relatività, energia e ambiente quantità di moto ed energia fondazione occhialini... · 2016. 12....

Relatività, Energia e Ambiente

Introduzione alla Relatività Ristretta V parte

http://www.fondazioneocchialini.it!

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

Polo Scolastico “L. Donati” Fossombrone, 4 Maggio 2009

Quantità di Moto ed Energia

Richiami di dinamica classica.

Introduzione alla Relatività Ristretta. V parte. 2

Domenico Galli

!Q = m

i

!v

i

i=1

n

!

Quantità di Moto

!! Si definisce quantità di moto di un punto materiale il prodotto:

!! Per un sistema materiale qualsiasi (costituito da n punti materiali) è invece la somma vettoriale:

!! In particolare, per 2 punti:

!Q = m

!v

Q!

!Q = m

1

!v

1+ m

2

!v

2

Introduzione alla Relatività Ristretta. V parte. 3 Domenico Galli

Il Secondo Principio

!! Un punto materiale, sottoposto a una o più forze, si muove con accelerazione , vettorialmente proporzionale alla risultante di tali forze:

!! dove m è un coefficiente scalare di proporzionalità (detto massa inerziale) caratteristico del punto materiale considerato e indipendente dalla sua posizione e dalla sua velocità.

!! Poiché sperimentalmente e risultano avere sempre lo stesso verso, segue che m > 0.

!! Se m non fosse costante l’espressione non sarebbe corretta.

!a

!F

!F !a

!F = m

!a (m costante)

!F = m

!a


Il Secondo Principio (II)

!! Se la massa m è costante, si ha:

!! Per cui il secondo principio della dinamica si può scrivere:

!! In realtà questa espressione è più generale dell’espressione e vale anche nel caso in cui m varia nel tempo: !! m potrebbe cambiare in seguito a reazioni chimiche (razzo) o

nucleari o a causa di effetti relativistici (velocità molto elevata).

d m

d t= 0 !

!"

Q =d

d tm!v( ) = m

d!v

d t+

d m

d t

!v = m

!a +

d m

d t

!v = m

!a

!F =

!"

Q (II principio – Legge di Newton)

!F = m

!a


Il Terzo Principio

!! Ogni volta che il corpo A esercita una forza sul corpo B, il corpo B esercita una forza sul corpo A

!! vettorialmente opposta; !! con la stessa retta di azione.

!! (principio di azione e reazione o terzo principio) !! Esempi:

!! rinculo di una pistola. !! barca a remi (si muove spingendo indietro l’acqua con i remi). !! autoveicoli (si muovono spingendo indietro la strada mediante

la forza di attrito). !! aerei (si muovono spingendo indietro l’aria).

!! N.B.: azione e reazione si esercitano sempre su corpi diversi.

!! N.B.: Il III principio non vale per le forze inerziali.

A

B

!F

B! A

!F

A!B


Forze Interne

!! Forze interne: forze di interazione esercitate da una parte del sistema meccanico in studio su di un’altra parte dello stesso sistema.

!! Per il III principio esse sono a due a due opposte, con la medesima retta d’azione.

!! Costituiscono, a due a due, coppie di braccio nullo. Segue per la risultante e il momento risultante delle forze interne:

(equivalente al III principio della dinamica)

A

B

!F

B! A

!F

A!B

!F

A!C

!F

B!C

C

!F

C! A

!F

C!B

!R

i( )=!0

!M

O( )i( )=!0 !O

"#$

%$


Forze Esterne

!! Quanto detto non vale per le forze esterne. !! Alcune forze esterne possono essere di origine inerziale.

!! Si considerano le forze che corpi esterni esercitano sul nostro sistema ma non le forze che il nostro sistema esercita sui corpi esterni.

!! Se la risultante e il momento risultante delle forze esterne sono entrambi nulli, si dice che il sistema è isolato.

!! Non sempre, tuttavia, i sistemi sono isolati.

