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____________________________________________________________________________ IUT de Saint-Etienne – DUT – Mathématiques – RAN 2 Calcul - CoursEx – Rev2015 – page 1 sur 56
Départements tertiaires DUT
MATHEMATIQUES
________ Remise à niveau 2 : CALCUL ________
COURS, ACTIVITES
-
ENONCES DES EXERCICES
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SOMMAIRE
2 CALCUL 3
2.1 SOYONS PRAGMATIQUES 3 2.1.1 LA PROPORTION .................................................................................................................... 3
2.1.2 LES POURCENTAGES ............................................................................................................... 5
2.1.3 LES FRACTIONS ...................................................................................................................... 7
2.1.4 CALCUL DE TÊTE .................................................................................................................... 9
2.1.5 CONVERSIONS DE TEMPS ........................................................................................................ 9
2.1.6 PUISSANCES ........................................................................................................................ 10
2.1.7 MANIPULATION DE FORMULES SIMPLES ................................................................................... 10
2.2 EXPRESSIONS LITTÉRALES : ÉLÉMENTS, MANIPULATIONS 12 2.2.1 FORME D’UNE EXPRESSION .................................................................................................... 12
2.2.2 DIFFÉRENTS TYPES DE NOMBRES............................................................................................. 12
2.3 MISE EN ÉQUATION D’UN PROBLÈME 14 2.3.1 EXEMPLE D’APPROCHE ......................................................................................................... 14
2.3.2 MISE EN ÉQUATION ............................................................................................................. 14
2.4 PROPORTION, INTERPOLATION LINÉAIRE, POURCENTAGES 17 2.4.1 PROPORTIONNALITÉ ............................................................................................................. 17
2.4.2 INDICES .............................................................................................................................. 18
2.4.3 INTERPOLATION/EXTRAPOLATION LINÉAIRE .............................................................................. 19
2.4.4 POURCENTAGES .................................................................................................................. 21
2.5 PREMIER DEGRÉ : DROITES, ÉQUATIONS, SYSTÈMES 26 2.5.1 EQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ............................................................................................. 26
2.5.2 INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ .......................................................................................... 27
2.5.3 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES ................................................................... 29
2.5.4 EQUATIONS DE DROITES ........................................................................................................ 30
2.5.5 SYSTÈMES D’INÉQUATIONS : OPTIMISATION ............................................................................. 31
2.6 EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 35 2.6.1 CAS PARTICULIERS :.............................................................................................................. 35
2.6.2 CAS GÉNÉRAL : .................................................................................................................... 36
2.7 PUISSANCES 38 2.7.1 PUISSANCES ENTIÈRES POSITIVES ............................................................................................ 38
2.7.2 PUISSANCES ENTIÈRES NÉGATIVES ........................................................................................... 38
2.7.3 PUISSANCES ENTIÈRES DE 10 ................................................................................................. 39
2.7.4 FORMULES RELATIVES À LA NOTATION PUISSANCE ..................................................................... 40
2.7.5 REMARQUES ....................................................................................................................... 40
2.7.6 RADICAUX ET PUISSANCES INVERSES........................................................................................ 41
2.7.7 PUISSANCES FRACTIONNAIRES ................................................................................................ 41
2.8 INTRODUCTION AUX LOGARITHMES 43
2.9 NOTIONS DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 44 2.9.1 PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES .................................................................. 44
2.9.2 INTÉRÊTS SIMPLES ................................................................................................................ 46
2.9.3 INTÉRÊTS COMPOSÉS ............................................................................................................ 49
2.9.4 LES EMPRUNTS INDIVIS ......................................................................................................... 51
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2 Calcul
2.1 Soyons pragmatiques Nous reviendrons en détail sur la plupart des thèmes abordés dans cette partie 2.1. Cependant, cette partie
présente des cas simples, à mémoriser, et des automatismes à acquérir.
2.1.1 La proportion
Exemple 1 :
Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le
tableau ci-contre : a) Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?
b) Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.
c) Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en
heure minute.
Temps (h) 1 10 50
Salaire (€) 12 120 600
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Exemple 2 : Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils
décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice
total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.
Calculer la part de chacun.
Exemple 3 : Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans
le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €.
Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.
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EXERCICES
* EX 2.1. Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles
14 35 42 1
10 35 1 45
* EX 2.2. Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?
a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5
5 50 10 2 34 22
d. 2 5 e. 2 4 10 20 50
20 50 14 28 70 140 350
2.1.2 Les pourcentages
Activités d’introduction :
Comment calculer le nouveau prix du scooter ? 1 785 € - 15 %
Un ordinateur est vendu à 420 € après une remise
de 20 %.
a) Quel était son prix avant la remise ?
b) Comment vérifier si le résultat est juste ?
……..€ - 20 %
Vendu 420 €
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Méthodes :
1. Augmentation 2. Diminution
La population d’une ville de 15 500 habitants a
augmenté de 10 % ; calculer le nombre d’habitants
après cette augmentation.
Avec un tableau :
Valeur
initiale
Augmen-
tation
Valeur
finale
Avec le coefficient associé à une augmentation :
Formule du coefficient :
Un article coûte 576 € après une augmentation de
20 %. Retrouver son prix initial avant
l’augmentation.
Pendant les soldes, un article coûtant 90 € est
affiché à « - 40 % ». Calculer le prix soldé :
Avec un tableau :
Valeur
initiale
Diminu-
tion
Valeur
finale
Avec le coefficient associé à une diminution :
Formule du coefficient :
Un commerçant accorde une ristourne de 5 % à ses
bons clients ; sachant qu’un client a payé 237,50 €,
calculer le montant avant la ristourne.
Schéma à connaître valable dans tous les cas :
k étant le coefficient associé à un % d’ augmen-
tation ou de diminution
Valeur
initiale
Valeur
finale
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Pourcentages successifs : Pendant les soldes un article coûtant 145 € a été soldé à – 30 % puis à – 20 % pendant la deuxième
démarque.
a) Combien coûte cet article après ces deux réductions ?
b) Ces deux réductions, de 30 % et 20 %, sont-elles équivalentes à une réduction unique de 50 % ?
justifier.
2.1.3 Les fractions
Vous prenez la moitié d'une pizza, j'en prends le quart.
Combien en reste-t-il ?
On peut réfléchir en % :
au départ on a 100%. Vous prenez 50%, je prends 25%, il reste
naturellement 25%, donc le quart.
On peut aussi compter les parts, les portions, donc les fractions :
au départ on a 1 pizza. Vous prenez 1/2 pizza (2×1/4), je prends 1/4 de
pizza.
On a donc enlevé 3×1/4 = 3 quarts, il reste un quart.
D'où l'écriture :
1 1 2 1 2 1 3 4 3 11 1 1 1
2 4 4 4 4 4 4 4 4 4
− − = − − = − + = − = − =
Effectivement, faire ce calcul en utilisant des fractions, ce n'est pas nécessaire.
Mais la pizza peut prendre sa revanche :
Imaginons 3 personnes. La première prend un sixième de la pizza, la
deuxième en prend un quart, et la troisième 3 parts d'un huitième.
Part totale prise :
1 1 3
6 4 8 24 24 24+ + = + + = et il reste :
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Additionner des fractions entre elles suppose qu’elles soient d’abord écrites au même dénominateur :
++ =a b a b
A A A
++ =a b aB bA
A B AB
On peut aussi vouloir multiplier ou diviser deux fractions, ou un nombre et une fraction :
× =a A aA
b B bB ; ; ;
1 1= = × = = × = = × =
AA
b A b Ab A b Ab A AaBAa a aa a a B a aB b a b ab
b b b
Enfin, deux fractions sont égales traduisent une proportion, d’où l’égalité des produits en croix :
= ⇔ =a baB Ab
A B
EXERCICES
* EX 2.3. Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne.
littérale décimale fractionnaire pourcentage
un dixième
un cinquième
un quart
un demi
deux tiers
trois quarts
un
cinq quarts
0,1
0,25
1
1
10
2
3
10 %
20 %
66,67%
* EX 2.4. Traduire les expressions suivantes en un calcul, puis donner le résultat a. Les trois quarts de 10 b. Le quart du tiers c. Les deux cinquièmes de la moitié d. La moitié des deux cinquièmes
* EX 2.5. Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions
apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.
; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
+ + + + − +
× × × × × ×
1 3 1 3 5 1 1 3 1 2 1
4 4 10 10 10 2 4 2 2 5 10
1 5 32 3 3 9 2 9 1 5 31 1 23 2 9 3 9 2
1 1 29 9 2 2 3 3 2 4 92 4 9
* EX 2.6. Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à
son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est attribué
à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?
