. år delt på tidsforbruk pr. enhet gir kapasiteten pr. år :

PRODUKT A B C

Etterspørsel (stk) 2.000 6.000 400 Kapasitet pr. år (stk) 1680/1 = 1.680 1680/(¼) = 6.720 1680/4 = 420

Ledig kapasitet (stk) 0 720 20 Ledige timer 0t 720¼ = 180t 204 = 80t

TABELL 4-9. Kapasitetsoversikt.

Vi ser at det er i alt 180+80 = 260t ledig kapasitet. Det gir mulighet til å produsere inntil 260t/(½)t pr. stk = 520 stk. D uten at det påvirker den øvrige produksjonen. Produksjon ut over dette vil gå på bekostning av den øvrige etterspørselen.

MASKIN a b c

Kapasitet pr. år 1.680t 1.680t 1.680t – Ledige timer 0t 180t 80t = Tidsforbruk 1.680t 1.500t 1.600t

Ekstraproduksjon D 1680/(½) = 3.360 1500/(½) = 3.000 1600/(½) = 3.200

Alternativkostnad 20½ = 10,- 40½ = 20,- 30½ = 15,- TABELL 4-10. Ekstraproduksjon produkt D, og tilhørende alternativkostnad pr. stk. D produsert.

Vi får følgende prioriterte produksjonsplan for ekstraproduksjon av produkt D :

STRATEGI Kvantum D Alternativkost Sum kvantum D

Ledig kapasitet 520 stk. 0,- 520 stk. Reduser produkt A 3.360 stk. 10,- 3.880 stk. Reduser produkt C 3.200 stk. 15,- 7.080 stk. Reduser produkt B 3.000 stk. 20,- 10.080 stk. TABELL 4-11. Akkumulert ekstraproduksjon av produkt D.

Etter å ha produsert 520 stk. D med bruk av ledige timer, er det billigst å redusere produksjonen av produkt A, som gir mulighet til å produsere ytterligere 3.360 stk. D, dvs. totalt 3.880 stk., osv. Vi ser at vi maksimalt kan levere 10.080 stk. D pr. år.

Minimumsprisen for produkt D må dekke de variable kostnadene pluss alternativ-kostnaden ved den fortrengte produksjonen av de øvrige produktene. Dette vil sikre at resultatet ikke blir mindre ved å produsere det nye produktet. Men hvis begrepet


4 - 28

minimumspris skal ha noen mening, kan ikke resultatet øke, ellers kunne jo prisen ha vært lavere. Dermed kan vi sette opp følgende regnestykke :

Mengde D Alternativkost + variable kostnader = Minimumspris D

500 stk. 0 + 50 = 50,00 2.000 stk. [(2000-520)10]/2000 + 50 = 57,40 5.000 stk. [(5000-3880) 15 + (3880-520) 10]/5000 + 50 = 60,08 8.000 stk. [(8000-7080) 20 + (7080-3880) 15 + (3880-520) 10]/8000 + 50 = 62,50

10.080 stk. [(10080-7080) 20 + (7080-3880) 15 + (3880-520) 10]/10080 + 50 = 64,05 TABELL 4-12. Minimumspris produkt D for alternative kvanta.

Ved en etterspørsel på f. eks. 5.000 stk. D vil de siste enhetene mellom 5.000 og 3.880 stk. foregå på bekostning av produkt C, til en alternativkostnad på kr. 15,- pr. halvtime (pr. stk. D). Enhetene mellom 3880 og 520 stk. går på bekostning av pro-dukt A, til en alternativkostnad på kr. 10,- pr. halvtime. Disse totale alternativkostna-dene fordeles på alle 5.000 stk. D, og de variable kostnadene legges til, for å komme fram til minimumsprisen en må ha for ikke å få et lavere resultat enn det en hadde før produkt D ble produsert.

Fordi det bare var én felles knapp faktor, kunne vi finne optimale strategier ved rang-ering pr. knapp faktor. Normalt er det mer enn en restriksjon som begrenser pro-duksjonen av de forskjellige produktene. Da må vi ta regneark til hjelp. Vi skal illust-rere framgangsmåten på det eksemplet vi nettopp har løst.

FIGUR 4-29. Regneark med optimal tilpasning uten det nye produktet D.


4 - 29

Fra FIGUR 4-29 ser vi at optimalt dekningsbidrag er kr. 141.600,- pr. år. Det er funnet hva. Solver, ved å maksimere samlet dekningsbidrag. Beslutningsvariablene er meng-den av produktene, som ikke kan være større enn etterspørselen. Samtidig kan ikke tidsforbruket overstige kapasitetene. Dette er angitt i Solver slik :

FIGUR 4-30. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner for max DB.

Regnearket er definert slik :

A B C D E F G

1

2 Produkt A B C D Samlet

3

4 Salgspris 50 20 320 0

5 Variable kostnader 30 10 200 50

6 Dekningsbidrag =Salgspris - Variable kostnader =SUMPRODUCT(C6:F6;C9:F9)

7

8

9 Mengde 1680 6000 400 0

10 Etterspørsel 2000 6000 400 0

11

12 Tidsforbruk pr. stk. 1 =1/4 4 =1/2

13 Tidsforbruk totalt =Mengde * Tidsforbruk pr. stk. =SUM(C13:F13)

14 Kapasitet =35*48 =35*48 =35*48 =SUM(C14:E14)

TABELL 4-13. Formlene i regnearket.

Regnearket er så kopiert til et nytt ark (Via Edit menyen og ”Move or Copy Sheet”). I det nye arket er linje 7 gitt navnet Gammelt Dekningsbidrag, og den gamle verdien på kr. 141.600,- lagt inn i kolonne G. Dette blir nå en restriksjon i vårt nye problem, samlet dekningsbidrag må være like stort som det gamle dekningsbidraget. Målfunk-sjonen blir å minimere prisen på produkt D, når mengden for D er lik 500 stk. Ellers er det de samme restriksjonene som før. Beslutningsvariablene er fortsatt mengdene, i tillegg til prisen for produkt D.

Derved vil Solver finne den minste prisen på produkt D som gir like stort deknings-bidrag som før. Men ettersom både pris og mengde for produkt D nå er beslutnings-variabler, blir problemet ikke-lineært.

Vi må nå gi følgende informasjoner til Solver:


4 - 30

FIGUR 4-31. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner for minimum pris D.

Ved en angitt mengde for produkt D lik 500 stk. blir minimumsprisen lik de variable kostnadene på kr. 50,- :

FIGUR 4-32. Minimumspris produkt D ved 500 stk. produkt D.

Svaret er intuitivt opplagt; den minste prisen vi kan selge produkt D for når vi har ledig kapasitet (vi har bare brukt 5.030 av i alt 5.040 timer) er lik de variable kostna-dene for produktet.

Nå kan vi enkelt finne minimumsprisen for de øvrige kvantaene. Vi endrer etter-spørselen av produkt D til den ønskede mengden, og kjører Solver på nytt.


4 - 31

FIGUR 4-33. Minimumspris produkt D ved en etterspørsel på 2.000 stk.

Ved en etterspørsel på 2.000 stk. D blir minimumsprisen kr. 57,40 pr. stk. tilsvarende får vi ved de øvrige etterspørslene på 5.000 og 8.000 stk. D :

FIGUR 4-34. Minimumspris produkt D ved etterspørsel på 5.000 og 8.000 stk.

Ved en mengde på 12.000 D får vi imidlertid følgende beskjed fra Solver :

FIGUR 4-35. Solver kan ikke finne en mulig løsning på problemet.

Ettersom vi ikke har kapasitet til å produsere så mye som 12.000 stk. D greier ikke Solver å finne en mulig løsning. Vi trenger 6.000 timer men har bare 5.040 timer.

Produkt A B C D Samlet

Salgspris 50 20 320 57,40

Variable kostnader 30 10 200 50

Dekningsbidrag 20 10 120 7,4 141600

Gammelt Dekningsbidrag 141600

Mengde 940 6000 400 2000

Etterspørsel 2000 6000 400 2000

Tidsforbruk pr. stk. 1 0,25 4 0,5

Tidsforbruk totalt 940 1500 1600 1000 5040

Kapasitet 1680 1680 1680 5040


Salgspris 50 20 320 60,08


Dekningsbidrag 20 10 120 10,08 141600


Mengde 0 6000 260 5000


Salgspris 50 20 320 62,50


Dekningsbidrag 20 10 120 12,5 141600


Mengde 0 4160 0 8000


4 - 32

Vi kan imidlertid tvinge Solver til å bruke all kapasitet på produkt D, ved å sette etterspørselen etter de gamle produktene lik 0, og ikke ha noen grense på kvantum av produkt D :

FIGUR 4-36. Minimumspris produkt D ved maksimal produksjon av produkt D.

Vi ser at maksimalt kvantum D er lik 10.080 stk., og minimumsprisen er kr. 64,05. Opplysningene til Solver er i dette tilfellet disse :

FIGUR 4-37. Målfunksjon, beslutningsvariabler or restriksjoner ved maksimal produksjon av D.

Vi har altså kun sløyfet restriksjonen for kvantum av produkt D. I tillegg er etter-spørselen etter de gamle produktene satt lik 0.


4 - 1

K O S T N A D S F O R D E L I N G O G S E R V I C E A V D E L I N G E R

5 - 1

Kostnadsfordeling og

serviceavdelinger

Kostnadene i serviceavdelingene fordeles på brukerne av service-avdelingenes tjenester.

et finnes mange typer serviceavdelinger, men felles for de fleste er at de er opprettet for å betjene hele foretaket med bestemte tjenester. Det kan være fordi det ikke finnes ekstern tilgang på tjenesten, eller foretaket har funnet det rimeligere å produsere tjenesten selv. Foretaket kan også ha

opprettet serviceavdelingen fordi de ønsker bedre kontroll med kvaliteten på tjenes-ten, eller det kan være leveringsbetingelser eller andre forhold som gjør at de foret-rekker å ha full kontroll over tilgangen på tjenesten.

Serviceavdelingene er som regel organisert som et kostnadssenter, de skal levere de etterspurte kvanta av tjenesten på en kostnadseffektiv måte. For at brukerne av tjenestene ikke skal etterspørre mer enn hva som er optimalt for foretaket, må tje-nesten prises til alternativkostnaden ved å levere tjenesten internt. Hvis det ikke ek-sisterer et eksternt marked for tjenesten er korrekt internpris lik marginalkostnaden. Problemet blir å finne korrekt marginalkostnad.

Hvis det eksisterer et eksternt marked for tjenesten, og avdelingen kan selge sin tje-neste eksternt, da er alternativkostnaden lik markedsprisen på tjenesten. Om tjenes-ten leveres internt så går serviceavdelingen glipp av inntektene den kunne fått ved eksternt salg, og internprisen må derfor settes lik markedsprisen. Avdelingen kan i så fall med fordel organiseres som et profittsenter, og de øvrige avdelingene i foretaket bør kunne velge om de vil kjøpe tjenesten internt eller eksternt. I et slikt tilfelle er det selvsagt heller ikke behov for å fordele kostnadene i serviceavdelingen.

Direkte fordeling av kostnadene

Kostnadsfordelingen må basere seg på det direkte forbruket av tjenesten. Nøyaktig registrering av mengden; enten timer vedlikehold og eventuelt materialforbruk fra en vedlikeholdsavdeling, kilowatt strøm fra en kraftavdeling, etc. er nødvendig for å kunne foreta en korrekt kostnadsfordeling. Ofte har en ikke et direkte mål på for-brukt mengde, da må man omhyggelig velge et substitutt eller kostnadsdriver som i størst mulig grad er proporsjonal med mengdeforbruket, som f. eks. m2 gulv rengjort isteden for faktisk rengjøringstid.

Del

5

D

A L T E R N A T I V

K O S T

Markedspris

Marginalkostnad


5 - 2

Eksempel på kostnadsdrivere

Kostnadsdrivere må være lett målbare og sterkt korrelert med bruken av de interne tjenestene. Noen eksempler kan være :

Serviceavdeling Kostnadsdriver

Vedlikehold Antall vedlikeholdstimer

Kraft Antall kilowatt

IT Antall PC ’er

Regnskap Antall bilag

Hvis serviceavdelingen ikke bruker tjenester fra andre serviceavdelinger kan en finne en tilnærming til alternativkostnaden ved å beregne enhetskostnaden lik totale vari-able servicekostnader i serviceavdelingen dividert på aktivitetsnivået representert ved total mengde av kostnadsdriveren. Denne enhetskostnaden er da en tilnærming av marginalkostnaden, som er korrekt alternativkostnad ved fravær av en ekstern mar-kedspris på tjenesten.

Faktiske kostnader, eller normal– eller standard–kost kan benyttes, avhengig av for-målet med fordelingen. For finansregnskapet kan en fordele faktiske kostnader. Imidlertid vil standardkost som regel være mer hensiktsmessig å bruke i et intern-regnskap, både fordi den bedre representerer marginalkostnaden og fordi den bidrar til større kostnadsbevissthet i serviceavdelingen. Hvis serviceavdelingen ukritisk fikk fordele alle sine faktiske kostnader på brukerne, ville den ha ingen insentiver til å drive kostnadseffektivt.

Denne prosedyren for kostnadsfordeling av kostnadene i serviceavdelingene vil være lik prosedyren for fordeling av bedriftens øvrige felleskostnader. Men om serviceav-delingene leverer tjenester også til hverandre, blir kostnadsfordelingen straks mer kompleks.

Simultan kostnadsfordeling

Når serviceavdelingene også leverer tjenester til hverandre, kompliseres kostnadsfor-delingen en del. Da er det ikke lenger klart hvilken kostnad som skal fordeles, fordi serviceavdelingen også blir belastet med kostnader for bruk av tjenester fra de øvrige serviceavdelingene. Og kostnadene i de øvrige serviceavdelingene er også ubestemt, fordi disse avdelingene også blir belastet med bruk av tjenester fra andre serviceav-delinger. Det oppstår et simultant ligningssystem, der serviceavdelingenes kostnader er avhengige av hverandres kostnader.

Før en kan fordele kostnadene må en altså først løse et simultant ligningssystem for å finne de totale kostnadene som skal fordeles. Som illustrasjon kan vi tenke oss et foretak med 3 serviceavdelinger og 2 produksjonsavdelinger. Kostnadene i service-avdelingene skal fordeles til produksjonsavdelingene, og til slutt på produktene som produseres.


5 - 3

FIGUR 5-1. Kostnadsfordeling mellom serviceavdelinger og produksjonsavdelinger.

Bedriften har i siste kvartal registrert følgende mengder av tjenestene :

Service Enhet Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

A kW 1000000 20000 90000 300000 500000 90000

B Minutt 900000 100000 0 50000 300000 450000

C stk 1500000 1000000 0 0 200000 300000

TABELL 5-1. Forbrukt mengde av tjenester produsert av interne serviceavdelinger.

Serviceavdeling A leverer elektrisk kraft, og har produsert i alt 1.000.000 kW siste periode. Avdelingen har selv bruk 20.000 kW (som den også selv må betale for), mens serviceavdeling B har brukt 90.000 kW og serviceavdeling C har brukt 300.000 kW. Produksjonsavdelingen I og II har til sammen brukt 590.000 kW. Tilsvarende har serviceavdeling B produsert 900.000 minutt av sin tjeneste og serviceavdeling C har produsert 1.500.000 stk. av sin tjeneste.

Direkte interne variable enhetskostnader er hhv. kr. 0,30 pr. kW i serviceavdeling A, kr. 1,- pr. minutt i serviceavdeling B og kr. 0,50 pr. stk. i serviceavdeling C. Kost-nadene i avdelingene før kostnadsfordelingen tar til er derfor:

Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C

Enhetskostnad 0,30 1,00 0,50

Direkte kostnad 1.950.000 300.000 900.000 750.000

TABELL 5-2. Direkte interne variable servicekostnader.

Totalt er det således kr. 1.950.000,- som skal fordeles fra serviceavdelingene over på produksjonsavdelingene. Den totale summen som skal fordeles er imidlertid større, fordi en del kostnader også fordeles til serviceavdelingene. For å finne de totale va-riable kostnadene i serviceavdelingene må vi først løse et simultant ligningssystem, der de samlede kostnader i en avdeling er lik de direkte kostnadene i avdelingen, pluss kostnadene for bruk av tjenester, inklusive bruk av egne tjenester.

Serviceavdeling A

Serviceavdeling B

Serviceavdeling C

PPrroodduukkssjjoonnss--

aavvddeelliinngg IIII PPrroodduukkssjjoonnss--

aavvddeelliinngg II


5 - 4

Variable kostnader Avdeling A Avdeling B Avdeling C

Direkte variable kostnader 300.000,- 900.000,- 750.000,-

Kostnader tjeneste A : MCA QA MCA 20000 MCA 90000 MCA 300000

Kostnader tjeneste B : MCB QB MCB 100000 MCB 0 MCB 50000

Kostnader tjeneste C : MCC QC MCC 1000000 MCC 0 MCC 0

Sum variable kostnader : TC TCA TCB TCC

Totalt kvantum : Q 1000000 900000 1500000

Marginalkostnad : MC = TC/Q MCA MCB MCC

TABELL 5-3. Simultan bestemming av totale kostnader i serviceavdelingene.

Løsningen av det simultane ligningsystemet med 3 ligninger gir følgende verdier:

Sum variable kostnader: TC TCA=1.217.391,3 TCB=1.009.565,0 TCC=1.171.304,3

Marginalkostnad: MC=TC/Q MCA=1,22 MCB=1,12 MCC=0,78

Dermed har vi funnet marginalkostnaden i serviceavdelingene, og kan nå fordele kostnadene i serviceavdelingene på brukerne av serviceavdelingene etter ”faktura-

prinsippet” : pris mengde; der pris er marginalkostnaden for tjenesten og mengde er forbrukt mengde av tjenesten :

Tjeneste Avdeling I Avdeling II Totalt

Type Pris Mengde Kostnad Mengde Kostnad

A 1,22 500000 608.695,7 90000 109.565,2 718.261

B 1,12 300000 336.521,7 450000 504.782,6 841.304

C 0,78 200000 156.173,9 300000 234.260,9 390.435

Sum 1.101.391,3 848.608,7 1.950.000

TABELL 5-4. Servicekostnadene fordelt på produksjonsavdelingene.

Som en ser, så blir det fordelt i alt kr. 1.950.000,- på de to produksjonsavdelingene, nøyaktig lik summen av de direkte variable kostnadene i de tre serviceavdelingene. Om vi ser på tjeneste A, så er det fordelt i alt kr. 718.261,- på de to produksjonsav-delingene, mens avdelingens direkte kostnader bare var kr. 300.000,-. Men for de to andre tjenestene er kostnadene som er fordelt på produksjonsavdelingene mindre enn de direkte kostnadene. Derimot er marginalkostnadene for alle tjenestene større enn den direkte variable enhetskostnaden for tjenesten.

Marginalkostnaden tar også hensyn til alle ringvirkninger : Å øke produksjonen i serviceavdeling A med én enhet vil koste kr. 1,22 og ikke kr. 0,30. Dette fordi å pro-dusere én enhet av tjeneste A til produksjonsavdelingene også medfører økt etter-spørsel etter tjeneste B og C fra serviceavdeling A. Dette fører igjen til økt etterspør-sel etter tjeneste A fra serviceavdelingene B og C, som igjen fører til økt etterspørsel etter B og C, osv. Alle disse ringvirkningene er tatt hensyn til i marginalkostnaden.

Denne marginalkostnaden vil være proporsjonal og konstant, så lenge strukturen i ligningsystemet er den samme, dvs. koeffisientene er uforandret. Om en avdeling legges ned, så utgår en ligning i systemet, og ligningsystemet må løses på nytt.

A V D E L I N G S -

K O S T N A D E R

Direkte kostnader

Kostnad eget for-

bruk

Kostnad bruk av

andre tjenester


5 - 5

Fordeling av faste kostnader

Vanligvis vil det også være en del faste kostnader i serviceavdelingene. Når disse faste kostnadene fordeles over på produksjonsavdelingene må dette ikke få innvirking på internprisen av tjenestene. I så fall kan det lett lede til gale tilpassinger i produksjons-avdelingen, i forhold til hva som er optimalt for foretaket samlet.

Kostnadsoverføringen må også være slik at endret aktivitetsnivå i andre avdelinger ikke får innvirking på overføringen til en avdeling som ikke har hatt endring i sitt aktivitetsnivå. Faste kostnader må dessuten oppfattes som faste, som ikke kan mani-puleres av den som blir belastet med kostnadene.

En slik metode å overføre de faste kostnadene er å fordele kostnadene proporsjonalt med kapasiteten i de avdelingene som etterspør tjenestene. Den fordelte faste kost-naden kan dermed betraktes som en reservasjonspris for å kunne kjøpe tjenesten til en lav marginalkostnad i kvanta opp til sitt eget maksimale behov.

Anta at produksjonsavdelingene ved full kapasitetsutnyttelse har følgende behov for tjenester fra serviceavdelingene :

Tjeneste Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

A 1028406 20568 95490 312348 500000 100000

B 954899 102841 0 52058 300000 500000

C 1561739 1028406 0 0 200000 333333

TABELL 5-5. Forbruk av tjenester ved full kapasitetsutnyttelse i produksjonsavdelingene I og II.

Vi ser at produksjonsavdeling I i utgangspunktet allerede hadde full kapasitetsutnyt-telse, mens avdeling II tidligere bare gikk med 90% kapasitetsutnyttelse, i forhold til aktiviteten i TABELL 5-1. Serviceavdeling A ’s forbruk har økt proporsjonalt med den totale produksjonen i avdeling A, og tilsvarende forhold gjelder for avdeling B og C. Kostnadsfordelingen innebærer at avdelingene må dekke serviceavdelingens faste kostnader proporsjonalt med andelen av maksimalforbruket :

Tjeneste Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

A 2,00 % 9,29 % 30,37 % 48,62 % 9,72 %

B 10,77 % 0,00 % 5,45 % 31,42 % 52,36 %

C 65,85 % 0,00 % 0,00 % 12,81 % 21,34 %

TABELL 5-6. Andel av forbruket ved full kapasitetsutnyttelse i produksjonsavdelingene I og II.

De faste kostnadene i avdelingene er som følger :

Totalt Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

Faste kostnader 1.800.000 700.000 200.000 100.000 500.000 300.000

TABELL 5-7. Direkte faste kostnader i avdelingene.

Men vi får igjen problemet med å fastslå hvor store de faste kostnadene i serviceav-delingene er, fordi avdelingene også får regninger på faste kostnader i de øvrige ser-viceavdelingene. Vi må derfor gjenta samme prosedyre som ved fordelingen av de variable kostnadene, vi må løse et simultant ligningsystem for å finne de totale faste kostnadene i serviceavdelingene.


5 - 6

Faste kostnader Avdeling A Avdeling B Avdeling C

Direkte faste kostnader 700.000 200.000 100.000

Kostnader tjeneste A TCA 2,00 % TCA 9,29 % TCA 30,37 %

Kostnader tjeneste B TCB 10,77 % TCB 0,00 % TCB 5,45 %

Kostnader tjeneste C TCC 65,85 % TCC 0,00 % TCC 0,00 %

Sum faste kostnader : TC TCA TCB TCC

TABELL 5-8. Faste kostnader fordelt proporsjonalt med kapasitetsforbruket ved full etterspørsel.

Dette gir følgende totale faste kostnader å fordele fra serviceavdelingene :

Avdeling A Avdeling B Avdeling C

Sum faste kostnader : TC 1.036.395,0 296.231,7 430.923,9

Bruker vi disse kostnadene som grunnlag for fordeling etter de satsene som er be-regnet i TABELL 5-6, får vi følgende fordeling :

Tjeneste Avdeling I Avdeling II

Totalt Type Kostnad Andel Kostnad Andel Kostnad

A 1.036.395,0 48,62 % 503.884 9,72 % 100.777 604.661

B 296.231,7 31,42 % 93.067 52,36 % 155.112 248.179

C 430.923,9 12,81 % 55.185 21,34 % 91.975 147.160

Sum 652.136 347.864 1.000.000

TABELL 5-9. Faste kostnader i serviceavdelingene fordelt på produksjonsavdelingene.

Avdeling I vil få en regning på totalt kr. 652.136,- fra serviceavdelingene, og avdeling II får en regning på i alt kr. 347.864,- . Til sammen vil produksjonsavdelingene da få regninger på i alt kr. 1.000.000,-; nøyaktig lik summen av de faste kostnadene i ser-viceavdelingene.

Så lenge de faste kostnadene i serviceavdelingene forblir faste, og kapasitetene i pro-duksjonsavdeling I og II ikke endres, så vil denne kostnadsfordelingen forbli kon-stant, og kostnadene vil oppfattes som faste. Kostnadsfordelingen er basert på kapa-siteter, ikke kapasitetsutnyttelse, og derved vil variasjoner i aktivitetsnivået ikke endre kostnadsfordelingen.

Å beregne totalproduksjonen og etterspørselen etter serviceavdelingenes tjenester ved full kapasitetsutnyttelse, dvs. finne de verdier som er angitt i TABELL 5-5, krever detaljert kunnskap om produksjonsforholdene. I neste del, Lønnsomhetsvurdering av en serviceavdeling, er nødvendige data for disse beregningene angitt i TABELL

5-10, med kapasiteter hentet fra TABELL 5-14. Her blir også prosedyren for bereg-ningene beskrevet som et simultant ligningssystem. Det kan være en god øvelse å selv forsøke å løse de ligningene som leder fra til svarene i TABELL 5-5.


