représentation détat des systèmes formalisme detat commandabilite-observabilite commande par...
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Représentation d’état des systèmes
• FORMALISME D’ETAT• COMMANDABILITE-OBSERVABILITE• COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT• OBSERVATEUR
FORMALISME D’ETAT
• 1 NOTION D'ÉTAT
• 2 EQUATION D'ÉTAT - EQUATION D'OBSERVATION
• 3 FONCTION DE TRANSFERT
• 4 INTÉGRATION DE L'ÉQUATION D'ÉTAT
• 5 PLURALITÉ DES REPRÉSENTATIONS D'ÉTAT
• 6 LES FORMES CANONIQUES
• 7 OBTENTION DE LA REPRÉSENTATION D’ÉTAT
• 8 STABILITÉ BIBO - STABILITÉ ASYMPTOTIQUE
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
Avion axe longitudinal
Entrées de commande ( position manette des gaz )
m ( position gouverne
de profondeur)
Sorties mesurées q la vitesse de tangage (gyromètre ) Z l’altitude ( capteur de pression ) Vqfv ,, (palette d’incidence)
Entrées de perturbation wx, wz vitesses du vent
conditions initiales TZqV 00000
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
• La représentation d'état repose sur la notion d'énergie.
• Le processus est décrit par ses variables d'états. Ces variables d'état donnent une description interne complète de l'évolution du système.
• L'évolution d'un processus à partir d’un instant t0 donné dépend :- de son état initial, - des sollicitations extérieures (commandes et
perturbations ).
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
• Système mécanique élémentaire
masse m
raideur k
coefficient de frottement f
y
force F
• Vecteur d’état : X= [y, vy]T
• Vecteur de commande : U= F• Vecteur de sortie, la position : Y = y(t)
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
• Mise en équation
- Equation d’état
- Equation d’observation
masse m
raideur k
coefficient de frottement f
y
force F
• Système mécanique élémentaire
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
0 5 10 15 20 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0
0.2 0.4
0.6 0.8
1 Position y
y(t0) = -1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vy
y
Trajectoire d'état
t0
• Réponse indicielle du système mécanique élémentaire
La réponse y(t) La trajectoire d’état
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME
m
1
m
k
m
f
+ y(t)F(t)yv
.yv
• Représentation sous forme de schéma fonctionnel du système mécanique élémentaire
NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME• La fonction de transfert propose une
représentation externe du système, soit
• La représentation d’état propose une description interne puisqu’elle permet d’appréhender les variables internes au système : y(t) et vy(t)
pF
pY
m
1
m
k
m
f
+ y(t) F(t) yv
.yv
• Equation d’état
EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION
nTn RxxxX ..21
Le vecteur d’état :
BUAXX
L’équation d’état :
L’équation d’observation : DUCXY
mTm RuuU ...1Le vecteur de commande :
Le vecteur de sorties : sTs RyyY ...1
• Equation d’observation
EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION
• Représentation schématique des équations d’état et d’observation
X C + +
Y XX'
A
B U
D
FONCTION DE TRANSFERT
Le système est décrit par :
DUCXY
BUAXX
La matrice de transfert :
AIp
DAIpBAIpadjC
.det
..det...
pU
pY
C + + X Y
XX'
A
B U
D
Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état A
FONCTION DE TRANSFERT• Système mécanique élémentaire
masse m
raideur k
coefficient defrottement f
y
force F
Fm
v
y
m
f
m
kv
y
yy
1010
yv
yY
10
01
L’équation d’état :
L’équation d’observation (tout l’état est mesuré) :
La matrice de transfert :
mk
pmf
p
pmk
pmf
ppH
²
²
1
INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT
• Intégrer l’équation d’état c’est être capable de déterminer à tout instant l’expression des variables d’état :
– Les conditions initiales sont connues,– les entrées de commande et de perturbation
appliquées au système sont connues.
txtx n...1
XCY
UBXAX
.
..
dUBtXtXt
t
tAttA ).(..exp)(.exp)(0
00
).(
dUBCtXCtYt
t
tAttA ).(..exp.)(.exp.)(0
00
).(
Régime libre Régime forcé
INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT
• Calcul de eAt
– Formulation de Sylvester– Transformée de Laplace inverse : 1.exp AIpL At
Fm
v
y
m
f
m
kv
y
yy
1010
• Application au système mécanique élémentaire
f= 0
tm
kt
m
k
m
k
tm
k
k
mt
m
k
eApIL At
cossin
sincos11
PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT
• De l’intérêt de disposer de plusieurs modèles d’un même système
yay
z
v
xaéro
za
wind
u
w
xavion
PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT
• D’une manière générale, la représentation d’état obtenue lorsqu’on modélise le système au moyen des équations de la physique n’est pas nécessairement celle qui se prête le mieux :– à l’interprétation des propriétés du système étudié,– à la résolution de l’équation d’état,– à l’élaboration d’une loi de commande.
