RESUMEN DE LA ASIGNATURA

VARIEDADES DIFERENCIABLESCurso 2014-2015

Ilustracion: ambigrama de simetrıa central, creado por Manuel Jesus PerezGarcıa (noviembre de 2010).

Departamento de Geometrıa y Topologıa

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Indice

0 Complementos de Topologıa General 30.1 Espacios Topologicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Aplicaciones entre Espacios Topologicos. Homeomorfismos. . . . 60.3 Construccion de Topologıas mediante aplicaciones. Topologıas

Producto y Cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.4 Axiomas de Separacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.5 Axiomas de Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.6 Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.7 Conexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Variedades Diferenciables 121.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Cartas Locales, Atlas, Estructuras Diferenciables. . . . . . . . . . 131.3 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Aplicaciones Diferenciables entre Variedades Diferenciables 172.1 Aplicaciones Diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Espacio Tangente a una Variedad Diferenciable en un Punto 203.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Vectores Tangentes en un Punto de una Variedad Diferenciable. . 213.3 Espacio Cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Aplicacion Diferencial de una Aplicacion Diferenciable 264.1 Aplicacion Diferencial y Aplicacion Codiferencial de una Apli-

cacion Diferenciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Nocion de Subvariedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 El Teorema de la Funcion Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Factorizacion de Aplicaciones. Unicidad de Subvariedades. . . . . 324.5 Teorema de la Funcion Implıcita. Teorema de Whitney. . . . . . 344.6 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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5 Campos de Vectores sobre una Variedad Diferenciable 365.1 Campos de Vectores Diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Campos f–relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Campos de Tensores Covariantes Diferenciables sobre una Va-riedad Diferenciable 406.1 Campos de Tensores Covariantes Diferenciables. . . . . . . . . . . 406.2 Formas Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Accion de Aplicaciones sobre los Campos de Tensores. . . . . . . 446.4 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Apendice A. Teoremas de Extension. 46A.1 Lema de Extension de Funciones Diferenciables. . . . . . . . . . 46A.2 Lema de Extension de Campos Diferenciables. . . . . . . . . . . 48A.3 Lema de Extension de Campos Diferenciables de Tensores Co-

variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Apendice B. Teorema de la Funcion Implıcita. 50B.1 Teorema de la Funcion Implıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Apendice C. Algebras Tensorial y Exterior de un Espacio Vecto-rial. 52C.1 Algebra Tensorial de un Espacio Vectorial. . . . . . . . . . . . . . 52C.2 Algebra Exterior de un Espacio Vectorial. . . . . . . . . . . . . . 56

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Leccion 0

Complementos de TopologıaGeneral

0.1 Espacios Topologicos.

Definicion 0.1.1. Un Espacio Topologico es un par (X,T ), donde X esun conjunto y T una familia de subconjuntos de X, llamada una Topologıasobre X y cuyos elementos son llamados Conjuntos Abiertos, verificandoselas siguientes propiedades:

1. El conjunto vacıo ∅ y el propio X son (conjuntos) abiertos.

2. La interseccion de cualquier cantidad finita de abiertos es un abierto.

3. La union de cualquier cantidad de abiertos es un abierto.

Definicion 0.1.2. Un Espacio Topologico es un conjunto X tal que para cadapunto x ∈ X existe una familia Nx de subconjuntos de X, llamados Entornosdel punto x, cumpliendose:

1. Cada punto esta en todos sus entornos.

2. La interseccion de dos entornos de un punto es tambien entorno de ese punto.

3. Un conjunto que contenga a un entorno de un punto es, a su vez, entornode dicho punto.

4. Dado un entorno N de un punto x, existe otro entorno M de x tal que Nes entorno de todos los puntos de M .

Teorema 0.1.1. Las dos definiciones anteriores son equivalentes.

Nota 0.1.1. Segun se elija una u otra de las definiciones anteriores, las siguien-tes afirmaciones se tendran bien como definicion, bien como proposicion:

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1. Un conjunto es entorno de un punto si y solo si existe un abierto conteniendoal punto y contenido en el conjunto.

2. Un conjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos.

Proposicion 0.1.1. Un conjunto es abierto si y solo si para cada punto suyoexiste otro abierto que contiene al punto y esta contenido en el conjunto.

Definicion 0.1.3. Sea (X,T ) un espacio topologico. Una familia de subcon-juntos de X, B ⊆ T , se dice que es una Base de la Topologıa si todo abiertoes union de elementos de B.

Teorema 0.1.2. Sea B ⊆ T . Las condiciones siguientes son equivalentes:

1. B es base de T .

2. Para cada abierto y para cada punto suyo, existe un elemento de B quecontiene al punto y esta contenido en el abierto.

Definicion 0.1.4. Sea (X,T ) un espacio topologico y x un punto de X. Unafamilia Bx de entornos de x se dice Base de Entornos de x si todo entornode x contiene algun elemento de la familia.

Definicion 0.1.5. En un espacio topologico (X,T ), los conjuntos complemen-tarios de los conjuntos abiertos se llaman Conjuntos Cerrados y la familiade los conjuntos cerrados se denota por F .

Proposicion 0.1.2. La familia F de los conjuntos cerrados de un espacio to-pologico (X,T ) verifica las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacıo ∅ y el propio conjunto X son (conjuntos) cerrados.

2. La union de cualquier cantidad finita de cerrados es un cerrado.

3. La interseccion de cualquier cantidad de cerrados es un cerrado.

Teorema 0.1.3. Sea X un conjunto y F una familia de subconjuntos de Xque verifican las mismas propiedades que una familia de conjuntos cerrados,recogidas en la proposicion anterior. Entonces, existe una unica topologıa sobreX, definida por

T = {G ⊆ X/X −G ∈ F},

para la que F es la familia de cerrados.

A continuacion, se van a presentar un resultado que permite construir unatopologıa sobre un conjunto X a partir de cualquier familia de sus subconjuntos.

Teorema 0.1.4. Sea X un conjunto y sea A una familia de subconjuntos deX. Entonces la familia formada por el conjunto vacıo ∅, el propio conjunto Xy todas las uniones posibles que se puedan realizar con todas las interseccionesfinitas de elementos de A es una topologıa sobre X, que contiene a A y que,ademas, es la topologıa mas pequena de las que contienen a A.

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Ejercicios 0.1.1. 1. Escrıbanse con terminologıa matematica todas las defini-ciones y resultados anteriores. Serıa tambien conveniente probar dichos re-sultados.

2. ¿Bajo que condiciones una familia A de subconjuntos de un conjunto X esbase de la topologıa que se obtiene segun el proceso descrito en el Teorema0.1.4 (partiendo de la propia A)?

3. Sea X un conjunto y d una metrica sobre el. Probar que existe una topologıasobre X para la que las bolas abiertas de d forman base. Dicha topologıa sellama Topologıa Metrica asociada a d.

Ejemplos 0.1.1. 1. Sea X un conjunto cualquiera y Tdis = P(X). Tdis es unatopologıa sobre X, llamada Topologıa Discreta y es la topologıa mayor,es decir, con mas elementos, que puede construirse sobre X. Ademas, lafamilia formada por el conjunto vacıo ∅ y todos los conjuntos unitarios esbase de dicha topologıa.

2. En el conjunto de los numeros reales R, considerese la familia formada portodos los intervalos abiertos y construyase la menor topologıa que contiene atal familia, siguiendo el proceso descrito en el Teorema 0.1.4. Dicha topologıase llama Topologıa Euclıdea de R, es la topologıa metrica asociada a lametrica euclıdea y tiene a la familia de todos los intervalos abiertos comobase.

3. En Rm considerese la topologıa metrica asociada a la metrica euclıdea. Dichatopologıa se llama Topologıa Euclıdea de Rm y las bolas abiertas (porejemplo, en R2 son los discos abiertos) forman una base de ella.

Definicion 0.1.6. Sea (X,T ) un espacio topologico, A ⊆ X y x ∈ X. Se diceque:

1. x es un Punto Adherente a A si todo abierto que contenga a x corta a A.Al conjunto de los puntos adherentes a A se le llama la Clausura de A y sedenota por A.

2. x es un Punto de Acumulacion de A si todo abierto que contenga a x cortaa A en algun punto distinto de x. Al conjunto de los puntos de acumulacionde A se le llama el Derivado de A y se denota por A′.

3. x es un Punto Interior de A si hay algun abierto que contenga a x con-tenido en A. Al conjunto de los puntos interiores de A se le llama el Interiorde A y se denota por int(A).

Proposicion 0.1.3. Sea (X,T ) un espacio topologico. Entonces:

1. La clausura de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene. Por tanto,un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su clausura.

2. El interior de un conjunto es el mayo abierto contenido en el. Por tanto, unconjunto es abierto si y solo si coincide con su interior.

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Definicion 0.1.7. Sea (X,T ) un espacio topologico y A ⊆ X. Se llama Topo-logıa Relativa o Topologıa Inducida de X a A a:

TA = {G ∩A/G ∈ T}.

Al par (A, TA) se le llama Subespacio Topologico de (X,T ). Una propie-dad se dice que es Hereditaria para una clase de subconjuntos de X si la vericael espacio topologico (X,T ) y cualquier subespacio (A, TA), con A perteneciendoa la clase especificada.

Ejercicio 0.1.1. Probar que, efectivamente, TA es una topologıa sobre A.

0.2 Aplicaciones entre Espacios Topologicos. Ho-meomorfismos.

Definicion 0.2.1. Una aplicacion entre dos espacios topologicos f : (X,TX) −→(Y, TY ) se dice Continua en un punto x ∈ X si para cualquier abierto G ∈ TYentorno de f(x), se tiene que f−1(G) es entorno de x y se dice Continua si loes en todo punto de X.

Teorema 0.2.1. Sea f : (X,TX) −→ (Y, TY ) una aplicacion. Las condicionessiguientes son equivalentes:

1. f es continua.

2. La anti–imagen por f de cualquier abierto de Y es abierto de X.

3. La anti–imagen por f de cualquier cerrado de Y es cerrado de X.

Definicion 0.2.2. Una aplicacion f : (X,TX) −→ (Y, TY ) se dice Abierta(respectivamente, Cerrada)) si la imagen por f de cualquier abierto de X (res-pectivamente, de cualquier cerrado) es un abierto de Y (respectivamente, uncerrado).

Definicion 0.2.3. Una aplicacion f : (X,TX) −→ (Y, TY ) se dice que es unHomeomorfismo si es biyectiva, continua y su inversa es tambien continua.

Teorema 0.2.2. Sea f : (X,TX) −→ (Y, TY ) una aplicacion biyectiva. Lascondiciones siguientes son equivalentes:

1. f es un homeomorfismo.

2. f es continua y abierta.

3. f es continua y cerrada.

Definicion 0.2.4. Una propiedad se dice Propiedad Topologica o Invari-ante Topologico, si se conserva por homeomorfismos, es decir, si de verificarlaun espacio topologico la verifican todos los espacios topologicos homeomorfos ael.

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Definicion 0.2.5. Una aplicacion f(X,TX) −→ (Y, TY ) continua se dice quees un Homeomorfismo Local si para todo punto x ∈ X, existe un entornoabierto Ux ∈ TX de x tal que f(Ux) es abierto en Y y f |Ux

: Ux −→ f(Ux) esun homeomorfismo.

Proposicion 0.2.1. Todo homeomorfismo local es una aplicacion abierta.

0.3 Construccion de Topologıas mediante apli-caciones. Topologıas Producto y Cociente.

Proposicion 0.3.1. Sean X un conjunto, {(Yi, Ti)}i∈I una familia de espaciostopologicos y {fi : X −→ Yi/i ∈ I} una familia de aplicaciones. Entonces, existela menor topologıa T sobre X que hace continuas a todas las aplicaciones fi,llamada Topologıa Inicial de las fi y que es la generada, siguiendo el procesodescrito en el Teorema 0.1.4, por la familia A de subconjuntos de X:

A =⋃i∈I{f−1i (G)/G ∈ Ti}.

Corolario 0.3.1. Sean X un conjunto, (Y, TY ) un espacio topologico y f :X −→ (Y, TY ) una aplicacion. Entonces, T = {f−1(G)/G ∈ TY } es la menortopologıa sobre X que hace continua a la aplicacion f y se llama TopologıaInicial de f . Ademas, si f es biyectiva, la topologıa inicial la convierte en unhomeomorfismo.

Definicion 0.3.1. Dada una familia de espacio topologicos {(Xi, Ti)}i∈I y dadosu producto cartesiano X =

∏i∈I Xi, a la topologıa inicial sobre X de las proyec-

ciones πi : X −→ Xi se le llama la Topologıa Producto de las Ti y se denotapor T∏ y al espacio topologico (X,T∏) se le llama Espacio Producto .

Nota 0.3.1. En el caso de un numero finito de factores, una base de la topologıaproducto esta formada por los productos de abiertos de cada uno de los fac-tores. Ademas, tambien en este caso, la topologıa relativa de una producto esla topologıa producto de las relativas de cada uno de los factores.

Proposicion 0.3.2. Sea {(Xi, Ti)}i=1,...,m una familia finita de espacios topo-logicos y sea X =

∏mi=1Xi, dotado de la topologıa producto. Dado otro espacio

topologico (Y, TY ), una aplicacion f : (Y, TY ) −→ (X,T∏) es continua si y solosi πi ◦ f : (Y, TY ) −→ (Xi, Ti) es continua, para todo i = 1, . . . ,m.

Proposicion 0.3.3. Sean X un conjunto, {(Yi, Ti)}i∈I una familia de espaciostopologicos y {fi : Yi −→ X/i ∈ I} una familia de aplicaciones. Entonces,existe la mayor topologıa T sobre X que hace continuas a todas las aplicacionesfi, llamada Topologıa Final de las fi.

Corolario 0.3.2. Sean X un conjunto, (Y, TY ) un espacio topologico y f :(Y, TY ) −→ X una aplicacion. Entonces, T = {G ⊆ X/f−1(G) ∈ TY } es

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la mayor topologıa sobre X que hace continua a la aplicacion f y se llamaTopologıa Final de f . Ademas, si f es biyectiva, la topologıa final la convierteen un homeomorfismo.

Definicion 0.3.2. Sean (X,T ) un espacio topologico y R una relacion de equi-valencia sobre X. Si π : X −→ X/R es la proyeccion canonica, entonces latopologıa final de π sobre el espacio cociente X/R, denotada por TR se llamaTopologıa Cociente y al espacio topologico (X/R, TR) se le llama EspacioCociente sobre X por la relacion R.

Proposicion 0.3.4. Sean (X,T) un espacio topologico, (X/R, TR) un espaciocociente sobre X, (Y, TY ) otro espacio topologico y f : (X/R, TR) −→ (Y, TY )una aplicacion. Entonces, f es continua si y solo si f ◦ π : (X,T ) −→ (Y, TY )es continua.

0.4 Axiomas de Separacion.

Definicion 0.4.1. Sea (X,T ) un espacio topologico. Se dice que es:

1. T1 si todo par de puntos distintos de X se puede separar por conjuntos abier-tos, es decir, si para cada uno de los puntos existe un abierto que lo contieney no contiene al otro punto.

2. T2 o de Haussdorf si todo par de puntos distintos de X se puede separarpor abiertos dijuntos.

3. Regular si todo conjunto cerrado y todo punto que no pertenezca a el sepueden separar por abiertos disjuntos.

4. T3 si es regular y T1.

5. Normal si todo par de cerrados disjuntos se puede separar por abiertos dis-juntos.

6. T4 si es normal y T1.

Proposicion 0.4.1. 1. El axioma Ti implica el axioma Tj, para todo i > j.

2. Los axiomas de separacion son propiedades topologicas.

3. Los axiomas T1 y T2 son propiedades hereditarias para todo subespacio.

4. Un espacio topologico es T1 si y solo si todo conjunto unitario es cerrado.

5. Un espacio topologico es regular si y solo si para todo abierto G y para todopunto x ∈ G, existe otro abierto U tal que x ∈ U ⊆ U ⊆ G.

