recursos do ambiente r para a análise de clusters

CURSO DE CAPACITAÇÃO:

Recursos do Ambiente “R” para a

Análise de Clusters

Rodrigo Nunes Ferreira

Doutorando em Geografia (IGC/UFMG) [email protected]

"Será que é proveitoso gastar tempo para desenvolver e estender habilidades em

programação? Sim, porque o investimento pode e contribuir com sua habilidade em formular questões e na confiança que você terá nas respostas” John Chambers (2008)

mailto:[email protected]

Introdução ao R: conceitos e funções básicas

Introdução à análise de agrupamentos

Medidas de Similaridade e Dissimilaridade: construindo a

matriz de distância

Técnicas Hierárquicas Aglomerativas: função hcclust e

análise de dendograma

Técnicas de Agrupamento Não Hierárquicas I: algoritmo

K-means

Técnicas de Agrupamento Não Hierárquicas II: fuzzy

cluster (algoritmo C-means)

Introdução às técnicas de validação de agrupamento:

Critérios Externos, Internos e Relativos.

PASTA NO DROPBOX: www.bit.ly/igacursoR

Análise de Agrupamento

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Insira o logotipo aqui

Introdução à análise de

agrupamentos

Análise de agrupamentos = análise de conglomerados = classificação = cluster

Modalidade: classificação não-supervisionada

Objetivo: dividir em grupos os elementos da amostra ou população, de forma que os elementos pertencentes a um grupo sejam similares entre si com respeito às variáveis (características) que neles foram medidas, e os elementos em grupos diferentes sejam heterogêneos em relação a estas mesmas características (MINGOTI, 2005, p. 155)

Não há pressuposto sobre a forma/tipo de distribuição das variáveis: o foco da análise de agrupamentos é a comparação de objetos com base na variável estatística, não na estimação da variável estatística em si (definição da variável estatística feita pelo pesquisador é um passo crítico na análise).

Análise de Agrupamento

Etapas da Análise de

Agrupamentos

Fonte: Jain, A. K., Murty, M. N., and Flynn, P. J. (1999). Data Clustering: a Review. ACM Comput. Surv., 31(3):264–323. Handl, Julia, Joshua D. Knowles, and Douglas B. Kell, 2005. Computational cluster validation in post-genomic data analy-sis. Bioinformatics :3201–3212. Halkidi, Maria, Yannis Batistakis, and Michalis Vazirgiannis. "On clustering validation techniques." Journal of Intelligent Information Systems 17.2-3 (2001): 107-145.

PASSO 1 – Pré-Processamento

Seleção de Dados

Normalização

Seleção da Função de Distância

PASSO 2 – Análise de Cluster

Seleção do Algoritmo

Seleção dos Parâmetros

Aplicação do Algoritmo

Passo 3 – Validação do Agrupamento

Seleção de Técnicas de Validação

Aplicação de Técnicas de Validação

Interpretação dos Resultados

Passo a Passo - Agrupamento


Hair Jr., J.F., Anderson, R.E., Tatham, R. L., Black, W.C. Análise multivariada de dados. trad.

Adonai Schlup Sant'Anna e Anselmo Chaves Neto.- 5. ed.- Porto Alegre: Bookman, 2005.




o A multicolinearidade atua como um processo de ponderação não visível para o observador, mas que afeta a análise.

o Solução: reduzir as variáveis a números iguais em cada conjunto.

o Escores fatoriais: as variáveis que verdadeiramente discriminam entre os grupos inerentes não são bem representadas na maioria das soluções fatoriais.

o Desafio: lidar tanto com a multicolinearidade quanto com a discriminabilidade das variáveis para atingir a melhor representação de estrutura.


Medidas de Similaridade e

Dissimilaridade: construindo a

matriz de distância

Situação: conjunto de dados constituídos de n elementos

com p-variáveis aleatórias. Para cada elemento j tem-se o vetor de medias Xj, definido por: Xj = [X1j, X2j ... Xpj]´, j= 1,2,..., n,

onde X1j representa o valor observado da variável i medida

no elemento j.

Objetivo: agrupar elementos em g grupos.

Como medir a similaridade/dissimilaridade entre os

elementos considerando o conjunto das p-variáveis

aleatórias?

