regla de cramer
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Regla de CramerLa regla de Cramer es un teorema en aacutelgebra lineal que da la solucioacuten de un sistema lineal de ecuaciones en teacuterminos de determinantes Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752) quien publicoacute la regla en su Introduction agrave lanalyse des lignes courbes algeacutebriques de 1750 aunque Colin Maclaurin tambieacuten publicoacute el meacutetodo en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabiacutea del meacutetodo desde 1729) La regla de Cramer es de importancia teoacuterica porque da una expresioacuten expliacutecita para la solucioacuten del sistema Sin embargo para sistemas de ecuaciones lineales de maacutes de tres ecuaciones su aplicacioacuten para la resolucioacuten del mismo resulta excesivamente costosa computacionalmente es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones praacutecticas que pueden implicar muchas ecuaciones Sin embargo como no es necesario pivotar matrices es maacutes eficiente que la eliminacioacuten gaussiana para matrices pequentildeas particularmente cuando son usadas operaciones SIMDSi Ax = b es un sistema de ecuaciones A es la matriz de coeficientes del sistema x = (x1 xn) es el vector columna de las incoacutegnitas y b es el vector columna de los teacuterminos independientes Entonces la solucioacuten al sistema se presenta asiacute
donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-eacutesima columna de A por el vector columna b Haacutegase notar que para que el sistema sea compatible determinado el determinante de la matriz A ha de ser no nuloFoacutermulas expliacutecitas para sistemas pequentildeosSistema de 2 ecuaciones con 2 incoacutegnitasPara la resolucioacuten de un sistema de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas de la forma Dado el sistema de ecuaciones
Lo representamos en forma de matrices
Entonces e pueden ser encontradas con la regla de Cramer con una divisioacuten de determinantes de la siguiente manera
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incoacutegnitasLa regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas es similar con una divisioacuten de determinantes
Que representadas en forma de matriz es
x y z pueden ser encontradas como sigue
DemostracioacutenSean
Usando las propiedades de la multiplicacioacuten de matrices
entonces
Por lo tanto
Aparte recordando la definicioacuten de determinante la sumatoria definida acumula la multiplicacioacuten del elemento adjunto o cofactor de la posicioacuten ij con el elemento i-eacutesimo del vector B (que es precisamente el elemento i-eacutesimo de la columna j en la matriz Aj)
Teorema de Pitaacutegoras
El Teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triaacutengulo rectaacutengulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triaacutengulo los que conforman el aacutengulo recto)Teorema de PitaacutegorasEn todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Si un triaacutengulo rectaacutengulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es c se establece que
De la ecuacioacuten (1) se deducen faacutecilmente 3 corolarios de aplicacioacuten praacutectica
El Teorema del residuoGeneralmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo Considere la funcioacuten polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6 Divida el polinomio entre el binomio x - 2 Podemos realizar la divisioacuten en cualquier meacutetodo Meacutetodo 1 Divisioacuten larga
El residuo es -6 Meacutetodo 2 Divisioacuten sinteacutetica
El residuo es -6 Ahora compare el residuo de -6 en f (2)
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2 Esto ilustra el teorema del residuo Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a el residuo es la constante f ( a ) y
donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ) En otras palabras el dividendo es igual al cociente por el divisor maacutes el residuo La divisioacuten sinteacutetica es un proceso maacutes sencillo para dividir un polinomio entre un binomio Cuando es utilizada la divisioacuten sinteacutetica para evaluar una funcioacuten es llamada la sustitucioacuten sinteacutetica Teorema del factorEn aacutelgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresioacuten en la cual los teacuterminos soacutelo son sumados sustraiacutedos o multiplicados eg (x2 + 6x + 6) Es un caso especial del teorema del residuoEl teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x ndash k) si y soacutelo si k es una raiacutez de f(x) es decir que f(x) = 0EjemploSi se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2 para ello se podriacutea tantear un primer factor (x ndash a) Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0 se sabe que hay un factor iquestEs (x ndash 1) un factor Para saberlo se sustituye x = 1 en el polinomio
Coacutemo esta operacioacuten da 18 (y no 0) (x ndash 1) no es un factor de Asiacute que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = -1 en el polinomio)
Que da como resultado 0 Por tanto x ndash (-1) que es equivalente a x + 1 es un factor y -1
es una raiacutez de
Las otras dos raiacuteces se pueden encontrar dividiendo entre
para obtener un polinomio de segundo grado que se puede resolver de la
siguiente manera Ademaacutes el teorema del factor es muy factible para estos casos
Teorema del restoEn aacutelgebra el teorema del resto afirma que el residuo r que resulta al dividir un polinomio P(x) entre x - a es igual a P(a)Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la divisioacuten la que dice que
donde P(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto y verificaacutendose ademaacutes que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x)En efecto si tomamos el divisor q(x) = x ndash a entonces r(x) tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0) es decir es una constante que podemos llamar r y la foacutermula anterior se convierte en
Tomando el valor se obtiene que
El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa Tambieacuten puede deducirse de eacutel faacutecilmente el teorema del factor de gran utilidad para descomponer un polinomio en factoresEjemplo
Sea
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto
Podemos asegurar entonces que
MEacuteTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n Para calcular la matriz inversa de A que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos Paso 1 Construir la matriz n acute 2n M = (A I ) esto es A estaacute en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha Paso 2 Se deja tal y como estaacute la primera fila de M y debajo del primer teacutermino de la diagonal principal a11 que llamaremos pivote ponemos ceros Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo Ejemplo Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria
Paso 1
Paso 2
El siguiente paso es igual que el anterior pero esta vez se coge como pivote el segundo teacutermino de la diagonal principal Al llegar al uacuteltimo teacutermino de la diagonal se procede igual que antes pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote Se observa que al coger como pivote el uacuteltimo teacutermino de la diagonal la matriz A se transforma en una matriz triangular Una vez realizados todos los pasos la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal En este momento hay que proceder a transformar si es que no lo estaacute la mitad izquierda en la matriz identidad dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
