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APÊNDICE A
Para selecionar a malha a ser utilizada, de forma a obter a precisão desejada
com baixo esforço computacional, é necessário investigar a influência na solução
de distintas malhas, de forma a garantir a independência da solução com a malha
computacional. Neste trabalho foram testadas três malhas, no mesmo domínio
computacional (mesma geometria), com uma distribuição e quantidade de nós
computacionais como indicado na Tab. 4.1 (repetida aqui por conveniência) e com
uma secção transversal como é mostrada na Fig. 4.3.
Tabela 4.1- Teste de Malha
Total de VC VC na seção transversal VC na direção axial
Malha 1 5 100 102 50
Malha 2 29 000 290 100
Malha 3 232 000 1160 200
Os casos selecionados para serem testados correspondem aos Casos 2 e 11,
descritos no Capítulo 5, por serem os testes de menor e maior vazão,
respectivamente.
1.1. Perfis de Velocidade
A grandeza utilizada para comparação nos testes foi o componente axial da
velocidade, nas coordenadas descritas na Fig. 5.17, porque é a grandeza fornecida
pelos dados experimentais. Nesta secção, são apresentados apenas os perfis nas
coordenadas -0,8D, -0,2D, +0,2D e +0,8D.
A Figura A.1 ilustra os perfis de velocidade para o Caso 2 nas coordenadas
-0,8D e -0,2D, localizadas a jusante do nariz da bolha. Pode-se observar na Fig.
A.1 que a Malha 2 (cor vermelha) apresenta perfis bem próximos aos perfis
obtidos com a malha mais fina, Malha 3 (cor preto). Similares resultados são
obtidos para as coordenadas +0,2D e +0,8D, como apresentado na Fig. A.2.
APÊNDICE A 116
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
a)-0,8D b)-0,2D Figura A.1- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a jusante do nariz da bolha.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
a)+0,2D b)+0,8D Figura A.2- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a montante do nariz da bolha.
Para o Caso 11, os perfis do componente axial da velocidade a jusante do
nariz da bolha encontram-se na Fig. A.3, enquanto que os perfis à montante da
bolha encontram-se na Fig. A.4. Observa-se que neste caso, a influência da malha
é menor, e assim com observado no Caso 2, os resultados da Malha 2 encontram-
se bem próximos aos resultados obtidos com a Malha 3.
De acordo com estes resultados selecionou-se a Malha 2, uma vez que um
refinamento adicional na malha só traz um maior esforço computacional, sem
fornecer um aumento na acurácia.
APÊNDICE A 117
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
a)-0,8D b)-0,2D Figura A.3- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a jusante do nariz da bolha.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) Malha 1 Malha 2 Malha 3
a)-0,8D b)-0,2D Figura A.4- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a montante do nariz da bolha.
1.2. Distribuição Axial da Malha
A distribuição axial da malha, ilustrada na Fig. 4.4, foi definida de acordo
Ujang et al (2008), a qual apresenta uma forte não uniformidade. Visando
investigar a influência da não uniformidade axial da malha, realizou-se um teste,
mantendo-se o mesmo número de pontos que a configuração 2 de malha, porém,
reduziu-se significativamente a não uniformidade da distribuição axial dos
volumes de controle, conforme ilustrado na Fig. A.5. Esta malha foi denominada
de Malha 4.
APÊNDICE A 118
Figura A.5- Domínio Computacional com maior uniformidade na direção axial.
Os resultados das comparações entre os perfis de velocidade axial à
montante e jusante do nariz da bolha para as Malhas 2 e 4 são ilustrados na
Fig. A.6.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s)Malha 4 Malha 2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s)Malha 4 Malha 2
a) -0,8D b) -0,2D
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s)Malha 4 Malha 2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s)Malha 4 Malha 2
c) +0,2D b) +0,8D Figura A.6- Comparação dos perfis de velocidade para as malhas 2 e 4.
