REA-solver - Verkkopohjainen työkaluDEA- ja REA-perusteiseen

tehokkuusvertailuun

Teknillinen korkeakouluSysteemianalyysin laboratorioMat-2.4108 Sovelletun matematiikan erikoistyötReda Guer� 65074W22. joulukuuta 2009

Sisältö1 Johdanto 2

2 Tehokkuusanalyysi 22.1 Tehokkuusanalyysin metodiikka . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Tunnuslukujen laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 DEA-tehokkuus ja tehokkuusluku . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Sijaluvun vaihteluväli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Parivertailu ja dominanssi . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Laskentaohjelmisto 93.1 Taustaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Laskentaympäristön arkkitehtuuri . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Laskentatyökalun toimintaperiaate . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Päätöksentekoyksikköjä kuvaavan aineiston syöttäminen 103.3.2 Painoinformaation kuvaaminen . . . . . . . . . . . . . 113.3.3 Laskentatulosten tarkastelu . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Työkalun laskentakyky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Esimerkki - Sairaaloiden tehokkuusvertailu 164.1 Aineisto ja rajoitukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Tulokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Yhteenveto ja pohdinnat 20

1 JohdantoTässä työssä esitellään verkkopohjainen tehokkuuslaskentatyökalu, joka las-kee syötetyn panos- ja tuotosaineiston pohjalta tehokkuuteen liittyviä tun-nuslukuja vertailuyksiköille. Yleisesti tehokkuudella tarkoitetaan yksikön ky-kyä aikaansaada tuotoksia sen käyttämillä panoksilla. Tehokkuusanalyysinmenetelmistä työssä esitellään DEA (Data Envelopment Analysis) (Charneset al. 1978), jossa lasketaan yksikköä koskeva tehokkuusluku sekä REA (Ratio-Based E�ciency Analysis), jonka tunnusluvuista kuvataan sijalukujen vaih-teluväli ja dominanssit (Salo, Punkka 2009).

Työ on jäsennelty seuraavasti. Luvussa 2 esitellään lyhyesti tehokkuusana-lyysin keskeisin metodiikka esimerkkien avulla. Luvussa 3 kuvataan tehok-kuusanalyysin tueksi kehitetyn PHP-pohjaisen laskentaohjelman arkkiteh-tuuri sekä toiminta. Luvussa 4 käytetään esimerkkiaineistoa, jolle ohjelmanlaskemat tehokkuustulokset esitellään. Luvussa 5 analysoidaan ohjelman toi-mivuutta sekä pohditaan mahdollisia kehityssuuntia.

2 TehokkuusanalyysiOrganisaatioita voidaan tutkia sen perusteella, mitä tuotoksia ne saavataikaan käyttämillään resursseilla. Monesti halutaan analysoida, kuinka te-hokkaasti tietty organisaatio toimii muihin verrattuna. Eri organisaatioidentehokkuuksia voidaan vertailla tehokkuusanalyysin menetelmillä. Lähtökoh-tana ovat organisaatioiden käyttämät tuotokset ja panokset, joita voi ollauseita. Usein hankaluutena on se, että tarkasteltavat panokset ja tuotokseteivät ole keskenään yhteismitallisia. Tämän takia on kehitetty eri menetel-miä, joista DEA lienee tunnetuin.

2.1 Tehokkuusanalyysin metodiikka

DEA-menetelmässä vertailtavien yksiköiden oletetaan toimivan riittävän sa-mantyyppisellä tehtäväkentällä samoin tavoittein. Tehokkuuteen vaikuttavientuotosten ja panosten tulee olla kaikkien yksiköiden kohdalla vertailtavissasamoilla tuotos- ja panosmittareilla (Golany ja Roll, 1989). DEA-menetelmiäon käytetty eri aloilla. Esimerkiksi Jacobs (2001), Magnussen (1996) ja Bjorn

2

et al. (2003) tutkivat sairaaloiden tehokkuutta DEA:n avulla; Abbot jaDoucoliagos (2003) sekä Kao ja Hung (2005) keskittyvät analysoimaan yliopis-tojen tehokkuutta; Colbert et al. (1999) vertailevat yhdysvaltalaisten MBA-ohjelmien tehokkuuksia ja Talluri ja Narasimhan (2004) arvioivat ja ratio-nalisoivat tavarantoimittajia DEA:an perustuen.

