RESURSĂ EDUCAŢIONALĂ DESCHISĂ

Denumire: Bacalaureatul pe înțelesul tuturor Autor: Stroie Manuela-Doina

Unitatea de învăţământ: Colegiul Tehnic Balș Disciplina: Matematică

Clasa: XII Scopul materialului propus: didactic (de utilizat la clasă cu elevii)

1

BACALAUREATUL PE ÎNȚELESUL

TUTUROR

(GHID DE PREGĂTIRE)

PROF. MANUELA –DOINA STROIE

COLEGIUL TEHNIC BALȘ, OLT

2

Ecuaţii, inecuaţii, sisteme

Rezolvarea ecuaţiei de gradul I

– separam termenii ce conţin necunoscuta x

de termenii liberi (la trecerea dintr-o parte în

alta a egalităţii se aplică regula schimbării

semnului)

Rezolvarea ecuaţiei de gradul II

– trecem toţi termenii (termenii ce conţin

necunoscuta x şi termenii liberi) intr-o parte a

egalităţii

- stabilim coeficientii a, b, c , calculam

O ec de gradul II are

două rădăcini reale daca 0 ,

o radăcină reală daca 0 ,

nu are rădăcini reale dacă 0

Rezolvarea inecuaţiei de gradul I

– separam termenii ce conţin necunoscuta x

de termenii liberi (la trecerea dintr-o parte în

alta a egalităţii se aplică regula schimbării

semnului)

- dacă înmulţim ambii membri ai inecuaţiei

cu o valoare negativă sensul inegalităţii se

schimbă

Exemplu:

5

335135

xxx

Rezolvarea inecuaţiei de gradul II

– rezolvam ecuaţia atasata

– realizăm tabelul de semn

( 0 ,intre radacini semn contrar lui a,

0 , peste tot semnul lui a )

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii

- metoda substitutiei, exprimam din cea mai

simpla ecuaţie o necunoscuta in functie de

cealalta si inlocuim in cealalta ecuatie

Rezolvarea sistemelor de inecuaţii

- rezolvăm separat fiecare inecuaţie

- intersectăm soluţiile inecuaţiilor

1) Să se afle x pentru care 4234 x

Scădem 2 din fiecare membru: 236 x

Împărţim prin 3: 3

22 x

3

2,2x

2) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale

inecuaţia 0712

xx

Avem 07122 xxx

062 xx . Rezolvăm ecuaţia ataşată:

062 xx . 3,2,25 21 xx

Întocmim tabelul de semn

x 2 3

62 xx + + + + 0 - - - - - - 0 + + + +

Obţinem 3,2x

3) Rezolvaţi ecuaţia 6

7

3

2

2

1

x

x

x

x

Punem condiţii pentru ca numitorii să fie

diferiţi de 0: 3,2 xx

6

7

32

2312

xx

xxx

6

7

65

7822

2

xx

xx 0135 2 xx 01 x ,

5

132 x

4) Rezolvaţi sistemul

5

1322

yx

yx

Din a doua ecuaţie avem xy 5 , care

înlocuită în prima ecuaţie conduce la

13522 xx 012102 2 xx

21 x , 32 x . Pentru 21 x avem

3251 y , iar pentru 32 x , 22 y .

Soluţiile sistemului sunt 3;2 şi 2;3 .

3

Funcţii

xgfxgf compunerea funcţiilor

Intersecţia graficului funcţiei f cu axa Ox :

00, xfx

Intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy:

0,0 f

0000 , yxfGyxA f

Condiţia ca un punct să aparţină graficului

unei funcţii

xxfxf , funcţie pară

xxfxf , funcţie impară

Funcţia de gradul I

RRf : , baxxf

Graficul este o dreaptă

Funcţia este crescătoare pentru 0a şi

descrescătoare pentru 0a

Funcţia de gradul II

RRf : , cbxaxxf 2

Graficul este o parabolă

Dacă 0a parabola are ramurile în sus iar

dacă 0a parabola are ramurile în jos.

aa

bV

4,

2 vârful parabolei

1) Fie 25,: 2 xxfRRf . Sa se

calculeze 5434 ffff

Observăm că 05 f , deci întregul produs

este egal cu 0.

2) Fie RRf : , 232 xxxf .

