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Références Classical electrodynamics John David Jackson Wiley Computational Electromagnetics Anders Bondeson , Thomas Rylander , Pär Ingelström Springer E-book (accessible sur le campus) : http://dx.doi.org/10.1007/b136922 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Références
Classical electrodynamicsJohn David JacksonWiley
Computational ElectromagneticsAnders Bondeson, Thomas Rylander, Pär IngelströmSpringerE-book (accessible sur le campus) : http://dx.doi.org/10.1007/b136922
Ce cours sur le web : http://bruno.lepetit.pagesperso-orange.fr/teaching.html
Une question ? [email protected]
2
modélisation multiphysique à l’échelle méso-macroscopique
Plan
1. Introduction : que veut-on calculer ?
2. Rappels d’électromagnétisme
3. Une méthode de résolution des équations de Maxwell :Différences finies domaine temporel
4. Equation de la chaleur : traitement des non-linéarités
5. Applications industrielles Mécanique : Stéphane Guinard, EADSElectromagnétisme : Ivan Revel, EADS
787 Dreamliner Composite Profile
Les matériaux : métalliques et composites…
Les composites : fibres et résines
Délaminages
Composite ; un empilement complexe : plis, protection de surface, peinture
Un matériau doit assurer une multitude de fonctions : tenue mécanique (efforts, chocs),thermique, protection électromagnétique (champs forts, foudre effets directs et indirects, électrostatique, furtivité…), tenue à la corrosion, au feu, esthétique…
La modélisation aide à dimensionner le matériau en amont dans le développementd’un programme, soit en amont d’essais, soit pour économiser des essais.
Plusieurs types de contraintes se prêtent bien à une modélisation de type physique,Passant par la résolution d’équations aux dérivées partielles :Mécanique, thermique, électromagnétique…
Modélisation électromagnétique
Que cherche-t-on ?Effet d’une agression extérieure (champ fort, foudre) sur les systèmes embarqués(câblages, équipements…).
Une modélisation à 2 niveaux :
1. Modélisation locale Ex : matériau et efficacité de blindage , câblages, fentes…
2. Modélisation globale
Des outils utilisant les équation deMaxwell permettent de réaliser ces modèles.
Modélisation thermique
Tenue en température de matériaux
Tenue à la foudre (effets directs) de matériaux : électro-thermo-mécanique
11
EQUATIONS DE
MAXWELL
Conservation de la charge :
Milieux linéaires : permittivité électrique perméabilité magnétique
Loi d’Ohm :
E, H : champsD, B : inductions
12
Liens entre les différentes équations de Maxwell
0... D
tJH
Par ailleurs je prends la divergence de l’équation d’Ampère :
Par comparaison avec l’équation de conservation de la charge :t
Dt
.
Je prends la divergence de l’équation de Faraday : 0.. B
tE
Conclusion : si à l’instant initial les champs satisfont : D. Et 0. B
Alors à tout instant suivant, il suffit que les champs satisfassent les équations d’Ampèreet de Faraday (et de conservation de la charge) pour satisfaireles autres équations de Maxwell.
On ne propage numériquement que les équations de Faraday et Ampère.
13
Propagation dans un milieu conducteur
Expulsion de la charge :
E.
0
t
as2.0
10.51
3610
7
9
00 t
e
Equations de propagation :
tHE
tEEH
Solution recherchée
sous la forme : )(0
)(0
rkti
rkti
eHH
eEE
14
Ei
iHki
HiEki
)1(
nkk
Ei
Ekk
)1()( 2
21
21
1)(
ik
Vitesse de phase : nc
ii
kv
rr
21
212
1
0021
21
1)(
1
)(
1
1)(
1
Indice du milieu : 21
21
1)(
in rr
Impédance d’onde : 21
21
1
1
1
1
ii
kHn
E
H
EZ
(relation de dispersion)
15
Cas particulier : mauvais conducteur : 1
21
Z
Vide (SI):
377120104
3610
70
9
0
Z
Cas particulier : bon conducteur : 1
iik
1)1()
2( 2
1
δ : épaisseur de peau(décroit quand ω croit) :
21
2
iLRiiZ
1)1()
2( 2
1
21
1
kv
16
zztikzti
zztikzti
eeHeHH
eeEeEE
)(
0)(
0
)(
0)(
0
Propagation avec atténuation :
Exemples pour f=100 kHz (foudre…) :
- Métal : σ=5 107 S/m δ≈0.2 mm
- Composite Carbone (CFC, CFRP…) σ= 104 S/m δ≈15 mm
17
Interfaces
1
2 n
Discontinuités aux interfaces
ρs (C/m2) , Js (A/m): densités surfaciques
18
Discontinuités à la surface d’un conducteur
Parfait Réel
- La composante normale de E peut connaitre une discontinuitépour un conducteur chargé.-La composante tangentielle de H peut êtrediscontinue s’il y a des courants de surface- Les autres composantes sont continues
- Seule la composante normale de Epeut être discontinue- Les autres décroissent avec l’effet de peau en pénétrant dans le conducteur.