Tehokkuutta mallinnetaan tyypillisesti tuotosten kokonaisarvon ja resurssieneli panosten kokonaisarvon suhteella

Tehokkuus =Tuotosten arvoPanosten arvo . (1)

Tietyin oletuksin kokonaisarvoa voidaan mitata yksittäisten tuotosten taipanosten painotetulla summalla, jolloin kokonaisarvot saadaan additiivises-ta esityksestä (Keeney, Rai�a 1976). Additiivisen mallin panospainot kuvaa-vat DEA:ssa eri panosten arvoja suhteessa toisiinsa ja tuotospainot tuotos-ten arvoja suhteessa toisiinsa. Oletetaan, että tuotosten lukumäärä on N

ja panosten lukumäärä M . Olkoon tuotoksille määritelty painotus u =(u1,..., uN ) ja panoksille vastaavasti painotus v = (v1, ..., vM ). Tällöin un ku-vaa tuotoksen n yhden tuotosyksikön arvoa suhteessa muihin tuotoksiin japuolestaan vm panoksen m arvoa suhteessa muihin panoksiin. Olkoon esimer-kiksi yliopistojen tehokkuusanalyysissa mukana kaksi eri tuotosta, tohtorinja maisterin tutkinto. Jos näiden välillä arvioidaan, että tohtorin tutkinto onyhtä arvokas kuin 3 maisterin tutkintoa, saadaan tuotosten painovektoriksiu = (u1, u2) = (utohtori, umaisteri) = (3, 1).

Näillä merkinnöillä yksikön k tehokkuus Ek voidaan määritellä

Ek(u, v) =∑

n unynk∑m vmxmk

, (2)

jossa suhteelliset painot, tuotokset ja panokset oletetaan ei-negatiivisiksi eliun ≥ 0, vm ≥ 0, ynk ≥ 0 sekä xmk ≥ 0. Tehokkuusluvun Ek(u, v) olete-

3

taan kaikilla painoilla olevan aidosti positiivinen ja ylhäältä rajoitettu. Tässäasetelmassa yksikön tehokkuus muuttuu, kun painotus muuttuu.

Useissa tehokkuustarkasteluissa tuotosten ja panosten painovektoreita ha-lutaan rajoittaa jotenkin, koska kaikki painovektorit eivät välttämättä olemielekkäitä. Rajoittaminen voidaan tehdä lineaaristen rajoitusten avulla pyy-tämällä preferenssiväittämiä. Näiden elisitointiin on kehitetty monia me-netelmiä (Salo, Hämäläinen 1992, 2001). Preferenssit voidaan kuvata jokotarkan tai epätäydellisen informaation muodossa. Esimerkki tarkasta in-formaatiosta voisi olla �u2 = 3u1� eli �1 yksikkö tuotosta 2 on niin ar-vokas kuin kolme yksikköä tuotosta 1� ja epätäydellisestä informaatiosta�v1 ≤ v3 ≤ 4v1� eli �1 yksikkö panosta 3 on vähintään niin arvokas kuin 1yksikkö panosta 1, muttei arvokkaampi kuin neljä yksikköä panosta 1�. Väit-teistä muodostetut lineaariset rajoitteet rajaavat sekä tuotosten että panos-ten painovektoreiden käyvät alueet Su ja Sv (Salo, Punkka 2009, Podinovski2001, 2005).

Eräs tapa muodostaa rajoitukset on pyytää usealta asiantuntijalta tarkatpainot ja muodostaa näiden pohjalta käypä painoalue. Tarkkoja arvoja voi-daan myös nimittää arvostuksiksi. Usein päätöksentekijöitä on enemmänkuin yksi, jolloin tehokkuutta laskettaessa voidaan huomioida kaikki mahdol-liset arvostukset siten, että tehokkuus lasketaan joko yksittäisen päätöksen-tekijän arvostusvektoreiden perusteella tai vaihtoehtoisesti yhdistellen useam-man päätöksentekijän arvostuksia. Joukkoa, joka sisältää kaikki mahdol-liset useamman päätöksentekijän arvostuksista muodostetut lineaarikombi-naatiot, kutsutaan käyväksi arvostusjoukoksi, joka on vastaava kuin suorienlineaaristen rajoitusten tapauksessa määrätty käypä alue {Su × Sv}.

2.2 Tunnuslukujen laskenta

Perinteisessä DEA-tehokkuusanalyysissa kullekin yksikölle pyritään etsimäänsellaiset painokertoimet, joilla sen tehokkuus on mahdollisimman korkea mui-hin yksiköihin verrattuna. Uusista menetelmistä (Salo, Punkka 2009) tuo-daan tässä työssä esille kaksi tehokkuutta kuvaavaa tunnuslukua, sijalukujenvaihteluväli ja dominanssi.

4

2.2.1 DEA-tehokkuus ja tehokkuusluku

Perinteisessä DEA-mallissa etsitään painovektoreita, jotka maksimoivat tar-kasteltavan yksikön k tehokkuuden ilman päätöksentekijöiden preferenssienmääräämiä rajoituksia tai arvostuksia. Tällöin kullekin yksikölle etsitäänpainokertoimet, joilla se on mahdollisimman tehokas suhteessa muihin ver-tailuyksiköihin. Maksimitehokkuutta nimitetään yksikön tehokkuusluvuksi.Yksikkö, jolle löytyy tuotosten ja panosten painokertoimet, joilla se on te-hokkaampi tai vähintään yhtä tehokas kuin mikä tahansa muu tarkastelun-alainen yksikkö on DEA:n mielessä tehokas. Tehokkaille yksiköille tehok-kuusluku normeerataan jokaisessa pisteessä (u, v) ykköseksi. Ei-tehokkaidenyksiköiden tehokkuusluku on tällöin nollan ja ykkösen välillä ja kuvaa sitä,miten tehokas kyseinen yksikkö on sille suotuisimmilla painoilla suhteessatehokkaimpaan.