!R

e( )=!0

!M

O( )e( )=!0 !O

"#$

%$(sistema isolato)


Prima Equazione Cardinale della

Dinamica

!! Derivando rispetto al tempo:

!! Infine sfruttando il II principio si ha:

!Q = m

i

!v

i

i=1

n

!

!"

Q =d!

Q

dt= m

i

!a

i

i=1

n

!

Quantità di moto


!"

Q = mi

!a

i

i=1

n

! =!F

i

i=1

n

! =!

R

Prima Equazione Cardinale della

Dinamica (II)

!! Separando le forze esterne dalle forze interne:

!! Se la risultante delle forze esterne è nulla, si conserva (cioè rimane costante nel tempo) la quantità di moto:

!"

Q =!

Ri( )+!

Re( )=!

Re( )

!"

Q =!

Re( ) (prima equazione cardinale

della dinamica)


!R

e( )=!0 !

!Q " cost

(principio di conservazione della quantità di moto)

Lavoro ed Energia

!! I princìpi della dinamica sono sufficienti per determinare il moto di un sistema meccanico.

!! Tuttavia risulta conveniente l’introduzione di nuove grandezze fisiche (lavoro ed energia) in quanto: !! semplificano la soluzione di molti problemi dinamici.

!! Spesso si può determinare lo stato finale di un sistema senza bisogno di risolvere equazioni del moto (p. es.: problemi d’urto).

!! consentono di estendere la nostra comprensione fisica ad ambiti più ampi (termodinamica, meccanica relativistica, ecc.).

!! Intuitivamente si può dire che l’energia è la capacità di produrre lavoro e che il lavoro è il processo attraverso il quale una certa quantità di energia si trasferisce da un corpo a un altro.

!! (definizione intuitiva ma autoreferenziale).


Lavoro

!! Si definisce lavoro infinitesimo compiuto da una forza il prodotto scalare:

dove dP è lo spostamento infinitesimo del punto di applicazione della forza.

!! Il lavoro di una forza il cui punto di applicazione si sposta lungo la linea ! che connette A con B è l’integrale di linea:

dL

F

!

dL =

!F i dP = F

xdx + F

ydy + F

zdz

!F = F

xı̂ + F

y!̂ + F

zk̂

dP = dx ı̂ + dy !̂ + dz k̂

!"#

!F

L! A,B( )

L! A,B( )

=!F i dP

! A,B( )"

!F

dPP

A B!


!P

7

!P

5

!P

3

!P

1

!P

2

!P

4

!P

6

!

A

B

Teorema delle Forze Vive

!! Consideriamo un punto materiale P, di massa m, soggetto alla forza .

!! Se le masse sono costanti (approssimazione non relativistica):

!F

dL =!F i dP = m

!a i dP = m

!a i

dP

dtdt =

= md!v

dti!v dt = m

1

2

d

dt

!v i!v( )dt =

1

2m

d v2( )

dtdt

dL =d

dt

1

2mv

2!"#

$%&

dt


Teorema delle forze vive (II)

!! Definita l’energia cinetica:

si ha:

!! Il lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su di un sistema meccanico, nel passaggio da una configurazione A a una configurazione B è uguale alla corrispondente variazione dell’energia cinetica di tale sistema.

T =1

2mv

2

dL =dT

dtdt

L! A,B( )

= d L

! A,B( )" =

dT

dtdt

tA

tB

#$% = T t( )&' ()t

A

tB

= T tB

( ) * T tA

( ) = TB* T

A

L! A,B( )

= TB" T

A (teorema delle forze vive)


Forze Conservative

!! Alcune forze posizionali (cioè che dipendono soltanto dalla posizione) hanno la caratteristica di essere conservative.

!! Il lavoro di una forza conservativa non dipende dal percorso, ma soltanto dalla posizione iniziale A e dalla posizione finale B.

