respex_850203904_3

Solutions to Exercises in Chapter 3

PAGE 13Captulo 3

Solues dos Exerccios

Solues para os Exerccios do Captulo 3

3.1(a)

linear nos parmetros e ,

no linear nas variveis.

(b)

no linear nos parmetros e .

(c)

forma no linear; esse modelo pode ser escrito numa forma linear nos parmetros, que o modelo log-linear,

(d)

no linear.

(e)

modelo log-linear, que linear nos parmetros e .

(f)

no linear nos parmetros e ; contudo, este modelo pode ser escrito como um modelo log-log

em que A transformao por logaritmo converteu o modelo em um que linear nos parmetros ( e .

3.2(a)

(b)

(c)Veja a Figura 3.1.

(d)As quantidades b1 e b2 so as estimativas de mnimos quadrados para os parmetros (1 e (2 no modelo linear , em que et um termo de erro aleatrio. O valor b1 uma estimativa do intercepto; ele sugere que quando xt = 0, yt = 1. O valor b2 uma estimativa da inclinao; ele sugere que quando xt aumenta em 1 unidade, a mudana correspondente em yt ser de 1 unidade.

(e)Veja a Figura 3.1.

3.3Observe que

ou

. Assim,

est sobre a reta ajustada.

3.4Considere a reta ajustada

. Tirando a mdia em relao a T, ns obtemos

=

Do Exerccio 3.3, ns tambm temos

. Assim,

.

3.5(a)Seu computador deveria produzir os seguintes resultados:

(b)Estritamente falando, o coeficiente de intercepto, b1 = 0,4656, d o nvel de produto quando o insumo utilizado zero. Contudo, pelo fato de que no factual utilizar zero de insumo, essa interpretao deve ser tratada com cuidado; seria esperado que, quando o insumo utilizado fosse zero, o produto seria zero. O coeficiente de inclinao, b2 = 0,29246, indica que, para uma variao de 1 unidade no insumo utilizado, existiria uma mudana correspondente de 0,29 no produto.

(c)Veja a Figura 3.2.

(d)Nos termos da rao utilizada, o custo total (TC) TC = 6x. Contudo, na economia, uma funo de custo total convencionalmente se relaciona com o produto. Como

Figura 3.2 Funo de produo estimada para o exemplo da rao para aves

e a funo de custo total em termos do produto se torna

A funo de custo marginal (MC) correspondente dada por

Utilizando as estimativas de mnimos quadrados para (1 e (2, obtidas na parte (a), ns temos

= (9,552 + 20,52y

e MC = 20,52.

(e)Do item (d), a relao entre custo total da rao e produo dada por

onde

e

Resolvendo para os parmetros da funo de produo (1 e (2 em termos dos parmetros da funo de custo (1 e (2, ns temos

e

Assim, as estimativas dos parmetros da funo de produo podem ser encontradas, aplicando os mnimos quadrados para a funo de custo com o intuito de obter as estimativas

e

e, ento, utilizar as expresses acima de (1 e (2 para obter as estimativas

e

. Seguindo esse procedimento com os dados disponveis, ns temos

= (8,1273 e

= 20,007 e, assim,

e

Observe que essas estimativas diferem ligeiramente das estimativas de mnimos quadrados b1 = 0,466 e b2 = 0,292, obtidas diretamente da funo de produo. Isso ocorre porque a aplicao do mtodo de mnimos quadrados para a funo de custo um problema diferente da aplicao do mtodo de mnimos quadrados para a funo de produo.

3.6(a)

yt = ln qtxt = ln pt

6,7934660,207014

6,9196840,139762

6,9660240,095310

6,9846700,182322

6,5220930,300105

6,6052980,223144

6,6957990,246860

7,150701-0,010050

6,8522430,198851

6,7730800,223144

6,5792510,262364

6,9994220,048790

(b)O clculo dos valores para b1 e b2 tipicamente feito no computado. Alguns resultados intermedirios e as estimativas so:

= 14,24835

= 0,4661609

= 557,3354

= 81,75173

= 2,117616T = 12

(c)O valor b2 = (1,93 uma estimativa da elasticidade da demanda por lanches. Ela sugere que um aumento de 1% no preo, diminuir a quantidade demandada em 1,93%.

(d) Se a demanda elstica ((2 < (1), ento uma queda no preo, aumentar a receita total; com uma demanda inelstica ((2 > (1), uma reduo nos preos, diminuir a receita total. Nossa estimativa de b2 = (1,93, sugere que o Sanduichov deveria diminuir os preos.

3.7Se o intercepto no modelo de regresso linear simples zero, o modelo passa a ser

Para simplificar a notao do subscrito, ns colocamos (2 = (.