x y z pueden ser encontradas como sigue
DemostracioacutenSean
Usando las propiedades de la multiplicacioacuten de matrices
entonces
Por lo tanto
Aparte recordando la definicioacuten de determinante la sumatoria definida acumula la multiplicacioacuten del elemento adjunto o cofactor de la posicioacuten ij con el elemento i-eacutesimo del vector B (que es precisamente el elemento i-eacutesimo de la columna j en la matriz Aj)
Teorema de Pitaacutegoras
El Teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triaacutengulo rectaacutengulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triaacutengulo los que conforman el aacutengulo recto)Teorema de PitaacutegorasEn todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Si un triaacutengulo rectaacutengulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es c se establece que
De la ecuacioacuten (1) se deducen faacutecilmente 3 corolarios de aplicacioacuten praacutectica
El Teorema del residuoGeneralmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo Considere la funcioacuten polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6 Divida el polinomio entre el binomio x - 2 Podemos realizar la divisioacuten en cualquier meacutetodo Meacutetodo 1 Divisioacuten larga
El residuo es -6 Meacutetodo 2 Divisioacuten sinteacutetica
El residuo es -6 Ahora compare el residuo de -6 en f (2)
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2 Esto ilustra el teorema del residuo Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a el residuo es la constante f ( a ) y
donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ) En otras palabras el dividendo es igual al cociente por el divisor maacutes el residuo La divisioacuten sinteacutetica es un proceso maacutes sencillo para dividir un polinomio entre un binomio Cuando es utilizada la divisioacuten sinteacutetica para evaluar una funcioacuten es llamada la sustitucioacuten sinteacutetica Teorema del factorEn aacutelgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresioacuten en la cual los teacuterminos soacutelo son sumados sustraiacutedos o multiplicados eg (x2 + 6x + 6) Es un caso especial del teorema del residuoEl teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x ndash k) si y soacutelo si k es una raiacutez de f(x) es decir que f(x) = 0EjemploSi se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2 para ello se podriacutea tantear un primer factor (x ndash a) Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0 se sabe que hay un factor iquestEs (x ndash 1) un factor Para saberlo se sustituye x = 1 en el polinomio
Coacutemo esta operacioacuten da 18 (y no 0) (x ndash 1) no es un factor de Asiacute que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = -1 en el polinomio)
Que da como resultado 0 Por tanto x ndash (-1) que es equivalente a x + 1 es un factor y -1
es una raiacutez de
Las otras dos raiacuteces se pueden encontrar dividiendo entre
para obtener un polinomio de segundo grado que se puede resolver de la
siguiente manera Ademaacutes el teorema del factor es muy factible para estos casos
Teorema del restoEn aacutelgebra el teorema del resto afirma que el residuo r que resulta al dividir un polinomio P(x) entre x - a es igual a P(a)Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la divisioacuten la que dice que
donde P(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto y verificaacutendose ademaacutes que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x)En efecto si tomamos el divisor q(x) = x ndash a entonces r(x) tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0) es decir es una constante que podemos llamar r y la foacutermula anterior se convierte en
Tomando el valor se obtiene que
El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa Tambieacuten puede deducirse de eacutel faacutecilmente el teorema del factor de gran utilidad para descomponer un polinomio en factoresEjemplo
Sea
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto
Podemos asegurar entonces que
MEacuteTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n Para calcular la matriz inversa de A que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos Paso 1 Construir la matriz n acute 2n M = (A I ) esto es A estaacute en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha Paso 2 Se deja tal y como estaacute la primera fila de M y debajo del primer teacutermino de la diagonal principal a11 que llamaremos pivote ponemos ceros Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo Ejemplo Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria
Paso 1
Paso 2
El siguiente paso es igual que el anterior pero esta vez se coge como pivote el segundo teacutermino de la diagonal principal Al llegar al uacuteltimo teacutermino de la diagonal se procede igual que antes pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote Se observa que al coger como pivote el uacuteltimo teacutermino de la diagonal la matriz A se transforma en una matriz triangular Una vez realizados todos los pasos la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal En este momento hay que proceder a transformar si es que no lo estaacute la mitad izquierda en la matriz identidad dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Teorema de Pitaacutegoras
El Teorema de Pitaacutegoras establece que en un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triaacutengulo rectaacutengulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triaacutengulo los que conforman el aacutengulo recto)Teorema de PitaacutegorasEn todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Si un triaacutengulo rectaacutengulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es c se establece que
De la ecuacioacuten (1) se deducen faacutecilmente 3 corolarios de aplicacioacuten praacutectica
El Teorema del residuoGeneralmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo Considere la funcioacuten polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6 Divida el polinomio entre el binomio x - 2 Podemos realizar la divisioacuten en cualquier meacutetodo Meacutetodo 1 Divisioacuten larga
El residuo es -6 Meacutetodo 2 Divisioacuten sinteacutetica
El residuo es -6 Ahora compare el residuo de -6 en f (2)
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2 Esto ilustra el teorema del residuo Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a el residuo es la constante f ( a ) y
donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ) En otras palabras el dividendo es igual al cociente por el divisor maacutes el residuo La divisioacuten sinteacutetica es un proceso maacutes sencillo para dividir un polinomio entre un binomio Cuando es utilizada la divisioacuten sinteacutetica para evaluar una funcioacuten es llamada la sustitucioacuten sinteacutetica Teorema del factorEn aacutelgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresioacuten en la cual los teacuterminos soacutelo son sumados sustraiacutedos o multiplicados eg (x2 + 6x + 6) Es un caso especial del teorema del residuoEl teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x ndash k) si y soacutelo si k es una raiacutez de f(x) es decir que f(x) = 0EjemploSi se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2 para ello se podriacutea tantear un primer factor (x ndash a) Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0 se sabe que hay un factor iquestEs (x ndash 1) un factor Para saberlo se sustituye x = 1 en el polinomio