!! Per ogni forza conservativa è definita una funzione delle coordinate, detta Energia Potenziale V(x, y, z), tale che il lavoro di una forza conservativa è dato da:


L! A,B( )

=VA"V

B

Forze Conservative (II)

!! In un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali e a forze attive conservative, l’energia meccanica totale E si conserva:

(principio di conservazione dell’energia meccanica)


E = T +V ! cost

Quantità di Moto ed Energia

Dinamica relativistica.

Introduzione alla Relatività Ristretta. V parte. 17

Domenico Galli

La Generalizzazione Relativistica delle

Leggi della Meccanica

!! Principio d’inerzia ereditato dalla meccanica classica: !! Definisce la classe dei SdR inerziali e ne postula

l’esistenza.

!! Covarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz: !! La nuova legge così soddisferà, automaticamente, il

principio di relatività ed il postulato dell’invarianza della velocità della luce.

!! Validità del principio di corrispondenza: !! Grandezze e le leggi fisiche, nella loro nuova

formulazione, devono ricondursi a quelle classiche nel limite di velocità piccole rispetto a quella della luce.


Conservazione della Quantità di Moto !! Consideriamo l’urto elastico in figura tra due sfere di uguale

massa m. !! Consideriamo un SdR S in cui le due sfere abbiano inizialmente

velocità opposte:

!! Quando le due sfere urtano, per i loro centri passa una retta parallela all’asse y.

!! La forza d’urto F è perciò parallela all’asse y.

!! Nell’urto si invertono perciò le componenti y delle velocità, mentre le componenti x restano invariate.


!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!v

i

1( )= !!v

i

2( ) "

!v

i

2( )= aı̂ + b!̂

!v

i

1( )= !aı̂ ! b!̂

#$%

&%

Conservazione della Quantità di Moto (II)

!! In termini matematici:

!! La quantità di moto totale prima dell’urto è:

!! Mentre dopo l’urto è:

!! Dunque la quantità di moto si conserva nell’urto.


!Q

i= m!v

i

1( )+ m!v

i

2( )=

= m !aı̂ ! b!̂"# $% + m aı̂ + b!̂"# $% =!0

!Q

f= m!v

f

1( )+ m!v

f

2( )=

= m !aı̂ + b!̂"# $% + m aı̂ ! b!̂"# $% =!0

!v

i

1( )= !aı̂ ! b!̂

!v

i

2( )= aı̂ + b!̂

"#$

%$

!v

f

1( )= !aı̂ + b!̂

!v

f

2( )= aı̂ ! b!̂

"

#$

%$

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

Trasformazioni di Galileo

!! Consideriamo ora lo stesso urto, visto in un SdR S! che si muove lungo l’asse x, con velocità V = a rispetto a S, utilizzando le trasformazioni di Galileo:


!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!vix

1( )= v

ix

1( ) "V = "a " a = "2a

!viy

1( )= v

iy

1( )= "b

#$%

&%

!vix

2( )= v

ix

2( ) "V = a " a = 0

!viy

2( )= v

iy

2( )= b

#$%

&%

!vfx

1( )= v

fx

1( ) "V = "a " a = "2a

!vfy

1( )= v

fy

1( )= b

#$%

&%

!vfx

2( )= v

fx

2( ) "V = a " a = 0

!vfy

2( )= v

fy

2( )= "b

#$%

&%

Trasformazioni di Galileo (II)

!! Per quanto riguarda la quantità di moto:

!! Confrontando:


!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!Qix= m !v

ix

1( )+ m !v

ix

2( )= "2ma + 0 = "2ma

!Qiy= m !v

iy

1( )+ m !v

iy

2( )= "mb + mb = 0

#

$%

&%

!Qfx= m !v

fx

1( )+ m !v

fx

2( )= "2ma + 0 = "2ma

!Qfy= m !v

fy

1( )+ m !v

fy

2( )= +mb " mb = 0

#

$%

&%

!Qix= !Q

fx

!Qiy= !Q

fy

"#$

%$&!!Qi=

!!Qf

Trasformazioni di Galileo (III)

!! La quantità di moto si conserva nell’urto anche nel SdR S!.