6. Un espacio topologico es normal si y solo si para todo abierto G y para todocerrado F que lo contenga, existe otro abierto U tal que G ⊆ U ⊆ U ⊆ F .

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Teorema 0.4.1. (Lema de Uryshon). Un espacio topologico (X,T ) es nor-mal si y solo si para cada par de cerrados disjuntos F1 y F2 de X, existe unaaplicacion continua f : (X,T ) −→ [0, 1] (con la topologıa euclıdea) tal quef(F1) = 0 y f(F2) = 1.

0.5 Axiomas de Numerabilidad.

Definicion 0.5.1. Sea (X,T ) un espacio topologico. Un subconjunto D de Xse dice Denso si D = X.

Definicion 0.5.2. Se dice que un espacio topologico (X,T ) es:

1. Primero Numerable (1oN) si todo punto de X tiene una base de entornosnumerable.

2. Segundo Numerable (2oN) si T tiene una base numerable.

3. De Lindeloff si todo recubrimiento de X por abiertos admite un subre-cubrimiento numerable.

4. Separable si existe un subconjunto de X denso y numerable.

Proposicion 0.5.1. 1. Los axiomas de numerabilidad son propiedades topolo-gicas.

2. El axioma 2oN implica a todos los demas.

3. Los axiomas 1oN y 2oN son propiedades hereditarias para cualquier subes-pacio.

4. Todo espacio topologico regular y de Lindeloff es normal.

0.6 Compacidad.

Definicion 0.6.1. Un espacio topologico (X,T ) se dice Compacto si de todorecubrimiento de X por abiertos se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Proposicion 0.6.1. 1. La compacidad se coserva por aplicaciones continuas.En consecuencia, es una propiedad topologica.

2. La compacidad es una propiedad hereditaria para subespacios cerrados.

3. En un espacio topologico T2, todo subespacio compacto es cerrado.

4. Toda aplicacion continua y biyectiva de un espacio topologico compacto enun espacio topologico T2 es un homeomorfismo.

5. Todo espacio topologico T2 y compacto es T4.

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Definicion 0.6.2. Un espacio topologico (X,T ) se dice Localmente Com-pacto si todo punto de X tiene una base de entornos formada por conjuntoscompactos.

Teorema 0.6.1. Un espacio topologico T2 es localmente compacto si y solo sitodo punto tiene un entorno compacto.

Proposicion 0.6.2. 1. La compacidad local es una propiedad topologica.

2. La compacidad local es una propiedad hereditaria para subespacios abiertosy para subespacios cerrados.

3. Todo espacio T2 y localmente compacto es T3.

Proposicion 0.6.3. Sea (X,T ) un espacio topologico T2 y localmente compacto.Entonces, para todo abierto G y para todo punto p ∈ G, existe otro abierto Hde clausura compacta y tal que p ∈ H ⊆ H ⊆ G.

0.7 Conexion.

Definicion 0.7.1. Un espacio topologico (X,T ) se dice Conexo si no existendos subconjuntos propios abiertos (o cerrados) de X, disjuntos y que recubrana X.

Teorema 0.7.1. Sea (X,T ) un espacio topologico. Las condiciones siguientesson equivalentes:

1. (X,T ) es conexo.

2. Los unicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerrados son elconjunto vacıo ∅ y el propio X.

3. Toda aplicacion continua de (X,T ) en R que tome dos valores, toma todoslos valores intermedios.

Proposicion 0.7.1. La conexion no es, en general, una propiedad hereditaria.Ademas, se conserva por aplicaciones continuas, con lo que, en consecuencia,es una propiedad topologica.

Definicion 0.7.2. En un espacio topologico (X,T ), se llama ComponenteConexa del punto x ∈ X al mayor subconjunto conexo de X que contenga a x.

Proposicion 0.7.2. Las componentes conexas de un espacio topologico (X,T )son subconjuntos cerrados y forman una particion de X. Ademas, el numero decomponentes conexas es una propiedad topologica.

Definicion 0.7.3. Sea (X,T ) un espacio topologico y x ∈ X. Se llama Ordende Conexion de x en X al numero de componentes conexas de Cx−{x}, dondeCx denota la componente conexa de x en X.

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Proposicion 0.7.3. Sea f : (X,TX) −→ (Y, TY ) un homeomorfismo. En-tonces, para todo x ∈ X, x y f(x) tiene el mismo orden de conexion. Enconsecuencia, el orden de conexion de los puntos es una propieda topologica.

Definicion 0.7.4. Un espacio topologico (X,T ) se dice Localmente Conexosi todo punto de X tiene una base de entornos formada por conjuntos conexos.

Proposicion 0.7.4. La conexion local es una propiedad topologica y heredi-taria para abiertos. Ademas, las componentes conexas de un espacio topologicolocalmente conexo son tambien conjuntos abiertos.

Definicion 0.7.5. Un Arco en un espacio topologico (X,T ) es la imagen porun homeomorfismo f de [0, 1] (con la topologıa euclıdea) en (X,T ). Dados dospuntos x, y ∈ X, se llama Arco desde x hasta y a un arco en X tal quef(0) = x y f(1) = y.

Nota 0.7.1. Observese que los arcos son, por definicion, subconjuntos conexosde X. Por otra parte si la aplicacion f es solo continua (y no un homeomor-fismo), surge la nocion de Camino en X y todas las definiciones y resultadostienen su version paralela.

Definicion 0.7.6. Un espacio topologico (X,T ) se dice Conexo por Arcoso Arcoconexo, si dados dos puntos cualesquiera de X, existe un arco en Xdesde uno de los puntos hasta el otro.

Proposicion 0.7.5. 1. La conexion por arcos es una propiedad topologica.

2. Todo espacio topologico conexo por arcos es conexo.

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Leccion 1

Variedades Diferenciables

1.1 Introduccion.

La Geometrıa Diferencial consiste en el estudio de aquellos problemas geo-metricos que pueden ser tratados usando el Calculo Diferencial e Integral. Portanto, los objetos basicos a trabajar deben ser espacios en los cuales nocionescomo la diferenciacion e integracion tengan sentido. Dichos espacios seran de-nominados Variedades Diferenciables. En pocas palabras, una variedad diferen-ciable es un espacio topologico localmente homeomorfo (en realidad, difeomorfo,pero habra que precisar esta nocion) a un espacio euclıdeo. Ası, los primerosejemplos de variedad diferenciable lo constituyen los propios espacios euclıdeos.Ademas, las curvas regulares y las superficies regulares son tambien variedadesdiferenciables. Recuerdese que un subconjunto M ⊆ R3 se dice que es una su-perficie regular si para cualquier punto p ∈M existe un entorno V de p en R3 yuna aplicacion ~x : U ⊆ R2 −→ V ⊆M de un abierto U de R2 sobre M , tales que(a) ~x es un homeomorfismo diferenciable y (b) la diferencial (D~x)q : R2 −→ R3

es inyectiva en todo punto q ∈ U .A la aplicacion ~x se le denomina parametrizacion de M en p. La consecuencia

mas importante de la definicion de superficie regular es el hecho de que el cambiode parametros es un difeomorfismo. Por consiguiente, una superficie regulares, intuitivamente, una reunion de abiertos de R3 organizados de tal formaque cuando dos de tales abiertos se intersectan la transicion de uno a otrose realiza de manera diferenciable. Como consecuencia, tiene sentido hablar,en una superficie regular, de funciones diferenciables y aplicar los metodos delCalculo Diferencial.

El defecto mas importante de la definicion de superficie regular es su de-pencia respecto de R3. La idea natural de superficie debiera ser la de un con-junto bidimensional (en un sentido a precisar) y al que se le pueda aplicar elCalculo Diferencial de R2; la presencia innecesaria de R3 es, simplemente, unaimposicion de nuestra naturaleza fısica.

Aunque la necesidad de una idea abstracta de superficie (esto es, sin in-

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volucrar ningun espacio ambiente) fue intuida por Gauss en 1827 en su trabajotitulado “Disquisitions generales circa superficies curvas”, se hizo necesario elpaso de algo mas de un siglo para que tal idea tuviera una forma definitiva,pues la formulacion explıcita del concepto de variedad diferenciable tal y comose conoce actualmente y que contiene como caso particular a la nocion de super-ficie regular abstracta, no aparecio hasta 1932, en el libro de Veblen y Whiteheadtitulado “Foundations of Differential Geometry”. Una de las razones de estademora estuvo en el hecho de que el papel fundamental del cambio de parametrosno fue bien comprendido.

1.2 Cartas Locales, Atlas, Estructuras Diferen-ciables.

En todo lo que sigue y salvo mencion explıcita en contra, se supondra queM es un espacio topologıco T2 y 2oN1.

Definicion 1.2.1. Una Carta Local de dimension m en M es un par (U,ϕ)tal que:

1. U es un abierto de M , denominado Dominio de la carta.

2. ϕ es un homeomorfismo de U en un abierto ϕ(U) de Rm, llamado Apli-cacion Coordenada de la carta.

Definicion 1.2.2. Dada una carta local (U,ϕ) de M de dimension m y dadop ∈ U , a las coordenadas (λ1, . . . , λm) de ϕ(p) ∈ ϕ(U) ⊆ Rm se les llama Coor-denadas Locales de p respecto de la carta (U,ϕ). Por esta razon, tambien sedenomina a las cartas Sistemas Locales de Coordenadas (s.l.c.).

Considerando las proyecciones canonicas ui : Rm −→ R, i = 1, . . . ,m(en particular, se pueden pensar con dominio en ϕ(U)) y denotando por xia la funcion xi = ui ◦ ϕ : U −→ R, se tiene que ϕ(p) = (λ1, . . . , λm) =(x1(p), . . . , xm(p)), pues, para cualquier i = 1, . . . ,m, λi = ui(λ1, . . . , λm) =ui(ϕ(p)) = xi(p).

Definicion 1.2.3. Dada una carta local (U,ϕ) de M , las funciones xi, i =1, . . .m, se llaman Funciones Componentes (o Funciones Coordenadas)de la carta y se escribe ϕ = (x1, . . . , xm).

Ejemplos 1.2.1. 1. Sea C ⊂ R3 una curva regular alabeada (podrıa hacersedel mismo modo con una curva plana) “sin cruces”, dotada de la topologıainducida por la euclıdea y sea α : (a, b) ⊆ R −→ C una parametrizacionlocal inyectiva. Se sabe que α es un difeomorfismo (en particular, un homeo-morfismo) del intervalo (a, b) en α(a, b), que es abierto de C. Llamando ϕa la aplicacion α−1 de α(a, b) en (a, b), se tiene que (α(a, b), ϕ) es una cartalocal de dimension 1 en C.

1En la literatura es posible encontrar definiciones de variedades diferenciables no T2 ni2oN . Para los objetivos de este curso, dichas variedades se consideraran casos patologicos.

13

2. Sea M una superficie regular de R3 y sea ~x : U ⊆ R2 −→M una superficiesimple de M . Se sabe que ~x(U) es un abierto de M y que ~x es un difeomor-fismo de U en ~x(U). Llamando ϕ a la aplicacion ~x−1 de ~x(U) en U , se tieneque (~x(U), ϕ) es una carta local de dimension 2 en M .

3. Sea Rm y ϕ = id : Rm −→ Rm. Entonces, (Rm, ϕ) es una carta local dedimension m de Rm, con funciones coordenadas las proyecciones canonicasu1, . . . , um.

Definicion 1.2.4. Se dice que dos cartas locales de dimension m sobre M ,(U,ϕ) y (V, ψ) estan Relacionadas si se verifica una de las dos condicionessiguientes:

1. U ∩ V = ∅, o

2. Si U ∩ V 6= ∅, entonces las aplicaciones (llamadas Aplicaciones de Tran-sicion o Aplicaciones de Cambio de las cartas),

ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) −→ ψ(U ∩ V )

yϕ ◦ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) −→ ϕ(U ∩ V )

son de clase C∞.

Observese que tanto ϕ(U ∩ V ) como ψ(U ∩ V ) son abiertos de Rm.

Ejemplos 1.2.2. 1. Probar que dos parametrizaciones locales inyectivas deuna misma curva regular dan lugar a dos cartas locales de dicha curva queestan relacionadas.

2. Probar que dos superficies simples de una misma superficie regular dan lugara dos cartas locales de dicha superficie que estan relacionadas.

Definicion 1.2.5. Un Atlas (de dimension m) en M es una familia de cartaslocales (de dimension m) sobre M tales que sus dominios recubren a M y quedos a dos estan relacionadas. Un atlas se dice Maximal si no esta propiamentecontenido en otro atlas.

Ejemplos 1.2.3. 1. Las parametrizaciones locales inyectivas de una curva re-gular forman un atlas de dimension 1 sobre la curva y las superficies simplesde una superficie regular forman un atlas de dimension 2 sobre la superficie.

2. {(Rm, id)} es un atlas de dimension m sobre Rm.

Definicion 1.2.6. Una carta local (de dimension m) se dice Admisible en unatlas (de dimension m) si esta relacionada con todas las cartas de dicho atlas.

En particular, todas las cartas de un atlas son admisibles en el. Ademas, si(U,ϕ) es una carta admisible en un atlas A, entonces A∪{(U,ϕ)} es otro atlas.

Proposicion 1.2.1. Todo atlas esta contenido en un unico atlas maximal.

14

Definicion 1.2.7. Dos atlas de la misma dimension sobre M se dicen Com-patibles o Equivalentes si su union es otro atlas.

Como consecuencia de esta definicion se tiene que dos atlas son compatiblessi y solo si estan contenidos en un mismo atlas maximal. Ademas, las cartas dedos atlas compatibles estan relacionadas todas entre sı.

Proposicion 1.2.2. La relacion de compatibilidad entre atlas de la misma di-mension es una relacion de equivalencia.

Definicion 1.2.8. Una Variedad Diferenciable de dimension m es un par(M,A) donde M es un espacio topologico T2 y 2oN y A un atlas de dimension msobre M . A la clase de equivalencia por la relacion anterior del atlas A (o, porabuso del lenguaje, al propio atlas A) se le llama Estructura Diferenciablede la variedad.

Cuando no haya lugar a confusion, se dira que M es la variedad diferenciable,omitiendo nombrar explıcitamente el atlas.

Por otra parte y en virtud de la definicion de atlas, dado un punto p de unavariedad diferenciable M , siempre existe una carta local (U,ϕ) de la estructuradiferenciable tal que p ∈ U . Esta carta se denomina Carta Entorno de p.

1.3 Ejercicios.

1. Sean A un atlas sobre M y (U,ϕ) ∈ A una carta local. Si V ⊆ U es unabierto, probar que (V, ϕ|V ) es una carta local admisible en A.

2. Sea M una variedad diferenciable. Probar que, dado cualquier p ∈M , existeuna carta local (U,ϕ) de la estructura diferenciable centrada en p (es decir,tal que ϕ(p) = 0).

3. Sea M una variedad diferenciable y A el atlas maximal de la estructuradiferenciable. Probar que los dominios de las cartas locales de A formanbase de la topologıa de M .

4. Sea (M,A) una variedad diferenciable y G ⊆ M un abierto. Probar que,dando a G la topologıa relativa de la de M ,

B = {(G ∩ U,ϕ|G∩U )}(U,ϕ)∈A

es un atlas sobre G que lo dota de estructura de variedad diferenciable de lamisma dimension que M , llamada Estructura de Subvariedad Abiertade G.

5. Probar que todo espacio vectorial real m–dimensional admite una estructuradiferenciable canonica de dimension m.

6. Probar que Cm es una variedad diferenciable de dimension 2m.

15

7. Probar que el producto cartesiano de dos variedades diferenciables M y Nes una variedad diferenciable de dimension la suma de las dimensiones delas variedades factores. De hecho, si (U,ϕ) es una carta de M y (V, ψ) unacarta de N , se verifica que (U × V, ϕ× ψ) es una carta sobre M ×N .