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2.1.4 Calcul de tête
Arrêtons de prendre sa calculatrice pour multiplier par 10 !
multiplier par 5 : diviser par 2 puis multiplier par 10
multiplier par 25 : diviser par 4 puis multiplier par 100
multiplier par 2,5 : diviser par 4 puis multiplier par 10
multiplier par 0,25 : diviser par 4
diviser par 5 : multiplier par 2 puis diviser par 10
diviser par 25 : multiplier par 4 puis diviser par 100
diviser par 2,5 : multiplier par 4 puis diviser par 10
diviser par 0,25 : multiplier par 4
2.1.5 Conversions de temps
Nous avons parfois affaire à des calculs incluant une durée, qui doit alors être convertie en une unité.
Par exemple, 1h15min doit être exprimée en heures, ou en minutes.
1h15 minutes = 1 heure et quart = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure
Dans tous les cas, convertir des minutes en heures impose de les diviser par 60 :
1h15 minutes = 1 heure + 15/60 heure = 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure
Dans l’autre sens, convertir des heures en minutes imposera donc de les multiplier par 60 :
1h15 minutes = 1×60 min + 15 min = (60 + 15) min = 75 minutes
EXERCICES
* EX 2.7. Convertir…
a. 2 h 40 min en heures b. 2 h 40 min en minutes
c. 7 minutes et 40 secondes en minutes d. 7 min 40 sec en secondes
e. 3,75 heures en h-min f. 140 minutes en heures
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2.1.6 Puissances
Exemple : 5� � 5 � 5 � 5 attention 5� � 5 � 3
Pour tout nombre relatif � et tout nombre entier positif non nul, on définit les puissances de � par :
� � � � � � … . . .� �
Puissance négative : � ��
�� dans tous les cas le nombre s’appelle l’exposant.
Qu’est-ce que la notation scientifique ?
Exemple : calculer 5 000 000x3 000 =
Affichage calculatrice :
Un nombre exprimé en notation scientifique s’écrit de la manière suivante : � � � � 10 où :
� est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 ( 1 � � � 10�
est un entier relatif (positif, négatif ou nul).
Exemples :
35 000 000 = 0,000078 =
Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants :
2 580.10-30 = 47 500.102 =
68,5.10-5 = 0,000127.10-27 =
2.1.7 Manipulation de formules simples
Il s’agit ici de se rappeler les principes de base :
* Priorité de la multiplication sur l’addition
* Utilisation des parenthèses, développement d’un calcul
* Saisie d’un calcul sur la calculatrice : besoin de parenthèses… ou non !
Notons aussi un outil pratique pour les formules triangulaires : b
ac
= .
Dans ce cas, on peut « ranger » les données dans un triangle où le trait intérieur traduit le trait de fraction :
entraîne les égalités : ,b
c b aca
= = .
exemple : résoudre l’équation x
=−2
51
(pour x ≠ 1) On a immédiatement x – 1 = 2/5 et donc x = 7/5.
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EXERCICES
* EX 2.8. Calculer sans calculatrice :
a. (2) + (-5) - 6 - (-12) b. (4 - 7)×(-3) + (-2+1)×(-1+2) c. , ,
,
2 5 3 2
4 4
+
* EX 2.9. Donner l'écriture littérale, pour deux nombres a et b, de : a) La somme de leurs doubles b) Le double de leur somme
c) La différence de leurs carrés d) La somme de leurs cubes
* EX 2.10. Calculer sans calculatrice, puis avec :
a. 5 3 4+ × = b. 4 2 3− × = c. ( )4 3 2× + = d. 3 57 3
++
= e. 2 52× =
* EX 2.11. On donne l'expression suivante : A = (a - 1)×(-3a + 5). a. Calculer A pour a = -2, puis pour a = 3, pour a = 0 et pour a = 10.
b. A augmente-t-il… : - Lorsque a augmente ? Lorsque a diminue ?
* EX 2.12.
a.Calculer A = 2a + 1
a +
a2a + 1
lorsque a = 23
b. Calculer B = 4a - 3 × 3a + 52 - a
lorsque a = -2
* EX 2.13. Le volume d’un tonneau est donné approximativement par la formule : 2
V4 2
h D dπ + =
où h est la hauteur du tonneau, d le diamètre de ses bases et D celui de son milieu (D > d).
1) Calculer le volume (en litres) d’un tonneau dont les dimensions sont :
h = 80 cm ; D = 60 cm ; d = 40 cm
2) Proposer des valeurs pour les diamètres D et d d’un tonneau dont la hauteur h vaut 1 mètre et
dont la contenance est 200 litres.
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2.2 Expressions littérales : éléments, manipulations Une expression littérale est l’écriture d’un calcul utilisant des valeurs fixées et d’autres non fixées.
ex : 21 3
2
xx
x
+ − +a
2.2.1 forme d’une expression
Il est important de savoir reconnaître la forme globale d’une expression et les éléments qui la composent.
On appelle termes les groupes additionnés (ou retranchés) les uns aux autres.
On peut changer leur ordre d’écriture dans l’expression.
Dans l’exemple ci-dessus, l’expression est une somme de trois termes.
Chaque terme peut être composé d’un seul nombre, ou alors d’un produit de facteurs.
On peut changer leur ordre d’écriture dans le terme.
Dans l’exemple ci-dessus, le premier terme est le produit de deux facteurs : 1
2 et ( )21 x+ ,
le second terme est le produit du facteur a et du facteur x,
et le troisième terme est le produit du facteur 3 et du facteur 1
x.
Un facteur commun à plusieurs termes pourra donner lieu à une factorisation.
Exemple : ( )3 225 2 25 2x x x x− + = − +a a .
Ici, les deux premiers termes ont été « factorisés par x », pour devenir un terme unique.
2.2.2 Différents types de nombres
La faune que l’on rencontre dans les expressions rend compte d’une certaine diversité de types :
Variable Nombre quelconque par nature, dont nous ne décidons pas la valeur, mais qui est au
contraire représentatif d’un ensemble (variable notée souvent x, y, …)
Coefficient Nombre fixe, mais dont nous n’avons pas encore déterminé la valeur (a, b, c, …)
Paramètre Nombre que nous choisissons et dont nous avons le droit de modifier la valeur au sein
d’une expression donnée (p, n, …)
Constante Valeur fixe issue de la physique (G, c, H0, …) ou des mathématiques (π, e, φ, …)
Cas à part : l’inconnue
Une valeur d’une variable, à déterminer si possible, devant vérifier une ou plusieurs équations.
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EXERCICES
* EX 2.14. Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous
a. 3 + (x + 5) = b. 5x × (3x+4) = c. (x+4) × 5 = d. - ( a + b ) =
e. ( - b ) - a = f. - ( - a ) + ( - b ) = g. ( - a ) × b + ( - 2 ) =
h. A = (a - b)(b - c) - 2(b - a)(c + b) - (-a - b)(c + b) i. 4x – (5x-2) =
j. (3x - 5)(2x + 1) - 2(x + 1)(-x + 3) k. (2x + 1)(x - 2)(x - 7)
l. 3(x + 2y - 5z) - 2(4x - y - 3z)
* EX 2.15. Calculer la valeur numérique pour x = -2 de : A = 2(x + 1)(-2x + 3) - 3(x + 1)(4x - 2) Effectuer le même calcul en utilisant la forme développée, réduite et ordonnée de A. Conclusion.
* EX 2.16. Soient les polynômes P(x) et Q(x) définis par : P(x) = x² + 3x - 5 et Q(x) = 3x³ - 4x² + 2x - 7.
Déterminer P+Q et 2PQ.
* EX 2.17. Factoriser les expressions suivantes : a. (x – 3)(x + 7) – (2x – 7)(x – 3) b. -5x + 2x² c. x(x + 1) - 2(x + 1)
d. (x - 1)(3x + 2) + 2x(1 - x) e. (x + 3)(x + 2) + x² - 9
* EX 2.18. Vrai ou faux : a étant un nombre réel, 2
32
a +− =
a. 3 a− b. 5
2
a− c. 1
2
a− d. 4
2
a− e. 4
2
a− f. 22
a−
* EX 2.19. Vrai ou faux : a étant un nombre réel, 2
83
a a× =
a. 16
3a b. 210
3a c.
26
3a d. 216
3a e. 216
24a
* EX 2.20. Vrai ou faux : a et b étant deux nombres réels tels que 1
3b ≠ − ,
3 6
3 9
a
b
+ =+
a. 2
3
a
b b.
1 2
1 3
a
b
++
c. 3
4
a
b d.
21
3
a
b+ e.
9
12
a
b
* EX 2.21. QCM
a. Si x ≤ x', alors � x2 ≤ x'2 � x2 ≥ x'2 � on ne sait pas
b. Pour x = -3, le nombre -2x² vaut � -12 � -18 � 18
c. L'équation x² = 1/x a pour solution � x = 1 � x = 2 � x = -1
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2.3 Mise en équation d’un problème
2.3.1 Exemple d’approche
Considérons des quadrillages carrés : conjecturer le nombre de carreaux qui ceinturent le carré, en fonction
des dimensions du quadrillage. Faire de même pour le nombre de carreaux intérieurs.
