Universidade do Estado da Bahia - UNEB

Departamento de Ciências Exatas e da Terra - DCET Curso: Engenharia de Produção Civil

Disciplina: Cálculo II Professor: Armando Peixoto Monitor: Victor Mendes Lopes

Resolução Comentada

Integral Indefinida

1. Resolução de integrais indefinidas básicas.

2. Método da substituição (mudança de variável).

3. Integração por partes.

4. Divisão de polinômios.

5. Funções racionais.

6. Aplicações de integral indefinida.

Resolução Comentada – Integral indefinida 2

01)

∫(

√ )

A integral da soma é a soma das integrais:

∫ ∫

∫

√

A constante multiplicativa pode se retirada do integrando:

∫ ∫

∫

√

Arrumando em forma de potência:

∫ ∫ ∫

Regra 02 na tabela:

Observe que não é necessário colocar a constante para cada integral indefinida, pois a soma

de constantes também é uma constante.

02)

∫( )

∫( )

∫ ∫

∫ ∫

Resolução Comentada – Integral indefinida 3

03)

∫ ( )

( )

Método da substituição (mudança de variável):

∫ ( )

( )

( ) ( )

( )

∫ ( )

( )

∫

Lembrando que deve-se voltar à variável antiga:

( )

( )

Deixando mais bonito:

( )

A partir de agora, treinem os olhos para enxergarem funções e suas derivadas.

04)

∫(√ )( √ )

∫(

)

∫( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 4

05)

∫

√

∫

∫

06)

∫ ( )

( )

∫ ( ) ( )

( ) ( )

( )

∫

Regra 04 na tabela:

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 5

07)

∫ ( )

√

∫ ( )

√

( )

√

√

∫

( )

08)

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Regra 10 na tabela (em alguns livros você encontra | ( )|... pense sobre):

| ( )|

| ( )|

Resolução Comentada – Integral indefinida 6

09)

∫ ( )

∫ ( )

( )

( )

10)

∫ √

∫( )

11)

∫( ) ( )

∫( )

∫( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 7

12)

∫ √

∫

( )

13)

∫

√

( )

( )

∫

√

√

√

14)

∫( √ )

∫( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 8

15)

∫

Divisão de polinômios (Ou pulo do gato):

( ) ( )

( ) ( ) ⌊ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ( )

( ) ∫ ( ) ∫

( )

( ) ( ( )) ( ( ))

∫( )

16)

∫

∫

∫

Regra 03 da tabela:

| |

| |

Resolução Comentada – Integral indefinida 9

17)

∫ ( )

( )

( ) ( ( ))

( ( ))

∫

| |

| ( )|

18)

∫ ( )

∫ ( ) ( )

Da trigonometria temos que:

∫( ( )) ( )

( ) ( ) ( )

( )

∫

∫(

)

| |

| ( )| ( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 10

19)

∫ ( ) ( )

( )

∫( ( ) )

∫( ( ) )

| ( )|

| ( )|

20)

∫ ( )

( )

∫( ( ) ( ) ( ))

Regra 09 e 14 da tabela:

( ) ( )

21)

∫

∫

∫

∫(

)

| |

| |

Resolução Comentada – Integral indefinida 11

22)

∫ ( ) ( )

( ) ( )

( )

∫

( )

23)

∫

(Maldade... começar método por partes com essa ae... ”mas fique tranqüilo”)

Método de Integração por partes:

∫

∫

∫

∫

Percebe-se que II se difere de I pelo grau do x, que diminuiu. Por indução, se aplicarmos essa

regra mais 2 vezes, o x terá grau 0, ou seja, será igual a 1, deixando somente o ex, no qual

podemos integrar tranquilamente (Regra 05 da tabela).

∫

∫

Resolução Comentada – Integral indefinida 12

∫

∫

∫

∫

Voltando à equação II:

( )

Voltando à equação I:

( )

( )

24)

∫ ( ( ))

( )

∫ ( )

( )

∫

( ) ∫

Resolução Comentada – Integral indefinida 13

( ) ∫

( )

(E eu lhes apresento a integral do ln(x)... melhor gravar isso)

( ) ( ( )) ( )

25)

∫ ( )

( ) ( )

∫

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( )

Percebe-se que II se difere de I pelo seno, que antes era cosseno. Por indução, se aplicarmos

essa regra mais 1 vez, o seno se transformará em cosseno novamente:

( ) ( )

∫

( ) ∫ ( )

( )

Voltando à equação I:

( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ( ))

Normalmente integrais com cossenos e senos se resolvem assim, deve-se fazer várias vezes a

integração por partes até que você encontre a primeira integral novamente.