Existem várias medidas de dissimilaridade (quanto menor o

valor mais similares os elementos), e cada uma delas produz um determinado tipo de agrupamento.

Tipos de Medidas de Dissimilaridade

Fonte: Jain, A. K., Murty, M. N., and Flynn, P. J. (1999). Data Clustering: a Review. ACM Comput. Surv., 31(3):264–323. Mingoti, S.A. Análise de dados através de métodos de estatística multivariada – uma abordagem aplicada. Belo Horizonte: Editora: UFMG, 2005. 295p.

Para dados contínuos ou intervalar: › Distância Euclidiana [1] › Distância Euclidiana Generalizada/ponderada [4]:

Média (matriz S = diagonal)

Mahalanobis (matriz S=matriz de covariâncias ) Mahalanobis: reduz efeito da multicolinearidade

› Distância de Minkowsky [2] city-block ou Manhattan: p=1

Chebyshev: p=+∞ [5]

menos afetada por valores discrepantes, quanto maior o valor p maior a sensitividade da métrica a distâncias maiores

› Distância de Canberra [3] calcula a soma das diferenças fracionárias entre as

coordenadas de pares de objetos

Para dados binários: › Concordância Simples (% de concordância)

› Concordância Positiva (exclui pares (0 0):

› Jaccard: proporção de número de pares concordantes (- pares (0 0)


Fonte: Jain, A. K., Murty, M. N., and Flynn, P. J. (1999). Data Clustering: a Review. ACM Comput. Surv., 31(3):264–323. Mingoti, S.A. Análise de dados através de métodos de estatística multivariada – uma abordagem aplicada. Belo Horizonte: Editora: UFMG, 2005. 295p.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Distância Euclidiana: a “mais popular medida para dados

contínuos” (Jain et al., 1999, p. 271, tradução livre), que define a distância entre dois elementos Xi e Xj ϵ K, i≠j e K= (1,

..., k), como:

› 𝑑2 𝑥1, 𝑥𝑗 = ( (𝑥𝑖,𝑘 − 𝑥𝑗,𝑘)2)1/2𝑑

𝑘=1

Padronização dos dados: evitar efeito de escala

› Escala de valores Z: média = 0 e desvio padrão = 1 (1 unidade = 1

desvio padrão)

Z=x-µ/σ


Mingoti, S.A. Análise de dados através de métodos de estatística multivariada – uma abordagem aplicada. Belo Horizonte: Editora: UFMG, 2005. 295p.


Técnicas Hierárquicas

Aglomerativas: função hcclust e

análise de dendograma

Técnicas Hierárquicas :

aglomerativas x divisivas

Aglomerativo

Divisivo

Aglomeração Hierárquica

Aglomerativo Divisivo

Objetivo: análise exploratória de

dados visando identificar

possíveis agrupamentos e o

valor provável do número de

cluster “ideal”.

Ligação Simples (Single Linkage): similaridade definida pelos

dois elementos mais parecidos entre si (agrupado pelos vizinhos mais próximos).

Ligação Completa (Complete Linkage): similaridade definida

pelos elementos que são menos semelhantes (agrupado pelo menor valor de máximo)

Médias das Distâncias (Average Linkage): dissimilaridade

definida pela média das distâncias entre todos os pares (agrupado pela menor média)

Técnicas Hierárquicas Aglomerativas

Método do Centróide (Centroid Method) : distância entre

dois grupos é definida como sendo a distância entre os vetores de médias.

Método Ward : busca criar em cada grupos que minimizem a

variância total inter-grupos (soma de quadrados entre os conglomerados). Para isso busca unir os grupos que

minimizem a distância entre os vetores médios dos grupos

(mas leva em consideração o tamanho dos grupos que

estão sendo comparados) › Sendo m o centro do cluster j, e nj o número de elementos em j, o custo

de agregar os clusters A e B é dado por:

Técnicas Hierárquicas Aglomerativas


Técnicas de Agrupamento Não

Hierárquicas I: algoritmo K-means

Partições não hierárquicas: divisão de

um conjunto de entidades em um número pré-definido de grupos

homogêneos, com relação a uma

medida de similaridade apropriada.