Calculaţi 20 fff

220300 2f 20 fff

022 ff

3) Să se calculeze distanţa dintre punctele de

intersecţie ale graficului funcţiei RRf : ,

782 xxxf cu axa Ox.

Rezolvăm ecuaţia 0xf şi obţinem

7,1 21 xx . Punctele de intersecţie sunt

0,1A , 0,7B , deci 612 xxAB

4) Să se arate că punctul

2,

2009

2010A aparţine

graficului funcţiei RRf : ,

20082009 xxf

220082009

20102009

2009

2010

f , deci

fGA

5) Să se determine valorile reale nenule ale

lui m pentru care graficul funcţiei RRf : ,

112 xmmxxf este tangent axei Ox

fG este tangent la Ox 10 m

6) Să se determine Rm astfel încât

minimul funcţiei RRf : ,

22 mxxxf să fie egal cu 2

82 m .

4

8

4

2m

ayV

424

82

mm

4

Progresii

Progresii aritmetice:

Exemplu: 2,5,8,11,14...

Definiţie:

raa nn 1 ; r raţia

Formula termenului general:

rnaan 11

Numerele a, b, c sunt în progresie aritmetică

dacă 2

cab

Suma elementelor unei progresii aritmetice:

2

1 naaS n

n

Progresii geometrice:

Exemplu: 3,6,12,24,48...

Definiţie:

qbb nn 1 ; q raţia

Formula termenului general: 1

1

n

n qbb

Numerele a, b, c sunt în progresie geometrică

dacă acb

Suma elementelor unei progresii aritmetice:

1

11

q

qbS

n

n

Bine de ştiut !

O progresie este bine determinată dacă se

cunosc primul termen şi raţia.

În exerciţii, de regulă, din datele cunoscute se

află primul termen şi raţia, apoi folosind

formula termenului general se poate calcula

orice element.

1) Să se calculeze al patrulea termen al unei

progresii geometrice cu primul termen 27 şi

raţia 3

1

13

127

3

14

14

qbb

2) Să se calculeze suma elementelor mulţimii

13,,5,3,1 A

Avem o progresie aritmetică de raţie

213 r . Pentru a folosi formula sumei

termenilor avem nevoie de n, numărul de

termeni. 7113 1 nrnxxn

Obţinem

492

71317

S

3) Să se determine x ştiind că 3,4,3 xx

sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

Condiţia ca cele 3 numere să fie în progresie

aritmetică este

442

33

x

xx

4) Fie progresia aritmetică na în care

53 a şi 116 a . Calculaţi 9a .

5213 raa , 11516 raa

Rezolvăm sistemul cu necunoscutele 1a şi r.

Obţinem 2,11 ra .

17819 raa

5) Să se determine raţia progresiei geometrice

pentru care 3;3 121 bbb

Aflăm mai întâi 6312 bb şi apoi

21

2 b

bq

5

Trigonometrie

1cossin 22 xx (formula fundamentală)

0 30 45 60 90

sin 0

2

1

2

2

2

3

1

cos 1

2

3

2

2

2

1

0

xx cos90sin ; xx sin90cos

xx sin180sin ; xx cos180cos

bababa sincoscossinsin

bababa sincoscossinsin

bababa sinsincoscoscos

bababa sinsincoscoscos

aaa cossin22sin

aaa 22 sincos2cos 1cos2 2 a

a2sin21

x

xtgx

cos

sin ,

x

xctgx

sin

cos

1) Să se calculeze 50cos130sin 22

50sin50180sin130sin , deci

50cos130sin 22 150cos50sin 22

2) Să se calculeze 170cos10cos

170cos10180cos10cos , deci

170cos10cos 0170cos170cos

3) Să se demonstreze că expresia

xxxx cossin2cossin2 este constantă

pentru orice număr real x.

xxxx cossin2cossin2

xxxxsixx cossin2coscos2sin 22

1cossin 22 xx , Rx

4) Calculaţi 15cos

3045cos15cos

30sin45sin30cos45cos

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

5) Calculaţi 135tg

2

245sin45180sin135sin

2

245cos45180cos135cos

Obţinem 1135cos

135sin135

tg

6

Vectori

Adunarea vectorilor:

ACBCAB regula triunghiului

ACADAB regula paralelogramului

BAAB

CBACAB scăderea vectorilor

MBAMAB descompunerea unui vector

Prop. ABDCCDAB paralelogram

Prop. CDaABCDAB

Prop. A, B, C coliniare ACaAB

Prop. Dacă punctul M este mijlocul laturii

BC a triunghiului ABC atunci

ACABAM 2

1

Prop. Dacă 111 , yxA , 222 , yxA , atunci

jyyixxAA 121221

22 bavjbiav modulul

Fie jbiav 111 , jbiav 222

jbbiaavv 212121 suma

212121 bbaavv produsul scalar

21

2121 ,cos

vv

vvvv

unghiul a doi vectori

7

Combinatorică

Def. nn 321! n factorial

Prin convenţie 1!0

Def. !nPn permutări

Def. !!