16

Leccion 2

Aplicaciones Diferenciablesentre VariedadesDiferenciables

2.1 Aplicaciones Diferenciables.

Definicion 2.1.1. Sean M y N dos variedades diferenciables y G ⊆ M unabierto. Una aplicacion continua f : G −→ N , se dice Diferenciable en unpunto p ∈ G si existe una carta local (U,ϕ) en M entorno de p y existe unacarta local (V, ψ) en N entorno de f(p) tales que

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(G ∩ U ∩ f−1(V )) −→ ψf(G ∩ U ∩ f−1(V ))

es diferenciable en un entorno de ϕ(p) contenido en ϕ(G ∩ U ∩ f−1(V )). Laaplicacion f se dice diferenciable en G si es diferenciable en todos los puntos deG.

Proposicion 2.1.1. La definicion anterior no depende de las cartas elegidasentornos de p y f(p), respectivamente.

Observese que, por definicion, toda aplicacion diferenciable es continua. Alconjunto de las aplicaciones continuas de G en N y diferenciables en G se denotapor F(G,N). En particular, si G = M , se tiene el conjunto F(M,N) de lasaplicaciones diferenciables de todo M en N .

Proposicion 2.1.2. Una aplicacion continua f : M −→ N pertenece a F(M,N)si y solo si para cualesquiera cartas locales (U,ϕ) en M y (V, ψ) en N tales queU ∩ f−1(V ) 6= ∅ se tiene que:

ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ f−1(V )) −→ ψf(U ∩ f−1(V ))

es diferenciable.

17

Hagamos notar como la aplicacion de la proposicion anterior es la que “vapor debajo” en el siguiente diagrama conmutativo:

Mf−→ N

(U,ϕ) (V, ψ)ϕ ↓ ↓ ψ

ϕ(U ∩ f−1(V ) ⊆ ϕ(U)ψ◦f◦ϕ−1

−→ ψ(V )

Definicion 2.1.2. Una aplicacion biyectiva f ∈ F(M,N) se dice que es unDifeomorfismo si f−1 ∈ F(N,M). Dos variedades diferenciables se dicenDifeomorfas si existe un difeomorfismo entre ambas.

Cuando la variedad N es R con su estructura euclıdea, las aplicaciones deM en R se suelen llamar funciones. Ası, a una funcion continua f : G −→ R,si es diferenciable (en el sentido de la Definicion 2.1.1) en un punto p ∈ M , sellama Funcion Diferenciable en p y al conjunto de tales funciones se denotapor F(p) y si es diferenciable en todo G (que podrıa ser el propio M), se llamaFuncion Diferenciable en G y el conjunto de tales funciones se denota porF(G), verificandose que:

F(G) =⋂p∈GF(p).

Proposicion 2.1.3. Dado un abierto G ⊆ M , una aplicacion continua f :G −→ R es diferenciable en G si y solo si para toda carta local (U,ϕ) de M , talque U ∩G 6= ∅, f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩G) −→ R es diferenciable.

Proposicion 2.1.4. Dado G ⊆ M abierto, F(G) es un algebra asociativa,conmutativa y con elemento unidad para las operaciones suma y producto defunciones y producto por numeros reales.

Ejemplos 2.1.1. Sea (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. Entonces:

1. xi ∈ F(U), para todo i = 1, . . . ,m.

2. Sea f ∈ F(U). Dado cualquier i = 1, . . . ,m se define:

∂f

∂xi: p ∈ U 7−→

(∂f

∂xi

)p

=

(∂(f ◦ ϕ−1)

∂ui

)ϕ(p)

∈ R.

Se cumple que∂f

∂xi∈ F(U), i = 1, . . . ,m.

Proposicion 2.1.5. (Lema de Extension de Funciones Diferenciables).Sea h ∈ F(G), donde G es un abierto conteniendo a p ∈M . Entonces, existenun entorno abierto V de p, con V ⊆ G y una funcion f ∈ F(M) tales que f ≡ hen V y f ≡ 0 en M −G.

Teorema 2.1.1. Una aplicacion continua f ∈ F(M,N) si y solo si para todafuncion g ∈ F(N), g ◦ f ∈ F(M).

18

2.2 Ejercicios.

1. Sean M y N dos variedades diferenciables y G ⊆M un abierto.

(a) Si f ∈ F(G,N) y H ⊆ G es un abierto, probar que f |H ∈ F(H,N).

(b) Si f : G −→ N es una aplicacion y {Gi}i∈I es un recubrimiento porabiertos de G (es decir, G =

⋃i∈I Gi) tal que f |Gi

∈ F(Gi, N), paratodo i ∈ I, probar que f ∈ F(G,N).

2. Sean M una variedad diferenciable y G ⊆ M un abierto. Probar que laaplicacion inclusion i : G ↪→M es diferenciable.

3. Probar que la composicion de aplicaciones diferenciables es una aplicaciondiferenciable.

4. Probar que la aplicacion identidad entre una variedad diferenciable y ellamisma es un difeomorfismo.

5. Sean (M,A1) y (M,A2) dos variedades diferenciables. ¿Bajo que condicioneses Id : (M,A1) −→ (M,A2) una aplicacion diferenciable? ¿Cuando es undifeomorfismo?

6. Probar que cualquier aplicacion constante es diferenciable.

19

Leccion 3

Espacio Tangente a unaVariedad Diferenciable enun Punto

3.1 Introduccion.

Una de las ideas fundamentales en el estudio de las variedades diferenciableses la de aproximacion lineal. Esta es un concepto familiar cuyo origen esta enel calculo diferencial en espacios euclıdeos, donde, por ejemplo, una aplicacionde Rm a Rn puede ser aproximada por su derivada total. Tambien es sabidoque a las curvas y a las superficies regulares se les asocia en cada punto unespacio vectorial de su misma dimension, formados por sus vectores tangentesen el punto, que son vectores de R3, es decir, que pueden ser pensados como“flechas” de origen el punto y, por tanto, tienen una clara interpretacion fısica.En el caso de las variedades diferenciables y debido a su definicion abstracta(es decir, no existiendo el espacio euclıdeo ambiente de las curvas y superficies),la situacion es mas compleja. Ası, para que tenga sentido hablar de aproxima-ciones lineales a una variedad diferenciable, sera necesario introducir la nocionde espacio tangente a la variedad en un punto, que sera una especie de “modelolineal” para la variedad “alrededor” del punto.

Para comprender un poco mejor el por que de la definicion de vector tan-gente a una variedad en un punto que se va a dar en esta leccion, es necesariorecordar dos hechos. El primero de ellos es que todo vector tangente a unasuperficie regular en un punto es el vector tangente a una curva contenida enla superficie que pasa por el punto. Aunque la idea de curva diferenciable enuna variedad es bastante intuitiva, no lo es tanto la de vector tangente a unatal curva. Puesto que la definicion de variedad diferenciable se construye so-bre la cuestion de identificar que funciones son diferenciables, la propiedad deun vector tangente geometrico mas facilmente generalizable es su accion sobre

20

funciones diferenciables. Ası, un vector tangente en un punto a una curva dife-renciable contenida en una variedad diferenciable puede ser considerado comola derivacion de las funciones diferenciables en el punto que toma la derivadade cada funcion a lo largo de la curva.

Por otra parte, hay que observar que en Rm un vector v en un punto p, v =(v1, . . . , vm) puede interpretarse como un operador de funciones diferenciables.Esto quiere decir que si f es una funcion diferenciable en un entorno U de p,f : U ⊆ Rm −→ R, entonces v asigna a f el numero real v(f) que es la derivada(direccional) de f en la direccion de v valorada en p, dada por:

v(f) =

m∑i=1

vi

(∂f

∂ui

)p

∈ R.

Esta operacion satisface las siguientes dos propiedades:

v(λf + µg) = λv(f) + µv(g),

v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f),

donde f y g son funciones diferenciables en p y λ y µ numeros reales. La primerapropiedad dice que v es un operador lineal (R–lineal) y la segunda que es unaderivacion. Debe hacerse notar que la operacion de derivar depende solo de laspropiedades locales de las funciones en entornos suficientemente pequenos delpunto.

La union de estos dos hechos permite obtener una definicion general de vectortangente a una variedad en un punto.

3.2 Vectores Tangentes en un Punto de una Va-riedad Diferenciable.

Definicion 3.2.1. Una Curva Diferenciable en una variedad diferenciableM es una aplicacion diferenciable α ∈ F((a, b),M), donde (a, b) es un intervaloabierto (degenerado o no) de la recta real.

Recuerdese que α ∈ F((a, b),M) quiere decir que para toda carta (U,ϕ) enM , tal que α−1(U) 6= ∅, se verifica que la aplicacion ϕ ◦ α : α−1(U) −→ Rm esdiferenciable.

Definicion 3.2.2. Sea α ∈ F((a, b),M) una curva diferenciable en M y t0 ∈(a, b). Se llama Vector Tangente a la curva α en α(t0) a la aplicacion

α′(t0) : F(α(t0)) −→ R : f 7→ α′(t0)f =d(f ◦ α)

dt

∣∣∣∣t0

.

Una curva diferenciable α : (a, b) −→ M en una variedad diferenciable Mse dice Regular si α′(t) 6= 0, para cualquier t ∈ (a, b).

21

Debe observarse que, si f ∈ F(α(t0)), entonces f esta definida en un abiertoU ⊆ M tal que α(t0) ∈ U . Por tanto, f ◦ α esta definida en α−1(U), que esabierto de (a, b) (por la continuidad de α). Ademas, como

α′(t0)f =d(f ◦ α)

dt

∣∣∣∣t0

= limt→t0

f(α(t))− f(α(t0))

t− t0,

el vector tangente mide la variacion de la velocidad sobre la curva mediante lafuncion f .

La siguiente proposicion, cuya demostracion se sigue inmediatamente de ladefinicion y de las propiedades de la derivada usual, permite interpretar, porsimilitud con lo que ocurre en Rm, el vector tangente a una curva en un puntocomo una derivacion (direccional) en dicho punto.

Proposicion 3.2.1. Sean α ∈ F((a, b),M) una curva diferenciable en M , t0 ∈(a, b), f, g ∈ F(α(t0)) y λ, µ ∈ R. Entonces, el vector tangente a α en α(t0)verifica las siguientes propiedades:

1. α′(t0)(λf + µg) = λα′(t0)f + µα′(t0)g.

2. α′(t0)(fg) = f(α(t0))α′(t0)g + g(α(t0))α′(t0)f .

Proposicion 3.2.2. Sean α ∈ F((a, b),M) una curva diferenciable en M , t0 ∈(a, b) y f, g ∈ F(α(t0)) tales que coinciden en un entorno de α(t0). Entoncesα′(t0)f = α′(t0)g.

Definicion 3.2.3. Sea p ∈M . Se llama Vector Tangente a M en p al vectortangente en p a cualquier curva diferenciable en M que pase por p. Al conjuntode los vectores tangentes a M en p se le llama Espacio Tangente a M en p.

Siempre existen curvas diferenciables en M que pasan por p. Por ejemplo, lacurva constante α : R −→M : t 7→ α(t) = p, cuyo vector tangente es α′(t) = 0,para todo t ∈ R.

Por otra parte, si (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) es un s.l.c. entorno de p, entoncesϕ(p) = (p1, . . . , pm) ∈ ϕ(U) ⊆ Rm. Para cada i = 1, . . . ,m, sea ε > 0 tal que

(p1, . . . , pi−1, pi + t, pi+1, . . . , pm) ∈ ϕ(U),

con |t| < ε, que existe ya que ϕ(U) es abierto. Entonces

αi : (−ε, ε) −→M : t 7→ ϕ−1((p1, . . . , pi−1, pi + t, pi+1, . . . , pm))

es una curva diferenciable en M , con αi(0) = p y α′i(0) es, por tanto, un vectortangente a M en p, que se denotara por:(

∂

∂xi

)p

.

Esta notacion esta justificada porque si f ∈ F(p), se tiene que

(f ◦ αi)(t) = (f ◦ ϕ−1)((p1, . . . , pi−1, pi + t, pi+1, . . . , pm)) = (f ◦ ϕ−1 ◦ hi)(t),

22

donde hi : (−ε, ε) −→ ϕ(U) : t 7→ hi(t) = (p1, . . . , pi−1, pi + t, pi+1, . . . , pm).Ahora bien, hi(0) = ϕ(p) y, por la Regla de la Cadena en espacios euclıdeos:

α′i(0)f =d(f ◦ αi)

dt

∣∣∣∣t=0

= (∇(f ◦ ϕ−1))hi(0).h′i(0) =

=

(∂(f ◦ ϕ−1)

∂ui

)ϕ(p)

=

(∂f

∂xi

)p

.

A partir de ahora, se denotara:(∂

∂xi

)p

f =

(∂f

∂xi

)p

, i = 1, . . . ,m.

Por las propiedades de los vectores tangentes a curvas, se deduce que todovector tangente a M en p es una aplicacion u : F(p) −→ R, verificando:

1. u(λf + µg) = λu(f) + µu(g), f, g ∈ F(p), λ, µ ∈ R (condicion de R–linealidad);

2. u(fg) = f(p)u(g) + g(p)u(f), f, g ∈ F(p) (Condicion de Leibnitz);

3. u(f) = u(g), si f, g ∈ F(p) coinciden en un entorno de p.

Si se denota por Tp(M) al conjunto de las aplicaciones u : F(p) −→ R queson R–lineales y que satisfacen la Condicion de Leibnitz, se puede probar quedicho conjunto es, realmente, el espacio tangente a M en p.

Lema 3.2.1. Sean M una variedad diferenciable, p ∈ M , f ∈ F(p) y (U,ϕ =(x1, . . . , xm)) un s.l.c. entorno de p. Entonces, en un cierto entorno de p severifica que

f = f(p) +

m∑i=1

fi.(xi − xi(p)),

donde fi ∈ F(p) y fi(p) =

(∂f

∂xi

)p

.

Lema 3.2.2. Sean M una variedad diferenciable, p ∈M y u ∈ Tp(M).

1. Si c ∈ F(M) es la funcion constante dada por c(q) = c para todo q ∈ M yc ∈ R, entonces, se verifica que u(c) = 0.

2. Si f ∈ F(p) se anula en un entorno de p, entonces u(f) = 0.

3. Si f, g ∈ F(p) coinciden en un entorno de p, entonces u(f) = u(g).

Sea ahora un s.l.c. (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) entorno de p. Dados u ∈ Tp(M) ycualquier funcion f ∈ F(p), en virtud de los lemas anteriores se tiene que:

u =

m∑i=1

u(xi)

(∂

∂xi

)p

.

23

En particular, si α : (a, b) −→M es una curva sobre M con α(t0) = p, comoα′(t0) ∈ Tp(M):

α′(t0) =

m∑i=1

α′(t0)xi

(∂

∂xi

)p

=

m∑i=1

d(xi ◦ α)

dt

∣∣∣∣∣t0

(∂

∂xi

)p

.

Usando esta expresion, puede deducirse que, dado u ∈ Tp(M) y considerandola curva diferenciable en M ,

α : (−ε, ε) −→M : t 7→ ϕ−1((p1 + tu(x1), . . . , pm + tu(xm))),

para cierto ε > 0 que existe por la continuidad de ϕ, donde (p1, . . . , pm) = ϕ(p),se verifica que α(0) = p y α′(0) = u.

Teorema 3.2.1. El conjunto de los vectores tangentes a una variedad diferen-ciable M en un punto p es Tp(M), es decir, los vectores tangentes a M en pson las aplicaciones R-lineales de dominio F(p) con valores reales que verificanla Condicion de Leibnitz.

Ahora, en el conjunto de las curvas diferenciables en M que pasan por p yque se denota por C(p), se puede definir una relacion de equivalencia R por:αRβ si y solo si α y β tienen el mismo vector tangente en p.