!! Dunque la quantità di moto “classica”:

si conserva nell’urto in entrambi i SdR considerati.


!Q = m

1

!v

1+ m

2

!v

2

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

Trasformazioni di Lorentz

!! Consideriamo ora lo stesso urto, visto nel SdR S! che si muove, con velocità V = a rispetto a S, utilizzando le trasformazioni di Lorentz:


!vix

1( )=

vix

1( ) "V

1"V

c2v

ix

1( )=

"a " a

1"a

c2"a( )

="2a

1"a2

c2

!viy

1( )=

1

#

viy

1( )

1"V

c2v

ix

1( )=

1

#"b

1"a

c2"a( )

=1

#"b

1+a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!vix

2( )=

vix

2( ) "V

1"V

c2v

ix

2( )=

a " a

1"a

c2a

= 0

!viy

2( )=

1

#

viy

2( )

1"V

c2v

ix

2( )=

1

#b

1"a

c2a

=1

#b

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

! =1

1"V

2

c2

Trasformazioni di Lorentz (II)

!! Analogamente, per le velocità finali:


!vfx

1( )=

vfx

1( ) "V

1"V

c2v

fx

1( )=

"a " a

1"a

c2"a( )

="2a

1"a2

c2

!vfy

1( )=

1

#

vfy

1( )

1"V

c2v

fx

1( )=

1

#b

1"a

c2"a( )

=1

#b

1+a2

c2

$

%

&&&

'

&&&&

!vfx

2( )=

vfx

2( ) "V

1"V

c2v

fx

2( )=

a " a

1"a

c2a

= 0

!vfy

2( )=

1

#

vfy

2( )

1"V

c2v

fx

2( )=

1

#"b

1"a

c2a

=1

#"b

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

! =1

1"V

2

c2

Trasformazioni di Lorentz (III)

!! Per quanto riguarda la quantità di moto:


!vix

1( )=

"2a

1"a2

c2

!vix

2( )= 0

!viy

1( )=

1

#"b

1+a2

c2

!viy

2( )=

1

#b

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!vfx

1( )=

"2a

1"a2

c2

!vfx

2( )= 0

!vfy

1( )=

1

#b

1+a2

c2

!vfy

2( )=

1

#"b

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

!Qix="2ma

1"a2

c2

+ 0

!Qiy=

1

#"mb

1+a2

c2

+1

#mb

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!Qfx="2ma

1"a2

c2

+ 0

!Qfy=

1

#mb

1+a2

c2

+1

#"mb

1"a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

! =1

1"V

2

c2

Trasformazioni di Lorentz (IV)

!! Da cui:

!! Perciò:


!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

!Qix= "

2ma

1"a2

c2

!Qiy=

mb

#"

1

1+a2

c2

+1

1"a2

c2

$

%

&&&

'

(

)))

*

+

,,,,

-

,,,,

!Qfx= "

2ma

1"a2

c2

!Qfy=

mb

#1

1+a2

c2

"1

1"a2

c2

$

%

&&&

'

(

)))

*

+

,,,,

-

,,,,

!Qix= !Q

fx

!Qiy" !Q

fy

#$%

&%'!!Qi"!!Qf

! =1

1"V

2

c2

Trasformazioni di Lorentz (V)

!! La quantità di moto non si conserva nell’urto nel SdR S!.

!! Dunque la quantità di moto “classica”:

si conserva nell’urto nel SdR S ma non nel SdR S!.


!Q = m

1

!v

1+ m

2

!v

2

!v

iy

1( )

!v

i

1( )

!v

ix

1( )

!v

f

1( )

!v

fx

1( )

!v

fy

1( )

!v

i

2( )

!v

ix

2( )

!v

iy

2( )

!v

f

2( )

!v

fy

2( )

!v

fx

2( )

y

x

!F

2!1

!F

1!2

!y

!V =!v

0x

2( )

!!viy

1( )

!!vi

1( )

!!vix

1( )

!!vf

1( )

!!vfx

1( )

!!vfy

1( )

!!vi

2( )

!!vf

2( )

!x

!y

Quantità di Moto Relativistica

!! Cerchiamo allora una nuova definizione di quantità di moto che: !! Sia invariante per trasformazioni di Lorentz;

!! Si riduca all’espressione classica nel limite v << c (principio di corrispondenza).