!

knk

nC k

n

combinări

Condiţii de existenţă: knNkNn ,,

Def. !

!

kn

nAk

n

aranjamente

Condiţii de existenţă: knNkNn ,,

Formule

10 n

nn CC nCC n

nn 11

kn

n

k

n CC

formula combinărilor complementare

Bine de ştiut !

n

n

n

!1

!,

1

!2

!

nn

n

n

1) Calculaţi 2

6

3

5 4CA

Avem succesiv

!26!2

!64

!35

!54 2

6

3

5 CA

02

654543

!4!2

!64

!2

!5

2) Calculaţi 998

1000

2

1000 CC

Putem folosi formula combinărilor

complementare: 998

1000

21000

1000

2

1000 CCC

Obţinem 998

1000

2

1000 CC 098

1000

98

1000 CC

3) Rezolvaţi ecuaţia 282 nC

28

!2!2

!

n

n

28

!2

1 nn

05656 22 nnnn

7

2

22511

n nu convine

8

2

22511

n este soluţie

4) Rezolvaţi ecuaţia 121

1 nCn

Deoarece 11

1 nCn obţinem

11 2nn 022 nn 11 n ,

pentru care am obţine 1

11C , adică 1

0C şi nu

convine.

22 n este soluţie

8

Ecuaţii cu radicali

Cuvinte cheie: condiţii de existenţă, ridicăm

ambii membrii la ..., verificare

Bine de ştiut !

255,25522 dar 525 (valoarea

pozitivă )

Condiţii de existenţă:

pentru xE şi pentru orice radical de ordin

par: 0xE

pentru 3 xE şi pentru orice radical de ordin

impar nu se pun condiţii de existenţă

Dacă ridicăm la o putere pară ambii membri

ai unei ecuaţii pot apărea şi soluţii artificiale

de aceea soluţiile obţinute trebuie verificate în

forma iniţială a ecuaţiei

Ex. Ecuaţia 13x are soluţia 4x iar

ecuaţia 2213 x are soluţiile 41 x şi

22 x (nu verifică 13x )

1) Să se rezolve ecuaţia 512 x

Condiţia de existenţă: 012 x

Ridicăm la pătrat: 2512x 12x ,

care este soluţie deoarece verifică ecuaţia.

2) Să se rezolve ecuaţia xx 51

Condiţia de existenţă: 01x

Ridicăm la pătrat: 22

51 xx

0241110251 22 xxxxx cu

soluţiile 31 x şi 82 x

Verificăm în forma iniţială a ecuaţiei:

243513 31 x este

soluţie

398518 , fals, deci 82 x

nu este soluţie

3) Să se rezolve ecuaţia xxx 3 3 1

Pentru radicalul de ordinul 3 nu se pun

condiţii de existenţă.

Ridicăm la puterea a treia:

3333

3 3 11 xxxxxx

101 xx

9

Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţiile exponenţiale sunt ecuaţiile în

care necunoscuta apare la exponent.

Proprietate: xgxfaa xgxf

Cuvinte cheie: notăm, ecuaţia devine

Bine de ştiut ! 222 3;93 ttt xxx

xxx 33333 11

4813 xx

93x ecuaţia nu are soluţii

6log63 3 xx

1) Rezolvaţi ecuaţia 8

4

2

1 x

x

Avem 1884281 xxxx

2) Rezolvaţi ecuaţia 7323 1 xx

Ecuaţia devine 7377363 xxx

03313 0 xxx

3) Rezolvaţi ecuaţia 9

493 xx

Cu notaţia tx 3 ecuaţia devine

9

42tt 0499 2 tt3

11 t ,

3

42 t . Obţinem 1

3

13 1 xx

,

3

43 x nu are soluţie, deci singura soluţie

este 1x

4) Rezolvaţi ecuaţia 82 232 2

xx

323222 23232 2

xxxx

1;2

50532 21

2 xxxx .

