UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS

ESTADISTICA APLICADA A LA ADMINISTRACION

REGRESION LINEAL SIMPLE

Septiembre de 2011

Regresión lineal y aplicaciones El objeto de un análisis de regresión es investigar

la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables independientes. Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una línea recta:

Y = a + bX donde los coeficientes a y b son parámetros que

definen la posición e inclinación de la recta. El parámetro b, conocido como la “ordenada en el origen,” nos indica cuánto es Y cuando X = 0. El parámetro b, conocido como la “pendiente,” nos indica cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

180

200

220

240

260

280

2500 3000 3500 4000 4500

MILLAS

CO

ST

OS

Relación lineal

directa

Relación lineal

inversa

No existe relación

Método de mínimos cuadrados

Y = a + bX

a = Ȳ - bẌ

b = ∑XY - nẌȲ

∑ X2 - NẌ2

Aplicaciones

Mortalidad con el fumar tabaco

Ingresos con consumo de cierto articulo

Nivel de empleo con PIB

Nivel de deuda con Ingresos

Suponga que un analista extrae una muestra aleatoria de 10 embarques recientes en camión que ha realizado una empresa y registra la distancia en millas así como el tiempo de entrega con una aproximación de medio día desde el momento en que el embarque estuvo disponible para recogerlo.

Flete muestreado Distancia (X) millas Tiempo de entrega (Y) días

1 825 3

2 215 1

3 107 4

4 550 2

5 480 1

6 920 3

7 135 5

8 325 5

9 670 3

10 215 5

Coeficiente de Determinación (r2)

Mide el porcentaje de la variación total en Y que se debe a la variación en X.

Es la proporción de la variación total en Y que puede ser “explicada” por la variación en X?

mide el porcentaje de la variación total en Y que es explicado por la variación conjunta de las variables independientes.

r2xy = variación explicada = ∑(Yc - Ȳ)2

variación total ∑(Y - Ȳ)2

correlación lineal.

Predicción y causalidad

Toda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tiene que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prever o prevenir.

La planificación racional exige prever los sucesos del futuro que probablemente vayan a ocurrir. La previsión, a su vez, se suele basar en lo que ha ocurrido en el pasado. Se tiene pues un nuevo tipo de inferencia estadística que se hace acerca del futuro de alguna variable o compuesto de variables basándose en sucesos pasados. La técnica más importante para hacer inferencias sobre el futuro con base en lo ocurrido en el pasado, es el análisis de series de tiempo.

Series de Tiempo

1. Series económicas: - Precios de un

artículo - Tasas de desempleo - Tasa de

inflación - Índice de precios, etc.

2. Series Físicas: - Meteorología - Cantidad

de agua caída - Temperatura máxima diaria

- Velocidad del viento (energía eólica) -

Energía solar, etc.

3. Geofísica: - Series sismologías

4. Series demográficas: - Tasas de crecimiento

de la población - Tasa de natalidad,

mortalidad - Resultados de censos

poblacionales

5. Series de marketing: - Series de demanda,

gastos, ofertas, etc.

6. Series de telecomunicación: - Análisis de

señales

7. Series de transporte: - Series de tráfico

Componentes de una Serie Temporal

Tendencia (T)

Variación Estacional (S)

Fluctuaciones Cíclicas (C)

Movimientos Irregulares (I)

Definición de Series de Tiempo

Se llama Series de Tiempo a un

conjunto de observaciones sobre

valores que toma una variable

(cuantitativa) en diferentes

momentos del tiempo.

¿Para que se utilizan las series de

Tiempo?

Hoy en día diversas organizaciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prevenir,es decir, se utilizan para predecir lo que ocurrirá con una variable en el futuro a partir del comportamiento de esa variable en el pasado.

Aplicaciones

En las organizaciones es de mucha utilidad

en predicciones a corto y mediano plazo, por

ejemplo ver que ocurriría con la demanda de

un cierto producto, las ventas a futuro,

decisiones sobre inventario, insumos, etc....

No así para el diseño de un proceso

productivo ya que no se disponen de datos

históricos y se trata de un proyecto a largo

plazo

Selección de un modelo

1. El horizonte de tiempo para realizar la

proyección.

2. La disponibilidad de los datos.

3. La exactitud requerida.

4. El tamaño del presupuesto de

proyección.

5. La disponibilidad de personal

calificado.

Comportamiento de los Datos

Los datos se pueden comportar de

diferentes formas a través del tiempo,

puede que se presente una tendencia,

un ciclo; no tener una forma definida o

aleatoria, variaciones estacionales

(anual, semestral, etc.).

Grafico de una Serie de Tiempo

Mientras mas largo sea el periodo en que se hace el promedio,

mas lenta es la respuesta ante los cambios a la demanda

MODELO CLASICO DE SERIES DE TIEMPO

a) TENDENCIA (T).- Movimiento a lo largo de los valores de la serie de tiempo (Y) durante un número prolongado de años.

b) FLUCTUACIONES CICLICAS (C).- Movimientos recurrentes hacia arriba y hacia abajo con respecto a la tendencia y que tienen duración de varios años.

c) VARIACIONES ESTACIONALES (S).- Movimientos hacia arriba y abajo con respecto a la tendencia y que no duran más de un año.

d) MOVIMIENTOS IRREGULARES (I).- Variaciones erráticas con respecto a la tendencia, que no pueden adjudicarse a efectos estacionales o cíclicos.

