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5/11/2018 Relaciones Metricas en La Circunferencia - Www.gratis2

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vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVIBELACIONES METlUCASEN LA ClHClJNPEBENCIil

CLAUDIO PTOLOMEOClaudio Ptolomeo, en griego Klaudios Ptole-

maios; (Tolemaida, Tebaida, c. 85 -Can ope, c. 1Qfi;otros autores dicen c. 100 - c.1lQ). Astronomo, ~grgfQ y matematico greco-egipcio, lIamado comun-men te en espanol Ptolomeo (0 Tolomeo).

Vivio y trabajo en Aleiandrla, Egipto (se creequeen lafamosa Biblioteca de Aleiandrlal. Fue astrologoy csrronomo, adividades que en esa .poca estabanIntimamente ligadas. Es autor del tratado astronomi-co conocido como Aim agesto (en griego He MegaleSyntaxis, EI gran tratado). Se preservo, como todoslos tratados griegos clasicos de ciencia, en manuscri-tos arabes (deahl su nombre) ysolo disponibleentraduccion en latIn de -""""-"''-''-''-''-'''-''''''-''''-'-'-''''-'-'''';:;;,-sigloXll.Heredero de la concepcion del Unipor Platon y Aristoteles, su metodo detrabajo difirionotablemente del de estos, pues mientras Platon yAristoteles dan una cosmouisicn del Un ivers 0, Tolo-meo es un empirista. Su trabajo consistio en estudiarla gran cantidad de datos existentes sobre eI movi-mien to de los planetas con eI fin de construir unmodelo geometrico que explicase dichas posicionesen eipasado y fuese capaz deprededr sus posicionesfuturas.

La ciencia griega tenIa dos posibilidades en suintento de explicar lan aturaleza: la explicacion rea-lista, qu e consistirla en expresar de forma rigurosa yracionallo querealmenteseda en la naturaleza; y laexplicacion positivista, queconsistirla en exptesar deforma racional 1 0 aparente, sin preocuparse de la

Tolomeo afirma expllcitamente que su sistempretende desrubrir la realidad, siendo solo undo de calculo. Es logico que adoptara un esqpositivista, pues su Teorla geocentrica se opogran temen te a laflsica aristoteJica:por ejemporbitas desu sistemason excentricas, en contrcion a las circulares y perfectas de Platon yArles.

Ptolomeo catalogo muchas estrellas, asignles un brillo y magnitud, establecio normas pardecir los eclipses.

Su aportacion fundamental fue su mode


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. . . . _ _ , . \ I \ I ~ " " ~ \ I V ~ _LIBROS I!:DE: 1 _ blog5520t_co rnplanetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pe- propiedades de la luz. Otra gran obra suya es lsar de ello, median te la tecnica del epicic/o-deferen-ill cuya invenci6n se atribuye a Apolonio trata deresolver con bastante hito los dos gran des proble-mas del movimiento planetario:1. La retrogradaci6n de los planetas ysu aumento

de brillo, mientras retrogradan.2. La distinta duraci6n de las revolucion es siderales.

Sus teorlas astron6micas influyeron en eI pensa-miento astr6nomo y matematico cientffico hasta eIsigloXIIl.

Aplic6 sus estudios de trigonometrla a la cons-trucci6n de astrolabios y reloies de sol. Y tambienaplic6 eI estudio de la astron omla al de la astrologfa,creando los hor6scopos. Todas estas teorlas y estu-dios estan escritos en su obra Tetrabiblon.Fue tambien un buen 6ptico y ge6grafo. En eI campode la 6ptica exploro lospropiedades de la l . ! J . L sobretodo de la refrao:i6n y la reflexi6n. Su obra Optica esun buen tratado sobre la teorla matematica de las

grafla, en que describeel mundo desu epoca.un sistema de latitud y longitud por 1 0 quesirvejemplo a los cart6grafos durante muchos anosde las ciudades descrita en esta obra es La Mela PenInsula Arabiga, a la que llama Makoraba

EI mundo de la musica tampoco fue ignpor Ptolomeo. Escribi6 un tratado de teo rIa mIlamado Harm6nicos. Claudio Ptolomeo, pengrigo del siglo II d de J.c., pensaba que lasmatematicas subyadan tanto los sistemas muscom los cuerpos celestes, y queciertos modosciertas notas correspondlan a planetas espedlas distancias entreestos ysus movimientos. Lhabla sido propuesta por Plat6n en eI mitomusica de las esferas, que es la musica no escproducidapor larevolud6n de los plan etas. Lade la musica y lapoesla es otra con cepci6nsobt eet genero musical. Eran pradicamente smos.