5) Rezolvaţi ecuaţia xx 1012 12525

Avem succesiv xx 103122 55

xxxx 302455 103122

13

1226 xx

10

Geometrie

111 y,xM , 222 y,xM , 333 , yxM

Lungimea segmentului

2

12

2

1221 yyxxMM

Mijlocul segmentului

22

2121 yy,

xxM

Ecuatia dreptei 21MM : 0

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

Panta dreptei 0 cbyax este b

am .

2121 mmdd

12121 mmdd

Teorema sinusurilor:

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

unde R este raza cercului circumscris

Teorema cosinusului (Teorema

Pitagora generalizată):

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

Aria:

2

sin

2

sin

2

sin CabBacAbcABCS

1) Se consideră triunghiul ABC cu 5AB ,

6AC , 7BC . Să se calculeze Acos .

Abccba cos2222

Acos562567 222

Acos606149

5

1cos12cos60 AA

2) Să se calculeze aria triunghiului ABC

ştiind că 3,3 ACAB şi măsura

unghiului A este egală cu 120 .

4

9

2

2

333

2

sin

Abc

ABCS

Am folosit:

2

360sin60180sin120sin

3) Să se calculeze lungimea laturii AC a

triunghiului ABC ştiind că 2BC ,

30BACm şi 45ABCm

Din teorema sinusurilor

30sin

2

45sin

AC2AC

4) Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin

punctele 0,4A şi 2,0B .

0

120

104

1

:

yx

AB 0428 yx

042 yx

5) Fie triunghiul ABC cu 3,1A , 2,3 B ,

7,11C . Calculaţi lungimea medianei din B.

Fie M mijlocul lui AC.

Avem

2

73,

2

111M 5,6M

22

2536BM

13079 22

11

Logaritmi. Ecuaţii logaritmice

bacb c

a log

Condiţii de existenţă pentru balog :

0

1

0

b

a

a

ABBA aaa logloglog

B

ABA aaa logloglog

AnA a

n

a loglog

Notaţii:

nn lglog10 ; nne lnlog

Bine de ştiut !

01log a ; 1log aa ; nan

a log

1) Calculaţi 6log3log10log 555

6log30log6log3log10log 55555

15log5

2) Arătaţi că 110

9lg

3

2lg

2

1lg

10

9

4

3

3

2

2

1lg

10

9lg

3

2lg

2

1lg

11010lg1lg10

1lg

3) Rezolvaţi ecuaţia

35log2log 22 xx

Condiţii de existenţă

05

02

x

x.

Ecuaţia devine:

3

5

2log2

x

x

325

2

x

x

62408582 xxxxx

care satisface condiţiile de existenţă, deci este

soluţie

4) Să se rezolve ecuaţia

256lg1lg xx

Condiţii de existenţă

056

01

x

x.

Ecuaţia devine:

2561lg xx 22 105116 xx

095116 2 xx cu 51 x , 12

382 x

Numai 51 x satisface condiţiile de existenţă

12

Numere complexe

biaz ( forma algebrică)

za Re , zb Im

12 i

21212211 , bbaaibaiba ( egalitatea a doua numere complexe)

iba

b

ba

az

2222

1

iiiiii kkkk 3424144 ;1;;1 (puterile lui i)

2121 zzzz ; nn zz ;

2

1

2

1

z

z

z

z ( proprietăţi ale modulului)

Ecuaţia 02 cbxax , în cazul 0 , are soluţiile complexe a

ibx

22,1

13

EXERCIŢII DATE LA BACALAUREAT

( PARTEA I)

şi RĂSPUNSURILE ACESTORA

I. 1) Determinaţi numărul elementelor mulţimii 241 xZxA R:49

2) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a dreptei 12 xy cu parabola

132 2 xxy R: 1

2;3 , ;02

3) Rezolvaţi ecuaţia xx 1713 R: 0;1; 4

4) Fie 10,,2,1 A . Determinaţi numărul de submulţimi cu trei elemente ale mulţimii A,

submulţimi care conţin exact două numere impare. R: 5 10 50

5) Fie 2,1A , 4,3B . Scrieţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB R: 3 5 0x y

6) Ştiind că

2,0

x şi 3

12cos x , calculaţi xsin R:

1

3

I. 1) Determinaţi Rm ştiind că mulţimile 2A şi 042 mxxRxB sunt egale

R: 4

2) Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei RRf : , 232 xxxf

R:3 1

;2 4

3) Rezolvaţi în R inecuaţia 3log3 1

x R: 0;1

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând unul dintre numerele naturale de două cifre, acesta să fie

format doar din cifre impare R:25

90

5) Aflaţi Ra astfel încât vectorii jaiu 3 şi jaiav 32 sunt coliniari R:3

6) Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că 5 ACAB şi 6BC R:25

8

I.1. Arătaţi că 237log37log 22

2. Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei RRf : ,

452 xxxf cu axa Ox R:3

3. Rezolvaţi în R ecuaţia 433 1 xx R:0

4. Determinaţi rangul termenului care conţine 14x în dezvoltarea binomului

20

1

xx , 0x .

R: 5T

5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul 3,3A şi este paralelă cu dreapta d de ecuaţie

0123 yx R: 3 2 15 0x y

6. Determinaţi măsura unghiului C al triunghiului ABC, ştiind că 2BC , 2AB şi măsura

unghiului BAC este egală cu 45 R:30

14

I. 1) Calculaţi modulul numărului complex 21 i R:2

2) Fie RRgf :, , xxxf 22 , 2 xxg . Aflaţi coordonatele punctelor de intersecţie a

graficelor funcţiilor f şi g R: 1; 1 , 2,0

3) Rezolvaţi în R inecuaţia 42 1 x R: 1x

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând una dintre submulţimile cu trei elemente ale mulţimii

5,4,3,2,1 , elementele submulţimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice

R:4

10

5) Fie vectorii jiu 2 şi jiav . Determinaţi numărul real a pentru care 3 vu R:1 BAC

6) Calculaţi Acos în triunghiul ABC în care 7,5,4 BCACAB R:1

5

I. 1) Calculaţi partea reală a numărului complex 221 i R: 3

2) Fie 21, xx soluţiile ecuaţiei 032 axx , unde Ra . Calculaţi a pentru care

52121 xxxx

R:2

3) Se notează cu g inversa funcţiei bijective ,4,0:f , 32 xxf . Calculaţi 5g

R:1

4) Fie 5,4,3,2,1A . Calculaţi probabilitatea ca alegând una dintre submulţimile lui A, aceasta să

conţină exact trei elemente R:5

16

5) Fie 3,1A şi 12,7B . Determinaţi coordonatele punctului M, ştiind că ABAM3

1 R: 3;6M

BAC

6) Determinaţi

2,0

x , ştiind că 3cos

cos2sin

x

xx R:

4

I. 1) Determinaţi numărul real x pentru care numerele 7;22;1 x sunt termeni consecutivi ai unei

progresii aritmetice R:1

2) Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie cu axa Ox a grafcului funcţiei RRf : ,

342 xxxf R: 1 21, 3 2x x

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 242 xx R:0

4) Determinaţi câte numere naturale impare ab se pot forma, ştiind că 5,4,3,2, ba şi ba

R: 2 3 6

5) În dreptunghiul ABCD, cu 8AB şi 6BC , se consideră vectorul ADAOABv , unde

BDACO . Calculaţi lungimea vectorului v R:15

6) Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 6AB , 10BC şi 5

3sin C R:1

I 1. Determinaţi raţia progresiei geometrice nb cu termeni reali, ştiind că 11 b şi 274 b R:3

2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei RRf : , 862 xxxf

R: 3; 1

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia xx 12 93 R:0

15

4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulţimea numerelor naturale de

două cifre, acesta să fie pătrat perfect. R:6

90

5. Fie punctele A, B, C astfel încât jiAB 34 şi jiBC 52 . Determinaţi lungimea vectorului

AC R:10

6. Calculaţi sinusul unghiului A al triunghiului ABC în care 4AB , 5BC şi 5

4sin C R:1

I 1) Arătaţi că numărul 32132

n este natural R:4

2) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficului funcţiilor RRf : , 1 xxf

şi RRg : , 12 xxg R: 2;3

3) Rezolvaţi ecuaţia xx 2226 R: 3;2

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre acesta să aibă

suma cifrelor egală cu 2 R:3

900

5) Fie punctele 1,3,3,1 BA . Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. R: 0x y

6) Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A, ştiind că 8BC R:4

I.1) Determinaţi Rba , ştiind că iba este conjugatul numărului i

iz

1

1 R: 1,0 ba

2) Determinaţi vârful parabolei asociate funcţiei RRf : , 1242 xxxf R: 16,2

3) Rezolvaţi în R ecuaţia: 126log4log 3

2

3 xx R: 4; 2 nu convine

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de trei cifre acesta să fie divizibil cu 100

R: 1/100

5) Fie jiAB 34 şi jiBC 52 . Determinaţi lungimea vectorului BCACAB R: 20

6) Calculaţi lungimea laturii AC ştiind că 8BC , 4

A şi

12

7C R: 24

I.1) Arătaţi că 3 2 4 2 1 6 8i i

2) Arătaţi că parabola asociată funcţiei 2 2 1f x x x este tangentă la axa Ox

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 2 4 45 5x x R:2

4) Determinaţi câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3,5 şi 7 R:12

5) Fie 2;2 , 4; 2 , 4;2A B C Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin A şi este perpendiculară

pe dreapta BC R: 2 2 0x y

6) Arătaţi că 3

sin cos 04 4

I.1) Determinaţi partea reală a numărului complex 21 2 3z i i R: 2

2) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor 1f x x ,

3 5g x x

R: 2;1

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 2 23 3x x x R:0;3

4) Determinaţi câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele 0,1,2,3 R: 3 2 6

16

5) Fie 3 2AB i j , 1 4AC m i j Determinaţi m R ştiind că 2AC AB R:5

6) În triunghiul ABC avem 3; 3 2AB AC BC . Calculaţi cosC R:dreptunghic isoscel, 2

2

I.1) Fie 1z i . Calculaţi 2z R: 2i

2) Arătaţi că parabola asociată funcţiei 2 4 6f x x x nu intersectează axa Ox R: 8

3) Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţia 2 2log 2 3 log 1x x R:4

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre acesta să fie impar R:1

2

5) În triunghiul ABC punctele M,N,P sunt mijloacele laturilor AB,BC, respectiv AC. Arătaţi că

0AM BN CP

6) Ştiind că 3tga arătaţi că sin cos

2 3cos sin

a a

a a

I.1) Calculaţi suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice cu 1 26; 12a a R:36

2) Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei 2 2 4f x x x R: 1;3

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 3 1 3 3 0x x R:0;1

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să conţină cifra 1

R:18

90

5) Fie ABC un triunghi echilateral cu 2AB . Calculaţi lungimea vectorului AB BC R:2

6) Calculaţi aria triunghiului isoscel ABC ştiind că 2

A

, 4AC R:8

I.1) Determinaţi x R ştiind că numerele 2;4; 5x sunt termeni consecutivi ai unei progresii

geometrice R:3

2) Arătaţi că parabola asociată funcţiei 2 4f x x x este situată deasupra axei Ox

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 3 2 1 2x R: 3

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor

egală cu 7 R:7

90

5) Fie 1;4 , 1;2A B . Determinaţi lungimea vectorului OM , unde M este mijlocul segmentului

AB

R:3

6) Ştiind că 0;2

x

şi 3

cos2

x , calculaţi sin 2x R:3

6 2x

I.1) Fie 1z i . Calculaţi 2

1z R: 1

2) Fie 1 2,x x soluţiile ecuaţiei. 2 5 3 0x x . Calculaţi 1 2 1 23 4x x x x R:3

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 4 3 2 2 0x x R:0;1

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13

R:7

90

17

5) Fie 1;0A şi : 3 3d y x . Scrieţi ecuaţia paralelei duse prin A la dreapta d R: 3 3 0x y BAC

6) În triunghiul ABC avem 12;6

AB C

. Calculaţi raza cercului circumscris R:12

I.1) Fie 1 2 3z i , 2 1 3z i . Arătaţi că numărul 1 2z z este real R:3

2) Calculaţi 1f g , unde 1f x x , 3g x x R:2

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 4 64 0x R:3

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre acesta să fie divizibil cu 7

R:13

90

5) Fie 2;0A şi : 4 1d y x . Scrieţi ecuaţia paralelei duse prin A la dreapta d R: 4 8y x

