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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR MATEMATICA II
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO II / 2015
UNIDAD I: INTEGRAL INDEFINIDA LA ANTIDERIVADA
El Concepto operativo de LA ANTIDERIVADA se basa en una operación contraria a la derivación.
Definición Se dice que una función F es una antiderivada de una función f si ( ) ( )F x f x en algún
intervalo.
Ejemplo 1: La antiderivada de
2
1
2
2
2
3
2
4
2
( ) 3
( )
( ) 1( ) 2 puede ser
( ) 2.72
( )n
F x x
F x x
F x xf x x
F x x
F x x C
En general la antiderivada de la función f es una familia de funciones que en el ejemplo
anterior está representada por 2( )F x x C donde C es una constante cualquiera
Notación
La antiderivada de f se representa por ( ) ( )f x dx F x C donde:
Al símbolo se le llama símbolo de la integral
A la expresión ( )f x dx se le llama integral indefinida de ( )f x con
respeto a x
La función ( )f x se denomina integrando.
Al número C se le llama constante de integración
dx es el diferencial de “x” e indica la variable respecto a la cual se integra.
Recordemos que : ( )si y f x , entonces ( )dy
f xdx
, luego ( )dy f x dx
Al término dy se le denomina diferencial de la variable dependiente.
Reglas para diferenciales Si ( ) y ( )u f x v g x entonces
) ( ) y ( )a du f x dx dv g x dx
b) ( ) ( ( ) ( ))
=( ( ) ( ))
= ( ) ( )
( ) =
d u v d f x g x
f x g x dx
f x dx g x dx
d u v du dv
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
2
2
) u vdu udv
d dv v
Ejemplo 2: Si cos(5 )y x entonces la 5 (5 )dy sen x dx
El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración. Ejercicio 1: Verifique para cada unos de los problemas siguientes que la antiderivada o integral indefinida de f es F
a) 5 (5 ) 10 cos(5 ) 10sen x dx x x C
Solución Observemos que:
( ) 5 (5 ) 10
( ) cos(5 ) 10
( ) 5 (5 ) 10
por lo tanto ( ) ( )
f x sen x
F x x x C
F x sen x
F x f x
b) (2 ) (2 )2cos(2 ) sen x sen xx e dx e C
c) 1 2
2 4
6tan (1 3 )
2 6 9
xdx x C
x x
) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
c d uv d f x g x
f x g x g x f x dx
f x g x dx g x f x dx
d uv udv vdu
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3
d) 2 1 2 12 (3 ) 3cos(3 ) (3 )x xe sen x x dx e sen x C
e) sec( ) ln sec( ) tan( )x dx x x C
f) csc( ) ln csc( ) cot( )x dx x x C
Propiedades de la integral indefinida Si ( ) ( ) y ( ) ( )F x f x G x g x , entonces
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C
2. ( ) ( ) ( )k f x dx k f x dx k F x C , para cualquier constante k
Ejemplo :
a) 3 3( ) ( )x sen x dx x dx sen x dx
b) 14csc( ) 14 csc( )x dx x dx
c) 4 45 520 3cos( ) 20 3 cos( )
8 8x x dx x dx x dx dx
Algunas antiderivadas básicas conocidas
1.