!! Occorre che la componente y della quantità di moto sia indipendente dalla componente x della velocità del SdR in cui si osserva l’urto.


Quantità di Moto Relativistica (II)

!! La componente y della quantità di moto classica si scrive, per un singolo punto materiale:

!! !y non cambia passando a un SdR in moto relativo lungo x, mentre cambia !t.

!! Potremmo allora prendere il tempo proprio " invece del tempo t, perché !" non cambia.


Q

y= mv

y= m

!y

!t

!t = "!# =!#

1$v

2

c2

Qy= m

!y

!#= m"

!y

!t= " mv

y=

mvy

1$v

2

c2

! =1

1"v

2

c2

Quantità di Moto Relativistica (III)

!! Definiamo allora la quantità di moto relativistica:

!! Poiché

si ha:

!! Dunque il principio di corrispondenza è soddisfatto.


!Q = ! m

!v = mc!

!

"

! =1

1"v

2

c2

v!c# $## 1

!Q = ! m

!v

v"c" #"" m

!v

! =1

1"v

2

c2

,!

# =

!v

c

Q

c= mv

Q

r= ! mv

! 0 1 0.5

Q

m

0c

2m

0c

3m

0c

4m

0c

5m

0c

Quantità di Moto Relativistica (IV)

!! La quantità di moto relativistica così definita:

si conserva negli urti in tutti i SdR inerziali.


Q

c= mv

Q

r= ! mv

! 0 1 0.5

Q

m

0c

2m

0c

3m

0c

4m

0c

5m

0c

!Q = ! m

!v = mc!

!

"

! =1

1"v

2

c2

Massa Relativistica

!! Possiamo anche esprimere la quantità di moto relativistica (detta m0 la “massa classica”):

come:

dove la quantità:

è detta massa relativistica.


! 0 1 0.5

m

0

m v( )

m v( ) = ! m

0v

!Q = ! m

0

!v = m

0c!!

"

!Q = m v( )

!v

m v( ) = ! m0=

m0

1"v

2

c2

Massa Relativistica (II) !! Nell’espressione della massa

relativistica:

!! la “massa classica” m0 è anche la massa nel SdR in cui il corpo è in quiete.

!! m0 è perciò detta massa a

riposo o massa invariante: !! è invariante per trasformazioni

di Lorentz in quanto per definizione è la massa nel SdR in cui il corpo è in quiete.


! 0 1 0.5

m

0

m v( )

m v( ) = ! m

0v

m v( ) = ! m0=

m0

1"v

2

c2

Massa Relativistica (III)

!! L’aumento relativistico della massa:

!! è stato verificato in vari esperimenti di deflessione di elettroni;

!! è verificato inoltre nel funzionamento di tutti gli acceleratori di particelle.


! 0 1 0.5

m

0

m v( )

m v( ) = ! m

0v

m v( ) = ! m0=

m0

1"v

2

c2

Energia Relativistica

!! Consideriamo l’identità matematica:

!! La quantità è un invariante per trasformazioni di Lorentz, essendo sempre uguale a 1.

!! Moltiplicando la ambo i membri della relazione per m0

2c4 (pure invariante) si ottiene:


1=

1!v

2

c2

1!v

2

c2

=1

1!v

2

c2

!

v2

c2

1!v

2

c2

" # 2 ! $ 2# 2= 1

! 2 " # 2! 2

! 2 " # 2! 2

= 1

m

0

2c

4 ! 2 " # 2! 2( ) = m0

2c

4

Energia Relativistica (II)

!! Ricordando che , ovvero:

si ottiene l’invariante:

!! Consideriamo ora nel primo termine la quantità :


Q = ! m

0v = m

0c! "

m0

2c

4 ! 2 " # 2! 2( ) = m0

2c

4

m0

2c

4! 2 " m0

2c

4# 2! 2= m

0

2c

4

m0

2c

4! 2 " Q2c

2= m

0

2c

4

Q

2= m

0

2c

2! 2 " 2

! m

0c

2

Energia Relativistica (III)

!! Nel limite non relativistico v << c si ha:

!! Nel II termine riconosciamo l’energia cinetica classica Tc.