6) Arătaţi că sin sin cos cos 1x x x x , x R R: cos 1x x

I.1) Determinaţi al treilea termen al unei progresii aritmetice ştiind că 1 22; 5a a R:8

2) Determinaţi a R ştiind că punctul 3;5A aparţine graficului funcţiei f x a x R:8

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 4 2 28 2x x R:2

4) Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să aibă produsul

cifrelor egal cu 0 R:9

90

5) Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin 1;1M şi are panta egală cu 2 R: 2 1 0x y

6) Fie triunghiul ABC cu 5, 12, 13AB AC BC . Arătaţi că 5

sin13

C R: 90A

I.1) Calculaţi raţia progresiei aritmetică cu 1 21; 2015a a R:2014

2) Determinaţi valoarea maximă a funcţiei : 1;4f R ; 1f x x R:5

3) Rezolvaţi în R ecuaţia 23 3log 8 log 9x x R: 9; 1

4) Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente din 1;2;3;4

R:24; 34A sau regula prod. 4 3 2

5) Fie punctele 3;3 , 6;3 , 4;0A B C Determinaţi coordonatele punctului D ştiind că ABCD este

paralelogram R: 1;0D

6) Fie 1; ;3 6

AB B C

. Calculaţi BC. R: ; 22

A BC

18

Clasa a IX-a ( M2) Varianta A Clasa a IX-a ( M 2)Varianta B

1) Rezolvaţi: 1) Rezolvaţi:

a) 25 xx

a) xxx 173253 b) 04524 2 xx

b) xx 32 2

c) xxx

5

13

3 c) xxx 2155234

d) 02139 2 xx d) xxx

3

3

2

2

2) 262 2 xxxf 2) 353 2 xxxf

a) Calculaţi xff a) Calculaţi xff

b) Calculaţi 3;4f b) Calculaţi 4;5f

c) Calculaţi 1;21 f c) Calculaţi 2;31 f

3) Calculaţi: 3) Calculaţi:

a) xx sin2

cos

a) 2cossin2sin xxx

b) xxx 2sincossin2 b) xx cos

2sin

Fiecare subpunct are câte 1punct și 1punct din oficiu.

19

Clasa a X-a varianta A

1) 3lg3lg56lg 2 xxx

2) 5

3

2

25625,0

x

x

3) 1sincos 22 xx

4) Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4 ?

5) 182

1

2 xx AA

6) Aflaţi termenul din mijloc al

12

3

1

xxxx .

7) Aflaţi domeniul maxim de definiţie pentru

3

2ln

xxxf

8) 6

5,55arcsin 2 xx

Clasa a X-a Varianta B

1) !1521 xAA x

x

x

x

2) 5lg2lg4lg5lg xx

3) Aflaţi domeniul maxim de definiţie pentru

x

xxf 3

2lg

4) 3

3342 xxarctg

5) 2

18

6

6

12825,032

x

x

x

x

6) 1cossin 22 xx

7) Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4,5 ?

8) Aflaţi termenul din mijloc al dezvoltării

16

3 4

2 1

xxx .

Subiectele 1-7 au câte 1 punct fiecare, subiectul 8 are 2 puncte și 1 punct din oficiu.

20

Bibliografie

1. Andronache M. Şerbănescu D., Perianu M., Ciupală C., Dumitrel F., Matematică pentru

examenul de Bacalaureat M1, Editura Art, Clubul Matematicienilor, 2015

2. Burtea Marius, Burtea Georgeta, Matematică pentru clasa a X-a, Editura Campion, 2004

3. Drăcea Dănuţ, Niculescu Liliana, Pătraşcu Ion, Seclăman Dan, Moţăţeanu Mihaela,

Exerciţii şi probleme de matematică, clasa a X-a, Editura Cardinal, Craiova, 2004

4. Ganga Mircea ,Matematică,manual pentru clasa aIX-a, Editura Mathpress,Ploieşti, 2000

5. Năstăsescu Constantin, Niţă Constantin,Chiţescu Ion, Mihalca Monica, Matematică, manual

pentru clasa a X-a , Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 2005

6. Nastasescu C., Nita C, Stanescu I. ,Matematica-Elemente de algebra superioara. Manual

pentru clasa a XI-a, E.D.P., Bucuresti 2000

7. Popescu I., Matematică M2, Subiecte rezolvate Bac 2012, Editura Carminis, Piteşti

8. Subiecte date la bacalaureat în perioada 2013- 2016