Des changements de base judicieux peuvent permettre de faciliter la résolution des problèmes mentionnés supra.
PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT
• Changement de base
DUCXY
BUAXX
P matrice de passage non singulière.ZPX .
UDZCY
UBZAZ
ii
ii
Le système dans la base originelle Le système dans la nouvelle base
DD
CPC
BPB
APPA
i
i
i
i
1
1
formules de changement de base :
LES FORMES CANONIQUES
• Forme diagonale : elle met en évidence : – les propriétés dynamiques (stabilité, rapidité,
amortissement),– les propriétés de commandabilité et
d’observabilité,– facilite l’intégration de l’équation d’état,– la contribution des modes aux états.
LES FORMES CANONIQUES
• Forme diagonale
DUCXY
BUAXX
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
c..cc ..
0..0
0...0..
..00
0..0
dnd2d12
1
12
1
C.PC
b
b
b
BPB
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
ZPX . P matrice constituée des vecteurs propres
Tous calculs faits …
Remarque : sans perte de généralité, on pourrait décrire de la même manièreUn système multi-entrées, multi-sorties.
LES FORMES CANONIQUES
dnb
2da
1da
dna
2db
1db
dnc
2dc
1dc
)(tu
)(1 tz
)(tzn
)(2 tz
)(tzn
)(2 tz
)(1 tz
+
+
+
+
c..cc ..
0..0
0...0..
..00
0..0
dnd2d12
1
12
1
C.PC
b
b
b
BPB
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
• Forme diagonale
y(t)
LES FORMES CANONIQUES
dubezezubzaz
dubezezubzaz
dubezezubzaz
t
dnta
nta
idnndnn
t
dita
ita
idiidii
t
dtata
dd
dndn
didi
dd
0
0
0
0
0
11011111
...
...
11
• Forme diagonale : interprétation
1) Intégration des équations d’état :
2) Commandabilité : bdi = 0 zi n’est pas commandé
3) Observabilité : ndnidid zczczcy .....11 cdi = 0 zi n’est pas observé
4) Contribution des modes aux états : définie par les vecteurs propres
LES FORMES CANONIQUES
Fm
v
y
m
kv
y
yy
10
0
10
• Forme diagonale : exemple
yv
yY 01
ni
ni
nmi 5.0
1
1)(1 tz
)(2 tz
)(2 tz
)(1 tz
nmi 5.0
)(tf
LES FORMES CANONIQUES• La forme compagne horizontale :
– facilite la mise en oeuvre d’une commande– obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert
1
0
...
0
0
......
10...00
010......
...0100
0...010
110
h
n
h B
aaa
A
P a a aAn
nn( ) . ... .
11
1 0
DUCXY
BUAXX
Attention à ne pas chercher de sens physique à cette représentation, elle n’en n’a pas !
LES FORMES CANONIQUES
01
11
011
1
.....
......
)(
)(
apapap
bpbpbpb
pU
pYn
nn
mm
mm
• La forme compagne horizontale :
– facilite la mise en oeuvre d’une commande– obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert
0...0
1
0
...
0
0
......
10...00
010......
...0100
0...010
10
110
mhh
n
h bbbCB
aaa
A
STABILITE
• Au travers d’un exemple
XY
UXX
01
1
1
10
01
Soit le système :
0
1
1
11
1
p
1
1
p
+)(py)(pu
)(1 px
)(2 px
Le schéma fonctionnel :
La fonction de transfert a perdu un mode : 1
1
)(
)(
ppU
pY
Système stable du point de vue de la fonction de transfert, instable du point de vue de la représentation d’état.
Commandabilité - Observabilité
Commandabilité
• Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur
z
y x
repère orbital local zs
xs
ys
z
x
y
Repère de consigne et repère satellite
tangage y
roulis x
lacet z
B
iy ix
xy
zx
zy
z
x
y
x
Bi
Bi
Bi
B
B
i
i
M 0
0
Aux pôles, les magnétocoupleurs créent des couples sur les 3 axes et le satellite est commandable.
