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269269269269269Geometra Euclidiana

66666Relacionesmtricas

Mdulo 20Segmentos proporcionales

Mdulo 21Semejanza de tringulos

Mdulo 22Relaciones mtricas

Mdulo 23Relaciones mtricas en la circunfe-rencia

AutoevaluacinCaptulo 6, mdulos 20 al 23

Captulo 6

Este captulo trata el tema de la geometra que ms dificultad les da a los estudian-tes. Por eso se empieza haciendo un repaso aritmtico de las proporciones con suspropiedades, que luego se aplican en el estudio de los segmentos proporcionales yespecialmente en el teorema de la bisectriz. Posteriormente se analiza la semejanzade figuras geomtricas y particularmente la de tringulos, que permite establecerrelaciones entre los lados del tringulo y llegar as a la demostracin del teorema dePitgoras como relacin bsica en el tringulo rectngulo.

El teorema de Pitgoras hace posible que se puedan establecer relaciones mtricasen un tringulo cualquiera, tales como el lado en funcin de los lados y el teoremade Stewart que es bsico para hallar la mediana y la bisectriz en funcin de loslados. Se halla adems la frmula de Hern de Alejandra y se demuestran losteoremas de Euler, Menelao y Ceva, que establecen otras relaciones entre los ladosde un tringulo. Finalmente se estudia la potencia de un punto respecto a unacircunferencia y se analiza el segmento ureo, adems de la relacin que hay entrelos lados de un polgono de n lados y un polgono de 2n lados, inscritos en uncrculo.

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271271271271271Geometra Euclidiana

Objetivos del mObjetivos del mObjetivos del mObjetivos del mObjetivos del mdulodulodulodulodulo

Preguntas bPreguntas bPreguntas bPreguntas bPreguntas bsicassicassicassicassicas

Vea el mdulo 20 delprograma de

televisin GeometraEuclidiana

Segmentos proporcionalesSegmentos proporcionalesSegmentos proporcionalesSegmentos proporcionalesSegmentos proporcionales2020202020

Contenidos del Contenidos del Contenidos del Contenidos del Contenidos del mdulouloulouloulo

20.1 Proporciones (revisin)20.1.1 Propiedades de las proporciones

20.2 Segmentos proporcionales

1. Definir una proporcin.2. Enumerar las propiedades de las proporciones.3. Definir la divisin de un segmento en una razn dada.4. Demostrar el teorema fundamental de segmentos proporcionales y su recproco.5. Demostrar el teorema de la bisectriz (interior o exterior) de un tringulo y su recproco.

1. Qu es una razn?2. Qu es una proporcin?3. Cmo se llaman los elementos de una proporcin?4. Qu propiedades tienen las proporciones?5. Qu son segmentos proporcionales?6. Cmo se establecen proporciones entre segmentos?7. Cul es el teorema de la bisectriz?8. Cmo se calculan los segmentos determinados por las bisectrices?

Introducc Introducc Introducc Introducc Introduccinnnnn

Se inicia este mdulo con una revisin sobre las proporciones de cantidades realesy se pasa luego a estudiar los segmentos proporcionales. Se analizan despus lossegmentos determinados, sobre los lados de un tringulo, por una secante paralelaal tercer lado del tringulo. Se termina con el anlisis de los segmentos determina-dos por la bisectriz (interior o exterior) de un tringulo, sobre el lado opuesto de suprolongacin.

Giovanni CevaGiovanni CevaGiovanni CevaGiovanni CevaGiovanni Ceva

(1648-1734). Matemtico italiano nacido en Milny muerto en Mantua.

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20.1 Proporciones (revisi20.1 Proporciones (revisi20.1 Proporciones (revisi20.1 Proporciones (revisi20.1 Proporciones (revisin)n)n)n)n)

DefiniciDefiniciDefiniciDefiniciDefinicin 20.1.1n 20.1.1n 20.1.1n 20.1.1n 20.1.1Una razn es la relacin que establecemos entre dos cantidades de la misma claseen las mismas unidades.

La relacin entre las dos cantidades es el cociente entre las medidas de los elemen-tos indicados. Podemos, por ejemplo, establecer la razn entre las longitudes de dossegmentos cualesquiera, o entre las medidas de dos ngulos si estas medidas estnen las mismas unidades.

La razn entre dos cantidades a y b la denotamos , / , a a b a bb

o :a b y la

leemos a es a b, con 0b . Como una razn es una fraccin, entonces todas laspropiedades o leyes que rigen a las fracciones se pueden aplicar a las razones.

Una razn es una cantidad abstracta que nos indica el nmero de veces que unacantidad contiene a otra y se expresa lo ms simplificado posible. En la razn :a b ,a y b se llaman trminos de la razn; a es el antecedente y b es el consecuente.

Si la razn de dos cantidades cualesquiera puede ser expresada exactamente por larazn de dos enteros, dichas cantidades se llaman conmensurables; si no se da lo

anterior se les llama inconmensurables (por ejemplo en la razn 3 : 2).

DefiniciDefiniciDefiniciDefiniciDefinicin 20.1.2n 20.1.2n 20.1.2n 20.1.2n 20.1.2Una proporcin es la igualdad de dos razones.