1
1
nn x
x dx Cn
2. ( ) cos( )sen x dx x C
3. cos( ) ( )x dx sen x C
4. 2sec ( ) tan( )x dx x C
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
4
5. sec( ) tan( ) sec( )x x dx x C
6. 2csc ( ) cot( )x dx x C
7. csc( )cot( ) csc( )x x dx x C
8. 1
2
1( )
1dx sen x C
x
9. 1
2
1tan ( )
1dx x C
x
10. 1
2
1sec ( )
1dx x C
x x
11. x xe dx e C
12. ln( )
xx a
a dx Ca
13. 1
lndx x Cx
14. sec( ) ln sec( ) tan( )x dx x x C
15. csc( ) ln csc( ) cot( )x dx x x C
Ejercicio 2: Evaluar cada una de las integrales indefinidas siguientes
a) 5x dx
b) 4 xdx
c) 3
1x dx
x
d) 1
5 cos( )x x dxx
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5
e) 2
11
1
xe dxx
f)
2 31 x xdx
x
g) 2sec( ) tan( ) sec ( ) 1x x x dx
h) 5u du
i) sec( ) tan( )u u du
j) udu
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Existen técnicas para evaluar integrales indefinidas como las del ejemplo 1
INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE
( U SUSTITUCION )
Algunas integrales se pueden llevar a la forma ( ( )) ( )f g x g x dx , las cuales pueden
resolverse haciendo ( )u g x y ( )du g x dx , lo cual se convierte
( ( )) ( ) ( )f g x g x dx f u du La integral de la derecha es una de las 15 fórmulas
= ( )F u c básicas
= ( ( ))F g x c Regresamos a la variable original
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6
Ejemplo 3: Evaluar 5
2 3x dx
Solución
2 3
2
2
u x
du dx
dudx
5 5
5 1
6
6
2 32
1 esta es una integral básica (la número 1 de la pag 3). Sólo que con variable
2
1 =
2 5 1
1 =
2 6
1 = Luego hay que regr
12
dux dx u
u
uC
uC
u C
5u du
6
esar a la variable original.
1 = 2 3 , ya que 2 3
12x C u x
Ejercicio 3: Evaluar las siguientes integrales
a) cos(7 )x dx
b) 32 2 tan( )sec ( ) 3 x xx x e dx
c)
624 3
xdx
x
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d) 212sec (15 )x dx
e) Evaluar 23xxe dx
f) 2
6
24
1 64
xdx
x
g) Evaluar 2sec x
dxx
h) Evaluar 2
23
dv
v v
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i) 2 1x x dx
j) dx
x x
k) 2
4
6 10
udu
u u
l) 3
6 1
3 2
xdx
x
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INTEGRACION POR PARTES Sea ( ) , ( )u u x v v x funciones diferenciables (derivables)
( )
( )
d uv udv vdu
udv d uv vdu
udv uv vdu
La fórmula anterior es útil cuando vdu es más fácil de calcular que udv .
La clave de esta fórmula en una integración consiste en saber distinguir a quien llamarle
“u” y a quien llamarle “dv”
Un recurso bastante útil es la frase siguiente:
ILATE : Inversa Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial.
Nos da la pauta de a que expresión llamarle “u”
Ejemplo 4: 3xxe dx
En este caso tenemos una algebraica: x y una exponencial 3xe . Entonces llamaremos u
a la algebraica (aparece primero en la frase ILATE)
Luego, si u x du dx , entonces dv es el resto, es decir, 3xdv e dx . De ahí que
3xv e dx 3
3
xe
Por lo tanto, aplicando la fórmula
3 33
3 3
3 3
3 9
x xx
x x
udv uv vdu
e exe dx x dx
xe ec
Ejercicio 4: 3 ln( ) ?xx dx 3
4
ln( )
1
4
u x dv x dx
xdu dx v
x
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Ejercicio 5: 1tan ( )x dx
Ejercicio 6: cos( )x x dx
Ejercicio 7: 2 ( )xe sen x dx
Ejercicio 8: 2 ln( )x x dx
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INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Identidades trigonométricas básicas
1) 2 2cos ( ) ( ) 1x sen x
2) ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a
3) ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a
4) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b
5) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b
Si en la identidad 2) se hace a b x
( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a
( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen x x sen x x sen x x