Commandabilité
z y
x
repère orbital local zs
xs
ys
z
x
y
Repère de consigne et repère satellite
tangage y
roulis x
lacet z
B
iy ix
xy
zx
zyx
y
x
Bi
Bi
BiB
i
i
M
0
0
0
A l’équateur, Bx // ix , et le satellite n’est plus commandable.
• Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur
Commandabilité
• Définition : Un processus de vecteur d'état X est complètement commandable sur l'intervalle de temps [t0, tf] s'il existe sur cet intervalle une commande U(t) permettant d'amener ce vecteur d'un état initial X(t0) quelconque à un état final X(tf) choisi quelconque . Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.
Commandabilité• Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée
1 d b
1 d a
1 d c
0 2 d b 2 d c
2 d a
dn c dn b
dn a
+
) ( t y
) ( t u
) ( 1 t z ) ( 1 t z
) ( 2 t z
) ( t z n
) ( 2 t z
) ( t z n +
+
+
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
c..cc ..
0..0
0...0..
..00
0..0
dnd2d12
1
12
1
C.PC
b
b
b
BPB
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Dans la base diagonale, le système s’écrit :
Et peut être représenté comme suit :
Le système est commandable si Bd n’a pas de lignes nulles.
Commandabilité
• Critère de commandabilité ou critère de Kalman
nBA...ABBrang 1n
Le système décrit par la représentation d’état :
DUCXY
BUAXX
est commandable ssi :
Observabilité
• Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle
temps
erreur de position
t
dérive
Sans recalage
02
02
0)(22
xt
dtvt
tx
tdvttv
d
y
y
m
est l’accélération mesurée par la centrale inertielle, elle comporte une erreurSystématique d. Après intégrations, cette erreur se propage et est à l’origine d’une dérive.
Sans autre information, on est incapable d’estimer la dérive, le système est alorsinobservable.
Observabilité
• Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle
Avec recalage
On a accès à la dérive d par une mesure supplémentaire, laquelle peut être obtenue par Un GPS.
La dérive peut être estimée et le système est dit observable.
temps
erreur de position
t
dérive
recalage
Observabilité
• Un système est dit complètement observable sur l'intervalle de temps [t0, tf] si l'observation de la commande U(t) et de la sortie Y(t) permet de déterminer l'état initial X(t0). Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.
Observabilité• Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
c..cc ..
0..0
0...0..
..00
0..0
dnd2d12
1
12
1
C.PC
b
b
b
BPB
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Dans la base diagonale, le système s’écrit :
Et peut être représenté comme suit :
Le système est observable si Cd n’a pas de colonnes nulles.
1 d b
1 d a
1 d c
2 d b 2 d c
2 d a
dn c dn b
dn a
+
) ( t y
) ( t u
) ( 1 t z ) ( 1 t z
) ( 2 t z
) ( t z n
) ( 2 t z
) ( t z n
=0
+
+
+
Observabilité
• Critère d’observabilité ou critère de Kalman
Le système décrit par la représentation d’état :
DUCXY
BUAXX
est observable ssi : n
CA
...
CA
C
rang
1n
Commandabilité - Observabilité
COS
OCS
Dans le cas général, le système décrit par la représentation d’état :
Comporte : Sous-système commandable et observable Sous-système commandable et non observable Sous-système non commandable et observable Sous-système non commandable et non observable OCS
OCS
DUCXY
BUAXX
coS
ocS
ocS
ocSu
y
Et la fonction de transfert ne fait apparaître que les modes commandables et observables
Commande par retour d’état• Exemple introductif :
états mesurés vitesses positions
Entrées de perturbation wx, wz perturbations atmosphériques
Consigne : Point visé
Kp
Kv
+
+
-
Entrées de commande manette des gaz gouverne de profondeur
Lors d’une phase d’atterrissage, le pilote vise un point d’impact. A tout instantil lui faut évaluer :sa position (x, y, z) par rapport au point d’impact (0,0,0),sa vitesse relative (vx, vy, vz) par rapport à celle désirée au point d’impact (Vxd,0,0)
Le pilote élabore une stratégie de commande fonction de ces variables, c‘est une stratégie de commande par retour d’état.
Synthèse de la commande par retour d’état
.
BeXBKAX
KXeBAXX
BUAXX
C +
X
Y X
A
B
U
système
Structure :
K
Hypothèses : • Tous les états sont mesurés Y=X• Le système est commandable
+
-
Mise en équation :
BKAAc La matrice d’état corrigée
Stratégie de commande
• On cherche à régler la dynamique du système i.e. stabilité, amortissement, rapidité.