Coacutemo esta operacioacuten da 18 (y no 0) (x ndash 1) no es un factor de Asiacute que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = -1 en el polinomio)
Que da como resultado 0 Por tanto x ndash (-1) que es equivalente a x + 1 es un factor y -1
es una raiacutez de
Las otras dos raiacuteces se pueden encontrar dividiendo entre
para obtener un polinomio de segundo grado que se puede resolver de la
siguiente manera Ademaacutes el teorema del factor es muy factible para estos casos
Teorema del restoEn aacutelgebra el teorema del resto afirma que el residuo r que resulta al dividir un polinomio P(x) entre x - a es igual a P(a)Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la divisioacuten la que dice que
donde P(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto y verificaacutendose ademaacutes que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x)En efecto si tomamos el divisor q(x) = x ndash a entonces r(x) tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0) es decir es una constante que podemos llamar r y la foacutermula anterior se convierte en
Tomando el valor se obtiene que
El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa Tambieacuten puede deducirse de eacutel faacutecilmente el teorema del factor de gran utilidad para descomponer un polinomio en factoresEjemplo
Sea
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto
Podemos asegurar entonces que
MEacuteTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n Para calcular la matriz inversa de A que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos Paso 1 Construir la matriz n acute 2n M = (A I ) esto es A estaacute en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha Paso 2 Se deja tal y como estaacute la primera fila de M y debajo del primer teacutermino de la diagonal principal a11 que llamaremos pivote ponemos ceros Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo Ejemplo Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria
Paso 1
Paso 2
El siguiente paso es igual que el anterior pero esta vez se coge como pivote el segundo teacutermino de la diagonal principal Al llegar al uacuteltimo teacutermino de la diagonal se procede igual que antes pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote Se observa que al coger como pivote el uacuteltimo teacutermino de la diagonal la matriz A se transforma en una matriz triangular Una vez realizados todos los pasos la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal En este momento hay que proceder a transformar si es que no lo estaacute la mitad izquierda en la matriz identidad dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
El residuo es -6 Ahora compare el residuo de -6 en f (2)
Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2 Esto ilustra el teorema del residuo Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a el residuo es la constante f ( a ) y
donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ) En otras palabras el dividendo es igual al cociente por el divisor maacutes el residuo La divisioacuten sinteacutetica es un proceso maacutes sencillo para dividir un polinomio entre un binomio Cuando es utilizada la divisioacuten sinteacutetica para evaluar una funcioacuten es llamada la sustitucioacuten sinteacutetica Teorema del factorEn aacutelgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresioacuten en la cual los teacuterminos soacutelo son sumados sustraiacutedos o multiplicados eg (x2 + 6x + 6) Es un caso especial del teorema del residuoEl teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x ndash k) si y soacutelo si k es una raiacutez de f(x) es decir que f(x) = 0EjemploSi se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2 para ello se podriacutea tantear un primer factor (x ndash a) Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0 se sabe que hay un factor iquestEs (x ndash 1) un factor Para saberlo se sustituye x = 1 en el polinomio
Coacutemo esta operacioacuten da 18 (y no 0) (x ndash 1) no es un factor de Asiacute que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = -1 en el polinomio)
Que da como resultado 0 Por tanto x ndash (-1) que es equivalente a x + 1 es un factor y -1
es una raiacutez de
Las otras dos raiacuteces se pueden encontrar dividiendo entre
para obtener un polinomio de segundo grado que se puede resolver de la
siguiente manera Ademaacutes el teorema del factor es muy factible para estos casos
Teorema del restoEn aacutelgebra el teorema del resto afirma que el residuo r que resulta al dividir un polinomio P(x) entre x - a es igual a P(a)Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la divisioacuten la que dice que
donde P(x) es el dividendo q(x) el divisor c(x) el cociente y r(x) el resto y verificaacutendose ademaacutes que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x)En efecto si tomamos el divisor q(x) = x ndash a entonces r(x) tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0) es decir es una constante que podemos llamar r y la foacutermula anterior se convierte en
Tomando el valor se obtiene que
El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa Tambieacuten puede deducirse de eacutel faacutecilmente el teorema del factor de gran utilidad para descomponer un polinomio en factoresEjemplo
Sea
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto
Podemos asegurar entonces que
MEacuteTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n Para calcular la matriz inversa de A que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos Paso 1 Construir la matriz n acute 2n M = (A I ) esto es A estaacute en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha Paso 2 Se deja tal y como estaacute la primera fila de M y debajo del primer teacutermino de la diagonal principal a11 que llamaremos pivote ponemos ceros Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo Ejemplo Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria
Paso 1
Paso 2
El siguiente paso es igual que el anterior pero esta vez se coge como pivote el segundo teacutermino de la diagonal principal Al llegar al uacuteltimo teacutermino de la diagonal se procede igual que antes pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote Se observa que al coger como pivote el uacuteltimo teacutermino de la diagonal la matriz A se transforma en una matriz triangular Una vez realizados todos los pasos la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal En este momento hay que proceder a transformar si es que no lo estaacute la mitad izquierda en la matriz identidad dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Tomando el valor se obtiene que
El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa Tambieacuten puede deducirse de eacutel faacutecilmente el teorema del factor de gran utilidad para descomponer un polinomio en factoresEjemplo
Sea
Al dividir por obtenemos el cociente
y el resto
Podemos asegurar entonces que
MEacuteTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n Para calcular la matriz inversa de A que denotaremos como A-1 seguiremos los siguientes pasos Paso 1 Construir la matriz n acute 2n M = (A I ) esto es A estaacute en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha Paso 2 Se deja tal y como estaacute la primera fila de M y debajo del primer teacutermino de la diagonal principal a11 que llamaremos pivote ponemos ceros Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo Ejemplo Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria
Paso 1
Paso 2
El siguiente paso es igual que el anterior pero esta vez se coge como pivote el segundo teacutermino de la diagonal principal Al llegar al uacuteltimo teacutermino de la diagonal se procede igual que antes pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote Se observa que al coger como pivote el uacuteltimo teacutermino de la diagonal la matriz A se transforma en una matriz triangular Una vez realizados todos los pasos la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal En este momento hay que proceder a transformar si es que no lo estaacute la mitad izquierda en la matriz identidad dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I)
La mitad izquierda de M estaacute en forma triangular por consiguiente A es invertible Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M la operacioacuten habriacutea terminado (A no es invertible) A continuacioacuten cogemos como pivote a33 ponemos ceros encima de eacuteste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal no hay que operar maacutes Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad para ello hay que dividir la segunda fila entre -1
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A
Para comprobar si el resultado es correcto se procede a multiplicar AA-1 teniendo que dar como resultado la matriz identidad I Comprobacioacuten
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
AA-1 = I
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incoacutegnitas es la siguiente
Cada fila de M corresponde a una ecuacioacuten del sistema y cada columna a los coeficientes de una incoacutegnita excepto la uacuteltima que corresponde a las constantes del sistema Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada especiacuteficamente reducieacutendola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss Meacutetodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se aplica el meacutetodo de Gauss Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Sea el sistema
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el meacutetodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x la segunda a los de la y la tercera a los de la z y la cuarta a los teacuterminos independientes
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
De este modo el sistema tiene la solucioacuten uacutenica x = 2 y = -1 z = 3 La resolucioacuten de sistemas de ecuaciones lineales por matrices aplicando el meacutetodo de Gauss u otros es una de las muacuteltiples aplicaciones que tienen eacutestas Ejercicio Hallar el valor de x y z t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices
a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
La tercera fila se suprime puesto que es muacuteltiplo de la segunda y resultariacutea una fila nula Asiacute el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incoacutegnitas
La solucioacuten del sistema es compatible e indeterminado esto es tiene infinitas soluciones x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 oacute (- 9 - y + 10t y 7t - 7 t) Dependiendo de queacute valores se escojan para y y t salen distintos resultados Asiacute para y = t = 0 tendremos la solucioacuten del sistema x = -9 y = 0 z = -7 t = 0 b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
No hay necesidad de continuar calculando nada maacutes puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI) es decir que no tiene solucioacuten Especiacuteficamente la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacioacuten 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5 que es absurdo Por lo tanto decimos que no tiene solucioacuten DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A denotado por det (A) | A | o
Una tabla ordenada n acute n de escalares situada entre dos liacuteneas verticales llamada determinante de orden n no es una matriz La funcioacuten determinante aparecioacute por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencioacuten de eacutestas DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue
= a11
Asiacute el determinante de una matriz 1 acute 1 A = (a11) es el propio escalar a11 es decir det (A) = |a11| = a11 Ejemplos a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar tenemos det (24) = 24 det(-3) = -3 det (3x+5) = 3x+5 b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 acute 3 arbitraria A = (ai j ) El determinante de A se define como sigue
a12a21a33 -a32a23a11
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Obseacutervese que hay seis productos cada uno formado por tres elementos de la matriz Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo) Para calcular los determinantes de orden tres el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos
Ejemplo Calcular el valor del determinante
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 acute 3 A = (ai j ) puede reescribirse como det (A) = a11(a22a33 ndash a23a32) ndash a12(a21a33 ndash a23a31) + a13(a21a32 ndash a22a31) =
que es una combinacioacuten lineal de tres determinantes de orden dos cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada Esta combinacioacuten lineal puede indicarse de la forma siguiente
Noacutetese que cada matriz 2 acute 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente Ejemplo Para demostrar que la propiedad anterior se cumple trabajaremos con
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n acute n (siendo n un nuacutemero par) Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera
Los signos se van alternando seguacuten la posicioacuten que ocupen las entradas del determinante Es decir
Ejemplo
Si observamos la matriz podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros Asiacute pues si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante nos ahorraremos calcular dos determinantes ya que el producto de un determinante por cero es cero
+ = -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140 ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K El adjunto de A denotado por adj A es la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Ejemplo
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
middot Aplicacioacuten del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A Amiddot(adj A) = (adj A) middot A = |A|I De este modo si |A| sup1 0
Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro meacutetodo la inversa de una matriz Ejemplo Consideremos la matriz
y el det A
Asiacute pues aplicando la propiedad anterior
Ejercicio Calcular por la propiedad anterior la inversa de las siguientes matrices a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B asiacute pues los cofactores de los cuatro elementos de B son B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B denotado por adj B seraacute
b) Empezaremos por hallar el det A