19
Propagation d’un paquet d’ondes
u(x,t) : une composante de E ou H à une dimension
dkekAtxu kxtki ))((
21 )(
)2(
1),(
Transformée de Fourier :
ω(k) : relation de dispersion
dxetxukA ikx)0,(
)2(
1)(21
Onde plane infinie : Δk=0 , Pulse infiniment étroit : Δk=+∞
Δx.Δk≈π
20
Dispersion
Supposons une loi de dispersion linéaire (vide, diélectrique…) : )()()( 0
00 kk
dkdkk
)0,()()2(
),(0
)()(
21
)(0
00
0
00
0
ttdkdxuedkekAetxu
tkdkdit
dkdxik
tkdkdi
Le paquet d’onde se propage sans déformation
à la vitesse de groupe :
0dkdvg
Dans le cas général (conducteur...) la relation de dispersion n’est pas linéaire. Il y a donc déformation du paquet d’onde durant sa propagation.
21
Dispersion numérique
tHE
tEH
Dans un milieu diélectrique (dispersion linéaire) combinant
avec j’obtiens (équation de Helmholtz)2
22
2
2
zEc
tE
Grille spatiale et temporelleutilisée pour la résolution
numérique
Question : Quelle relation de dispersion ?
22
L’équation de Helmholtz,Pour une composante de champ,en différences finies,devient :
Le champ à l’instant n+1 est donc donné par la récurrence :
Je cherche la relation de dispersionque doit satisfaire une onde du type
Pour être solutionde l ’équation discrétisée
)(0
kztjeEE
Nouvelle relation de dispersion :
QUESTION : Limite pour des intervalles tendant vers 0 ?
23
ztcR
R=0.01
R=0.9
R=1.
R=1.2
zkx
czy
2sinsin2 xRArc
Ry
R=1 : on retrouve la loi de dispersion physique : ω=ck
R>1 : pour certains intervalles en k, ω devient complexe eiωt a une composante exponentielle réelle amplification non physique de cette contribution. Instabilité
R<1 : dispersion non linéaire sur les k élevésdéformation du signal
24
CRENEAU
kakaadxekA
dxetxukA
a
a
ikx
ikx
)sin(2
)2(
1)(
)0,()2(
1)(
21
21
21
25
PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELLCAS 1D
On ne propage que les eq. d’Ampère et Faraday 1D
Elles ont les 2 la même structure :Dérivée spatiale=dérivée temporelle
Premières idées :
1. Différences finies centrées 2. Utiliser la même grille pour E et H(celle déjà utilisée).
zE
tH
zH
tE
xy
yx
1
1
26
zE
tH
zH
tE
xy
yx
1
1
zEE
t
HH
z
HH
tEE
n
rxn
rx
n
ry
n
ry
n
ry
n
ryn
rxn
rx
21
2
21
2
11
11
11
11
Différences finiesAu point (r,n) :
Algorithme du type « saut de grenouille » (leapfrog) : je passe directement du tempsn-1 au temps n+1 en passant par-dessus n.
Inconvénient de l’algorithme : précision réduite du fait que, en temps comme en distance,On fait des sauts de 2 pas.
En utilisant des grilles décalées (staggered) pour E et H, on peut réduire le saut à un seul pas !
Différences finies, grille unique
27
zE
tH
zH
tE
xy
yx
1
1Différences finies, grilles décalées
Au point (r,n+1/2) :
Grille Ex : (r,n)Grille Hy : (r+1/2,n+1/2)
Au point (r+1/2,n) :
- Les sauts sont bien d’un seul pas
- Les points où sont utilisées les équations n’appartiennent ni à la grille E, ni à la grille H
- QUESTION : quelle relation de dispersion ?