Resolução Comentada – Integral indefinida 14

26)

∫ ( )

( ) ( )

∫

( )

∫

( )

( )

∫ ( )

∫ ( )

( ) ( )

∫

( )

∫

( )

( )

∫ ( )

( )

Voltando à equação I:

( )

( ( )

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 15

(

( )

( ))

(

( )

( ))

27)

∫ ( )

( ) ( )

∫

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( )

( ) ∫ ( )

( ) ( )

Voltando à equação I:

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 16

28)

∫ ( )

√ ( )

∫ ( ) ( )

√ ( )

∫( ( )) ( )

√ ( )

( ) ( )

( )

∫( )

√

∫(

)

( )

( )

29)

∫( ) ( )

∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( )

∫

( )

∫

( )

( )

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 17

Voltando à equação I:

( ( )

( )

) ∫ ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

30)

∫ √

√ √

√

∫

√ ∫ √

√

√

∫ √

√

√

√ √

√ ∫

√

√ √

√ (

)

31)

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∫

Resolução Comentada – Integral indefinida 18

( ) ∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

( )

( )

( )

32)

∫ ( )

( )

( ) ( )

( )

∫

( )

( )

33)

∫

√

∫

√

√

Resolução Comentada – Integral indefinida 19

34)

∫ ( ( ))

( )

∫ ( )

( )

( ( ))

35)

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫( ( )) ( )

( ) ( )

( )

∫( )

( ) ( )

36)

∫ ( ) ( )

( ) ( )

( )

∫

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 20

37)

∫

Integração de funções racionais (Ou super pulo do gato):

∫

( )

∫

( ) (

) ( )

∫

( ) (

) ( )

Vamos forçar o polinômio para que ele se encaixe dentro de um dos modelos acima:

∫

∫

( )

∫

( )

(

)

38)

∫

∫ ∫

( )

∫ ∫ ( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 21

∫ ∫ ( )

∫

( )

( )

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( )

| | |

|

| | |

|

| | |(

)

|

|( ) (

)

|

39)

∫

∫( ) ∫

∫( ) ∫

| |

( ) | |

Resolução Comentada – Integral indefinida 22

40)

( )

( )

∫

( ) ∫

∫

( )

| |

| |

Substituindo as informações dadas:

| |

| |

Tempo de meia-vida:

| |

| |

Resolução Comentada – Integral indefinida 23

41)

Vamos aproveitar a equação feita acima:

E substituir as informações dadas:

| |

Então temos a expressão:

Tempo de meia-vida:

| |

Observe que a expressão para encontrar o tempo de meia-vida foi o mesmo:

42)

Quantidade de sal presente em qualquer instante:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 24

∫

( ) ∫

| ( )|

| ( )|

( )

( )

( )

( )

( )

Substituindo as informações:

( )

Após 1 hora:

( )

( )

43)

( )

( )

∫

∫

| |

| | ( )

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 25

Substituindo as informações:

|

|

Tempo para se atingir temperatura de 51°C:

|

|

44)

( )

( )

|

|

Resolução Comentada – Integral indefinida 26

45)

( )

( )

∫

( ) ∫

∫

( )

| ( )|

( ) ( )

( )

Substituindo as informações:

| |

Expressão geral:

( )

Resolução Comentada – Integral indefinida 27

46)

( )

( )

∫ ∫( )

Substituindo as informações:

( )

( )

47)

(

( ) )

(

( ) )

∫ ∫(

( ) )

(

)

Substituindo os valores:

(

)

(

)

Na 7ª semana:

Resolução Comentada – Integral indefinida 28

48)

( )

( ) ∫ ( )

( ) ∫( )

( )

( )

49)

(

∫ ( )

)

(

∫

)

(

∫ )

∫

∫

∫

(

)

Resolução Comentada – Integral indefinida 29

(

)

(

)

(

)

(

)

50)

a)

∫√

∫(

√

)

√

| |

b)

∫( )

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

(

∫ ) ∫

Resolução Comentada – Integral indefinida 30

∫ ∫

∫ ∫

(

)

c)

∫ ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( )

( )

∫ ( )

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

( ( )) ( )

( )

( ) (

( ( ))

)

Resolução Comentada – Integral indefinida 31

d)

∫ ( )

√ ( )

( )

∫

√

∫

√

Regra 20 da tabela:

| √ |

| ( ) √ ( ) |