!! Possiamo allora definire l’energia totale relativistica come:


! m0c

2=

m0c

2

1"v

2

c2

! m0c

21+

1

2# 2

+ ...$%&

'()= m

0c

2+

1

2m

0v

2

Tc"#$

+ ...

E = ! m0c

2=

m0c

2

1"v

2

c2

! 0 1 0.5

Tc=

1

2m

0v

2

T

r= E ! m

0c

2

E = ! m

0c

2

m

0c

2

1

2m

0c

2

1

1! xx"0

# "## 1+1

2x

Energia Relativistica (IV)

!! Potremo scrivere la precedente identità invariante:

come:

!! Essendo il II membro invariante per trasformazioni di Lorentz, anche il I membro è invariante:


m

0

2c

4! 2" Q

2c

2= m

0

2c

4

E

2! Q

2c

2= m

0

2c

4

! 0 1 0.5

Tc=

1

2m

0v

2

T

r= E ! m

0c

2

E = ! m

0c

2

m

0c

2

1

2m

0c

2

E

!E2" !Q

2c

2= E

2" Q

2c

2

Energia Relativistica (V)

!! I 3 termini dell’equazione:

hanno tutti le dimensioni di un’energia al quadrato.

!! Il termine:

è l’energia che il corpo possiede quando la sua velocità è nulla. È detto perciò energia a riposo.


E

2! Q

2c

2= m

0

2c

4

! 0 1 0.5

Tc=

1

2m

0v

2

T

r= E ! m

0c

2

E = ! m

0c

2

m

0c

2

1

2m

0c

2

E

E

0= m

0c

2

Energia Relativistica (VI)

!! L’energia cinetica relativistica si può scrivere come:

!! Come abbiamo visto:


Tr= E ! E

0= E ! m

0c

2= " m

0c

2! m

0c

2=

= " !1( )m0c

2

! 0 1 0.5

Tc=

1

2m

0v

2

T

r= E ! m

0c

2

E = ! m

0c

2

m

0c

2

1

2m

0c

2

E

Tr=

m0c

2

1!v

2

c2

! m0c

2

v <<c" #""

v <<c" #"" m

0c

21 +

1

2$ 2

+ ...! 1%&'

()*

Tr v <<c" #"" T

c=

1

2m

0v

2

1

1! xx"0

# "## 1+1

2x

Energia Relativistica (VII)

!! Si osservi inoltre che, dalle 2 definizioni:

dividendo la prima per la seconda e ricavando Q si ottiene:


!Q = ! m

0

!v

E = ! m0c

2

"#$

%$

! 0 1 0.5

Tc=

1

2m

0v

2

T

r= E ! m

0c

2

E = ! m

0c

2

m

0c

2

1

2m

0c

2

E

!Q =

E

c2

!v

Energia Relativistica (VIII)

!! Un corpo in quiete possiede un’energia non nulla: !! Meccanica classica: l’energia è definita a meno di una costante

additiva arbitraria.

!! La relatività fissa il valore di tale costante attribuendole un significato ben definito:

!! quantità di energia contenuta nella massa del corpo.

!! Una parte dell’energia a riposo, o tutta, può trasformarsi in energia cinetica o in un’altra forma di energia.

!! Nuova legge di conservazione. !! Generalizza le due leggi classiche di conservazione:

!! Massa,

!! Energia meccanica.


Conservazione dell’Energia Relativistica

!! Nella Fisica Classica l’energia meccanica si conserva.