FRANCOIS VIETTE Naci6 en Fontenay-Ie-comte, Francia, en 1540 y fallOParIs eI 23 de febrero de 1603.Matematico frances, jurista seglin su instrucci6n y gene

adividad. Durantesus actividadespedag6gicas en un afinfluyenteseleocurri6 eI plan deun nuevo sistema astron6que debla sustituir eI sistema deCcpernico, incompletoseglopini6n. En relaci6n con esta idea, Viette dedic6 muchos ezos alperfeccion ami en to de la trigonometrfa dandole sudefinitiva en Canon mathematicus (1570).Desde eI ana 1584 hasta el ana 1589 escribi6 el tprincipal de su vida: Introduccion al arte del analisis,

Este trabaj6sepublic6 desdeel ana 1591 por partes, emedida despues de la muerte del autor y no fuetotalmentepletado.

La idea de Viettese determinabapor las siguientes coraciones en la resoluci6n de las ecuaciones de3 y 40 Adde conjugar laefedividad de los metodos algebraicos con e


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vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVIViette y que rep res entaban segUn su opinion mode-los de au ten tico analisis cientffico.

Con ocio aDioiaato y Cardano. Se ocupo fin al-mente de diversas cuestiones geometricas. Uzo e/mismo sistema queArqufmedes para calcular e/ nu-mero pi ( 1 1 : ) , con polfgonos de muchos lados. Conun polfgono de393216 lados obtuvo un valor depicon 10 decimales. Una gran hazana para su epoca

tam bien encontro una expresion de pi basadcalculo de Ifmite.

d1 a d+bc r ; ab+c-d

RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Si dos 0m3S cuerdas seintersec!an en un punta 1. En la figura hallar x.interior de una circunferencia, el producto de las ~longitudes de los segmentos que determinan dichas f ! : ' t - A 4 3 0cuerdas es constante, $' x 6

A 0 ~ C B

B1 ApxPB=CpxP-rJ 1= > 1 ab =x y 1 FLECHA 0 SAGITA:

Es el segmento perpendicular, trazado de

TEOREMA DE LAS CUERDAS: Problema de Aplicaci6n:

RESOLUCI6N:x3=46: . 1 x = 8 1

Demostraci6n:punta medio del arco, a la cuerda que subtdicho areo.

A e . J N M B0'\

\

1. Se forma los trianqulos APC A BPO2. t.APC - t.BPO

AP CP NM pasa porcentro de la circunferencla.

3. PO PB: . 1 AP PB = PO CP 1 L.q.q.d.

MN - - - ' flechadonde: 1 AM =MBTambien: I AN =N


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. . . . . _ _ , . \ I \ I ~ " " ~ \ I V ~ _LIBROS I!:DE: 1 _ blog5520t_cornProblema de Aplicaci6n: RESOLUCION:1. En una circunferencia, una cuerda mide 16m; y

su flecha mide 4m. Hallar e1 radio de la circun-ferencia.RESOLUCION:

CA @ Bo

1. Si AB = 16m = > AM = MB = 8 mMC= 4m

2. CD = 2r (diametrojcc-Ml) = CD - 43. AM MB=CMMD (temema de las cuerdas)

8'8=4'(2r-4)2r = 20 .. 'I r-=-l"""O"1

TEOREMA DE LA TANGENTE:Si desde un punta exterior a una circunferencia

se traza una tangente y una secante. La longitud dela tangente al cuadrado es igual al producto de lasecante completa pm la parte externa.

don de: AP ---)0 secante completaBP ---)0 parte externa

Problema de Aplicaci6n:1. En e1 qrafico. Hallar BC:

Si : AT2 = AC . AB= > 52 = 10 ABpero: AB + BC = 10 = > BC= lO-A

BC = 10 -2,5 = 7,5I BC=7,51

TEOREMA DE LA SECAN1E:Si desde un punta exterior a una circunfer

se trazan dos 0 mas secantes, el productolongitudes de la secante entera por su parte exes igual a otra secante entera por su parte ext

p

I PBPA= POPC IProblema de Aplicaci6n:1. En la figura: Hallar x .