6) (2 ) 2 ( )cos( )sen x sen x x
Si en la identidad 4) se hace a b x
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )x x x x sen x sen x
7) 2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x
De la identidad 1) obtenemos
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12
8) 2 2( ) 1 cos ( )sen x x
9) 2 2cos ( ) 1 ( )x sen x
Sustituyendo estas últimas dos identidades en la identidad 7) obtenemos
2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x
2 2cos(2 ) cos ( ) 1 cos ( )x x x
2cos(2 ) 2cos ( ) 1x x
2cos(2 ) 1 2cos ( )x x
10) 2 1 cos(2 )cos ( )
2
xx
2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x
2 2cos(2 ) 1 ( ) ( )x sen x sen x
2
2
cos(2 ) 1 2 ( )
2 ( ) 1 cos(2 )
x sen x
sen x x
11) 2 1 cos(2 )( )
2
xsen x
Sumando la identidad 2) y 3) obtenemos
( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a
( ) ( ) 2 ( )cos( )sen a b sen a b sen a b
12) ( ) ( )
( )cos( )2
sen a b sen a bsen a b
Sumando la identidad 4) y 5) obtenemos
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )a b a b a b
13) cos( ) cos( )
cos( )cos( )2
a b a ba b
Si a al identidad 5) le restamos la identidad 4) obtenemos cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b
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13
( )cos ( )m nsen x x dx
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b
cos( ) cos( ) 2 ( ) ( )a b a b sen a sen b
14) cos( ) cos( )
( ) ( )2
a b a bsen a sen b
Otras identidades importantes y fáciles de verificar son:
15) 2 21 tan ( ) sec ( )x x
16) 2 21 cot ( ) csc ( )x x
Con la ayuda de las identidades anteriores pueden evaluarse integrales del tipo
Para ,estas integrales se distinguen dos casos Caso I : m ó n es un entero positivo impar
Supóngase por ejemplo que m es impar. Escribiendo 1( ) ( ) ( )m msen x sen x sen x
1( )cos ( ) ( )cos ( ) ( )m n m nsen x x dx sen x x sen x dx
Se transforma la expresión 1( )msen x en términos que contengan cosenos con la ayuda de
las identidad 2 2( ) 1 cos ( )sen x x . Luego haciendo ( )u sen x se resuelve la integral.
Observación: si m es impar no importa el valor de n , es decir n puede ser cualquier
número real. De forma similar si n es impar
Ejercicio 9 :Evaluar 3 4( )cos ( )sen x x dx
Solución
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14
Ejercicio 10 :Evaluar 3cos ( )x dx
Ejercicio 11: Evaluar 4 3( )cos ( )sen x x dx
Ejercicio 12: 35 cos( ) ( )x sen x dx
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Ejercicio 13: 5
3
cos ( )
( )
xdx
sen x
Caso II: tanto m como n son enteros pares no negativos
Cuando m y n , son enteros pares no negativos, la evaluación de ( )cos ( )m nsen x x dx
depende de las identidades 2 1 cos(2 )cos ( )
2
xx
y 2 1 cos(2 )
( )2
xsen x
Ejercicio 14: Evaluar 2 2( )cos ( )sen x x dx
Ejercicio 15: Evaluar 4 ( )sen x dx
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16
Ejercicio 16: Evaluar 6cos ( )x dx
Para evaluar integrales de la forma tan ( )sec ( )m nx x dx se consideran cuatro
casos Caso I : si n es un entero positivo par
Se separa un factor 2sec ( )x y se transforma el resto a factores tan( )x para ello se utiliza
la identidad 2 21 tan ( ) sec ( )x x . Luego se hace tan( )u x
Observación:
En el caso que n sea par, m puede ser cualquier número real
Ejercicio 17: Evaluar 43 tan( ) sec ( )x x dx
Ejercicio 18: Evaluar 4 6tan ( )sec ( )x x dx
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17
Ejercicio 19: Evaluar 4sec ( )x dx
Caso II : para resolver integrales tan ( )m x dx donde m es un número par
Se separa un factor 2tan ( )x y se transforma en términos de sec( )x utilizando la identidad
2 21 tan ( ) sec ( )x x . Luego se utiliza el caso I y se repite el proceso si es necesario.