• On rappelle que ces performances sont conditionnées par les pôles du système
• Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état, ici : Ac =A – BK
A, B donnés, on règle K de sorte que les valeurs propres de Ac soit les pôles qui satisfont aux objectifs de la commande.
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag Axis
Carte des poles, axe latéral d’un Boeing 747 d’après Mathtools.
Pôles Amortissement Freq. (rad/s) n -0,00728 1 7.28e-003 -0,563e 1 5.63e-001 -0,03.29 + 0,947i 3.48e-002 9.47e-001 -0,0329e – 0,947i 3.48e-002 9.47e-001 oscillation de dérapage
mode de spiral mode roulis pur
Stratégie de commandeExemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag Axis
Carte des pôles du 747 corrigé
0,4 + 0,4.i
0,4 - 0,4.i
Stratégie de commandeExemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747
nmin
min
Calcul de la matrice de commande K
nn kkkkK 121 ..
.
BeXBKAX
KXeBAXX
BUAXX
Le système corrigé
Dimension de K : (m x n)
Dimension de B : (n x m)
Dimension de A : (n x n)
On se place dans le cas d’un système à 1 entrée et K à la structure suivante :
• Méthode 1 : réglage du polynôme caractéristique de Ac=A-BK
Calcul de la matrice de commande K
On déduit les pôles du système corrigé d’après les performances dynamiques à atteindre. On peut alors écrire le polynôme caractéristiquedu système corrigé :
012
21
1 ......
nn
nn
nAcorrigéP
Ce polynôme caractéristique est le polynôme caractéristique de A-BK :
nnAcorrigé kkkkBAIKBAIP 121 .....
On est donc amené à résoudre un système de n équations à n inconnues satisfaisant aux n solutions nn kkkk 121 .. Tnn 1210 ..
Calcul de la matrice de commande K• Exemple : soit le système décrit par la représentation d’état suivante.
Déterminer un retour d’état tel que l’amplitude relative du premier dépassement soit inférieur à 5%, que le temps de réponse à 5% soit minimal est inférieur à 3s.
Pôles désirés :
ippt
D
nrn
/1,13
7,0%5 *11
%5
%1
Polynôme caractéristique à atteindre : 222 pppPAc
À identifier au polynôme caractéristique corrigé :
24415 211222 kkkkpkkppP BKA
1k
2 , 1 21 kkTous calculs faits :
• Méthode 2 : calcul de K dans la base compagne horizontale
Calcul de la matrice de commande K
012
21
1 ......)( aaaaP nn
nn
nA
110 ......
10...00
010......
...0100
0...010
n
h
aaa
A
110 ......
10...00
010......
...0100
0...010
n
hcorrigéA
012
21
1 ......
nn
nn
nAcorrigéP
La matrice d’état du système non corrigé La matrice d’état du système corrigé
Le polynôme caractéristique du système non corrigé Le polynôme caractéristique du système corrigé
111100
110
110 ......
10...00
010......
...0100
0...010
......
1
0
...
...
0
......
10...00
010......
...0100
0...010
.
hnnhh
hnhh
n
hhhhcorrigé
kakaka
kkk
aaa
KBAA
1,...,0 niak iihi Après identification :
Réglage du gain statique
• On insère un préfiltre H :
C +
X
Y X
A
B
U
système
K
+
-H
La fonction de transfert : pBHeBKApICpY 1
En régime permanent, le gain statique : BHBKAC 1
CXY
KXHeU
BUAXX
.
e
Les coefficients de la matrice H permettent de régler le gain statique désiré.
OBSERVATEUR DETERMINISTE
Observateurs déterministes
• Position du problème– La commande par retour d’état U=e-KX
nécessite qu’on ait accès à tous les états. Or
pour des raisons économiques ou pratiques les états ne sont pas tous mesurables
Reconstruire / Estimer les états que l’on ne mesure pas
Observateurs déterministes
• Position du problème– Certains systèmes sont décrits par des paramètres
inconnus qu’il est pourtant nécessaire de connaître. Or ces paramètres ne sont pas mesurables, par exemple le terme de dérive d’un accéléromètre ou d’un gyromètre.
Estimer le paramètre que l’on ne peut pas mesurer.