5 - 7

Lønnsomhetsvurdering av en serviceavdeling

Når det eksisterer eksterne markeder for den tjenesten en intern serviceavdeling til-byr, er det interessant å vite om foretaket kanskje kan tjene på å kjøpe tjenesten eks-ternt framfor å produsere den selv internt. Følgende resonnement er da nærliggende, men ufullstendig :

”Hvis foretaket ikke kan spare noen av sine faste kostnader ved å legge ned serviceavdelingen, så er det lønnsomt å kjøpe tjenesten eksternt hvis markedsprisen er lavere enn marginalkostnaden ved å produsere internt.”

En må også ta i betraktning at når en kjøper tjenesten eksternt, så vil behovet for tjenesten reduseres, på grunn av bortfall av eget forbruk og på grunn av ringvirk-ningene ved bortfall av avdelingens etterspørsel etter de andre tjenestene. En trenger altså ikke kjøpe like mange enheter eksternt som en må produsere internt, for å dekke etterspørselen av tjenesten fra de øvrige avdelingene.

For å beregne behovet for eksternt kjøp, må vi har mer detaljerte kunnskaper om produksjonsforholdene. De mengdene som er angitt i TABELL 5-1 er beregnet ut fra følgende data :

Tjeneste Enhet Avdeling A Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

A kW 1/50 1/10 1/5 5 1

B minutt 1/10 0 1/30 3 5

C stk 1 0 0 2 10/3

Aktivitetsmål kW minutt stk Maskintid Arbeidstid Periodens produksjon 1.000.000 900.000 1.500.000 100.000 90.000

TABELL 5-10. Forbruk av tjenester pr. aktivitetsenhet i avdelingene.

F.eks. produserer serviceavdeling A tjenesten elektrisk kraft, målt i kW. Avdelingen forbruker selv 1/50 kW pr. kW produsert, og den bruker 1/10 tjeneste B (målt i minutt) pr. produsert kW, samt 1 enhet tjeneste C (målt i stk.). Ingen av de andre serviceavdelingene forbruker sine egne tjenester. Serviceavdeling B bruker 1/10 kW (A) pr. enhet B (målt i minutt), mens serviceavdeling C bruker 1/5 kW (A) og 1/30 minutt (B) pr. stk. C produsert.

Produksjonsavdeling I måler sin aktivitet i maskintid, og bruker 5 kW (A) pr. ma-skintime, 3 minutter av tjeneste B pr. maskintime, og 2 stk. tjeneste C pr. maskintime. Produksjonsavdeling II måler sin aktivitet i arbeidstid, og bruker 1 kW (A) pr. ar-beidstime, 5 minutter tjeneste B og 10/3 stk. C pr. arbeidstime.

Med disse forbruksdata over bruk av tjenestene fra serviceavdelingene kan vi beregne totalforbruket av tjenestene straks vi vet aktiviteten og etterspørselen fra produk-sjonsavdelingene. Når produksjonsavdeling I i perioden har en aktivitet på 100.000 maskintimer og produksjonsavdeling II har benyttet 90.000 arbeidstimer, er aktivite-ten i serviceavdelingene entydig bestemt: Da trenger foretaket 1 mill. kW tjeneste A, 15.000 timer (900.000 minutter) tjeneste B og 1,5 mill. stk. tjeneste C. Vi må imidler-tid løse et simultant ligningssystem for å finne disse kvanta.

For å beregne behovet for eksternt kjøp av en tjeneste hvis serviceavdelingen legges ned, må en igjen løse et simultant ligningssystem, med utgangspunkt i de forbruks-data som er gitt i TABELL 5-10. Om vi f. eks. ønsker å vite hva vi maksimalt kan betale for tjeneste A ved eksternt kjøp, må vi først finne mengden :

E K S T E R N T

K J Ø P

Reduserte kvanta

Reduserte faste kost-

nader


5 - 8

Kvanta ved eksterne kjøp av A Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C

Etterspørsel fra avdeling A : Avdeling A antas lagt ned

Etterspørsel fra avdeling B : QB 1/10 QB 0 QB 0

Etterspørsel fra avdeling C : QC 1/5 QC 1/30 QC 0

Etterspørsel fra avdeling I : 100000 5 100000 3 100000 2

Etterspørsel fra avdeling II : 90000 1 90000 5 90000 10/3

Total etterspørsel Q : QA QB QC

TABELL 5-11. Ligningssystem for å bestemme nødvendig eksterne kvanta tjeneste A.

Løsningen av dette ligningsystemet når serviceavdeling A er lagt ned gir :

Kvanta ved eksterne kjøp av A Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C

Total etterspørsel Q : 766667 766667 500000

Vi kan nå beregne hvor mye vi maksimalt kan betale for kjøp av tjeneste A eksternt, idet vi nå vet at vi i så fall har behov for i alt 766.667 kW. Vi har tidligere beregnet

marginalkostnaden til 1,22 og kan derfor betale maksimalt i alt Kr. 1,22 766.667 = 935.333,- (Nøyaktig : 933.333,33). Dette beløpet tilsvarer den totale reduksjonen av variable kostnader i foretaket ved at avdeling A legges ned, produksjonen i ser-viceavdeling B reduseres fra 900.000 til 766.667 minutter, og produksjonen i service-avdeling C reduseres fra 1.500.000 stk. til 500.000 stk.

Vi må også ta hensyn til eventuelle bortfall av faste kostnader. Av serviceavdeling A sine totale faste kostnader på kr. 700.000 pr. periode er kr. 500.000 driftsbetingede, og vil således spares hvis avdelingen legges ned. Den totale besparelsen av nedleg-gelsen er derfor kr. 933.333 + kr. 500.000 = kr. 1.433.333. Maksimal pris pr. kW som kan betales ved eksterne kjøp er derfor 1.433.333/766.667 = kr. 1,87.

Tjeneste A Tjeneste B Tjeneste C Totalt

Egen

produksjon

A

Kvanta 1.000.000 900.000 1.500.000

Enhetskostnad 0,30 1,00 0,50

Direkte kostnad 300.000 900.000 750.000 1.950.000

Eksternt

kjøp

A

Kvanta 766.667 766.667 500.000

Enhetskostnad ? 1,00 0,50

Direkte kostnad 766.667 250.000 1.016.667

Besparelse variable kostnader ved eksternt kjøp av tjeneste A 933.333

Besparelse faste kostnader ved å legge ned serviceavdeling A 500.000

Totalt besparelse 1.433.333

Maksimal pris ved eksternt kjøp av tjeneste A : 1.433.333/766.667 = 1,87

TABELL 5-12. Beregning av besparelse ved eksternt kjøp av tjeneste A.

K V A N T A

T J E N E S T E R

Bestemmes entydig av

aktiviteten i produksjons-

avdelingene.

A N T A G E L S E

Uendret aktivitet

produksjonsavdelingene

F A S T E

K O S T N A D E R

Driftsbetingede

faste kostnader spares ved

nedleggelse


5 - 9

Vil vi kjøpe inn 766.667 enheter A (kW) hvis ekstern markedspris er mindre enn kr. 1,87 ? Det kan jo tenkes at en annen pris på tjeneste A vil føre til et annet aktivi-tetsnivå i produksjonsavdelingene. For å besvare det spørsmålet må vi vite hva som ligger til grunn for aktiviteten i produksjonsavdelingene.

Anta at bedriften produserer to produkter; X og Y. Følgende data gjelder :

Bidragskalkyle Produkt X Produkt Y

Kapasitestforbruk

Avdeling I 3 1

Avdeling II 2 3

Råmaterial 3 3

Serviceforbruk

Tjeneste A (kW) 17 8

Tjeneste B (min) 19 18

Tjeneste C (stk) 12 2/3 12

Kostnadskalkyle

Kostnad A: 1,22 20,70 9,74

Kostnad B: 1,12 21,31 20,19

Kostnad C: 0,78 9,89 9,37

Avdeling I: 23,- 69,00 23,00

Avdeling II: 10,- 20,00 30,00

Råmaterial: 50,- 150,00 150,00

Enhetskost 290,90 242,30

Pris 350,00 300,00

DB 59,10 57,70

TABELL 5-13. Bidragskalkyle ved intern produksjon av servicetjenester.

Det er dessuten visse produksjonsbegrensinger, som følger :

Kapasitet Avdeling I Avdeling II Råmaterial

Enhet Maskintimer Arbeidstimer Stk.

Kapasitet totalt 100.000 100.000 120.000

Dermed står foretaket overfor følgende produktvalgsproblem :

Maksimer totalt dekningsbidrag DB : 59,10QX + 57,70QY

Gitt at :

Total maskintid : 3QX + 1QY 100.000

Total arbeidstid : 2QX + 3QY 100.000

Totalt materialforbruk : 3QX + 3QY 120.000

TABELL 5-14. Produktvalgsproblem og bruk av serviceavdelinger.

Løser vi dagens tilpassingsproblem, får vi som svar at optimal produksjon er 30.000 enheter X og 10.000 enheter av produkt Y. Dette krever totalt 100.000 maskintimer i avdeling I og 90.000 arbeidstimer i avdeling II. Dette tilsvarer dagens aktivitetsnivå, som altså er optimalt bestemt ut fra egenproduksjon av tjeneste A.

K O S T N A D S -

K A L K Y L E

Servicekostnader pri-

ses til marginalkost

Øvrige variable kost-

nader innkalkuleres

Råmaterial

Begge produktene produseres i begge avdelingene, og forbruk ma-skintid og arbeidstid er angitt i ta-bellen. Begge produktene bruker også 3 enheter av et råmaterial, som koster kr. 50,- pr. enhet.

Gitt tidsforbruket i produksjonsav-delingene kan forbruket av tjenes-tene A, B og C beregnes.

Kostnadskalkylen tar også hensyn til at variable kostnader pr. time i avdeling I er kr. 23,- og kr. 10,- i av-deling II (i tillegg til servicekostna-dene).

Salgsprisen for X er kr. 350,- mens den er kr. 300,- for Y.

Serviceavdelingene har rikelig kapasitet til å dekke etter-spørselen ved full aktivitet.


5 - 10

For eksempel kan problemet formuleres i et regneark og løses med Solver :

FIGUR 5-2. Produktvalgsproblemet formulert i et regneark.

Formelen for DB Totalt (celle E3) : =SUMPRODUCT($C$5:$D$5;C3:D3). Ved å ”dra i kopieringsmerket” i celle E3 nedover kolonnen, får en automatisk beregnet totalverdier for de øvrige linjene. (En kan senere slette totalen for line 4-6.) De øvrige tall er data for problemet. Solver i Excel gir følgende rapport (når celle E3 maksime-

res ved at cellene C5:D5 varieres slik at E7:E9 F7:F9) :

Adjustable Cells



$C$5 Mengde X 30000 0 59,10 114,00 1,40

$D$5 Mengde Y 10000 0 57,70 1,40 38,00

Constraints



$E$7 Avdeling I Totalt 100000 0,70 100000 20000 20000

$E$8 Avdeling II Totalt 90000 0,00 100000 1E+30 10000

$E$9 Råmaterial Totalt 120000 19,00 120000 8571 20000

TABELL 5-15. Sensitivitetsanalyse av produktvalgsproblemet.

Vi ser f. eks. at dekningsbidraget for produkt Y bare kan reduseres med kr. 1,40 før vi får andre optimale produksjonskvanta. Men om vi f. eks. kjøper A eksternt for kr. 1,50 pr. kW, så endres dekningsbidraget for X med mer enn kr. 1,40.

Dermed får vi et annet produktmiks, og dermed også en annen etterspørsel etter tjenestene fra serviceavdelingene. Antagelsen da vi beregnet maksimal ekstern pris på tjeneste A til kr. 1,87 ved eksternt kjøp var imidlertid at aktivitetsnivået som ge-nererte etterspørselen etter tjenestene fra serviceavdelingene forble uforandret. Denne forutsetningen holder ikke lenger stikk. Når marginalkostnaden for A endres til kr. 1,50 så endres nemlig også marginalkostnaden for tjeneste B og C.

S O L V E R

Finnes under Tools

menyen i Excel

S O L V E R

I E X C E L

Velg Sensitivity fra

Solver Results Dialog Box


5 - 11

Tar utgangs-punkt i dagens aktivitet i pro-duksjonsavde-lingene.

Kr. 1,50 for eksternt kjøp A Avdeling B Avdeling C

Direkte variable kostnader 900.000,- 750.000,-

Kostnader tjeneste A : 1,50 QA 1,50 90000 1,50 300000

Kostnader tjeneste B : MCB QB MCB 0 MCB 50000

Kostnader tjeneste C : MCC QC MCC 0 MCC 0

Sum variable kostnader : TC TCB TCC

Totalt kvantum : Q 900000 1500000

Marginalkostnad : MC = TC/Q MCB MCC

TABELL 5-16. Beregning av nye marginalkostnader ved tenkt pris kr. 1,50 for eksternt kjøp.

Her blir MCB = 1,15 og MCC = 0,84. Dermed blir bidragskalkylen endret :

Bidragskalkyle Produkt X Produkt Y

Kostnad A: 1,50 25,50 12,00

Kostnad B: 1,15 21,85 20,70

Kostnad C: 0,84 10,62 10,06

Avdeling I: 23,- 69,00 23,00

Avdeling II: 10,- 20,00 30,00

Råmaterial: 50,- 150,00 150,00

Enhetskost 296,97 245,76

Pris 350,00 300,00

DB 53,03 54,24

TABELL 5-17. Ny bidragskalkyle ved eksternt kjøp av tjeneste A.

Med disse dekningsbidragene endres optimale produksjonskvanta.

Adjustable Cells



$C$5 Mengde X 20000 0 53,03 1,21 16,87

$D$5 Mengde Y 20000 0 54,24 25,31 1,21

Constraints



$E$7 Avdeling I Totalt 80000 0,00 100000 1E+30 20000

$E$8 Avdeling II Totalt 100000 1,21 100000 20000 10000

$E$9 Råmaterial Totalt 120000 16,87 120000 8571,43 20000

TABELL 5-18. Ny optimal løsning av produktvalgsproblemet ved eksternt kjøp av tjeneste A.

Tjeneste Totalt Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II

A 674311 75644 98667 400000 100000

B 756444 0 16444 240000 500000

C 493333 0 0 160000 333333

Aktivitet 756444 493333 80000 100000

Enhet kW minutt stk Maskintimer Arbeidstimer

TABELL 5-19. Nye optimale mengder i avdelingene ved eksternt kjøp av service A.

N Y M A R G I N A L

K O S T N A D

Proporsjonal kostnad

Uavhengig av

aktivitetsnivået

Avhengig av antall

serviceavdelinger og

ligningsstrukturen

Kalkylen er basert på en tenkt eks-tern pris på service A på kr. 1,50. Prisen er satt høyere enn margi-nalkostnaden på kr. 1,22 ved in-tern produksjon, men mindre enn maksimal pris beregnet til kr. 1,87. Denne maksimalprisen kan end-res hvis aktivitetsnivået endres som følge av endret pris på ser-vice A.


5 - 12

FIGUR 5-3. Grafisk løsning av optimal tilpassing.

Den opprinnelige optimale tilpassingen basert på egenproduksjon av tjeneste A var å produsere 30.000 X og 10.000 Y. Imidlertid ser en at isobidragslinjen har en helning i forhold til produksjonsmulighetsområdet som gjør at bare en liten endring i dek-ningsbidraget vil føre til at en ny optimal tilpassing vil være optimal. En slik endring vil medføre at produksjonen isteden bør være 20.000 X og 20.000 Y.

Avdeling B Avdeling C Avdeling I Avdeling II Totalt

Mengde 756444 493333 80000 100000

Enhetskostnad 1 0,5 23 10

Avdelingskostnader 756.444 246.666 1.840.000 1.000.000 3.843.109

Materialkostnad (20.000 X + 20.000 Y)150= 6.000.000

Totalt kostnad Eksklusiv kostnad kjøp av A 9.843.109

Total inntekt 20.000(350+300)= 13.000.000

DB ved kjøp Eksklusiv kostnad kjøp av A 3.156.889

DB ved egenproduksjon Inklusive kostnader ved egenproduksjon av A 2.350.000

Økt DB eksternt kjøp 806.889

Sparte faste kostnader 500.000

Netto økt resultat Eksklusiv kostnad kjøp av A 1.306.889

TABELL 5-20. Maksimal verdi av eksternt kjøp tjeneste A.

E K S T E R N T

K J Ø P

Ny optimal tilpassing

Endret kvantum eks-

ternt kjøp A

Endret verdi av eks-

ternt kjøp tjeneste A

30.000 X

Optimal tilpassing ved

egenproduksjon tjeneste A

A.

Avdeling I

Avdeling II

Råmaterial

10.000

Y


5 - 13

Maksimal verdi av eksternt kjøp av tjeneste A er derfor ikke kr. 1.433.333 slik som vi beregnet under forutsetning av uendret aktivitet i produksjonsavdelingene, men isteden kr. 1.306.889. Maksimal enhetspris øker imidlertid fra kr. 1,87 til 1.306.889/674.311 = kr. 1,94 fordi eksternt kjøp reduseres ytterligere ved den nye tilpassingen. Denne prisen vil være slik at totalresultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av A vil være lik totalresultatet ved optimal tilpassing ved eksternt kjøp av tjeneste A. Den direkte variable enhetskostnaden på kr. 0,30 for egenpro-duksjon av tjeneste A kan derfor øke til kr. 1,94 ved eksternt kjøp av tjenesten.

Produkt X Produkt Y Totalt Avdelingskostnader

Kostnad A: 1,94 32,95 15,50 969.055 1.306.889

Kostnad B: 1,19 22,68 21,49 883.420 756.444

Kostnad C: 0,93 11,75 11,13 457.525 246.667

Avdeling I: 23,- 69,00 23,00 1.840.000 1.840.000

Avdeling II: 10,- 20,00 30,00 1.000.000 1.000.000

Råmaterial: 50,- 150,00 150,00 6.000.000 6.000.000

Enhetskost 306,38 251,12 11.150.000 11.150.000

Pris 350,00 300,00 13.000.000

DB 43,62 48,88 1.850.000

Spart fast kostnad 500.000

Totalt resultat 20.000 stk 20.000 stk 2.350.000

TABELL 5-21. Resultat ved maksimal ekstern pris tjeneste A.

Vi ser altså at resultatet, når vi også tar hensyn til de sparte kostnadene, er identisk med resultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av tjeneste A, når ekstern-prisen er kr. 1,94. Det er også grunn til å merke seg at selv om vi kjøper tjeneste A eksternt for i alt kr. 1.306.889,- så er det bare innkalkulert med kr. 969.055,- i pro-duktene. Derimot ser vi at det er innkalkulert mer i kostnader for serviceavdeling B og C enn de direkte kostnadene skulle tilsi. Summen av de innkalkulerte servicekost-nadene tilsvarer imidlertid summen av de direkte kostnadene i serviceavdelingene.

Sammendrag vurdering av eksternt kjøp

Lønnsomheten av egenproduksjon av en tjeneste kontra eksternt kjøp :

Beregn resultatet ved optimal tilpassing ved egenproduksjon av tjenesten.

Beregn behov for kvanta eksternt kjøp av tjenesten som vurderes, forutsatt uendret tilpassing i produksjonsavdelingene.

Beregn resultatet ved eksternt kjøp (men uten å ta hensyn til kjøpskostna-der), og ta hensyn til eventuelle reduksjoner i faste kostnader.

Maksimal ekstern markedspris forutsatt uendret aktivitet i produksjonsavde-lingene er lik differansen mellom resultatet ved egenproduksjon og re-sultatet ved gratis kjøp av tjenesten, dividert på behov for ekstern mengde av tjenesten.

I D E N T I S K

R E S U L T A T

Resultat ved eksternt kjøp

tjeneste A er lik resultatet

ved intern produksjon av

tjeneste A


5 - 14

Bedriften må nå også ta hensyn til disse begrens-ningene i sin produksjons-planlegging.

Sjekk om denne maksimalprisen på tjenesten medfører at optimal tilpassing i produksjonsavdelingene endres.

Hvis optimal tilpassing endres, må en beregne behovet for eksternt kjøp ved dette nye optimale aktivitetsnivå i produksjonsavdelingene.

Korrekt maksimal pris ved eksternt kjøp av tjenesten er lik differansen mel-lom resultatet ved den nye tilpassingen (men uten å ta hensyn til kjøps-kostnadene for eksternt kjøp av tjenesten) og resultatet ved optimal til-passing ved egenproduksjon av tjenesten, dividert på kvantum av tjenes-ten kjøpt eksternt.

Hvis den egenproduserte tjenesten også kan selges eksternt, vil optimal tilpassing være den samme, uavhengig av om tjenesten kjøpes internt eller eksternt, fordi opti-mal internpris er lik ekstern markedspris. Egenproduksjonen er lønnsom hvis ser-viceavdelingen har et totalt dekningsbidrag som dekker alle driftsbetingede faste kostnader knyttet til avdelingen. Serviceavdelingen bør da organiseres som et profitt-senter.

Marginalkostnad når serviceavdelingen begren-

ser produksjonen

Det vil skape ytterligere problemer å fasteslå korrekt marginalkostnad hvis service-avdelingene begrenser aktiviteten i produksjonsavdelingene. I en slik situasjon vil det imidlertid være uhensiktsmessig å organisere serviceavdelingene og produksjonsav-delingene separat, fordi produksjonsbegrensningene ligger i serviceavdelingene. Om serviceavdelingene ikke organiseres som separate enheter er behovet for kostnads-fordeling betraktelig redusert.

Anta f. eks. at det er følgende kapasiteter i serviceavdelingene :

Kapasitet Avdeling A Avdeling B Avdeling C

Enhet kW minutt stk.

Kapasitet totalt 700.000 900.000 1200.000

Foretaket ønsker å maksimere sitt totale dekningsbidrag :

Max DB = 0,3QA 1QB 0,5QC 23QI 10QII 50QM + 350QX + 300QY

Legg merke til at foretaket ikke behøver å foreta noen form for kostnadsfordeling for å definere sin målsetting om å maksimere totalt dekningsbidrag. Kostnadene re-gistreres på den aktivitet som genererer kostnaden; kostnader for tjenester fra ser-viceavdelingene angis ved å multiplisere kvanta av tjenestene med de direkte variable kostnadene for tjenestene, kostnader i produksjonsavdelingene angis ved å multipli-sere antall timer med timekostnaden i avdelingene, kostnader material angis ved å multiplisere kvanta material med materialkostnaden. Inntektene registreres på den aktivitet som skaper inntekter; mengde produsert multiplisert med salgsprisen. Mål-settingsfunksjonen er altså fri for enhver form for kostnadsfordeling og produktkal-kyler.

M A X D B

Kostnader registreres

på aktivitetene

Inntektene registre-

res på produktene

Ingen

kostnadsfordeling

Ingen produktkalkyle


5 - 15

Når en skal definere begrensningene må man i tillegg til de totale kapasitetene også huske materialbalansene; tilgangen av en ressurs må være minst like stor som for-bruket.

Materialbalansene :

Service A : Produsert mengde A = Forbrukt mengde

QA = 1/50 QA + 1/10 QB + 1/5 QC + 5 QI + 1 QII

Service B : Produsert mengde B = Forbrukt mengde

QB = 1/10 QA + 1/30 QC + 3 QI + 5 QII

Service C : Produsert mengde C = Forbrukt mengde

QC = 1QA + 2 QI + 10/3 QII

Maskintimer : Antall maskintimer = Forbrukt mengde

QI = 3 QX + 1 QY

Arbeidstimer : Antall arbeidstimer = Forbrukt mengde

QII = 2 QX + 3 QY

Material : Antall enheter = Forbrukt mengde

QM = 3 QX + 3 QY

Kapasitetsrestriksjoner :

QA 700.000 kW

QB 900.000 minutt

QC 1.200.000 stk.

QI 100.000 maskintimer

QII 100.000 arbeidstimer

QM 120.000 stk.

Når vi formulerer problemet på standard LP form, dvs. alle variabler er angitt på venstre side av ligningen og bare konstante verdier på høyresiden, får vi et lineært problem som enkelt kan løses i et regneark.


5 - 16

En måte å organisere regnearket på er :

FIGUR 5-4. LP formulering av produktvalgsproblemet ved beskrankninger i serviceavdelingene.

Totalkolonnen er definert som for Totalt DB : multiplikasjon mellom beslutnings-variablene (linje 5, Stk.) og den aktuelle linje (linje 3, DB). (Se formel-linjen over reg-nearket.) Denne definisjonen kopieres til de øvrige cellene i totalkolonnen. Øvrige tall i regnearket er data til problemet, unntatt verdiene på beslutningsvariablene på linje 5, som beregnes av Solver. Følgende opplysninger er gitt til Solver :

FIGUR 5-5. Angivelse av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner.

Her har vi angitt målfunksjonen (Target Cell), beslutningsvariablene (Changing Cells) og restriksjonene (Constraints). Trykk på Solve knappen, og få :


5 - 17

FIGUR 5-6. Valg av løsningsrapporter.

