IBIMESTRE

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3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Profesor: Ronald Gonzales S.

I BIMESTRE

TERCERAÑO

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Tabla de contenido

UNIDAD 1: ............................................................................................................................................... 3

NUESTRO MACROUNIVERSO Y MICROUNIVERSO ................................................................................................ 3 Sesión 02: NOTACION EXPONENCIAL O CIENTIFICA ................................................................................................................... 4

Ejercicios: ............................................................................................................................................................................... 5 ¿QUE ES UN AÑO LUZ? ........................................................................................................................................................... 6 La amapola roja ...................................................................................................................................................................... 6 Practiquemos: ........................................................................................................................................................................ 6 El poder de la resolución ........................................................................................................................................................ 7 El planeta Marte ..................................................................................................................................................................... 8

Sesión 03: operaciones con Numeros Racionales ...................................................................................................................... 9 Practiquemos ......................................................................................................................................................................... 9 CURIOSIDAD CON NUESTRAS EDADES ................................................................................................................................. 11

SESION 04: RAZON ARITMETICA Y GEOMETRICA ..................................................................................................................... 11 Practiquemos ....................................................................................................................................................................... 11

SESION 05: PROPORCIONALIDAD ............................................................................................................................................. 12 Ejercicios de Aplicación ........................................................................................................................................................ 13

SESION 06: PROMEDIOS ........................................................................................................................................................... 14 Ejercicios de Aplicación ........................................................................................................................................................ 15

Bibliografía ........................................................................................................................................................ 15

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UNIDAD 1:

NUESTRO MACROUNIVERSO Y MICROUNIVERSO A veces nos maravillamos con lo inmenso que es nuestro universo. Un cohete espacial tarda de 3,5 a 5 días para recorrer alrededor de 380 000 km; además, sabemos que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km aproximadamente. Esto nos lleva a pensar en la cantidad de ceros que puede tener un numero si habláramos de distancias mayores, ya que nuestro sistema solar es solo un punto en nuestra galaxia. Sucede lo mismo en el microuniverso, donde habitan nuestras células, los microorganismos, etc. Así, por ejemplo, el diámetro de la bacteria llamada Bacillus megaterium se encuentra entre 0,000 003 m y 0,000 009 m.

Si en el universo existieran aproximadamente 100 billones de galaxias y cada una tiene alrededor de 400 000 millones de estrellas, y cada estrella, 10 planetas, 1. ¿Cuántos planetas aproximadamente habría en el universo? Escribe los valores numéricos en notación científica. 2. El diámetro de la bacteria llamada Bacillus megaterium se encuentra entre 0,000 003 m y 0,000 009 m. ¿Cuántos

números reales están comprendidos en estos dos valores? 3. Se desea nombrar a dos tipos de bacterias, una llamada Scarlet y la otra Doroti, cada una con medida de sus

diámetros 0,000008 y 0,000009 respectivamente. ¿Cuál sería el resultado si sumamos los dos diámetros? ¿y si los multiplicamos?

TERCERAÑO

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Sesión 02: NOTACION EXPONENCIAL O CIENTIFICA En cualquier ciencia los números que se deben escribir son a veces muy grandes o muy pequeños, por ejemplo:

Ø El número de átomos de carbono que hay en un gramo: 50 150 000 000 000 000 000 000

Este es un número muy grande, difícil de leer, nombrar y escribir; como así también recordar su valor y para escribirlo se necesita un gran espacio.

Ø La masa expresada en gramos de un solo átomo de carbono: 0,00000000000000000000001994 gramos

Este es un número muy pequeño, pero también es difícil de leer, nombrar, escribir; recordar su valor y para escribirlo así, también se necesita un gran espacio. Repasaremos a continuación lo que significa la escritura de potencias de base 10 con exponente entero:

106 = 1.000.000 105 = 100.000 104 = 10.000 103 = 1.000 102 = 100 101= 10 100 = 1

10-1= 1 / 10 = 0,1 10-2= 1/ 100 = 0,01

10-3 =1/1000 = 0,001 10-4 = 1/10.000= 0,0001

La notación exponencial o científica consiste en escribir un número a partir de un producto entre otros 2 números, uno llamado coeficiente y el otro, potencia de base 10, cuyo exponente es un número entero. El coeficiente debe cumplir con la condición de que sea mayor o igual a uno y menor que diez.

