web viewsoftware geogebra ini adalah software dinamis yang dapat menyelesaiakan soal-soal dalam...
TRANSCRIPT
BAB IPENDAHULUAN
A. Latar BelakangDalam makalah ini kami akan mencoba untuk menjelaskan
tentang software Geogebra dan aplikasinya dalam penyelesaian soal-soal matematika. Software Geogebra ini adalah software dinamis yang dapat menyelesaiakan soal-soal dalam pembelajaran matematika. Software ini dikembangkan oleh Markus Hohenwarter di Universitas Florida.
Geogebra ini melengkapi berbagai program komputer untuk pembelajaran aljabar yang sudah ada seperti Derive, Maple, Mupad, maupun program komputer untuk pembelajaran gemetri seperti Geometry’s sketchpad atau CABRI. Menurut Hohenwarter (2008), bila program-program komputer tersebut digunakan secara spesifik untuk pembelajaran geometri sekaligus aljabar secara simultan.
Diharapkan dari software Geogebra ini dapat memudahkan para siswa dan guru dalam penyelesaian soal-soal matematika, software ini pun berguna untuk mempersingkat waktu dalam penyelesaian soal-soal matematika. Selain itu software ini dapat menyelesaikan grafik secara cepat, dan akurat. Software ini lebih khusus menyelesaikan pembelajaran matematika yang berhubungan dengan geometri dan aljabar.
Karena biasanya, para siswa khususnya mengalami kesulitan dalam penyelesaian soal-soal matematika, terutama dalam soal-soal matematika yang berhubungan dengan geometri dan aljabar. Terkadang siswa kurang teliti dalam penyelesaian soal-soal
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 1
geometri dan aljabar khususnya. Selain itu dalam penyelesaian geometri siswa dituntut untuk memiliki imajinasi yang lebih tinggi untuk penyelesaian soal-soal geometri. Selain itu juga, ketika siswa mempelajari konsep turunan, siswa mengalami kesulitan dalam penyelesaiannya, karena siswa kurang menyadari adanya garis potong yang berubah menjadi garis singgung. Dan jika pada kertas, siswa tidak mampu memvisualisasikan apa yang akan terjadi, siswa juga tidak bisa leluasa untuk bereksperimen secara bebas dan luas dalam banyak hal untuk menemukan solusi sendiri terhadap suatu masalah.
Untuk memudahkan siswa dalam penyelesaian soal-soal dan permasalahan dalam matematika, software ini pun bisa dipergunakan untuk penyelesaian masalah itu. Karena aplikasi Geogebra ini memiliki banyak manfaat, diantaranya adalah :
1. Dapat menghasilkan lukisan-lukisan geometri dengan cepat dan teliti
dibandingkan dengan menggunakan pensil, penggaris, atau jangka.
2. Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi (dragging) pada
program GeoGebra dapat memberikan pengalaman visual yang lebih jelas
kepada siswa dalam memahami konsep geometri.
3. Dapat dimanfaatkan sebagai balikan/evaluasi untuk memastikan bahwa
lukisan yang telah dibuat benar.
4. Mempermudah guru/siswa untuk menyelidiki atau menunjukkan sifat-sifat
yang berlaku pada suatu objek geometri.
Dalam makalah ini kami akan mencoba menjelaskan materi tentang “Posisi Garis Terhadap Lingkaran Menggunakan Software Geogebra”. Karena faktanya, kebanyakan siswa mengalami
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 2
kesulitan dalam menentukan posisi garis yang menyinggung terhadap lingkaran, memotong terhadap lingkaran, atau tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.
Dengan menggunaan Geogebra ini, diharapkan dapat membantu siswa dalam membuktikan hasil perhitungan yang dilakukan secara manual dengan software geogebra ini tentang posisi garis yang menyinggung terhadap lingkaran, memotong terhadap lingkaran, atau tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.
BAB II
KAJIAN TEORITIS
A. Pengertian Belajar
Belajar dapat diartikan sebagai suatu proses yang dilakukan oleh individu
dengan sumber belajar yang bertujuan untuk memperoleh perubahan yang bisa
berupa pengetahuan keterampilan dan sikap.
Untuk melengkapi pengertian mengenai makna belajar, Sardiman (2004:
24-25) mengemukakan beberapa prinsip yang berkaitan dengan belajar yaitu:
a. Belajar akan lebih mantap dan efektif, bila didorong dengan motivasi,terutama
motivasi dari dalam (intrinsic motivation), lain halnya belajar dengan rasa
takut atau dibarengi dengan rasa tertekan atau menderita.
b. Belajar melalui praktek atau mengalami secara langsung akan lebih aktif
mampu membina sikap, keterampilan, cara berpikir kritis dan lain-lain, bila
dibandingkan dengan hafalan saja.