Los cofactores de los nueve elementos de A son
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
CAacuteLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij)
1 El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la liacuteneas (filas o columnas) cuyas entradas esteacuten soacutelo formadas por ceros es decir que sean nulas 2 Consideremos la matriz
A1 = (a11 a12 a1N) y supongamos que
entonces rango (A) sup3 rango(A 1) = 1 3 Antildeadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla
tal que posea un menor no nulo de la forma
Por consiguiente rango (A) sup3 rango(A 2) = 2 Si esto no hubiese sido posible entonces rango (A) = 1 Supongamos que rango (A) sup3 rango (A2) y que i = 2 y j = 2 4 Antildeadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla
de forma que posea un menor de orden tres de la forma
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Entonces rango (A) sup3 rango (A2) = 3 En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor entonces rango (A) = rango (A2) = 2 Suponiendo que rango (A) sup3 rango (A3) y que i = 3 y j = 3 se procederiacutea como en los casos anteriores y asiacute sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A Ejemplos a) Sea la matriz A una matriz de orden tres Hallar el rango (A)
Como A es una matriz cuadrada de orden tres como maacuteximo el rango (A) puede valer tres Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A Asiacute pues
Ya que el resultado es cero probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero Si no encontramos ninguna el rango (A) = 1
Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2 Antildeadimos ahora una columna y una fila maacutes para ver si el rango puede ser tres
Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres el rango (A) = 3 No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz eacutesta tiene que ser cuadrada Asiacute en el siguiente ejemplo b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 acute 4
Como hay una determinante de orden dos no nulo el rango de la matriz B es mayor o igual que 2 Calculamos a continuacioacuten los determinantes de orden superior
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Probamos con un segundo determinante de orden tres
Asiacute pues como hay un determinante de orden tres que no es nulo el rango (B) = 3 Un rango mayor que 3 no se puede hallar ya que no se puede formar un determinante de orden 4 Recueacuterdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz eacutestas tienen que ser cuadradas REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones seguacuten la regla de Cramer son los siguientes 1 Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones esto es que la primera columna esteacute formada por las entradas de los coeficientes de la primera incoacutegnita de las ecuaciones que la segunda columna la formen las de la segunda incoacutegnita y asiacute hasta llegar a la uacuteltima columna que estaraacute constituida por las entradas de los teacuterminos independientes de las ecuaciones 2 Calcular el determinante de A 3 Aplicar la regla de Cramer que consiste en a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los teacuterminos independientes b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incoacutegnita c) continuar sustituyendo los teacuterminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incoacutegnitas Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer Empezaremos con el primer paso que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales
El segundo paso es calcular el determinante de A Asiacute pues
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Y el tercero y uacuteltimo paso consiste en calcular las incoacutegnitas
ANAacuteLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacioacuten se estudiaraacute la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucioacuten y si tienen una uacutenica o infinitas soluciones El estudio o discusioacuten de los sistemas de ecuaciones se efectuacutea aplicando el teorema de Roucheacute-Froumlbenius Eacuteste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas 1 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (SC) esto es que tenga solucioacuten 2 Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (SI) o que no tenga solucioacuten El primer caso puede dividirse en dos a) que sea un sistema compatible y determinado (SCD) esto es que tenga una uacutenica solucioacuten b) que el sistema sea compatible e indeterminado (SCI) es decir que tenga infinitas soluciones Sea un sistema no homogeacuteneo
En consecuencia la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es
y el sistema seraacute compatible cuando rango (A) = rango (A b) lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir tiene una uacutenica solucioacuten
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Si por el contrario tenemos que rango (A) = rango (A b) lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado es decir tiene infinitas soluciones Si rango (A) sup1 rango (A b) el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucioacuten Ejemplos Discutir sin resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
Puesto que rango (A) = 1 sup1 rango (A b) = 2 el sistema es incompatible no existe ninguna solucioacuten
Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado es decir existe una uacutenica solucioacuten
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 lt nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible e indeterminado existen infinitas soluciones Ejercicio Discutir y calcular el valor de las incoacutegnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a)
Calculamos a continuacioacuten el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b) El rango de la matriz A seraacute
El rango de la matriz ampliada (A b)
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = nuacutemero de incoacutegnitas el sistema es compatible y determinado tiene pues una uacutenica solucioacuten Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer Calculamos el det (A)
Aplicando la regla de Cramer
x = 6823 y = -5323 z = -4223
DIVISIOacuteN SINTETICALa divisioacuten sinteacutetica se realiza para simplificar la divisioacuten de un polinomio entre otro polinomio de la forma x ndash c logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisioacutenIlustraremos como el proceso de creacioacuten de la divisioacuten sinteacutetica con un ejemploComenzamos dividieacutendolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos teacuterminos durante el procedimiento los teacuterminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusioacuten al igual que no es necesario bajar los teacuterminos al eliminar estos teacuterminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x asiacute
Como para este tipo de divisioacuten solo se realiza con para divisores de la forma x ndash c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 ndash c por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo tambieacuten se puede lograr una forma maacutes compacta al mover los nuacutemeros hacia arriba nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicioacuten del uacuteltimo rengloacuten al primer coeficiente del residuo (2) tenemos que los primeros nuacutemeros de este rengloacuten son los mismos coeficientes del cociente y el uacuteltimo nuacutemero es el residuo como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Esta uacuteltima forma se llama divisioacuten sinteacutetica pero iquestcoacutemo hacerla sin tanto paso ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisioacuten sinteacutetica