!! Nella Chimica Classica si conserva la massa (principio di Lavoisier).

!! Nella Fisica Relativistica massa ed energia meccanica possono non conservarsi: !! È possibile conversione di massa in energia o viceversa.

!! Tuttavia si conserva la somma dell’energia meccanica e della massa (moltiplicata per c2).


Conservazione dell’Energia Relativistica

(II)

!! Nei processi (relativistici) tra nuclei o particelle subnucleari le trasformazioni di massa in energia cinetica avvengono continuamente: !! P. es., una particella può decadere in due particelle più

leggere (somma masse < massa madre) e più veloci: !! parte della massa della particella madre si è trasformata in

energia cinetica.

!! Viceversa facendo scontrare 2 protoni ad altissima energia in un acceleratore di particelle si possono ottenere particelle di massa molto superiore alla somma delle masse dei 2 protoni:

!! parte dell’energia cinetica si è trasformata in massa.


Trasformazione della Quantità di Moto e

dell’Energia

!! Vogliamo ora trovare come cambiano quantità di moto ed energia nel passaggio da un SdR inerziale a un altro.

!! Abbiamo definito la quantità di moto relativistica come:

!! Inoltre, dalle definizioni di energia e tempo proprio:


Q

x= m

0

!x

!", Q

y= m

0

!y

!", Q

z= m

0

!z

!"

!t = "!# =!#

1$v

2

c2

% " =!t

!#% E = " m

0c

2= m

0c

2!t

!#


dell’Energia (II)

!! Dalle espressioni:

considerando che m0, c e #" sono invarianti per trasformazioni di Lorentz, si vede che le 4 grandezze:

si debbono trasformare, per trasformazioni di Lorentz, come le grandezze:

!! Dunque la quaterna ordinata è un

quadrivettore dello spazio di Minkowsky.


E = m

0c

2 !t

!", Q

x= m

0

!x

!", Q

y= m

0

!y

!", Q

z= m

0

!z

!"

E

c,Q

x,Q

y,Q

z

!"#

$%&

c!t,!x,!y,!z( )

E

c,Q

x,Q

y,Q

z

!"#

$%&


dell’Energia (III)

!! Dunque dalle trasformazioni delle coordinate troviamo le trasformazioni di energia e quantità di moto:


ct !E

c

x ! Qx

y ! Qy

z ! Qz

"

#

$$$

%

$$$

c &t = ' ct ( )x( )&x = ' x ( )ct( )&y = y

&z = z

"

#

$$

%

$$

*

&E

c= '

E

c( )Q

x

+,-

./0

&Qx= ' Q

x( )

E

c

+,-

./0

&Qy= Q

y

&Qz= Q

z

"

#

$$$$

%

$$$$


dell’Energia (IV)

!! Avremo in conclusione, per le trasformazioni dirette e inverse:


!E

c= "

E

c# $Q

x

%&'

()*

!Qx= " Q

x# $

E

c

%&'

()*

!Qy= Q

y

!Qz= Q

z

+

,

----

.

----

E

c= "

!E

c+ $ !Q

x

%&'

()*

Qx= " !Q

x+ $

!E

c

%&'

()*

Qy= !Q

y

Qz= !Q

z

+

,

----

.

----

Il Secondo Principio della Dinamica

!! Detto anche “legge di Newton”, in meccanica classica (essendo m costante) si scrive:

!! In meccanica relativistica occorre considerare che la massa dipende dalla velocità:

!! Forza e accelerazione non hanno più la stessa direzione. !! La forza ha una componente parallela all’accelerazione e

una componente parallela alla velocità.


!F =

d!

Q

dt=

d m!v( )

dt= m

d!v

dt= m!a

!F =

d!

Q

dt=

d m!v( )

dt= m

d!v

dt+

dm

dt

!v = m

!a +

dm

dt

!v

relatività, energia e ambiente quantità di moto ed energia fondazione occhialini... · 2016. 12....

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