Système
commande
+ -
sorties mesurées
U
e
observateur
^
X
Y
Observateurs déterministes
• Idée : exploiter le maximum d’informations disponibles pour estimer l’état inconnu i.e.– Les mesures disponibles– Un modèle du système sous forme de
représentation d’état– En outre le système doit être observable (Kalman)
Etat reconstruit
^
X
Observateurs identité• On dispose d’une seule mesure Y pour reconstruire
tous les états X et le système est observable
Système
A , B , C
u y
xétatconstruit
Observateur
S , G , L
• L’observateur est linéaire vis-à-vis des commandes, des mesures et des états estimés :
YLUGXSX ...^^
Système
• L’observateur peut être vu comme un filtre linéaire :
pLYSpIpGUSpIpX 11^
Observateurs identité
Système
A , B , C
u y
xétatconstruit
Observateur
S , G , L
tXtXt^
Les matrices S, G et L doivent assurer la convergence de l’état estimé vers l ’état réel soit :
On définit l’erreur d’estimation :
t
tXtX^
qui doit converger vers 0 lorsque t
Observateurs identité• Expression de l’erreur :
Modèle de prédiction Correcteur (recale l’erreur de prédiction)
0 tLCAe
• Equations d’état de l’observateur :
)(^^^
YYLBUXAX
Mesure Y
C +
^
X
^
Y
^X
A
B
L
U
Etats reconstruits Simulateur
Système ( état X )
+
-
Perturbations W
Quel sens attribuez-vous à (0) ?
L est en fait formé de n gains
TnlllL 110 ..
Choix du gain L de l’observateur
• L’erreur e doit converger rapidement vers 0. Les valeurs propres de A-LC doivent avoir une partie réelle négative (condition de stabilité) et leur module plus grand que celui des valeurs propres de A afin que la durée du régime transitoire de l'erreur soit plus courte que celle du régime transitoire du système.
• les incertitudes sur le modèle conduisent, si elles sont importantes à choisir un grand gain L pour renforcer l'influence des mesures y par rapport à la simulation.
• Le bruit entachant la mesure des grandeurs de sortie est amplifié par les gains L et si L est trop grand dégrade l’estimation.
Choix du gain L de l’observateur
• On fixe la dynamique de l’état l’erreur i.e. en combien de temps et comment les erreurs convergent vers 0,
• Cette dynamique est définie par les pôles de l’observateur qui sont les valeurs propres de A-LC,
• On écrit le polynôme caractéristique désiré à partir des valeurs propres de A-LC,
• On l’identifie à PA-LC() et on en déduit L
011
1 .....
nn
nLCAP
011
1110 ........
nn
nn ClllAILCAI
Calcul de la matrice L• Exemple : soit le système décrit par la représentation
d’état suivante. Déterminer un retour d’état tel que les erreur d’estimation de l’observateur convergent en un temps de réponse minimal inférieur ou égal à 0,3 s.
Pôles désirés :
ippt nrn
10/10,103
7,0minimal temps *11
%5
Polynôme caractéristique à atteindre : 100142 pppP LCA
À identifier au polynôme caractéristique corrigé :
2132
12
0
0
1
0
l
l
p
ppP LCA
Application : estimation d’attitude sur SPOT4
C=1+
+
XA=0
B=1qm
Vitesse de tangagemesurée
On a besoin de connaître l’attitude du satellite à 8Hz, or les capteurs d’attitudedélivrent une mesure à 1Hz …
On dispose d’un gyromètre qui délivre une mesure de vitesse à 8Hz, on intègre La vitesse angulaire mesurée qm pour produire une estimation de l’angle de tangage soit :
dtq.^
La même mise sous forme d’un modèle de prédiction :
Or, le gyromètre délivre une mesure erronée : bqqm
Le modèle de prédiction propage cette erreur … et le satellite est mal commandé !
tb.^
C=1
+ +
X
A=0
B=1
qm
Vitesse de tangage mesurée
L
-
+
Application : estimation d’attitude sur SPOT4
T
bX
^^^
^
1
^^
. lbqm
^
2
^
. lb
Recalage par senseur d’attitude à 1Hz
Le nouveau vecteur d’état :
Les équations de l’observateur de la forme : )(^^^
YYLBUXAX
Commande par retour d’état estimé
B
A
B
A
C
C
K
L
+
-
+
+
+
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système
observateur
e Y
Y ˆ
X ˆ
X
X ˆ
U
• Comme on ne dispose pas d’une mesure des états, on génère la commande par retour d’état au moyen desétats estimés par l’observateur.
Mise en équation du système complet :
eBX
CLA
KBKBAX .0.0
..
Théorème de séparation des états:
LCApIBKApIpP
On peut dimensionner séparementLa commande et l’observateur.