No particionamento rígido (hard) o

objeto pertence a um único cluster, no

agrupamento fuzzy um objeto pode

pertencer a mais de um grupo, mas

com diferentes graus de pertinência.

Fuzzy: permite a sobreposição

das distribuições estatísticas

Agrupamento Não-Hierárquico:

Hard x Fuzzy

Representação bidimensional de um agrupamento fuzzy

Algoritmo: define as associações (pertinências) através de

processos iterativos, buscando a minimização da função objetivo

K-means

› 𝐽 = 𝑑(𝑥𝑖 , 𝑐𝑗)2𝑝

𝑗=1𝑛𝑖=1

Principal característica: análise heurística simples.

Objetivo: alocar cada elemento no cluster cujo centroide

é o mais próximo do valor observado para o elemento

Desafio: escolhas das sementes iniciais pode influenciar no resultado final (opção: uso de técnicas hierárquicas)

Função no R: kmeans {stats}

Algoritmos selecionados


Técnicas de Agrupamento Não

Hierárquicas II: fuzzy cluster

(algoritmo c-means)

Princípio: os processos de decisão são marcados pela “incerteza” que afetam a exatidão das respostas e a coerência das ações a eles relacionados.

Linguagem matemática (grau de pertinência) associada à representações linguísticas de agrupamentos (incerteza).

Nos conjuntos fuzzy as fronteiras não são nitidamente definidas, um elemento xi poderá pertencer, com certo grau de pertinência, a conjuntos diferentes.

O grau de pertencimento a um grupo k é dado por uma função que imputa graus de pertencimento no intervalo [0,1] a cada elemento.

Lógica Fuzzy

ψA(xi)

=

Alturas ψA(xi) μ

1,45 0 0,20

1,57 0 0,30

1,58 0 0,30

1,60 0 0,39

1,67 0 0,42

1,78 0 0,48

1,80 1 0,50

1,82 1 0,61

1,86 1 0,82

1,93 1 1,00

Uso nas mais diversas áreas:

biomédicas, engenharia, computação...

Em estudos ambientais: destaque

para a classificação de imagens

Em estudos socioeconômicos

› pouco utilizada

› Trabalhos disponíveis fazem uso do algoritmo fanny

presente no S-Plus

Uso da análise Fuzzy Cluster

Os limites desenhados em

mapas temáticos (como solo, vegetação ou geologia) raramente são precisos e

desenha-los como linhas finas muitas vezes não representa

adequadamente seu caráter. Assim, talvez não nos devamos

preocupar tanto com localizações exatas e

representações gráficas elegantes.

Peter Alan Burrough (1986)

Principles of Geographical Information

Systems for Land Resources Assessment Imagem: http://bit.ly/burrough

http://bit.ly/burrough





Algoritmo: define as associações (pertinências) através de processos iterativos, buscando a minimização da função objetivo

Fanny

› 𝐽 = 𝑢𝑖𝑣

2 𝑢𝑗𝑣2 𝑑(𝑖,𝑗)𝑛

𝑖,𝑗=1

2 𝑢𝑗𝑣2𝑛

𝑗=1

𝑘𝑣=1

C-Means (FCM)

› 𝐽 𝑈; 𝑐 = 𝑢𝑖𝑗𝑚 𝑑(𝑥𝑖 , 𝑐𝑗)

2𝑝𝑗=1

𝑛𝑖=1

C- Medoids (FCMdd)

› 𝐽𝑚 𝑉; 𝑋 = 𝑢𝑖𝑗𝑚 𝑟 𝑋𝑗 , 𝑉𝑖

𝑐𝑖=1

𝑛𝑗=1 ,

Principal diferença: definição do centro dos agrupamentos: › Fanny: inexistente, matriz de distância entre os elementos do grupo

› FCM: centro médio do grupo

› FCMdd: um dos elementos do próprio grupo

Algoritmos selecionados


Introdução às técnicas de

validação de agrupamento:

Critérios Externos, Internos e

Relativos.

Validação do Agrupamento

Gerado Objetivo: maximizar a

dissimilaridade intergrupos e minimizar a intra-grupos

Busca do agrupamento

natural das variáveis selecionadas no espaço p-

dimensional

Diversos critérios ad hoc estão disponíveis na

literatura

O Termo Validação é utilizado para caracterizar, de forma

ampla, os diferentes procedimentos para avaliar de maneira objetiva e quantitativa os resultados da análise de

agrupamento.