Velg Sensitivity rapporten, trykk OK knappen, og man får følgende rapport :

Adjustable Cells



$B$5 Stk Avdeling A 700000 0 -0,30 1E+30 1,19

$C$5 Stk Avdeling B 775810 0 -1,00 1E+30 2,18

$D$5 Stk Avdeling C 1145093 0 -0,50 1E+30 0,94

$E$5 Stk Avdeling I 55880 0 -23,00 33,83 8,84

$F$5 Stk Avdeling II 100000 0 -10,00 1E+30 12,91

$G$5 Stk Råmaterial 109663 0 -50,00 1E+30 18,61

$H$5 Stk Produkt X 9663 0 350,00 42,14 20,63

$I$5 Stk Produkt Y 26891 0 300,00 30,95 24,01

Constraints



Ma

teria

lbala

nser

$J$7 A Totalt 0 -2,77 0 128666,67 137644,44

$J$8 B Totalt 0 -1,28 0 131242,80 819868,31

$J$9 C Totalt 0 -1,10 0 59119,50 676939,89

$J$10 Avd. I Totalt 0 -42,86 0 22546,73 24119,94

$J$11 Avd. II Totalt 0 -35,71 0 62746,63 12059,97

$J$12 Material Totalt 0 -50,00 0 10337,12 109662,88

Kapasitete

r

$J$14 A Totalt 700000 1,19 700000 43278,08 167826,09

$J$15 B Totalt 775810 0,00 900000 1E+30 124190,03

$J$16 C Totalt 1145093 0,00 1200000 1E+30 54906,54

$J$17 Avd. I Totalt 55880 0,00 100000 1E+30 44119,94

$J$18 Avd. II Totalt 100000 12,91 100000 14903,75 50020,70

$J$19 Material Totalt 109663 0,00 120000 1E+30 10337,12

TABELL 5-22. Løsningen av produktvalgsproblemet.

Materialbalansene er angitt i linjene 7-12, mens kapasitetene er angitt i linjene 14-19. For Service A er materialbalansen etter å ha transformert den til standard form :

49/50 QA 1/10 QB 1/5 QC 5 QI 1 QII = 0

Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen av å øke høyresiden i restriksjo-

nen med én enhet. En slik økning tilsvarer f. eks. å produsere en enhet for lager.

Denne verdien er kr. 2,77; dvs. totalt dekningsbidrag vil bli redusert med kr. 2,77 hvis vi produserer en enhet A for lager (om vi kan tenke oss lagring av kraft). Mar-

S E N S I T I V I T Y

R E P O R T

To-delt :

Adjustable cells :

Sensitivitetsanalyse

av beslutningsvariab-

lene.

Constraints :

Sensitivitetsanalyse

av restriksjonene.


5 - 18

ginalverdien gjelder pr. enhet for økninger i lageret med inntil 128.666 stk. A (Al-lowable Increase). Om vi kunne benytte oss av gammelt lager, ville marginalverdien gjelde for lagerreduksjoner på inntil 137.644 stk. (Allowable Decrease). Men margi-nalverdien ville selvsagt også kunne overføres på eksterne kjøp analogt med interne lagerreduksjoner. Marginalverdien på kr. 2,77 ville derfor være maksimal ekstern pris for tjeneste A opp til 137.644 stk. Analoge tolkinger gjelder for alle materialbalan-sene; f. eks. kan vi betale inntil kr. 35,71 pr. time for å få utført tjenester tilsvarende en arbeidstime i avdeling II, inntil 12.060 timer.

Maksimale endringer (Allowable Increase/Decrease) for restriksjonene angir end-

ringer av høyresidene (Constraint R.H. Side), slik at skyggeprisene ikke endres. Endringer utenfor de angitte verdier vil altså kunne medføre at skyggeprisene/mar-ginalverdiene endres. I tillegg vil selvsagt optimale verdier for beslutningsvariablene kunne endres når mulighetsområdet endres, selv innenfor de angitte intervall.

Maksimale endringer (Allowable Increase/Decrease) for beslutningsvariablene (Ad-

justable Cells) angir endringer av koeffisientene i målfunksjonen (Objective Coef-

ficient), slik at optimal løsning (Final Value) ikke endres. Endringer i koeffisientene

utenfor de angitte maksimale endringer kan føre til at optimal løsning endres. I

tillegg vil skyggeprisene endres, selv om koeffisientene endres innefor de an-

gitte intervall.

La oss se nærmere på service A (kW). Koeffisienten i målfunksjonen er kr.

0,30. Den kan økes uendelig (1E+30 angir et ”uendelig” stort tall), dvs. det kan bli billigere å produsere A, uten at det påvirker optimal verdi på beslutningsvariablene. Maksimal reduksjon er derimot kr. 1,19; reduseres koeffisienten i målfunksjonen mer, vil det kunne gi andre optimale verdier på beslutningsvariablene.

Videre ser vi at service A ’s materialbalanse angir en skyggepris på kr. 2,77. Dette angir f. eks. maksimal pris for A ved eksternt kjøp (utover egenproduserte kvanta). Ved egenproduksjon beregnet vi tidligere marginalkostnaden for tjeneste A til kr. 1,22. At marginalkostnaden for tjeneste A nå er økt til kr. 2,77 skyldes at service A nå utgjør en bindende restriksjon.

Restriksjonen for service A har en skyggepris på kr. 1,19 (se TABELL 5-22). Om vi hadde kapasitet til å produsere én enhet mer av tjeneste A, dvs. øke høyresiden fra 700.000 til 700.001, så ville målfunksjonen øke med kr. 1,19. Den økte produksjonen av A ville gjøre det mulig å øke produksjonen av produktene X og Y, og derved øke det totale dekningsbidraget.

Skyggeprisen for restriksjonen av totalproduksjonen av service A på kr. 1,19 inngår nå i beregningen av marginalverdien av service A. I tillegg til den direkte variable kostnaden på kr. 0,30 påløper en alternativkostnad på kr. 1,19 for bruk av den knappe ressursen. Om vi beregner marginalkostnaden for service A ved egenpro-duksjon og tar hensyn til denne alternativkostnaden i tillegg til den direkte kostnaden, kommer vi fram til marginalkostnaden på kr. 2,77. Dessuten ser vi at denne alterna-tivkostnaden også er maksimal reduksjon av koeffisienten i målfunksjonen for ser-vice A.

Det har imidlertid lite for seg å organisere serviceavdelingene som kostnadssentra og produksjonsavdelingene som profittsentre når det er så stort behov for samkjøring som i dette tilfellet. Man kunne selvsagt tenke seg å bruke de beregnede marginal-kostnadene som internpriser som ville lede avdelingene til å tilpasse seg optimalt.

M A R G I N A L -

V E R D I E R

S E R V I C E -

A V D E L I N G E R

Skyggeprisene i ma-

terialrestriksjonene.

Tar hensyn til alter-

nativkostnaden ved

bruk av knappe res-

surser.


5 - 19

Men for å finne disse internprisene må en først utlede optimal tilpassing og skygge-prisene på knappe ressurser. Det minner derfor litt om sirkelresonnering når man så i ettertid skal benytte de beregnede marginalkostnadene som internpriser for å la av-delingene finne optimum på egenhånd.

Eksternt kjøp av tjenester ved kapasitetsrestriksjoner.

Hvis en i denne situasjonen med kapasitetsrestriksjoner i serviceavdelingene vurderer å legge ned en av serviceavdelingene for å kjøpe tjenesten eksternt, kan følgende framgangsmåte benyttes. (Metoden kan selvsagt også benyttes selv om det ikke er kapasitetsrestriksjoner på serviceavdelingene.)

Lag en ny LP modell, der materialbalansene endres til (fjerner avdeling A):

Materialbalansene :

Service A : Eksternt kjøp A = Forbrukt mengde

QA = 1/10 QB + 1/5 QC + 5 QI + 1 QII

Service B : Produsert mengde B = Forbrukt mengde

QB = 1/30 QC + 3 QI + 5 QII

Service C : Produsert mengde C = Forbrukt mengde

QC = 2 QI + 10/3 QII

Fjern restriksjonen om maksimal produksjon av tjeneste A, men føy i steden til føl-

gende nye krav : Totalt nytt DB gammelt DB – sparte faste kostnader i avd. A :

PAQA 1QB 0,5QC 23QI 10QII 50QM + 350QX + 300QY

2.122.690 FKA

Målfunksjonen :

Den nye målfunksjonen vil nå være å finne den maksimale enhetsprisen vi kan betale for eksternt kjøp av tjeneste A :

Min PA

Svaret er : 2,2752

Ved denne prisen vil det nå være optimalt å produsere 20.000 stk. av både X og Y. I regnearket vil optimal løsning se slik ut :


5 - 20

FIGUR 5-7. Max pris eksternt kjøp tjeneste A.

FIGUR 5-8. Problemdefinisjonen i Solver.

Legg merke til at i dette problemet kan enkelte beslutningsvariabler være negative, slik at vi må presisere hvilke variabler som skal være ikke-negative. På grunn av at både pris og mengde for A er beslutningsvariabler, som multipliseres med hverandre, blir dessuten problemet ikke-lineært.


5 - 1

F E L L E S K O S T N A D E R O G F E L L E S P R O D U K T

6 - 1

Felleskostnader og

fellesprodukt

Når en produksjonsprosess resulterer i flere produkter samtidig oppstår et kostnadsfordelingsproblem.

et typiske eksemplet på felleskostnader og fellesprodukt er raffinering av råolje. Når et fat råolje raffineres, resulterer raffineringsprosessen i flere produkter samtidig: bensin, olje, tjære og flere kjemikalier. Kostnaden av råoljen og raffineringskostnadene – alle kostnadene fram til produktene

adskilles – er felleskostnader som vanskelig lar seg fordele på ferdigproduktene. Raf-fineringsprosessen resulterer i flere produkter, en kan ikke bestemme seg for bare å produsere bensin av råoljen (selv om en kan kaste de øvrige produktene). Når en ikke kan bestemme seg for å produsere bare ett produkt men må ta med alle pro-duktene, da står vi altså overfor en problemstilling med fellesprodukt og felleskost-nader. Det gjelder også om en til en viss grad kan regulere forholdet mellom de pro-duktene en produserer, en kan f. eks. til en viss grad regulere raffineringsprosessen til å produsere ferdigvarene i andre proporsjoner.

Felleskostnader har mye til felles med indirekte kostnader som f. eks. avskriving, forsikring, etc. som gjelder hele foretaket. Kostnadene ved drift og vedlikehold av jernbaneskinnene er f. eks. indirekte kostnader for all jernbanetrafikk; men jernbane-selskapet kan selv velge om de vil bruke skinnene til frakt av gods eller passasjerer, eller begge deler, derfor er kostnaden ikke en felleskostnad.

Felleskostnader kan aldri fordeles på en økonomisk riktig

måte. Heldigvis er det for beslutningsformål heller ikke nød-

vendig å fordele felleskostnader.

I praksis blir felleskostnader fordelt av forskjellige grunner :

1. For verdi/kostnadsestimering i finansregnskapet, og for å tilfreds-stille eksterne regler og krav.

2. For å koordinere beslutningene i desentraliserte avdelinger i en be-drift.

Del

6

D

F E L L E S -

K O S T N A D E R

Én prosess resulterer i

mer enn ett produkt.

Felleskostnadene for en

slik prosess tilsvarer kost-

nadene ved å skaffe til

veie og behandle den opp-

rinnelige ressursen inntil

de felles produktene blir

solgt eller viderebehandlet

separat.


6 - 2

Metoder for kostnadsfordeling av felleskostna-

der.

I praksis fordeles altså felleskostnadene, f. eks. for verdsetting av lagerbeholdninger til finansregnskapet. Det er flere metoder som er i bruk, men felles for alle er at kost-nadsfordelingen ikke egner seg som bakgrunnsmateriale for beslutninger. Det finnes ett unntak, en kostnadsfordelingsmetode gir kostnadsfordelinger som egner seg til bruk ved beslutninger; marginalkostnadsmetoden, men metoden benyttes ikke i praksis. Metoder som mest benyttes i praksis er enhetsmetoden og netto realisasjons-verdimetoden.

Marginalkostnadsmetoden setter kostnadene for hvert av fellesproduktene lik pro-duktenes marginalinntekter. Ved optimal tilpassing er jo marginalinntektene lik mar-ginalkostnadene, og kostnadsfordelingen baserer seg på dette prinsippet.

Netto realisasjonsverdimetoden fordeler felleskostnader som ikke kan henføres direkte til et produkt proporsjonalt med produktets andel av netto realisasjonsverdi totalt for alle produktene fra den samme produksjonsprosessen.

Brutto salgsverdimetoden er lik netto realisasjonsverdimetoden men benytter brutto salgsverdi som fordelingsgrunnlag isteden for nettoverdien.

Fordeling basert på fysiske enheter er den enkleste og mest vanlige. Her fordeles felleskostnadene likt på antall enheter av ferdigproduktene (stk., kg, energienheter, etc.). Metoden er dessverre også den som minst samsvarer med økonomisk teori og regnskapsprinsipper. Metoden kan føre til at et produkt blir tildelt kostnader som overstiger verdien av produktet. Dette strider bl.a. mot finansregnskapets forsiktig-hetsprinsipp om at f. eks. lagerverdien er lik det minste av kostnad eller markeds-verdi.

Eksempel med felleskostnader.

For å illustrere problemstillingen med felleskostnader og fellesprodukt kan følgende eksempel benyttes :

Et konsern består av to avdelinger : avdeling I og avdeling II. Avdeling I behandler råmaterial A til produktene B og C. Det går med 100 liter A for å produsere 20 liter B og 80 liter C. Produkt A koster kr. 10,- pr. liter. Pro-duksjonsprosessen i avdeling I er dimensjonert for å behandle 100 liter A pr. prosess, og de variable kostnadene pr. prosess er kr. 100,-. Driftsbeting-ede faste kostnader i avdeling I er kr. 250.000,- pr. periode. For å klargjøre produkt B for salg påløper ytterligere kr. 20,- pr. liter B.

Bedriften er i en monopolsituasjon for produkt B, og følgende etterspør-selsfunksjon er estimert :

QB = 95.000 1.000PB QB = antall liter B solgt pr. periode PB = pris pr. liter B. Avdeling II bearbeider produkt C, en prosess som resulterer i 40 liter D og 50 liter E pr. 100 liter C. De variable kostnadene er kr. 200,- pr. prosess i

F O R D E L I N G

A V F E L L E S -

K O S T N A D E R

Marginalkostnad

Netto verdi

Brutto verdi

Fysiske enheter


6 - 3

avdeling II, og de driftsbetingede faste kostnadene er kr. 300.000,- pr. peri-ode. Produkt E har en markedspris på kr. 100,- pr. liter, og foredlingskost-nadene er kr. 25,- pr. liter før salg. Det har vist seg umulig å selge mer enn 10.000 liter E pr. periode. Produkt D kan erstatte råmaterial A brukt i av-deling I.

Følgende figur illustrerer situasjonen :

FIGUR 6-1. Produksjonsprosess med felleskostnader og fellesprodukt.

Dette problemet kan løses på flere forskjellige måter, men felles for alle metodene er at det ikke gjøres noen form for kostnadsfordeling for å finne optimale kvanta og priser. Om en løser problemet manuelt må man benytte samme metode som ved dynamisk programmering; dele problemet opp i flere trinn, og starte med å løse siste trinn først. En får her to beslutningstrinn, ett trinn for hver avdeling/prosess, og beslutningsvariabelen på hvert trinn blir antall prosesser som skal gjennomføres pr. periode.

En starter altså med siste beslutningstrinn først, dvs. med avdeling II. Her er beslut-ningsvariabelen antall prosesser i avdelingen, og en må derfor operere med størrelser som ”100-litring” av produkt C, ”50-litring” av produkt E og ”40-litning” av produkt D. Når man skal beregne inntektene i prosessen må en ta hensyn til at man får ikke inntekter fra produkt E for kvanta som overstiger 10.000 liter, dvs. man får bare inntekter fra E for de 10.000/50 = 200 første gangene prosessen kjøres i en periode. Om prosessen i avdeling II kjøres mer enn 200 ganger i perioden er eneste ”inntekt” det som spares ved at produkt D kan erstatte A i prosess I, dvs. kr. 10,- pr. liter D som produseres. Men husk at beslutningsvariabelen er antall prosesser, dvs. man sparer tilsvarende en ”40-litning” av D, og sparer da 40 liter à kr. 10,- som tilsvarer kr. 400,- pr. prosess. Men for de 200 første gangene prosessen kjøres kommer selv-sagt inntektene fra produkt E i tillegg, dvs. en ”50-litrning” E. Og 50 liter E gir netto

50(100,- 25,-)= kr. 3.750,-.

I siste beslutningstrinn, avdeling II, har vi altså følgende data pr. prosess:

F E L L E S -

P R O D U K T

Produkt A gir

både B og C

Produkt C gir

både D og E.


- V A R I A B E L

Antall ganger

prosess II

Enheter tilsvarende

én prosess avdelingII

100-litring C

50-litring E

40-litring D

Avdeling I VK = 100,-

FK = 250.000,-

100 l A

10,- pr. l

20 l B

20,- pr. l

100 l C Avdeling II

VK = 200,-

FK = 300.000,-

50 l E

25,- pr. l

PE = 100,-

QE 10.000 l

QB = 95.000 –1000PB

80 l C

40 l D


6 - 4

Variable kostnader og inntekter Avdeling II

Antall prosesser avdeling II

Opp til 200 ganger Over 200 ganger

Inntekter E: 50 liter à kr. (100-25) 3.750,- 0,-

Inntekter D: 40 liter à kr. 10,- 400,- 400,-

Totalinntekt pr. prosess : 4.150,- 400,-

Kostnader pr. prosess II : 200,- 200,-

Nettoinntekt pr. prosess : 3.950,- 200,-

TABELL 6-1. Inntekter/kostnader pr. prosess i avdeling II.

I beslutningstrinnet foran, dvs. i avdeling I, må vi også huske at enheten for beslut-ningsvariabelen er antall prosesser i avdelingen. Dvs. vi må bruke enhetene ”20-lit-ring” produkt B og ”80-litrning” produkt C. Når det gjelder produkt B, så er det jo egentlig prisen pr. enhet som er beslutningsvariabelen; etterspørselsfunksjonen angir kvantum som en funksjon av prisen. Men her må alt gjøres om til enheter tilsvarende en prosess i avdelingen. Vi må derfor ”snu” funksjonen slik at mengde blir beslut-ningsvariabelen :

QB = 95.000 1.000PB PB = 95 1/1000 QB

Her er prisen pr. liter B uttrykt som en funksjon av antall liter B. Prisen på en ”20-litring” B må koste 20 ganger en ”én-litring”, slik at :

PB20 = 20 PB PB

20 = 1.900 1/50 QB

Men her er prisen på en ”20-litring” uttrykt som en funksjon av antall ”én-litre”. Én ”20-litring” tilsvarer 20 ”én-litre”:

QB = 20 QB20 PB

20 = 1.900 2/5 QB20

Prisen på en ”20-litring” tilsvarer inntekten i avdeling I fra produkt B. Men det koster kr. 20,- pr. liter B å klargjøre produktet for salg, dvs. kr. 400,- pr. ”20-litring”. Netto-

inntekten fra B er derfor 1.900 2/5 QB20 400 =

Nettoinntekt B pr. prosess I : 1.500 2/5 QB20

I tillegg får vi inntekter fra produkt C. Inntekten fra produkt C tilsvarer de verdier som produktet genererer i avdeling II. Ettersom det går med 100 liter C pr. prosess i avdeling II må vi dividere nettoinntekten pr. prosess i avdeling II med 100 for å finne inntekten pr. liter C. Men i avdeling I er enheten ”80-litrning” for produkt C, slik at omregningsfaktoren blir 80/100 pr. prosess i avdeling II. Inntekten fra en ”80-

litrning” C er derfor kr. (80/100) 3.950,- = kr. 3.160,-. Men dette er verdien av 80 liter C så lenge prosessen i avdeling II ikke går mer enn 200 ganger. Det tilsvarer 200

100 liter C pr. gang i prosess II, dvs. 20.000 liter C. Og 20.000 liter C tilsvarer 20.000/80 = 250 ganger i prosess I. For kvanta over 250 ganger i prosess I (dvs. 200

ganger i prosess II) så er inntekten pr. 80 liter C lik : (80/100) 200,- = kr. 160,-. Dermed får vi følgende data pr. prosess I:

I N T E R N P R I S

P R O D U K T D

Prises til markedspris

E N H E T E R

Alle variabler må gjøres

om til samme enheter som

beslutningsvariablene.


6 - 5

Variable kostnader og inntekter

Avdeling I

Antall prosesser avdeling I

Opp til 250 ganger Over 250 ganger

Inntekter B: 1.500 2/5 QB20 1.500 2/5 QB

20

Inntekter C: 3.160,- 160,-

Totalinntekt pr. prosess : 4.660 2/5 QB20 1.660 2/5 QB

20

Kostnader 100 liter A à kr. 10,- 1000,- 1000,-

Kostnader pr. prosess I: 100,- 100,-

Totalkostnad pr. prosess : 1.100,- 1.100,-

TABELL 6-2. Inntekter/kostnader pr. prosess I.

Vi kan nå utlede optimal strategi i avdeling I, og deretter gå ett trinn tilbake i beslut-ningsprosessen og løse optimal strategi i avdeling II. Optimal tilpassing for avdeling I må være slik at marginalinntekten er lik marginalkostnaden for avdelingen. Margi-nalkostnaden er enkel å finne, ettersom de variable kostnadene er proporsjonale blir enhetskostnaden pr. prosess og derved marginalkostnaden konstant. Marginalkost-naden er altså kr. 1.100,-. Men for å finne marginalinntekten må vi derivere totalinn-tekten.

Ettersom én ”20-litring” B (QB20) tilsvarer én prosess i avdeling I (QI), kan vi skrive

totalinntekten i avdeling I som pris mengde : TRI = (4.660 2/5 QI) QI, når QI 250. Marginalinntekten er den deriverte av totalinntekten :

MRI = TRI/ QI = 4.660 4/5 QI QI 250

MRI = TRI/ QI = 1.660 4/5 QI QI > 250

FIGUR 6-2. Optimal tilpassing i avdeling I.

I FIGUR 6-2 ser vi at optimal tilpassing er å kjøre prosessen i avdeling I 700 ganger.

M A R G I N A L -

I N N T E K T

Deriverte av

totalinntekten

O P T I M U M

Marginalinntekt =

Marginalkostnad

250 700 QI

1.100

4.660 Marginalinntekt i avdeling I

4.660 4/5 QI

Marginalkost-nad i avdeling I Marginalinn-

tekt i avdeling I

1.660 4/5 QI


6 - 6

Vi kan nå gå ett trinn tilbake i løsningsprosessen, til avdeling II. Ettersom vi kjører

prosessen i avdeling I 700 ganger får vi i alt 700 80 = 56.000 liter C. Dette gir mulighet til å kjøre prosess II i alt 56.000/100 = 560 ganger. Ettersom prosess II også gir positiv nettoinntekt selv om den kjøres mer enn 200 ganger, så er det altså lønnsomt å kjøre prosess II i alt 560 ganger.

Vi ender da opp med følgende resultat :

Resultat ved optimal tilpassing begge avdelinger

Avdeling I

Inntekter B: 700(1.500 2/5 700) 854.000,-

Kostnad A: 70010010,- -700.000,-

Kostnad prosess I: 700100,- -70.000,-

Dekningsbidrag avdeling I : 84.000,- 84.000,-

Avdeling II

Inntekter E: 10.000(100-25) 750.000,-

Inntekt D: 5604010,- 224.000,-

Kostnad C: 0,-

Kostnad prosess II: 560200,- -112.000,-

Dekningsbidrag avdeling II : 862.000,- 862.000,-

Totalt dekningsbidrag: 946.000,-

Faste kostnader: 250.000 + 300.000: 550.000,-

Resultat : 396.000,-

TABELL 6-3. Samlet resultat av optimal tilpassing. Ingen kostnadsfordeling.

Det er her ikke gjort noe forsøk på å fordele felleskostnadene på produktene eller sette noen internpris for produkt C mellom avdelingene. Det er derfor heller ikke beregnet noe avdelingsresultat; isteden er det beregnet et totalt dekningsbidrag som sammenlignes med totale faste kostnader. Vi ser at begge avdelingene samlet er lønn-somme. Det er derfor ikke aktuelt å legge ned avdeling I, ettersom det nødvendigvis også vil medføre nedleggelse av avdeling II, fordi avdelingen ikke lenger får råstoffet C. For å avgjøre om det eventuelt er lønnsomt å legge ned avdeling II må vi beregne optimal tilpassing i avdeling I når produkt C ikke gir inntekter, og se om totalresul-tatet da blir større enn resultatet fra begge avdelingene; 396.000,-.

Vi behøver heller ikke foreta noen fordeling av felleskostnadene i avdeling I for å finne optimal pris på produkt B. Optimal pris på en ”20-litring” er :

PB20 = 1.900 2/5 QB

20 = 1.900 2/5 700 = 1.620,-

Optimal literpris må da være 1/20 av en ”20-litring” :

PB = PB20/20 = 1.620/20 = 81,-

D Y N A M I S K

P R O G R A M -

M E R I N G

Dele beslutningen

opp i trinn

Løse siste trinn først

Finne optimal stra-

tegi fra første trinn

og fram til siste trinn.


6 - 7

For å forsikre oss om at dette er den globale optimale tilpassingen og ikke bare et lokalt optimumspunkt må vi teste optimal tilpassing med bare avdeling I i drift. Da må marginalinntekten fra kun produkt B være lik marginalkostnaden i avdelingen,

ettersom vi ikke lenger får inntekter fra produkt C. Dvs. 1.500 4/5 QI = 1.100,

som gir QI = 500. Dekningsbidraget blir (1.500 2/5 500)500 1.100 500 = 100.000,-. Dette dekker ikke de faste kostnadene på kr. 250.000,-. Driften av bare avdeling I er derfor ikke lønnsom. Dermed har vi påvist at det globale optimums-punktet er ved produksjon i både avdeling I og II.

Alternativ problemformulering

Dette problemet lar seg forholdsvis lett løse manuelt, fordi det er relativt lite og over-siktlig, se FIGUR 6-1. Men problemene kan fort bli uhåndterlig for manuell løsning. Vi skal derfor se hvordan problemet kan formuleres slik at det egner seg for løsning i regneark eller spesialprogram for optimering.

