razlaganje racionalnih funkcija na elementarne razlomke

Razlaganje prave racionalne funkcije na elementarne

razlomkeDr Špiro Gopčević

Agenda

• Prava racionalna funkcija • Razlaganje racionalne funkcije na elementarne razlomke• Slučajevi razlaganja racionalne funkcije na elementarne

razlomke– Nule polinoma realne i jednostruke– Nule polinoma kompleksne i jednostruke– Nule polinoma realne i višestruke– Nule polinoma kompleksne i višestruke

Neautorizovani tekst. 2

Definicija prave racionalne funkcije

• Razlomljena racionalna funkcija - funkcija oblika f(x)=P(x)/Q(x)gde su i P i Q algebarski polinomi

• Prava racionalna funkcija – razlomljena racionalna funkcija kod koje je stepen (P) < stepen(Q)

• Neprava racionalna funkcija – razlomljena racionalna funkcija kod koje je stepen (P) ≥ stepen(Q) – Deobom polinoma P sa polinomom Q dobija se

S(x) – cela racionalna funkcija (polinom)R/Q – prava racionalna funkcija

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xS x

Q x Q x= +


Razlaganja racionalne funkcije na elementarne razlomke

• Razlaganje prave racionalne funkcije R/Q na elementarne razlomke zavisi od nula polinoma Q u imeniocu.

• Poznavanje nula polinoma Q omogućava nam da uradimo faktorizaciju polinoma Q

• Nule polinoma u imeniocu:1. Realne i jednostruke 2. Kompleksne i jednostruke 3. Realne i višestruke4. Kompleksne i višestruke


• Prava razlomljena racionalna funkcija može se prikazati u obliku zbira elementarnih (parcijalnih) razlomaka, čiji su imenioci faktori polinoma Q(x)


2

1 1

( ) ( ) ( )k l

r mi i

n k l lk l

Q x a x x x p x q= =

= − + +∏ ∏

1 1

2r m

k lk l

i i n= =

+ =∑ ∑

Razlaganje prave racionalne funkcije

• Neka je f(x)=R/Q prava racionalna funkcija gde su polinomi R i Q relativno prosti bez zajedničkih korena:– Ako su koreni polinoma Q jednostruki i realni tada je

– realne konstante


1 2

1 2 1 2

( ) ( )...

( ) ( )( )...( ) ( ) ( ) ( )n

n n

AA AR x R x

Q x x x x x x x x x x x x x= = + + +

− − − − − −

, 1, 2,...,iA i n=

Nule polinoma u imeniocu:realne i jednostruke

2 2

0 10 2 ( ) ( ).

1 1 2 1

A B Ax A B x A Bx x A B B

+ = =+ + + −⇔ = ⇔ ⇔ − − − = = −

i

( )( )=− − +2

2 2Razmotrimo racionalnu funkciju .

1 1 1x x x

( )( )= = +− − + − +2

Treba naci brojeve i takve da

2 2 .

x 1 1 1 1 1

A B

A Bx x x x

Primer

+ −= + ⇔ = +− − + − − + + −2 2

Izracunaj ove brojeve na sledeci nacin

2 2 ( 1) ( 1)x 1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

A B A x B xx x x x x x x

= −− − +2

Rezultat razlaganja racionalne funkcije na elementarne razlomke je

2 1 1.

x 1 1 1x x

Da bi dobili jednačine za A iBupotrebljavamo činjenicu da su dva polinoma jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti isti.

Nule polinoma u imeniocu:realne i jednostruke


– Ako su koreni polinoma jednostruki i parovi konjugovano kompleksnih brojeva


2 2 21 1 2 2

1 1 2 22 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )( )...( )

...( ) ( ). ( )

m m

m m

m m

R x R x

Q x x p x q x p x q x p x q

M x NM x N M x N

x p x q x p x q x p x q

= =+ + + + + +

++ ++ + ++ + + + + +

2m n=

Nule polinoma u imeniocu:kompleksne i jednostruke

=− − + +

++ +

3 2

2

3 3Racionalna funkcija ima clan tipa

1 ( 1)( 1)

1

x x x x

Mx Nx x

+ + − + += + ⇔ = +− + + − − − + + + + −

2

3 2 3 2 2

3 3 ( )( 1) ( 1)1 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

Mx N A Mx N x A x xx x x x x x x x x x x

+ + + − + −=− −

2

3 3

3 ( ) ( )1 1

M A x A N M x A Nx x

Primer

3 2

Hence

3 1 2

x 1 1 1x

x x x+= −

− − + +

+ =⇔ + − = − =

0

0

3

M A

A N M

A N

= −⇔ = − =

1

2.