Internos: Avalia o grau de compatibilidade entre a estrutura de

grupos sob avaliação e os dados, usando apenas os próprios

dados

Relativos: Avaliam qual dentre duas ou mais estruturas de grupos

é melhor sob algum aspecto. É uma classe particular de critérios

com habilidade para indicar qual a melhor dentre duas ou mais

partições.

Externos: Avalia o grau de correspondência entre a estrutura de

grupos (partição ou hierarquia) sob avaliação e informação a

priori na forma de uma solução de agrupamento esperada ou

conhecida ou mesmo uma outra partição para comparação.

Validação de Agrupamentos


Quantos grupos?

Definição do número de grupos

Um dos principais problemas na análise de cluster é a

definição do melhor algoritmo e do número total de cluster k

a utilizar.

Embora nos métodos não-hierárquicos o número de cluster

seja pré-definido, é necessário avaliar em que medida o total de agrupamentos selecionados se adequa ao

agrupamento natural das variáveis selecionadas no espaço

p-dimensional.

Não existe uma resposta exata para esta questão, e na ausência de critérios estatísticos internos usado para

inferência, encontra-se na literatura uma série de critérios ad

hoc que podem auxiliar na decisão final (Mingoti, 2005; Hair

Jr. Et al., 2005).

Definição do número de grupos

Uma abordagem utilizada para contornar este problema

consiste em executar o algoritmo de agrupamento diversas

vezes com matrizes de distância e de partições/protótipos

iniciais diferentes e número de grupos variados e então escolher

a partição mais adequada de acordo com um critério.

É possível utilizar diversas medidas como regra de parada

(Stopping Rule) que possibilitam a identificação do numero

ótimo de grupos a serem definidos para o conjunto de dados.

Milligan e M. Cooper testaram um total de 30 medidas de

validação de agrupamento visando determinar o número ideal

de cluster no intervalo [2, 5] para cada uma das medidas

utilizadas em um processo de agrupamento hierárquico.

Resultados: os métodos de validação externa Calinski and

Harabasz Index (PseudoF) e Duda and Hart index (Pseudo T2)

como bom indicadores do número de Grupos (Milligan e

Cooper, 1985, p. 169; Mingotti, 2005).

Função NbClust {NbClust}

30 índices do

clássico artigo de

Milligan e Cooper

(1985)

Função clValid {clValid}

Fonte : Guy Brock, Vasyl Pihur, Susmita Datta, and Somnath Datta, Package ‘clValid’. August 29, 2013, http://cran.r-project.org/web/packages/clValid/index.html

Função permite o uso de diferentes medidas de validação

interna e de estabilidade para avaliar diferentes soluções de

agrupamento.

É possível controlar:

• Número de cluster

• Medida de dissimilaridade (distância): "euclidean", "correlation", and "manhattan"

• Diferentes algoritmos: "hierarchical", "kmeans", "diana",

"fanny", "som", "model", "sota", "pam", "clara", and "agnes"

• Tipo de agregação (para métodos hierárquicos): "ward",

"single", "complete", and "average"

Função clValid {clValid}

Medidas Internas:

A connectivity indica o grau de conectividade dos agrupamentos, determinada pelos vizinhos k-

mais próximos. O argumento neighbSize especifica o número de vizinhos a serem considerados

(default = 10). A medida tem valor entre 0 e infinito, e deve ser minimizado.

Silhouette Width e Dunn Index combinam medidas de densidade e separação dos clusters.

A Silhouette Width é a largura média da silhueta das observações. Mede o grau de confiança do

agrupamento, com valores no intervalo [-1,1], quanto mais próximo de 1 melhor a qualdiade do

agrupamento e quanto mais próximo de -1 pior.

O Dunn Index é a razão entre a menor distância entre as observações que não estão no mesmo

cluster e a maior distância entre dentro do clusters. Tem valor entre 0 e o infinito, e deve ser

maximizada



função clValid {clValid}

Medidas de Estabilidade:

As medidas de estabilidade são uma versão especial de medidas internas que avaliam a estabilidade

de um resultado de aglomeração, comparando-a com os aglomerados obtidos através da remoção de

uma coluna de cada vez. Estas medidas incluem: Average Proportion of Non-overlap (APN),

Average Distance (AD), Average Distance Between Means (ADM) e Figure of Merit (FOM).