2.3.2 Mise en équation
En amont de la réalisation de calculs, de la résolution d’équations, ou encore de l’étude d’une fonction, on
peut avoir à traduire dans un premier temps un cas posé concret en langage mathématique, afin de le
résoudre.
Démarche à adopter :
� Repérer la (ou les) variable / l’inconnue, dans la question finale posée ;
� Traduire les informations de l’énoncé en relations ou contraintes, en utilisant la variable /
l’inconnue ;
� S’il y a lieu, écrire sous forme d’expression la « fonction objectif » de l’exercice (si une grandeur est
à optimiser, par exemple) ;
� Résoudre mathématiquement le cas.
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EXERCICES
* EX 2.22. Traduire des phrases par des expressions littérales : a. Le carré de tout nombre est égal à celui de son opposé.
b. Quel que soit le nombre x, son carré lui est supérieur.
c. Quel que soit le nombre n, son cube est supérieur à son carré
* EX 2.23. Un article est vendu au prix de 8 € l’unité. Combien peut-on en acheter avec 120 € ?
* EX 2.24. Un panier rempli d’œufs est vendu 15 €. Les œufs seuls seraient vendus 6 € de moins que le
panier seul. Combien coûtent les œufs ?
* EX 2.25. C'est à l'âge de 22 ans, 24 ans et 27 ans qu'une mère, actuellement âgée de 46 ans, a eu
chacun de ses trois enfants. Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges
des trois enfants ?
* EX 2.26. Un fermier plante des pommiers. Pour les protéger du vent, il plante des conifères tout autour.
Le schéma ci-dessous illustre la façon dont il décide de s’y prendre, en fonction du nombre de rangées
de pommiers qu’il décidera de planter.
1) Compléter le tableau :
n nombre de pommiers nombre de conifères
1 1 8
2 4
3
4
5
2) Déterminer, en fonction de n, le nombre de pommiers et le nombre de conifères.
3) Déterminer la valeur de n telle que le nombre de pommiers soit égal au nombre de conifères.
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* EX 2.27. Dans un grand demi-cercle de diamètre [AB], dont le diamètre mesure 10 cm, on inscrit deux
demi-cercles plus petits, dont la somme des diamètres vaut également 10 cm (voir figure). Leurs
dimensions peuvent être choisies comme bon nous semble, moyennant la contrainte précédente.
On s’intéresse en particulier aux points C et D, respectivement sommets des demi-cercles de gauche
et de droite.
A B
1) Si on note x le rayon du demi-cercle de gauche, donner l’expression de la pente du segment [CD]
par rapport au segment [AB] considéré horizontal.
2) a. Quelles sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette pente ?
b. Comment choisir x pour que le segment [CD] ait une pente nulle ?
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2.4 Proportion, interpolation linéaire, pourcentages
2.4.1 Proportionnalité
a. Listes proportionnelles
Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.
On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de
termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.
Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris
entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.
Notons "p" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers
B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.
Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70).
b. Formules rectangulaires
Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, a c
b d= , b et d non nuls.
Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d) de longueur 2.
Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix : ad = bc.
Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon
mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :
a c
b d= permet la notation
a b
c d ,
qui entraîne les égalités : a b b d c d
c d a c a b= = =, ,
exemple :
...31 2
1 2 3
n
n
bb b b
a a a a= = = =
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EXERCICES
* EX 2.28. On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.
On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).
a) Quelle sera l'échelle de la maquette ?
b) Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ?
c) Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité
de 55m × 50m × 20m ?
d) La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et
maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?
* EX 2.29. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.
a) Combien coûte un diamant de 0,693 g ?
b) Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?
2.4.2 Indices
Lorsqu'on veut suivre l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une
comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de
référence ; pour cela, elle est transformée en une valeur « ronde », indice initial de référence, au choix : 1,
10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour
devenir des indices.
EXERCICES
* EX 2.30. Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2006, 2,12 €/kg en 2007, 1,53 €/kg en 2008. En
fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2006, calculer les indices du cours en 2007 et 2008.
* EX 2.31. Une usine de métallurgie produit les quantités d'acier ci-dessous (en kilotonnes) :
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170 1) Donner les indices de production en prenant pour base 100 celle de 2007.
2) Quels sont les pourcentages de variation de 2007 à 2010 ? de 2010 à 2015 ?
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2.4.3 Interpolation/extrapolation linéaire
Le thème de la proportionnalité – et son pendant graphique, le théorème de Thalès – nous permet de
déterminer la position d’un point M aligné avec deux autres points repérés E et F.
Prenons par exemple E(2 ; 2) et F(5 ; 3,5), puis plaçons un point M(a ; b) sur le segment [EF].
La connaissance de l’une des coordonnées de M nous donnera l’autre ; il suffit pour cela d’appliquer le
théorème de Thalès !
Ce théorème nous affirme en particulier que : M E F E
M E F E
y y y y
x x x x
− −=− −
. Ici : ,2 1 5
2 3
b
a
− =−
(en d’autres termes : les pentes des droites (EM) et (EF) sont égales)
Il vient : ( )2 2 2 2 2a b a b− = − ⇔ = − , pour déterminer a à partir de b,
ou encore : ( ), ,2 0 5 2 0 5 1b a b a− = − ⇔ = + , pour déterminer b à partir de a.
On notera que cette dernière expression n’est autre que l’équation de la droite (EF) : y = 0,5x + 1.
Cette remarque entraîne la possibilité tout aussi directe de pratiquer une extrapolation linéaire :
il n’est pas nécessaire que M se trouve entre E et F pour que le théorème de Thalès ne soit plus valable !
Récapitulons :
Soit deux points E(x1 ; y1) et F(x2 ; y2) et un point M(a ; b) aligné avec E et F.
Alors : 1 2 1
1 2 1
b y y y
a x x x
− −=− −
, relation qui permet de déterminer b une fois a connu (ou le contraire).
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EXERCICES
* EX 2.32. Dans chaque cas, on donne deux points E et F. On donne une coordonnée d’un point M aligné
avec E et F, il s’agit de trouver l’autre ! a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?) ; b. E(-3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6) ; c. E(6 ; 1), F(3 ; -8), M(4 ; ?)
* EX 2.33. interpolation Le barême de l'impôt sur le revenu pour une famille composée de 2 adultes
et de 2 enfants est défini de la façon suivante : impôt de 0 € pour la tranche de revenu comprise entre 0 € et 10000 €. Puis, pour un revenu allant de
10000 € à 20000 €, croissance linéaire de l'impôt de 0 € à 2000 €. Puis, pour un revenu allant de
20000 € à 40000 €, croissance linéaire de l'impôt de 2000 € à 8000 €.
(ce barême n'est pas réel, il a été simplifié pour la clarté de l'exercice)
1) Représentez graphiquement l'impôt I (en ordonnées) en fonction du revenu x (en abscisses).
2) Par lecture graphique, donnez le montant de l'impôt pour une famille dont le revenu se monte à
15000 €, donc I(15000), puis pour une famille dont le revenu se monte à 30000 €, donc I(30000).
3) On souhaiterait obtenir les résultats demandés dans la question précédente sans avoir à tracer de
graphique, et de manière plus précise (et même exacte).
a. Sachant que dans la tranche de revenus [10000 ; 20000], la différence I(x) - I(10000) est
proportionnelle à la différence x - 10000, complétez le tableau de proportion suivant :
pour x = 15000 pour x = 20000
x - 10000
I(x) - I(10000)
Donnez alors la valeur de l'impôt I(15000).
b. Reprenez les mêmes étapes que ci-dessus pour le calcul de I(30000).
pour x = 30000 pour x = 40000
x - ………….
I(x) - I(…………..)
* EX 2.34. extrapolation Laëtitia Assamémèr a reçu deux factures téléphoniques : une première facture se montant à 45 € pour 10 heures de communications ;
une deuxième facture se montant à 85 € pour 30 heures de communications ;
Elle sait que depuis, elle a téléphoné 40 heures en tout et voudrait connaître le montant de sa future
facture.
1) Le montant de la facture est-il proportionnel au temps passé en communications téléphoniques ?
2) Représentez graphiquement (ci-dessous) les informations données par les deux premières
factures. On appellera x - en abscisses - les temps de communication, en heures ; échelle : 1 cm
pour 4 heures. On appellera f(x) - en ordonnées - les montants des factures, en € ; échelle : 1 cm
pour 10 €.
3) Soit l'information suivante : l'augmentation du montant de la facture est proportionnelle à
l'augmentation du temps de communications. Compte tenu de cette information et de ce qui a
été énoncé dans la conclusion de la partie A, de quelle façon pouvez-vous compléter la
représentation graphique de la fonction f ?
4) Lisez sur le graphique le montant de la future facture de Laëtitia.
5) Proposez une méthode pour calculer ce montant.
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2.4.4 Pourcentages
a. Pourcentage fixe
* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v
V .