Merkitään painoilla (u, v) tehokkainta yksikköä E∗(u, v). Tällöin yksikköä k

koskeva tehokkuusluvun maksimointitehtävä määritellyt lineaariset rajoituk-set huomioiden on muotoa

maxu∈Su,v∈Sv

Ek(u, v)E∗(u, v)

, (3)

jossa nyt siis 0 < Ek(u, v) ≤ 1. Laskennan helpottamiseksi tehtävä kannat-taa saattaa lineaariseen muotoon ( ks. mm. Salo, Punkka 2009).

Kuvassa 1 on esitetty kolmen eri yksikön tehokkuuksien arvot kahden ei-kiinnitetyn tuotospainon u1, u2 tapauksessa, kun panospainojen arvot onkiinnitetty. Tarkasteltavassa alueessa yksikkö tuotosta 1 on vähintään yhtäarvokas kuin yksikkö tuotosta 2, mutta ei kuitenkaan arvokkaampi kuin 3yksikköä tuotosta 2. Saadaan siis u2 ≤ u1 ≤ 3u2.

Huomataan, että yksikkö 3 on tehokkain vasemmalla, mutta oikeassa reunas-sa sen tehokkuus on huonoin. Yksikkö 1 on tehokkain oikeassa reunassa, mut-ta huonoin vasemmalla puolella. Yksikkö 2 ei ole tehokkain missään pisteessä,

5

Kuva 1: Tehokkuudet kolmen esimerkkiyksikön tapauksessa.

mutta se ei myöskään millään painotuksella ole niin paljon tehokkainta yk-sikköä heikompi kuin muut heikoimmassa tapauksessa. Vain lähellä vaihtelu-välin keskikohtaa se on lyhyellä välillä yksiköistä tehottomin, kun muuallayksikkö sijoittuu toiseksi. Määritelmän valossa esimerkin yksiköt 1 ja 3 ovatDEA-tehokkaita. Yksikkö 2 on DEA:n mielessä tehoton.

2.2.2 Sijaluvun vaihteluväli

Tarkasteltaville yksiköille voidaan laskea tehokkuus missä tahansa tuotos-ja panospainojen määräämässä pisteessä. Täten yksiköt myös voidaan missätahansa pisteessä järjestää tehokkuuksien perusteella. Yksikön k järjeste-lyn mukaista sijoitusta kutsutaan yksikön sijaluvuksi ja se vaihtelee pai-nokertoimien muuttuessa. Sijalukujen vaihteluväli kuvaa sitä, kuinka altisyksikön sijan vaihtelu on suhteessa painokertoimien muutokseen. Yksikkö

6

k saavuttaa parhaan (huonoimman) mahdollisen sijaluvun niillä painoker-toimilla, joilla se on mahdollisimman montaa muuta yksikköä tehokkaampi(tehottomampi) tai vähintään (enintään) yhtä tehokas. Merkitään yksikönpainoilla u ja v saavuttamaa sijalukua rk(u, v). Merkitään puolestaan paras-ta mahdollista sijalukua rmin

k = minu,v rk(u, v) ja huonointa mahdollistasijalukua rmax

k = maxu,v rk(u, v). Tällöin yksikön sijalukujen vaihteluväliävoidaan merkitä

rk(u, v) ∈ [rmink , rmax

k ], u ∈ Su, v ∈ Sv. (4)

Parhaan ja huonoimman mahdollisen sijaluvun etsivä optimointitehtävä voi-daan esittää lineaarisena sekalukuohjelmointiongelmana ( Salo, Punkka 2009).

Kuvassa 2 on esitetty tehokkuudet neljälle yksikölle. Tuotospainot vaihtele-vat siten, että tuotos 1 on vähintään niin arvokas kuin neljännes tuotosta2 ja toisaalta enintään yhtä arvokas kuin tuotos 2. Kuvasta nähdään, ettäyksikkö 1 sijoittuu vasemman pystyakselin kohdalla huonoiten saavuttaensijaluvun neljä ja toisaalta oikean pystyakselin kohdalla parhaiten saavut-taen sijaluvun yksi. Niinpä sen sijalukujen vaihteluväli on [1, 4]. Yksikön 2tehokkuus on parhaimmillaan sijalla 3 vasemmassa reunassa, mutta muu-toin huonoin. Niinpä yksikön 2 sijalukujen vaihteluväli on [3, 4]. Yksikölle 3saadaan puolestaan väli [2, 3] ja yksikölle 4 väli [1, 3]. Tästä voidaan päätel-lä, että yksikön 1 sijaluku on herkkä painokertoimien suhteen muutokselle.Toisaalta esimerkiksi yksikön 2 tehokkuusluku ja sija vaihtelee vain hiemaneri painotuksilla. Yksiköt 1 ja 4 voivat saavuttaa sijan 1, joten ne ovat DEA-tehokkaita.