1

M

N

A

Da bi dobili ove jednačine upotrebljavamo činjenicu da su dva polinoma jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti isti.

Nule polinoma u imeniocu:kompleksne i jednostruke


– Ako su koreni polinoma Q višestruki i realni


1 2

1

1 1

2

2 2

1 2

1 21

1 1 1

1 21

2 2 2

1 21

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...( )

...( ) ( )

... ...( ) ( )

...( ) ( )

r

r

r r

i i ir

i

i i

k

i i

i

i ir r r

R x R x

Q x x x x x x x

AA A

x x x x x x

BB B

x x x x x x

MM B

x x x x x x

−

−

−

= =− − −

+ + + +− − −

+ + + + +− − −

+ + +− − −

1

r

kk

i n=

=∑

Nule polinoma u imeniocu:realne i višestruke

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )

2

23 2

2 2

2 3 2

4 4 4

1 1 11

1 1 1 1 4 4 4

11 1

x x A B Cx x x x xx

A x x B x C x x xx x xx x

+ − = + + ⇔+ − − + −+

+ − + − + + + −=+ − −− +

( ) ( )( )( )

2 2

2 3 2

2 4 4 411 1

A C x B C x A B C x xx x xx x

+ + + − − + + −⇔ =+ − −− +

4

2 4

4

A C

B C

A B C

+ =⇔ + =− − + = −

( )( )

( )

+ − + −=+ − − − +

+ ++ −+

2 2

23 2

2

4 4 4 4 4 4Racionalna funkcija s

elementarne razlomke tipa

e razlaze na1 1 1

.1 11

x x x xx x x x x

A B Cx xx

Primer

3

2

1

A

B

C

=⇔ = = ( )

+ − = + ++ − − + −+

2

23 2

4 4 4 3 2 1Dobijamo .

1 1 11

x xx x x x xx

Izjednačavamo koeficijente brojioca.

Nule polinoma u imeniocu:realne i višestruke


• Ako su koreni polinoma višestruki i parovi konjugovano kompleksnih brojeva


1 22 2 21 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...( ) mii im m

R x R x

Q x x p x q x p x q x p x q=

+ + + + + +

1

2m

ll

i n=

=∑

1 1

1 11 1 1 11 1 2 2

12 2 21 1 1 1 1 1

1 1 2 212 2 2

... ...( ) ( ) ( )

...( ) ( ) ( )

l l

m m

m m

i i

i i

m mm m m mi i

i im m m m m m

M x NM x N M x N


M x NM x N M x N


−

−

++ += + + + + ++ + + + + +

++ ++ + ++ + + + + +

Nule polinoma u imeniocu:kompleksne i višestruke

( )( )

( )

+ − + −=− + − + − − +

+ ++ +− ++

4 2 4 2

25 4 3 2 2

1 1 2 22 22

2 3 2 3 daje kod razlaganja

2 2 1 1 1

izraz 1 11

x x x x x xx x x x x x x

M x N M x NAx xx

Primer

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )

+ ++ + =− ++

+ + + − + + + −

− +

1 1 2 22 22

22 21 1 2 2

22

1 11

1 1 1 1

1 1

M x N M x NAx xx

A x M x N x M x N x x

x x

( )

= = = =

+ − += = + +− + − + − − ++

1 2 2

4 2

1 25 4 3 2 22

Proracunom dobijaju se vrednosti koeficijenata 1,

2 3 1 1i 0. Imamo

2 2 1 1 11

M N M A

x x x x xN

x x x x x x xx

Nule polinoma u imeniocu:kompleksne i višestruke


• Prava racionalna funkcija prikazana preko zbira elementarnih razlomaka

Razlaganje racionalne funkcije na elementarne razlomke

1 21

1 1 2 22 2 1 2

( , )

( )...

( ) ( ) ( ) ( )

...( ) ( )

kk k

a

m mm m

p q

AA AR x

Q x x a x a x a

M x NM x N M x N

x px q x px q x px q

−

−

= + + + +− − −

++ ++ + ++ + + + + +

∑

∑


razlaganje racionalnih funkcija na elementarne razlomke

Documents