Ejercicio 20: Evaluar 4tan ( )x dx
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18
Caso III : si m es un entero positivo impar
Entonces la tan ( )sec ( )m nx x dx se resuelve separando un factor tan( )sec( )x x y
transformando el resto a factores sec( )x para ello se utiliza la identidad 2 21 tan ( ) sec ( )x x
de la cual se despeja 2 2tan ( ) sec ( ) 1x x . Luego se hace sec( )u x
Observación:
en el caso que no contenga el factor sec( )x se multiplica y divide por el factor
sec( )x y luego se separa el factor tan( )sec( )x x
Ejercicio 21: Evaluar 3 5tan ( )sec ( )x x dx
Ejercicio 22: Evaluar 5tan ( )x dx
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Ejercicio 23: Evaluar 3sec( ) tan ( )x x dx
Caso IV: si m es par y n es impar
Entonces la tan ( )sec ( )m nx x dx , escribimos el integrando en términos de sec( )x y se
aplica integración por partes.
Ejercicio 24: Evaluar 2tan ( )sec( )x x dx
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OBSERVACIONES:
1. Las integrales del tipo cot ( )csc ( )m nx x dx se tratan de forma análoga a las
integrales de la forma tan ( )sec ( )m nx x dx 2. Cuando se tenga una integral de potencias trigonométricas que no
corresponden a ninguno de los casos anteriores, se transforma el integrando a potencias de seno y coseno.
3. Cuando se tenga integrales de la forma
a) cos( )cos( )ax bx dx
b) ( ) ( )sen ax sen bx dx
c) ( )cos( )sen ax bx dx
Se utiliza las identidades 12, 13 y 14 de la página 13
Ejercicio 25: Resolver 2 3sec ( )cos ( )x x dx
Ejercicio 26: Resolver (5 )cos(3 )sen x x dx
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Integración por sustitución trigonométrica
Si el integrando contiene una expresión de la forma 2 2 2 2 2 2, ,a u a u u a , donde
0a , es posible, a menudo, realizar la integración por medio de una sustitución trigonométrica
Si el integrando contiene Hacer la sustitución
2 2a u ( )u a sen ,
2 2
2 2a u tan( )u a ,
2 2
2 2u a sec( )u a , 0
2 2
Ejemplo 5: Calcular 2
1
9dx
x x
Solución: (una forma)
Notemos que el integrando contiene la expresión 2 2a u
2
2 2
9 3a a
u x u x
Luego la sustitución que hay que hacer es 3tan( )x
Ahora hay que cambiar la variable x por la nueva variable
Para ello hacemos uso de la sustitución que se hizo al inicio 3tan( ) tan( )3
xx
Es decir
ya que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es ”cateto opuesto” entre el cateto adyacente.
Observemos que el integrando es 2
1
9x x y utilizando el triángulo rectángulo
buscamos una razón trigonométrica más adecuada para sustituir 29 x .
De ahí que
2
2
9sec( )
3
9 3sec( )
x
x
Luego hay que sustituir, también x y también dx
Recordando que 3tan( )x , entonces 23sec ( )ddx
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22
2
2
2
9
2
1 13sec
3tan 3sec9
3sec
3tan 3sec
1
sec( ) 1 cos( )
( )3 tan( ) 3
cos( )
csc( )
1ln csc( ) cot( )
3
dx
x x
dx dx x
d
dd
sen
d
C
Ahora hay que regresar de nuevo a la variable original y para ello utilizamos nuevamente el triángulo rectángulo construido anteriormente
2
2
cot( )csc( )
1 1 9 2ln
39
xdx C
x xx x
Ejercicio 27: 2 24
dx
x x
Solución
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23
Ejercicio 28: 24 9x dx
Solución
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
24
Ejercicio 29:
3/ 2
24 9
dx
x
Solución
3/ 2 3/ 2
2 2 24 9 (2 ) 3
dx dx
x x
Ejercicio 30:
3/ 22 8 25
dx
x x
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25
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Introducción Es normal efectuar la siguiente operación con fracciones
4 3 4( 3) 3( 2)
2 3 ( 2)( 3)
x x
x x x x
4 12 3 6
( 2)( 3)
4 3 7 6
2 3 ( 2)( 3)
x x
x x
x
x x x x
Notemos que para calcular 7 6
( 2)( 3)
xdx
x x
resulta más fácil efectuar la suma de
integrales 4 3
2 3dx dx
x x
= 4ln 2 3ln 3x x C
Para integrar funciones racionales propias ,P
d o n d e P e s d e m e n o r g r a d o q u e QQ
, con
frecuencia, se necesita expresarlas como la suma de cocientes simples, llamados fracciones parciales. En el caso de que el polinomio del numerador sea de grado mayor o igual al grado del polinomio del denominador, primero de hace la división y luego se expresa como fracciones parciales Caso I : Factores lineales no repetidos
( )
( )
P xdx
Q x , donde ( )Q x está expresado mediante factores lineales, es decir, de la forma
ax b , a y b reales.