Etter å ha satt seg grundig inn i problemstillingen, må en forsøke å finne beslutnings-variablene. Det lønner seg å følge produksjonsprosessen; fra innkjøp av råmaterial, via produksjonsprosessene, og til salg av ferdigprodukter.

F IGUR 6-3. Eksempel på formulering av et problem med felleskostnader i regneark.

G L O B A L T

O P T I M U M

Må teste alle lokale

optimumspunkt


6 - 8

Her er beslutningsvariablene listet opp i kolonneoverskriftene (med unntak av Totalt -kolonnen og Kapasitet -kolonnen). Det er Mengde (linje 7) som angir verdien på be-slutningsvariablene, med unntak av Salg B, der er Salgspris beslutningsvariabelen. Mengde for Salg B er gitt av etterspørselsfunksjonen (se formel-linjen for J7).

FIGUR 6-4. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner angitt i Solver.

Målfunksjonen :

Max DB = 10 QA 100 QI 200 QII + (PB 20)QBS + (10025)QE

S

Etterspørselsfunksjonen :

QBS = 95.000 1.000PB (angitt via definisjonen av Mengde for Salg B [J7])

Materialbalanser avdeling I :

QA + QD = 100QI (tilgang av A og D må dekke behovet i prosess I)

20QI = QBP (produksjon av B tilsvarer 20 liter pr. prosess I)

80QI = QCI (produksjon av C tilsvarer 80 liter pr. prosess I)

Materialbalanse mellom avdeling I og II :

QCI QC

II (produksjon i avd. I må dekke behovet i avd. II)

Materialbalanse i avdeling II :

QCII = 100QII (bruk av C i prosess II må være lik behovet)

40QII = QD (produksjon av D tilsvarer 40 liter pr. prosess II)

50QII = QEP (produksjon av E tilsvarer 50 liter pr. prosess II)

Materialbalanse produksjon og salg :

QBP QB

S (produksjon av B må minst tilsvare salget)

QEP QE

S (produksjon av E må minst tilsvare salget)

I N G E N

K O S T N A D S -

F O R D E L I N G

Ingen produktkalkyler el-

ler kostnadsfordeling i

målfunksjonen

M A T E R I A L -

B A L A N S E N E

Definerer produksjons-

prosessene


6 - 9

QES 10.000 (maksimalt salg av produkt E)

Legg merke til at vi i denne formuleringen ikke har laget noen som helst form for kostnadsfordeling eller produktkalkyler, og at vi heller ikke har gjort noen form for omregning av enheter. Kostnadene er ført direkte på de beslutningsvariabler der kostnader oppstår, og inntekter er angitt for de variabler som genererer inntekter. Materialbalansene sørger for at alle kostnadene i produksjonen kommer med, og tar også av seg alle enhetsomregninger.

Denne formuleringen gjør det også enkelt å legge inn eventuelle produksjonsbegren-singer.

Problemet kan formuleres mer kompakt; antall beslutningsvariabler kan reduseres (ned til 4), og antall restriksjoner kan også reduseres. Poenget her er imidlertid ikke å lage en så kompakt og løsningseffektiv formulering som mulig (et så lite problem setter ingen programvare på noen alvorlig prøve), men å vise hvordan problemet bør struktureres.

Når problemet formuleres for bruk i programvare krever enkelte program at proble-met formuleres på standard form, dvs. at alle variabler er på venstre side av ligningen, og kun konstanter på høyresiden. (Solver i Excel krever ikke dette, men det gir pro-blemet en mer oversiktlig struktur som letter bruken av Solver.) Materialbalansen for produkt A får da formen :

QA 100QI + QD = 0

(Se linje 10 i regnearket i F IGUR 6-3. Der er koeffisientene i ligningen angitt.) Venstre side av denne restriksjonen er beregnet i Totalt –kolonnen (som produktsummen av linjen med koeffisientene [linje 10] og linjen for Mengde [linje 7]). Høyresiden er angitt i Solver, enten som en konstant, eller som en referanse til regnearket. (Referansen behøver ikke være en konstant, det kan også være til en celle som er en funksjon av en beslutningsvariabel.) Tilsvarende omformulering gjelder de øvrige restriksjonene.

Vel så nyttig som å finne optimale verdier på beslutningsvariablene er det å vite skyggeprisene på restriksjonene. Dette problemet er ikke-lineært på grunn av etter-spørselsfunksjonen av produkt B, inntekten fra produkt B er ikke en lineær funksjon av pris og mengde. Ikke-lineære problemer er adskillig vanskeligere å løse enn lineære problem, og vi får heller ikke så detaljert sensitivitetsanalyse av løsningen. Når pro-blemet er ikke-lineært kan det være mange lokale ekstremalpunkt, og en må søke gjennom alle disse for å avgjøre hvilket punkt som er det globale optimumspunkt. Sensitivitetsanalysen blir ikke så omfattende, fordi skyggeprisene nå er marginalver-dier i ordets rette forstand, de gjelder bare for små endringer av høyresidene.

En fullstendig problemformulering kunne også ta hensyn til de faste kostnadene i avdelingene, f. eks. ved bruk av binær -variabler. Men det ville gjøre problemet enda mer komplekst og vanskelig å løse, i tillegg til at vi da ikke får noen form for sensiti-vitetsanalyse. Det kan derfor i mange tilfeller være gode grunner for å løse problemet uten faste kostnader, og først ta hensyn til faste kostnadene i ettertid.

Følgende sensitivitetsanalyse får vi fra Solver i dette tilfellet:

I N T E R N P R I S

B E R G N E S A U -

T O M A T I S K

Marginalverdi for

produkt C

Markedsverdi for

produkt D

I K K E - L I N E -

Æ R E P R O B L E M

Vanskelig å løse

Lokale optimums-

punkt

Snever sensitivitets-

analyse


6 - 10

Adjustable Cells

Final Reduced


$J$4 Salgspris Salg B 81 0

$B$7 Mengde Kjøp A 47600 0

$C$7 Mengde Prosess I 700 0

$D$7 Mengde Produksjon B 14000 0

$E$7 Mengde Produksjon C 56000 0

$F$7 Mengde Bruk C 56000 0

$G$7 Mengde Prosess II 560 0

$H$7 Mengde Produksjon D 22400 0

$I$7 Mengde Produksjon E 28000 0

$K$7 Mengde Salg E 10000 0

Constraints

Final Lagrange

Cell Name Value Multiplier

$L$10 A Totalt Materialbalan-ser i

Avdeling I

0 -10

$L$11 B Totalt 0 -47

$L$12 C Totalt 0 -2

$L$18 C Totalt Materialbalan-ser i

Avdeling II

0 -2

$L$19 D Totalt 0 -10

$L$20 E Totalt 0 0

$L$15 C Totalt Tilgang produk-sjon i forhold til bruk eller salg.

0 -2

$L$23 B Totalt 0 -47

$L$24 E Totalt 18000 0

$L$27 E Totalt Salgsrestriksjon 10000 75

TABELL 6-4. Skyggepriser (Lagrange Multiplier) for ikke-lineært problem med felleskostnader.

Disse marginalverdiene (Lagrange Multiplier) viser skyggeprisene på restriksjonene.

Første restriksjon gjelder råstoffet A, og har en skyggepris på 10, som er prisen pr. stk. A. Skyggeprisen angir endringen i målfunksjonen av å øke høyresiden av restrik-sjonen med én enhet. En slik økning kan f. eks. være at vi skal kjøpe inn én enhet mer av A enn det vi bruker; det vil i så fall redusere totalt dekningsbidrag med. Restriksjonen for produkt B har tilsvarende fortolkning; øker vi høyresiden av restriksjonen med én enhet, f. eks. at vi har som restriksjon at vi skal produsere én

enhet mer enn det vi selger, så vil totalt dekningsbidrag bli redusert med 47. Motsatt betyr det at hvis vi kunne selge én enhet mer enn det vi produserer (f. eks. ved å selge fra lager), så vil totalt dekningsbidrag øke med +47. For produkt C ser vi at skygge-

prisen er 2, dvs. å produsere én enhet mer i avdeling I enn hva vi kan bruke i avde-

ling II vil redusere totalt dekningsbidrag med 2. Materialbalansene for produkt E har en skyggepris på 0, dvs. det har f. eks. 0 verdi å ha produktet på lager. Det skyldes at vi produserer mer enn det vi kan selge (en overproduksjon på 18.000 stk. E), og lager har derfor 0 verdi. Derimot ser vi at om vi kunne øke maksimalt salg av produkt E utover 10.000, så vil totalt DB øke med 75. F. eks. er en markedsføringskampanje for E verdt kr. 75,- pr. E ekstra solgt.. Disse skyggeprisene fra sensitivitetsanalysen kan vi benytte i kostnadsfordelingen av felleskostnadene.

S K Y G G E P R I S

Kan brukes ved fordeling

av felleskostnader


6 - 11

Fordeling av felleskostnader

Vi har sett at vi trenger ikke å fordele felleskostnadene på ferdigproduktene, hverken for å finne optimale produksjonskvanta eller optimale priser. Om vi likevel må for-dele felleskostnadene, f. eks. for å fastsette verdien på lagerbeholdninger, kan vi velge blant flere alternative metoder.

Fordeling etter marginalkostnadsmetoden.

Her fordeles felleskostnadene etter produktenes marginalkostnader. Ettersom mar-ginalkostnadene er ukjente fordi vi ikke vet kostnadene, brukes marginalinntektene isteden, siden marginalkostnader og marginalinntekter er like i optimum. Vi bruker i dette tilfellet skyggeprisene for materialbalansene fra sensitivitetsanalysen som mar-ginalinntekter.

Avdeling I

Felleskostnader

Material A+D: (47.600+22.400) 10,- 700.000,-

Prosess I: 700100,- 70.000,- 770.000,-

Kostnadsfordeling

Produkt B: 14.00047,- 658.000,-

Produkt C: 56.0002,- 112.000,- 770.000,-

Avdeling II

Felleskostnader

Produkt C: 56.0002,- 112.000,-

Prosess II: 560200,- 112.000,- 224.000,-

Kostnadsfordeling

Produkt D: 22.40010,- 224.000,-

Produkt E: 28.0000,- 0,- 224.000,-

TABELL 6-5. Variable felleskostnader fordelt etter marginalkostnadsmetoden.

Marginalkostnadsmetoden kan bare fordele de variable felleskostnadene. For avde-ling I består disse av råmaterialkostnader og prosesskostnader, i alt kr. 770.000,- som ikke kan henføres direkte på sluttproduktene. Men om vi bruker skyggeprisene og belaster produkt B med kr. 47,- og produkt C med kr. 2,- pr. stk. ser vi at vi får fordelt samtlige variable felleskostnader i avdelingen. Metoden angir også internprisen for produkt C, og vi kan sette opp følgende resultatfordeling :

Avdeling I

Produkt B: 14.000(812047) 196.000,-

Produkt C: 56.000(22) 0,-

Totalt dekningsbidrag : 196.000,-

Faste kostnader: 250.000,-

Resultat avdeling I 54.000,- 54.000,-

Avdeling II

Produkt D: 22.400(1010) 0,-

Produkt E: 10.000(100250) 750.000,-

Totalt dekningsbidrag : 750.000,-

Faste kostnader: 300.000,-

Resultat avdeling II 450.000,- 450.000,-

Resultat totalt 396.000,-

TABELL 6-6. Resultatfordeling mellom avdelingene ved marginalkostnadsmetoden.

M A R G I N A L -

K O S T N A D S -

M E T O D E N

Fordeler kun variable

kostnader

”Skjev” fordeling av

resultatet mellom av-

delingene

Gir riktige

internpriser

Gir riktige

produktkalkyler


6 - 12

Felleskostnader er alle kostna-dene som ikke kan henføres til et bestemt sluttpro-dukt.

Som vi ser har marginalkostnadsmetoden ved kostnadsfordeling av felleskostnadene gitt korrekt totalresultat, men fordelingen av resultatet på avdelingene er ”skjevt”; avdeling II går med et stort resultat takket være en lav internpris på produkt C, mens avdeling I av samme grunn viser et underskudd. Det er imidlertid denne internprisen som må benyttes hvis avdelingene skal komme fram til optimale kvanta og priser hver for seg. Hvis avdelingene hver for seg kan bestemme optimale kvanta (og priser for produkt B), så vil en annen internpris medføre at tilpassingen ikke blir slik at bedriften samlet får størst mulig resultat.

Fordeling etter netto realisasjonsverdimetoden

Her fordeles felleskostnadene proporsjonalt med produktenes andel av total netto realisasjonsverdi.

Netto realisasjonsverdi Avdeling I Kr. %

B : 14.000(8120) 854.000,- 60,31%

C: [56.000/100](4010200) + 10.000(10025) 300.000 562.000,- 39,69%

Total netto realisasjonsverdi : 1.416.000,- 100,00%

TABELL 6-7. Netto realisasjonsverdi avdeling I.

Netto realisasjonsverdi for produkt B er altså kr. 854.000,- og utgjør 60,31% av total netto realisasjonsverdi. Produkt B vil derfor bli belastet med 60,31% av felleskostna-dene vi ikke har kunnet henføre på noe produkt på annen måte. Tilsvarende er netto realisasjonsverdi for produkt C kr. 562.000,- (fra produkt D og E i avdeling II, minus prosesskostnadene og faste kostnader i avdelingen), og det utgjør 39,69% av total netto realisasjonsverdi. Produkt C vil derfor bli belastet 39,69% av felleskostnadene.

Felleskostnader Avdeling I Kr.

Material A+D: (47.600+22.400) 10,- 700.000,-

Prosess I: 700100,- 70.000,-

Faste kostnader : 250.000,-

Totale felleskostnader avdeling I : 1.020.000,-

TABELL 6-8. Totale felleskostnader avdeling I.

Fordelte felleskostnader avdeling I % Kr. Liter Kr./liter

Produkt B: 60,31% 615.162,- 14.000 43,94

Produkt C: 39,69% 404.838,- 56.000 7,23

100,00% 1.020.000,-

TABELL 6-9. Totale felleskostnader avdeling I fordelt etter netto realisasjonsverdimetoden.

Vi ser at produkt B blir belastet med kr. 615.162,- eller 60,31% av felleskostnadene, og det utgjør kr. 43,94 pr. liter B. Tilsvarende blir C belastet med kr. 404.838,- eller 39,69% av felleskostnadene, som utgjør kr. 7,23 pr. liter C. Legg merke til at denne kostnadsfordelingsmetoden tar utgangspunkt i en gitt produksjonstilpassing, forhå-pentligvis den optimale. Metoden kan altså ikke benyttes til å finne optimal produk-sjonstilpassing og prissetting.

Om vi foretar tilsvarende kostnadsfordeling for avdeling II får vi :

N E T T O

R E A L I S A -

S J O N S V E R D I -

M E T O D E N

Fordeler felleskostnadene

proporsjonalt med

netto

realisasjonsverdi

Fordeler også faste kost-

nader

Tar utgangspunkt i en gitt

produksjonstilpas-

sing

Kan ikke benyttes til pris-

setting og produk-

sjonsplanlegging


6 - 13

Materialkostna-den for produkt C tilsvarer for-delte felleskost-nader på produk-tet fra avdeling I.

Netto realisasjonsverdi Avdeling II Kr. %

D : 22.40010,- 224.000,- 23,00%

E: 10.000(10025) 750.000,- 77,00%

Total netto realisasjonsverdi : 974.000,- 100,00%

TABELL 6-10. Netto realisasjonsverdi avdeling II.

Felleskostnader Avdeling II Kr.

Material C: 404.838,-

Prosess II: 560200,- 112.000,-

Faste kostnader : 300.000,-

Totale felleskostnader avdeling II : 816.838,-

TABELL 6-11. Totale felleskostnader avdeling II.

Fordelte felleskostnader avdeling II % Kr. Liter Kr./liter

Produkt D: 23,00% 187.873,- 22.400 8,39

Produkt E: 77,00% 628.965,- 28.000 22,46

100,00% 816.838,-

TABELL 6-12. Totale felleskostnader avdeling II fordelt etter netto realisasjonsverdimetoden.

Vi får her et dilemma når vi skal beregne de fordelte felleskostnadene pr. liter for produkt E. Vi har produsert 28.000 liter men kan bare selge 10.000 liter, resten må kastes eller destrueres. Om vi velger å fordele kostnaden på kun det antall som er solgt, blir fordelte felleskostnader pr. liter E kr. 62,90 isteden for kr. 22,46.

Om vi nå foretar en lønnsomhetsberegning av avdelingene basert på kostnadsforde-lingene etter netto realisasjonsverdimetoden, får vi :

Avdeling I

Produkt B: 14.000(812043,94) 238.838,-

Produkt C: 56.000(7,237,23) 0,-


Avdeling II

Produkt D: 22.400(108,39) 36.127,-

Produkt E: 10.000(1002562,90) 121.035,-

Resultat avdeling II 157.162,- 157.162,-


TABELL 6-13. Resultatfordeling mellom avdelingene ved netto realisasjonsverdimetoden.

For at denne metoden skal gi et korrekt totalresultat, må vi beregne inntekter for produkt C forskjellig fra de vi har lagt til grunn i TABELL 6-7. Netto realisasjonsverdi avdeling I. Der beregnet vi verdien av produkt C til å være kr. 562.000,- eller kr. 10,04 pr. liter. Her er verdien satt lik den fordelte felleskostnaden som produktet blir be-lastet med (kr. 7,23), som benyttes som internpris for produktet. Om vi er konse-kvente og benytter samme inntekter når vi beregner resultatfordelingen mellom av-delingene som når vi beregner kostnadsfordelingen innad i avdelingene, kommer vi fram til galt totalresultat.

Kostnadsfordeling basert på fysiske enheter

Om vi foretar kostnadsfordelingen etter antall liter av ferdigproduktene som er pro-dusert (eller solgt), kommer vi fram til følgende kostnadsfordeling :

R E S U L T A T -

F O R D E L I N G

Må baseres på meng-

der solgt E

Inntekter intern-

leveranser C ikke de

samme som benyttet

ved kostnads-

fordelingen


6 - 14

Felleskostnader avdeling I : kr. 1.020.000,- (Se TABELL 6-8.)

Antall liter produsert avdeling I : 14.000 B + 56.000 C = 70.000 liter

Felleskostnad pr. liter produsert i avdeling I : kr. 1.020.000/70.000 = kr. 14,57

Felleskostnader avdeling II : 56.000 14,57 + 112.000 + 300.000 = kr. 1.228.000,-

Antall liter produsert avdeling II : 22.400 D + 10.000 E (solgt) = 32.400 liter

Felleskostnad pr. liter solgt i avdeling II : kr. 1.228.000/32.400 = kr. 37,90

Vi får dermed følgende resultatfordeling basert på kostnadsfordeling etter fysiske enheter :

Avdeling I

Produkt B: 14.000(812014,57) 650.000,-

Produkt C: 56.000(14,5714,57) 0,-


Avdeling II

Produkt D: 22.400(1037,90) 624.990,-

Produkt E: 10.000(1002537,90) 370.990,-

Resultat avdeling II -254.000,- -254.000,-


TABELL 6-14. Resultatfordeling mellom avdelingene ved kostnadsfordeling etter fysiske enheter.

Om vi sammenligner resultatfordelingen på avdelingene og produktene etter de tre alternative kostnadsfordelingsmetodene, ser vi at marginalkostnadsmetoden gir et lite underskudd til avdeling I, netto realisasjonsmetoden fordeler overskuddet nesten jevnt på avdelingene, mens enhetsmetoden gir et stort underskudd for avdeling II. Vi har tidligere argumentert for at det ikke er aktuelt å legge ned avdeling I så lenge totalresultatet er positivt, ettersom en slik nedleggelser innebærer nedlegging av begge avdelingene. Marginalkostnadsmetoden som gir et lite underskudd til avdeling I vil derfor neppe forlede noen til å legge ned avdelingen av den grunn. Derimot ser vi at enhetsmetoden gir et stort underskudd til avdeling II, og det kan villede ledelsen til å legge ned avdeling II. Vi har imidlertid vist at optimal tilpassing med bare avde-ling I gir et dårligere resultat enn med begge avdelingene i drift.

Om vi ser på resultatfordelingen på produktene etter disse tre alternative kostnads-fordelingsmetodene, ser vi at marginalkostnadsmetoden gir null eller et positivt re-sultat for alle produktene. Det vil også netto realisasjonsverdimetoden gjøre. Men vi ser at marginalkostnadsmetoden gir null i resultat for alle internleveranser, enten de skjer til internprisen (produkt C) eller til markedsprisen (produkt D). Netto realisa-sjonsverdimetoden viser imidlertid et overskudd på det produktet som leveres in-ternt til markedspris. Det er ikke spesielt logisk; når internleveransen foregår til mar-kedspris har vi hverken tjent eller spart på internleveransen (i forhold til å kjøpe eks-ternt). Enhetsmetoden viser et enormt underskudd på disse leveransene av D.


6 - 15

Fordeling av faste kostnader

Marginalkostnadsmetoden fordeler ikke faste kostnader på produktene, og derved heller ikke mellom avdelingene via internprisen, slik som netto realisasjonsverdime-toden og enhetsmetoden gjør. Det er for såvidt også korrekt, ettersom en fordeling pr. enhet på produktene omgjør kostnaden til en variabel kostnad. Vi får da også problemer med over/underdekning hvis aktivitetsnivået endres.

Men å la være å fordele de faste kostnadene skaper en vilkårlig fordeling av totalre-sultatet mellom avdelingene. Den lave internprisen som marginalkostnadsmetoden setter på produkt C tar ikke hensyn til de høye faste kostnadene i avdeling I. For at avdeling II skal kunne kjøpe C til denne lave prisen kan en argumentere for at de da må betale en reservasjonskostnad; tilsvarende sin andel av bruken av kapasiteten i avdeling I. Vi betrakter da de faste kostnadene som en kapasitetskostnad, og bru-kerne reserverer en andel av kapasiteten mot å betale en tilsvarende andel av de faste kapasitetskostnadene. Ved fellesprodukter blir det umulig å angi hvor stor andel av kapasiteten de forskjellig produktene legger beslag på, ettersom flere produkter kan produseres samtidig med samme kapasitet. En kan ta utgangspunkt i produksjons-kvanta; 20/100 B og 80/100 C (som vil tilsvare enhetsmetoden) slik at C blir belastet med 80% av de faste kostnadene i avdeling I. Alternativt kan en argumentere for at kapasiteten gir opphav til 2 fellesprodukt, og at de faste kostnadene derfor deles med 1/2 på hver. Eller man kan fordele de faste kostnadene proporsjonalt med den om-setningsverdi kapasiteten genererer. Her får vi imidlertid problemer med at omset-ningsverdien er manipulerbar, slik at fordelingen av faste kostnader ikke lenger blir fast. Det er viktig at faste kostnader oppfattes som faste, ellers kan det lede til gale beslutninger. Det er også viktig at kostnadsfordelingen ikke er manipulerbar av av-delingslederne.

Fordeling faste kostnader Avdeling I

Produksjonsforhold Antall produkter

Produkt B: 20/100 50.000,- 1/2 125.000,-

Produkt C: 80/100 200.000,- 1/2 125.000,-

250.000,- 250.000,-

TABELL 6-15. Fordeling av faste kostnader avdeling I, basert på andel av kapasiteten.

Om vi fordeler de faste kostnadene på produktene, slik at avdeling II må betale den faste andelen som tilfaller produkt C som en slags reservasjonskostnad mot å få kjøpe produkt C til den lave marginalkostnaden, vil vi rette opp problemet med at margi-nalkostnadsmetoden gir en skjev resultatfordeling mellom avdelingene. Om vi f. eks. fordeler de faste kostnadene basert på produksjonsforholdene, må avdeling II betale kr. 200.000,- i faste kostnader for å få kjøpe produkt C. Dermed vil overskuddet i avdelingen bli redusert med samme beløp, mens resultatet i avdeling I øker tilsva-rende. Vi får da følgende resultatfordeling :

Avdeling I: kr. 54.000,- + kr. 200.000,- = kr. 146.000,-.

Avdeling II: kr. 450.000,- kr. 200.000,- = kr. 250.000,-.

Vi har nå fått en fordeling av totalresultatet som bedre harmonerer med en tradisjo-nell "rettferdighetsoppfatning", samtidig som vi har fordelt de faste kostnadene som faste og ikke som variable.

F O R D E L I N G

F A S T E

K O S T N A D E R

Fast beløp

Ikke manipulerbart

Kostnad for reserva-

sjon av kapasitet

Fordeler resultatet

mellom avdelingene


6 - 16

Prissetting og produktvalg av fellesprodukt

Fellesprodukter skaper en del tillempingsproblemer når vi skal analysere ellers enkle beslutningssituasjoner. Vi skal igjen ta utgangspunkt i et enkelt eksempel, og analy-sere forskjellige beslutningssituasjoner.

En kjemisk industribedrift bearbeider et råstoff Y i en produksjons-

prosess, til tre produkter; A, B og C. Utbytteforholdet er konstant,

og slik at f. eks. 10 enheter Y bearbeidet i produksjonsprosessen gir

5 enheter A, 3 enheter B og 2 enheter C. Dette kan illustreres slik :

Produkt A, B og C kan

bearbeides til halvfabri-

kata, kalt A1, B1 og C1.

Disse halvfabrikataene

kan enten selges eller vi-

dereforedles, til hhv.

A2, B2 og C2.

Følgende tabell viser salgspriser og foredlingskostnader samt tidsforbruk

og kapasiteter :

RÅMATERIAL HALVFABRIKATA FOREDLET PRODUKT

Y A1 B1 C1 A2 B2 C2

Salgspris 5,- 10,- 15,- 10,- 15,- 24,60 Variable kostnader1) 5,- 1,- 2,- 3,- 4,- 6,- 8,-

1)Råmaterial Y koster Kr. 4,- pr. enhet, i tillegg påløper bearbeidingskostnader på kr. 1,- pr.

enhet Y. For de øvrige produktene utgjør de variable kostnadene bearbeidingskostnader. F.eks.

koster det Kr. 4,- pr. enhet å videreforedle A1 til A2. Faste kostnader utgjør Kr. 100.000,-

pr. periode. De faste kostnadene er driftsbetingede.