28
PROPAGATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELLCAS 3D : ALGORITHME DE YEE
(K.S. Yee, IEEE Trans. Ant. Propag., AP-14, 302-307, 1966)
Composantes du champ E : milieu des arêtesTemps entiersEx : points (p+1/2, q, r, n)Ey : points (p, q+1/2, r, n)Ez : points (p, q, r+1/2, n)
Composantes du champ H : milieu des facesTemps demi-entiersHx : points (p, q+1/2, r+1/2, n+1/2)Hy : points (p+1/2, q, r+1/2, n+1/2)Hz : points (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)
29
Et
H
Au point (p, q+1/2, r+1/2, n)
Au point (p+1/2, q, r+1/2, n)
Au point (p+1/2, q+1/2, r, n)
CALCUL DES CHAMPS H AU TEMPS n+1/2
30
HtE
Au point (p+1/2, q, r, n+1/2)
Au point (p+1/2, q+1/2, r, n+1/2)
Au point (p, q, r+1/2, n+1/2)
CALCUL DES CHAMPS E AU TEMPS n+1
31
ALGORITHME DE YEE : RELATION DE DISPERSION 3D
Quelle relation ω(k) pour avoir une solution du type )(
0
)(0
rkti
rkti
eHH
eEE
Expressions des opérateurs différentiels
Si f(x)=e i(ωt-kx) alors
),(),()
2sin(2)
2,()
2,(
),(),()
2sin(2),
2(),
2(
txfdtxfx
xki
x
xxtfxxtf
xf
txfdtxft
ti
t
xttfxttf
tf
x
t
FdF
z
y
x
ddd
d
...
)2
sin(2
)2
sin(2
x
xkid
t
tid
x
x
t
FdFt t
32
EdHdEt
Ht
HdEdHtE
t
)(0
)(0
rkti
rkti
eHH
eEE
Si Alors les équations de Yee donnent :
Combinant ces 2 équations : )(2 EddEdt
dEdd
)( donc dE
Par ailleurs )( Edd
Donc EdEddEdd 2
)(
22222zyxt ddddd
Résultat
222
22 )
2sin()
2sin()
2sin(
)()2
sin(z
zk
y
yk
x
xk
tctzyx
Relation de dispersion 3D
33
1)
2sin()
2sin()
2sin(
)(),,,(
222
2
z
zk
y
yk
x
xk
tckkkzyx
zyxCondition de stabilité :
Qui est satisfaite si : 1111)(222
2
zyx
tc
Condition CFL (Courant-Friedrichs-Levy) :
21
222 111
1
zyxc
t
34
Choix de la taille de maille :
- Description suffisamment précise des détails géométriques
- Critère de longueur d’onde ≈ 10 points par longueur d’onde
Choix du pas de temps : critère CFL
Occupation mémoire : (2 pas de temps stockés)*(6 composantes)*Nx.Ny.Nz=12 Nx.Ny.Nz
Temps de calcul : proportionnel à 6 Nx.Ny.Nz.Nt
Proportionnel à (fréquence)**4
Impossibilité pratique du calcul à très hautes fréquences : autres méthodes (asymptotiques : optique, théorie de rayons…)
35
Exemple : on veut modéliser un avion. Taille : 50 m.On considère un coup de foudre qui dure 100 μs.
On veut représenter de façon suffisamment fine les détails taille de maille : 0.1 mNombre de mailles ≈ 10003=109 (en fait on a moins besoin pour la hauteur) soit 12*8=96 Go d’occupation mémoire
Pas de temps max : Δx/31/2c≈0.2 ns, soit Nt=500 000
Nombre d’opérations : de l’ordre de 6*500 000*109=3 1015
Temps de calcul sur un processeur à 30 Gflops : 105 s ≈ la journée
Fréquence max traitée correctement dans ce calcul : longueur d’onde = (10 points par longueur d’onde)*0.1m=1m, soit 300 MHz.
36
Limitations du volume maillé
Il faut absorber l’onde en bords de volume. Si on mettait un conducteur (effet de peau…) il y aurait des réflexions très importantes.