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 3
c. Perkembangan pengalaman anak didik akan banyak mempengaruhi
kemaampuan belajar yang bersangkutan.
d. Bahan pelajaran yang bermakna/berarti, lebih mudah dan menarik untuk
dipelajari, daripada bahan yang kurang bermakna.
e. Belajar sedapat mungkin diubah ke dalam bentuk aneka tugas, sehingga anak-
anak melakukan dialog dalam dirinya atau mengalami sendiri.
Menurut Ngalim Purwanto (1990: 102) faktor-faktor yang mempengaruhi
belajar terdiri atas faktor individual dan faktor sosial. Faktor yang ada pada diri
organisme itu sendiri (faktor individual) antara lain faktor
kematangan/pertumbuhan, kecerdasan, latihan, motivasi dan faktor pribadi.
Sedangkan faktor yang ada di luar diri organisme itu sendiri (faktor sosial)
meliputi faktor keluarga/keadaan rumah tangga, guru dan cara mengajarnya, alat-
alat yang digunakan dalam belajar mengajar, lingkungan dan kesempatan yang
tersedia dan motivasi sosial.
B. Media Pembelajaran
Sesuatu dapat dikatakan sebagai media pendidikan atau pembelajaran
apabila media tersebut digunakan untuk menyalurkan atau menyampaikan pesan
dengan tujuan-tujuan pendidikan dan pembelajaran (John D. Latuheru, 1988: 13).
Jadi media pembelajaran merupakan segala alat bantu yang digunakan dalam
kegiatan belajar mengajar dengan maksud untuk menyampaikan pesan
pembelajaran kepada peserta didik.
Secara garis besar media pembelajaran dapat dikategorikan menjadi 3,
yaitu media visual, media audio dan media audio visual.Sebagaimana yang
dikemukakan oleh Brown (Sardiman, 1987: 103)bahwa media yang digunakan
dengan baik adalah media belajar yangdapat mempengaruhi keaktifan program
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 4
instruksional. Menurut ErmanSuherman dkk (2003: 238) beberapa media yang
dikenal dalampembelajaran antara lain:
a. Media non-project seperti fotografi, diagram dan model-model.
b. Media project seperti slide filmstrip, tansparansi, komputer proyektor.
c. Media dengar seperti kaset, CD.
d. Media gerak seperti video dan film
e. Media yang digunakan untuk belajar jarak jauh seperti radio televise dan
internet.
Heinich, Molenda dan Russel (Elida Prayitno, 1989: 118-119)
mengemukakan keuntungan keuntungan mempergunakan mediapembelajaran
dalam membelajarkan siswa, yaitu:
a. Media pembelajaran dapat mengkonkritkan ide-ide atau gagasan yang bersifat
konseptual, sehingga mengurangi kesalahpahaman siswa dalam
mempelajarinya.
b. Media pembelajaran dapat menimbulkan minat siswa untuk mempelajari
materi pelajaran.
c. Media pembelajaran memberikan pengalaman-pengalaman nyata yang
merangsang aktifitas diri sendiri untuk belajar. Siswa tergugah untuk
melakukan kegiatan belajar karena dorongan dalam diri sendiri (motivasi
intrinsik).
d. Media pembelajaran dapat mengembangkan jalan pikiran yang berkelanjutan.
e. Media pembelajaran menyediakan pengalaman-pengalaman yang tidak mudah
didapat melalui materi-materi yang lain dan menjadikan proses belajar
mendalam dan beragam.
Ahli psikologi Jerone Bruner (Sardiman 2004: 46) mengemukakan bahwa
jika dalam belajar siswa dapat diberi pengalaman langsung (melalui media,
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 5
demonstrasi, field trip, dramatisasi), maka
situasi pembelajarannya itu akan
meningkatkan kegairahan dan minat siswa
tersebut dalam belajar. Fleming dan Levie
menyimpulkan dari berbagai penelitian
yang dilakukan oleh Bruner bahwa media
pembelajaran memberikan pengalaman
konkrit yang memudahkan siswa belajar,
yaitu dalam mencapai penguasaan,
mengingat dan memahami simbol-simbol yang abstrak.