RESOLUCION:De la figura:

6 (6 -x) = 8x3 (6 -x) = 4x18-3x = 4x

7x = 18


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vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVITEOREMA DE PTOLOMEO: TEOREMA DE VIE1TE:

puntos medios de sus diagonalesfuera 1m. Ha- * ' ....#'0 'I I d DC DAver"lce : comun a os a os yliar la suma de las longitudes de sus diagonales. ./RESOLUCION: , =>::. =~@ ..~ yab+cd;""- Problema de Aplicaci6n:y 3 1. En la figura hallar la longitud de las diago1 '1 D @ cor el Teorema de Euler:1) 12+22+32+42=4(1)2+x2+y2

x2 + y2 = 26 ... (a )2) Por el teorema de Ptolomeo:

xy=13+24xy = 11... ( 1 3 )

=> 2xy=2112xy =22 ... ( I j l )

de (a ) y ( I j l ) (sumando m.a.m.)x2 + 2xy + y2 = 48 => (X+y )2 = 48x+y= . J 4 8

I Hy=4.J31

En todo cuadrilatero inscrito 0inscriptible; elproducto de las longitudes de las diagonales es igualala sumadel producto de las longitudes delos Iadosopuestos.

Sea: 0ABCDdonde AC= x 1\ BD =y

=> I x y = a c+bd IProblema de Aplicaci6n:1. Si los lados de un cuadrilatero inscrito miden 1,

2,3, 4m y la longitud del segmento que une los

En todo cuadrilatero inscriptible 0 inscreladon entre las longitudes de las diagonales eala relacion de las sumas de productos de lastudes de los lados que tengan a los extremosdiagonales como vertices comunes.

Sea el 0ABCD: donde: AC =x 1\ C* vertice A : cornun a los lados AB y BC* vertice C: comun a los lados CB y CD* vertice B : comun a los lados BC y BA

RESOLUCION:1) X Y= 2a a + 2a 3a (T . Ptolomeo)

xy = 202 + 6ifxy = 8 02 ... (a )

2) x (2a)(3a)+(2a)(a)y (2a)(2a)+a(3a)(T . Viette)x x 8=> -=-...1 3 )y 7


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. . . . . _ _ , . \ I \ I ~ " " ~ \ I V ~ _LIBROS I!:DE: 1 _ blog5520t_co rnde (a ) 1\ (p): se multiplica m.a.m. RESOLUCION:

I x=8af=a I1: .=2.x 8eemplazando en (p):

7 ..fiy =_. 8-a =..fia8 7TEOREMA DE ARQuIMEDES:

En todo cuadrilatero inscrito 0 inscriptible si lasdiagonales se cortan perpendiculannente se cumple:

Sea el DABCD:0{ < AC .L BDenP

1) La suma de los cuadrados de las longitudes dedos lados opuestos es igual a fa suma de euadra-dos de los otros dos.

I 2 2 2 2=> a +c = b +d2) La suma de cuadrados de las longitudes de los

segmentos determinados en la diagonales es iguala 4 veces el cuadrado del radio de la eircunfe-rencia cireunserita.

=> I m2 + n2 + p2 + q2 =4R2Problema de aplicaci6n:1. En la figura hallar R

4R2 = 22 + 42 + 62 + 32 (2do. Teorema)4R2 =4 + 16 + 36 + 9 = 65

R2 = 654

REClAS ISOGONALESSon aquellas que, partiendo del vertice, fo

imgulos congruentes con los lados de un angulA

L:i;~'o ~tambien se dice que son simetricas respectobisectriz del mismo anqulo.o y

-7 -7donde: ox y oy, se lIaman isogonales respecto__" __"lados OA y OB .

TEOREMA DE lAS RECTAS ISOGONALEEn todo trianqulo se cumple que:EI producto de las longitudes de dos lad

igual al producto de las longitudes de los segmisogonales correspondientes al anqulo que fodichos lados, uno de ellos limitado por el tercedel trianqulo y el otro por la circuenferencia cierita a dicho trianqulo.