Taux de 20 par rapport à 25 : Taux de 50 par rapport à 48 :
Taux de 8 par rapport à 32 : Taux de 56 par rapport à 28 :
* Le "symbole" % :
* Pourcentage fixe :
Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = v
V×100 .
pourcentages…
de 20 par rapport à 25 : de 50 par rapport à 48 :
de 8 par rapport à 32 : de 56 par rapport à 28 :
* Pourcentage fixe et proportion :
Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est :
calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.
Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.
Exemples :
valeur pourcentage
testée 20
référence 25 100
"20 représente …… % de 25".
valeur pourcentage
testée 50
référence 48 100
"…... représente …….… % de …...".
valeur pourcentage
testée 8
référence 32 100
" …… % de 32 valent ……".
valeur pourcentage
testée 56
référence 28 100
" …… % de …... valent …...".
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b. Pourcentage de variation
On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2.
La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.
La variation est égale à v2 - v1.
Le taux de variation est le nombre v v
v
−2 1
1
(le pourcentage vaut cent fois le taux).
Taux de variation de 20 vers 25 : Taux de variation de 50 vers 48 :
Taux de variation de 28 vers 56 : Taux de variation de 56 vers 28 :
* Pourcentage de variation et proportion :
On formera ici un tableau de proportion mettant en rapport :
* la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale
Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ?
valeur pourcentage
valeur initiale (référence) 35 100
variation
-40
valeur finale
"La remise vaut ……€ et le prix soldé est ……€. Le prix soldé représente…..% du prix initial."
* Coefficient multiplicateur :
Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul :
v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.
Mais comme % signifie /100 : p
v v = + ×
2 11100
Diminuer une valeur v1 de p%, obtenant une valeur v2, revient à calculer : p
v v = − ×
2 11100
On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter,
revient à la multiplier par un coefficient.
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Exemples : 1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à
19,6%. Quel sera le montant TTC de la facture ?
2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans
la remise ?
* Variations successives :
Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à
une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.
1. Donner le détail des pourcentages d'augmentation ou de baisse entre chaque date.
2. Donner le pourcentage global de variation entre les dates 1 et 4.
EXERCICES
* EX 2.35. Calculer : a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50.
c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25.
* EX 2.36. Lu dans la presse... où tout est relatif... Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de
22,71 % seulement.
Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?
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* EX 2.37. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient
plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?
* EX 2.38. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'oeuvre et 40 % pour le tissu et les boutons. Pour cette nouvelle année, la main d'oeuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %. a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ?
* EX 2.39. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il
vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.
article sucre baguette huile fromage salade
prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7
prix pendant soldes (€)
a) Compléter ce tableau de valeurs grâce au pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.
b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de
proportionnalité.
c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce
tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.
d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux
questions suivantes :
d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ?
d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?
* EX 2.40. Calculer les taux de variation dans les cas suivants :
prix initial prix après
variation Taux
120 € 114 €
120 € 126 €
120 € 60 €
120 € 240 €
* EX 2.41. Vrai ou faux : 1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :
a. On multiplie les anciens par 15/100
b. On soustrait 15/100 aux anciens prix
c. On multiplie les anciens prix par 0,85
2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :
a. On multiplie les anciens par 15/100
b. On ajoute 15/100 aux anciens prix
c. On multiplie les anciens prix par 1,15
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* EX 2.42. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine
bimensuel (deux éditions par mois) :
Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €.
Deuxième formule : Abonnement d'1 an pour 43 €.
Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 3 €, calculer les taux de réduction
consentis dans ces deux formules.
* EX 2.43. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la
période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même
quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?
* EX 2.44. Une marchandise dont le prix est 1600 € subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.
Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?
* EX 2.45. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.
chez Jules chez TOTO
Ici, 20 % de produit en
plus !
Ici, 20 % de remise !!
Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ?
* EX 2.46. Production d'olives 25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive.
a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ?
b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de
proportionnalité.
La récolte a été cette année de 125 kg d'olives.
c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ?
d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ?
e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ?
L'année suivante, la récolte est de 150 kg.
f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile.
g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ?
h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ?
* EX 2.47. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an
dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même
période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le
taux de variation de ce chiffre d’affaires ?
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2.5 Premier degré : droites, équations, systèmes
2.5.1 Equations du premier degré
Comment résoudre une équation ?
Exemples :
3 − 2�� + 5� = 4�� − 7� − 3
53 � + 4 =3� + 54
Activités : 1. Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110 €. Le téléphone coûte 100 € de plus que l'étui.
Entourer l'équation correspondant à l’énoncé et indiquer ce que représente �.
� + 10 = 1102� + 110 = 2102� + 100 = 110
2. Un salarié a travaillé 151 h durant ce mois et a effectué 3 heures supplémentaires majorées à +25 %.
Il a touché en tout 1 857 €. Combien est-il payé de l’heure ?
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3. Trouver les trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 204.
(exemple : 5, 6 et 7 sont consécutifs, de somme 5+6+7 = 18)
2.5.2 Inéquations du premier degré
Activité
Un club de sports propose à ses clients deux types de tarifs à l’année :
- tarif A : 12 € la séance.
- tarif B : abonnement de 100 € puis chaque séance ne coûte que 5 €.
Problématique : pour combien de séances, le tarif A est-il plus intéressant que le tarif B ?
Qu’est-ce qu’une inéquation ?
Une inéquation est une inégalité dans laquelle figure une inconnue.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les solutions qui conviennent à l’inégalité.
La technique de résolution des inéquations est identique à celle des équations.
L’ensemble des solutions s’écrit sous forme d’intervalle, en utilisant des crochets.
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Rappels : inégalités et intervalles
1. Que signifie l’écriture x ≥ 2 ?
2. Représenter sur une droite graduée l’ensemble des nombres convenant à l’inégalité précédente (
barrer les valeurs de x qui ne vérifient pas l’inégalité).
3. Écrire l’intervalle correspondant à tous ces nombres, en utilisant des crochets :
4. Recommencer le travail précédent (droite graduée + intervalle) avec l’inégalité x > 2
5. Même travail avec x ≤ 5
6. Même travail avec x < -3
7. Que veut dire la double inégalité -1 ≤ x < 5 ?
Résoudre les inéquations et présenter les solutions sous forme d’intervalles :
8x – 5 > 2x + 7 10 – 3x ≤ - 7x + 4
3(2 – x) + 1 > 13 21
34
61
2−≥− xx
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2.5.3 Système de deux équations à deux inconnues
Activités :
Exemple 1 :
Sur une terrasse de café, une première commande de cinq sodas et de quatre cafés a coûté 17 €.
Une deuxième commande de trois sodas et deux cafés a coûté 9,70 €.
Quel est le prix d’un soda et le prix d’un café ? (Méthode par combinaison linéaire)
Exemple 2 : soit le système suivant : � 2� � � 3
�0,5� � � �2
Méthode par substitution :
Méthode graphique :
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Exemple 3 : "On feint qu'une mule allant avec une ânesse se plaignait d'être trop chargée, et que la
mule lui dit : - Si je t'avais donné un de mes sacs, nous en aurions autant l'une que l'autre ; et si tu
m'avais donné un des tiens, j'en aurais le double de toi."
En posant x : nombre de sacs de la mule, et y : nombre de sacs de l'ânesse, trouver x et y.
2.5.4 Equations de droites
Comment trouver l’équation d’une droite ?
L’équation d’une droite est de la forme y = ax + b
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Activité :
Dans une entreprise, les coûts mensuels de production se décomposent en un coût fixe de 6 k€ (salaires,
locaux, etc.) et un coût variable de 40 € par unité produite (proportionnel à la quantité produite).
On note x la quantité à produire en un mois donné et y le coût total de production de cette quantité.
1. Exprimer y en fonction de x. Est-ce une relation affine ?
2. Représenter cette relation graphiquement, pour x compris entre 0 et 1000 unités.
3. Lire graphiquement la quantité qui correspond à un coût de 20 000 €.
2.5.5 Systèmes d’inéquations : optimisation
Exemple : résoudre graphiquement le système d’inéquations �2� � " 5
� � " 1
Méthode :
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EXERCICES
* EX 2.48. Retrouver les équations des droites
* EX 2.49. Dans chaque cas, retrouvez l’équation de la droite contenant les deux points donnés (on
calculera d’abord le coefficient directeur, puis on résoudra une équation pour déterminer l’ordonnée à
l’origine).
a. A(-2 , 6) et B(4 , 0) b. C(1 , 10) et D(4 , 16) c. E(-2 , 2) et F(4 , 5)
d. G(-3 , -6) et H(2 , 4) e. A(-1 , 5) et B(3 , 5)
* EX 2.50. Trouver les équations de chaque droite selon les critères indiqués :
a) Elle contient A(-1 , 7) et B(2 , 1).
b) Elle contient M(3 , 1) et est parallèle à (Ox).
c) Elle contient P(-1 , 2) et est parallèle à la droite d'équation y = 2x + 5.
d) Elle contient Q(2 , -1) et est perpendiculaire à la droite d'équation y = 0,5x + 2. (deux droites sont
perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes vaut -1)
* EX 2.51. Résoudre les équations suivantes.
a. 2 3
15 5
+ =x b. 1 1
16 3
+ =x c. 2 1 7
3 4 2+ =x
* EX 2.52. * Mon oncle, qui est pêcheur et bricoleur, veut se fabriquer une boîte pour son petit matériel,
ayant les caractéristiques suivantes : 14 cases carrées identiques pour les hameçons, disposées en deux
rangées comme le montre le dessin ci-contre. Il veut que sa boîte soit carrée; quelle taille doit-il donner
aux 14 cases?
