relaciones métricas 4to - ayacucho

PROF: OSCAR HUAMAN MITMA


GEOMETRIAEl

mundo

esta

lleno

de

figuras


D O C E N T E :

O S C A RH U A M A N

M I T M A


INDICADORES DEL TEMA: PROPUESTO EN EL PROYECTO DE APRENDIZAJE

RELACIONES MÉTRICAS1.-IDENTIFICAR LOS TEOREMAS QUE SE

CUMPLEN CON LAS RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

2.-APLICAR LOS TEOREMAS DE RELACIONES MÉTRICAS EN EJERCICIOS VARIADOS.


CATETO bCATETO a

C Hipotenusa

m Proyecciones n Proyecciones

h Altura relativa


RELACIONES METRICAS EN UN

TRIANGULOSON LAS PRINCIPALES

RELACIONES QUE SE DAN ENTRE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS, ALTURA Y PROYECCIONES EN UN

TRIÁNGULO RECTÁNGULO


TEOREMA 1• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO

EL CUADRADO DE UN CATETO ES IGUAL AL PRODUCTO DE SU PROYECCIÓN POR LA HIPOTENUSA

a b

m nc

a2= m.c

b2= n.ch


PRIMER EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 1

• Hallar el valor de la longitud del cateto mayor “a” si su proyección mide 3m y la hipotenusa mide 12m

a

312

a2= 3. 12

a2

= 36a = 6

h


SEGUNDO EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 1

• Hallar el valor de la longitud del cateto menor “b” si su proyección mide 4m y la hipotenusa mide 16m

b

416

b 2= 4. 16

b2

= 64b = 8

h


TEOREMA 2: PITAGORAS

• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO LA HIPOTENUSA AL CUADRADO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS

a b

cc

2= a b

2+

2h


PRIMER EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 2

• Determinar el valor de la hipotenusa, en un triángulo rectángulo cuyo cateto menor mide 3m y el cateto mayor mide 4m

4 3

c

c2

= 4 32

+2

c2

= 16 + 9c 2

= 25c = 5

h


SEGUNDO EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 2

• Determinar el valor del cateto menor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25m y su cateto mayor mide 24m

24 b

25

252

= 24 b2

+2

625 - 576 = b2

49 = b7 = b

2

h


TEOREMA 3• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL

CUADRADO DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA ES IGUAL AL PRODUCTO DE LAS PROYECCIONES DE LOS CATETOS SOBRE LA MISMA

hm n

h2

= m. n


EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 3

• Calcular la altura relativa a la hipotenusa si la proyección del cateto mayor es 12m y del cateto menor es 3m

h12 3

h2

= 4 . 3

h2

= 36

h = 6


TEOREMA 4• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL

PRODUCTO DE CATETOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA HIPOTENUSA POR LA ALTURA RELATIVA

a bh

c

a . b = c .h


EJEMPLO SOBRE EL TEOREMA 4

• Hallar la altura de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 3m y 4m respectivamente y su hipotenusa mide 5m

4 3h

5

4 . 3 = 5 . h125

= h

2,4 = h


TEOREMA 5• EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO LA

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS ES IGUAL A LA INVERSA DEL CUADRADO DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

a bh

1

a 2+

1

b2

=1

h2


TRIADAS PITAGORICAS

• Los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo aceptan valores enteros, estos se llaman triadas pitagóricas

CATETO CATETO HIPOTENUSA3 4 55 12 137 24 258 15 17

20 21 299 40 41

11 60 6113 84 8528 45 53


RELACIONES METRICAS EN UN TRIANGULO OBLICUÁNGULO

• Un triángulo oblicuángulo puede ser: acutángulo, si sus ángulos miden menos de noventa grados y obtusángulo si uno de sus ángulos mide más de noventa grados

Triángulo acutángulo Triángulo obtusánguloA C

B

B

C

A

A,B,C = 90° B > 90°

h h


TEOREMA DE EUCLIDES (1)

• En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel

c2 = a2 + b2 - 2bma

b

c

m

h


EJEMPLO• Calcular la medida de uno de los lados de un

triángulo acuángulo sabiendo que los otros dos miden 7m y 4m respectivamente y la proyección de uno de ellos sobre el otro es de 2m.