APN, AD e ADM são todas baseadas na tabela de cruzamento de classificação do agrupamento

original com a aglomeração baseado na remoção de uma coluna.

A APN mede a proporção média das observações não colocadas no mesmo cluster em ambos os

casos, enquanto a AD mede a distância média entre as observações colocadas no mesmo cluster em

ambos os casos e a ADM mede a distância média entre os centros de cluster para observações feitas

no mesmo cluster em ambos os casos.

A FOM mede a variação média intraconglomerado da coluna eliminada, e agrupamento é feito com

base nas colunas restantes (não eliminadas).

Em todas as medidas a média é tomada sobre todas as colunas deletadas, e todas devem ser

minimizadas.


Medidas de validação relativa

Validação de Agrupamento:

Silhueta de ROUSSEEUW

Fonte: Rousseeuw, Peter J. "Silhouettes: a graphical aid to the interpretation and validation of cluster analysis." Journal of computational and applied mathematics 20 (1987): 53-65.

a(i) = dissimilaridade média de i para todos os objetos de A. d( i, C) = dissimilaridade média de i para todos os objetos de C.

Quando o cluster B é o mínimo atingido (isto é, d( i, B) = b(i)) este é chamado de vizinho (neighbor) do objeto i. O valor s(i) é obtido pela combinação de a(i) e b(i) da seguinte forma:

Fonte: Christian Hennig. Package ‘fpc’. August 29, 2013, http://cran.r-project.org/web/packages/fpc/fpc.pdf

n Número de casos

cluster.number Número de clusters.

cluster.size Número de casos em casa cluster

min.cluster.size Menor cluster.

noisen Numero de casos que não pertencem a nenhum grupo

diameter Diâmetro máximo dos clusters (máxima distância dentro dos clusters)

average.distance Distância média dentro dos clusters

median.distance Distância mediana dentro dos clusters

separation Menor distância entre um ponto de um cluster a um ponto fora do cluster

average.toother Distância média entre os pontos dentro e fora do cluster

separation.matrix Matriz da distância de separação dos clusters (distância mínima)

ave.between.matrix matriz de dissimilaridade média entre os pontos de cada par de clusters

average.between Distância média entre os clusters

average.within Distância média dentro dos clusters

n.between Número de pares de distâncias entre os agrupamentos.

n.within Número de pares de distâncias dentro dos agrupamentos

max.diameter Valor máximo de diâmetros de cluster.

min.separation Valor mínimo de distância de separação (entre um ponto dentro e outro fora do cluster).

within.cluster.ss Uma generalização da soma de quadrados nos agrupamentos (função objetivo k-means), obtida a partir

de uma matriz de distância Euclidiana (metade da soma dos quadrados das dissimilaridades dentro do

cluster dividido pelo tamanho do cluster.).

Continua...


função cluster.stats {fpc}

Fonte: Christian Hennig. Package ‘fpc’. August 29, 2013, http://cran.r-project.org/web/packages/fpc/fpc.pdf

clus.avg.silwidths Silhueta média dentro do grupo.

avg.silwidth Silhueta média

g2 Goodman and Kruskal's Gamma coefficient (Objetivo: maximização).

g3 G3 coefficient, avalia a relação entre a distância média dentro do cluster a o intervalo de distância total

do particiobnamento (máx – min) (Objetivo: minimizar).

pearsongamma correlation between distances and a 0-1-vector where 0 means same cluster, 1 means different clusters.