2 cm
8 cm
* EX 2.53. Résoudre les équations suivantes.
a. 3 2
41
− =+
x
x b.
1 1
1 3 2=
+ −x x c.
2 5
1 3 2=
+ −x x
* EX 2.54. Un carré a pour côté x cm. Si on augmente chaque côté de 2 cm, son aire augmente de 40 cm².
Quel est le côté x de ce carré ?
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* EX 2.55. L'âge d'un homme est le quadruple de celui de son fils. Dans 14 ans, il ne sera plus que le
double. Quels sont leurs âges ?
* EX 2.56. Soit une parcelle rectangulaire de 60 m × 40 m. On désire la
partager en une parcelle triangulaire et une parcelle trapézoïdale selon
le schéma ci-contre. Quelle doit être la distance AM pour que l'aire du
triangle soit trois fois moindre que celle du trapèze ?
* EX 2.57. Trouver dans chaque cas les coordonnées du point
d'intersection de D et D' :
a) D : y = 2x + 1 et D' : y = -x + 2
b) D : x + y = 1 et D' : x - y = 1
c) D : y = 3x + 2 et D' : y = 3x - 2
* EX 2.58. Le rayon surgelé d’un supermarché comporte des boîtes de crème glacée de deux marques :
Gerdé et Mipo. Le responsable du rayon doit respecter les contraintes suivantes :
- la capacité maximale du rayon est de 50 boîtes
- le prix d’une boîte Gerdé est de 4,50 € et celui d’une boîte Mipo est 3 €
- la valeur du stock ne doit pas dépasser 180 €
- le nombre de boîtes mises en rayon doit être supérieur à 20.
En notant x le nombre de boîtes Gerdé et y le nombre de boîtes Mipo mises en rayon, écrire les inéquations
traduisant ces contraintes.
Représenter graphiquement l’ensemble des couples solutions.
* EX 2.59. Une entreprise d’emballages industriels veut transporter x colis A (75 cm× 50 cm× 40 cm) de
60 kg et y colis B (60 cm× 50 cm× 40 cm) de 30 kg.
Un véhicule a été affrété pour le transport de ces marchandises dont les caractéristiques sont :
- volume utile : 18 m3
- charge utile : 6 tonnes.
1. Montrer que les contraintes de charge et de volume se traduisent par les inéquations :
� 2� � � 200
5� � 4 � 600
2. Dans un repère orthonormé, représenter l’ensemble des couples solutions.
3. Déterminer si les conditions suivantes de chargement sont possibles :
a) 50 colis A et 80 colis B
b) 80 colis A et 50 colis B.
* EX 2.60. Une entreprise française A de transports achemine des produits vers l'Angleterre. Elle dispose
pour cela de camions qui empruntent le tunnel sous la Manche. La société B qui gère le tunnel fait
payer des taxes de passage qui se calculent pour chaque camion comme suit : 150 € pour la prise en
charge du camion plus 8 € par tonne de marchandises présentes dans le camion.
On appelle x : le nombre de tonnes de marchandises chargées dans un camion, et y : les taxes que
l'entreprise A devra payer pour le passage d'un camion par le tunnel.
1) Exprimer y en fonction de x par une équation simple.
2) a. Combien paiera-t-on pour un camion dont la charge est 22,6 tonnes ?
b. Quelle est la charge d'un camion pour lequel on a payé 294 € ?
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3) A chaque charge x (en tonnes) est associé un prix y (en euros). On décide de représenter dans un
repère orthogonal l'ensemble des points M(x , y) dont l'ordonnée y est calculée à partir de leur
abscisse x suivant l'équation trouvée à la question 1).
a. D'après la forme de cette équation, quelle sera la forme de la courbe engendrée par cet
ensemble de points M ?
b. Tracer cette courbe dans un repère aux échelles bien choisies, pour x ∈ [0 ; 35].
4) a. Quel est l'ensemble des charges correspondant à un coût inférieur ou égal à 310 € ?
b. Quel est l'ensemble des coûts correspondant à une charge comprise entre 15 et 25 tonnes ?
5) Une société C propose à l'entreprise A de transporter ses camions par la mer. Les taxes imposées
par C sont : 200 € de prise en charge + 6 € / tonne de marchandises pour un camion.
a. Donner, pour cette société C, l'équation de y en fonction de x.
b. Représenter graphiquement ce nouvel ensemble de points P(x , y) sur la figure précédente.
c. Dire graphiquement à partir de quelle charge x le bateau est plus avantageux que le tunnel pour
un camion de l'entreprise A.
d. Retrouver le résultat par le calcul en posant une inéquation.
* EX 2.61. Omer SIBIEN vend ses pommes de terre 0,8 € le kg si on achète moins de 10 kg ; il accorde une
remise de 15 % pour 10 kg et plus, et les vend 0,5 € le kg pour 50 kg et plus.
a. Représentez graphiquement le prix p(x) de x kg, pour x variant de 0 à 80. Ecrire p(x) en fonction de x.
b. Son voisin, Oscar NAGE, qui veut lui faire de la concurrence, les vend à 0,6 € le kg, quelle que soit la
quantité achetée, pour la même qualité. Quel commerçant pratique les prix les plus intéressants
pour un achat de 40 kg de pommes de terre ?
c. Quel commerçant choisir selon la quantité achetée ?
d. Retrouver ces résultats sur le graphique.
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2.6 Equations du second degré Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c = 0
2.6.1 Cas particuliers :
* l’équation est factorisée : c’est un produit nul
Résoudre les équations Rappels
�� + 2��3� − 5� = 0�4� + 1��3 − 2�� = 0 � × $ = 0 ⟺ � = 0&'$ = 0
* b est nul – l’équation devient ax² + c = 0
�( − 25 = 04�² = 36 �² − *² = �� − *��� + *�
* c est nul – l’équation devient ax² + bx = 0
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2.6.2 Cas général :
Selon l’équation choisie (donc des coefficients a, b et c), ses solutions sont au nombre de zéro, une ou
deux. Pour déterminer l’existence et les valeurs de ces solutions, il faut suivre un protocole bien défini :
1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac
2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines :
Si ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution
Si ∆ = 0 : l’équation admet une solution : b
xa
′ = −2
.
Si ∆ > 0 : l’équation admet deux solutions : b b
x xa a
− − ∆ − + ∆′ ′′= =et2 2
.
Exemples :
* x² - 6x + 8 = 0
* x² - 2x - 3 = 0
* x² - 6x + 9 = 0
* x² - 6x = -10
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EXERCICES
* EX 2.62. Résoudre les équations suivantes :
7�( + 4� − 3 = 0; 2�² − 5� − 3 = 0; �² + 6� + 9 = 0; − �²5 + 3� − 1 = 0; 9�² + 6� = −2
* EX 2.63. On a une corde de 50 cm de longueur, avec laquelle on doit former un rectangle. Quelles sont
les proportions à donner à ce dernier pour qu’il couvre la plus grande aire possible ?
* EX 2.64. Le drapeau danois est un rectangle de 1,50 m sur 1 m. Il comporte une croix blanche sur fond
rouge (une bande blanche verticale, sur toute la hauteur, une bande blanche horizontale, sur toute la
largeur). Quelle doit être la largeur des bandes pour que l'aire de la surface blanche soit égale à celle de
la surface rouge ?
* EX 2.65. Un article coûtait 2 500 € ; il a augmenté de t % puis a diminué de 2t %. Son nouveau prix est
de 2 448 €.
Calculer le nombre t.
* EX 2.66. Le père Galion a un jardin carré. Il double la longueur de deux côtés opposés et réduit d’un
mètre la longueur des deux autres côtés opposés. L’aire du jardin a alors augmenté de 80 m². Trouver
le côté du carré initial.
* EX 2.67. J'ai gagné 300 € en travaillant quelques heures. Tu as travaillé 5 heures de moins en étant payé
1 € de moins par heure et tu as gagné 220 €. Quel est ton salaire horaire ? Quel est le mien ?
* EX 2.68. On achète pour 60 € d'essence à une pompe. On s'aperçoit qu'à une autre pompe le prix du
litre est inférieur de 0,07 €. On aurait pu ainsi avoir 3,1 litres de plus pour le même prix.
Quel était le prix de l'essence à la première pompe et combien en avait-on pris ?