1 Se ordenan los coeficientes de los teacuterminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2 Despueacutes escribimos ldquocrdquo en la parte derecha del rengloacuten3 Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengloacuten4 Multiplicamos este coeficiente por ldquocrdquo para obtener el primer nuacutemero del segundo
rengloacuten (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada)5 Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nuacutemero del tercer
rengloacuten6 Con este uacuteltimo nuacutemero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el
uacuteltimo nuacutemero del tercer rengloacuten que seraacute el residuoEjemplos
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentesPara generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo Para el uso de este meacutetodo puede ser positivo o negativo
Divisioacuten polinomialEn aacutelgebra la divisioacuten polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor gradoEl algoritmo es una versioacuten generalizada de la teacutecnica aritmeacutetica de divisioacuten larga Es faacutecilmente realizable a mano porque separa un problema de divisioacuten complejo en otros maacutes pequentildeosSean los polinomios f(x) y g(x) donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x) existen un uacutenico par de polinomios q(x) y r(x) tales que
con el grado de r(x) menor que el grado de g(x)
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
La divisioacuten sinteacutetica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x) El problema es expresado como un problema de divisioacuten no algebraico
Todos los teacuterminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos expliacutecitamente auacuten si sus coeficientes son ceroEjemploEncontrar
Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicoacute previamente se incluye expliacutecitamente el teacutermino x aunque su coeficiente sea cero)
1 Dividir el primer teacutermino del dividendo por el teacutermino de mayor grado del divisor Poner el resultado arriba de la liacutenea horizontal (x3 divide x = x2)
2 Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer teacutermino del eventual cociente) Escribir el resultado debajo de los primeros dos teacuterminos del dividendo (x2 (x-3) = x3 - 3x2)
3 Restar el producto obtenido en el paso previo de los teacuterminos correspondientes del dividendo original y escribir el resultado debajo Tener cuidado al realizar esta operacioacuten de colocar el signo que corresponda ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego desplazar hacia abajo el proacuteximo teacutermino del dividendo
4 Repetir los tres pasos previos excepto que esta vez utilizar los dos teacuterminos que se acaban de escribir en el dividendo
5 Repetir el paso 4 Esta vez no hay nada para desplazar hacia abajo
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
El polinomio arriba de la liacutenea horizontal es el cociente y el nuacutemero que queda (-123) es el resto
Este meacutetodo es una reminiscencia de los meacutetodos de divisioacuten utilizados en clases elementales de aritmeacuteticaEjemploSea P = 63Xsup3 - 86Xsup2 + 3X + 20 un polinomio de grado 3 y se quiere hallar todas sus raiacuteces Miremos primero si 0 1 o -1 es raiacutez evidente Por suerte () P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0 Como xo = 1 es raiacutez podemos factorizar por X - 1 lo que hacemos mediante una divisioacuten euclidiana
El resto es nulo lo que confirma que 1 es raiacutez y tenemos P = (X-1)middotQ con Q = 63Xsup2 - 23X - 20 Luego las raiacuteces de Q se obtienen resolviendo la ecuacioacuten de segundo grado
Q(x) = 0 y se obtiene y por uacuteltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacioacuten de P P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4)Si A es un anillo la divisioacuten euclidiana en A[X] no es siempre posible Por ejemplo en Z[X] los polinomios con coeficientes enteros no es posible dividir Xsup2 por 2X + 3 porque el cociente (trabajando en R[X]) es X2 y no pertenece a Z[X]La uacutenica condicioacuten para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible En el ejemplo detallado la divisioacuten por X - 1 ( = 1X - 1) no causoacute problema alguno porque el coeficiente dominante es 1 inversible en ZDivisioacuten seguacuten las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequentildeo frente a 1 y hacer las divisiones al reveacutes empezando por las constantes (que son los teacuterminos mayores) y terminando por los Xn con n grande Formalmente se modifica la definicioacuten del grado d o
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
(Xn) = - n La diferencia es que ya no hay unicidad y es necesario fijarse por antelacioacuten una precisioacuten es decir un grado maacuteximo al resto
Por ejemplo dividamos 1 por 1 - X al orden 3 el resto deber haber como teacutermino maacutes fuerte (aquiacute el monomio de menor exponente) a lo mejor X4 La igualdad obtenida (en azul) equivale a
1minusx4
1minusx=1+x+x2+x3
Lo que ademaacutes de ser cierta es un caso especial de la suma de teacuterminos de una sucesioacuten geomeacutetrica
1+q+q2+hellip+qn=1minusqn+1
1minusqY cada valor de n corresponde a una divisioacuten euclidiana con una precisioacuten distinta
Otro punto de vista es considerar a como el inicio del
desarrollo de en serie de Taylor
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Maacutes generalmente la serie de Taylor de una funcioacuten racional se obtiene mediante la divisioacuten euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador Por
ejemplo consideremos la funcioacuten trigonomeacutetrica tangente tansencos
y busquemos su
desarrollo alrededor de 0 al orden 5 Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno y dividirlas descartando sistemaacuteticamente los teacuterminos de orden mayor que aparecen en el caacutelculo Como la funcioacuten tangente es par soacutelo hay tres monomios (en X Xsup3 y X5) que buscar El resultado es
tan x= x+ x3
3+ 2 x5
15+O ( x7 )
La divisioacuten euclidiana tambieacuten existe en los anillos de polinomios de muacuteltiples variable K[XYZ] donde hay varias maneras de definir el grado (parcial total) y otras tantas de proceder a la divisioacuten
Reneacute Descartes encontroacute un meacutetodo para indicar el nuacutemero de raiacuteces positivas en un polinomio Esta regla dice lo siguiente El nuacutemero de raiacuteces reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nuacutemero de cambios de signo de teacutermino a teacutermino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par El nuacutemero de raiacuteces negativas es igual al nuacutemero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par