Pode-se observar que os perfis de velocidade são praticamente coincidentes
para ambas as malhas, nas diversas seções com uma pequena discrepância na
coordenada -0,8D, Fig. A.6(a).
APÊNDICE A 119
A Fig. A.7 ilustra o perfil de velocidade axial do líquido numa linha que
passa no eixo axial da malha computacional. Novamente observa-se uma ótima
concordância entre os perfis, indicando que a malha mais grosseira na região de
entrada e saída do domínio não prejudica a formação da bolha. Portanto,
selecionou-se a Malha 2, para captar com mais precisão a interface do nariz da
bolha, pois a malha é bem mais fina nesta região.
0,0 0,2 0,4 0,60,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Malha3 Malha4
Wm
ax(m
/s)
Z (m)
Figura A.7- Velocidade axial no eixo axial do domínio computacional.
1.3. Simetria da Malha
Um último teste foi realizado para avaliar a geometria da malha utilizada
neste trabalho. Este teste avaliou os resultados obtidos nos perfis de velocidade
com a malha número 2, simétrica na sua secção transversal, com outra de secção
inteira, respeitando a mesma distribuição nodal axial que denominamos malha 5
(Fig. A.8).
Figura A.8- Secção transversal da malha 5
APÊNDICE A 120
A Fig. A.9 apresenta os perfis de velocidade para o Caso 2 nas coordenadas
-0,8D, -0,2D, +0,2D e +0,8D, as linhas contínuas representam os perfis de
velocidade para a malha 2 e os símbolos representam os perfis para a malha 5.
Nota-se a independência dos resultados quando mudamos o domínio
computacional para um com domínio inteiro.
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W(m/s) D. inteiro D. simetrico
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W(m/s) D. inteiro D. simetrico
a) -0,8D b) -0,2D
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W(m/s) D. inteiro D. simetrico
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W(m/s) D. inteiro D. simetrico
c) +0,0D d) +0,8D Figura A.9- Perfis de velocidade para o Caso 2 na zona a jusante e montante do nariz da
bolha no domínio computacional inteiro.
1.4. Modelo de Turbulência κ−ε
Visando avaliar a influência do modelo de turbulência no campo de
escoamento, compararam-se as soluções obtidas com o modelo κ−ε RNG e com o
modelo κ−ε tradicional. Estes modelos foram selecionados, pois Ujang et al.
(2008) utilizaram o modelo κ−ε tradicional enquanto que Kumara et al. (2008)
utilizaram o modelo κ−ε RNG.
APÊNDICE A 121
A Malha 2 foi selecionada e mais uma vez, os perfis do componente axial da
velocidade à jusante e à montante do nariz da bolha foram comparados.
As Figs. A.10(a) e A.10(b) correspondem aos resultados para as linhas à
jusante (coordenadas -0,8D e -0,2D), enquanto que as Figs. A10(c) e A.10(d)
referem-se às coordenadas à montante (0,8D e 0,2D). O modelo κ−ε tradicional é
representado pelas linhas pretas e o modelo κ−ε RNG pelas linhas vermelhas.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) κ-ε κ-ε RNG
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) κ-ε κ-ε RNG
a) -0,8D b) -0,2D
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) κ-ε κ-ε RNG
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y/R
W (m/s) κ-ε κ-ε RNG
c) +0,2D d) +0,8D Figura A.10- Perfis de velocidade para o Caso 11 na zona a jusante e montante do nariz
da bolha.
Analisando as figuras pode-se observar que a solução é praticamente
independente da escolha de qualquer dos dois modelos de turbulência. Observa-se
na Fig. A.10(a), que o modelo de turbulência κ−ε RNG forneceu uma velocidade
APÊNDICE A 122
máxima ligeiramente maior para a fase gasosa, enquanto que para a fase líquida,
ambos os modelos apresentaram perfis coincidentes.
Selecionou-se o modelo κ−ε RNG, pois para o presente problema
apresentou-se mais estável com melhor taxa de convergência.