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2.7 Puissances
2.7.1 Puissances entières positives
Plutôt qu’écrire beaucoup de facteurs identiques, ou des nombres longs, on note :
× × × × =⋯na a a a a où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …)
Quel que soit le nombre réel a :
a3 = a×a×a ; a2 = a×a ; a1 = a ; a0 = 1 (et donc 00 = 1)
2.7.2 Puissances entières négatives
On peut remarquer que si m et n sont deux entiers naturels (donc positifs), alors am ×a
n = a
m+n
En effet, par exemple : a2 ×a
4 = a×a × a×a×a×a = a
6
Autorisons-nous à utiliser cette propriété avec des nombres négatifs, en cherchant en particulier le nombre
n tel que a1 ×a
n = a0 . Il vient n = -1 : a1 ×a
-1 = a
0 .
a-1 n’est qu’une écriture symbolique, mais cette dernière égalité n’est autre que a ×a
-1 = 1.
a-1 , définition de l’inverse de a, est conforme à la notation puissance !
− =1 1a
a
De même, a-2 est l’inverse de a², a-3 est l’inverse de a³, et ainsi de suite.
Pour tout entier relatif n : n
na
a
− = 1
n facteurs
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2.7.3 Puissances entières de 10
On retiendra les préfixes associés à quelques puissances de 10, intervenant notamment dans l’écriture
scientifique des nombres, dans divers domaines :
cent mille
million milliard
= == =
2 3
6 9
100 10 1000 10
1000000 10 1000000000 10
2
3
5
9
10 100 10 10
10 1000 100 10 10 100 10 10 10
10 100000 100 1000 10 10 10 10 10
10 1000000000 1000 1000 1000 10 10 10 10 10 10 10 10 10
= = ×
= = × = × = × ×
= = × = × × × ×= = × × = × × × × × × × ×
10n possède n zéros.
10-1 = 0,1 ; 10-3 = 0,001 ; 10-6 = 0,000 001 ….. 10-n possède n zéros.
Puissances
de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10
1018 Exa E
1015 Péta P 10 Pfps : 10 pétaflops 10 000 000 000 000 000 flops
1012 Téra T 2 TB : 2 térabytes 2 000 000 000 000 bytes
109 Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatt 1 200 000 000 watts
106 Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets
103 Kilo millier k 25 k€ : 25 000 euros 25 000 euros
102 Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L
101 Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m
100 = 1 : unité
Puissances
de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10
10-1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme
10-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre
10-3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère
10-6 Micro millionnième µ 64 µg : 64
microgrammes 0,000 064 gramme
10-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre
10-12 Pico p
10-15 Femto f
10-18 Atto a
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2.7.4 Formules relatives à la notation puissance
Des définitions et constatations précédentes découlent un ensemble de propriétés de la notation
puissance :
Pour tous entiers relatifs (+ ou -) n et p et pour tous réels a et b :
n p n pa a a
+× = n
n p
p
aa
a
−= ( )pn npa a=
( )nn na b ab× =
nn
n
a a
b b
=
Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut les
transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, et que 2² +
3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)n ≠ an + bn
2.7.5 Remarques
* il n’existe pas de formule générale permettant une simplification dans la cas d’une somme.
Ex : an + bn ≠ (a+b)n.
Cette remarque s’applique donc aussi aux racines,ex : 2 2a b a b+ ≠ +
!
* les puissances n’affectent que ce qu’elles touchent : un élément ou un bloc mis entre parenthèses (ex :
dans 3x², 3 n’est pas au carré, alors que dans (3x)², 3 et x le sont ! (3x)² = 9x²)
* Votre calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10n, mais la remplace par En
(lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).
Par exemple, pour exprimer la valeur trois millions, soit 3 000 000, soit encore 3×106,
votre calculatrice écrira 3E06.
Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 », nombre qui vaudrait 36 = 729 !!
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2.7.6 Radicaux et puissances inverses
Comme pour l’établissement des puissances entières négatives, nous pouvons travailler par convention à
partir de la formule ( )pn npa a= et s’autoriser à écrire que
.a a a a
= = =
21 12
12 2 .
Or ( )a a=2
, donc a a=1
2 est une écriture cohérente.
De même, a a=1
3 3 , et pour tout entier n positif : n na a=
1
2.7.7 Puissances fractionnaires
De tout ce qui précède découle l’existence des puissances fractionnaires :
Pour p entier relatif et q entier naturel,
p
qa n’est autre que ( ) qp pqa a=1
.
Exemples : = =3
324 4 8 , x xx
− −= =5
3 53
3 5
1, x x x x x= × =
311 2 2 .
Il est à noter que le formules données dans la partie I.2.3 sont valables pour ces puissances non
entières.
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EXERCICES
* EX 2.69. 2³ × 3³ = (2×3)³ = 4² + 5² = (4+5)² = (2²)³ =
; ; ; ; ; ;3
5 2 2 4 2 4 2 4 22
2 2 5 3 3 3
2 5 5 5 3 5 3 2 42
2 4 2 5 5 2
−
−
× + ×
* EX 2.70. Vrai ou faux : pour tout réel a :
a. a3 + a5 = a8 b. a3 × a5 = a8 c. a3 × a5 = a15 d. a3 + a5 = 2a8
* EX 2.71. Vrai ou faux : (-3a)² est égal à…
a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²
* EX 2.72. Ecrire en chiffres : 10², 10³, 106, 10-3, 10-6.
* EX 2.73. Ecrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la
calculatrice)
* EX 2.74. Calculer : 105×102 ; 105:102 ; 10-3×106 ; 10-4×10-2
* EX 2.75. Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :
a. 2,5×103 + 3×102 b. (2,5×103) × (3×102) c. 2,5×103 - 3×102
d. (2,5×103):(3×102)
* EX 2.76. La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Ecrire en notation scientifique
(puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".
Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Ecrire en notation scientifique cette épaisseur en
mètres. On appelle ce nombre "b". Calculer, en utilisant seulement a et b le nombre de feuilles qu'il
faudrait empiler pour atteindre le Soleil.
* EX 2.77. La mésaventure du souverain indien Chiram
Ce souverain a promis de verser à l'un de ses compatriotes une quantité de grains de riz acceptable.
L'indien lui montra un échiquier et lui dit : "Versez donc un grain sur la première case, deux sur la
deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en multipliant par deux en utilisant toutes les
cases." Le souverain se mit à rire, croyant faire une bonne affaire, et accepta le marché.
Combien de grains dut-il ainsi donner ? (un échiquier comporte 64 cases)
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2.8 Introduction aux logarithmes
Calculer le logarithme d’un nombre et calculer la puissance d’un nombre sont deux opérations
réciproques : logx
ay a x y= ⇔ = .
(on s’en tient à des valeurs de a strictement positives et différentes de 1)
On a défini ainsi de manière naturelle le « logarithme de base a ».
Exemples :
logarithme de base 2
On sait que 8 = 23 ; donc log2(8) = 3 ; 2 = 21 ; donc log2(2) = 1
On sait que 1024 = 210 ; donc log2(1024) = 10
22,5 ≈ 5,656 ; donc log2(5,656) ≈ 2,5 ( ) ( )log log2
22 et 2x xx x= =
logarithme de base 10, souvent noté log (au lieu de log10), très présent en physique
On sait que 1000 = 103 ; donc log10(1000) = 3 ; 10 = 101 ; donc log(10) = 1
102,5 ≈ 316,23 ; donc log10(316,23) ≈ 2,5 ( ) ( )log log10
1010 et 10x xx x= =
logarithme de base e : le logarithme népérien ln
(e est l’« exponentielle » et vaut environ 2,718)
On sait que 100 ≈ e4,605 ; donc loge(100) = ln(100) ≈ 4,605 ; e = e1 ; donc ln(e) = 1
e2,5 ≈ 12,18 ; donc ln(12,18) ≈ 2,5 ( ) ( )ln lne et ex xx x= =
Propriétés algébriques des logarithmes
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
*
*
*
, : log log log log log log
, : log log
: log ; log
, , \ : log ; log log loglog
2
3
et
1 0 1
11
a a a a a a
y
a a
a a
a a a b
b
xx y xy x y x y
y
x y x y x
x a
a b c b c b ca
+
+
+
+
∀ ∈ = + = −
∀ ∈ ∈ =
∀ ∈ = =
∀ ∈ = = ×
ℝ
ℝ ℝ
ℝ
ℝ
En particulier : On montre que ( ) ( ) lnlog
ln10 10
xx =
Intérêts du logarithme népérien : 1) lnx est une primitive de 1/x
2) ex est égal à sa dérivée !
EXERCICES
* EX 2.78. Simplifier :
a. log10(1000) b. log10(0,01) c. log2(5) + log2(0,6) d. log10
3
100
e. log10(0,07) f. 8×log10 ( )5 g. 8×ln ( )5
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2.9 Notions de mathématiques financières
2.9.1 Progressions arithmétiques et géométriques
L’objectif ici n’est pas de refaire un cours exhaustif sur les suites arithmétiques et géométriques,
mais de faire une présentation succincte de quelques notations et résultats à des fins d’applications
économiques.
