relatividadgeneral a einstein 15nov1915
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7/23/2019 RelatividadGeneral a Einstein 15Nov1915
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844
Sitzung
der
j)liysik;iliscli-mathematisclien
Klasse
vum
25.
Novemher
1915
Die
Feldgleiehungen
der
Gravitation.
Von A.
P^iNSTEix.
In zwei
vor kurzem erschienenen ]Mitteilungen' habe ich gezeigt, wie
uian
zu Feldgleichungen
der
Gravitation
gelangen
kann, die
dem
Postu-
lat
allgemeiner
Relativitt entsprechen, d.
h.
die
in
ihrer allgemeinen
Fassung
beliebigen
Substitutionen der
Raumzeitvariabeln gegenber
ko-
variant
sind.
Der
Entwicklungsgang
war
dabei
folgender. Zunchst
fand icli
Gleichungen,
welche
die
Newtonsche
Theorie
als
Nherung
enthalten
und
beliebigen
Substitutionen von der
Determinante
i
gegenber ko-
variant
waren. Hierauf
fand ich,
da
diesen Gleichungen allgemein
kovarlante entsprechen,
falls
der
Skalar des Energietensors der Ma-
terie
A^ersch
windet. Das
Koordinatensystem
war
dann
nach der
ein-
fachen Regel zu
sjjezialisieren,
da
}'
g
zu i gemacht wird,
Avodurch
die Gleichungen
der
Theorie
eine
eminente Vereinfachung erfahren.
Dabei
mute aber, wie erwhnt, die Hypothese eingefhrt werden,
da
der Skalar des Energietensors der Materie
verschAvinde.
Neuerdings
finde
icli
nun,
da
man
ohne
Hypothese
ber
den
Kuergietensor der Materie
auskommen
kann,
wenn
man
den
Energie-
tensor
der Materie
in etwas anderer
Weise in
die
Feldgleichungen
einsetzt,
als
dies
in
meinen beiden
frheren IMitteilungen
geschehen
ist.
Die Feldgleichungen fr
das Vakuum,
auf welche ich die
Er-
klrung
der
Perihelbewegung
des
Merkur gegrndet
habe, bleiben
von
dieser
Modifikation unberhrt.
Ich gebe hier
nochmals
die ganze
Be-
trachtung,
damit
der Leser nicht gentigt ist,
die
frheren
Mitteilungen
unausgesetzt heranzuziehen.
Aus
der
bekannten
RieiMannschen Kovariante vierten
Ranges leitet
man
folgende
Kovariante zweiten
Ranges ab:
G.m
=
7e,-
+ .S,,
(i)
^..
=
2'i|*-2{TH'/}
(.^.
Sitzungsbei'. Xl-1\ .
S.
778
und XLA 1,
S.
799.
1915.
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Kixsikin:
Die
Feldgleichiiiiticii
diT (Jriivitalinn
845
Die
allgemein
kovarianten
zehn Crleiehungen
dos
(iravitationsfeldes
in
Rumen, in
denen Materie
feldt,
orlmlten
wir.
indem wir
ansetzen
Gin,
=
0.
(2)
Diese
Gleielmngen
lassen
sich
einfaelier gestalten, wenn man
das
Bezugssystem
so whlt, da
V
y
=
i
ist.
Dann
verschwindet
iS',,
wegen
(ib),
so
da
man
statt
(2)
erhlt
-
=
2^
+ 2i''r,i,
=
o
(3)
V-(/=i.
(3=')
Dabei
ist
r, .
=
-I
(^)
gesetzt,
welche
Gren wir
als
die
Komponenten
des
Gravitations-
feldes
bezeichnen.
Ist in
dem
betrachteten Rume
Materie ^orhanden,
so
tritt
deren
Knergietensor
auf
der rechten
Seite
von
(2)
bzw.
(3)
auf
Wir
setzen
G,
=
-xfr,-\97'V
(2
a)
woliei
gesetzt
ist;
T ist
der
Skalar
des
Energietensors
der Materie,
die
rechte
Seite von
(2
a)
ein
Tensor.
Spezialisieren wir
wieder
das
Koordinaten-
system
in
der
gewohnten Weise,
so
erhalten
wir an
Stelle von
(2
a)
die
(|uivalenten
Gleichungen
^.=2^:-2''An.=-..^'')
V(/=
I.
(3
a)
Wie
stets nehmen
wir
an, da
die
Divergenz
des
Energietensors
der
Materie
im
Sinne
des
allgemeinen
Diflerentialkalkuls
verscliwinde
{Impulsenergiesatz). Bei der
Spezialisierung
der
Koordinatenwahl
ge-
m
(3
a)
kommt dies
darauf
hinaus,
da
die
T,,
die
Bedingungen
*^
rt
r
9
f .1:
erfllen
suUen.
21 '
=
-2;i--J:
-
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Sitziin;;
der physikalisch-mathematischen
Klasse
vom
25. NovembeT'
19 l
^^^B
3 a
Miiltiplizioi-t
man
(6)
mit
-
und
summiert ber l
und m,
so
crlilt mau'
mit
Rcksicht
auf
(7)
und
auf die
aus
(3a)
folgende
Re-
lation
2
-^
3 a;,
3x,
den
Erhaltungssatz
fr
Materie
und
Gravitationsfeld
zusammen
in
der
Form
wobei
tl
(der
Energietensor
des
(Travitationsfeldes) gegeben ist durch
y-tl
=
'
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P^instkin: Die
Fcldiilcicliunjicii
der
(ir;ivitnti