(a)A funo da soma de quadrados passa a ser

(b)Para encontrar o valor de ( que minimiza S((), ns obtemos

Igualando essa derivada a zero, ns temos

ou

(c)Do exerccio 3.5, ns temos

= 142,6064

= 418,53

= 1240

Assim, a funo da soma de quadrados

S(() = 142,6064 ( 837,06 ( + 1240 (2

Da Figura 3.4 ns podemos visualizar que o valor minimizante aproximadamente b = 0,34. Essa a estimativa de mnimos quadrados porque, do item (b)

(d)Quando (2 = 0, mas (1 ( 0, o modelo passa a ser

A funo da soma de quadrados passa a ser

Para conseguir o valor minimizante, ns temos

Igualando essa derivada a zero

ou

Quando ns temos somente um intercepto e nenhuma varivel explanatria, o estimador de mnimos quadrados para o intercepto a mdia amostral

. Para os dados na Tabela 3.2, a funo da soma de quadrados

S((1) = 142,6064 ( 84,16 (1 + 15

Da Figura 3.5, ns vemos que o valor minimizante

= 2,8053.

3.8(a)Os grficos de u contra q e de ln(u) contra ln(q) aparecem nas Figuras 3.6 e 3.7. Os dois grficos so bastante similares em natureza.

(b)

b1 = 6,0191b2 = (0,3857

Como ln(u1) = (1, uma estimativa de u1

Esse resultado sugere que 411,2 foi o custo de produo da primeira unidade. A estimativa b2 = (0,3857 sugere que o aumento de 1% na produo acumulada diminuir os custos em 0,386%. Os nmeros parecem sensatos.

3.9(a)O modelo um modelo de regresso simples porque ele pode ser escrito como

em que y = rj ( rf , x = rm ( rf , (1 = (j e (2 = (j.

(b)A estimativa beta da Mobil Oil b2 = 0,7147. Esse valor sugere que a ao da Mobil Oil defensiva.

(c)b1 =

= 0,00424. Esse pequeno valo parece consistente com a teoria financeira.

(d) Dado (j = 0, a estimativa beta da Mobil b2 = 0,7211. A restrio (j = 0 levou a apenas uma pequena diminuio no beta.

3.10Quando xt = c, o denominador na equao 3.3.8a

O numerador

Assim, o estimador de mnimos quadrados no pode ser calculado quando para todos os t.

3.11As observaes de y e x e a reta estimada de mnimos quadrados no item (b) esto colocadas no grfico da Figura 3.8. A reta retirada do item (a) depender da escolha subjetiva de cada estudante sobre a posio da reta. Por essa razo, ela foi omitida.

(b)Clculos preliminares apresentam:

As estimativas de mnimos quadrados so

Figura 3.8 Observaes e reta ajustada para o Exerccio 3.11

Figura 3.9 Grfico dos resduos contra x para o Exerccio 3.11

(c)

O valor previsto de y quando

Ns observamos que Assim, o valor previsto na mdia amostral a mdia amostral da varivel dependente . A reta de mnimos quadrados estimada passa atravs do ponto .

(d)Os valores dos resduos de mnimos quadrados, calculados de , so:

A soma desses termos

(e) Os resduos de mnimos quadrados so colocados no grfico contra x na Figura 3.9. Eles parecem apresentar um padro cclico. Contudo, com somente seis pontos difcil extrair qualquer concluso geral.

3.12(a)Se o modelo de regresso simples passa a ser

(b)Graficamente, a implicao de colocarmos que a mdia do modelo de regresso linear simples passa atravs da origem (0, 0).

(c)Os estimadores de mnimos quadrados em (3.3.8) no so mais apropriados se ns sabemos que porque, nesse caso, uma funo diferente da soma de quadrados do mtodo de mnimos quadrados precisa ser minimizada.

(d)Para simplificar a notao ns colocamos A funo da soma de quadrados passa a ser

Um grfico da funo quadrtica aparece na Figura 3.10. O valor mnimo dessa funo aproximadamente 12 e ocorre quando, aproximadamente, A significncia desse valor que ele a estimativa de mnimos quadrados.

(e)Para encontrar o valor de ( que minimiza ns obtemos

Igualando essa derivada a zero, ns temos

ou

Assim, a estimativa de mnimos quadrados

o qual est em acordo com o valor aproximado de 1,95 que ns obtemos geometricamente.

(f)O valor gerado pelo computador tambm

(g)A reta da regresso ajustada colocada no grfico na Figura 3.11. Observe que o ponto no est sobre a reta ajustada nesse caso.

(h)Os resduos de mnimos quadrados, obtidos de so:

A soma desses termos Observe que esse valor no igual a zero, como seria o caso para

SHAPE \* MERGEFORMAT

Figura 3.10 Soma dos quadrados para Figura 3.11 Regresso ajustada: .