La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nuacutemero posible de raiacuteces reales de un polinomio p(x) sin graacutefica o resolverlas realmente La regla establece que el nuacutemero posible de las raiacuteces positivas de un polinomio es igual al nuacutemero de cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos o menor que los cambios de signo por un muacuteltiplo de 2Por ejemplo si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los teacuterminos del polinomio entonces el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 3 o 1[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes aseguacuterese de arreglar los teacuterminos del polinomio en orden descendente de exponente]EjemploEncuentre el nuacutemero de las raiacuteces positivas del polinomio
x3+3 x2minusxminusx4minus2Arregle los teacuterminos del polinomio en orden descendente de los exponentes ndash x4 + x3 + 3 x2ndash x ndash 2
Cuente el nuacutemero de cambios de signoHay 2 cambios de signo en el polinomio asiacute que el nuacutemero posible de raiacuteces positivas del polinomio es 2 o 0
Para un polinomio siendo f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + hellip + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
La cantidad de raiacuteces reales positivas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nuacutemero en una cantidad entera par
La cantidad de raiacuteces reales negativas es igual al nuacutemero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nuacutemero en una cantidad entera par
Ejemplo Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de raiacuteces positivas y
negativas del siguiente polinomio x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ninguacuten cambio de signos por lo cual hay 0 raiacuteces positivas
f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio
quedariacutea asiacute f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6
f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aquiacute podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan
cinco cambios de signo por lo cual se deduce que hay 5 raiacuteces negativas Sin embargo como la regla dice que la cantidad de raiacuteces puede ser disminuida en
una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de raiacuteces negativas sea 3 o 1 y dado a que las raiacuteces positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 raiacuteces las raiacuteces faltantes seriacutean raiacuteces imaginarias
Utilidad
La regla de los signos de Descartes es una teacutecnica de faacutecil aplicacioacuten que resulta de suma utilidad para la identificacioacuten de las raiacuteces del polinomio
El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la buacutesqueda de raiacuteces ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucioacuten
Por ejemplo Supongamos que tenemos una ecuacioacuten con dos cambios de signo y que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva (k)
Por la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k (solucioacuten positiva) por lo que la ecuacioacuten tiene dos raiacuteces positivas exactamente Esto indica que solo resta buscar la raiacutez faltante entre los nuacutemeros positivos
Regla de los signos de Descartes relacionado con el nuacutemero de soluciones positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica Este artiacuteculo va a servir para presentar esta regla dar alguna pincelada de su historia y tambieacuten para demostrarla
Queacute es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio
p ( x )=x5+3x4minus5 x2+xminus7Si igualamos p ( x )=0 obtenemos la siguiente ecuacioacuten polinoacutemica
x5+3 x 4minus5 x2+xminus7=0Ordenemos los coeficientes seguacuten el grado del monomio al que multiplican colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor Obtendriacuteamos la siguiente lista
Obviando el cero tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo del 3 al -5 del -5 al 1 y del 1 al -7 Llamando C ( p ) al nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p ( x ) tendriacuteamos entonces que en este caso C ( p )=3Por otra parte si utilizamos un programa informaacutetico para calcular las raiacuteces de dicha ecuacioacuten (bueno aproximaciones de las mismas) obtenemos que tiene una solucioacuten real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada)Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nuacutemero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacioacuten polinoacutemica con el nuacutemero de
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
raiacuteces positivas de dicha ecuacioacuten Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones sino que nos da una cota aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacioacuten muy interesante sobre la cantidad de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Vamos a enunciar esta reglaRegla de los signos de DescartesEl nuacutemero de raiacuteces reales positivas de una ecuacioacuten polinoacutemica con coeficientes reales igualada a cero es como mucho igual al nuacutemero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros)Es decir que el nuacutemero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten Por ejemplo en el caso anterior la ecuacioacuten tendriacutea como mucho tres soluciones reales positivas ya que C ( p )=3 Pero se puede decir un poco maacutes No solamente tenemos una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota De hecho sabemos que si la cota no se alcanza entonces el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten difiere de ella un muacuteltiplo de dos En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacioacuten puede tener tres raiacuteces positivas o tener solamente una pero no podriacutea ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ningunaLa regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filoacutesofo y matemaacutetico franceacutes Reneacute Descartes en su obra La Geacuteomeacutetrie de 1637 aunque no la demostroacute Maacutes adelante en 1707 Isaac Newton reformuloacute dicha regla aunque tampoco dio una demostracioacuten de la misma (se piensa que consideroacute demasiado trivial dicha demostracioacuten) La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemaacutetico franceacutes Jean-Paul de Gua de Malves en 1740 Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien en 1828 mostroacute que si no hay tantas soluciones como cambios de signo entonces el nuacutemero de soluciones difiere del nuacutemero de cambios en un muacuteltiplo de dosDemostracioacuten de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artiacuteculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracioacuten de la misma Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente liacuteder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicioacuten) Supondremos tambieacuten que el teacutermino independiente del polinomio no es cero (esto es que p(0) ne 0) ya que si lo es podemos sacar factor comuacuten un teacutermino de la forma xk que despueacutes se puede eliminarVamos a probar esta regla por induccioacuten en n
Para n = 1 esto es para polinomios de grado 1 el resultado es inmediato ya que si la ecuacioacuten es x ndash a = 0 con a gt 0 (un cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = a (una solucioacuten positiva) Si es x + a = 0 con a gt 0 (ninguacuten cambio de signo) la uacutenica solucioacuten es x = -a (ninguna solucioacuten positiva)
Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n gt 1 con coeficiente liacuteder igual a 1 y con p(0) ne 0 Distinguimos dos casos