Généralités
Une suite u de valeurs réelles est une liste finie ou infinie de telles valeurs.
A ce titre, ses valeurs, ou termes, doivent être données dans un ordre précis. On les nomme donc en se
servant d’un indice : entier n qui est le rang d’un terme, c'est-à-dire son numéro dans la suite.
Les termes d’une suite u sont le plus souvent notés u0 (premier terme), u1, u2, …, un-1, un, un+1, … et ainsi
de suite.
Tout est permis dans les suites : la liste des valeurs peut être parfaitement aléatoire, ou au contraire
être logique. Dans ce dernier cas, la suite montre un lien bien déterminé entre un terme et le (ou
quelques) précédent(s) – on dira que la suite est définie par récurrence -, ou alors chaque terme un se
calcule directement à partir de son rang n – suite fonctionnelle.
Exemples
* Soit la suite u telle que u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = un2.
Elle est ainsi définie par récurrence.
Sans chercher à tout savoir sur cette suite, on constate que pour passer d’un terme au suivant, il faut le
mettre au carré. On en tire quelques termes : u1 = 9, u2 = 81, u3 = 6561, …
* Soit la suite u telle que u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 7.
Elle est ainsi définie par récurrence.
On en tire quelques termes : u1 = 107, u2 = 114, u3 = 121, …
* Soit la suite u telle que un = 2n. (définie de façon fonctionnelle)
Ici, c’est le rang lui-même qui intervient dans la valeur du terme :
u0 = 1, u1 = 2, u2 = 4, u3 = 8, u4 = 16, u5 = 32, …
* Une même suite peut être définie des deux façons. Prenons la suite précédente et définissons-la par
récurrence : soit la suite u telle que u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2×un.
Il est clair qu’il s’agit bien de la suite précédente.
* définir d’une manière fonctionnelle la suite du deuxième exemple.
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Suites arithmétiques
Présentation et résultats
Une suite est dite arithmétique lorsque la différence entre un terme et le précédent est constante.
1+ − =n n
u u r
Ce nombre fixé r est appelé raison de la suite.
L’évolution des valeurs, terme après terme, se fait donc à vitesse constante.
Si r < 0, la suite est décroissante, si r = 0, elle est constante, si r > 0, elle est croissante.
On a alors les résultats suivants :
.0= +n
u u n r ( ) ( )0
0
1
2=
+ +=∑
nn
k
k
n u uu
pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1
sans avoir à calculer les premiers termes
précédents
Suites géométriques
Une suite est dite géométrique lorsque le rapport entre un terme et le précédent est constant.
1+ =n
n
uq
u
Ce nombre fixé q est appelé raison de la suite.
L’évolution des valeurs, terme après terme, ne se fait donc pas à vitesse constante.
Nous ne parlerons que des raisons positives et d’un premier terme positif.
Si 0 < q < 1, la suite est décroissante, si q = 1, elle est constante, si q > 1, elle est croissante.
On a alors les résultats suivants :
0= × n
nu u q .1
00
1
1
+
=
−=−∑
nn
k
k
qu u
q
pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1
sans avoir à calculer les premiers termes
précédents
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2.9.2 Intérêts simples
Un capital C0, placé en intérêts simples, rapportera à chaque période (en général : une année) des intérêts
à taux fixe de p% calculés sur la base de C0. Autrement dit, chaque période rapporte le même montant
d’intérêts : p% × C0.
Capital possédé au bout d’une période : C1 = C0 + p% × C0.
Capital possédé au bout de deux périodes : C2 = C0 + 2× p% × C0.
Capital possédé au bout de trois périodes : C3 = C0 + 3× p% × C0.
…
Capital possédé au bout de n périodes : Cn = C0 + n× p% × C0.
La suite des capitaux est donc arithmétique, de raison p% × C0.
Les formules précédentes montrent que . %. .0 0 0 1100
= + = +
n
pC C n p C C n
et que si à chaque début de nouvelle période on rajoute au placement une nouvelle somme égale à C0, la
somme totale possédée au bout de n périodes est alors :
( )( ) ( ) .00
0
11 1
2 200=
+ + = = + +
∑n
n
k
k
n C C pC C n n
Activité : « LE TAUX DE PLACEMENT »
Arthur, Olivier et Stéphane placent respectivement, sur leurs livrets « jeune » à la banque, 150 €, 450 € et
900 €. Au bout de 1 an, les intérêts obtenus sont alors de 4,50 € , 13,50 € et 27 €.
Compléter le tableau ci-dessous :
Arthur Olivier Stéphane
Capital placé (€)
Intérêt (€)
Prouver que les deux suites de nombres sont proportionnelles :
Que représente le coefficient de proportionnalité ?
Écrire le calcul de l’intérêt de chacun :
Arthur : ………………………………………………………………………………..
Olivier : ………………………………………………………………………………..
Stéphane : ……………………………………………………………………………..
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Le montant de l’intérêt est donc proportionnel au capital placé : le coefficient est le taux de placement.
Le taux de placement est exprimé en pourcentage, mais dans les calculs on l’écrira en décimal :
exemples : Livret jeune :…………………………………….
Livret A : ……………………………………….
Assurance vie : ………………………………….
CALCUL DE L’INTÉRÊT ET DE LA VALEUR ACQUISE
1) Exemples
Un capital de 500 € est placé sur un compte épargne à un taux d’intérêt annuel de 4,5 %.
Calculer le montant de l’intérêt au bout de 2 ans de placement :
………………………………………………………………………………………………………
En déduire le montant total sur le compte :
………………………………………………………………………………………………………
2) Formules
Intérêt - = ./ × 0 × 1 C0 : capital placé ; t : taux annuel ; n : durée du placement
Valeur acquise .1 = ./ + -
3) Remarques
Les placements à intérêts simples se font sur des courtes durées, rarement au-delà de 1 an ; donc les
durées utilisées sont : le mois, le jour.
Si le nombre de périodes n est en mois : - = ./ × 0 × 123
en jours : - = ./ × 0 × 145/
Exemples : calculer l’intérêt et la valeur acquise dans les cas suivants :
Capital 250 € placé à 3,5 % pendant 4 mois :
Capital 1 200 € placé à 4,75 % pendant 15 quinzaines :
Capital 900 € placé à 5,25 % du 3 Octobre au 10 Novembre :
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COMMENT RETROUVER LE CAPITAL PLACÉ ?
Exemple 1 : un capital a produit 10,50 € d’intérêt au bout de 9 mois de placement ; retrouver le montant du
capital sachant que le taux d’intérêt annuel est de 4 %.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
Exemple 2 : un capital a acquis une valeur de 3813,30 € au bout de 36 jours à un taux annuel de 3,5 %.
Retrouver le montant de ce capital.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
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COMMENT RETROUVER LE TAUX DU PLACEMENT ?
Exemple : un capital de 1200 € est placé pendant 72 jours ; le montant de l’intérêt est alors de 10,80 €.
Calculer le taux annuel de ce placement.
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COMMENT RETROUVER LA DURÉE DU PLACEMENT ?
Exemple : un capital de 4000 € est placé à un taux annuel de 3,75 % ; au bout de combien de jours de
placement le montant de l’intérêt atteindra 30 € ?
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2.9.3 Intérêts composés
Un capital C0, placé en intérêts composés, rapportera à chaque période n+1 (en général : une année) des
intérêts à taux fixe de p% calculés sur la base du capital Cn possédé à la fin de la période précédente.
Autrement dit, le montant d’intérêts évolue d’une période à une autre.
Capital possédé au bout d’une période : C1 = C0 + p% × C0.
Capital possédé au bout de deux périodes : C2 = C1 + p% × C1 = C0.(1 + p%)2
Capital possédé au bout de trois périodes : C3 = C2 + p% × C2 = C0.(1 + p%)3
…
Capital possédé au bout de n périodes : Cn = C0.(1 + p%)n.
La suite des capitaux est donc géométrique, de raison 1 + p%.
Remarque : la suite des intérêts est également géométrique, avec la même raison.
Les formules précédentes montrent que 0 1100
= +
n
n
pC C
et que si à chaque début de nouvelle période on rajoute au placement une nouvelle somme égale à C0, la
somme totale possédée au bout de n périodes est alors : 1
00
1 1100
100
+
=
+ − =∑
n
n
k
k
p
C Cp
CALCUL DE LA VALEUR ACQUISE
Activité Vous placez un capital C de 1 000 € sur un livret d’épargne au taux annuel t de 4 % .
Calculer la valeur acquise au bout d’un an, que l’on notera C1 :
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Calculer la valeur acquise par le capital C1 pendant la deuxième année. On note C2 cette valeur acquise.
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Calculer la valeur acquise par le capital C2 pendant la troisième année. On note C3 cette valeur acquise.
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Un placement est à intérêts composés, quand à la fin de chaque période de placement, l’intérêt s’ajoute
au capital pour le calcul des intérêts de la période suivante : on parle alors de capitalisation.