2.2.3 Parivertailu ja dominanssi

Tutkitaan kahden yksikön k ja l tehokkuuksia. Tarkastellussa painokertoi-mien joukossa on kiinnostavaa tarkastella, saavuttaako toinen yksiköistä suu-remman tai yhtä suuren tehokkuusluvun kaikilla sallituilla painokertoimillau, v. Jos yksikön k tehokkuusluku Ek on vähintään yhtä suuri kuin yksikönl tehokkuusluku El kaikilla ja suurempi joillain u, v ∈ {Su, Sv}, sanotaan

7

Kuva 2: Sijaluvut neljän esimerkkiyksikön tapauksessa.

yksikön k dominoivan yksikköä l (merkitään DMUk  DMUl). Olkoontehokkuuksien suhdeluku Dkl(u, v), jolloin se on muotoa

Dkl(u, v) =Ek(u, v)El(u, v)

. (5)

Jos Dkl on kaikilla u, v vähintään yksi ja joillain suurempi, yksikkö k domi-noi yksikköä l. Mahdollinen dominanssi voidaan selvittää minimoimalla Dkl.Jos tuloksena on yksi, niin tämän jälkeen lauseke tulee vielä maksimoida.Jos maksimoinnin tulos on suurempi kuin yksi, dominanssi on olemassa.Minimointitehtävän optimi kuvaa sitä, kuinka monta prosenttia yksikön k

8

tehokkuus on vähintään yksikön l tehokkuudesta. Jos esimerkiksi minDkl =

1.3, yksikkö k dominoi yksikköä l ja sen tehokkuus on vähintään 30% suurem-pi kuin yksikön l tehokkuus. Dominanssitarkasteluihin liittyvät minimointi-ja maksimointitehtävät voidaan ratkaista lineaarisella ohjelmoinnilla (Salo,Punkka 2009).

Kuvasta 2 voidaan päätellä myös sijalukuesimerkissä tarkasteltujen neljänyksikön dominanssirakenteet. Koska yksiköt 1, 3 ja 4 voivat tehokkuutensapuolesta olla parhaita joillakin painoilla, ne eivät voi olla dominoituja. Sensijaan yksikkö 2 sijoittuu kaikilla mahdollisilla painoilla huonommin kuinyksiköt 3 ja 4. Täten nämä yksiköt dominoivat sitä eli DMU3 Â DMU2 jaDMU4 Â DMU2.

3 Laskentaohjelmisto

3.1 Taustaa

REA-tarkasteluja on aiemmin toteutettu TKK:n Systeemianalyysin labora-toriossa esimerkiksi Kangaspunnan (2007) ja Leppäsen (2007) erikoistöidenyhteydessä. Niissä tarkastelun kohteena olivat Teknillisen korkeakoulun erikoulutusohjelmat. Näissä töissä laskenta on suoritettu räätälöidyllä taulukko-laskentasovelluksella, eikä se sovellu yleisesti REA-analyyseihin. Tämän työnyhteydessä on luotu PHP-kielinen geneerinen web-työkalu, joka laskee syöte-tyn aineiston ja painorajoitusten perusteella tehokkuusluvut, sijalukujen vaih-teluvälit sekä dominanssit. Laskennassa ohjelmisto hyödyntää lineaarisiinohjelmointitehtäviin soveltuvaa LP_solve-ohjelmakoodin rajapintaa.

3.2 Laskentaympäristön arkkitehtuuri

Ohjelman suunniteltu arkkitehtuuri on esitetty kuvassa 3. PHP-kielellä luo-dun ohjelman etuna on, että käyttäjä voi tehdä tehokkuusanalyysejä omaltakoneelta käsin lataamalla ohjelman verkkoselaimeen keskusserveriltä. Käyt-täjä kirjautuu annetuilla tunnuksilla, ja hänen toimintaa sivustolla voidaanrajata ja hallita sessionhallinnan avulla. Käyttäjän määrittelemä tehtävärajoituksineen ratkaistaan serverillä. Tehokkuusanalyyseihin liittyviä kuvaa-jia piirretään GnuPlot-rajapinnan avulla. Käyttäjälle lähetetään tulostuk-sina tulokset ja kuvaajat. MySQl:n avulla käyttäjän syöttämä aineisto voi-

9

daan tallettaa tietokantaan myöhempiä tarkasteluja ja esimerkiksi tilastoin-tia varten.

Kuva 3: Tehokkuustyökalun toimintaympäristön arkkitehtuuri.