En vanlig problemstilling er å avgjøre hvorvidt det lønner seg å foredle produktene fra halvfabrikata til ferdigvarer. F. eks. koster det kr. 1,- å bearbeide produkt A til halvfabrikatet A1, som kan selges for kr. 5,-. Imidlertid kan A1 bearbeides ytterligere til produktet A2, til en merkostnad på kr. 4,-. Produktet A2 kan selges for kr. 10,-. Merinntekten av videreforedlingen er endringen i salgsinntekten ved å selge A2 iste-den for A1 :

Merinntekt av videreforedling : Salgspris A2 salgspris A1 : kr. 10 kr. 5 = 5,- Merkostnad ved videreforedling : Foredlingskostnad A2 : = 4,- Nettoverdi ved videreforedling av A1 til A2 : = 1,-

Det er derfor mer lønnsomt å selge produkt A som A2 framfor A1. Det samme ser

vi er tilfellet med produkt C, en tjener netto [(24,615) 8] = kr. 1,60 pr. enhet mer ved å videreforedle produkt C1 til C2 framfor å selge produktet som C1. Derimot er det ikke lønnsomt å videreforedle produkt B fra B1 til B2, ettersom det gir en negativ

merinntekt på [(1510) 6] = kr. 1,-. Bedriften bør altså videreforedle produktene A og C til ferdigvarer, men selge produkt B som halvfabrikat.

Produksjons-

prosess3 B

2 C

5 A

10 Y

V I D E R E -

F O R E D L I N G

Lønnsomt hvis :

netto økning i salgs-

verdi større enn

netto økte

foredlingskostnader

Trenger ingen forde-

ling av

felleskostnader

Forutsetter INGEN

kapasitets-

restriksjoner


6 - 17

Hvis det er produksjonsbegrensinger er analysen foran ufullstendig. Anta f.eks. at bearbeidingen av halvfabrikata skjer via en felles produksjonsressurs, eksempelvis begrenset av tilgjengelig arbeidstid. Anta at følgende tidsforbruk gjelder:

A2 B2 C2

Tidsforbruk i timer 2 1 3

TABELL 6-16. Tidsforbruk videreforedling av fellesprodukter.

Med kun én knapp faktor vil det lønne seg å produsere mest av det produktet som gir størst bidrag pr. knapp faktor :

TABELL 6-17. Bidrag pr. knapp faktor videreforedlet produkter.

Vi har fastslått at det ikke er lønnsomt å videreforedle pro-dukt B fra B1 til B2. Valget står derfor bare mellom A2 og C2. Vi

bør kun videreforedle produkt C2 i dette tilfellet, da vil vi utnytte den knappe ressur-sen best mulig. For en gitt mengde bearbeidet råstoff Y videreforedler vi kun pro-dukt C2, inntil all foredlingstid er brukt opp. Hvis vi har foredlet alt C tilgjengelig benyttes eventuell resterende bearbeidingstid til å videreforedle A1 til A2.

Hvis den samme knappe faktoren også benyttes til å bearbeide den felles råva-

ren Y blir problemet imidlertid ytterligere komplisert. Da er det nemlig ikke lenger sikkert at det er lønnsomt å videreforedle halvfabrikataene. Anta at det også går med 3 timer til å bearbeide Y til produktene A, B og C :

Y A2 B2 C2

Tidsforbruk i timer 3 2 1 3

TABELL 6-18. Tidsforbruk bearbeiding av råmaterial og videreforedling halvfabrikata.

Nå vil en videreforedling av produkt C til C2 medføre at vi må redusere produksjo-nen av råmaterial Y, og dermed få mindre av produktene A, B og C. Vi må nå vurdere om en time skal benyttes til å bearbeide bare Y (som gir flere enheter av A, B og C) eller om vi skal benytte en bearbeidingstime til både Y og C2. Om vi benytter en time til å produsere bare Y får vi :

3Y = 1 time Y = 1/3 (Vi produserer 1/3 Y pr. time)

Benytter vi timen til å foredle både Y og C2 får vi :

3Y + 3C2 = 1 time 10Y gir 2 C 2/10Y = C

3Y + 3(2/10)Y = 1 Y = 10/36 (Vi produserer 10/36 Y pr. time)

Vi må så sammenligne dekningsbidraget pr. time av å kun foredle Y til fellesproduk-tene A, B og C uten videreforedling med dekningsbidraget pr. time ved å både for-edle Y og C2.

É N K N A P P

F A K T O R :

Bruk ressursen til å produ-

sere kun ETT produkt

Bidrag pr. knapp faktor A2 B2 C2

Merinntekt videreforedling

1,00 1,00 1,60

Tidsforbruk i timer 2 1 3

DB/t 0,50 1,00 0,53


6 - 18

DB pr. time ved bare å foredle Y :

DBY = 1/3{5/10A1 + 3/10B1 + 2/10C1 Y}

= 1/3{5/10(51)+ 3/10(102) + 2/10(153) 5} = 18/30 = 0,60 pr. time

DB pr. time ved å foredle både Y og C2 :

DBY&C2 = 10/36{5/10A1 + 3/10B1 + 2/10C2 Y }

= 10/36{5/10(51)+ 3/10(102) + 2/10([24,68]3) 5}= 212/360 0,59 pr. time

Når tidsforbruket i videreforedlingen reduserer foredlingstiden tilgjengelig til råma-terialet er det ikke lenger bestandig optimalt å videreforedle produkter som uten pro-duksjonsbegrensinger er lønnsomme å videreforedle. Vi ser at vi i dette tilfellet tjener mer pr. knapp faktor ved kun å foredle råmaterial Y til halvfabrikata.

Om det i tillegg er begrensinger på bearbeidingen av fellesråvaren Y, må vi til-lempe analysen ytterligere. Anta f. eks. at det bare er tilgjengelig 50.000 enheter av råmaterial Y pr. periode, og at total tilgjengelig arbeidstid er 197.500 timer pr. peri-ode. Vi vil her bearbeide så mye av Y som mulig, altså all tilgjengelig mengde av

råmaterialet. Total tid som går med til å bearbeide 50.000 Y er 350.000 = 150.000

timer. Vi har da 197.500 150.000 = 47.500 timer igjen. Av 50.000 Y får vi :

A = 50.000(5/10) = 25.000

B = 50.000(3/10) = 15.000

C = 50.000(2/10) = 10.000

Om vi benytter resterende tid "til overs" til å videreforedle C1 til C2 trenger vi i alt

310.000 = 30.000 timer. Vi har da igjen 47.500 30.000 = 17.500 timer som vi kan benytte til å videreforedle A1 til A2. Vi kan da videreforedle i alt 17.500/2 = 8.750

stk. A1 til A2. Resten av A : 25.000 8.750 = 16.250 stk. selges som A1. Dermed får vi følgende optimale produksjonsplan :


Y A1 B1 C1 A2 B2 C2

Mengde 50.000 16.250 15.000 0 8.750 0 10.000

TABELL 6-19. Optimale mengder ved knapp bearbeidingstid og knapp materialtilgang.

Hvis vi må bestemme prisen på et fellesprodukt, f. eks. hvis prisen på produkt C2 ikke nødvendigvis er lik kr. 24,60 pr. enhet men kan bestemmes av bedriften, blir bildet ytterligere komplisert. Hvis f. eks. etterspørselsfunksjonen er estimert til å være slik :

22500000.20 CC pq ; der q er mengde pr. periode og p er pris pr. enhet av

produkt C2. Optimal pris er den som gir likhet mellom marginalinntekten og margi-nalkostnaden. Marginalinntekten er den deriverte av totalinntekten, og totalinntekten er lik produktet av pris og mengde. Selv om prisen er den egentlige beslutningsvaria-bel i dette tilfellet, blir analysen forenklet om vi fortsatt betrakter mengden som be-slutningsvariabel. Vi må da "snu" funksjonen, slik at mengde blir beslutnings- eller høyreside -variabel:

V I D E R E -

F O R E D L I N G

B R U K E R

S A M M E

R E S S U R S S O M

F E L L E S -

R Å V A R E N

Ikke uten videre lønnsomt

å bruke ressursen på ellers

lønnsom videreforedling

P R I S F A S T S E T -

T I N G

Optimal pris der

marginalinntekt er lik mar-

ginalkostnad


6 - 19

2222 500

140500000.20 CCCC qppq

Vi får da følgende totalinntekt :

22222)40(

5001

CCCCC qqqpTR

Marginalinntekten blir da :

22

2

2 250140 Cq

TR

C qMRC

C

Å finne marginalkostnaden blir en litt mer intrikat øvelse. Vi trenger imidlertid ingen form for kostnadsfordeling av felleskostnadene for råmaterial Y og bearbeidingen av dette råmaterialet. Så lenge videreforedlingen av C2 kan skje uten å fortrenge produk-sjonstid til Y og A2 er alternativkostnaden ved å videreforedle C2 lik viderefored-lingskostnadene på kr. 8,- pluss tapt inntekt av ikke å selge C som C1 : kr. 15,-. Mar-ginalkostnaden blir da kr. (8,-+15,-) = kr. 23,-.

Denne marginalkostnaden gjelder for kvanta videreforedlet C2 som ikke reduserer foredlingskapasiteten til Y og A2. For å illustrere dette skal vi nå anta at antall timer tilgjengelig er i alt 215.000 timer. Ledig tid for C2 etter å ha foredlet 50.000 av Y og

25.000 av A2 blir dermed : 215.000 350.000 225.000 = 15.000 timer. Vi kan da foredle i alt 15.000/3 = 5.000 stk. C2 uten at det vil gå på bekostning av Y eller A2. De første 5.000 enhetene av C2 har derfor en marginalkostnad på kr. 23,-.

De neste enhetene av C2 som blir foredlet vil nå gå på bekostning av A2. Marginal-kostnaden blir da lik kr. 23,- pluss tapt merinntekt av å måtte selge A som A1 isteden

for videreforedlet som A2 : [(105) 4] = 1,- pr. enhet A2. Da A2 bruker 2 timer

mens C2 bruker 3 timer er tapet 3/2 A2 pr. C2, dvs. kr.(23 + (3/2)1) = kr. 24,50.

Om vi foredler så mange enheter av C2 at det også reduserer antall timer tilgjengelig til å foredle Y, må alternativkostnaden i tillegg til kr. 23,- ta hensyn til tapt deknings-bidrag pr. time :

DBY = 1/3{5/10A1 + 3/10B1 + 2/10C1 Y}

= 1/3{5/10(51)+ 3/10(102) + 2/10(153) 5} = 18/30 = 0,60 pr. time

Alternativkostnaden blir da lik kr. (23 ,-+ 3 timer à kr. 0,60) = kr. 24,80

Alternativkostnaden på kr. 23,- gjelder for de første 5.000 enhetene av C2. Alterna-tivkostnaden på kr. 24,50 gjelder for fortrengelsen av A2, dvs. antall C2 utover 5.000 stk. og i tillegg i alt 25.000 stk. A2 à 2 timer = 50.000 timer. Det tilsvarer 5.000 + 50.000/3 = 21.666 enheter C2. Men vi kan maksimalt foredle 10.000 C2 p.g.a. be-grensingen av Y til maksimalt 50.000 stk. Dermed blir optimal tilpassing slik:

M A R G I N A L -

K O S T N A D E N

Må ta hensyn til al-

ternativkostnaden av

å foredle C2

Varierer med

kvantum C2


6 - 20

(Foredlingskostnadene for halvfabrikataene A1, B1 og C1 er angitt på produktene A, B og C. Derved belastes både halv-fabrikataene og ferdigproduktene samtidig.)

FIGUR 6-5. Optimal tilpassing og optimal prissetting ved fellesprodukt.

Marginalinntekten er lik marginalkostnaden ved en mengde på 4.250 C2, som gir en optimal pris lik 50,31250.44040

5001

5001

22 CC qp . Optimal produksjonsplan

ved en kapasitet på 215.000 timer pr. periode er da :


Y A1 B1 C1 A2 B2 C2

Mengde 50.000 0 15.000 5.750 25.000 0 4.250

TABELL 6-20. Optimale mengder ved 215.000 timer og fallende etterspørsel etter produkt C2.

Imidlertid nærmer vi oss nå den grensen hvor det ikke lenger er praktisk å løse pro-blemet manuelt, men isteden formulere problemet som et LP -problem (eventuelt ikke-lineært problem når vi har monopolprodukter).

Matematisk formulering for optimal prissetting og produkt-

valg ved fellesprodukt

Vi kan formulere vårt problem som et vanlig LP -problem, med unntak av at pris-strukturen for C2 gjør problemet ikke-lineært. At problemet er ikke-lineært påvirker valg av løsningsmetode, men i prinsippet ikke formuleringen av problemet.

Y, A, B, C, A1, B1, C1, A2, B2 og C2 angir mengder; PC2 angir pris for produktene.

Målfunksjonen:

Max DB =

(4+1)Y 1A 2B 3C +5A1 + 10B1 + 15C1 + (104)A2 + (156)B2 + (PC28)C2

Etterspørsel :

C2 = 20.000 500 PC2 (Angis i regnearket som en formel for C2, celle [K8])

Marginalinntekt

2250140 Cq

23

24,5

40 Marginalkostnad

4.250 5.000 2Cq


6 - 21

Produksjonsprosess :

5/10 Y = A (10 enheter Y gir 5 enheter A)

3/10 Y = B (10 enheter Y gir 3 enheter B)

2/10 Y = C (10 enheter Y gir 2 enheter C)

Materialbalanser :

A A1 + A2 (Produksjon av A minst like stor som salget)

B B1 + B2 (Produksjon av B minst like stor som salget)

C C1 + C2 (Produksjon av C minst like stor som salget)

Kapasitetsrestriksjoner :

3Y + 2A2 + 1B2 + 3C2 215.000 timer (Forbruk foredlingstid kapasitet)

Y 50.000 (Foredling av Y må være mindre enn tilgangen på Y)

FIGUR 6-6. Regneark med løsning av prissetting- og produktvalgsproblemet ved fellesprodukt.

Angivelsene av målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner er gjort via Solver slik :


6 - 22

FIGUR 6-7. Målfunksjon, beslutningsvariabler og restriksjoner.

Vi ser av FIGUR 6-6 at vi får samme løsning som ved manuell løsning, men forhå-pentligvis uten så mange muligheter til å begå feil. Etterhvert som kompleksiteten på problemene øker, blir det umulig å løse problemene manuelt. En viss trening i å formulere problemene matematisk er derfor nyttig for å kunne løse praktiske pro-blem av denne type.

Lagerverdi og internprising basert på marginal-

kostnadsmetoden

Vi skal i følgende eksempel se at marginalkostnadsmetoden for fordeling av felles-kostnader ved fellesprodukt også kan benyttes til verdifastsetting av lagerbehold-ninger og til internprising.

A/S Fiskeforedling er en moderne fiskeforedlingsbedrift som ligger ved kysten nær ferskt råstoff. Tilgangen på fisk er god, med stor konkur-ranse i førstehåndsomsetningen, slik at prisen på råvarene betraktes som markedsbestemt. Bedriften har imidlertid spesialisert seg på kvalitets-produkter med et begrenset marked. Dette krever råstoff av beste kva-litet, og kiloprisen på slik fisk levert fra båt har vær kr. 8,- pr. kg. råfisk.

Etter at fisken er kommet på land må den sløyes, vaskes og bearbeides for videre produksjon. Denne prosessen koster kr. 2,- pr. kg. råfisk.

Bedriften har spesialisert seg på produktene A og B. 1 kg. råfisk gir 350g A og 400g B, resten er svinn. En har funnet det formålstjenlig å selge A og B i pakninger på hhv. 350g og 400g. En videre bearbeiding av råfis-ken til produkt A koster kr. 15,- pr. stk. A. En kan også bearbeide den resterende delen av fisken til produkt B, dette koster kr. 10,- pr. stk. B.

Produktene A og B har som nevnt et meget begrenset marked, for det meste utenlandsk, og etterspørselen pr. år er gitt som følger :

QA = 30.000 200PA Qi = etterspurt mengde pr år produkt i

QB = 36.000 600 PB Pi = pris pr. enhet produkt i

De driftsbetingede faste kostnadene er på kr. 1.000.000,- som er 80% av de totale faste kostnadene pr. år. De store faste kostnadene skyldes den enorme kapasiteten som A/S Fiskeforedling har, ettersom de er i


6 - 23

stand til å dekke markedsetterspørselen etter både A og B til nesten hvil-ken som helst pris.

For å kunne si noe om lønnsomheten og eventuelle priser må vi først finne optimal tilpassing av priser og mengder. Vi starter med å finne marginalinntektene. Først for produkt A (TR = ”Total Revenue”; MR = ”Marginal Revenue”) :

QA = 30.000 200PA PA = 150 (1/200)QA

TRA = PA QA = [150 (1/200)QA]QA

MRA = TRA/QA = 150 (1/100)QA

Tilsvarende for produkt B :

QB = 36.000 600PB PB = 60 (1/600)QB

TRB = PB QB = [60 (1/600)QB]QB

MRB = TRB/QB = 60 (1/300)QB

Ser vi produktene samlet, f. eks. ved at begge produktene produseres samtidig og av alt råstoffet som bearbeides, kan vi summere marginalinntektene :

MRAB = MRA + MRB = {(150 + 60) [(1/100) + (1/300)]QAB}

= 210 (4/300)QAB

Marginalinntektene må så vurderes opp mot marginalkostnadene. Om vi foredler begge produktene av alt råstoffet, er kostnaden for én enhet av både A og B lik sum-men av råstoffkostnaden pluss foredlingskostnadene :

MCAB = (8,- + 2,-) + 15,- + 10,- = 35,-

Vi kan da finne optimal tilpassing ved å sette marginalkostnaden lik marginalinntek-ten :

MRAB = MCAB 210 (4/300)QAB = 35 QAB = 13.125

Denne løsningen forutsetter imidlertid at det er optimalt å produsere like mye av ferdigproduktene A og B, dvs. at råstoffet benyttes fullt ut til begge produktene. Det er ikke nødvendigvis den optimale løsningen. Det kan nemlig tenkes at det ikke er lønnsomt å selge like mye av produkt A som av B.


6 - 24

13.125

FIGUR 6-8. Marginalinntekter og marginalkostnader for fellesprodukter.

Ved den optimale mengden ser vi at marginalinntekten for A er større en foredlings-

kostnadene for A (MCA), og tilsvarende for B; marginalinntekten for B er større

enn foredlingskostnadene for B (MCB). Ettersom produktenes marginalinntekter dekker produktenes merkostnader er dette den optimale løsningen : Vi bør produ-sere 13.125 enheter av A og 13.125 enheter av B. For å få omsatt disse mengdene må prisene settes slik :

PA = 150 (1/200)QA QA = 13.125 PA = 150 (1/200)13.125 = 84,375

PB = 60 (1/600)QB QB = 13.125 PB = 60 (1/600)13.125 = 38,125

Dermed får vi følgende totalresultat :

13.125[(84,375+38,125) 35] 1.000.000 = 148.437,50

Vi har her kun trukket fra de driftsbetingede faste kostnadene, totale faste kostnader utgjør i alt kr. 1.250.000,-. Bedriften vil derfor gå med et bokført tap. Tapet vil imid-lertid bli større om produksjonen stanses.

L I K E P R O D U K -

S J O N S K V A N T A

Hvis produktenes margi-

nalinntekter dekker pro-

duktenes foredlingskost-

nader ved optimal tilpas-

sing med like produk-

sjonskvanta av produkt-

ene, så er denne tilpas-

singen den beste.

10 15

MCAB

MCA

MCB

35

15

0

21

0

15.0

00

18.000

MRB 60

MRA

MRAB

Optimal Tilpassing : MRAB = MCAB

QAB

MC MR


6 - 25

Men hva om foredlingskostnadene for A og B var annerledes, slik at foredlings-kostnaden for A var kr. 5,- og for B kr. 20,-. Da vil figuren se slik ut :

FIGUR 6-9. Marginalinntekter og marginalkostnader for fellesprodukter, endret kostnadsstruktur.

Vi ser at ved disse foredlingskostnadene så dekker ikke marginalinntektene til pro-dukt B produktets foredlingskostnader. Det er derfor ikke lønnsomt å produsere like mange A som B. Optimal produksjon for produkt B er da ved det kvantum der

foredlingskostnadene (MCB) er lik marginalinntekten (MRB), mens produkt A også må belastes for råmaterialkostnadene, og dermed får en marginalkostnad lik (10+5) = 15. Optimal produksjon for A er da der marginalinntekten (MRA) er lik marginal-kostnaden (MCA). Med disse foredlingskostnadene er optimal tilpassing :

MRA = 150 (1/100)QA = MCA 150 (1/100)QA = 15 QA =13.500

MRB = 60 (1/300)QB = MCB 60 (1/300)QB = 20 QB =12.000

PA = 150 (1/200)QA QA = 13.500 PA = 150 (1/200)13.500 = 82,50

PB = 60 (1/600)QB QB = 12.000 PB = 60 (1/600)12.000 = 40,00

Dermed får vi følgende totalresultat :

13.500[82,50 (5+10)] + 12.000[4020] 1.000.000 = 151.250,-

M A R G I N A L -

I N N T E K T E N E

M Å D E K K E

F O R E D L I N G S -

K O S T N A D E N E

Hvis produktenes margi-

nalinntekter ved like pro-

duksjonskvanta ikke dek-

ker produktenes fored-

lingskostnader :

Optimal tilpassing

for det produktet

med underdekning

der foredlingskostna-

den er lik marginal-

inntekten

Det produkt som

produseres mest be-

lastes med felleskost-

nadene i marginal-

kostnaden, som set-

tes lik marginalinn-

tekten

15

MCAB

MCA

MCB

35

15

0

21

0

15.0

00

18.0

00

MRB 60

MRA

MRAB

QAB

MC MR

20

QB QA


6 - 26

Denne kostnadsstrukturen hadde altså vært en smule gunstigere for bedriften.

Generell formulering av problemet

Vi har så langt løst problemet grafisk, basert på visse antagelser. Dette har gitt oss nyttig bakgrunnskunnskap og vist oss hvordan vi bør resonnere ved slike problem-stillinger. Neste trinn blir å systemere dette til en generell metode for å løse slike problemer.

Utgangspunktet er som før at optimal tilpassing skjer ved å sette marginalinntektene lik marginalkostnadene. Problemet er å fordele felleskostnadene, ettersom det påvir-ker marginalkostnaden. Resonneringen er da meget enkel : Hvis vi produserer mest av produkt A slik at dette produktet bestemmer mengden av fellesråstoffet, så belas-tes produkt A med alle felleskostnadene. I motsatt fall belastes produkt B med alle felleskostnadene. Om vi produserer begge produktene i like kvanta, slik at ingen av produktene kan belastes felleskostnadene, så lar vi være å fordele felleskostnadene, og setter QA = QB = QAB. Dermed må vi undersøke tre mulige tilpasninger

I) QA > QB : Felleskostnaden belastes produkt A

TC = [15 +(8+2)]QA + 10QB Totalkostnad

TR = [150 (1/200)QA]QA + [60 (1/600)QB]QB Totalinntekt

NR = TR TC = [125 (1/200)QA]QA + [50 (1/600)QB]QB Nettoinntekt

Maksimal nettoinntekt der den deriverte er lik null :

NR/QA = 0 125 (1/100)QA = 0 QA = 12.500

NR/QB = 0 50 (1/300)QB = 0 QB = 15.000

Ettersom QA < QB, og fordi det motsatte var utgangspunktet, er dette ikke en mulig løsning.

II) QA = QB = QAB : Felleskostnaden fordeles ikke

TC = [(8+2) + 15 +10]QAB Totalkostnad

TR = [150 (1/200)QAB]QAB + [60 (1/600)QAB]QAB Totalinntekt

NR = TR TC = [175 (4/600)QAB]QAB Nettoinntekt


NR/QAB = 0 175 (4/300)QAB = 0 QAB = 13.125

III) QA < QB : Felleskostnaden belastes produkt B

TC = 15QA + [10 + (8+2)]QB Totalkostnad

TR = [150 (1/200)QA]QA + [60 (1/600)QB]QB Totalinntekt

D E L E

P R O B L E M E T I

T R E D E L E R :

QA>QB

QA=QB

QA<QB

Felleskostnaden be-

lastes det produktet

som bestemmer

mengden av fellesrå-

stoffet


6 - 27

NR = TR TC = [135 (1/200)QA]QA + [40 (1/600)QB]QB Nettoinntekt


NR/QA = 0 135 (1/100)QA = 0 QA = 13.500

NR/QB = 0 40 (1/300)QB = 0 QB = 12.000

Ettersom QA > QB, og fordi det motsatte var utgangspunktet, er dette ikke en mulig løsning.