C x 10n C= coeficiente (1 ≤ C). n= número entero positivo o negativo La principal ventaja de este tipo de notación, es que se simplifica la lectura, escritura y el trabajo algebraico de estos números. ¿Cómo hacemos para escribir un número en notación exponencial? o Se coloca un nº ≠ 0 a la izquierda del punto decimal:

4 300 000, 0 = 4,3 x 106 Para dejar expresado el número con un coeficiente mayor o igual a uno y menor que diez, se debe correr la coma 6 lugares a la IZQUIERDA, por lo que se lo multiplica por 10 con exponente +6 (indicando la cantidad de lugares que se corrió la coma a la izquierda). o Se coloca un nº ≠ 0 a la izquierda del punto

0,000348 = 3,48 x 10-4

Para dejar expresado el número con un coeficiente mayor o igual a uno y menor que diez, se debe correr la coma 4 lugares a la DERECHA, por lo que se lo multiplica por 10 el exponente -4 (indicando la cantidad de lugares que se corrió la coma a la derecha). Conclusión: • Si la coma se corre hacia la DERECHA el exponente “n” será NEGATIVO y su valor será igual a la cantidad de lugares

que se corrió la coma para que 1 ≤ C < 10. • Si la coma se corre hacia la IZQUIERDA el exponente “n” será POSITIVO y su valor será igual a la cantidad de lugares

que se corrió la coma para que 1 ≤ C < 10.

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EJERCICIOS:

1. Escribe en notación exponencial el número de átomos de carbono que hay en un g de dicho elemento: 5,015 x 1022

El coeficiente es: 5,015. La potencia es: base 10 exponente 22 o 1022.

2. Escribe la masa en gramos de un átomo de carbono en notación exponencial. El coeficiente es 1,994; el número exponencial es de base diez y exponente -23, debido a que se mover la coma a la derecha 23 lugares:

1,994 x 10-23. https://www.youtube.com/watch?v=XI7plCTNG74 https://www.youtube.com/watch?v=fYBFpz3ly28

Multiplicación y División Como se indicó anteriormente, una de las ventajas que presenta la operación con números escritos bajo la forma de exponenciales es que simplifica la forma de realizar las operaciones. • En la multiplicación: Se multiplican los coeficientes y las potencias se suman algebraicamente

(3,000 x 103 ) x (4,50 x 102 ) = 3,000 x 4,50 =13,5

103 x 102 = 105 => 13,5 x 105 Podríamos dejar expresado este número como 13,5 x 105 o como 1,35 x 106 según el lugar donde dejemos la coma, pero según nuestra definición inicial: 1 ≤ C < 10, 1,35 x 106 , será la opción correcta. (Advierte que, en el resultado, el coeficiente tiene tantos dígitos como el menor de los multiplicandos). • En la División:

Se dividen los coeficientes y las potencias se restan algebraicamente (12,000 x 104 ) / (4,0 x 102 ) = 12,000 / 4,00 = 3,00 104 / 102 = 4 -2=102 ∴ 3,00 x 102 • Elevación a Potencias y Extracción de Raíces

Para elevar un número escrito en notación exponencial aplicamos la regla: (10ª)b = 10axb (102 )3 = 102x102x102 = 106 = 102x3 (10-2)4= 10-2 x10-2 x 10-2 x10-2= 10-2x4= 10-8 Para extraer la raíz de un número exponencial, recordamos que la raíz es una manera de expresar un exponente fraccionario, según: n√10 = (10)1/n 1 como exponente de radicando “n” como índice de la raíz. es igual a ( )1/2 Raíz cúbica de 10 es 101/3 => 3√ 10 = (10)1/3

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¿QUE ES UN AÑO LUZ? Un ano luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz recorre en un año. Para poner en perspectiva esto, digamos que la velocidad de la luz es de 300 000 km por segundo. El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18 000 000 km por minuto. Luego, nuevamente multiplicado por 60, se transforma en 1 080 000 000 km por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicado por 24 (horas por día), resulta que la luz viajo 25 920 000 000 km (alrededor de veinticinco mil millones de kilómetros en un día). Finalmente, multiplicado por 365 días, un ano luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es, aproximadamente, 9 960 000 000 000 km (casi nueve billones y medio de kilómetros). De ese modo, cada vez que les pregunten cuanto es un ano luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros.