3.3 Laskentatyökalun toimintaperiaate

Työkalu rakentuu siten, että kirjautuessa käyttäjä ohjataan ohjelmiston etu-sivulle. Tämä on esitetty kuvassa 4. Etusivulla käyttäjälle kuvataan tehok-kuusanalyysin tausta ja menetelmät lyhyesti. Käyttäjä siirtyy laskentaosioonsivun alareunasta.

3.3.1 Päätöksentekoyksikköjä kuvaavan aineiston syöttäminen

Laskennassa on kolme vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa käyttäjää pyyde-tään syöttämään päätöksentekoyksiköiden lukumäärä, yksikköjä kuvaavienpanosten ja tuotosten lukumäärät sekä panos- ja tuotosaineistoihin liittyvätarvot. Aineistot syötetään siten, että kunkin yksikön luvut ovat molemmis-sa tapauksissa omalla rivillään. Seuraavaksi käyttäjä etenee sivulle, jossa

10

Kuva 4: Laskentatyökalun etusivu.

määritellään painokertoimia koskevat rajoitukset. Syöttösivun toiminta onesitetty kuvassa 5.

3.3.2 Painoinformaation kuvaaminen

�Preferenssien mallintaminen�-sivulla valitaan tapa, jolla kuvataan preferenssi-informaatiota. Vaihtoehtoja ovat (i) ei-preferenssi-informaatiota, jolloin panos-ten ja tuotosten painokertoimille ei aseteta rajoituksia, (ii) tarkka preferenssi-informaatio, jolloin preferenssit kuvataan tarkat suhteelliset painot sisältävienarvostusvektoreiden avulla sekä (iii) epätäydellinen preferenssi-informaatio,jolloin preferenssit kuvataan painokerrointen suhteiden vaihteluväleinä eli li-neaarisin painorajoittein.

Jos käyttäjä valitsee laskennan ilman rajoituksia, hän voi siirtyä suoraantoiselta sivulta tarkastelemaan eri tehokkuusmittareiden yksiköille antamia

11

Kuva 5: Aineiston syöttö.

tuloksia valitsemalla tehokkuustunnusluvun, jota haluaa tarkastella listaltaja painamalla �Tarkastele tuloksia�. Ennen tätä käyttäjä voi vielä varmistaasivun ylälaidassa olevasta palkista �Tarkastele syötteitä�, mitä hän on lomak-keen ensimmäisellä sivulla syöttänyt tehtävän perusaineistoksi. Painikkeenkautta avautuu uusi ikkuna, jossa syötetty aineisto on esitetty taulukoissa.Asetelma laskentavaihtoehdoista ilman rajoituksia on esitetty kuvassa 6.

Tarkan preferenssi-informaation tapauksessa annetaan arvostusvektoreidenavulla joukko painotuksia ja tehokkuustehtävät ratkaistaan niiden muodos-tamilla konvekseilla kombinaatioilla. Arvostusvektoreihin perustuvaa lähes-tymistapaa on kuvattu tarkemmin Leppäsen (2007) erikoistyössä.

Arvostusvektoritapauksessa ohjelmaan syötetään panosten ja tuotosten ar-vostusvektorien lukumäärä sekä itse vektorit riveittäin. Vektoreissa ainos-taan panos- ja tuotosvektoreiden komponenttien välisillä suhteilla on merki-tystä. Laskentavaihtoehdot arvostusvektoreiden tapauksessa on esitetty ku-vassa 7.

12

Kuva 6: Laskenta ilman rajoituksia.

Jos preferenssi-informaatio on epätäydellistä, painokertoimille saadaan asetet-tua suorat lineaariset rajoitukset. Voidaan esimerkiksi arvioida, että 1 tuotosyk:ta on 2-4 tuotosta yl:ää eli yk ≥ 2yl ja yk ≤ 4yl.

Epätarkan informaation tapauksessa käyttäjältä pyydetään panos- ja tuo-tospainovektoreille lineaarisia rajoituksia suoraan epäyhtälö- tai yhtälömuo-dossa. Jos eri panoksia on yhteensä M kappaletta, yhdelle riville tulee lukujaM + 1 kappaletta. Viimeinen luku kuvaa epäyhtälön merkkiä. Eri vaihtoeh-dot on esitetty taulukossa 1.

Taulukko 1: Epäyhtälön merkkiä kuvaava luku.Merkki Luku≤ -1= 0≥ 1

13

Kuva 7: Laskenta arvostuksilla.

Olkoon esimerkiksi eri panoksia 3 kappaletta ja niiden keskinäisille painoillerajoitukset 1 ≤ v1/v3 ≤ 3 ja v2/v3 = 1. Rajoitukset saadaan linearisoitua,jolloin saadaan 3 lauseketta. Rajoite-esimerkit ja niiden merkintätapa ohjel-maan on esitetty taulukossa 2.