c2 = a2 + b2 - 2bm7

4

c

2

c2 = 72 + 42 - 2(4)(2)c2 = 49 + 16 - 16C = 7

h


TEOREMA DE EUCLIDES (2)

• En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel.

b

ca

m

c2 = a2 + b2 + 2bm h


EJEMPLO• Calcular el valor del lado que se opone al ángulo

obtuso de un triángulo obtusángulo de lados 3m y 4m y la proyección del lado menor sobre el mayor es 2m

4

c3

2

c2 = a2 + b2 + 2bmc2 = 32 + 42 + 2(4)(2)c2 = 9 + 16 + 16c2 = 41c = 41


TEOREMA DE LA MEDIANA

• En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana.

a2 + b2 = 2mc2 + c2/2

a

c

bmc


EJEMPLO• Calcular la mediana de un triángulo cuyos

lados son 7m, 9m y 10m respectivamentea2 + b2 = 2mc

2 + c2/2

7

10

9mc

49 + 81 = 2mc2 + 100/2

130-50 = 2mc2

80 = 2mc2

40 = mc2

2 10 = mc

72 + 92 = 2mc2 + 102/2


AUTOEVALUACION• ¡ A U T O E V A L U A R T E ¡

. . E S S E R R E A L I S T A C O N

E L C O N O C I M I E N T O Q U E

H A S A D Q U I R I D O

• ¡ A U T O E V A L U A R T E ¡ . . E S S E R R E A L I S T A

C O N E L C O N O C I M I E N T O

Q U E H A S A D Q U I R I D O


PREGUNTA 1• En la siguiente figura, calcular el valor de

“x”

x

412

a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 5


PREGUNTA 2• En el siguiente triángulo; calcular el valor de “x”

x512

a)60/13 b)6/13 C)13/6 d)13 e) 60


PREGUNTA 3• Calcular “y” en el siguiente triángulo rectángulo

4 3

5

a)2,3 b)3,2 C)2,4 d)4,2 e)6

y


PREGUNTA 4•Calcular la medida de “y”

a)5cm

x

5 cm

9 cm

y

b)3cm c)4cm d)5,6cm e)2cm


PREGUNTA 5• Se tiene un rectángulo ABCD. Sobre

el lado CD se toma el punto P, tal que PA = 15cm, PB = 13cm, PC = 5cm. Hallar PD

a)5cm b)3cm C)4cm d)6cm e)9cm


PREGUNTA 6• Los catetos de un triángulo

rectángulo ABC, miden AB = 8cm y BC = 15cm. ¿Cuánto mide el lado que falta?

a)12 b)15 C)14 d)17 e)16


PREGUNTA 7• Calcular el valor de “x” en el siguiente

triángulo oblicuángulo

6

5

7

x

a)1,2 b)1,5

c)1,4 d)1,6

e)1,3


PREGUNTA 8• En el siguiente triángulo oblicuángulo,

determina el valor de “x”

x

4

5

2

a) 12 b) 15

c) 13 d) 14

e) 17


PREGUNTA 9• Hallar el valor de “x” en el siguiente triángulo

3

10

8

x

a) 46 / 2

b) 23

c) 46 / 3 d) 46

e) 2 / 46


PREGUNTA 10• Determinar el valor de “x” en la siguiente

triángulo acutángulo

5

107

x

a) 4,6 b) 2,3

c) 2,6 d) 3,4

e) 4,3


PREGUNTA 11• Calcular el valor de “x”

1

6x

2

a) 3 b) 13

c) 21 d) 12

e) 31


EXCELENTE• ¡ BUEN TRABAJO !

AHORA TIENES COMO TAREA ENCARGADA, ¿Cuál es el concepto de relaciones métricas?, CREAR 5 PROBLEMAS Y RESOLVERLOS

¡ ES UN GUSTO VOLVER A FELICITARTE ¡


DIRECCION QUE TE PERMITE ENCONTRAR MÁS CONTENIDOS EN INTERNET

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_M%C3%A9tricas_en_el_Tri%C3%A1ngulo

http://www.grupocerpa.com/gcpages/gcrmtrirect.htm

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