(Adaptado de Adrian Paenza. Matemática… ¿estás ahí?) Expresa las operaciones de la velocidad de la luz indicadas en la información. Luego escribe el resultado final en notación científica. LA AMAPOLA ROJA Es una planta herbacea de tallo recto, flores grandes y semilla negruzca. Es utilizada como símbolo de la memoria de las víctimas de la Primera Guerra Mundial y, con el tiempo, de todas las victimas militares y de los conflictos armados civiles desde 1914. Una cabeza de amapola, en la fase final de su desarrollo, está repleta de minúsculas semillas, cada una de las cuales puede originar una nueva planta. La cabeza de una amapola tiene (en números redondos) tres mil semillas. Si el terreno que rodea a la planta fuera suficiente y adecuado para el crecimiento de esta especie, cada semilla daría, al caer al suelo, un nuevo tallo, y en el verano siguiente crecerían en ese sitio tres mil amapolas.

(Adaptado de de Y. Perelman, Matemáticas recreativas) ¿Cuántas amapolas se obtendrían si germinaran, sin excepción, todas las semillas en el quinto año? Expresa la cantidad en notación científica.

PRACTIQUEMOS:

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EL PODER DE LA RESOLUCIÓN La resolución es la capacidad que tiene un sistema óptico de aislar dos puntos que se encuentran muy próximos entre sí, de manera que se puedan ver individualizados uno del otro. Mientras más corta sea la distancia entre esos puntos del objeto, más finos serán los detalles. La distancia entre esos dos puntos se conoce como límite de resolución —el cual es referido también como el poder de la resolución— y puede ser usada como un indicador del rendimiento del microscopio. Esto se puede comparar vagamente con algunos aspectos de la informática; por ejemplo, el tamaño del pixel: mientras más pequeño sea el tamaño, mayor será la cantidad de detalles de la imagen digital. Los límites de resolución aproximados de algunos sistemas ópticos son: • Ojo humano: Desde 1 m hasta 0,2 mm • Microscopio óptico: Desde 0,5 cm hasta 0,2 µm • Microscopio electrónico: Desde 100 µm hasta 0,2 nm Con esta información, responde las preguntas 7 y 8.

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EL PLANETA MARTE

Según los historiadores, el ser humano conoce el planeta rojo desde hace 4500 años, cuando los asirios registraron sus extraños movimientos en el cielo. La ilusión de encontrar vida en Marte o poblarlo ha llevado a investigar este planeta. Se han encontrado los siguientes datos de Marte, los cuales se comparan con los de la Tierra en la presente tabla:

https://slideplayer.es/slide/3419272/12/images/5/Comparando+nuestro+planeta+con+Marte.jpg

1. ¿Cuál de estos dos planetas tiene el diámetro ecuatorial más grande? 2. ¿Qué medida tiene el perímetro ecuatorial de Marte con aproximación a los milésimos? 3. ¿Cuánto mide el perímetro ecuatorial de la Tierra aproximado a los milésimos? 4. ¿Cuál es la relación entre los perímetros ecuatoriales de los planetas?

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Sesión 03: operaciones con Numeros Racionales

PRACTIQUEMOS

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CURIOSIDAD CON NUESTRAS EDADES Cierto día se encuentran Manuel y Alessandra y Manuel reflexiona con sus edades, diciéndole lo siguiente a Alessandra: “Nuestras edades estan en la relación de 5 a 7”, Alessandra que también estudia en la IE Constantino Carvallo al recordar la clase de Razonamiento Matemático, le responde de la siguiente manera: “Si, y dentro de 10 años nuestras edades estarán en la relación de 3 a 4”. A su encuentro llega el profesor Ronal y le comentan su reflexión, de la cual el profesor Ronal les pregunta: ¿Podrán averiguar cuál fue la relación de sus edades hace 10 años?

Podrías ayudar a Manuel y Alessandra a responder al profesor Ronal.

SESION 04: RAZON ARITMETICA Y GEOMETRICA PRACTIQUEMOS

1. Mario tiene 38 años y Jessica 20 años. ¿Hace cuántos años sus edades fueron como 2 a 1?

a) 12 b) 8 c) 10

d) 15 e) N.A.

2. Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7 dentro de 10 años la relación será de 3 a 4 hace 10 años. ¿Cuál era la relación de sus edades?

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4

d) 4/5 e) 1/3

3. a) Si: y a – b = 100

Hallar: “b”

a) 20 b) 40 c) 60

d) 80 e) N.A.

4. b) Si: y a + b = 50

Hallar: “a”

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) N.A.

5. Dos números suman 8 y el primero es el segundo como 5 es a 3. ¿Hallar los números? a) 5,3 b) 7,1 c) 4,4

d) 5,7 e) N.A.

6. Razón aritmética de las edades de Pedro y Juan es 24 años y su razón geométrica 1/3 cual es la edad de c/u.

Rpta. _____________________

7. La razón geométrica de dos números vale 4/7 y su razón aritmética es 45. hallar el menor número. a) 60 b) 50 c) 70

d) 80 e) N.A.

8. En una razón geométrica el antecedente es 108 y el consecuente y ¿Cuál es el valor de la razón? a) 25 b) 27 c) 29

d) 33 e) 31

9. En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determinar el antecedente. a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

10. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? a) 50 b) 80 c) 60

d) 90 e) N.A.

11. a) x2 + y2 = 261 ; = 2/5

Calcular: “x + y”

a) 21 b) 15 c) 6

d) 12 e) N.A.

12. b) Hace 5 años te llevaba tres años: Hoy nuestras edades suman 37 años. ¿Cuál será mi edad dentro de dos años?

a) 20 b) 18 c) 21

d) 19 e) N.A.

27

ba=

32

ba=

yx

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SESION 05: PROPORCIONALIDAD PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.)

10 – 2 = 12 – 4

R. Aritmética = R. Aritmética

Luego:

Completa las siguientes proporciones:

13 – 2 = 16 - = - 1

EN FORMA GENERAL:

a - b = c – d

Luego:

Completa las siguientes proporciones:

EN FORMA GENERAL

210

420 =

====5

94

18

dc

ba=

Proporción Aritmética: Es comparar 2 ó más razones aritméticas.

Existe 2 tipos de P.A.

a – b = x – y ® P.A. Discreta

a – b = b – c ® P.A. Continua

a y c: antecedentes

b y d: consecuentes

Tratemos de buscar cocientes que den como

resultado 5.

R. Geométrica R. Geométrica

Proporción Geométrica: Es comparar 2 ó más razones geométricas.

a y c: antecedentes

b y d: consecuentes

a y d: extremos

b y c: medios

Existe 2 tipos de P.G.

® P.G. Discreta

® P.G. Continua

Algo más sobre proporciones.

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Clases Tipos

Discreta Continua

Proporción Aritmética

A – B = C – D “D” es cuarta diferencial de A, B y C

A – B = B – C “C” es tercera diferencial de A y B “B” media diferencial de A y C

Proporción Geométrica

“D” cuarta proporcional de A, B y C

C: Tercera proporcional de A y B B: Media proporcional de A y C

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En una proporción geométrica discreta los consecuentes son 2 y 7 hallar el 1er. antecedente. Si los antecedentes suman 90. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.A.

2. En una proporción geométrica continua se sabe que A = 8 y B = 4. Hallar la tercera proporcional. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

3. Coloca verdadero o falso: a. P.G. es comparar razones Aritmética ( ) b. P.A. es comparar razones geométricas( ) c. P.G. es comparar R. Geométricas ( )

4. El producto de los extremos de una proporción

geométrica es 12; hallar el producto de los cuatros términos. Rpta. ____________________

5. En una proporción aritmética se sabe que los extremos son 10 y 2 hallar la media diferencial. Rpta. ____________________

6. Relaciona la correcta: A) P. Geométrica ¨ Razón Aritmética B) P. Aritmética ¨ R. Geométrica

7. En una proporción aritmética, continua, se sabe

que los extremos son 10 y 4. Hallar media diferencial. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.

8. Marca con un aspa la respuesta correcta: En una proporción geométrica continua: a. Los cuatros términos son iguales ( ) b. Los cuatro términos son diferentes ( ) c. Los medios son iguales ( )

9. Completa:

Si:

a, c : _________________ b, d : _________________ a, d : _________________ b, c : _________________

10. Si:

y A + B + C = 18 Hallar: “B” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

11. Si: ; además:

A x C = 10. Hallar: A x B x B x C a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) N.A.