MODELO CLASICO DE SERIES DE TIEMPO

Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, para series ordenadas secuencialmente de periodos de tiempo.

El análisis de series de tiempo es el procedimiento mediante el cual se identifican y separan los factores relacionados con el tiempo que influyen sobre los valores observados de la serie. Una vez que se identifican esos valores, se les puede utilizar para mejorar la interpretación de los valores históricos de la serie de tiempo y para pronosticar valores futuros.

ANALISIS DE LA TENDENCIA El análisis de tendencia se ocupa de la dirección del

movimiento de la serie de tiempo a largo plazo, es común que esos análisis se lleven acabo analizando datos anuales.

El método de mínimos cuadrados es la base común que se utiliza para identificar el componente de tendencia de la serie de tiempo, determinando la ecuación que mejor se ajuste a la línea de tendencia.

La línea de tendencia no es una línea de regresión, porque la variable dependiente Y no es una variable aleatoria, sino un valor histórico acumulado.

Cuando existe un aumento o disminución a largo plazo se sigue una tendencia lineal, siendo la ecuación de la línea de tendencia utilizando X para representar el año es:

YT= a + bX

donde:

a: representa el punto de intersección de

la línea de tendencia con el eje Y

b representa la pendiente de la línea de

tendencia .

Utilizando X para representar el año, Y

para el valor observado de la serie de

tiempo, las fórmulas para determinar los

valores de b0 y b1 en la ecuación de la

línea de tendencia son:

CUANDO LA SUMA DE X = 0

b = ∑XY a = ∑Y

∑X² n

VARIACION CICLICA Los valores anuales de una serie de tiempo

representan únicamente efectos de los

componentes de tendencia y cíclicos, porque

ya están definidos los componentes estacional

e irregular a corto plazo.

El componente cíclico puede determinarse

dividiendo los valores observados entre el

valor correspondiente de la tendencia de la

siguiente manera:

Y = T x C = C

YT T

VARIACION ESTACIONAL

La influencia del componente estacional sobre los valores de series de tiempo se identifica determinando el número índice estacional asociado con cada mes (o trimestre) del año.

La media aritmética de los 12 números índice mensuales (o de los cuatro números índice trimestrales) es 100.

La identificación de influencias estacionales positivas y negativas, es importante para la planeación de producción e inventario.

PROCEDIMENTO PARA DETERMINAR NUMEROS INDICES ESTACIONALES: METODO DEL COCIENTE DEL PROMEDIO MOVIL

1. Determinar el cociente de cada valor mensual, en relación con el

promedio móvil centrado en ese mes. Se representa

simbólicamente:

Promedio Móvil T X C

Y = T S CI = SI

PROMEDIO MOVIL TC

2. Promediar el componente irregular:

Enlistando los diversos cocientes aplicables al mismo mes (o trimestre)

de varios años, calculando la Media Modificada

3. Ajustar los cocientes medios modificados con un factor de corrección

tal que la suma de los doce cocientes mensuales sea de 1200.

PROCEDIMIENTO PARA DESARROLLAR UNA SERIE DE TIEMPO

1. asignar los valores de X de tal forma

que la suma de X = 0

2. calcular los valores de a y b en la

ecuación YT = a + bX

3. Determinar los totales móviles para

cada periodo.

4. Suma de dos totales móviles si la serie

es par.

5.- determinar los promedios móviles 6.- calcular SI por medio de Y/TC (promedio móvil) 7.- determinar los valores estacionales S por factor de ajuste 8.- obtener TCI a través de Y/S 9.- determinar CI por medio de TCI/T 10.- obtener el total móvil para series impares = CI 11.- calcular el promedio móvil = C 12.- obtener el valor de I = CI/C 13.- comprobar resultados a través de Y = TSCI 14.- Elaborar dos graficas: una para la tendencia T y los datos originales Y, y una para los valores de S, de C y de I.

EJEMPLO: LA SIGUIENTE TABLA PRESENTA LAS VENTAS TRIMESTRALES DE LA EMPRESA DE SOFTWARE GRAFICO. DETERMINE LOS VALORES DE LA SERIE DE TIEMPO Y GRAFIQUE LOS RESULTADOS.

AÑO/TRIMESTRE

2005 2006 2007 2008 2009 2010

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

5

0

0

3

2

0

2

0

0

4

0

0

4

5

0

3

5

0

2

0

0

3

0

0

3

5

0

2

0

0

2

5

0

4

0

0

5

5

0

3

5

0

2

5

0

5

5

0

5

5

0

4

0

0

3

0

0

6

0

0

7

5

0

5

0

0

4

0

0

5

5

0

Sean felices mientras puedan