Proposicion 3.2.3. Los conjuntos C(p)/R y Tp(M) estan en correspondenciabiyectiva.

De forma natural se definen en Tp(M) la suma y producto por numeros realesque lo convierten en un espacio vectorial real. A continuacion se va a encontraruna base (y, por tanto, a saber la dimension) de este espacio vectorial. Paraello, la expresion anterior de α′(t0) indica el camino a seguir.

Teorema 3.2.2. Dado un punto p de una variedad diferenciable M y una cartalocal (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) entorno de p, los vectores tangentes(

∂

∂xi

)p

, i = 1, . . . ,m,

forman una base de Tp(M), con lo que dim(Tp(M)) = m.

Como consecuencia, se obtiene que hay tantas bases de Tp(M) como cartaslocales entorno de p. Ademas, si (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) y (V, ψ = (y1, . . . , ym))son dos de tales cartas, entonces el cambio de bases viene dado por:(

∂

∂yj

)p

=

m∑i=1

(∂xi∂yj

)p

(∂

∂xi

)p

.

Debe observarse que la matriz de cambio de bases es, realmente, la matrizjacobiana de la aplicacion de transicion ϕ ◦ ψ−1 en ψ(p), pues:(

∂xi∂yj

)p

=

(∂(ui ◦ ϕ ◦ ψ−1)

∂uj

)ψ(p)

.

24

3.3 Espacio Cotangente.

Definicion 3.3.1. Dado un punto p de una variedad diferenciable M , se llamaEspacio Cotangente a M en p al espacio vectorial dual del espacio tangente aM en p, que se denota por T ∗p (M) y a cuyos elementos se llaman Covectoresen p.

Recuerdese que T ∗p (M) = {u∗ : Tp(M) −→ R/u∗es lineal}.

Definicion 3.3.2. Sea f ∈ F(p). Se llama Diferencial de f en p a la funcion(df)p : Tp(M) −→ R tal que (df)pu = u(f), para cualquier vector u ∈ Tp(M).

Proposicion 3.3.1. Dada f ∈ F(p), entonces (df)p ∈ T ∗p (M).

Dado (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. entorno de p, en virtud de la proposicionanterior se tiene que (dxi)p ∈ T ∗p (M), para cualquier i = 1, . . . ,m. Ademas, sepuede comprobar facilmente que {(dxi)p}i=1,...,m es una base de T ∗p (M), dual

de la base {(

∂

∂xi

)p

}i=1,...,m de Tp(M).

Proposicion 3.3.2. Todo covector en p es la diferencial de alguna funciondiferenciable en p.

3.4 Ejercicios.

1. Sean M una variedad diferenciable, p ∈M y (U,ϕ = (x1, . . . , xm)), (V, ψ =

(y1, . . . , ym)) dos s.l.c.entorno de p, tales que x1 = y1. ¿Es (∂

∂x1)p = (

∂

∂y1)p?

2. Sean M una variedad diferenciable, p ∈ M , W un entorno abierto de p yf, g ∈ F(W ). Probar que:

(a) Si ∀q ∈W y ∀u ∈ Tq(M) se tiene que u(f) = 0, entonces f es constanteen un entorno de p.

(b) Si ∀q ∈W y ∀u ∈ Tq(M) se verifica que u(f) = u(g), entonces f − g esconstante en un entorno de p.

3. Sean M una variedad diferenciable, p ∈M y α : I −→M una curva diferen-ciable pasando por p (es decir, se puede suponer que 0 ∈ I y que α(0) = p).Si α′(0) = 0, probar que la aplicacion

L : F(p) −→ R : f 7−→ L(f) =d2(f ◦ α)

dt2

∣∣∣∣t=0

define un vector tangente a M en p.

4. Sean M una variedad diferenciable, p ∈ M y (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c.entorno de p. Dado cualquier covector ω ∈ T ∗p (M), calcular su expresion enfuncion de la base {(dxi)p/i = 1, . . . ,m}.

25

Leccion 4

Aplicacion Diferencial deuna AplicacionDiferenciable

La definicion de espacio tangente en cada punto de una variedad diferencia-ble y, por tanto, la idea de “aproximar” la variedad en el punto por un espaciovectorial, permite, a su vez, dada una aplicacion diferenciable entre dos varieda-des diferenciables, definir la nocion de diferencial de tal aplicacion en cada puntode la variedad dominio como una aplicacion lineal entre los espacios tangentesdel punto y del punto imagen, que generaliza a la bien conocida entre espacioseuclıdeos. El conocimiento de las propiedades de tales aplicaciones es de granutilidad, pues estan directamente relacionadas con la naturaleza diferenciablede la aplicacion de partida.

4.1 Aplicacion Diferencial y Aplicacion Codife-rencial de una Aplicacion Diferenciable.

Definicion 4.1.1. Sean M y N dos variedades diferenciables, f ∈ F(M,N)y p ∈ M . Se llama Diferencial de f en p a la aplicacion f∗p : Tp(M) −→Tf(p)(N) definida de la siguiente forma: si u ∈ Tp(M) es cualquier vector tan-gente a M en p y α : (a, b) −→ M es una curva diferenciable que pasa por p ycuyo vector tangente en p es u (es decir, si existe t0 ∈ (a, b) con α(t0) = p yα′(t0) = u), entonces f∗pu = (f ◦ α)′(t0).

Observese que, desde luego, f∗pu es un vector tangente a N en f(p), puesf ◦ α : (a, b) −→ N es una curva diferenciable en N , que pasa por f(p), ya quef(α(t0)) = f(p) y, por tanto, (f ◦ α)′(t0) ∈ Tf(p)(N). Ademas, la definicionanterior no depende de la curva α elegida pasando por p y con vector tangenteen p igual a u. En efecto, si β : (c, d) −→ M es otra curva en las mismas

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condiciones, entonces existe τ0 ∈ (c, d) tal que β(τ0) = p y β′(τ0) = u. Es claroque f ◦ β : (c, d) −→ N es una curva diferenciable que pasa por f(p), ya que(f ◦ β)(τ0) = f(p) y su vector tangente en f(p) es f∗pu, pues dada cualquierg ∈ F(f(p)), se tiene que:

(f ◦ β)′(τ0)g =d(g ◦ (f ◦ β))

dτ

∣∣∣∣τ=τ0

=d((g ◦ f) ◦ β)

dτ

∣∣∣∣τ=τ0

=

= β′(τ0)(g ◦ f) = u(g ◦ f) = α′(t0)(g ◦ f) =

=d((g ◦ f) ◦ α)

dt

∣∣∣∣t=t0

=d(g ◦ (f ◦ α))

dt

∣∣∣∣t=t0

= (f ◦ α)′(t0)g = (f∗pu)g.

Proposicion 4.1.1. Si f ∈ F(M,N), p ∈ M , u ∈ Tp(M) y g ∈ F(f(p)),entonces se verifica:

(f∗pu)g = u(g ◦ f).

Proposicion 4.1.2. (Propiedades de la Diferencial).

1. (Regla de la Cadena). Sean f ∈ F(M,N) y g ∈ F(N,P ). Entonces, paracualquier p ∈M se verifica que (g ◦ f)∗p = g∗f(p) ◦ f∗p.

2. Dado p ∈M , entonces (IdM )∗p = IdTp(M).

3. Si f, g ∈ F(M,N) y f ≡ g en un entorno de p ∈M , entonces f∗p = g∗p.

Proposicion 4.1.3. La diferencial en cada punto de una aplicacion diferencia-ble es una aplicacion lineal.

En consecuencia, cada diferencial tiene asociada una matriz. Para calcularla,sean (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. de M entorno de p y (V, ψ = (y1, . . . , yn))un s.l.c. de N entorno de f(p). Para estas cartas locales, las bases de Tp(M) yTf(p)(N) son{(

∂

∂x1

)p

, . . . ,

(∂

∂xm

)p

}y

{(∂

∂y1

)f(p)

, . . . ,

(∂

∂yn

)f(p)

},

respectivamente. Entonces, como

f∗p

(∂

∂xi

)p

=

n∑j=1

[f∗p

(∂

∂xi

)p

(yj)

](∂

∂yj

)f(p)

=

=

n∑j=1

[(∂(yj ◦ f)

∂xi

)p

](∂

∂yj

)f(p)

,

la matriz de f∗p respecto de estas bases viene dada por

f∗p =

[(∂yj ◦ f∂xi

)p

],

que es la matriz jacobiana de la aplicacion ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ f−1(V )) −→ψ(f(U ∩ f−1(V ))).

27

Definicion 4.1.2. La matriz anterior se denomina Matriz Jacobiana de fen p respecto de las cartas dadas. En el caso en que dim(M) = dim(N), eldeterminante de esta matriz se llama Jacobiano de f en p y se denota porJp(f).

Proposicion 4.1.4. Si f ∈ F(M,N), siendo M conexa y f∗p = 0, para cual-quier p ∈M , entonces f es constante.

Definicion 4.1.3. Una aplicacion f ∈ F(M,N) se dice que es No Singularen p ∈M si f∗p es inyectiva, es decir, si ker f∗p = 0. Al rango (dimension de laimagen) de f∗p se le denomina Rango de f en p. El punto p se dice Regularpara f si f∗p es sobreyectiva. En caso contrario, p se dice Crıtico. Si p escrıtico para f , el punto q = f(p) se denomina Valor Crıtico. De lo contrariose llama Valor Regular.

Observese que si dim(M) = dim(N), entonces p ∈ M es regular para f si ysolo si f∗p es un isomorfismo, es decir, si y solo si Jp(f) 6= 0.

Definicion 4.1.4. Una aplicacion f ∈ F(M,N) se dice que es una Inmersionsi es no singular en todos los puntos de M , es decir, si su diferencial en cadapunto es una aplicacion inyectiva y se dice que es una Sumersion si todos lospuntos de M son regulares para f , es decir, si su diferencial en cada punto esuna aplicacion sobreyectiva.

Definicion 4.1.5. Sea f ∈ F(M,N) y p ∈M . Se llama Aplicacion Codife-rencial de f en p a la aplicacion dual de f∗p, denotada por f∗p y dada por

f∗p : T ∗f(p)(N) −→ T ∗p (M) : ω 7→ f∗pω

tal que, para cualquier u ∈ Tp(M), (f∗pω)u = ω(f∗pu).

Proposicion 4.1.5. (Regla de la Cadena de la Codiferencial). Sean f ∈F(M,N), g ∈ F(N,P ) y p ∈M . Entonces, se verifica que (g ◦ f)∗p = f∗p ◦ g∗f(p).

Proposicion 4.1.6. Sean f ∈ F(M,N) y p ∈M . Entonces, se verifican:

1. f∗p es inyectiva si y solo si f∗p es sobreyectiva.

2. f∗p es sobreyectiva si y solo si f∗p es inyectiva.

4.2 Nocion de Subvariedad.

La mayorıa de los ejemplos familiares de variedades diferenciables son sub-conjuntos de otras variedades (puede pensarse en los abiertos de una variedaddiferenciable, las superficies regulares en R3 o la figura ocho en R2). Cabe pre-guntarse cuando la estructura diferenciable del subconjunto viene “inducida” dealguna manera por la de la variedad ambiente y cual es la relacion entre ambasestructuras. Esta relacion tiene que ver con el hecho de que el espacio tangentea la variedad subconjunto sea subespacio del espacio tangente de la variedadambiente en cada punto. Aparece ası la nocion de subvariedad.

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Definicion 4.2.1. Una Subvariedad de una variedad diferenciable N es unpar (M,f), donde M es otra variedad diferenciable y f ∈ F(M,N) es unainmersion inyectiva.

En los ejemplos antes mencionados (subvariedades abiertas, superficies re-gulares o la figura ocho con cualquiera de las dos estructuras conocidas), lainmersion inyectiva que las convierte en subvariedad es la inclusion. Sin em-bargo, esto no siempre ocurre. Por ejemplo, considerese el intervalo abierto(−1, 1) dotado de la estructura diferenciable dada por la carta global ϕ(t) = t3.Se tiene que (−1, 1) es un subconjunto de R con la estructura euclıdea y lainclusion i : (−1, 1) ↪→ R no es una inmersion, pues ni siquiera es diferenciable.Con todo, el par ((−1, 1), f), con f : (−1, 1) −→ R la inmersion f(x) = x3 sı esuna subvariedad de R.

Proposicion 4.2.1. Sea (M,f) una subvariedad de la variedad diferenciable N .Entonces, puede dotarse a f(M) de una estructura de variedad diferenciable talque (f(M), i), con i : f(M) ↪→ N la inclusion, es una subvariedad de N .

Observese que, en el resultado anterior, la topologıa de f(M) es, en general,mas fina que la topologıa relativa inducida por la de N , pues la inclusion, al serdiferenciable, es continua. Esto lleva a pensar que la nocion de subvariedad esmas sutil que la analoga para espacios topologicos. En efecto, como ya se hadicho, el ocho con cualquiera de las dos estructuras conocidas es subvariedad deR2 con la inclusion como inmersion inyectiva y, sin embargo, no es subespaciotopologico de R2 en ninguno de los dos casos.

Definicion 4.2.2. Se dice que una aplicacion f ∈ F(M,N) es una Incrus-tacion si es un homeomorfismo sobre su imagen, dotada esta de la topologıarelativa de N , es decir, si f : M −→ f(M) ⊆ N (dando a f(M) la topologıarelativa de N) es una aplicacion biyectiva, continua y abierta o cerrada.

Definicion 4.2.3. Una subvariedad (M,f) de una variedad diferenciable N sedice que es una Subvariedad Regular si f es, ademas, una incrustacion.

Por tanto, para subvariedades regulares, las imagenes de estas por la in-mersion, dotadas de la estructura dada por la Proposicion 4.2.1, son tambiensubespacios topologicos de la variedad ambiente. En el caso particular de con-siderar subvariedades que sean subconjuntos con la inclusion, se obtiene:

Proposicion 4.2.2. Sean M ⊆ N dos variedades diferenciables tales que, sii : M ↪→ N es la inclusion, (M, i) es subvariedad de N . Entonces, (M, i) essubvariedad regular de N si y solo si M tiene la topologıa relativa de N .

4.3 El Teorema de la Funcion Inversa.

Dada una subvariedad (M,f) de una variedad diferenciable N , si dim(M) =dim(N), la diferencial de f en cada punto de M es un isomorfismo de espa-cios vectoriales. Este hecho ocurre, en particular, si f es un difeomorfismo,

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verificandose que dos variedades diferenciables difeomorfas son, cada una deellas, subvariedad de la otra con inmersion el difeomorfismo o su inverso, segunel caso.

Cabe preguntarse, entonces, por el recıproco de este resultado: Dada unasubvariedad de una variedad diferenciable, ambas de la misma dimension, ¿sondifeomorfas a traves de la inmersion? Mas en general, si una aplicacion di-ferenciable entre variedades diferenciables cumple que su diferencial en cadapunto es un isomorfismo, ¿es un difeomorfismo? La respuesta es negativa, puesbasta considerar una subvariedad abierta de una variedad diferenciable (aquı lainmersion es la inclusion, que no es un difeomorfismo, al no ser sobreyectiva).

Sin embargo, sı puede probarse, mediante el Teorema de la Funcion Inversaen Variedades, que una tal aplicacion es un difeomorfismo local. De este teoremase deducen importantes colorarios sobre las carta locales de ambas variedades.Por otra parte, la condicion adicional que debe impornerse a la aplicacion paraque sı sea un difeomorfismo es la biyectividad.

Teorema 4.3.1. (Teorema de la Funcion Inversa en Rm). Sean G ⊆ Rm

un abierto, f : G −→ Rm una aplicacion diferenciable y p ∈ G tal que∣∣∣∣∣(∂(ui ◦ f)

∂uj

)p

∣∣∣∣∣ 6= 0.

Entonces, existe un abierto U , con p ∈ U ⊆ G, tal que f(U) es abierto de Rm

y f |U : U −→ f(U) es un difeomorfismo.