Formule
Recopier dans le tableau les résultats obtenus précédemment : Capital initial C0 Valeur acquise C1 Valeur acquise C2 Valeur acquise C3
Écrire le calcul donnant directement la valeur acquise de la cinquième année en partant de 1 000 € :
Formule générale : Cn = C0× ( 1 + t )n
Remarque : dans ce cas on calcule directement la valeur acquise. ; pour trouver le montant de l’intérêt il
suffira de calculer la différence entre la valeur acquise et le capital initial.
Application
Calculer la valeur acquise par un capital de 1 500 € placé sur un livret jeune au taux annuel de 3,75 %
pendant 8 ans. En déduire le montant de l’intérêt.
COMMENT RETROUVER LE CAPITAL ET LE TAUX DU PLACEMENT ?
Exemples
1. Quel capital C0 faut-il placer pendant 4 ans à un taux annuel de 5 % pour avoir une valeur acquise
de 6 077,53 € ?
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2. Calculer le taux t auquel il faut placer 20 000 € pendant 9 ans pour avoir 33 789,58 €.
COMMENT RETROUVER LA DURÉE DU PLACEMENT ? (introduction du logarithme)
Calculer la durée du placement, en années, d’un capital de 8 000 € placé à 5,75 % pour obtenir une valeur
acquise de 10 000 €.
2.9.4 Les emprunts indivis
Lorsqu’une personne a besoin d’une somme d’argent, il lui est possible d’emprunter cette somme (auprès
d’une banque, d’une société de prêts, d’une assurance ….) si ses ressources sont suffisantes pour
rembourser.
La loi impose que le remboursement ne doit pas dépasser le tiers (33 %) des revenus.
Exemple : une personne qui gagne 1500 €/mois peut rembourser maximum 500 €/mois.
Il existe deux types de remboursement : - remboursement par amortissements constants
- remboursement par annuités constantes
L’amortissement est la valeur du capital remboursé chaque année.
L’annuité est la somme payée par le débiteur pour rembourser le prêt, elle correspond à la somme de
l’amortissement et des intérêts : annuité = amortissement + intérêts.
Les intérêts sont calculés pour chaque période sur la base du capital restant dû.
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1 . Remboursement par amortissements constants
Le montant du de l’amortissement ne varie pas, mais la somme payée chaque période (annuité) n’est pas la
même.
Amortissement = capital à rembourser / nombre d'échéances
On calcule d’abord l’amortissement annuel, puis les capitaux restants dus, sur la base desquels le taux
d’intérêts est appliqué.
Exemple : capital emprunté : 80 000 € ; taux d'intérêt annuel : 4 % ; remboursement annuel pendant 5 ans. Amortissement = Tableau d'amortissement :
années
capital restant dû
(en début de
période)
amortissements intérêts Annuités de
remboursement
capital restant dû
(en fin de période)
1
2
3
4
5
2eme exemple :
capital emprunté : 30 000 € ; taux d'intérêt annuel : 9 % ; remboursement mensuel sur 2 ans. Quelle va être la durée du remboursement en mois ? Valeur de l’amortissement de chaque mois = Les intérêts vont s’appliquer chaque mois, avec un taux mensuel =
Mois
capital restant dû
(en début de
période)
amortissements intérêts Annuités de
remboursement
capital restant dû
(en fin de
période)
1
2
3
…
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2. Remboursement par annuités constantes ( On paie le même montant chaque période)
Les annuités de remboursement sont des versements réguliers effectués en fin de période afin de
rembourser le capital emprunté.
La valeur actuelle 67 d'un emprunt est donnée par la formule : 67 = � � ��89�:�9
Comment déterminer le montant de l’annuité « � » payée chaque période ? (transformation de formule)
1er exemple :
Mr Toulemonde doit rembourser un crédit de 10 000 € en cinq annuités constantes payables chaque fin
d'année au taux annuel de 4 %.
Calcul du montant de l’annuité :
Calcul du premier intérêt :
Calcul du premier amortissement :
années
capital restant dû
(en début de
période)
amortissements intérêts Annuités de
remboursement
capital restant dû
(en fin de période)
1
2
3
4
5
Remarques : En début de période, le montant de l’intérêt est plus élevé qu’en fin de période
(contrairement à l’amortissement).
Calculer le montant total versé à la banque (total des annuités) :
Calculer le montant total des intérêts perçus par la banque (c’est le « coût du crédit ») :
Formule pour trouver le montant total des intérêts : � × − 67
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2eme exemple :
Vous désirez acheter une voiture dont la valeur d'achat est 14 000 €. Vous envisagez un emprunt.
Les conditions du plan de financement sont les suivantes :
- apport : 20 % de la valeur d'achat - remboursements mensuels constants
- taux annuel global (TEG) : 6 % - durée 5 ans
Calculer le montant à emprunter :
Calculer le taux mensuel proportionnel :
Calculer la durée du remboursement en mois :
Calculer le montant d'une mensualité :
Compléter les 4 premières lignes du tableau d'amortissement ci-dessous :
Mois
capital restant dû
(en début de
période)
amortissements intérêts Mensualités de
remboursement
capital restant dû
(en fin de
période)
1
2
3
4
…..
Calculer le montant total versé à la banque (total des mensualités) :
Calculer le montant total des intérêts perçus par la banque (c’est le « coût du crédit ») :
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EXERCICES
* EX 2.79. Calculer la valeur acquise par un capital de 5 000 € placé au taux annuel de 4,75 % pendant 5
ans. En déduire le montant de l’intérêt.
* EX 2.80. Quel capital C0 placer pendant 8 ans à 5 % pour avoir une valeur acquise de 14774,55 € ?
* EX 2.81. Calculer le taux t auquel il faut placer 20 000 € pendant 10 ans pour obtenir une valeur acquise
de 33 361,92 €.
* EX 2.82. Calculer la durée du placement d’un capital de 3 500 €, placé à 2,1 %, pour obtenir une valeur
acquise de 4 219,88 €.
* EX 2.83. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1 en
fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de
temps on obtiendra le double du capital de départ.
* EX 2.84. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux
d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.
* EX 2.85. Vous placez 1000 € le 1er janvier, en intérêts composés, au taux annuel de 6% mais vous
désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?
* EX 2.86. Un pépiniériste achète de jeunes conifères du Japon, mesurant 20 cm.
Ces conifères ont la particularité de voir leur taille augmenter de 20% tous les ans.
1) Remplir le tableau de valeurs suivant.
année année 1 année 2 année 3 année 4
taille (cm) 20
2) Exprimer, en fonction de n, la taille d'un de ces cônifères à l'année n.
3) Pour que cet arbre soit vendu, il doit mesurer au moins un mètre. A partir de quelle année pourra-
t-il vendre ses cônifères ?
* EX 2.87. Un commerçant place 10% de ses bénéfices sur un compte rapportant 7% par an. Les
bénéfices annuels se montent à 36000 €, si bien que le commerçant apporte à chaque fin d'année 3600
€ sur son compte. Il retire également ses intérêts, chaque année à la même date.
Le tableau ci-dessous explique le détail de ses opérations et les relevés de son compte.
année 2012 2013 2014 2015
argent placé 3600 3600 3600 3600
intérêts retirés 0 7% de 3600 7% de 7200 7% de 10800
montant du compte 3600 7200 10800 14400
1) Calculer les intérêts retirés au bout de chacune de ces quatre années.
2) Calculer les intérêts retirés n années après 2012, en fonction de n.
3) En utilisant la formule ( )
...1
1 2 32
n nn
++ + + + = , calculer le total des intérêts qu’il aura
récupérés entre 2012 et 2030.
4) Combien possédera-t-il sur son compte en 2030 ?
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* EX 2.88. 1) M.Prévoist dépose 500 € sur un compte rapportant 6% annuels d’intérêts composés. De quelle
somme disposera-t-il cinq ans plus tard ?
2) Quelle somme devrait-il déposer aujourd’hui pour pouvoir disposer de 1000 € dans cinq ans ?
* EX 2.89. Au 1/01/2015, un employé a un salaire mensuel de 1550 €. L'entreprise qui l'emploie décide
de lui accorder des augmentations au rythme d'une par an, et lui demande de choisir entre deux types
de rémunération :
- une augmentation de 170 € au 1er janvier de chaque année (choix 1)
- une augmentation de 10 % au 1er janvier de chaque année (choix 2)
1) Remplir le tableau ci-dessous en calculant pour les années citées son nouveau salaire mensuel,
considérant les deux types différents.
année 2015 2016 2017 2018
choix 1 1550
choix 2 1550
2) Donner, pour chaque type d'augmentation, une expression du salaire mensuel de cette personne
lorsque n années se sont écoulées après 2015.
3) Calculer, à l'aide des deux relations précédentes, les deux salaires mensuels différents qu'il
pourrait toucher en 2030.
* EX 2.90. Une machine perd chaque année 20% de sa valeur. Au bout de combien de temps vaudra-t-
elle moins de 10% de sa valeur de départ ?