Ht
HE
*
tEEH
Impédance d’onde :
(cf page 14) 21
21
*
21
1
1
i
iH
EZ
On ajoute une couche absorbante de matériaux fictifs (conductivité magnétique !)en bords de volume
Pour une onde normale à la surface le coefficient de réflexion est :ZZ
ZZ
0
0
Si Z=Z0 : pas de réflexion ! Adaptation d’impédance
On obtient cette adaptation d’impédance si : 0
0
*
37
Ei
Hi
ki
Et
Ht
kt
Er
Hr
-ki
tri
tri
HHHEEE
tri
tri
HHHZHHZHZ
00
Pas de discontinuité à l’interface(Courant réparti dans l’épaisseur)
tri
tri
HHHZHHZHZ
00
CALCUL DU COEFFICIENT DE REFLEXION A L’INTERFACE
tr
ti
HZ
ZZH
HZ
ZZH
0
0
0
0
2
2
0
0
ZZZZ
Donc :
MILIEU Z0 MILIEU Z
38
Cas général : onde incidente non normale
J.P. Bérenger, J. Comput. Phys. 114, 185 (1994)
Séparer les composantes du champ parallèle à la couche absorbante en 2
morceaux(ici, la couche absorbante
en perpendiculaire à z)
yH
xH
tE
xH
tE
Ez
Ht
E
Ez
Ht
E
yH
tE
xyz
zyx
yzxyz
xzyxz
zxy
yzyxy
xzxyx
EEE
EEE
yzyxy
xzxyx
HHH
HHH
yE
xE
tH
xE
tH
Hz
Et
H
Hz
Et
Hy
Et
H
xyz
zyx
yzxyz
xzyxz
zxy
*
*
Quand σ=σ*=0, on retrouve les équations dans le milieu physique.
Seule les morceaux en z (cad correspondant à une propagationen z) sont modifiés. La propagationen x,y est inchangée.
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Dans la pratique, il faut considérer des murs perpendiculaires à x, y ,z.
…et il faut augmenter progressivement les conductivités, par exemple : 2
00)(
Lzzz 000 )(,0)( Lzzzz
40
Plaques minces : cas 2D (pour simplifier)L.K. Wu et L.T. Han, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 40, 628, 1992
On ne veut pas mailler l’épaisseur de la plaque, cela conduirait à des maillages énormes !
On remplace la plaque par une résistance équivalente modèle basse fréquence(pas d’effet de peau = pas d’induction)
-Pas de
dépendanceen z
Question : S1, S2 ?
41
Loi d’Ohm sur la plaque résistive :
L
e
L
Plaque carrée :eLe
LR11
= Impédance de surface
Continuité de la composantetangentielle du champ
et loi d’Ohm dans la plaque
Discontinuité du champH tangentiel
aux interfacesen présence de courant de surface
+-
Ce qui rend caduque eq. 5c
42
Algorithme initial Algorithme modifiésur la plaque
2R
En supposant une dépendance linéaire en temps autour de n+1/2
43
Prise en compte de fils mincesR. Holland, L. Simpson, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol. 23, 88, 1981
- Une perturbation EM est susceptible d’induire des courants parasites sur les systèmes
- Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à
des équations sur les courants et charges induits sur les fils
Etablissement des équations sur I et Q
tHE
t
Hr
Ez
E zr
r
ar
r
azz dE
zdH
taErE )()(
On a Ez(a)=0 (pourquoi ?)
44
Hypothèses sur les champs(basse fréquence, et localement) r
IH 2
(Théorème d’Ampère en magnétostatique)
rQEr 2
(Théorème de Gauss en électrostatique)
r
ar
r
az dE
zdH
trE )(
zQ
tIa
r
rEz 1
2
)ln()(
zQ
tILEz
1
À une distance moyenne R
Q(z)dzI(z) I(z+dz)
zI
tQ
dtdzzIdtzIdzzdQ
)()()(
Equation de continuité
0
zI
tQ
45
Modification de l’algorithme de Yee avec fil (vertical)
- Par cellule : 8 quantités (6 composantes de champ+Q+I) à propager
- Il faut donc coupler les équations de propagation des 6 composantes de champ à
des équations sur les courants et charges induits sur les fils
Intensités I : milieu des arêtesTemps demi-entiersI : points (p, q, r+1/2, n+1/2)
Charges Q : coins du cube, temps entiersQ: points (p, q, r, n)
Intensité
Charge
46
1. Calculer I au temps n+1/2, à partir de I au temps n-1/2et de E et de Q au temps n
2. Calculer H au temps n+1/2, à partir de H au temps n-1/2et de E au temps n
3. Calculer E au temps n+1, à partir de E au temps net de H et de I au temps n+1/2
4. Calculer Q au temps n+1, à partir de Q au temps net de I au temps n+1/2
z
QQLE
LtII
npqr
npqrn
pqrznpqr
npqr
12/1
2/12/1
2/12/1
Yee sans changement
Yee avec rajout du courant du fil
2/12/1
2/12/1
1
n
pqrnpqr
npqr
npqr II
ztQQ
Modification de l’algorithme de Yee avec fils
YXI n
pqr
.
2/12/1