Vale informar que a escolha da malha adequada para uma simulação
depende diretamente do modelo de turbulência. Para a malha selecionada, baseada
em um compromisso entre custo e acurácia, obteve-se a distância adimensional y+
do primeiro ponto nodal à parede maior que 11,5 indicando o uso da lei da parede
tradicional nesta região.
APÊNDICE B
A determinação dos limites de transição entre padrões de escoamento e a
criação dos mapas de arranjos, é importante para a seleção dos modelos
matemáticos e numéricos adequados para prever o fenômeno real.
Neste trabalho, o mapa de padrões de escoamento foi criado baseado nos
trabalhos de Taitel e Dukler (1976), Barnea (1986) e Chen et al. (1997). Os limites
de transição foram obtidos através de um código implementado em MATLAB™.
O desenvolvimento destes limites está baseado em cinco grupos
adimensionais calculados de acordo com as propriedades dos fluidos, a geometria
da tubulação e as velocidades superficiais das fases líquida e gasosa.
( )( )
2/1
/
/
=
g
l
dxdP
dxdPX (B.1)
( )( )g
gl
dxdP
sengY
/
βρρ −= (B.2)
βρρρ
cosDgw
F sl
gl
g
−= (B.3)
( )
−=
l
sl
gl
sgg
vwD
gDw
Kβρρ
ρcos
22 (B.4)
( )( )
2/1
cos/
−=
βρρ gdxdP
Tgl
l (B.5)
onde X é o conhecido parâmetro introduzido por Lockhart e Martinelli (1949). Y é
zero para tubulações horizontais e representa a razão entre as forças atuando no
APÊNDICE B 124
líquido na direção do escoamento devido à gravidade e a queda de pressão. F é o
número de Froude modificado pela razão de densidades. K é o produto do número
de Froude modificado, vezes a raiz quadrada do número de Reynolds baseado na
velocidade superficial do líquido. Finalmente, T é a relação das forças turbulentas
e as forças gravitacionais atuando no gás. Para auxiliar o cálculo de ditos
parâmetros e as condições onde as transições acontecem, precisamos introduzir as
seguintes geometrias adimensionais:
sg
gg
sll
lg
gl
ll
l w
WW
wW
WD
AA
D
AA
Dh
h ===== ~;~;~;~;~22
(B.6)
onde Wl, Wg são as velocidades físicas das fases, Al e Ag são as áreas ocupadas por
cada fluido e hl é a altura do líquido num escoamento estratificado liso em
equilíbrio. Estas grandezas foram adimensionalizadas com D nas grandezas de
comprimento, D2 nas grandezas de área e com as velocidades superficiais wsl e wsg
nas grandezas de velocidades. Todas elas possuem um til (~).
B.1. Limite Estratificado – Não Estratificado
Para tubulações horizontais e levemente inclinadas, Taitel e Dukler (1976)
sugeriram que a transição a partir de um regime Estratificado estável é dada pelo
mecanismo de instabilidade de Kelvin Helmholtz. Eles consideraram o
escoamento estratificado com uma onda finita na superfície sobre a qual o gás
escoa. Na medida em que o gás acelera por cima da crista da onda, a pressão na
fase gasosa diminui criando um efeito Bernoulli que faz a onda crescer. Por outro
lado, a força da gravidade faz a onda cair. Segundo Taitel e Dukler (1976) o
critério no qual dita transição acontece é expresso por:
( ) 11
12
2 ≥
− g
l
ll
l AhdAd
W
hF ~
~~
~
~ (B.7)
com:
APÊNDICE B 125
( )21~21~~
−−= ll
l hhdAd (B.8)
A equação B.6 envolve apenas lh~ . Conhecendo as propriedades dos fluidos
e a geometria da tubulação, dita transição pode ser encontrada resolvendo as
equações de quantidade de movimento linear para cada fase em escoamento
estratificado.