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vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVISea el AABC donde:

BP y BQ (rectas isogonales)I ABBC=BPBQ I

Problema de aplicaci6n:1. En la figura hallar la altura BH:

Si: AB = 2 y BC = 12

A C04tambien se cumple: RESOLUCION:En la figura se traza el diametro BO .

don de: BH 1\BO son rectas isogonalesBO ~ Oiametro (BO = 2R)

: : : : : > I a c= 2R . BH I L~@nde:, BO = 2R m


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....._ --_,.\I\I~""~\IV~-IBROS I!:DE: 1 _ blog5520t_co rnResolution: (I) + (II)(AB)(CD) +(BC) (AD)=AC(BF+FD);(BF+FD=B

:. (AB)(CD) +(BC) (AD)= (AC)(BD)c

o

En la figura se traza: AE//BD1l.ABC -1l.DCF~ g = ~g::::>(AB)(CD)=(FD)(AC) ... ( I )1l.CFB -1l.CDA

~g= ~~::::> (BC)( AD) = (AC)(BF) ... (II)

2. ProblemaEn la figura, eI triangulo ABC es equilateroun punta de lacircunferencia e . DemostraPA = PB + PC.

B

e~

~

~ ~1. En la figura: TP = 9, AB = 3, mAD = mCD yTes punta de tangencia. Calcule BC.

Rpta.: .

2. En la figura: BC=3,TD=8, AT=6 y T espunta de tangencia.CalculeAT.

3. En la figura: FE = EC = CB y DC = 2,Calcule DL .LN

Rpta.:

4. En la figura: PM=4,PN=7,5, QN=5,QB= 10, QM=6,A y B son puntos detangencia. CalculePA.

Rpta.: Rpta.:..v_,_,..J..-nI.A._~E1J-:E.IA.~ -hh-.$I. OCOH.


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vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVI5. En la figura:

AB = 6, BC = 2, FE = 8, mBE = fT1


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. . . . . _ _ , . \ I \ I ~ " " ~ \ I V ~ _LIBROS I!:DE: 1 _ blog5520t_co rnC iJ r .o l l t e m a s : ClhOfnUes:~as:!J~~ ~ J':,t _.....~:-.' 4i!J~'!YF , .__..~~:.- '~~

B A) ~a (a+b)B ) ~b (a+b )C).,Iab

A) 0,5B) 2,5C) 10) 2E) 3 OJ ~a ( 2a+b )"'llVllV..J._-nIA._~E1J-:EIA_~ .bh.$I-S~~"""",~",,-_---,


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9. En la figura: BP = 3, PC = 4 y el trianqulo ABCes eq uilatero, Ca1cule AP

vvvvvv_GR.A.-.-.S.2_OoIVI10. En la figura: T y L son puntas de tange

5 (TA) =4 (AB) y TN = 8. Ca1cule LM.A) 5B) 6C) 70) 8E) 9

MITOWGiA GRIEGA:AVE FENIXAvefabulosa de enormetamano, tenfaforma de

aguila y ostentaba en su plumaje unos colores tanhermosos, que las bell as plumas del pavo rea1pali-decerfan a su lado. Es originaria de Etiop,cfify estarelacionada con eI culto al sol en Egipto.

Las tradiciones difieren respecto a la duracionde su vida, quesegtin unos serfa deunos quinientosanos y segtin otros alcanzarfa laformidable cifra dedoce mil novecientos cincuenta y cuatro orios, Eraun animal unico en su genero, por 10 que no podfareproducirseuniendosea otrodesu misma especie.Vivfa en Etiopfa hasta el momenta de su muerte.Cu ando sentfa lIegar la Eipocade su defuncion, for-maba una pira con plantas aromaticas como eI in-cienso y eI cardomomo. Aquf las tradiciones discre-pan tomando varias direcciones. La version m a spopular relata como eI Fenix setumbaba en lapira,la prendfa fuego y de sus cenizas surgfa eI nuevoFenix. Otra version sin embargo, relata como eI AveFenixuna Ve2" acostado en lapira, muere impregna-

oA) 20) .J 2 B) 3E) . J 3 C) 4su propio semen. De aquf nace eI n

Fenix, que toma eI cadaver de su padre y 10 depen eI interior de un tronco de mirra hueco. Detransporta eI tronco hasta la ciudad de Heliopo

En su viaje es acompanado por un concucortejo, compuesto por bandadas de aves de dtas especies. Cuando lIega alaltar del sol, en eplo de Heliopolis, deposita a su antecesor sobaltar. Un sacerdote del templo del sol comprcon un antiguo dibujo del Fenix la autenticidaanimal y una Ve2"hecha la compro-baci6n, incinera alviejo Fenix.

Concluida laceremonia, eI nue-vo Fenixregresa aEtiopfa don de vivealimentandose degotas de inciensohasta elfin desus dfas.

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