Taulukko 2: Esimerkkirajoitteiden merkintä.Lineaarinen rajoite Merkintätapav1 − v3 ≥ 0 1 0 -1 1v1 − 3v3 ≤ 0 1 0 -3 -1v2 − v3 = 0 0 1 -1 0

Samaan tapaan kuin arvostusten kohdalla, lomakkeessa kysytään panos- jatuotosrajoitusvektorien lukumäärää sekä rajoituksia vektorimuodossa. Asetel-ma laskentavaihtoehdoista rajoituksien tapauksessa on esitetty kuvassa 8.

3.3.3 Laskentatulosten tarkastelu

Tulososiossa käyttäjä voi tarkastella tehokkuuslukuja, sijalukuja tai domi-nansseja. Jokainen näistä esitetään omalla sivullaan. Jos käyttäjä valitseetulostuskohteeksi tehokkuusluvut, siirrytään tulossivulle, jossa yksiköiden

14

Kuva 8: Laskenta rajoituksilla

tehokkuusluvut esitetään pylväsdiagrammissa. Sijalukujen tapauksessa lo-makkeessa siirrytään tulossivulle, jossa on esitetty graa�sesti yksikkökoh-taiset sijalukujen vaihteluvälit. Viimeinen tarkasteluvaihtoehto on pariver-tailu (dominanssit), jonka valitessaan käyttäjä ohjataan sivulle, jossa yk-sikköjen tehokkuuksia on verrattu pareittain ja mahdolliset dominanssit onesitetty taulukossa. Arvostusten tai rajoitusten tapauksessa tulossivuilla onmyös painikkeet, joista käyttäjällä on mahdollisuus tutkia syöttämäänsäpreferenssi-informaatiota.

3.4 Työkalun laskentakyky

Työkalun kannalta olennainen kysymys on se, kuinka laajoja tehtäviä sillävoidaan ratkaista. Ohjelmaa on käytetty normaalilla Mozilla Firefox-selaimella,jonka maksimilaskenta-aika on 30 sekuntia. Sivustoa on testattu eri kokoisillaaineistoilla ja on osoittautunut, että panos- ja tuotosmäärien kasvattaminenei merkittävästi vaikuta laskenta-aikojen pituuksiin. Sen sijaan vertailuyk-siköiden lisääminen vaikuttaa paljon sekä sijojen että dominanssien laskenta-aikoihin. Esimerkkiajon tulokset on esitetty taulukossa 3. Taulukossa K viit-

15

taa yksiköiden määrään, M panosten määrään ja N tuotosten määrään.

Taulukko 3: Laskentatyökalun kapasiteettitarkastelut.K M N DEA-tehokkuusluku Sijaluvut Dominanssit20 2 2 0.218s 1.195s 1.771s20 5 3 0.351s 1.393s 1.805s20 8 5 0.316s 1.067s 1.856s20 13 13 0.559s 1.270s 2.026s40 2 2 0.596s 9.728s 5.281s60 2 2 1.490s > 30s 12.386s60 5 3 1.983s > 30s 14.439s90 2 2 1.397s > 30s 29.238s

Taulukon perusteella nähdään esimerkiksi 20 yksikön tapauksessa, että laskenta-ajat pysyvät samassa suuruusluokassa kaikissa tapauksissa erilaisilla panos-ja tuotoskooilla. Sen sijaan yksiköiden määrän tuplaaminen 40:een nostaalaskenta-ajan noin 9-kertaiseksi sijalukujen ja 4-kertaiseksi dominanssien ta-pauksessa (dominansseja laskettaessa ratkaistavien tehtävien lukumäärä ne-linkertaistuu: ((2K)2−2K)/(K2−K) ≈ 4). Laskenta-aikojen selkeät kasvutsijalukujen tapauksessa johtuvat kokonaislukumuuttujien määrän kasvusta.Yksikkömäärillä 60 ja 90 ylitetään käytetyn selaimen maksimiajoaika 30sekuntia.

4 Esimerkki - Sairaaloiden tehokkuusvertailu

4.1 Aineisto ja rajoitukset

Seuraavassa esimerkissä (Cooper et al. 2007) vertaillaan 14 sairaalaan te-hokkuutta kahden panoksen ja kahden tuotoksen tapauksessa. Panoksinaovat lääkärit (x1) ja sairaanhoitajat (x2), tuotoksina hoidettujen (y1) jasisäänotettujen potilaiden (y2) määrät. Aineisto on taulukossa 4.