Si Q es de grado n , entonces ( )Q x tendrá n raíces (n factores) y el número de fracciones
parciales será n. La descomposición en fracciones es:
1 2
1 1 2 2
( )...
( )
n
n n
AA AP x
Q x a x b a x b a x b
, donde 1 2, ,...,. nA A A son constantes por determinar-
La integración se reduce entonces a una suma de integrales de la forma
lnA A
dx ax b Ca x b a
Ejercicio 31: 3
2 1
7 6
xdx
x x
Solución
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
26
Caso II : Factores lineales repetidos
( )
( )
P xdx
Q x , donde ( )Q x tiene sólo factores lineales, pero algunos de ellos repetidos. A cada
factor de la forma s
ax b le corresponde en la descomposición la suma
31 2
2 3... s
s
A AA A
ax b ax b ax b ax b
, siendo 1 2, ,..., sA A A constantes por determinar. El
número de fracciones parciales siempre será igual al grado de ( )Q x .
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
27
Ejercicio 32: 2
2
2 3
( 1)
xdx
x x
Solución:
Ejercicio 33: 2
3 2
4 8?
2
x xdx
x x x
Solución
Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015
28
Caso III : Factores cuadráticos irreducibles no repetidos Por factor cuadrático irreducible de un polinomio P se entiende una expresión de la forma
2ax bx c si su discriminante 2 4 0b ac . Por ejemplo, 2 3 4x x es un factor cuadrático
irreducible ya que 2
3 4(1)(4) 0 . Por cada factor cuadrático irreducible se tendrá dos
fracciones parciales:
2(2 1)
2 2 2
1 (4 ))
2 1 2 1 2 1
d x
dx
A x Ba
x x x
2 2( 2 5) ( 2)
2 2 2 2 2 2
1 (2 2) (2 ))
( 2 5)( 2) 2 5 2 5 2 2
d x x d x
dx dx
A x B C x Db
x x x x x x x x x
Observemos que el número de fracciones siempre es igual al grado del polinomio del denominador.
Ejercicio 34: 3 2
2 2
7 20 35 13?
( 4 13)
x x xdx
x x x
Solución
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29
Caso IV : Factores cuadráticos irreducibles repetidos
2(2 1)
2 2 22 22 2 2
1 (4 ) (4 ))
2 1 2 12 1 2 1 2 1
d x
dx
A x B C x Da
x xx x x
2( 2 5)
2 3 2 2
2 22 2
3 32 2
1 (2 2))
( 2 5) 2 5 2 5
(2 2)
2 5 2 5
(2 2)
2 5 2 5
d x x
dx
A x Bb
x x x x x x
C x D
x x x x
E x F
x x x x
Ejercicio 35:
2
2 2
4?
1 ( 2 2)
x xdx
x x x
Solución
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30
USO DE TABLAS DE INTEGRACION
Ejercicio 36: Resolver las siguientes integrales haciendo uso de tablas
a) ln( )x x dx b)
2 (3 )xe sen x dx
c)
3 2xx e dx d) 25
dx
x x x
e) 2
3
2 5 2dx
x x f)
1( )xsen x dx
g)
2 (3 )sen x dx h) 3/2
25
dx
x
j)
5tan ( )x dx k) 2 3x xdx
l)
14 2 1x x dx
m) 2 2
dx
x x x