Teorema 4.3.2. (Teorema de la Funcion Inversa en Variedades). Seanf ∈ F(M,N) y p ∈ M tal que f∗p es un isomorfismo. Entonces, existe unabierto U , con p ∈ U ⊆M , tal que f(U) es abierto de N y f |U : U −→ f(U) esun difeomorfismo.

Corolario 4.3.1. Si f ∈ F(M,N) verifica que f∗p es un isomorfismo para todop ∈M , entonces f es un difeomorfismo local.

Definicion 4.3.1. Un conjunto de funciones {f1, . . . , fk} diferenciables en p ∈M se dice que es Independiente en p si sus diferenciales (df1)p, . . . , (dfk)pson linealmente independientes en T ∗p (M).

Corolario 4.3.2. Sea {f1, . . . , fm} un conjunto de funciones independiente enp ∈M , con dim(M) = m. Entonces, las funciones f1, . . . , fm son las funcionescoordenadas de un s.l.c. en un entorno de p.

Corolario 4.3.3. Sea {f1, . . . , fk} un conjunto de funciones independiente enp ∈M , con dim(M) = m > k. Entonces, las funciones f1, . . . , fk forman partede un s.l.c. en un entorno de p.

Corolario 4.3.4. Sea {f1, . . . , fk} un conjunto de funciones diferenciables enp ∈ M , k > dim(M), tales que (df1)p, . . . , (dfk)p generen T ∗p (M). Entonces,un subconjunto de tales funciones forman un s.l.c. en un entorno de p.

30

Corolario 4.3.5. Sea f ∈ F(M,N) tal que f∗p es sobreyectiva, para ciertop ∈ M . Sea (y1, . . . , yn) un s.l.c. en un entorno de f(p). Entonces, las fun-ciones y1 ◦ f, . . . , yn ◦ f forman parte de un s.l.c. en un entorno de p. Si fes una sumersion, las parejas de cartas ası obtenidas para cada punto de M sedenominan Cartas Adaptadas a la Sumersion.

Corolario 4.3.6. Sea f ∈ F(M,N) tal que f∗p es inyectiva, para cierto p ∈M .Sea (y1, . . . , yn) un s.l.c. en un entorno de f(p). Entonces, un subconjunto de lasfunciones y1◦f, . . . , yn◦f forman un s.l.c. en un entorno de p, siendo f inyectivaen este entorno. Si f es una inmersion, las parejas de cartas ası obtenidas paracada punto de M se denominan Cartas Adaptadas a la Inmersion.

Una cuestion que surge de manera natural es averiguar que condiciones debecumplir una aplicacion f tal que su diferencial en cada punto es un isomorfismopara ser un difeomorfismo. Dicha condicion es la biyectividad, ya que, al serla diferencial de f un isomorfismo en cada punto, f es un difeomorfismo local.Como es biyectiva, f−1 es diferenciable en cada punto de N , es decir, f esun difeomorfismo. Sin embargo, para variedades 2oN , la condicion se puededebilitar algo. Para ello, seran necesarios algunos resultados de Teorıa de laMedida en variedades.

Recuerdese que un subconjunto A ⊆ Rm se dice que tiene Medida (deLebesgue) Nula si dado ε > 0, existe {Qn}n∈N, familia numerable de cubos,tal que:

A ⊆⋃n∈N

Qi y∑n∈N

vol(Qn) < ε.

En estas condiciones se verifican las siguientes propiedades:

1. Cualquier subconjunto de un conjunto de medida nula es, a su vez, de medidanula.

2. La union numerable de conjuntos de medida nula en Rm es un conjunto demedida nula.

3. La imagen por una aplicacion de clase C1 de Rm en Rm de un conjunto demedida nula es un conjunto de medidad nula.

4. Rn × {x0}, con x0 ∈ Rm−n, es de medida nula en Rm.

Definicion 4.3.2. Sea M una variedad diferenciable y A ⊆ M . Se dice queA tiene Medida (de Lebesgue) Nula si para toda familia de cartas locales{(Ui, ϕi)}i∈I cuyos dominios recubran a A, se cumple que ϕi(A ∩ Ui) es demedida nula en Rm, para todo i ∈ I.

Proposicion 4.3.1. Sean M y N dos variedades diferenciables y f ∈ F(M,N).Entonces:

1. Si A ⊆ M es un conjunto de medida nula en M , se cumple que f(A) es unconjunto de medida nula en N .

31

2. Si m < n, se cumple que f(M) es un conjunto de medida nula en N .

Se puede ahora probar el resultado buscado. Debe resaltarse que en todo eldesarrollo anterior se ha usado que M verifica el axioma 2oN , por lo que la si-guiente proposicion y su corolario solo son validos para variedades diferenciables2oN .

Proposicion 4.3.2. Sea f ∈ F(M,N) una aplicacion sobreyectiva y sea p ∈Mtal que f∗p es inyectiva. Entonces, f∗p es un isomorfismo.

Corolario 4.3.7. Sea f ∈ F(M,N) una inmersion biyectiva. Entonces, f esun difeomorfismo

4.4 Factorizacion de Aplicaciones. Unicidad deSubvariedades.

Dada una variedad diferenciable N , una subvariedad de N es un par (M,f)donde M es otra variedad diferenciable y f ∈ F(M,N) es una inmersion inyec-tiva, es decir, es una aplicacion diferenciable, inyectiva y tal que su diferenciales inyectiva en cada punto de M . Esto quiere decir que una misma variedaddiferenciable tiene tantas subvariedades como inmersiones puedan establecersea ella desde otras variedades diferenciables. En particular, todas las variedadesdifeomorfas a una dada son subvariedades de ella y debe recordarse que cualquierconjunto biyectivo con una variedad diferenciable puede dotarse de una estruc-tura de variedad diferenciable que convierte a la biyeccion en un difeomorfismo.Por tanto, se hace necesario “controlar” de alguna forma la famila de las sub-variedades de una variedad diferenciable.

Definicion 4.4.1. Dos subvariedades (M1, f1) y (M2, f2) de una variedad N sedice que son Equivalentes si existe un difeomorfismo f : M1 −→ M2 tal quef1 = f2 ◦ f .

M1 N

M2

-f1

@@@R

f

6f2

Puede comprobarse sin dificultad que esta es una relacion de equivalenciaen la clase de todas las subvariedades de N , que permite trabajar con mascomodidad con dicha clase. Por tanto, es conveniente dar condiciones parala existencia de tal difeomorfismo. Para ello, se planteara un problema masgeneral.

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Sea f ∈ F(M,N) una aplicacion diferenciable entre dos variedades diferen-ciables y sea (P, g) una subvariedad de N . Como g es inyectiva, si f factorizaa traves de g, es decir si f(M) ⊆ g(P ), entonces se puede definir una unicaaplicacion f0 : M −→ P tal que g ◦ f0 = f . No siempre esta aplicacion esdiferenciable.

M N

P

-fp p p p p p p pRf0

6g

Teorema 4.4.1. (Lema de Factorizacion). Sea f ∈ F(M,N) una aplicaciondiferenciable entre dos variedades diferenciables y sea (P, g) una subvariedad deN tal que f factoriza a traves de g. Entonces:

1. Si f0 es continua, entonces es diferenciable.

2. Si (P, g) es una subvariedad regular de N , entonces f0 es continua.

Proposicion 4.4.1. Cada clase de equivalencia de subvariedades de una va-riedad diferenciable N tiene un unico representante de la forma (A, i) donde Aes un subconjunto de N con estructura de variedad diferenciable y la inclusioni : A ↪→ N es una inmersion.

Es habitual afirmar que existe una unica subvariedad de una variedad di-ferenciable N cumpliendo cierta propiedad. Esta unicidad se entendera salvo laequivalencia definida anteriormente. En particular, si las subvariedades de N seconsideran como subconjuntos con estructura de variedad diferenciable tal quela inclusion correspondiente es una inmersion, la unicidad significa unico sub-conjunto con unica topologıa 2oN y unica estructura diferenciable. En general,dado un subconjunto A ⊆ N , no existe una unica estructura diferenciable sobreA tal que (A, i) sea una subvariedad de N , si es que existe alguna. No obstante,se tienen dos teoremas de unicidad que imponen condiciones a la topologıa deA para tal situacion

Teorema 4.4.2. (Primer Teorema de Unicidad). Sean N una variedaddiferenciable y A ⊆ N un subconjunto. Fijada una topologıa sobre A, existe, alo mas, una estructura diferenciable en A tal que (A, i) es una subvariedad deN .

Teorema 4.4.3. (Segundo Teorema de Unicidad). Sean N una variedaddiferenciable y A ⊆ N un subconjunto. Si con la topologıa relativa A tieneuna estructura diferenciable tal que (A, i) es una subvariedad de N , entonces Atiene estructura de variedad diferenciable unica, es decir, que para que A seasubvariedad de N tiene que ser, precisamente, con la topologıa relativa y con lamisma estructura diferenciable.

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4.5 Teorema de la Funcion Implıcita. Teoremade Whitney.

Teorema 4.5.1. (Teorema de la Funcion Implıcita). Sean f ∈ F(M,N)una aplicacion diferenciable entre dos variedades diferenciables, q ∈ N y P =f−1({q}) 6= ∅. Si f∗p es sobreyectiva, para cualquier p ∈ P , entonces P tieneuna unica estructura de variedad diferenciable tal que (P, i) es una subvariedadregular de M de dimension dim(M)− dim(N).

Corolario 4.5.1. Sea f : Rm −→ Rn una aplicacion diferenciable. Si elconjunto P = {p ∈ Rm/f(p) = 0} es no vacıo y el rango de la matriz jacobianade f vale n en todos los puntos de P , entonces P es una subvariedad regular deRm de dimension m− n.

El Teorema de la Funcion Implıcita puede generalizarse. Recordemos que,dados f ∈ F(M,N) y p ∈ M , se llama rango de f en p al rango (dimension dela imagen) de f∗p. Ası, se tiene:

Teorema 4.5.2. (Teorema del Rango o de la Subvariedad de Nivel).Sean f ∈ F(M,N) una aplicacion diferenciable entre dos variedades diferencia-bles, q ∈ N y P = f−1({q}) 6= ∅. Si f tiene rango constante k en un entornoabierto de cada p ∈ P , entonces P tiene una unica estructura de variedad dife-renciable tal que (P, i) es una subvariedad regular cerrada de M de codimensionk.

Teorema 4.5.3. Toda variedad diferenciable compacta es difeomorfa a unasubvariedad cerrada de un espacio euclıdeo de dimension suficientemente grande,es decir, puede ser incrustada en un espacio euclıdeo.

Teorema 4.5.4. (Teorema de Whitney). Toda variedad diferenciable para-compacta m–dimensional es difeomorfa a una subvariedad cerrada de un espacioafın (2m+ 1)–dimensional.

4.6 Ejercicios.

1. Probar que la diferencial de una aplicacion f : Rm −→ Rn, consideradacomo aplicacion entre variedades diferenciables, coincide con la diferencialhabitual de Rn.

2. Probar que si f ∈ F(M,N) es un difeomorfismo, entonces su diferencial encada punto es un isomorfismo.

3. Probar que el rango de la diferencial de una aplicacion diferenciable entredos variedadades diferenciables no depende de las cartas tomadas.

4. Probar que las proyecciones de un producto de variedades diferenciables encada uno de los factores son sumersiones.

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5. Sean f ∈ F(M,N), p ∈M y g ∈ F(f(p)). Probar que

f∗p ((dg)f(p)) = (d(g ◦ f))p.

6. Probar que toda superficie regular es una subvariedad regular de R3.

7. Probar que cualquier subvariedad abierta de una variedad diferenciable essubvariedad regular.

8. Probar que Sn es subvariedad regular de Rn+1.

9. Sea M una variedad diferenciable y p ∈M . Si {ω1, . . . , ωm} es una base deT ∗p (M), probar que existe una carta local (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) entorno dep tal que (dxi)p = ωi, i = 1, . . . ,m.

10. Probar que no existen inmersiones de S1 en R.

11. Sea f ∈ F(M,N) un difeomorfismo local inyectivo entre dos variedadesdiferenciables. Probar que f es un difeomorfismo de M en un cierto abiertode N .

12. Sean M subvariedad de M y N subvariedad de N . Sea f : M −→ N unaaplicacion diferenciable. ¿Bajo que condiciones mınimas se puede asegurarque f |M : M −→ N es diferenciable?

13. Probar que la relacion “ser equivalentes” entre subvariedades de una variedaddiferenciable es una relacion de equivalencia.

14. Sean M ⊆ N tales que (M, i) es subvariedad de N . Probar que M y Ntienen la misma dimension si y solo si M es subvariedad abierta de N .

15. ¿Para que valores de a ∈ R es el conjunto

M = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 − z + 2 = 0; z = a}

una subvariedad regular de dimension 1 de R3?

35

Leccion 5

Campos de Vectores sobreuna Variedad Diferenciable

5.1 Campos de Vectores Diferenciables.

Definicion 5.1.1. Un Campo de Vectores X en un abierto U ⊆M de unavariedad diferenciables es una ley que a cada punto p ∈ U le asigna un vectortangente Xp ∈ Tp(M).

Ejemplo 5.1.1. Sea (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. en M . Entonces, paracualquier i = 1, . . . ,m,

∂

∂xi: p ∈ U 7→

(∂

∂xi

)p

es un campo de vectores en U .

Un campo de vectores X en U tambien puede interpretarse como una apli-cacion que envıa funciones diferenciables en U en funciones de U , de la siguienteforma: si f ∈ F(U), se define Xf : U −→ R por (Xf)(p) = Xpf .

Definicion 5.1.2. Un campo de vectores en U se dice Diferenciable si paratoda funcion f ∈ F(U) se tiene que Xf ∈ F(U). Al conjunto de camposdiferenciables en U se denota por X (U).

Por tanto, un campo diferenciable en U puede interpretarse como una apli-cacion X : F(U) −→ F(U). Esta aplicacion verifica las dos siguientes propie-dades:

1. X(λf + µg) = λXf + µXg, para cualesquiera f, g ∈ F(U) y λ, µ ∈ R(R–linealidad).

2. X(fg) = gXf + fXg, para cualesquiera f, g ∈ F(U).

36

Por esta razon, se dice que los campos diferenciables de vectores son deriva-ciones sobre el conjunto de las funciones diferenciables.

Por otra parte, si (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) es un s.l.c. en M , entonces, dado uncampo de vectores X en U , para cualquier p ∈ U se puede escribir

Xp =

m∑i=1

(Xp(xi))

(∂

∂xi

)p

,

es decir,

X =

m∑i=1

fi∂

∂xi,

para cierta funciones fi : U −→ R, donde fi = Xxi, para todo i = 1, . . . ,m.

Proposicion 5.1.1. Sea X un campo de vectores en U . Las condiciones si-guientes son equivalentes:

1. X ∈ X (U).

2. Si (V, ϕ = (x1, . . . , xm)) es un s.l.c. con V ⊆ U , entonces

X|V =

m∑i=1

(X|V xi)∂

∂xi

∣∣∣∣V

,

donde X|V xi ∈ F(V ), para todo i = 1, . . . ,m.

3. Para todo p ∈ U , existe (V, ϕ = (x1, . . . , xm)), s.l.c. entorno de p, conV ⊆ U , tal que

X|V =

m∑i=1

(X|V xi)∂

∂xi

∣∣∣∣V

,

donde X|V xi ∈ F(V ), para todo i = 1, . . . ,m.

En X (U) se pueden definir las siguientes operaciones:

1. Suma: si X,Y ∈ X (U), (X + Y )p = Xp + Yp, para todo p ∈ U . Se tiene queX + Y ∈ X (U).

2. Producto por numeros reales: si X ∈ X (U) y λ ∈ R, (λX)p = λXp, paratodo p ∈ U . Se tiene que λX ∈ X (U).

3. Producto por funciones diferenciables: si X ∈ X (U) y f ∈ F(U), (fX)p =f(p)Xp, para todo p ∈ U . Se tiene que fX ∈ X (U).