B.2. Limite Estratificado Liso – Estratificado Ondulado
Ondas podem ser formadas em uma superfície lisa do líquido devido à ação
do gás escoando acima do líquido ou como resultado da ação da gravidade,
inclusive na ausência da fase gasosa (tubos inclinados). Taitel e Dukler (1972)
sugerem que a geração de ondas pelo efeito “vento” é dado por:
≥
sWWK
lg~~
2 (B.9)
com s sendo o coeficiente de escudo (“sheltering”) que é a razão entre a taxa de
perda de energia devido à viscosidade turbulenta e a velocidade mínima do gás
necessária para manter as ondas no líquido apesar desta perda (Young, 1999). No
presente este trabalho, utilizou-se s igual a 0,01 (Taitel e Dukler, 1976). Como no
item anterior, esta condição depende apenas de lh~ .
B.3. Limite Intermitente – Bolhas Dispersas
A transição a partir do padrão intermitente para o regime de bolhas dispersas
está baseada no mecanismo onde as flutuações turbulentas do líquido rompem e
dispersam a fase gasosa em pequenas bolhas dispersas, transformando a energia
cinética turbulenta em energia livre de superfície nas bolhas dispersas (Chen et al.,
1997). Dita transição obedece a seguinte condição:
APÊNDICE B 126
2/165,12Eo
Yww
sg
sl = (B.10)
sendo Eo o número de Eötvös, definido na Eq. B.11:
( )σρρ 2Dg
Eo GL −= (B.11)
B.4. Limite Anular – Intermitente
A Eq. B.6 apresenta o critério para o qual ondas finitas que aparecem no
líquido estratificado podem crescer. Uma golfada estável apresenta-se quando é
fornecida uma vazão de líquido no filme, suficiente para manter dita golfada.
Quando o líquido fornecido é insuficiente, a onda é empurrada para as paredes e o
regime anular é produzido. Isto dá a idéia que o limite entre os regimes
intermitente e anular depende só do nível de líquido em equilíbrio no regime
estratificado. É sugerido que para lh~ < 0,5 estaremos no regime Anular e para lh~ ≥
0,5 estamos no regime intermitente (Taitel e Dukler, 1976).
B.5. Sub-regiões no Regime Intermitente
O regime intermitente apresenta sub-regiões, sendo as típicas a Bolha
alongada, a Golfada e o regime Caótico. Estes regimes possuem uma configuração
parecida, que são golfadas de líquido separadas por bolhas de gás. No regime de
Golfadas, existe uma transferência de gás da bolha para a golfada líquida, de
forma que esta possui uma saturação de ar. No regime caótico a saturação do gás
dentro da golfada líquida atinge um valor no qual a golfada colapsa. O regime de
bolha alongada é um caso de Golfada onde a saturação do gás na golfada líquida é
nula. Barnea e Brauner (1985) propuseram uma relação para encontrar o valor
máximo da saturação do gás que uma golfada líquida pode acomodar dentro dela
em forma de bolhas dispersas para uma determinada velocidade de mistura Wm.
Isto está expresso na Eq. B.12:
25/35/23 725,0
2058,0
−
=
σρ
α lm
mcg W
Df
d (B.12)
APÊNDICE B 127
onde dc é o diâmetro crítico das bolhas dispersas, e será tomado como o valor
mínimo entre dCD (diâmetro crítico acima do qual a bolha é deformada) e dCB que
é o diâmetro crítico da bolha abaixo do qual a migração de bolhas para o topo da
tubulação é evitada. Ditos diâmetros estão expressos da Eq. B.13.
( ) ( ) βρρρ
ρρσ
cos83;4,02
22/1
gWf
dg
d mm
gl
lCB
glCD
−=
−= (B.13)
onde fm é o fator de atrito para a mistura, dado pela relação:
nmm Cf −= Re (B.14)
O cálculo do fator de atrito depende dos coeficientes C e n, que são eleitos
de acordo como o número de Reynolds da mistura:
2400Re2,0;046,02400Re1;16
>⇒==≤⇒==
m
m
nCnC
(B.15)
As expressões para obter o número de Reynolds encontram-se no Capítulo 5
nas equações 5.1 e 5.2.