Olkoot nyt panosten painot v1 ja v2 sekä tuotoksille puolestaan u1 ja u2.Esimerkissä näille kertoimille on asetettu suhteelliset vaihteluvälit 0.2 ≤v2/v1 ≤ 5 ja 0.2 ≤ u2/u1 ≤ 5, joista saadaan 2 lineaarista rajoitetta sekä

16

Taulukko 4: Sairaaloiden panos- ja tuotosaineisto.Panokset Tuotokset

Lääkärit Hoitajat Hoidetut Otetutx1 x2 y1 y2

S1 3008 20980 97775 101225S2 3985 25643 135871 130580S3 4324 26978 133655 168473S4 3534 25361 46243 100407S5 8836 40796 176661 215616S6 5376 37562 182576 217615S7 4982 33088 98880 167278S8 4775 39122 136701 193393S9 8046 42958 225138 256575S10 8554 48955 257370 312877S11 6147 45514 165274 227099S12 8366 55140 203989 321623S13 134479 68037 174270 341743S14 21808 78302 322990 487539

panoksille että tuotoksille seuraavasti

0.2v1 − v2 ≤ 0

5v1 − v2 ≥ 0

0.2u1 − u2 ≤ 0

5u1 − u2 ≥ 0

4.2 Tulokset

Panos/tuotosaineisto sekä lineaariset rajoitukset syöttämällä saadaan lasket-tua sairaaloiden tehokkuus- ja sijaluvut sekä dominanssit. Sivuston tulosta-mat tehokkuusluvut on esitetty kuvassa 9.

Tehokkuuslukujen perusteella DEA-tehokkaita sairaaloita ovat 2, 3, 6 ja 10.

17

Kuva 9: Sairaaloiden tehokkuusluvut.

10 muuta sairaalaa ovat DEA:n mielessä tehottomia. Sairaaloiden sijalu-vut on esitetty kuvassa 10. Sen perusteella DEA-tehokkaista sairaaloista 10saavuttaa huonoimmillaan sijan 3, kun esimerkiksi tehokas sairaala 2 onhuonoimmillaan sijalla 7. Tehottomista sairaaloista yksikkö 9 esiintyy varsinhyvin saavuttaen sijalukujen vaihteluvälin [2, 5]. Sairaalat 4 ja 13 ovat salli-tuilla painokertoimilla kaksi huonointa yksikköä.

Sairaaloita koskevat parivertailut ja mahdolliset dominanssit on esitetty tau-lukossa 5. Taulukon perusteella nähdään, onko rivillä oleva yksikkö tehok-kaampi kuin sarakkeella oleva yksikkö kaikilla sallituilla painokertoimilla. Josnäin on, taulukossa ilmoitetaan kyseisellä paikalla, kuinka monta prosent-tia riviyksikkö on vähintään sarakeyksikköä tehokkaampi. Muutoin paikkaanmerkitään tähti. DEA-tehokkaita yksiköitä 2, 3, 6 ja 10 ei dominoi mikäänyksikkö. Huonoiten sijoittuvat yksiköt 4 ja 13 ovat kaikilla painoilla kaikkienmuiden paitsi toistensa dominoimia. Sijalukuanalyyseissa hyvin menestynytyksikkö 9 on myös parivertailuissa vahva, sillä sitä dominoi ainoastaan yk-

18

Kuva 10: Sairaaloiden sijalukujen vaihteluvälit.

sikkö 10.

19

Taulukko 5: Sairaaloiden parivertailu ja dominanssit.S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14

S1 * * * 31.6% * * 2.0% * * * * * 41.1% *S2 3.2% * * 35.9% 1.2% * 7.3% * * * 1.5% * 50.4% *S3 5.1% * * 57.6% 16.4% * 24.5% 14.6% * * 17.7% 7.5% 76.7% 5.0%S4 * * * * * * * * * * * * * *S5 * * * 15.9% * * * * * * * * 48.6% *S6 7.0% * * 54.8% 11.6% * 19.9% 12.5% * * 15.6% 3.1% 65.8% *S7 * * * 26.6% * * * * * * * * 38.3% *S8 * * * 30.9% * * 0.4% * * * * * 38.8% *S9 1.4% * * 42.3% 14.8% * 12.4% 3.5% * * 6.3% * 70.6% 1.3%S10 6.5% * * 55.9% 22.0% * 23.2% 13.4% 1.8% * 16.4% 6.3% 81.3% 7.7%S11 * * * 32.3% * * 1.4% * * * * * 40.3% *S12 * * * 46.7% * * 15.9% * * * 0.1% * 60.8% *S13 * * * * * * * * * * * * * *S14 * * * 15.7% * * * * * * * * 68.4% *

5 Yhteenveto ja pohdinnatTyössä on esitetty tehokkuusanalyysin menetelmiä ja kuvattu web-pohjainenohjelmisto, jonka avulla käyttäjä voi laskea CCR-DEA-tehokkuusluvut sekäREA:an perustuvat sijaluvut ja dominanssit. Ohjelmiston toimintaa on esi-telty visualisoimalla sen laskemia tuloksia 14 sairaalan esimerkkiaineistolle.

Ohjelman käytettävyyden kannalta keskeinen kysymys on, kuinka tehok-kaasti sillä voidaan ratkaista erikokoisia tehtäviä. Tehdyn vertailun pohjaltakäy ilmi, että laskenta-ajat kasvavat nopeasti yksiköiden määrän kasvaessa.Perusasetuksilla selaimen ohjelmalle antama suoritusaika ylittyy yksiköidenmäärän ollessa yli 50. Jatkokehityksessä tulee tutkia, onko ohjelmalla mah-dollisuus tehdä tehokkuusanalyyseja suuremmalle määrälle yksiköitä muut-tamalla laskentaa tai selainasetuksia.