Vi har derfor bare én mulig løsning, nemlig den der QA = QB = 13.125. Vi får altså samme løsning som tidligere :

PA = 150 (1/200)QA QA = 13.125 PA = 150 (1/200)13.125 = 84,375

PB = 60 (1/600)QB QB = 13.125 PB = 60 (1/600)13.125 = 38,125

Som ga følgende totalresultat :

13.125[(84,375+38,125) 35] 1.000.000 = 148.437,50

Ofte er det behov for å sette verdier på lagerbeholdninger. A/S Fiskeforedling har kapasitet til å dekke den totale etterspørselen i en periode, og lagerets verdi er da kun de sparte kostnadene ved at en slipper å produsere neste periode de enhetene som er på lager. Lagerbeholdninger av produktene A og B bør derfor vurderes til marginalkost. Siden marginalinntekten er lik marginalkostnaden i optimum, kan vi bruke marginalinntektene til å avlede marginalkostnadene :

MRA = 150 (1/100)QA = 150 (1/100)13.125 = 18,75 MCA = 18,75

MRB = 60 (1/300)QB = 60 (1/300)13.125 = 16,25 MCB = 16,25

= 35,00

Vi har dermed fordelt verdien av én A og én B på i alt kr. 35,- med kr. 18,75 på A og kr. 16,25 på B. Hvis lagerbeholdningene er små, kan altså disse marginalverdiene benyttes som verdier av lagerbeholdninger.

L A G E R B E -

H O L D N I N G E R

Prises til marginal-

inntekten ved ledig

kapasitet

Prises til markedspris

ved full kapasitetsut-

nyttelse


6 - 28

Det kan også være aktuelt å sette internpris for interne leveranser av produkter basert på et felles råstoff. Internprisen må være lik alternativkostnaden ved å foreta internleveransen.

Ved ledig kapasitet må interne leveranser prises til marginalkostnaden.

I) Hvis internleveransen er slik at QA > QB :

TC = [15 +(8+2)]QA + 10QB (Felleskostnaden belastes A)

MCA =TC/QA = 25,-

MCB =TC/QB = 10,-

II) Hvis internleveransen er slik at QA = QB :

TC = [(8+2) + 15 +10]QAB (Felleskostnaden fordeles ikke)

MC =TC/QAB = 35,-(Kan fordeles med kr. 18,75 på A og kr. 16,25 på B.)

III) Hvis internleveransen er slik at QA < QB :

TC = 15QA + [10 + (8+2)]QB (Felleskostnaden belastes B)

MCA =TC/QA = 15,-

MCB =TC/QB = 20,-

Når kapasiteten er fullt utnyttet, må interne leveranser prises til markedspris. Hvis det ikke eksisterer eksterne markeder for produktet, og bedriften opererer ved full kapasitetsutnyttelse, må internprisen også inneholde alternativkostnaden ved bruk av den knappe produksjonsressursen (dvs. skyggeprisene).

Løsning i regneark

Vi kan formulere vårt problem omtrent som et LP –problem. For eksempel :

Besultningsvariabler:

Bedriften kan bestemme hvor mye råstoff som skal kjøpes inn; QF (kvantum fisk), og hvilke priser de ønsker å ta for ferdigproduktene; PA og PB.

Målfunksjonen:

Max DB = [PA –15]QA + [PB –10]QB –(8+2)QF

Etterspørsel :

QA = 30.000 200 PA (Angitt som en formel i regnearket)

QB = 36.000 600 PB (Angitt som en formel i regnearket)

I N T E R N P R I S

Settes lik marginal-

kostnaden ved ledig

kapasitet

Settes lik markeds-

pris ved full kapasi-

tetsutnyttelse


6 - 29

Materialbalanser : (Angitt som en restriksjon i Solver)

QF QA (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av A)

QF QB (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av B)

Et regneark over problemet kan da se slik ut:

FIGUR 6-10. Regneark for eksempel med felles råstoff.

FIGUR 6-11. Tilhørende oppsett for Solver.

Denne kompakte for-muleringen gir oss op-timal løsning, men sen-sitivitetsanalysen blir også tilsvarende knapp. De eneste restriksjo-nene vi har angitt er be-tingelsene om at vi ikke

kan produsere mer enn det vi har kjøpt inn av råstoff. Skyggeprisene sier oss da hvor mye dekningsbidraget vil øke om vi kan produsere en enhet ferdigvare mer enn det vi kjøper inn av råstoff. Skyggeprisene blir en slags verdivurdering av eventuelt lager av råstoff (som allerede er betalt).

For å få skyggepriser som angir lagervurderinger av ferdigproduktene, må vi i mo-dellen vår skille mellom produksjon og salg av ferdigproduktene.


6 - 30

FIGUR 6-12. Regneark for eksempel med felles råstoff, skille mellom produksjon og salg.

FIGUR 6-13. Tilhørende oppsett i Solver.

Her har vi skilt produk-sjon og salg av ferdigpro-duktene. Det er et vurde-ringsspørsmål om fored-lingskostnadene skal hen-føres på produksjon eller salg av produktene. Hvis

det er mulig å vente med å videreforedle til de skal selges, kan det hende det er mer korrekt å belaste kostnadene på salg og ikke produksjon. Fordelingen kan nemlig ha konsekvenser for skyggeprisene. Når vi skiller produksjon og salg, må vi selvsagt også legge inn restriksjoner om at vi ikke kan selge mer enn det vi har produsert. Den matematiske formuleringen ser derfor slik ut:

Besultningsvariabler:

Bedriften kan bestemme hvor mye råstoff som skal kjøpes inn; QF (kvantum fisk), og hvilke priser de ønsker å ta for ferdigproduktene; PA og PB. Bedriften kan også bestemme hvor mye den ønsker å produsere av ferdigproduktene; XA og XB.

Målfunksjonen:

Max DB = – (8+2)QF – 15XA – 10XB + PAQA + PBQB

Etterspørsel :

QA = 30.000 200 PA (Angitt som en formel i regnearket)

QB = 36.000 600 PB (Angitt som en formel i regnearket)


6 - 31

Materialbalanser : (Angitt som en restriksjon i Solver)

QF XA (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av A)

QF XB (Kvanta fisk minst like mye som behov i produksjon av B)

Salgsrestriksjoner :

XA QA (Kan ikke selge mer av A enn det som er produsert)

XB QB (Kan ikke selge mer av B enn det som er produsert)

Sensitivitetsanalysen gir oss nå de søkte marginalkostnadene:

Adjustable Cells

Final Reduced


$F$3 Pris Salg A 84,375 0

$G$3 Pris Salg B 38,125 0

$C$12 Mengde Råfisk 13125 0

$D$12 Mengde Produksjon A 13125 0

$E$12 Mengde Produksjon B 13125 0

Constraints

Final Lagrange

Cell Name Value Multiplier

$H$14 Material til A Totalt 0 -3,75

$H$15 Material til B Totalt 0 -6,25

$H$16 Salg A Totalt 0 -18,75

$H$17 Salg B Totalt 0 -16,25

Produksjonsbegrensninger.

Antagelsen om at bedriften har ubegrenset produksjonskapasitet er ikke alltid på sin plass. La oss derfor anta at bedriften har en kapasitet på 100.000 (enheter) pr. peri-ode, og at kapasitetsforbruket er 4 for råstoffet og hhv. 2 og 3 for produksjon av produktene A og B. Den nye restriksjonen blir da:

Produksjonsrestriksjon :

4QF + 2XA + 3XB 100.000 (Kan ikke benytte mer enn total kapasitet)

Siden denne restriksjonen blir bindende, får vi en annen løsning. Og skyggeprisene tar nå hensyn til alternativkostnadene fra den nye bindende restriksjonen.


6 - 32

FIGUR 6-14. Regneark for eksempel med felles råstoff, med produksjonsbegrensinger.

FIGUR 6-15. Tilhørende oppsett i Solver.

Fordi vi har restriksjo-ner med forskjellige ret-ninger på ulikhetsbe-tingelsene, må vi angi disse restriksjonene se-parat.

Adjustable Cells

Cell Name Final Value Reduced Gradient

$F$3 Pris Salg A 94,444 0

$G$3 Pris Salg B 41,481 0

$C$12 Mengde Råfisk 11111,111 0

$D$12 Mengde Produksjon A 11111,111 0

$E$12 Mengde Produksjon B 11111,111 0

Constraints

Cell Name Final Value Lagrange Multiplier

$H$14 Material til A Totalt 0 -17,922

$H$15 Material til B Totalt 0 -4,012

$H$16 Salg A Totalt 0 -38,889

$H$17 Salg B Totalt 0 -22,963

$H$18 Produksjon Totalt 100000 2,984


6 - 1

D E S E N T R A L I S E R I N G

7-1

Desentralisering

I store konsern med mange produkter og avdelinger spredt over store geografiske områder, er det ofte tvingende nødvendig med desentraliserte beslutninger.

store konsern vil mange divisjoner ofte være selvstendige enheter, med desen-tralisert beslutningsmyndighet. Selv om mange aktiviteter og operasjoner er av-hengig av hverandre og sterkt sammenknyttet, må de ofte administreres separat.

Sentralstyring, der organisasjonene er bygd opp med hierarkiske, vertikale relasjoner sikrer koordineringen ved ordrer ovenfra, og oppfølgingen kontrolleres via regnska-pet. Men i praksis kan ikke en sentral ledelse vite alt om en organisasjons mange aktiviteter. Mange beslutninger må gjøres på lavere eller lokale nivå i organisasjonen.

Mange moderne selskap er en (nasjonal) økonomi i miniatyr, med interne kapital- og arbeidsmarkeder. Handlinger i en del av organisasjonen får konsekvenser for mange andre avdelinger. Sosialiststater som benytter sentralstyring av resursfordelingen, vil ofte oppleve ineffektive produsenter på grunn av manglende insentiver for tilpasning til konsumentenes preferanser og markedets stadige endringer.

Hvis informasjon og beregningsmessige vansker gjør det ønskelig med en desentra-lisert resursallokering og beslutningsfatting for en nasjonaløkonomi, så vil også en viss grad av desentralisering være ønskelig for store konsern. Problemet er at priser, som spiller en slik vital rolle i en kapitalistisk økonomi, ikke er direkte tilgjengelige innen konsernet som veiledning for lokal beslutningstagning. I tillegg, fordi eksterne eiere mangler informasjon eller mulighet for å overvåke beslutninger, kan lederne bli motivert til å handle i egeninteresse på bekostning av eierne.

Selskaper bruker derfor en samling av ikke -markedsmekanismer (som kontrakter, avlønninger og straff, rapporter og standarder) for å forenkle ressursallokeringen og beslutningsfattingen, når informasjonsrestriksjoner forhindrer markedet i å fungere.

Selv om det finnes mange gode grunner til desentralisering, er det også forbundet med mange ulemper. Det er derfor ikke opplagt at desentralisering er den beste løs-ningen. Vi skal derfor studere problemstillingen litt mer detaljert.

Del

7

I D E S E N T R A L I -

S E R I N G

For å overføre

beslutningene dit mest

relevant informasjon

finnes.


7-2

Grunner til desentralisering

Mange ulike forhold kan gi opphav til ønske om desentralisering av driften, for å skape en bedre organisering.

1) Selskapets omgivelser. a) Under stabile eksterne omgivelser kan den interne organisasjonen være styrt

av regler, prosedyrer og en hierarkisk myndighetsinndeling. Organisasjonen er formalisert og sentralisert med de fleste beslutninger avgjort av toppledel-sen (”mekanisk” organisasjonssystem).

b) Under hurtig endrede omgivelser vil den interne organiseringen være mye løsere, fri eller fleksibel. Regler og prosedyrer er uskrevne eller ignoreres, og lederne må selv finne ut av hva som må gjøres. Organisasjons strukturen og myndigheten er uklar, med desentralisert beslutningstaking (”organisk” or-ganisasjonssystem).

c) Komplekse og usikre eksterne omgivelser krever at flere ressurser brukes til å overvåke omgivelsene, og at mange beslutninger må desentraliseres til eks-perter som kan spesialisere seg på å skaffe informasjon om, og utvikle eks-pertise i å takle endringer i selskapets omgivelser. Disse lokale, desentrali-serte ekspertene kan raskt og effektivt reagere på endringer og nye mulighe-ter.

2) Informasjonspesialisering. Den kanskje sterkeste grunnen til desentralisering er vanskeligheten med å dele all informasjon med sentralledelsen. Lokale ledere utvikler gjennom observasjo-ner og erfaring en ekspertise i saker som markedsmuligheter, produksjonsmulig-heter og restriksjoner, arbeidsstyrkens dyktighet og moral, og kvalitet og pålite-lighet fra leverandører. Det vil være ganske vanskelig, kostbart og tidkrevende for lokale ledere å kommunisere all relevant informasjon som de innehar videre til toppledelsen. En viktig grunn for desentralisering er derfor ønsket om å plas-sere beslutningsmyndighet på det nivå der relevant informasjon finnes.

3) Hurtig reaksjonsevne. En desentralisert beslutningstaking kan reagere raskere på uventede endringer enn om alle handlinger måtte godkjennes av en sentral ledelse. Sentralstyring medfører forsinkelser ved : a) Overføring av relevant informasjon fra den lokale til den sentrale ledelsen. b) Samling av de aktuelle personer, pluss tid for å fatte informasjonen, foreta

avveininger, og nå en beslutning. c) Overføre informasjon om anbefalt beslutning tilbake til den lokale ledelsen.

4) Utnyttelse av sentralledelsens tid. Toppledelsens tid er en av de mest knappe ressursene i et selskap, og prinsippet om komparative fortrinn gjelder også innen et selskap (ikke bare mellom nasjo-ner). Den enorme mengden av lokale beslutninger ville være overveldende selv for den mest talentfulle arbeidsnarkoman. Det ville dessuten ta oppmerksom-heten bort fra sentralledelsens viktigste oppgave, de strategiske overveielsene. Den optimale arbeidsfordelingen vil værte å la toppledelsen konsentrere seg om de langsiktige strategiske beslutningene, og avdelingslederne kan konsentrere seg om de operasjonelle beslutningene.

5) Komplekse beregninger. Selv om det er ønskelig med en sentraldirigert beslutningsprosess, vil det ofte


7-3

ikke være mulig å foreta fullstendige totale globale optimale beregninger. Med store simultane ligningssystemer og diskontinuerlige ikke-lineære funksjoner, heltallsvariabler og usikkerhet, vil det ofte ikke være mulig å utlede en global op-timal løsning, og en må ty til heuristiske løsningsteknikker. Beslutninger fattet av avdelingsledere vil da ofte kunne være bedre enn slike heuristiske løsninger for toppledelsen.

6) Opplæring av lokale ledere. Hvis alle viktige beslutninger ble fattet sentralt, ville de lokale lederne i hovedsak bare implementere sentralledelsens planer. Avdelingslederne vil opparbeide er-faring i å motivere ansatte og å oppfylle produksjonsplaner, men får lite trening i å fatte beslutninger. En viss grad av delegert beslutningsmyndighet er derfor ønskelig for å : a) Gi trening for fremtidens toppledere. b) Indikere hvilke ledere som er best kvalifisert for avansement til høyere leder-

stillinger.

7) Motivasjon for avdelingsledere. Gode ledere er ambisiøse og stolte over sitt arbeid. Hvis deres oppgave bare er å utføre ordrer vil de miste interessen, og det vil bli vanskelig å rekruttere krea-tive, energiske ledere. Hvis en derimot tillater lokale ledere å ta beslutninger, vil en oppmuntre lederne i å være mer aktive i å skaffe seg informasjon, og mer initiativrike og strategiske i sine handlinger. Det blir derfor utfordrende å ut-forme insentivsystemer slik at aggressive, nyskapende og strategiske handlinger på lokale nivå er konsistente med selskapets overordnede mål og misjon.

Typer av desentraliserte avdelinger.

Alle avdelinger i en organisasjon benytter ressurser i sin produksjon, enten av varer eller tjenester. Men avdelingene varierer i hvilken grad produksjonen lar seg måle, og hvor mye selvstyre hver avdelingsleder er gitt i å anskaffe resurser og velge pro-duksjonsmiks. Disse forskjellene gjør det hensiktsmessig med forskjellige typer av desentraliserte avdelinger.

Standard kostnadssenter

Standard kostnadssenter kan etableres for alle repeterende operasjoner der en kan måle den fysiske produksjonen og spesifisere en produksjonsfunksjon som relaterer ressursbruk til produksjonen. Avdelingslederne er da ikke holdt ansvarlig for varia-sjoner i aktivitetsnivået, men for hvor effektivt de møter den eksterne etterspørselen (innenfor egen kapasitet), dvs. verdien av de ressurser som går med i produksjonen. Benyttes full kostnadsfordeling, så holdes ikke avdelingen ansvarlig for underdek-ning av faste kostnader som følge av volumavvik, bare egne sprangvise kostnader. Produksjonen måles opp mot kvalitetsstandarder og hvorvidt leveranser skjer til rett tid. Et kostnadssenter er altså ikke ansvarlig for sine inntekter, ettersom det ikke har myndighet over produksjonsvolum eller priser. De har vanligvis heller ingen myn-dighet over investeringer eller bruk av ny teknologi. Inndelingen i kostnadssentra er nyttig når en kan forta en objektiv måling av produksjonen, og det er nøyaktige spe-sifikasjoner av ressursbruken.


7-4

Inntektssenter

Formålet med inntektssenter er å markedsføre og distribuere produkter. Hvis inn-tektssenteret har myndighet til å fastsette prisen, så kan det gjøres ansvarlig for brut-toinntektene sine. Hvis prisen er fastsatt utenfor inntektssenteret så holdes avde-lingslederen ansvarlig for salgsvolum og salgsmiks. Det er viktig at et inntektssenter ikke bare vurderes etter total salgsinntekt, men at det også tas hensyn til produksjons-kostnadene. Ellers kan avdelingslederen bli motivert til å redusere prisen for å øke totalt salg, bruke uforholdsmessig mye annonser og reklame, og vektlegge produkt med lavt dekningsbidrag. Alle disse beslutningene kan øke totale salgsinntekter men redusere selskapets totalresultat.

Kostnadssentra

Kostnadssentra er velegnet for avdelinger der produksjonen ikke er målbar i finan-sielle måleenheter, eller hvor det ikke er noen sammenhang mollom ressursforbruket og de resultater som oppnås. Eksempler på slike avdelinger er Administrasjonsav-deling, Forskning og Utvikling, Lagring, og Markedsføring. Produksjonen i admini-strasjonsavdelingen er ofte vanskelig å måle, mens for forskning og utvikling er det ingen sterk sammenheng mellom ressursforbruk og produksjonen. Der kan vi måle om avdelingen er effektiv (dvs. vi kan se om de når selskapets mål for produktutvik-ling etc.) Men en kan ikke måle om avdelingen er effesient, dvs. om den faktiske produksjonen har skjedd med minst mulig ressursforbruk, fordi det er ingen entydig sammenheng mollom ressursforbruk og resultat. Og der det er vanskelig å måle pro-duksjonen kan en hverken kontrollere effektivitet eller effesiens. Kostnadssentra har derfor en tendens til å strebe etter best mulig kvalitet og prestisje, selv om en litt lavere kvalitet ville gitt nesten samme service til betydelig lavere kostnad. Å fastsette budsjett for kostnadssentra krever derfor profesjonell vurdering av toppledere med god kjennskap til avdelingene.

Profittsentra

Når en avdeling har myndighet til å bestemme både produksjon og salg, kan den evalueres som et profittsenter. Avdelingslederen har da myndighet til å bestemme hvilke produkt som skal produseres, og hvordan, kvalitets- og prisnivå, samt salgs- og distribusjonssystem. Hvis avdelingslederen ikke har myndighet til å bestemme investeringsnivået så er det kortsiktige resultatet (profitt) et velegnet mål for å evalu-ere hvor godt avdelingslederen kan skape verdier med utgangspunkt i de ressurser han har fått til disposisjon.

Investeringssentra

Når avdelingslederen i tillegg til den myndighet som en leder i et profittsenter har, også kan bestemme nivå på investeringene og arbeidskapital, er det bedre å måle resultat opp mot den kapital som er investert, som f.eks. ROI (Resultat av investe-ringer).

Evalueringsmål for desentraliserte avdelinger.

Prinsippene for kontroll av desentraliserte avdelinger kan deles i to :

Driftsinstruksjoner og regler.

Insentiver for motivasjon av avdelingsledere.


7-5

Driftsinstruksjonene kan for enkle observerbare oppgaver være detaljerte spesifika-sjoner over hva som skal gjøres. Men for desentraliserte avdelinger, der avdelingsle-deren ofte har bedre innsikt i hva som må gjøres, er driftsinstruksjonene bare gene-relle formuleringer omkring konsernets målsetting.

Insentivene for motivasjon av avdelingslederen vil avhenge av formen på driftsin-struksjonene. Hvis disse er spesifikke oppgaver hva som skal gjøres, kan insentivene være i form av straff hvis oppgaven ikke utføres i henhold til instruksen. Men hvis driftsinstruksjonene bare er oppfordringer om å gjøre hva som er nødvendig for å nå konsernets generelle mål, da må insentivene for motivasjon av avdelingslederne være former for belønning, f.eks. i forhold til avdelingens rapporterte resultat.

Å velge et evalueringsmål som fungerer som insentiv for motivasjon av avdelingsle-derne er kanskje det vanskeligste problemet med desentralisering. Dette målet sig-naliserer hvordan toppledelsen ønsker at avdelingslederne skal tilpasse seg. Disse regler, mål og belønninger må:

Være i samsvar med konsernets målsetting.

Lette koordineringen mellom forskjellige avdelinger.

Minimere informasjonsbehovet i evalueringsprosessen.

Hindre dysfunksjonelle kostnader ved lokal suboptimering.

Vi må være klar over følgende problemer som kan dukke opp når vi skal konstruere evalueringsmål for desentraliserte avdelinger :

Problem med målkongruens

For ikke-hierarkiske konsern er det ikke behov for interne evalueringsmål : de kan evalueres ved differansen mellom prisene for kjøp- og salgs- transaksjoner utført med eksterne markedsaktører. For en desentralisert hierarkisk organisasjon må det imidlertid konstrueres nye evalueringsmål.

I praksis er det nesten umulig å konstruere ett enkelt evalueringsmål som sikrer mål-kongruens mellom desentraliserte avdelinger og konsernet. Evalueringsmålet blir derfor en målsetning i seg selv, ofte viktigere enn den målsetningen det er ment å representere. F.eks. kan det i et inntektssenter bli fokusert på produkter med høy salgspris isteden for høyt dekningsbidrag.

Et annet problem er at de fleste evalueringsmål er basert på interne resultat i stedet for i forhold til eksterne muligheter. En avdeling som forbereder sitt resultatet vil vurderes som godt ledet, men kanskje skyldes resultatforbedringen spesielt gode markedsforhold, som egentlig ikke ble utnyttet godt nok. Slikt kan være vanskelig for sentralledelsen å avdekke.

Et tredje problem oppstår når framtidige økonomiske konsekvenser av dagens hand-linger ignoreres. Dette er veldig vanlig, fordi de fleste evalueringsmål er basert på enperiodiske regnskapsdata. Dette gjelder særlig Forskning og Utvikling, Markeds-føring, Investering og Vedlikehold. Resultatene av disse kostnadene vil først komme til syne i framtidige perioder.

Problem med eksternaliteter

Når forskjellige desentraliserte avdelinger i mer eller mindre grad er avhengig av hver-andre, så vil handlingene til en avdeling ikke bare påvirke eget evalueringsmål, det vil også kunne få konsekvenser for andre avdelingers evalueringsmål. Spesielt viktig blir


7-6

da prinsipper for internprising av interne leveranser mellom avdelingene. Men også andre ikke-prisede aspekter ved interne leveranser har betydning, som kvalitet og leveringspunktlighet.

Ofte kan det være hensiktsmessig å inkludere komponenter fra andre avdelinger i evalueringsmålet, kanskje også fra konsernet totalt. Dette vil gi et insentiv for lokale avdelingsledere til å samarbeide og derved unngå unødige friksjoner, samt å vektlegge konsernets målsetninger. Et slik eksempel i praksis: utviklingsavdelingen ble holdt ansvarlig for salgsinntektene til de produktene de utviklet, og salgsavdelingen ble holdt ansvarlig for utviklingskostnadene for de produktene de solgte.

Overforbruk av ”frynsegoder”

Enkelte lokale avdelingsledere kan foretrekke å bruke ressurser på nytt moderne kon-torutstyr og møbler, ansette mange sekretærer, dyr firmabil, etc. Disse kostnadene vil redusere avdelingens prestasjon, evalueringsmålet, og dermed sannsynligvis også avdelingslederens belønning. Med det direkte forbruket av ”frynsegoder” kan hende verdsettes større enn den indirekte reduksjonen i lønn dette medfører. Noen avde-lingsledere er også ”stormannsgal” og forsøker å ekspandere og bygge en så stor avdeling som mulig, med mange ansatte. Dette innebærer ofte stor prestisje og makt, og avlønningen er dessuten ofte en funksjon av avdelingens størrelse.

Profittsentra og internprising

Et profittsenter er en desentralisert avdeling, der avdelingslederen har myndighet til å bestemme over innkjøp og salg, med unntak av investeringer. Det mest vanlige evalueringsmål for en slik avdeling er resultatet (profitt).

Valg av resultatindeks

Følgende eksempel viser mulige resultatmål :

Inntekter 15.000,- Variable kostnader 10.000,-

1 Avdelingens dekningsbidrag 5.000,- Kontrollerbare faste kostnader 800,-

2 Kontrollerbart bidrag 4.200,- Ukontrollerbare faste kostnader 1.200,-

3 Avdelingens resultat 3.000,- Fordelte konsernkostnader 1.000,-

4 Andel av konsernresultat 2000,-

1) Avdelingens dekningsbidrag er nyttig for enkelte beslutninger, men det er ikke meningsfylt i å evaluere avdelingslederens dyktighet, eller å analysere avdelingens lønnsomhet. Avdelingslederen har myndighet over det meste av de faste kost-nadene, og disse må derfor med i evalueringen.

2) Kontrollerbart bidrag er kanskje det beste målet for å evaluere en avdelingsleder, ettersom dette gir uttrykk for det resultat lederen har myndighet til å påvirke. a) Et problem er imidlertid å avgjøre hvilke faste kostnader avdelingslederen

faktisk har kontroll over.