Proposicion 5.1.2. X (U) es un espacio vectorial real con la suma y el productode numeros reales y un F(U)–modulo con la suma y el producto por funcionesdiferenciables.

37

Proposicion 5.1.3. Si (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) es un s.l.c. en M , entonces elF(U)–modulo X (U) esta finitamente generado y tiene como base:{

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xm

}.

En X (U) puede definirse otra operacion interna, llamada Producto Corchete,mediante [X,Y ]f = X(Y f) − Y (Xf), para todos X,Y ∈ X (U) y f ∈ F(U).Esta operacion tiene las siguientes propiedades:

Proposicion 5.1.4. Dados X,Y, Z ∈ X (U) y f, g ∈ F(U), se verifica que:

1. [X + Y, Z] = [X,Z] + [Y,Z]; [X,Y + Z] = [X,Y ] + [X,Z].

2. [X,Y ] = −[Y,X] (anticonmutatividad).

3. [X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (Identidad de Jacobi).

4. [fX, gY ] = fg[X,Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X.

Corolario 5.1.1. X (U) con las operaciones suma, producto por escalares (nu-meros reales, que realmente son casos particulares de funciones diferenciables,las funciones constantes) y producto corchete es un Algebra de Lie real.

Teorema 5.1.1. (Lema de Extension de Campos Diferenciables). SeaX ∈ X (U) y V ⊇ U otro abierto. Entonces, dado cualquier p ∈ U , existenX ∈ X (V ) y W abierto con p ∈W ⊆ U tales que Xq = Xq, para todo q ∈W yX = 0 en V − U .

5.2 Campos f–relacionados

Sean M y N dos variedades diferenciables, f ∈ F(M,N) y U ⊆ M unabierto. Se podrıa pensar en definir un campo de vectores Y , imagen de Xpor f , escribiendo Yf(p) = f∗pXp ∈ Tf(p)(N). Esto no es siempre posible pordiferentes razones. En primer lugar, f(U) no tiene por que ser abierto. Ademas,si f no es inyectiva, puede haber puntos de N que tengan asignados mas deun vector. En efecto, si f(p) = f(q), siendo p 6= q, entonces, en general,Yf(p) = f∗pXp 6= f∗qXq = Yf(q) = Yf(p). En todo caso, aunque f(U) sea abiertoy f sea inyectiva, puede suceder que el campo de vectores Y no sea diferenciable.

Lo que se va a hacer es considerar campos de vectores en N que sean “ima-gen” de un campo diferenciable en M y a ambos se llamaran f–relacionados.

Definicion 5.2.1. Sean M y N dos variedades diferenciables, f ∈ F(M,N) yX ∈ X (M) e Y ∈ X (N) dos campos. Se dice que X e Y estan f–relacionados

si f∗pXp = Yf(p), para cualquier p ∈M y se escribe Xf∼ Y .

Proposicion 5.2.1. Dados X1, X2 ∈ X (M), Y1, Y2 ∈ X (N), f ∈ F(M,N) yg ∈ F(N), se verifican las siguientes propiedades:

38

1. Si X1f∼ Y1 y X2

f∼ Y2, entonces, para cualesquiera λ, µ ∈ R, λX1 + µX2f∼

λY1 + µY2.

2. Si X1f∼ Y1 y X2

f∼ Y2, entonces [X1, X2]f∼ [Y1, Y2].

3. Si X1f∼ Y1, entonces (g ◦ f)X1

f∼ gY1.

Corolario 5.2.1. Dada f ∈ F(M,N), el conjunto de los campos diferencia-bles en N que estan f–relacionados con algun campo diferenciable de M es unsubalgebra de Lie de X (N).

En el caso de que f ∈ F(M,N) sea un difeomorfismo, se puede definir unaaplicacion f∗ : X (M) −→ X (N), mediante (f∗X)q = f∗f−1(q)Xf−1(q), para todoq ∈ N . Puede comprobarse que f∗ esta bien definida, es decir, que f∗X es uncampo diferenciable en N si X es un campo diferenciable en M . De hecho,(f∗X)g = X(g ◦ f) ◦ f−1, para toda g ∈ F(N). Ademas, f∗X es el unico campode N que esta f–relacionado con el campo X de M .

Proposicion 5.2.2. Si f ∈ F(M,N) es un difeomorfismo, entonces f∗ es unisomorfismo de algebras de Lie.

Nota 5.2.1. Cabe preguntarse si todo automorfismo de X (M) proviene, me-diante el proceso anterior, de una transformacion (difeomorfismo) de M . Estees un problema abierto.

5.3 Ejercicios.

1. Dados una variedad diferenciable M , un punto p ∈M y un vector tangenteu ∈ Tp(M), probar que existe un campo X ∈ X (M) tal que Xp = u.

2. Si (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) es un s.l.c., probar que

[∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0, para todos

i, j = 1, . . . ,m.

3. Dados (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. y X,Y ∈ X (U) tales que

X =

m∑i=1

Xi ∂

∂xi, Y =

m∑j=1

Y j∂

∂xj,

calcular [X,Y ] en funcion de la base

{∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xm

}.

39

Leccion 6

Campos de TensoresCovariantes Diferenciablessobre una VariedadDiferenciable

6.1 Campos de Tensores Covariantes Diferen-ciables.

Definicion 6.1.1. Dada una variedad diferenciable M y un abierto U ⊆ M ,un Campo de Tensores r–Covariantes Diferenciable sobre U es una apli-cacion r–lineal del F(U)–modulo X (U) en F(U), es decir, una aplicacion

T : X (U)×r)· · · ×X (U) −→ F(U)

r–lineal (con escalares las funciones diferenciables sobre U). Al conjunto de loscampos de tensores r–covariantes diferenciables sobre U se denota por Tr(U).Se conviene que T0(U) = F(U).

Proposicion 6.1.1. Sean T ∈ Tr(U) y X1, . . . , Xr ∈ X (U). Se verifican:

1. Si V ⊆ U es un abierto e i ∈ {1, . . . , r} es tal que Xi|V = 0, entoncesT (X1, . . . , Xr) = 0 en V .

2. Si p ∈ U e i ∈ {1, . . . , r} es tal que Xi(p) = 0, entonces T (X1, . . . , Xr)(p) =0.

3. Si Y1, . . . , Yr ∈ X (U) verifican que Yi(p) = Xi(p), para cierto p ∈ U y paracualquier i ∈ {1, . . . , r}, entonces T (X1, . . . , Xr)(p) = T (Y1, . . . , Yr)(p).

40

Nota 6.1.1. El nombre de campo de tensores r–covariantes proviene del hechode que un tal objeto puede tambien interpretarse como una aplicacion T quea cada punto p ∈ U le hace corresponder un tensor r veces covariante1 sobreTp(M), es decir, una aplicacion

Tp : Tp(M)×r)· · · ×Tp(M) −→ R

r veces lineal (con escalares los numeros reales), definida por

Tp(u1, . . . , ur) = T (X1, . . . , Xr)(p), u1, . . . ur ∈ Tp(M),

donde X1, . . . , Xr son campos de vectores diferenciables sobre U tales queXi(p) = ui, i = 1, . . . , r (por la proposicion anterior, se sabe que el valor deT (X1, . . . , Xr)(p) no depende de la eleccion de los campos X1, . . . , Xr en lascondiciones requeridas). En este sentido, puede hablarse de restricciones de cam-pos de tensores covariantes diferenciables a abiertos. En efecto, sea T ∈ Tr(U)y V ⊆ U un abierto. Se define T |V por

T |V (X1, . . . Xr)(p) = Tp(X1(p), . . . , Xr(p)) = T (X1, . . . , Xr)(p),

para cualquier p ∈ V y X1, . . . Xr ∈ X (V ), siendo X1, . . . , Xr campos de vec-tores diferenciables en U , tales que Xi = Xi en un cierto entorno de p con-tenido en V , i = 1, . . . , r. Por otra parte, es inmediato observar que, dadosT, S ∈ Tr(U), T = S si y solo si Tp = Sp para todo p ∈ U .

Proposicion 6.1.2. Sea M una variedad diferenciable y U ⊆ M un abierto.Se verifican:

1. Si T ∈ Tr(U) y V ⊆ U es un abierto, entonces T |V ∈ Tr(V ).

2. SiU =

⋃i∈I

Ui,

con Ui abierto para todo i ∈ I y T es una aplicacion r–lineal de X (U)×r)· · ·

×X (U) en el conjunto de las funciones de U en R, tal que T |Ui∈ Tr(Ui),

para cualquier i ∈ I, entonces T ∈ Tr(U).

Ejemplo 6.1.1. Sea f ∈ F(U). Se define df : X (U) −→ F(U) por (df)X =Xf . Es facil comprobar que df ∈ T1(U) y se lee diferencial de f . El nombrey la notacion se justifican en el hecho de que, segun la nota anterior, si p ∈ U ,se tiene que (df)p coincide con la diferencial de la funcion f en p, pues, dadou ∈ Tp(M), (df)pu = ((df)X)(p) = (Xf)(p) = Xpf = u(f), para cualquiercampo X ∈ X (U) tal que Xp = u, efectivamente.

En Tr(U) se pueden definir las siguientes operaciones de modo natural:suma, producto por numeros reales y producto por funciones diferenciables.

1Para obtener mas informacion sobre tensores puede consultarse el Apendice B del temario.

41

Se prueba sin dificultad que, dados T, S ∈ Tr(U), λ ∈ R y f ∈ F(U), se tieneque T + S, λT, fT ∈ Tr(U). Ademas, dados T ∈ Tr(U) y S ∈ Ts(U), se definela operacion Producto Tensorial de T y S, denotada por T ⊗ S, mediante:

T ⊗ S : X (U)×r+s)· · · ×X (U) −→ F(U) :

(X1, . . . , Xr+s) 7→ (T ⊗ S)(X1, . . . , Xr+s) = T (X1, . . . , Xr)S(Xr+1, . . . , Xr+s).

Se tiene que T ⊗ S ∈ Tr+s(U).En estas condiciones, se verifica que, si r > 0, Tr(U) con la suma y el

producto por numeros reales es un espacio vectorial real, con la suma y elproducto por funciones diferenciables es un F(U)–modulo y que

T (U) =∞⊕r=0

Tr(U)

es un algebra asociativa, no conmutativa y con elemento unidad, llamada AlgebraTensorial de U .

Proposicion 6.1.3. Sea (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. en M . Entonces, lafamilia

{dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxir/i1, . . . , ir = 1, . . . ,m}

es una base de Tr(U) como F(U)–modulo. Ademas, si T ∈ Tr(U), en funcionde esa base se tiene que:

T =

m∑i1,...,ir=1

T

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xir

)dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxir .

Definicion 6.1.2. Dada una variedad diferenciable M y un abierto U ⊆M , unCampo de Tensores r–Covariantes y 1–Contravariantes Diferenciablesobre U es una aplicacion r–lineal del F(U)–modulo X (U) en X (U), es decir,una aplicacion

T : X (U)×r)· · · ×X (U) −→ X (U)

r–lineal (con escalares las funciones diferenciables sobre U). Al conjunto de loscampos de tensores r–covariantes y 1–contravariantes diferenciables sobre U sedenota por T 1

r (U).

6.2 Formas Diferenciales.

Definicion 6.2.1. Dada una variedad diferenciable M y un abierto U ⊆ M ,una r–Forma Diferencial sobre U es un campo de tensores r–covariantesdiferenciable y alternado sobre U , es decir, una aplicacion

ω : X (U)×r)· · · ×X (U) −→ F(U)

42

r–lineal (con escalares las funciones diferenciables sobre U) alternada, esto es,verificando que

ω(X1, . . . , Xr) = ε(σ)ω(Xσ(1), . . . , Xσ(r)),

para cualquier σ ∈ Sr y X1, . . . , Xr ∈ X (U). Al conjunto de las r-formasdiferenciales sobre U se denota por Λr(U). Se conviene que Λ0(U) = F(U).

Nota 6.2.1. Es facil comprobar que Λr(U) es un subespacio vectorial y unsubmodulo de Tr(U). Ademas, Λ1(U) = T1(U).

Definicion 6.2.2. Dado T ∈ Tr(U), se llama Alternado de T a la r–formadiferencial Alt(T ) definida mediante

Alt(T )(X1, . . . , Xr) =1

r!

∑σ∈Sr

ε(σ)T (Xσ(1), . . . , Xσ(r)),

para cualesquiera X1, . . . , Xr ∈ X (U).

Ejercicio 6.2.1. Probar que, efectivamente, Alt(T ) ∈ Λr(U), para cualquierT ∈ Tr(U). Probar, ademas, que la aplicacion Alt : Tr(U) −→ Λr(U) es lineal(con escalares las funciones diferenciables sobre U) y que restringido a Λr(U) esla identidad.

Dadas ω ∈ Λr(U) y θ ∈ Λs(U), se define la operacion Producto Exterior deω y θ, denotada por ω ∧ θ, mediante

ω ∧ θ =(r + s)!

r!s!Alt(ω ⊗ θ),

es decir, si X1, . . . , Xr+s ∈ X (U):

(ω ∧ θ)(X1, . . . , Xr+s) =

=1

r!s!

∑σ∈Sr+s

ε(σ)ω(Xσ(1), . . . , Xσ(r))θ(Xσ(r+1), . . . , Xσ(r+s)).

Claramente, ω ∧ θ ∈ Λr+s(U). Ademas, razonando por induccion, se tieneque si ωi ∈ Λri(U), i = 1, . . . , k, entonces:

ω1 ∧ · · · ∧ ωk =(r1 + · · ·+ rk)|

r1! . . . rk!Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωk).

Proposicion 6.2.1. Sean ω ∈ Λr(U) y θ ∈ Λs(U). Entonces ω∧ θ = (−1)rsθ∧ω. En consecuencia, si r es impar, ω ∧ ω = 0.

Proposicion 6.2.2. Sean ω1, . . . , ωr ∈ Λ1(U). Entonces:

1. Para cualquier σ ∈ Sr, ω1 ∧ · · · ∧ ωr = ε(σ)ωσ(1) ∧ · · · ∧ ωσ(r).

43

2. Dados cualesquiera X1, . . . , Xr ∈ X (U):

(ω1 ∧ · · · ∧ ωr)(X1, . . . , Xr) = det(ωi(Xj)).

Proposicion 6.2.3. Sea (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. en M . Entonces, lafamilia

{dxi1 ∧ · · · ∧ dxir/1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ m}es una base de Λr(U) como F(U)–modulo. Ademas, si ω ∈ Λr(U), en funcionde esa base se tiene que:

ω =∑

1≤i1<···<ir≤m

ω

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xir

)dxi1 ∧ · · · ∧ dxir .

Corolario 6.2.1. Si r > m, entonces Λr(U) = {0}.Proposicion 6.2.4. Se verifica que

Λ(U) =

m⊕r=0

Λr(U)

con el producto exterior es un algebra asociativa, no conmutativa y con elementounidad.

6.3 Accion de Aplicaciones sobre los Campos deTensores.

Definicion 6.3.1. Sean M y N dos variedades diferenciables y f ∈ F(M,N).Dado T ∈ Tr(N), se define f∗T ∈ Tr(M) por f∗T = T ◦ f , si r = 0 yf∗T (X1, . . . , Xr)(p) = T (X1, . . . , Xr)(f(p)), si r > 0, donde p es un puntode M , X1, . . . , Xr ∈ X (M) y X1, . . . , Xr ∈ X (N) son tales que f∗pXi(p) =Xi(f(p)), para todo i = 1, . . . , r. De manera equivalente, se puede definir

(f∗T )p(u1, . . . , ur) = Tf(p)(f∗pu1, . . . , f∗pur),

para todo p ∈M y todos u1, . . . , ur ∈ Tp(M).