"Normalized gamma" in Halkidi et al. (2001).

dunn Menor distância de separação/máximo diâmetro. Dunn index, see Halkidi et al. (2002).

dunn2 Menor dissimilaridade média entre dosi clusters/ máxima dissimilaridade média dentro dos clusters (family

of Dunn indexes).

entropy entropia da distribuição dos membros de cluster (Meila, 2007).

wb.ratio Dissimilaridade média dentro dos grupos/Dissimilaridade média entre os grupos

ch Relação entre a média da soma dos quadrados entre os grupos e a média da soma dos quadrados

dentro dos grupos

Calinski and Harabasz index (Calinski and Harabasz 1974, optimal in Milligan and Cooper 1985; generalised

for dissimilarites in Hennig and Liao 2010)

cwidegap vector de maior intervalo dentro de cada Cluster

widestgap Maior intervalo.

sindex separation index: média das distâncias mínimas de cada ponto ao ponto mais próximo fora do grupo.

corrected.rand corrected Rand index: medidas de semelhança ou diferença entre as duas partições (gerada no cálculo

e outra pré-definida pelo usuário (Gordon, 1999, p. 198)

vi variation of information (VI) index: função que mede a distância entre as duas particiçoes do mesmo

conjunto de dados (Meila, 2007).


função cluster.stats {fpc} Conclusão.

Validação de Agrupamento: Package ‘clusterCrit’

Validação dos Agrupamentos Fuzzy

Índices de Validação Relativos para agrupamentos fuzzy selecionados (consideram a matriz de pertinência U)

Nome Objetivo

Função e Pacote do R

Referencia Bibliográfica

Fclust.index {fclust}

fclustIndex {e1071}

Baseados Apenas na Matriz de Partição

PC (Partition Coeficient) max x x

Bezdek, 1981; Dunn, 1974

MPC (Modified Partition Coefficient) max x Dave, 1996

PE (Partition Entropy) min x x Bezdek, 1981

Baseados Na matriz de dados

Fuzzy Hypervolume min x

Gath e Geva (1989)

APD (Average Partition

Density) max x Gath e Geva

(1989)

PD (Partition Density) max x Gath e Geva

(1989)

Xie Beni Index min x x Xie & Beni, 1991;

Fukuyama Sugeno Index min x

Fukuyama e Sugeno (1989)

FSS (FuzzySimplified

Silhouette Index) max x Campello &

Hruschka, 2006)

Validação dos Agrupamentos Fuzzy

Nome Fórmula Referência

Bibliográfica

PC (Partition

Coeficient) 𝑉𝑃𝐶 =1

𝑁 (𝑢𝑖𝑗)

2

𝑁

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Bezdek, 1981;

Dunn, 1974

MPC (Modified

Partition Coefficient) 𝑉𝑀𝑃𝐶 = 1 −𝑘

𝑘 − 1(1 − 𝑉𝑃𝐶)

Dunn, 1974;

Dave, 1996

PE (Partition Entropy) 𝑉𝑃𝐸 =1

𝑁 𝑢𝑖𝑗𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑢𝑖𝑗)

𝑁

𝑗=1

𝑘

𝑖=1

Bezdek, 1981

Xie Beni Index 𝑉𝑋𝐵 = (𝑢𝑖𝑗)

𝑚 𝑋𝑗−𝑉𝑖2𝑁

𝑗=1𝑘𝑖=1

𝑁 min𝑙≠𝑠𝑉𝑙−𝑉𝑠

2 Xie & Beni,

1991;

FSS (Fuzzy Simplified

Silhouette index) 𝑉𝐹𝑆𝑆 =

(𝑢𝑝𝑗−𝑢𝑞𝑗)∝𝑁

𝑗=1 𝑆𝑗

(𝑢𝑝𝑗−𝑢𝑞𝑗)∝𝑁

𝑗=1

Sendo Sj a silhueta individual do objeto Xj

Campello &

Hruschka, 2006

Índices de Validação Relativos para agrupamentos fuzzy selecionados (consideram a matriz de pertinência U)

Validação dos Agrupamentos

Análise discriminante › mensura o grau de ajuste da classificação;

› vantagem: regra de classificação (validação) fundamentada na

teoria das probabilidades;

› Objetivo: derivar combinações lineares das p variáveis iniciais que

maximizem a diferenciação entre os grupos.

Medida FANNY FCM FCMdd

% da variância

explicada pela

função 1

92.3% 91.9% 90.8%

% de classificação

correta 85.6% 94.4% 91.9%

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

group 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

group 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

group 3

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 3

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

group 3

FANNY FCM FCMdd

Histogramas da distribuição dos elementos dos grupos segundo

scores da função discriminante 1

recursos do ambiente r para a análise de clusters

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