1 Si p(0) lt 0 entonces el nuacutemero de cambios de signo de la ecuacioacuten debe ser impar ya que comenzamos en un nuacutemero positivo el 1 que es el coeficiente liacuteder y terminamos en un nuacutemero negativo p(0) Veamos que el nuacutemero de raiacuteces positivas de la ecuacioacuten tambieacuten es impar
Como el grado del polinomio es n se tiene que el teacutermino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x De hecho para alguacuten valor grande y positivo de x digamos x0 se tiene que p(x0) es positivo por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0 x0] tenemos que existe al menos una raiacutez de p(x) en el intervalo (0 x0) esto es positiva
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Si llamamos k a esa raiacutez se tiene que p(x) = (x ndash k) q(x) con q(x) un polinomio de grado n
ndash 1 y tal que q ( 0 )= p ( 0 )minusk
es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo) Aplicando
la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nuacutemero par de raiacuteces positivas por lo que p(x) tiene un nuacutemero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k)
2 Vamos con el caso p(0) gt 0 Si la ecuacioacuten no tiene soluciones positivas entonces la condicioacuten que queremos comprobar se cumple ya que cero es un nuacutemero par En el caso de que la ecuacioacuten tenga alguna solucioacuten positiva llamemos k a una de ellas Como antes tenemos que p(x) = (x ndash k)
q(x) siendo q(x) un polinomio de grado n ndash 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambieacuten) Podemos aplicar la hipoacutetesis de induccioacuten a q(x) lo que nos dice que ese polinomio tiene un nuacutemero
impar de raiacuteces positivas En consecuencia tiene un nuacutemero par de
raiacuteces positivas (todas las de junto con k)
Lo que nos dice todo esto es que el nuacutemero de cambios de signo y el nuacutemero de raiacuteces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares) Es decir que esos dos nuacutemeros son iguales o difieren en un muacuteltiplo de dosNos queda probar que hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas es decir que el nuacutemero de cambios de signo es una cota superior del nuacutemero de raiacuteces positivas Lo vemosSi hubiera maacutes raiacuteces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x) entonces deberiacutea haber al menos dos raiacuteces positivas maacutes que el nuacutemero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes) Manteniendo la notacioacuten anterior tenemos que
al menos deberiacutea haber raiacuteces positivas
Por otra parte se tiene que tiene al menos una raiacutez entre cada dos raiacuteces de
(sabeacuteis por queacute iquestverdad) Por tanto habriacutea al menos raiacuteces de
Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como es decir cambios a lo sumo y ademaacutes su grado es En estas condiciones la hipoacutetesis de induccioacuten nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos es decir cumple que tiene maacutes cambios de signo que raiacuteces positivasLlegamos entonces a una contradiccioacuten provocada por la suposicioacuten inicial Por tanto hay maacutes cambios de signo que raiacuteces positivas
Como comentario final es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nuacutemero
de soluciones negativas de Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raiacuteces positivas del polinomio sino una cota superior de las mismas Por ello no podemos solamente con esta regla cuaacutentas raiacuteces positivas tiene nuestra ecuacioacuten Pero siacute podemos aprovechar alguacuten conocimiento previo sobre las raiacuteces positivas de la misma Pongo un ejemploSupongamos que tenemos una ecuacioacuten polinoacutemica con dos cambios de signo entre sus coeficientes y supongamos tambieacuten que mediante otros meacutetodos hemos encontrado una solucioacuten positiva de la misma digamos kPor la regla de los signos sabemos que la ecuacioacuten tendraacute dos soluciones positivas o no tendraacute ninguna Pero tenemos ya una k por lo que nuestra ecuacioacuten tiene dos raiacuteces
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
positivas exactamente Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raiacutez de la ecuacioacuten podemos hacerlo entre los nuacutemeros positivos ya que seguro que hay otra maacutesTambieacuten se puede combinar el comentario final que nos calcula una cota del nuacutemero de raiacuteces negativas con la propia regla para asiacute obtener maacutes informacioacuten sobre las raiacuteces reales de la ecuacioacuten
Nuacutemero complejo
Definicioacuten Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nuacutemeros reales (a b) oacute (Re(z) Im(z)) en el que se definen las siguientes operaciones
Suma
Producto por escalar
Multiplicacioacuten
Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes Resta
Divisioacuten
Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b) parte imaginaria Se denomina nuacutemero imaginario puro a aquel que esta compuesto soacutelo por la parte imaginaria es decir aquel en el que Cuerpo de los nuacutemeros complejos Los nuacutemeros complejos forman un cuerpo el cuerpo complejo denotado por C (o maacutes apropiadamente por el caraacutecter unicode ℂ) Si identificamos el nuacutemero real a con el complejo (a 0) el cuerpo de los nuacutemeros reales R aparece como un subcuerpo de C Maacutes auacuten C forma un espacio vectorial de dimensioacuten 2 sobre los reales Los complejos no pueden ser ordenados como por ejemplo los nuacutemeros reales por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado
La funcioacuten signo
Con este nuacutemero se cumplen las propiedades
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )
Esta uacuteltima foacutermula es el meacutetodo elegido para calcular el inverso de un nuacutemero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares
Forma polar o moacutedulo-argumental de un nuacutemero complejoA cada nuacutemero complejo z = a + bi se le asigna en el plano complejo un punto P de coordenadas (ab)Si se une el origen de coordenadas O con P se obtiene el vector OP De esta forma a todo nuacutemero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nuacutemero complejo)El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (ab) o mediante la longitud del vector OP y el aacutengulo que eacuteste forma con el eje positivo de abscisasSe llama moacutedulo del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por m o |z| a la longitud del vector OP
m=|z|=radica2+b2
Se denomina argumento del nuacutemero complejo z = a + bi y se representa por a al aacutengulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas Para determinar el valor de a se aplica la foacutermula
tan (α )=ba
La determinacioacuten del argumento no es uacutenica ya que existen infinitos aacutengulos con la misma tangente Si se restringe la determinacioacuten a aacutengulos comprendidos entre 0 y 2p (0deg y 360deg) existen dos aacutengulos que difieren en p radianes (180deg) con la misma tangente El argumento dependeraacute de los signos de a y b es decir del cuadrante en el que estaacute situado el afijo de dicho nuacutemero complejoNotemos que a = m cos(a) y b = m sen(a) Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a )