Esta definicion permite, al ser extendida por linealidad, obtener una apli-cacion f∗ : T (N) −→ T (M), asociada a f .

Proposicion 6.3.1. Dada f ∈ F(M,N), se verifican las siguientes propiedades:

1. f∗ : Tr(N) −→ Tr(M) es R–lineal, para todo r ≥ 0.

2. f∗(gT ) = (g ◦ f)f∗T , para cualquier T ∈ T (N) y cualquier g ∈ F(N).

3. f∗(T ⊗ S) = f∗T ⊗ f∗S, para cualesquiera T, S ∈ T (N).

4. f∗(Alt(T )) = Alt(f∗T ), para cualquier T ∈ T (N).

5. f∗(ω ∧ θ) = f∗ω ∧ f∗θ, para cualesquiera ω, θ ∈ Λ(N).

6. f∗(dg) = d(f∗g), para cualquier g ∈ F(N).

44

6.4 Ejercicios.

1. Probar que la diferencial de cualquier funcion constante es nula.

2. Sea (U,ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c. y f ∈ F(U). Probar que:

df =

m∑i=1

∂f

∂xidxi.

3. Dadas ω ∈ Λr(U) y θ ∈ Λs(U), probar que (ω ∧ θ)p = ωp ∧ θp (para ladefinicion del segundo producto exterior, consultese el Apendice C).

4. Si M y N son dos variedades diferenciables, f ∈ F(M,N), X1, . . . , Xr ∈X (M), Y1, . . . , Yr ∈ X (N), tales que Xi

f∼ Yi para todo i = 1, . . . , r yT ∈ Tr(N), probar que (f∗T )(X1, . . . , Xr) = T (Y1, . . . , Yr) ◦ f .

5. Si M y N son dos variedades diferenciables, f ∈ F(M,N) y T ∈ Tr(N),hallar la expresion local de f∗T .

6. Sean f ∈ F(M,N) y g ∈ F(N,P ) dos aplicaciones diferenciables. Probarque (g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗.

45

Apendice A.Teoremas de Extension

A.1 Lema de Extension de Funciones Diferencia-bles.

Lema 1. Sea M una variedad diferenciable y sea p ∈ U ⊆ M , con U entornoabierto de p. Entonces, existen un entorno abierto de p, V y una funciondiferenciable f ∈ F(M), tales que:

1. V ⊆ U ;

2. 0 ≤ f ≤ 1; f ≡ 1 en V ; f ≡ 0 en M − U .

Demostracion: Observese que basta probarlo en el caso de que U estecontenido en el dominio de una carta entorno de p. En efecto, si (Uα, ϕα) esuna tal carta, dado cualquier abierto U en las hipotesis, se prueba el Lema paraU ∩ Uα y se tendrıa V ⊆ U ∩ Uα ⊆ U , f ≡ 1 en V y f ≡ 0 en M − (U ∩ Uα) ⊇M − U .

Ahora, se puede suponer que la mencionada carta esta centrada en p. De-notese por (W,ϕ), ϕ(p) = 0. Sean (x1, . . . , xm) sus funciones coordenadas y seaa ∈ R, a > 0, tal que el cubo

Q = {(u1, . . . , um) ∈ Rm/|ui| ≤ a}

este contenido en ϕ(U). Sea b ∈ R con a > b > 0. Considerense los abiertos deU:

Up = {q ∈ U/|xi(q)| < a, 1 ≤ i ≤ m},Vp = {q ∈ U/|xi(q)| < b, 1 ≤ i ≤ m}.

Entonces, Up y Vp son entornos abiertos de p, verificando V p ⊆ Up y Up ⊆ U .Sea g : R −→ R una funcion C∞ con las propiedades: g(t) = 1 para |t| ≤ b,0 < g(t) < 1 para b < |t| < a y g(t) = 0 para |t| ≥ a. Tal funcion se puededefinir de la siguiente forma:

En primer lugar, sea k : R −→ R definida por

k(t) =

{e−1/t2 , t > 0,0, t ≤ 0,

46

que es C∞. Sea ahora

h(t) =k(t)

k(t) + k(1− t),

que tambien es C∞ y que verifica: h(t) = 0 si t ≤ 0,0 < h(t) < 1 si 0 < t < 1,h(t) = 1 si t ≥ 1.

Finalmente, sea

g(t) = h(t+ a

a− b)h(−t+ a

a− b),

que es C∞ y cumple las condiciones requeridas (dibujar las graficas de k(t), h(t)y g(t)). A partir de ella, se define fp : M −→ R por:

fp(q) =

{g(x1(q)) . . . g(xm(q)) si q ∈ U,0 si q /∈ Up.

La funcion fp es diferenciable (¡ejercicio!), pues lo es en U , en M −Up (queson abiertos) y en la interseccion es nula, ya que si q ∈ U ∩ (M −Up), entoncesq /∈ Up, es decir, existe i tal que |xi(q)| ≥ a. Por tanto, g(xi(q)) = 0 y fp(q) = 0.

En estas condiciones, como Up ⊆ U , tomando V = Vp, fp es la buscada. Enefecto, fp ≡ 1 en V p. Ademas, 0 ≤ fp ≤ 1 en M , pues, junto con lo anterior setiene que 0 < fp < 1 en Up − V p y fp ≡ 0 en M − Up. Finalmente, fp ≡ 0 enM − U , ya que fp ≡ 0 en M − Up ⊇M − U . �

Teorema 1. (Lema de Extension de Funciones Diferenciables). Seah ∈ F(U), donde U es un abierto conteniendo a p ∈ M . Entonces, existen unentorno abierto V de p, con V ⊆ U y una funcion g ∈ F(M) tales que g ≡ hen V y g ≡ 0 en M − U .

Demostracion: Sea W un entorno abierto de p tal que W ⊆ U . Aplicandoel Lema 1 a W , se encuentran otro entorno V de p y una funcion diferenciablef de M cumpliendo las tesis de dicho Lema 1.

Ahora, sea g : M −→ R definida por:

g(q) =

{f(q)h(q) si q ∈ U,0 si q ∈M −W.

Para ver que g ∈ F(M) (¡ejercicio!) basta ver que esta bien definida enU ∩ (M −W ). Pero si q ∈ U −W , entonces q /∈W , esto es, q /∈W y, por tanto,f(q) = 0 y g(q) = 0.

Finalmente, si q ∈ V , entonces q ∈ V , luego f(q) = 1 y g(q) = h(q). �

47

A.2 Lema de Extension de Campos Diferencia-bles.

Lema 2. Sea K un compacto contenido en un abierto G de una variedad di-ferenciable M . Entonces, existe f ∈ F(M) tal que 0 ≤ f ≤ 1, f(K) ≡ 1 yf(M −G) ≡ 0.

Demostracion: Sea p ∈ K. Aplicando el Lema 1 de la seccion A.1, puestoque p ∈ G que es abierto, existen Vp, entorno abierto de p y fp ∈ F(M) talesque Vp ⊆ U , 0 ≤ fp ≤ 1, fp ≡ 1 en Vp y fp ≡ 0 en M − G. Por tanto, lafamilia {Vp/p ∈ K} es un recubrimiento por abiertos de K, que es compacto,luego puede extraerse un subrecubrimiento finito {Vp1 , . . . , Vpr}.

Sean fp1 , . . . , fpr ∈ F(M) las correspondientes funciones. Entonces, con-siderando f = 1− (1−fp1) · · · (1−fpr ), se puede comprobar que f es la funcionbuscada. �

Teorema 2. (Lema de Extension de Campos Diferenciables). Sea X ∈X (U) y V ⊇ U otro abierto. Entonces, dado cualquier p ∈ U , existen X ∈ X (V )y W abierto con p ∈ W ⊆ U tales que Xq = Xq, para todo q ∈ W y X = 0 enV − U .

Demostracion: Sea p ∈ U . Entonces, al ser M localmente compacta,existen abiertos W y G de clausura compacta tales que p ∈W ⊆W ⊆ G ⊆ G ⊆U ⊆ V y existe una funcion, en virtud del lema anterior, f ∈ F(V ) que vale 1en W y vale 0 en V − G. Sea ahora q ∈ V . Se define el campo de vectores Xpor:

Xq =

{f(q)Xq q ∈ U ;

0 q ∈ V −G.X esta bien definido, pues si q ∈ U ∩ (V − G), entonces q /∈ G y f(q) = 0.

Ademas, X ∈ X (V ), pues vale fX en U (con fX ∈ X (U)) y 0 (diferenciable)en V −G, siendo V = U ∪ (V −G). Finalmente, si q ∈W , se tiene que f(q) = 1,es decir, Xq = Xq y, como V − U ⊆ V −G, entonces X = 0 en V − U . �

A.3 Lema de Extension de Campos Diferenciablesde Tensores Covariantes.

Teorema 3. (Lema de Extension de Campos Diferenciables de Ten-sores Covariantes). Dados dos abiertos V ⊆ U ⊆M en una variedad diferen-ciable, si T ∈ Tr(V ), entonces, para cualquier p ∈ V existe un entorno abiertode p, Wp ⊆ V y existe S ∈ Tr(U) tales que S|Wp

= T |Wp. El mismo resultado

se tiene en Λr(V ).

Demostracion: Sean (U ′, ϕ = (x1, . . . , xm)) un s.l.c de U , con p ∈ U ′ ⊆ Vy T ′ = T |U ′ ∈ Tr(U ′). Entonces:

T ′ =

m∑i1,...,ir=1

fi1...irdxi1 ⊗ · · · ⊗ dxir .

48

Considerando funciones gi1...ir , h1, . . . , hm ∈ F(U) que coincidan con lasfunciones fi1...ir , x1, . . . , xm en un cierto entorno abierto de p, Wp ⊆ U ′ ⊆ V(que existen por el Lema de Extension de Funciones Diferenciables) y definiendoS como

S =

m∑i1,...,ir=1

gi1...irdhi1 ⊗ · · · ⊗ dhir ,

se tiene que:S|Wp

= T ′|Wp= T |U ′ |Wp

= T |Wp.

Para probar el resultado en Λr(U) basta cambiar los productos tensorialespor productos exteriores. �

49

Apendice B.Teorema de la FuncionImplıcita.

B.1 Teorema de la Funcion Implıcita.

Teorema 4. Sea f ∈ F(M,N), q ∈ N y P = f−1({q}) 6= ∅. Si f∗p es sobre,para todo p ∈ P , entonces P tiene estructura unica de variedad diferenciable dedimension m− n, tal que (P, i) es subvariedad regular de M , con i : P ↪→M lainclusion.

Demostracion: Sea (V ; y1, . . . , yn) una carta de N entorno de q. Si p ∈ P ,entonces p ∈ M y f(p) = q. Como f∗p es sobre, por el Corolario 2.1.5 delTeorema de la Funcion Inversa, existe

(U,ϕ = (y1 ◦ f, . . . , yn ◦ f, xn+1, . . . , xm))

carta local en M y se puede tomar f(U) ⊆ V .Considerese en P la topologıa relativa de M ,

TP = {G ∩ P/G ∈ TM}

y sea el abierto de P , U ∩ P . Se define:

ϕ : U ∩ P −→ Rm−n : z 7→ ϕ(z) = (xn+1(z), . . . , xm(z)).

Se tiene que ϕ = π ◦ ϕ|U∩P , donde π : Rm −→ Rm−n es la proyeccion dadapor π(u1, . . . , um) = (un+1, . . . , um). En estas condiciones, es facil probar que:

ϕ(U ∩ P ) = π(ϕ(U) ∩ {y1(q), . . . , yn(q)} ×Rm−n).

Como

π|{y1(q),...,yn(q)}×Rm−n : {y1(q), . . . , yn(q)} ×Rm−n −→ Rm−n

es un homeomorfismo, se deduce que ϕ(U ∩P ) es un abierto de Rm−n. Ademas,se prueba sin dificultad que

ϕ : U ∩ P −→ ϕ(U ∩ P )

50

es biyectiva, continua (pues ϕ = π ◦ϕ) y de inversa continua (puesto que ϕ−1 =ϕ−1 ◦ j|ϕ(U∩P ), donde:

j : Rm−n −→ Rm : (un+1, . . . , um) 7→ (y1(q), . . . , yn(q), un+1, . . . , um)).

Por tanto, (U ∩ P, ϕ) es una carta local en P entorno de p de dimensionm− n. Haciendo variar p en P , se tiene la familia de cartas {(Up ∩ P, ϕp)}p∈P ,cuyos dominios recubren a P . Con esta familia, P tiene estructura de variedaddiferenciable de dimension m− n. Para ello, basta probar que, dos a dos, estascartas estan relacionadas, pero eso es facil, ya que si P ∩Up ∩Up′ 6= ∅, entonces

ϕp′ ◦ ϕ−1p = π ◦ ϕp′ ◦ ϕp ◦ j|ϕp(Up∩Up′∩P )

es diferenciable, por ser composicion de diferenciables.Ahora, se prueba que la inclusion i : P ↪→ M es diferenciable. Ademas, su

diferencial, i∗p, es inyectiva, pues si ϕ = (zn+1, . . . , zm), entonces zk = xk ◦ i(k = n+ 1, . . . ,m) y

i∗p(∂

∂zk)p =

m∑j=1

(∂(xj ◦ i)∂zk

)p(∂

∂xj)p = (

∂

∂xk)p,

con lo que i∗p transforma bases en vectores linealmente independientes. Portanto, (P, i) es una subvariedad regular de M de dimension m− n.

Finalmente, se tiene la unicidad de la estructura, segun el teorema que diceque si un subconjunto de una variedad diferenciable tiene estructura de variedadcon la topologıa relativa tal que con la inclusion es una subvariedad, entoncesla estructura es unica. �

La demostracion del Teorema del Rango es similar. Puede consultarse en:J. M. Lee. Manifolds and Differential Geometry. Graduate Studies in Mathe-matics Vol. 107. American Mathematical Society, 2009.

51

Apendice C.Algebras Tensorial yExterior de un EspacioVectorial

C.1 Algebra Tensorial de un Espacio Vectorial.

En este apendice V denotara un espacio vectorial de dimension n sobre elcuerpo de los numeros reales.

Definicion 1. Dado r ∈ N, sea T 0r (V ) = {f : V r −→ R/f es r–lineal}. Los

elementos de T 0r (V ) se llaman Tensores Covariantes de Tipo (0, r).

Observese que T 01 (V ) = V ∗. Ademas, se tiene que la familia {T 0

r (V )/r ∈ N}es numerable y esta formada por espacios vectoriales reales, pues la suma y elproducto por un escalar de aplicaciones r– lineales es una aplicacion r–lineal.Ası, se puede considerar su suma directa,

∞∑r=0

T 0r (V ),

que se denomina Algebra de los Tensores Covariantes de V . A continua-cion, se va a justificar que, efectivamente, es un algebra. En efecto, en dichasuma infinita (recuerdese que sus elementos tienen solo un numero finito desumandos no nulos) esta definida de modo natural una suma y un producto pornumeros reales, que la convierten en un espacio vectorial real.

Definicion 2. Sean ωr ∈ T 0r (V ), ωs ∈ T 0

s (V ). Se llama Producto Tensorialde ωr y ωs, que se denota por ωr ⊗ ωs a un elemento de T 0

r+s(V ), que sera talque si

(v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vr+s) ∈ V r+s,entonces:

(ωr ⊗ ωs)(v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vr+s) = ωr(v1, . . . , vr)ωs(vr+1, . . . , vr+s).

52

En particular, T 00 (V ) = R y si α ∈ T 0

0 (V ), se tiene que α ⊗ ωr = α · ωr.Con esto, es posible definir el producto ⊗, llamado producto tensorial, en loselementos de

∑T 0r (V ), como:

(

∞∑r=0

ωr)⊗ (

∞∑s=0

ωs) =

∞∑r,s=0

ωr ⊗ ωs.