Lisäksi jatkokehityksessä voitaisiin kiinnittää huomiota tulosten selkeäm-pään visualisointiin. Esimerkiksi yksiköiden välisten dominanssirakenteidenhahmottamista on mahdollista parantaa. Yksi tapa kuvata rakenteita on

20

kaavio, jossa kahden yksikön välistä dominanssia merkitään nuolella siten,että nuoli osoittaa dominoivasta yksiköstä dominoituun yksikköön. Dominoi-vat yksiköt sijoitetaan kaavion ylä- ja dominoidut yksiköt alaosaan. Tällöindominanssirakenteiden hahmottaminen helpottuu.

Ohjelmalle mahdollinen kehitysaskel olisi myös preferenssien selkeämpi elisi-tointi. Sivustolla voisi olla osio, jossa käyttäjällä on mahdollisuus antaa näke-myksiä panosten ja tuotosten suhteellisista arvostuksista. Eräs tapa olisipyytää käyttäjää valitsemaan referenssituotos ( -panos), johon muita tuo-toksia (panoksia) verrataan. Kysymyksenasettelu voisi tällöin olla �1 yksikköreferenssituotosta on yhtä arvokas kuin vähintään/enintään x yksikköä tuo-tosta y�. Ohjelma määrittelisi lineaariset rajoitteet käyttäjän vastausten pe-rusteella.

21

Viitteet[1] Abbot M., Doucouliagos C. (2003), The e�ciency analysis of Australian

universities: a data envelopment analysis, Economics of Education Re-view, 22(1), 89-97

[2] Bjorn E., Hagen T., Iversen T., Magnussen J. (2003), The E�ect ofActivity-Based Financing on Hospital E�ciency: A Panel Data Analysisof DEA E�ciency Scores 1992-2000, Health Care Management Science,6(4), 271-283

[3] Charnes A., Cooper W.W., Rhodes E., (1978) Measuring the e�ciencyof decision making units, European Journal of the Operational ResearchSociety, 2(6), 429-444

[4] Colbert A., Levary R., Shaner M. (2000), Determining the relative e�-ciency of MBA programs using DEA, European Journal of OperationalResearch, 125(3), 656-669

[5] Cooper W., Seiford L. Tone K. (2007), Data Envelopment Analysis, AComprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software, Springer Science

[6] Golany B., Roll Y. (1989), An application procedure for DEA, OmegaInternational Journal of Management Science, 17(3), 237-250

[7] Jacobs R. (2001), Alternative Methods to Examine Hospital E�ciency:Data Envelopment Analysis and Stochastic Frontier Analysis, HealthCare Management Science, 4(2), 103-115

[8] Kangaspunta J. (2007), Teknillisen korkeakoulun osastojen tehokku-usanalyysi, erikoistyö, http://www.sal.tkk.�/Opinnot/Mat-2.4108/e-kokoelma.html

[9] Kao C., Hung H. (2008), E�ciency analysis of university departments:an empirical study, Omega International Journal of Management Sci-ence, 36(4), 653-664

[10] Keeney, R.L., Rai�a, H. (1976), Decision with Multiple Objectives: Pref-erences and Value Trade-o�s, John Wiley & Sons, New York

22

[11] Leppänen S. (2007), Tehokkuusanalyysin käyttömahdol-lisuuksia yliopistoyksiköiden vertailussa, erikoistyö, TKK,http://www.sal.tkk.�/Opinnot/Mat-2.4108/e-kokoelma.html

[12] Magnussen J. (1996), E�ciency Measurement and the Operationaliza-tion of Hospital Production, Health Service Research, 31(1), 21-37

[13] Podinovski V. V. (2001), DEA models for the explicit maximization ofrelative e�ciency, European Journal of Operational Research, 131(3),572-586

[14] Podinovski V.V. (2005), The explicit role of weight bounds in modelsof Data Envelopment Analysis, Journal of the Operational ResearchSociety, 56(12), 1408-1418

[15] Salo A., Hämäläinen, R.P. (1992), Preference Assesment by ImpreciseRatio Statements, Operations Research, 40(6), 1053-1061

[16] Salo A., Hämäläinen R.P. (2001) Preference Ratios in MultiattributeEvaluation (PRIME) - Elicitation and Decision Procedures under In-complete Information, IEEE Transactions on Systems, Man & Cyber-netics, 31(6), 533-545

[17] Salo A., Punkka A. (2009), Ranking Intervals and Dominance Relationsfor Ratio-Based E�ciency Analysis, submitted manuscript

[18] Talluri S., Narasimhan R. (2004), A Methodology for Strategic Sourcing,European Journal of Operational Research, 154(1), 236-250

23