7-7

b) Et annet problem er at særlig inntektene er avhengig av eksterne forhold. Det bør derfor også med i vurderingen hvor godt eksterne muligheter bli utnyttet.

c) Kontrollerbart bidrag er ikke egnet til å vurdere avdelingens lønnsomhet, fordi det ikke tar hensyn til alle relevante faste kostnader.

3) Avdelingens resultat er velegnet til å vurdere avdelingens lønnsomhet, men ikke til å vurdere avdelingslederens dyktighet.

4) Avdelingens andel av konsernresultatet er hverken egnet til å måle avdelingens lønnsomhet eller avdelingslederens dyktighet, men kan motivere avdelingsledere til å argumentere for kostnadsbevissthet i konsernledelsen.

Internprising.

Prinsippet for optimale internpriser er enkelt :

Internprisen settes lik konsernets alternativkostnad ved å foreta internleveransen.

Det eksisterer et eksternt marked for produktet :

Internprisen settes da lik markedsprisen. Internprisen kan avvike fra markedsprisen hvis interne leveranser har mindre salgs- og transaksjonskostnader. Vær oppmerksom på at eksterne konkurrenter kan redu-sere prisen i håp om leveranser, for å øke prisen senere. Hvis det eksisterer eksterne markeder for alle avdelingens produkter så kan avdelingen frigjøres fra konsernet, ettersom det ikke vil være noe å tjene på sentralstyring.

Det finnes ingen eksterne marked :

Internprisen settes da lik marginalkostnaden. Men en del problemer dukker opp:

Den leverende avdeling vil gå med tap lik de faste kostnadene.

Marginalkostnaden kan være ikke-lineær. Dette kan skape et kostnadsfordelings-problem, hvis det er mange kjøpere.

Ved full kapasitetsutnyttelse skifter marginalkostnaden fra kortsiktig til langsiktig (må ta hensyn til alternativkostnaden for bruk av knappe ressurser).

Internpris lik marginalkostnad kan gi insentiv til strategisk manipulasjon av in-formasjon (løgner).

Et alternativ til å sette internprisen til marginalkostnaden er å plusse på en fast kost-nad for reservert kapasitet. De forskjellige interne avdelingene som ber om intern-leveranser betaler da en fast kostnad, proporsjonal med den andel av produksjons-kapasiteten de planlegger å benytte. For å sikre en fleksibel, optimal tilpassing kan avdelingene kjøpe og selge reserverte kapasiteter fra hverandre.

I praksis blir ofte internprisen satt lik en pris basert på full kostnadsdekning (selv-kost). En slik internpris er hverken gunstig for å evaluere avdelingens lønnsomhet eller avdelingslederens dyktighet. I tillegg vil det føre til gale økonomiske beslut-ninger, og det gis heller ingen insentiver for kostnadsbevissthet. Men i enkelte tilfel-ler kan selvkost være en tilnærming av den langsiktige marginalkostnaden.

Anbudsbasert internprising.

I tilfeller der det ikke eksisterer perfekte markeder, kan internprisen fastsettes med utgangspunkt i forhandlinger mellom avdelinger, eventuelt basert på eksterne anbud.


7-8

For å gjøre eksterne anbud troverdige, må disse tilbud til tider aksepteres, ellers vil anbyderne miste interessen.

For at denne framgangsmåten skal virke er det en forutsetning at alle partner står fritt til å akseptere eller å forkaste en pris. Ellers vil en ende opp i en diktert pris og ikke en forhandlingsbasert pris.

Prosessen krever ekstra tid, og kan dessuten skape konflikter mellom avdelingene. Avdelingsresultatene vil dessuten bli sensitive for avdelingsledernes forhandlings-styrke, og hvis prisen avviker fra alternativkostnadene vil det føre til for lav produk-sjon.

Investeringssentra

Et investeringssenter er en desentralisert avdeling, der avdelingslederen har myndig-het til å foreta kortsiktige beslutninger om produktmiks, prissetting, valg av produk-sjonsmetoder, samt anskaffelse og bruk av produksjonsutstyr. Det avviker altså fra et profittsenter ved at avdelingslederen også har investeringsmyndighet.

Avkastning på investeringene

Evalueringen av et investeringssenter skjer ofte ved at resultatet måles i forhold til de investeringene som er foretatt. Dette kan også tjene som en form for etterkontroll av investeringskalkyler, en etterkontroll som ellers ofte ikke ble foretatt.

Et slikt lønnsomhetsmål ble først utviklet i firmaet DuPoint :

ROI = resultat/aktiva

= [resultat/salg] [salg/aktiva]

= resultatgrad omløpshastighet.

Tekniske svakheter ved et %-vis lønnsomhetsmål

Oppbyggingen av lager for å øke ROI : En lageroppbygning vil overføre faste kostnader til lager og derved øke resultat-graden. Dette vil riktignok redusere omløpshastigheten, men totalt sett vil ROI øke.

Gale investeringsbeslutninger : En avdeling som har en ROI som er større enn konsernets kapitalkostnad vil likevel ønske å forkaste alle investeringsprosjekt med avkastning mindre enn sin ROI, alternativt kvitte seg med aktiva som har avkastning mindre enn ROI, selv om avkastningen faktisk er større en kapitalkostnaden.

Et problem med relative lønnsomhetsmål er at de er utsatte for manipulasjon både av teller og nevner. I tillegg er relative lønnsomhetsmål vanskelige å forstå og bruke riktig, selv og de fleste oppfatter relative tall som enklest (jamfør bruk av internrente kontra nåverdi ved investeringsbeslutninger).

Resultat etter investeringskostnader : RI

Dette evalueringsmålet er et absolutt tall der avdelingsresultatet blir fratrukket en ka-pitalkostnad på den anvendte kapitalen. En evaluering basert på dette resultatet vil ikke motivere til gale investeringsbeslutninger. Det er også mer fleksibelt, ettersom en kan benytte forskjellig kapitalkostnad på forskjellige typer aktiva.


7-9

Bruk av kortsiktige resultatmål for å evaluere langsiktige in-

vesteringer

Inflasjon

Vanligvis føres regnskapene slik at investeringer registreres til historisk kost, med tilhørende avskrivninger, mens inntektene føres i løpende nominelle verdier. En slik praksis vil føre til overvurderte kortsiktige resultatmål i perioder med inflasjon. Prob-lemene blir imidlertid tydelig når inflasjonen minker eller stopper opp. En slik prak-sis vil også lett føre til situasjoner der lønnsomheten tilsynelatende er god, men hvor en likevel får likvide problemer med å erstatte utrangert produksjonsutstyr. Denne regnskapspraksisen vil også medføre att resultatenheter med gamle anlegg vil vise bedre resultat enn de med nye anlegg. Dette medfører at avdelingslederen ønsker å utsette nyinvesteringer så lenge som mulig, selv om en investeringsanalyse tilsier at bytte av utstyr bør skje tidligere.

Avskrivninger

Selv i perioder uten inflasjon vil avskrivningene medføre avvik mellom et kortsiktig resultatmål og et langsiktig. Avskrivningene i det kortperiodiske regnskapet erstatter investeringen i den langsiktige evalueringen. For å få samsvar mellom disse lønn-somhetsmål må avskrivningene beregnes etter verdifallsmetoden. F.eks. kan lineære avskrivninger motivere til ikke å foreta nye investeringer (ved utrangeringer).

Aktivering kontra utgiftsføring

Hvis aktiva som genererer inntekter over flere år utgiftsføres i anskaffelsesåret, så vil dette på kort sikt gi lave resultat, men etter noen år vil de kortperiodiske resultatene overvurderes. Dette kan ofte være tilfelle, f.eks. i markedsføringsavdelingen.

Leasing kontra kjøp

Fordi leasede objekter vanligvis ikke regnskapsføres som aktiva, vil en avdelingsleder som evalueres etter ROI eller RI være motivert til leasing fremfor egeninvestering, ettersom dette vil medføre mindre investeringer (aktiva), og mindre kalkulert kapi-talkostnad i kroner. For å unngå dette problemet bør leasede aktiva bokføres, og ”avdragsdelen” fra leasingbeløpet behandles som avskriving (for å unngå dobbelt-regning av rentekostnaden).

På grunn av de mange problemer som kan oppstå ved bruk av bare ett evaluerings-mål, kan det i steden være hensiktsmessig å splitte opp i flere :

1. Resultatstyring, f.eks. ROS (Return on Sales).

2. Kapitalstyring, f.eks. ved investeringskalkyler.


7-10

Et eksempel med desentralisering

og internprising

Big Concern A/S er en stor bedrift bestående av to avdelinger; avdeling I og avdeling II. Konsernledelsen har planer om å gjøre om avdelingene til selvstendige resultatenheter, i håp om at dette kan rasjonalisere og ef-fektivisere styringen av bedriften. Avdeling I produserer produktene A og B. Produkt A er et halvfabrikat som bearbeides videre i avdeling II. Produkt B er et standardprodukt som selges på det åpne markedet. Produkt A og B produseres vha. prosessene 1 og 2, og kapasitetsforbruk og kapasiteter pr. år, samt kostnader og pri-ser er følgende :

Kostnadskalkylen er basert på full

kapasitetsutnytt-else, der de totale faste kostnadene i avdelingen på i alt kr. 1.920.000, -pr. år er fordelt med kr. 80,- pr. kapasi-

tetsenhet. Fortjenesten for produkt A er beregnet som 2% av salgsprisen (rundet opp til hele kroner). Dette ut fra markedsprisen på kr. 1.000,- for produkt B, som gir 2% fortjeneste. Salgsprisen for produkt A er en kal-kulert internpris.

Avdeling II produserer produktene C og D, som krever visse kvanta av halvfabrikat A. Følgende data for avdeling II foreligger :

Kostnadskalkylen er basert på full ka-

pasitetsutnyttelse, der de totale faste kostnadene i avde-lingen på i alt kr. 1.860.000,- pr. år er fordelt med kr. 30,- pr. kapasitetsenhet.

Kostnaden for halvfabrikat A er beregnet ut fra den

forslåtte internprisen på kr. 715,- pr. stk.

Fortjenesten er beregnet som differansen mellom utsalgsprisen og kost-nadene. Salgsprisen for produkt B, C og D er å betrakte som gitte mar-kedspriser.

Konsernledelsen ønsker dessuten å fordele felles administrasjonskostna-der på kr. 220.000,- pr. år over på avdelingene, og har foreslått å benytte

Avdeling I Produkt A B Kapasitet

Prosess 1 3 2 12.000 Prosess 2 2 4 12.000

Variable kostnader 300,- 500,- Faste kostnader 400,- 480,-

Fortjeneste 15,- 20,-

Salgspris 715,- 1.000,-

Avdeling II Produkt C D Kapasitet

Prosess 3 4 8 32.000 Prosess 4 5 6 30.000

Halvfabrikat A 2/3 ½

Variable kostnader 400,00 700,00 Halvfabrikat A 476,67 357,50

Faste kostnader 270,00 420,00 Fortjeneste 153,33 122,50

Salgspris 1.300,00 1.600,00


7-11

en fordelingsnøkkel lik 2% av omsetningen, selv om disse kostnadene i det vesentlige er å betrakte som faste.

Lederen for avdeling I protesterer heftig på dette, da all hans fortjeneste vil forsvinne. Han hevder dessuten at hans fortjeneste på 2% av salgspri-sen for produkt A bør økes til 10%, som ligger mer på det nivå som avdeling II har. Lederen for avdeling II gjør oppmerksom på at det er denne avdelingen som gir de største inntektene og derved vil belastes den største andelen av de felles administrasjonskostnadene. Med en høyere pris på produkt A i tillegg vil avdelingen knapt gå med overskudd, og mener det vil bli en urimelig inntektsoverføring til avdeling I.

Konsernledelsen ønsker svar på følgende:

1. Hva er optimal tilpassing for konsernet som helhet ?

2. Hvordan bør avdelingene organiseres ved en eventuell de-sentralisering ?

3. Hva blir resultatet i hver divisjon ?

Optimal tilpassing

Om vi ser konsernet samlet som én enhet, må vi bestemme optimale mengder av produktene A, B, C og D simultant. Produktkalkylene må basere seg på variable kostnader, og kostnadene for produkt A fordeles ikke på de øvrige produktene, for å unngå mulighet for dobbeltregning.

Produktkalkyle :

Produkt A B C D

Salgspris 1000 1.300 1.600 Variable kostnader 300 500 400 700

Dekningsbidrag -300 500 900 900

Vi kan da formulere konsernets samlede produksjonstilpasning som et LP problem

Målfunksjonen : (Maksimere totalt dekningsbidrag)

Max Z = -300XA + 500XB + 900XC + 900XD

Produksjonskapasiteter : (Kapasitetsforbruk mindre enn kapasiteten)

3XA + 2XB 12.000 (Prosess 1) (Avdeling I)

2XA + 4XB 12.000 (Prosess 2)

4XC + 8XD 32.000 (Prosess 3) (Avdeling II)

5XC + 6XD 30.000 (Prosess 4)

Materaialbalanse : (Knytter sammen avdeling I og avdeling II)

XA 2/3XC + ½XD (Produksjon av A må være større enn forbruket)

D B

Kostnadene ved

halvfabrikatet

fordeles ikke

på produktene.


7-12

Siden vi har mer enn to beslutningsvariabler kan problemet i utgangspunktet ikke løses ved en grafisk analyse. Men om vi ser hver avdeling isolert, så har vi kun to beslutningsvariabler i hver avdeling. Vi kan derfor studere hver divisjon vha. en gra-fisk analyse.

Om vi greier å finne riktig internpris for produkt A, så kan også avdelingene adskilles; hver avdeling maksimerer sitt dekningsbidrag til den gjeldende internprisen. Derved kan vi faktisk ved den grafiske analysen for hver avdeling også finne optimal tilpas-sing for konsernet sett under ett.

Internprisen for produkt A må være lik marginalkostnaden ved å foreta internlever-ansen, når det ikke eksisterer eksterne markeder. Marginalkostnaden er lik de variable kostnadene på kr. 300,-. Men vi må også ta hensyn til alternativkostnaden ved bruk av knappe ressurser; i dette tilfellet skyggeprisene på kapasitetene i prosess 1 og pro-sess 2. Og alternativkostnadene er den verdien disse ressursene gir ved beste alterna-tive anvendelse. I avdeling I er det kun én alternativ anvendelse (til å produsere pro-dukt A), nemlig å produsere produkt B. Alternativkostnaden ved å bruke disse res-sursene (prosess 1 og 2) er derfor det dekningsbidraget de vil gi ved å produsere produkt B.

La oss derfor først se på avdeling I. Om vi ikke produserer produkt A, kan avdeling I maksimalt produsere 3.000 stk. B. (Se FIGUR 7-1.) Om vi begynner å produsere produkt A, så vil prosess 2 være den bindende restriksjonen for kvanta av A mindre enn 3.000 stk. For kvanta mellom 3.000 og 4.000 stk. A vil prosess 1 være den knappe faktoren.

FIGUR 7-1. Grafisk analyse for avdeling I.

I N T E R N P R I S

Variabel kostnad

+ alternativkostnad

= Marginalkostnaden

6.000

3.000

1.500

XB

XA 3.000 6.000 4.000

Prosess 1 :

3XA + 2XB 12.000

Prosess 2 :

2XA + 4XB 12.000


7-13

Vi vil derfor få to internpriser for produkt A; en for kvanta opp til 3.000 stk., og en annen for kvanta over 3.000 stk.

0 XA 3000 : Prosess 2 er bindende restriksjon: Internprisen må dekke de variable kostnadene samt tapt dekningsbidrag produkt B. DB produkt B pr. time i prosess 2 = 500/4 = 125,-

Internpris PA = 300,- + 2125,- = 550,-

3.000 XA 4000 : Prosess 1 er bindende restriksjon: Internprisen må dekke de variable kostnadene samt tapt dekningsbidrag produkt B. DB produkt B pr. time i prosess 1 = 500/2 = 250,-

Internpris PA = 300,- + 3250,- = 1.050,-

Vi kan nå analysere avdeling 2 og ta hensyn til internprisene for produkt A.

FIGUR 7-2. Grafisk analyse for avdeling II.

XA < 3.000 XA > 3.000

Produkt C D C D

Salgspris 1.300,00 1.600,00 1.300,00 1.600,00 Variable kostnader 400,00 700,00 400,00 700,00 Materialkostnad A 366,67 275,00 700,00 525,00

Dekningsbidrag 533,33 625,00 200,00 350,00

Ettersom produktene C og D gir positivt dekningsbidrag også for den høyeste in-ternprisen, vil det lønne seg for avdeling II å produsere så mye som mulig av pro-duktene. Optimal tilpassing blir da XC = 3.000 stk. og XD = 2.500 stk. i avdeling II.

T O

I N T E R N -

P R I S E R

Internprisen avhenger av

hvilke restriksjoner som er

bindende.

8.000

4.000

XD

XC 8.000 6.000

Prosess 4 :

5XC + 6XD 30.000

Prosess 3 :

4XC + 8XD 32.000

5.000

6.000

4.500

Halvfabrikat A : 2/3XC + ½XD 3.000

Halvfabrikat A : 2/3XC + ½XD 4.000

2.500

3.000


7-14

Avdeling I vil da måtte produsere : XA = 2/33000 + ½2.500 = 3.250 stk. A.

Fra FIGUR 7-1 ser vi at da vil prosess 1 være bindende, og vi kan finne mengde B :

Prosess 1 : 33.250 + 2XB = 12.000 XB = 1.125 stk. B.

Denne løsningen vil samsvare med LP-løsningen av konsernets totalmodell. Ved en slik internpris vil isobidragslinjen til avdeling I være parallell med den til enhver tid bindende restriksjon i avdelingen, og et hvilket som helst punkt på randen av mulig-hetsområdet vil gi samme resultat.

FIGUR 7-3. Regneark for løsning av konsernets totale LP-modell.

Regnearket er definert slik:

A B C D E F G H

1

2 Produkt A B C D Totalt Kapasitet

3

4 Mengde 3250 1125 3000 2500

5

6 Pris 1000 1300 1600

7 Variable 300 500 400 700

8 DB =Pris - Variable =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C8:F8)

9

10 Prosess 1 3 2 =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C10:F10) 12000




14 Material A 1 =-2/3 =-1/2 =SUMPRODUCT($C$4:$F$4;C14:F14) 0

TABELL 7-1. Definisjon av LP-modellen som regneark.


7-15

For å finne de optimale verdiene for mengde brukes Solver til å maksimere totalt dekningsbidrag ($G$8) ved å variere mengden ($C$4:$F$4), slik at kapasitetsforbruket i prosessene 1–4 ($G$10:$G$13) er mindre enn kapasitetene ($H$10:$H$13), og slik at netto tilgang (tilgang minus forbruk) av material A ($G$14) er positiv. Solver vil da regne seg fram til den optimale LP-løsningen, som gir et totalt dekningsbidrag på kr. 4.537.500,-.

De totale faste kostnadene er : 1.920.000 + 1.860.000 + 220.000 = kr. 4.000.000,-. Dermed blir resultatet : kr. 4.537.500 – kr. 4.000.000 = kr. 537.500,-.

Vi ser at begge avdelingene samlet er lønnsomme. Vi vet imidlertid ikke om det vil være enda mer lønnsomt å legge ned en av avdelingene, ettersom vi ikke har tatt hensyn til de faste kostnadene i optimeringen (de er utelatt i LP-modellen).

Vi kan ikke legge ned avdeling I uten også å legge ned avdeling II (på grunn av be-hovet for material A). Men vi kan legge ned avdeling II og bare produsere produkt

B i avdeling I. Maksimal produksjon av B vil gi et dekningsbidrag på : 500,-3.000 = kr. 1.500.000,-, som ikke dekker de faste kostnadene i avdelingen. Dermed kan vi konkludere med at løsningen vi har funnet er den globale optimale løsningen for konsernet.

Organisering

Det er tvilsomt om det er gunstig å dele bedriften opp i selvstendige divisjoner, et-tersom det er så stor avhengighet mellom avdelingene. Men om konsernet ønsker å divisjonalisere avdelingene, kan avdeling II organiseres som et profittsenter (eventu-elt et investeringssenter), hvis avdelingen har myndighet til å bestemme priser og produksjonskvanta for sine produkter.

Avdeling I kan enten organiseres som et kostnadssenter eller et profittsenter (even-tuelt investeringssenter). Ettersom en så stor del av avdelingens produksjon består av internleveranser av produkt A, som avdelingen ikke fritt kan sette prisen på, kan det være hensiktsmessig å organisere avdelingen som et kostnadssenter. Spesielt fordi internprisen på produkt A bare dekker marginalkostnaden, noe som umuliggjør inn-dekking av faste kostnader. Vi kan imidlertid organisere avdeling I som et profittsen-ter hvis divisjonen kan kreve et fast beløp fra avdeling II for retten til å kjøpe produkt A til den lave marginalkostnaden, en form for reservasjonskostnad.

Uansett vil internprisen og en eventuell deling av faste kostnader bare være en vil-kårlig resultatfordeling av totalresultatet, fordelt på avdelingene. Ved at vi benytter marginalkostnaden som internpris sikrer vi optimale beslutninger. Men for at resul-tatet i hver divisjon skal gi en rimelig beskrivelse av at begge divisjonene er lønn-somme, må en velge praksis med omhu.

En kan f.eks. fordele de faste kostnadene i avdeling I slik at avdeling II betaler en andel tilsvarende andelen av totalt kapasitetsforbruk i avdeling I som avdeling II leg-

ger beslag på. Avdeling II krever via produkt A : (3+2)3.250 = 16.250 av total ka-pasitet på 24.000, dvs. 67,71% av den totale kapasiteten. Det tilsvarer en fordeling av

de faste kostnadene lik : 1.920.0000,6771 = 1.300.000,-.

Alternativt kan en argumentere for at avdeling I produserer to produkter, og at det ene er til avdeling II. Derved bør avdeling II betale 50% av de faste kostnadene, som

i så fall vil utgjøre 1.920.0000,5 = 960.000,-.

S O L V E R

Målfunksjon

Beslutningsvariabler

Restriksjoner


7-16

En bør så velge den fordeling av de faste kostnadene som gir en rimelig resultatfor-deling mellom divisjonene.

Resultatfordeling

For å beregne resultatet i hver divisjon må vi også bestemme hvordan konsernkost-nadene skal fordeles. Det er viktig at slike faste kostnader blir fordelt som faste, og ikke som variable og manipulerbare av den enkelte divisjon. Hvis de f.eks. fordeles proporsjonalt med omsetningen kan en divisjon påvirke fordelingen ved å endre pri-ser eller kvanta, uten at det nødvendigvis er til beste for konsernet samlet. Om vi også fordeler konsernkostnadene likt mellom divisjonene, får vi følgende resultatfor-deling :

Divisjon I :

Produkt A : 3000(550-300) = 750.000 (3250-3000)(1.050-300) = 187.500 937.500

Produkt B : 1125(1.000-500) = 562.500

Totalt dekningsbidrag : 1.500.000 Faste kostnader : Totalt : 1.920.000

Belastet kjøper produkt A -960.000 960.000

Resultat divisjon I : 540.000 Konsernkostnader : 220.000/2 = 110.000

Andel konsernresultat : 430.000

Divisjon II :

Produkt C : 3000(1.300-400) = 2.700.000 Produkt D : 2500(1.600-700) = 2.250.000 Produkt A : 3000(550) = 1.500.000

(3250-3000)(1.050) = 262.500 –1.762.500

Totalt dekningsbidrag : 3.037.500 Faste kostnader : 1.860.000

Faste kostnader kjøp av A 960.000 2.820.000

Resultat divisjon II : 217.500 Konsernkostnader : 220.000/2 = 110.000

Andel konsernresultat : 107.500

Vi ser at om vi hadde belastet divisjon II med en større andel av de faste kostnadene i divisjon I, så ville divisjon II gå med underskudd. Det ville i så fall ikke være gunstig å organisere divisjonen som et profittsenter.

Vi ser også at marginalkostnadene for produkt A som internpriser er helt sentrale i resultatfordelingen. Disse marginalkostnadene framkommer som skyggepriser på materialbalansen for internleveransene for produkt A. Om vi ser på sensitivitetsana-lysen (TABELL 7-2) fra LP-løsningen som Solver gir oss, finner vi igjen internprisen på 1.050,- som skyggeprisen for restriksjonen for produkt A. Vi ser også at denne skyggeprisen gjelder for en reduksjon på 250 stk. av høyresiden på restriksjonen (som er 0). Ettersom internleveransen er 3.250 stk. betyr det at en annen skyggepris gjelder for kvanta under 3.000 stk. For å finne denne skyggeprisen, må problemet løses på nytt, etter at nye restriksjoner som begrenser etterspørselen av produkt A til under 3.000 er innført i modellen.


7-17

Adjustable Cells



$C$4 Mengde A 3250 0 -300 450,00 30,00

$D$4 Mengde B 1125 0 500 20,00 300,00

$E$4 Mengde C 3000 0 900 112,50 12,50

$F$4 Mengde D 2500 0 900 25,00 135,00

Constraints



$G$10 Prosess 1 Totalt 12000 250,00 12000 500,00 2250,00

$G$11 Prosess 2 Totalt 11000 0,00 12000 1E+30 1000,00

$G$12 Prosess 3 Totalt 32000 42,19 32000 2666,67 8000,00

$G$13 Prosess 4 Totalt 30000 6,25 30000 3600,00 1200,00

$G$14 Material A Totalt 0 -1050,00 0 750,00 250,00

TABELL 7-2. Sensitivitetsanalyse av LP-løsningen.