Proposicion 1. Se verifica que

∞∑r=0

T 0r (V )

con las operaciones (+, ·,⊗) es un algebra real, asociativa, no conmutativa y conelemento unidad.

Demostracion: Es una comprobacion engorrosa, pero facil. �

El siguiente paso consiste en buscar una base para T 0r (V ). Para ello, sean

{e1, . . . , en} una base de V y {θ1, . . . , θn} su base dual (base de V ∗ con θi(ej) =δij , ∀i, j = 1, . . . , n). Sean ahora i1, . . . , ir ∈ {1, . . . , n}. Entonces, el productotensorial θi1⊗· · ·⊗θir es un elemento de T 0

r (V ), precisamente es el que cumple:

(θi1 ⊗ · · · ⊗ θir )(v1, . . . , vr) = θi1(v1) · · · θir (vr).

En estas condiciones, se puede probar el siguiente resultado:

Proposicion 2. La familia

{θi1 ⊗ · · · ⊗ θir/i1, . . . , ir ∈ {1, . . . , n}}

es una base de T 0r (V ) y, por tanto, dimT 0

r (V ) = nr.

Demostracion: ¡Ejercicio! �

Observese, entonces, que∑∞r=0 T

0r (V ) es de dimension infinita.

Definicion 3. Sea r ∈ N. Entonces, a los elementos de T r0 (V ) = T 0r (V ∗) se le

llaman Tensores Contravariantes de Tipo (r, 0) y al espacio

∞∑r=1

T r0 (V )

se denomina Algebra de los Tensores Contravariantes de V .

En virtud de esta definicion, un numero real es un tensor covariante y nocontravariante. Ası,

∞∑r=1

T r0 (V )

53

es un algebra asociativa, no conmutativa y sin elemento unidad. Ademas,T 1

0 (V ) = T 01 (V ∗) = V . Por tanto, se puede considerar el producto tensorial

de dos vectores de V .Se obtiene una igualdad curiosa al considerar v1, . . . , vr ∈ V y ω1, . . . , ωr ∈

V ∗. Entonces, v1 ⊗ · · · ⊗ vr ∈ T r0 (V ) y ω1 ⊗ · · · ⊗ ωr ∈ T 0r (V ) y:

(v1 ⊗ · · · ⊗ vr)(ω1, . . . , ωr) = v1(ω1) . . . vr(ωr) =

= ω1(v1) . . . ωr(vr) = (ω1 ⊗ · · · ⊗ ωr)(v1, . . . , vr).

Igual que se hizo antes, si {e1, . . . en} es una base de V , se tiene que

{ei1 ⊗ · · · ⊗ eir/i1, . . . , ir ∈ {1, . . . , n}}

es una base de T r0 (V ) y si T ∈ T r0 (V ), su expresion en esa base es:

T =

n∑i1,...,ir=1

T (θi1 , . . . , θir )ei1 ⊗ · · · ⊗ eir .

Se va a completar este estudio con la introduccion de una nueva clase masgeneral de tensores:

Definicion 4. Sean r, s ∈ N. Entonces, los elementos de

T rs (V ) = {f : V s × V ∗r −→ R/f es (s+ r)–lineal}

se llaman Tensores Mixtos de Tipo (r, s). Ademas, al conjunto

T (V ) =∑r,s∈N

T rs (V )

se le denomina Algebra Tensorial de V .

Se define el producto tensorial en T (V ) como sigue. Si T ∈ T rs (V ) y S ∈ T r′s′ ,entonces T ⊗ S ∈ T r+r

′

s+s′ (V ) viene dado por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vs, vs+1, . . . , vs+s′ , ω1, . . . ωr, ωr+1, . . . , ωr+r

′) =

= T (v1, . . . , vs, ω1, . . . , ωr)S(vs+1, . . . , vs+s′ , ω

r+1, . . . , ωr+r′)

y se extiende a T (V ) por linealidad:

(∑r,s

T(r,s))⊗ (∑r′,s′

S(r′,s′)) =∑

r,s,r′,s′

T(r,s) ⊗ S(r′,s′).

Proposicion 3. T (V ) es un algebra asociativa, no conmutativa y con elementounidad.

54

Demostracion: Es una comprobacion engorrosa pero facil. �

Una base de T rs (V ) viene dada por el conjunto de los tensores

{ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ θj1 ⊗ · · · ⊗ θjs/i1, . . . , ir, j1, . . . , js ∈ {1, . . . , n}}

y, por tanto, dimT rs (V ) = nr+s. La expresion de T ∈ T rs (V ) en esta base es:

T =

n∑i1,...,ir,j1,...,js=1

T (ej1 , . . . , ejs , θi1 , . . . , θir )ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ θj1 ⊗ · · · ⊗ θjs .

A continuacion, se va a demostrar que las matrices pueden ser consideradascomo una clase de tensores.

Proposicion 4. T 1r (V ) es isomorfo al espacio de todas las aplicaciones r–li-

neales de V r en V , L(V r, V ).

Demostracion: Considerense las aplicaciones

ϕ : L(V r, V ) −→ T 1r (V ) : f 7→ ϕ(f)/ϕ(f)(v1, . . . , vr, ω) = ω(f(v1, . . . , vr))

y

ψ : T 1r (V ) −→ L(V r, V ) : T 7→ ψ(T )/ψ(T )(v1, . . . , vr) = T (v1, . . . , vr, •)

donde T (v1, . . . , vr, •) : V ∗ −→ R es lineal, es decir, ψ(T )(v1, . . . , vr) ∈ V ∗∗ =V . Para terminar, debe probarse (¡hacerlo!) que ϕ y ψ son inversas una de laotra y que ϕ es un homomorfismo (¿por que basta con esto?). �

Corolario 1.T 1

1 (V ) ' End(V ).

Ası, las matrices cuadradas de orden n pueden ser consideradas como ten-sores de tipo (1, 1). En este sentido, los tensores son una generalizacion de lasmatrices. Por otra parte, en las matrices cuadradas se llama traza a la sumade los elementos de la diagonal principal. Este concepto se generaliza en lostensores como sigue. Sean r, s ∈ N y T ∈ T rs (V ). Entonces, para 1 ≤ i ≤ r,1 ≤ j ≤ s, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 5. Se llama Contraccion (i, j) del tensor T al tensor

Cij(T ) ∈ T r−1s−1 (V ),

que actua como:Cij(T )(v1, . . . , vs−1, ω

1, . . . , ωr−1) =

=

n∑k=1

T (v1, . . . , vj−1, ek, vj , ...vs−1, ω1, . . . , ωi−1, θk, ωi, . . . , ωr−1).

55

Existen, por tanto, rs contracciones de un tensor del tipo (r, s). Sea, ahora,A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. Se puede considerar A ∈ T 1

1 (V ).Ası, solo existe una contraccion de A, C1

1 (A) ∈ T 00 (V ) = R,

C11 (A) =

n∑k=1

A(ek, θk) =

n∑k=1

θk(Aek) =

n∑k=1

θk(

n∑j=1

ajkej) =

n∑k=1

akk,

que es, efectivamente, la traza de A.Por ultimo, se va a introducir otro concepto que tambien es una generaliza-

cion de algo conocido. Se sabe que dado un homomorfismo entre dos espaciosvectoriales, f : V −→ W , existe un homomorfismo inducido entre los espa-cios duales f∗ : W ∗ −→ V ∗, denominado homomorfismo dual, definido porf∗(ω)v = ω(f(v)). Como el dual de un espacio vectorial es el espacio vectorialde los tensores de tipo (0, 1), se puede escribir f∗ : T 0

1 (W ) −→ T 01 (V ). Esto se

generaliza para cualquier r ∈ N:

Definicion 6. Si f ∈ Hom(V,W ), entonces f∗ : T 0r (W ) −→ T 0

r (V ), es elhomomorfismo tal que a T ∈ T 0

r (W ) le asigna el tensor f∗r (T ) ∈ T 0r (V ) definido

como:f∗r (T )(v1, . . . , vr) = T (f(v1), . . . , f(vr)).

La aplicacion f∗r se denomina Homomorfismo Inducido. En particular,f∗1 = f∗.

C.2 Algebra Exterior de un Espacio Vectorial.

Sean r ∈ N y Sr el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , r}. Siσ ∈ Sr, ε(σ) representara el signo de σ.

Definicion 7. Un tensor f ∈ T 0r (V ), se dira que es un Tensor Alternado si

se verificaf(v1, . . . , vr) = ε(σ)f(vσ(1), . . . , vσ(r)),

∀(v1, . . . , vr) ∈ V r y ∀σ ∈ Sr.

Los tensores alternados forman un subespacio vectorial de T 0r (V ) que se

denotara por Λr(V ). Claramente, Λ0(V ) = R. Utilizando la definicion anterior,tambien es obvio que Λ1(V ) = T 0

1 (V ) = V ∗, es decir, todo tensor covariante deorden uno es necesariamente alternado (¿por que?).

Definicion 8. Al espacio

Λ(V ) =

∞∑r=0

Λr(V )

se le llama Algebra Exterior de V .

56

Evidentemente, Λ(V ) es un espacio vectorial. A continuacion, se va a definiren el un producto que lo va a convertir en un algebra. Para ello, sera necesarioun nuevo concepto que se pasa a definir.

Definicion 9. Para r ∈ N, sea la aplicacion Altr : T 0r (V ) −→ Λr(V ), que

actua de la siguiente manera:

Altr(T )(v1, . . . , vr) =1

r!

∑σ∈Sr

ε(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(r)).

Altr(T ) se denomina Alternacion del Tensor T .

En estas condiciones, se tiene la siguiente proposicion, cuya demostracionqueda como ejercicio:

Proposicion 5. (i) La aplicacion Altr es, ∀r ∈ N, un homomorfismo de espa-cios vectoriales y restringido a Λr(V ) es la identidad.

(ii) Si Altr(T ) = 0, entonces, ∀S ∈ T 0s (V ), Altr+s(T ⊗ S) = 0.

De la (i), se deduce que

Λr(V ) ' T 0r (V )

Ker(Altr),

en virtud del Primer Teorema de Isomorfıa de espacios vectoriales.A partir de ahora y salvo en caso de confusion, se eliminara el subındice de

la notacion.Ahora, se va a definir el Producto Exterior de tensores covariantes alter-

nados. Igual que en el caso del producto tensorial, se hara en dos etapas. Enprimer lugar, si ω ∈ Λr(V ) y θ ∈ Λs(V ), el producto exterior de ω por θ sedenota por ω ∧ θ y es, por definicion, el elemento de Λr+s(V ), dado por:

ω ∧ θ =(r + s)!

r!s!Alt(ω ⊗ θ).

Utilizando la definicion de alternacion, se tiene que:

(ω ∧ θ)(v1, . . . , vr+s) =1

r!s!

∑σ∈Sr+s

ε(σ)ω(vσ(1), . . . , vσ(r))θ(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s)).

A continuacion, el producto de dos elementos genericos

∞∑r=0

ωr y

∞∑s=0

θs

57

de Λ(V ) se define a partir de lo anterior como:

(

∞∑r=0

ωr) ∧∞∑s=0

θs) =

∞∑r,s=0

ωr ∧ θs.

Es facil probar (¿por que?) que si ω ∈ Λr(V ) y θ ∈ Λs(V ), entonces ω ∧ θ =(−1)rsθ ∧ ω. Observese que si r o s es par, entonces ω ∧ θ = θ ∧ ω. En cambio,si r y s son impares, ω ∧ θ = −θ ∧ ω. En particular, si ω ∈ Λ2r+1, entoncesω ∧ ω = 0.

Proposicion 6. Λ(V ) con el producto exterior es un algebra asociativa, noconmutativa y con elemento unidad.

Demostracion: ¡Ejercicio!. �

Haciendo una prueba por induccion, se tiene la siguiente proposicion:

Proposicion 7. Si ωi ∈ Λri(V ), i = 1, . . . , k, entonces:

ω1 ∧ · · · ∧ ωk =(r1 + · · ·+ rk)!

r1! . . . rk!Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωk).

Otras propiedades del Algebra Exterior son las siguientes:

Proposicion 8. (i) Si ω1, . . . , ωr ∈ Λ1(V ) y σ ∈ Sr, entonces:

ω1 ∧ · · · ∧ ωr = ε(σ)ωσ(1) ∧ · · · ∧ ωσ(r).

(ii) Si v1, . . . , vr ∈ V y ω1, . . . ωr ∈ Λ1(V ), entonces:

(ω1 ∧ · · · ∧ ωr)(v1, . . . , vr) = det(ωi(vj)).

Demostracion: En primer lugar, para (i):

ω1 ∧ · · · ∧ ωr = −ω1 ∧ · · · ∧ ωi−1 ∧ ωi+1 ∧ ωi ∧ ωi+2 ∧ · · · ∧ ωr.

Por tanto,

ω1 ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωj ∧ · · · ∧ ωr = −ω1 ∧ · · · ∧ ωj ∧ · · · ∧ ωi ∧ · · · ∧ ωr

y, como toda permutacion es producto de transposiciones, se tiene (i). Para (ii),se observa que:

(ω1 ∧ · · · ∧ ωr)(v1, . . . , vr) = r!Alt(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωr)(v1, . . . , vr) =

= r!1

r!

∑σ∈Sr

ε(σ)ω1 ⊗ · · · ⊗ ωr(vσ(1), . . . , vσ(r)) =

=∑σ∈Sr

ε(σ)ω1(vσ(1)) . . . ωr(vσ(r)) = det(ωi(vj)). �

58

Proposicion 9. Sea {e1, . . . , en} una base de V y {θ1, . . . , θn} su base dual.Considerense i1, . . . in, enteros tales que 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n. Entonces, losproductos θi1 ∧ · · · ∧ θir , cuando i1, . . . , ir se eligen de todas las formas posiblesen las condiciones anteriores, son una base de Λr(V ).

Demostracion: En primer lugar se probara que son generadores. Si ω ∈Λr(V ), entonces ω ∈ T 0

r (V ) y, por tanto,

ω =

n∑i1,...,ir=1

ω(ei1 , . . . , eir )θi1 ⊗ · · · ⊗ θir ,

lo que implica que:

ω = Alt(ω) =

n∑i1,...,ir=1

ω(ei1 , . . . , eir )Alt(θi1 ⊗ · · · ⊗ θir ) =

=1

r!

n∑i1,...,ir=1

ω(ei1 , . . . , eir )θi1 ∧ · · · ∧ θir =

=1

r!

∑1≤i1<···<ir≤n

ai1...irθi1 ∧ · · · ∧ θir .

Ademas, son independientes. En efecto, si∑1≤i1<···<ir≤n

λi1...irθi1 ∧ · · · ∧ θir = 0,

segun la proposicion anterior se tiene que

θi1 ∧ · · · ∧ θir (ej1 , . . . , ejr ) =

{0 si {i1, . . . , ir} 6= {j1, . . . , jr},ε(σ) si {i1, . . . , ir} = {j1, . . . , jr},

donde σ es la permutacion ik 7→ jk, k = 1, . . . , r. Por tanto:

λj1...jr = 0,∀j1, . . . , jr/1 ≤ j1 < · · · < jr ≤ n. �

Corolario 2. Sea r ∈ N.

(i) Si r > n, entonces Λr(V ) = {0}.

(ii) Si r ≤ n, entonces dim(Λr(V )) =(nr

).

Demostracion: Si r > n, todo elemento de la base es nulo, pues en todoproducto de la forma θi1∧· · ·∧θir hay elementos repetidos, con lo que el productoexterior es nulo. El caso r ≤ n se deduce directamente de la proposicion anterior(¿por que?). �

Como consecuencia del corolario anterior, tenemos que Λ(V ) es suma directade un numero finito de espacios vectoriales,

Λ(V ) = R⊕ V ∗ ⊕ Λ2(V )⊕ · · · ⊕ Λn(V ),

lo que implica que:

dim(Λ(V )) =

(n

0

)+

(n

1

)+ · · ·+

(n

n

)= (1 + 1)n = 2n.

59