Si las razones :a b y :c d son iguales, escribimos : :a b c d= o tambin :a cb d y

leemos a es a b como c es a d.

En la proporcin :a cb d , a es el primer trmino, b es el segundo trmino, c es el

tercero y d es el cuarto; a y c se llaman antecedentes, b y d son los consecuentes;a y d son los extremos en tanto que b y c son los medios de la proporcin.

Si a, b, c, d son cuatro cantidades proporcionales, decimos que uno de ellos escuarta proporcional de los otros.

DefiniciDefiniciDefiniciDefiniciDefinicin 20.1.3n 20.1.3n 20.1.3n 20.1.3n 20.1.3Varias cantidades estn en proporcin continua cuando la primera cantidad es a lasegunda, como la segunda es a la tercera, como la tercera es a la cuarta, y assucesivamente.

Es decir, si , , , ,a b c d estn en proporcin continua, escribimos: : : :a b cb c d

Si a, b, c forman una proporcin continua, tenemos a bb c= y decimos que b es

media proporcional o media geomtrica entre a y c, mientras que a y c se llamantercera proporcional.

Las proporciones ms sencillas son las que se dan entre cuatro cantidades y son las

Captulo 6: Relaciones mtricas

273273273273273Geometra Euclidiana

de mayor uso en geometra. Por ello es de gran utilidad enumerar algunas de laspropiedades ms importantes de las proporciones.

20.1.1 Propiedades de las proporciones20.1.1 Propiedades de las proporciones20.1.1 Propiedades de las proporciones20.1.1 Propiedades de las proporciones20.1.1 Propiedades de las proporciones

1. En toda proporcin el producto de los trminos extremos es igual al producto de los trminos medios.

:a c a d b cb d

=

2. En toda proporcin, si los antecedentes son iguales, entonces los consecuentes tambin lo son.

:a a b db d

=

3. Si la proporcin es continua, entonces:

2a b b a db d= =

b es media proporcional o media geomtrica entre a y d.

4. En toda proporcin a cb d= se puede:

Intercambiar los medios: a bc d=

Intercambiar los extremos: d cb a=

Invertir la proporcin: b da c=

5. En toda proporcin la suma o la diferencia de los dos primeros trminos es al segundo, como la suma o la diferencia de los dos ltimos es al cuarto:

Si a cb d= entonces

,

,

a b c d a b c db d a c

a b c d a b c db d a c

+ + + + = = = =

6. En toda proporcin la suma de los primeros trminos es a la suma de los dos ltimos, como la diferencia de los dos primeros es a la diferencia de los dos ltimos:

Si a cb d= entonces

a b a bc d c d

a b c da b c d

+ = + + + =

Mdulo 20: Segmentos proporcionales

Giovanni CevaGiovanni CevaGiovanni CevaGiovanni CevaGiovanni Ceva

Ceva fue, adems de matemtico, ingenierodedicado a la construccin de obras hidrulicas.Est considerado como el primer matemticoque abord los temas econmicos desde estadisciplina, lo que se patentiza en su obra De renumeraria, quod fieri potuit geometrice tractataad illustrissimos et excellentissimos dominosPraesidem Quaestoremque. El teorema de Cevaestablece condiciones necesarias y suficientespara la concurrencia de tres rectas.

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7. Si se tiene la igualdad de una serie finita de razones entonces la suma de los numeradores (antecedentes) es a la suma de los denominadores (consecuentes), como un numerador cualquiera es a su denominador:

Si ,a c eb d f= = = entonces

a c e a c eb d f b d f+ + +

= = = =+ + +

20.2 Segmentos proporcionales20.2 Segmentos proporcionales20.2 Segmentos proporcionales20.2 Segmentos proporcionales20.2 Segmentos proporcionales

DefiniciDefiniciDefiniciDefiniciDefinicin 20.2.1n 20.2.1n 20.2.1n 20.2.1n 20.2.1

Dos segmentos son proporcionales a otros dos cuando la razn de las medidas(longitudes) de los dos primeros es igual a la razn de las medidas de los otros dos.

Las medidas o longitudes de los segmentos deben estar en las mismas unidades. Silas medidas de los segmentos las representamos por a, b, c, d, entonces tenemos:

a cb d=

Un segmento AB es media proporcional entre los segmentos CD y EF si se cumpleque

,CD ABAB EF

= o bien ,AB EFCD AB

=

y por la propiedad 1 de las proporciones:

2 ,AB CD EF AB CD EF= =

es decir, AB es medio geomtrico entre CD y EF.

El siguiente teorema nos muestra la divisin de un segmento en una razn dada.

TTTTTeorema 20.2.1eorema 20.2.1eorema 20.2.1eorema 20.2.1eorema 20.2.1

Dado un segmento AB, slo hay dos puntos C y D tales que la razn de distanciasde ellos a los extremos A y B es igual a un nmero dado k.

1. El punto C est entre A y B, ,A C B tal que

AC kBC

= (figura 20.1) (1)

DemostracinSupongamos que existe otro punto C tal que

''

AC kBC

= (2)

Tendramos entonces ''

AC ACBC BC

= ,