12. Si: . Hallar la media proporcional:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.A.

13. En una proporción geométrica continua la suma

de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional.

a) 18 b) 24 c) 32 d) 36 e) 30

14. En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 405. El primer término excede al último en 315 unidades. Halle la media proporcional.

a) 12 b) 30 c) 35 d) 40 e) N.A.

DC

BA=

CB

BA=

dc

ba=

3C

2B

4A

==

CB

BA=

8B

B2=

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SESION 06: PROMEDIOS

MEDIA ARITMÉTICA Veamos si este joven

aprobó matemática

Luego: Así: Dados los Nº a1, a2, a3 … an

Ma =

Hallar la media aritmética de 2, 4, 6.

MA = MA =

MEDIA GEOMÉTRICA

Observa el siguiente ejemplo:

Supongamos que tomemos los números 1, 3, 9. Hallar MG

Þ MG =

Así: a1, a2, a3, a4, … an

MG =

Hallar MG de 2, 4, 8

MG = MG =

MEDIA ARMÓNICA

3,10331

3091012

==++

na...aaa n321 ++

3++

3279x3x1 33 ==

n m321 a...a.a.a

xx

Trimestre

1º 2º 3º

Media aritmética se halla sumando todos los números y dividendo entre la cantidad de términos.

Para dos números

M(a,b) = 2ba +

Son 3 números

De multiplica los números

Para hallar la Media Geométrica se multiplica todos los Nºs y se extrae la raíz cuyo índice radical es igual Nº de términos.

Ahora nos toca practicar

Para dos números

MG = 2 b.a

Bernabé

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MA > MG > MH

(MG)2 = MA x MH

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Coloca (V) ó (F) según convenga

A) MA < MH ( ) B) MG > MA ( ) C) MA > MG > MH ( )

2. Si la MA x MH = 100 ¿Cuánto vale MG? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) N.A.

3. Hallar la media armónica de 2 y 4. a) 16/7 b) 16/6 c) 16/8 d) 10/2 e) N.A.

4. Si: MG = 10 y MH = 20 ¿Cuánto vale MA? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

5. Hallar MG de 4 y 9. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.

6. Juan obtuvo en el 1º trimestre 12 en matemática, en el 2º trimestre 14 y en el último 16, ¿Cuál fue su promedio? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) N.A.

7. Coloca > ó < para que la proposición sea correcta: A) MA ______ MH

B) MG ______ MH C) MG ______ MA

8. Marque lo correcto:

A) MA = 20, MG = 10, MH = 50 ( ) B) MA = 25, MG = 10, MH = 4 ( ) C) MA = 30, MG = 40, MH = 30 ( )

9. Hallar la media aritmética de 100 y 4. a) 62 b) 52 c) 42 d) 12 e) N.A.

10. Hallar MG de 4 y 49 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.

11. Une lo correcto:

A) MG ¨

B) MA ¨

C) MH ¨ 12. Hallar la MH de 2, 12

a) 48/3 b) 48/14 c) 12/6 d) 1/2 e) N.A.

13. El producto de la media armónica y la media aritmética de 2 números enteros es igual al triple de la media geométrica de ellos. Hallar el producto de los números.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 14. Si MA x MH de A y B = 196 y MA x MG de A y B

es 245. ¿Cuál es la diferencia entre A y B? a) 25 b) 24 c) 23 d) 2 e) 21 15. Halle el promedio geométrico de 4, 8, 16 y 1/32

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.A.

Bibliografía • Coveñas, N. (2007), 550 Pág. Matemática 3°, Lima – Perú,

Editorial COVEÑAS S.A.C. Impreso en los talleres gráficos QUEBESOR WORLD PERÚ S.A.

• Rojas, A. (2009), 447 Págs. Matemática 3°, Lima – Perú. Editorial San Marcos.

• Recursos Didácticos para secundaria: https://recursosdidacticos.org/

• Separatas adicionales: https://www.cyberdocentes.com/separatas

-trilce-tercer-grado-secundaria/

2ba +

baab2+

b.a

Para “n” términos:

MH = n21 a1...

a1

a1

n

+++

Para dos términos

MH = baab2+

Algo más sobre promedios

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