Om vi legger inn en nye restriksjon som begrenser etterspørselen etter produkt A til under 3.000 stk. (ved å sette maksimal produksjon av C og D til 1.000 stk.) får vi følgende løsning :

FIGUR 7-4. Redusert etterspørsel etter A via begrensninger på C og D.

Den nye løsningen innebærer en produksjon av A lik 1.166,67 stk. Fra sensitivitets-analysen i TABELL 7-3 ser vi at den nye skyggeprisen på kr. 550,- gjelder for reduk-sjoner inntil 1.166,67 stk. og økninger opp til 1.833,33 stk. Det betyr at internprisen på kr. 550,- gjelder for kvanta A mellom 0 og opp til 3.000 stk. [1.166,67 – 1.166,67 = 0, og 1.166,67 + 1.833,33 = 3.000].

Fra sensitivitetsanalysen i TABELL 7-2 ser vi at skyggeprisen på kr. 1.050 gjelder for kvanta mellom 3.000 og opp til 4.000 stk. A [3.250 – 250 = 3.000, og 3.250 + 750 = 4.000].

Vi får altså samme konklusjon som da vi analyserte FIGUR 7-1.

Produkt A B C D Totalt Kapasitet

Mengde 1166,67 2416,67 1000 1000

Pris 1000 1300 1600

Variable 300 500 400 700

DB -300 500 900 900 2658333

Prosess 1 3 2 8333,333 12000

Prosess 2 2 4 12000 12000

Prosess 3 4 8 12000 32000

Prosess 4 5 6 11000 30000

Material A 1 -0,667 -0,5 0,00 0

Max salg 1000 1000


7-18

Adjustable Cells



$C$4 Mengde A 1166,67 0,00 -300,00 550,00 800,00

$D$4 Mengde B 2416,67 0,00 500,00 1600,00 500,00

$E$4 Mengde C 1000,00 533,33 900,00 1E+30 533,33

$F$4 Mengde D 1000,00 625,00 900,00 1E+30 625,00

Constraints



$G$10 Prosess 1 Totalt 8333,33 0 12000 1E+30 3666,67

$G$11 Prosess 2 Totalt 12000,00 125 12000 7333,33 9666,67



$G$14 Material A Totalt 0,00 -550 0 1833,33 1166,67

TABELL 7-3. Sensitivitetsanalyse av LP-løsningen med begrensninger på etterspørselen.

Sjefslønninger og bonusplaner

Toppledernes avlønningsplan bør :

1. Være konkurransedyktig for å tiltrekke og beholde gode ledere.

2. Formidle og forsterke de viktigste prioriteringene i selskapet, ved å knytte bonuser til de viktigste indikatorene på god utførelse.

3. Påvirke utviklingen av et resultatorientert miljø i firmaet, ved å belønne gode resultat i forhold til mulighetene.

Allerede ved forrige århundreskifte (f.eks. i General Motors) ble lønnssystemet brukt for å fremme fellesinteressene mellom avdelingslederne i et divisjonalisert foretak og topplederne, og til aksjonærene.

Bonussystemet ble brukt til å motvirke at avdelingslederne ensidig satset på sine sær-interesser, ved at bonusen ble knyttet til konsernets resultat. Å få bonus var i seg selv positivt, og motiverte til stadig større innsats (bonusen ble større for overord-nede, som motivasjon for opprykk).

Det finnes en mengde forskjellige bonus insentiv- lønnssystemer. Disse vil variere som en funksjon av: graden av desentralisering, tidshorisonten for kritiske beslut-ninger, og graden av interaksjon mellom avdelingene, den usikkerhet selskapet står over for, samt bransje og konkurranseforhold.

Prinsipal – agent teori

Et agent forhold eksisterer når en part (prinsipalen) ansetter en annen part (agenten) for å utføre en tjeneste, og denne tjenesten krever at prinsipalen delegerer noe beslut-ningsmyndighet til agenten.

I vårt tilfelle har vi to typer :


7-19

1. Aksjonærene velger toppledelse.

2. Toppledelsen velger avdelingsledere.

Agentteorien forutsetter at alle individer ikke bare bryr seg om finansiell kompensa-sjon, men også forskjellige typer frynsegoder og prestisje. Fritid foretrekkes fremfor hardt rutinearbeid. Det er derfor nødvendig med overvåkning og insentiver for å minimere nettokostnadene mellom prinsipalen og agenten.

Fordi en stor, mangslungen eiergruppe har inadekvat informasjon og fordi overvåk-ning og kontroll er kostbart, er eierne ute av stand til å vite hva de optimale beslut-ningene bør være, og kan heller ikke gi direktiver eller kontrollere ledelsens hand-linger. For å motivere lederne til handlinger som er i aksjonærenes interesser, gis derfor en insentivbonus i form av aksjer i selskapets økte verdi.

Insentivbonussystemer blir laget for å skape et fellesskap av interesser mellom prin-sipalen og agenten. Men på grunn av forskjeller i risikoholdning, privat informasjon (lederen vet mer om omgivelsene og sine handlinger enn eierne), og begrenset og kostbar observerbarhet (f.eks. et er et regnskapssystem kostbart og meget mangel-fullt), så vil det alltid være avvik i interessene. Prinsipalen forsøker å minimere dette avviket ved forskjellige insentiver og ved mer eller mindre kostbare overvåknings-systemer. Agentkostnader i prinsipal -agent forholdet er summen av insentiv – bo-nus – systemet, overvåkningskostnadene og kostnaden ved differansen mellom de gjenværende avvik mellom agentens handlinger og prinsipalens preferanser.

Problem med bonussystem knyttet til aksjer

Et bonussystem med aksjer eller opsjoner i aksjer som belønning, medfører at de tiltak lederen tar for å øke sin bonus også gir direkte uttelling for eierne. Men føl-gende problem oppstår :

1) Risikoaversjon: Lederens formue er knyttet til selskapets utvikling både i form av menneskelig kapital og lønn. I tilfelle dårlig resultat vil lederens renommé og verdi synke, og reduserer mulighetene for eksternt arbeid, samtidig synker lønnen. Ledere med størstedelen av sin formue knyttet til selskapet vil derfor være risikoaverse. De vil heller unngå tap fremfor å ta sjanser på gode resultat. Eierne vil være tilnær-met risikonøytrale, fordi deres menneskelige kapital er uavhengig av selskapets resultat, og fordi de kan diversifisere sine aksjeinvesteringer.

2) Eksterne forhold påvirker aksjekurs: Mange tilfeldige, ukontrollerbare hendelser (generelle konjunkturer, politiske handlinger, uventede knappheter, internasjonale hendelser) kan overvelde de beste (eller de dårligste) beslutninger. Usikkerheten i aksjemarkedet gir ikke god feedback på ledernes dyktighet, og skaper dessuten usikre lønnsforhold. a) For å få et evalueringsmål som bedre måler ledernes dyktighet enn svingende

aksjekurser, kan en foreta en intern evaluering av selskapet. b) I stedet for å måle selskapets verdi etter aksjekursene, kan en benytte takse-

ring av selskapets eiendeler. Men dette er en svært kostbar, og dessuten me-get subjektivt.

c) Alternativt kan en knytte insentivbonusen til data som allerede finnes og kontrolleres for eksterne interesser, nemlig det historiske kost baserte finans-regnskapet. F.eks. bonus etter resultat pr. aksje eller resultat i forhold til egenkapital.


7-20

3) Regnskapsrelaterte mål som utgangspunkt for bonus skaper imidlertid egne pro-blemer på grunn av imperfekt sammenheng mellom regnskapsdata og selskapets økonomiske velbefinnende. Ledelsen kan øke regnskapsresultatet via tiltak som ikke er gunstige for selskapet : a) Produsere varer utover etterspørselen for å overføre faste kostnader til lager,

og derved øke overskuddet. b) Betale gjeld eller kjøpe tilbake preferanseaksjer solgt til underkurs. c) Skifte avskrivingsmetode for finansrapporter. d) Selge aktiva med markedsverdi større enn bokført verdi. e) Øke gjeldsgraden ved å gjeldsfinansiere investeringer med avkastning etter

skatt større enn gjeldskostnaden etter skatt, men under risikojustert avkast-ningskrav.

I tillegg vil ledelsen (agenten) ha interesser som vil redusere langsiktige investeringer hvis de gir små resultat på kort sikt. F.eks.: lønnsomme investeringer med store opp-startingskostnader blir ikke satt igang, og investeringer til forskning og utvikling kan bli redusert.

Et styre kan i prinsippet spille en viktig rolle i å redusere agentkostnadene i kontrakts-forholdet mellom eierne og lederne. Styret kan forlange å godkjenne alle handlinger som øker det regnskapsførte resultatet uten å øke selskapets økonomiske verdi. Sty-ret kan også korrigere regnskapet før bonusberegninger, for å luke bort de svakhet-ene som er nevnt over. Dette er imidlertid lite brukt i praksis. Direktører er tydeligvis ikke er interessert i å belønne ledere etter ett regnskap, og så rapportere et helt annet regnskap til aksjonærer og kreditorer.

Betingelser for bonus og insentivsystemer

Følgende betingelser er ideelle for et insentivsystem :

1. Resultatet blir påvirket av en mengde kortsiktige beslutninger.

2. Lederne har myndighet til å ta beslutningene.

3. Kontrollsystemet er veldefinert og utførelsen blir evaluert systematisk, i for-hold til en plan eller lignende bedrifter.

4. Lederne forventes å være innovative og ambisiøse.

Følgende betingelser gir derimot dårlig grunnlag for insentivsystemer :

1. Resultatet bli i det vesentlige påvirket av noen få langsiktige beslutninger.

2. Selskapet er organisert etter funksjoner (markedsføring, produksjon, regn-skap etc.)

3. Budsjetter er vanskelige å utarbeide, eller det eksisterer ikke data om konkur-renter, slik at adekvat evaluering blir vanskelig.

4. Beslutninger må ikke tas hurtig, eller må ikke tilpasses endringer.

Lederne med integrerende oppgaver bør belønnes i forhold til hele organisasjonens prestasjoner, andre ledere i forhold til egne prestasjoner.


7-21

Insentiv typer

1) Øyeblikkelig kontra langsiktige : Belønningen kan være øyeblikkelig, vanligvis i form av kontanter, basert på kort-siktige resultater. Langsiktige belønninger gis ofte i form av opsjoner i aksjer, der verdien er avhengig av selskapets langsiktige utvikling.

2) Kontanter kontra egenkapital : Belønningen kan enten være i form av kontanter eller egenkapital (aksjer, opsjo-ner, fantom aksjer, resultat aksjer). Kontant belønning er vanligvis knyttet til kortsiktig resultat, mens belønninger i form av egenkapital vanligvis er knyttet til den langsiktige utviklingen av selskapets egenkapital.

3) Monetær kontra frynsegoder : Belønningen kan være i kontanter eller verdipapirer, eller den kan være ikke mo-netær. Frynsegoder kan gis i mange former : feriereiser, firmabil, billige lån, livs-forsikring, etc. I noen tilfeller følger frynsegodene med stillingen. Andre ganger som et resultat av uformell evaluering. Noen ganger følger de som premiering i interne konkurranser (diplom/golfklubbmedlemskap).

Former for monetære belønninger

1) Kontanter eller aksjer : Bonuser basert på kortsiktige resultatmål er som regel knyttet til selskapets års-resultat eller individuelle prestasjoner, og gis som regel i kontanter eller aksjer. Typiske former for bonuser er en fast prosentandel av andelen av resultatet som overstiger en viss avkastning på egenkapitalen. En fare er at kortsiktige resultat-gevinster kan gå på bekostning av langsiktige strategier. Bonus i aksjer vil knytte sammen interessene til lederen og aksjonærene, men kan føre til for stor risiko-aversjon.

2) Utsatt bonus : Utsatt bonus, i en hvilken som helst form, utbetales først på et senere tidspunkt, og brukes ofte for å holde på gode ledere. Hvis bonusen utbetales først ved pensjonering, kan det oppnås skattefordeler hvis lederens opprinnelige margi-nalskatt på renter overstiger selskapets skattesats.

3) Aksjeopsjoner : Aksjeopsjoner med lang forfallstid skaper en langsiktig binding til selskapet, og har ingen negativ risiko for lederen. Men avkastningen av aksjer er som før nevnt delvis urelatert til egne prestasjoner.

4) Resultatandeler : Belønning i form av andeler i aksjer er som regel knyttet til langsiktige mål, f.eks. en bestemt vekst i resultat pr. aksje over 3-5 år. Det gis ingen belønning for re-sultat utover målsetningen, og en mindre andel hvis målet bare delvis nås. Denne form for belønning har samme svakheter som regnskapsbaserte evalue-ringsmål har.

5) Aksjeprisøkningsrettigheter og fantomaksjer : Aksjeprisøkningsrettigheter er utsatte kontantutbetalinger basert på prisøk-ningen av aksjene fra belønnings- til utbetalings tidspunktet. Det brukes ofte som finansiering av aksjeopsjoner, som en tilleggsbonus. Fantomaksjer er be-lønninger i antall enheter av antall aksjeandeler. En får da utbetalt i kontanter antallet multiplisert med nåværende aksjekurs. Begge typer er egentlig utsatte kontantutbetalinger der beløpet er avhengig av aksjekursen. De har derfor den samme styrke og svakhet som bonuser i form av aksjer.

6) Deltakingsenheter : Deltakingsenheter er lik aksjeprisøkningsrettighetene, bortsett fra at belønningen er knyttet til regnskapsdata isteden for aksjekurser. Vanlige mål er : Resultat før skatt, prosentvis avkastning, omsetning og ordrereserver, eller kombinasjoner av


7-22

disse. Belønningen kan variere kontinuerlig med målet. Et slikt bonussystem er nyttig i organisasjoner uten børsnoterte aksjer. Belønningen er heller ikke påvir-ket av utenforliggende forhold i samme grad som belønninger basert på aksje-kurser, men har alle svakheter som følge av divergerende ønsker mellom leder (agent) og aksjonær (prinsipal).

Evaluering av regnskapsbaserte bonuser

Det er generelt umulig å måle hver enkeltes bidrag til organisasjonenes resultat, og det er like vanskelig å gjøre evalueringen fullstendig uavhengig av faktorer utenfor ledernes kontroll. I praksis vil bonusen bli et resultat av felles og ikke individuelle prestasjoner, ofte med stor ekstern påvirkning.

Fastsetting av størrelsen på bonuspotten

1) Den enkleste regel for å bestemme størrelsen er å beregne den som en fast pro-sentandel av profitten. En variant er å se profitten i forhold til budsjettet, uansett den absolutte profitten. En kan da beholde ledere også i situasjoner med tap.

2) Ofte blir bonuspotten bestemt ut fra resultatet etter fratrekk fra en gitt avkast-ning på investert kapital. I tillegg fastlegges en maksimumsstørrelse, basert på dividendeutbetalinger. Slike regler skaper en mengde problemer : a) Hvordan fastsette størrelsen på investert kapital ?

Om en bare benytter aksjekapitalen kan det motivere til å øke gjeldsgraden så lenge som netto kontantstrøm fra nyinvesteringer dekker lånekostnaden etter skatt pluss avskrivninger. Dette kan motvirkes ved å inkludere langsik-tig gjeld i beregningsgrunnlaget for investert kapital, eventuelt inkludere all rentebærende gjeld.

b) Hva hvis aksjekapitalen etter mange tap er blitt veldig liten ? I slike situasjoner vil det være enkelt å bli bonus berettiget, selv om totalav-kastningen er liten. I situasjoner med dårlig resultat, kan en motiveres til å gjøre tapet større ved å avskrive så mye som mulig i regnskapet. Derved vil det bli lettere å oppnå bonuser i fremtiden.

c) Hvordan beregne egenkapitalen i perioder med prisstigning ? Det historisk kostbaserte regnskapet summerer opptjent egenkapital over flere år, med dramatiske prisforskjeller, som om alt var opptjent siste år. I mange selskaper ville en enkel prisnivåjustering av egenkapitalen eliminere store deler av bonuspotten.

3) En tredje variant i å bestemme bonuspotten er å basere seg på profittforbed-ringer. a) Hvordan ta hensyn til opp- og nedgangstider utenfor lederens kontroll ? Bo-

nuser basert på endringer i resultatet introduserer tilfeldigheter påvirket av generelle konjunkturer.

4) For å bøte på dette problemet kan resultatet sees i forhold til et bransjegjennom-snitt. a) Hvordan ta hensyn til individuelle prestasjoner ? Bonuser basert på selska-

pets totale resultat under mottoet ”Alle for én, én for alle” kan lett redusere motivasjonen i de enkelte divisjonene. Men om en forsøker å bestemme bo-nuspotten også på individuelle prestasjoner, oppstår følgende problemer: i) Hvis det er stor interaksjon mellom divisjonene, vil det oppstå proble-

mer med kostnads- og inntektsfordeling og felleskostnader. Det kan også føre til at divisjonene ser på seg selv som selvstendige, og dermed hemme koordineringen innen konsernet.

ii) Det blir vanskelig å spesifisere mål, på grunn av forskjellige spesialise-ringer og ulikt potensiale.


7-23

iii) Langsiktige målsetninger vil hemme praksisen med rotasjon av ledere. En bonuspott bestemt av konsernets resultat er trolig best for konsern med et dominant produkt, dvs. vertikalt integrerte firma som produserer ett viktig produkt (f.eks. bilproduksjon der en stor grad av interaksjon og koordine-ring er nødvendig). En bonuspott bestemt av individuelle prestasjoner er mest effektiv hvis konsernet er sterkt desentralisert, med liten interaksjon mellom divisjonene, som er organisert som profitt- eller investeringssentra.

5) Å benytte budsjetter ved bonusberegningene introduserer motivasjon for strate-gisk manipulasjon av data (løgner).

Fordeling av bonuspotten til lederne

1) Andelen av bonuspotten fordeles proporsjonalt med lønnen. En slik regel antar at en persons anstrengelser er proporsjonal med lønnen, noe som i beste fall er bare delvis riktig. I tillegg skaper en slik regel problem med ”gratispassasjerer” : Noen slapper av og høster fruktene av andres innsats. Men å basere bonus utelukkende på individuelle prestasjoner, vil gå på bekostning av organisasjonens totale resultat pga. interne konflikter og manglende koordine-ring.

2) Bonuspotten fordeles som en funksjon av : a) Jobbens viktighet. b) Personens suksess med å utføre jobben. Slike regler er lite brukt i praksis, fordi de er vanskelige å gjennomføre. Japanske bedrifter har i stedet innført gruppebonuser. Men også her må en løse ”gratis-passasjer” problemet med formelle eller uformelle overvåkningssystemer.

3) Et bonussystem har størst mulighet for å lykkes hvis det overvåkes og kontrol-leres av styret.

Formelle modeller i budsjettering og insentiv-

kontrakter

I prinspal agent teorien blir begge parter behandlet som rasjonelle, økonomi-maksimerende individer. Eierne (prinsipal) er bare interessert i forventet penge-messig avkastning, og lederne (agent) verdsetter både sin formue og fritid (inklu-dert frynsegoder).

Lederne betrakter formue som et positivt gode, men med synkende marginal nytte. Dette fører til risikoaversjon, idet tap vil har større negativ nytte enn en tilsvarende gevinst.

Eierne antas imidlertid å være risikonøytrale og kan diversifisere sine investe-ringer.

Eierne ansetter ledere (kjøper deres tid) og stiller kapital til disposisjon. Lederne deler sin tid mellom fritid og produktivt arbeide, og forbruker eiernes kapital til lønnsomme investeringer og frynsegoder. I prinsipal agent teorien forsøker en å konstruere insentivsystemer for lederne slik at overforbruk av fritid og frynse-goder blir eliminert.

Overvåkning for å kontrollere at kontrakten er oppfylt er normalt bare hensikts-messig hvis output og input kan måles, og er sterkt korrelert (ingen utenforlig-gende påvirkninger).


7-24

Input omfatter både arbeidsinnsats og kunnskap. Måling av input dreier seg som regel om å forhindre ”unnaluring” av arbeidsinnsats. Ved ansettelsen må en forsøke å kontrollere at agenten har den nødvendige kunnskap.

Informasjonsasymmetri oppstår, fordi den ansatte presumptivt har bedre infor-masjon enn eierne. Det kan også skape et ”gratispassasjer” problem, ved at den ansatte kan ”lure seg unna” en del arbeidsinnsats.

Når arbeidsinnsats og kunnskap (input) vanskelig kan måles, må insentivsyste-met baseres på output; konsekvensene av ledernes beslutninger, innsats og kunn-skap. Men dette overfører uønsket risiko til lederne, forårsaket av utenforlig-gende forhold. En slik løsning kalles ”neste best” fordi de skaper et økonomisk tap, fordi lederne må kompenseres for den økte risikoen de må ta.

Problem med å få informasjon til standarder og budsjetter

I en verdien uten usikkerhet, med gratis og full informasjon, og ubegrenset reg-nekapasitet kan en sentral beslutningsfatter gjøre globale optimale beslutninger, og dirigere divisjonslederne til å utføre planen. Det ville da ikke være noe behov for standarder eller budsjetter.

I virkeligheten er det nødvendig å gi desentraliserte ledere stor grad av selvsten-dighet beslutningsmyndighet. Men insentivsystemer med profittdeling påfører lederne uønsket risiko, som de vil forsøke å redusere, f.eks. ved å foreta bevisst underbudsjettering.

For å forhindre tilbakeholdelse av informasjon kan bonussystemet baseres på konsernets totalresultat framfor individuelle prestasjoner. Derved motiveres le-derne til å dele informasjon og til å samarbeide. Men samtidig reduseres moti-vasjonen for individuell innsats, informasjonsinnsamling og beslutningstaking.

Insentiver for ærlige budsjetter og prediksjoner

B = bonuspott totalt

B0 = initial bonuspott

Yn = budsjettert output

Y = faktisk output

Styret fastsetter først en initial bonuspott, B0. Lederen budsjetterer så et mål , Yn, som øker bonuspotten. Dette motiverer til å sette høyere mål. Hvis faktisk output, Y, bli

større enn budsjettert, utbetales en ytterligere bonus (Y-Yn). Men er satt mindre

enn , slik at det lønner seg å budsjettere et høyt mål mer enn å spekulere i å overgå målet. Hvis faktisk output blir mindre enn budsjettert, så reduseres bonuspotten

med : (Yn-Y). Men er satt høyere enn , slik at det lønner seg ikke å ”gamble” ved å budsjettere høyt. Bonuspotten totalt blir altså størst ved å budsjettere ærlig. Sam-tidig motiveres en til ekstra innsats.

0 < < <

nnn

nnn

YYhvisYYYB

YYhvisYYYBB

)(

)(

0

0


7-25

Begrensninger for det sannhetsfremmende insentivsyste-

met

1) I en flerperiodisk modell kan en leder tro at en fremtidig bonuspott vil være delvis avhengig av dagens budsjett og output : B1 = B0 + f(Yn,Y). En slik ”rakett” -effekt er f.eks. ofte vanlig i det offentlige, og den enperiodiske modellen blir ikke lenger gyldig. Det må derfor være åpenbart at en slik sammenheng ikke eksisterer.

2) Risikoaversjon gjør det vanskelig å foreta nøyaktige matematiske beregninger ut fra modellen.

3) Hvis ressurser fordeles innad i organisasjonen basert på prediksjoner, så vil det fortsatt være motiver for manipulasjon med budsjetter.

4) Den initiale bonuspotten og parameterne må fastsettes før budsjettene. Det blir derved umulig å vite hvor stor den faktiske bonuspotten blir.

5) Det er en imperfekt mekanisme å basere bonus ut i fra budsjetter i stedet for faktiske resultat.

Sannhetsfremmende bonussystemer ved ressursallokering

I situasjoner der sentralledelsen fordeler ressurser til avdelingene hver periode basert på avdelingens anslag over ressursens avkastning i avdelingen, vil divisjonslederne være motivert til å overdrive avkastningen, hvis de belønnes på individuell basis. For å motvirke dette, har Groves utviklet et system hvor :

Hver divisjon vil forsøke å maksimere sitt eget resultat.

Hver divisjon er tjent med å sende et ærlig anslag over ressursens avkastning, uavhengig av hva en tror om andre avdelinger.

Hver divisjons evalueringsmål vil være uavhengig av faktisk profitt og effektivitet i andre divisjoner.

B = bonus

a = konstant, f.eks. konstruert som lønn

k = konstant, 0 k 1

Q = forventet profitt fra øvrige divisjoner, beregnet ved faktisk ressursallokering

R = faktisk profitt fra den aktuelle avdeling

B = a + k(Q + R)

Hvis belønningen bare var basert på divisjonens resultat, R, ville hver divisjon over-drive ressursens forventede avkastning, for å få fordelt mest mulig til sin divisjon. Men ettersom bonusen også er en funksjon av resultatet i de øvrige divisjonene, ba-sert på faktisk resursfordeling, men beregnet etter anslått avkastning i avdelingene, vil dette oppfattes som en alternativkostnad for ressursen. Hver divisjon vil derfor bli motivert til å rapportere ærlige anslag, og ingen divisjon behøver å bekymre seg over effektivitets- eller prediksjonsavvik i andre divisjoner, siden disse i sin helhet blir belastet den aktuelle divisjonen.

Groves bonussystem har imidlertid et par svakheter :


7-26

Det er vanskelig å implementere i praksis. Parameterne a og k må spesifiseres på forhånd, og det gjør at den marginale kompensasjonen kan bli enormt stor, ubetydelig eller endog negativ.

Den forutsetter risikonøytrale ledere.


7-1

rasmus rasmussen - kursinfo.himolde.nokursinfo.himolde.no/bo-kurs/bØk711/dokumenter... · vi kan...

Documents