3.13(a)Se o modelo de regresso linear simples passa a ser

(b)Graficamente, implica que a mdia da funo para uma reta horizontal que constante para todos os valores de x; isto

(c)

implica que no existe relao entre y e x.

(d)As frmulas em (3.3.8) no so apropriadas se sabemos que porque elas so obtidas pela minimizao de uma funo da soma de quadrados que inclui .

(e)A funo de soma de quadrados passa a ser

Essa funo quadrtica colocada em um grfico na Figura 3.12. O valor de que minimiza a estimativa de mnimos quadrados. Do grfico podemos visualizar que esse valor aproximadamente

(f)Para encontrar a frmula para a estimativa de mnimos quadrados de , ns derivamos , produzindo

Igualando essa derivada a zero

ou

Quando ns temos apenas o intercepto e nenhuma varivel explanatria, o estimador de mnimos quadrados para o intercepto a mdia amostral Esse valor , que est prximo do valor que ns obtemos geometricamente.


Figura 3.12 Funo da soma de quadrados para para o Exerccio 3.13


Figura 3.13 Grfico da reta de regresso das vendas-propaganda para o Exerccio 3.14

3.14(a)O relatrio do consultor implica que as estimativas de mnimos quadrados satisfazem as seguintes equaes

Resolvendo essas duas equaes, temos

(b) Um grfico da reta de regresso ajustada aparece na Figura 3.13.

3.15(a)A estimativa do intercepto uma estimativa do nmero de refrigerantes vendidos quando a temperatura 0 grau Fahrenheit. Um problema comum para interpretar o intercepto estimado que ns freqentemente no dispomos de qualquer dado prximo de Se ns no temos nenhuma observao na regio onde a temperatura 0, ento a relao estimada pode no ser uma boa aproximao para a realidade daquela regio. Claramente, impossvel vender (240 refrigerantes e, assim, essa estimativa no deveria ser aceita como razovel.

O coeficiente angular estimado uma estimativa do aumento de refrigerantes vendidos quando a temperatura se eleva em 1 grau Fahrenheit. Essa estimativa faz sentido. Algum esperaria que o nmero de refrigerantes vendidos aumentasse com a elevao da temperatura.

(b)Se a temperatura for de 80 graus, o nmero predito de refrigerantes vendidos

(c)Se nenhum refrigerante for vendido, e

ou

.

Assim, essa equao prediz que nenhum refrigerante ser vendido abaixo de 40(F.

(d) Um grfico da reta de regresso estimada aparece na Figura 3.14.

Figura 13.4 Grfico da reta de regresso para as vendas de refrigerantes e temperatura para o Exerccio 3.15

3.16(a)

VarivelMdiaDesvio PadroMnimoMximo

price (preo)821331228852000111002

sqft1794,6200,021402,02100,0

(b)O grfico na Figura 3.15 sugere uma relao positiva entre preo da casa e tamanho.

(c)A equao estimada

O coeficiente 46,005 sugere que o preo da casa aumenta aproximadamente $ 46 para cada p quadrado de tamanho da casa. O intercepto, se tomado literalmente, sugere que uma casa como zero p quadrado de tamanho custaria $ (426. O modelo no deveria ser levado a srio perto dos valores de zero para o tamanho da casa, j que so valores sem significado.

(d)Um grfico dos resduos contra o tamanho da casa aparecem na Figura 3.16. Parece existir uma ligeira tendncia para o aumento da magnitude dos resduos quando o tamanho das casas aumenta.

(e)O valor predito de uma casa com 2000 ps quadrados de rea til


Figura 3.15 Preo contra ps quadrados Figura 3.16 Resduos contra ps quadradosy

EMBED Equation.2

0,292

1

0,466

x

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

-0,05

7,2

7,0

6,8

6,6

6,4

Figura 3.3 Observaes sobre Y=ln(q) e X= ln(p)

Y

X

Figura 3.6 Dados da Curva de Aprendizado.

15

20

25

30

1000

2000

3000

4000

q

u

Figura 3.5 Funo da Soma de Quadrados.

0

40

80

120

160

0

0,7

1,4

2,1

2,8

3,5

4,2

4,9

5,6

S(

)

10

15

20

25

30

35

40

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

BETA

SQ

29,0

29,5

30,0

30,5

31,0

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

BETA1

SQ_BETA1

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0

100

200

300

400

500

600

PROPAG

VENDAS

*MDIAS SEMANAIS

-300

-200

-100

0

100

200

300

0

20

40

60

80

TEMP

REFRIG

40000

60000

80000

100000

120000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

SQFT

PREO

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

SQFT

RESID

ln(u)

ln(q)

8,2

7,8

7,4

7,0

3,3

3,0

2,7

Figura 3.7 Dados da Curva de Aprendizado em Logs.

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