Taraf berpikir manusia mengikuti berbagai tahap perkembangan dimulai
dari berpikir konkret menuju ke berpikir abstrak, dimulai dari berpikir sederhana
menuju ke berpikir kompleks. Penggunanan media pembelajaran erat kaitannya
dengan tahapan berpikir tersebut sebab melalui media pembelajaran hal-hal yang
abstrak dapat dikonkretkan, dan hal-hal yang kompleks dapat disederhanakan
(Nana Sudjana dan Ahmad Rivai, 1991: 3)
Edgar Dale (W.Gulo, 2002: 142) mengemukakan pengalamannya tentang
penggunaan berbagai berbagai media komunikasi dalam informasi yang ia
simpulkan dalam apa yang dikenal dengan Kerucut Dale sebagai berikut:
Ket :
1. Lambang verbal
2. Lambang visual
3. Radio, recording
4. Gambar, foto
5. Film
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 6
6. Televisi
7. Pameran
8. Widya wisata
9. Demontarasi
10. Drama
11. Penelitian, eksperimen
12. Pengalaman langsung
Menurutnya pengalaman, pengetahuan, dan pemahaman terhadap suatu
konsep berbeda-beda menurut media yang digunakan untuk menyampaikan
konsep itu. Konsep yang diinformasikan melalui lambing verbal mempunyai daya
serap paling rendah dibandingkan apabila disampaikan dengan lambang visual,
film dan sebagainya. Media yang terletak pada alas kerucut menunjukkan
keefektifan tertinggi. Makin menuju ke puncak makin berkurang keefektifannya.
C. Aplikasi TIK dalam Pembelajaran Secara Umum
Teknologi Informasi dan Komunikasi didefinisikan sebagai seperangkat alat
teknologi dan sumber daya yang digunakan untuk berkomunikasi, dan untuk
membuat, menyebarkan, menyimpan, dan mengelola informasi. Teknologi ini
termasuk komputer, Internet, penyiaran teknologi (radio dan televisi), dan
telepon.
Globalisasi menyebabkan munculnya ekonomi global yang berimplikasi
kepada terbukanya peluang bagi dunia pendidikan untuk menggunakan teknologi
secara luas. Sehingga dalam paradigma pendidikan mengalami pergeseran dan
pengajaran menjadi pembelajaran. Pembelajaran adalah proses mempengaruhi
seseorang untuk belajar sehingga dapat dikatakan "belajar untuk belajar,": yaitu,
perolehan pengetahuan dan keterampilan yang membuat terus belajar sepanjang
waktu. Dengan Teknologi Informasi dan Komunikasi prinsip belajar sepanjang
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 7
hayat ini dapat terjembatani. Sehingga peran TIK dalam pembelajaran sangat
sentral di era Globalisasi sekarang ini.
Penerapan TIK dalam pembelajaran secara umum sudah mengalami kemajuan
hal ini dapat terlihat dari beberapa sekolah yang sudah menerapkan TIK dalam
pembelajaran di kelas. Sebagai indicator kemajuan TIK dalam pembelajaran di
sekolah, diantaranya sudah ada peningkatan jumlah sekolah yang memiliki
website dan menerapkan TIK dalam pembelajaran di sekolah. Mengingat TIK
dapat mempermudah pembelajaran yang sulit sehingga akan membantu guru
dalam mencapai tujuan pembelajaran dalam kelas. Dampak dari pemanfaatan TIK
dalam pembelajaran ini sudah cukup baik bagi siswa, guru maupun sekolah secara
umum. Walaupun sudah mengalami kemajuan tetapi tetapi ada beberapa
hambatan yang perlu mendapatkan perhatian bersama. Beberapa hambatan itu
diantaranya ialah:
1. Kurangnya kebijakan dalam pengembangan TIK di sekolah
Secara umum kepala sekolah belum mempunyai persamaan persepsi
dalam hal pengembangan TIK di sekolah. Kepala sekolah masih belum
banyak yang memandang perlu pengembangan TIK di sekolah karena
sebagian besar kepala sekolah masih memandang TIK sebagai sesuatu yang
mahal yang belum perlu mendapatkan prioritas dalam pengembangan.
Walaupun sudah ada tetapi jumlah kepala sekolah yang sudah memiliki
komitmen dalam pengambangan TIK masih sedikit.
2. Kurangnya fasilitas TIK dalam pembelajaran di sekolah
Kurangnya fasilitas ini dapat dilihat dari masih banyaknya sekolah
yang belum memiliki fasilitas listrik, kalaupun sudah mempunyai fasilitas
listrik sekolah tersebut belum banyak yang memiliki jaringan internet sebagai
penyedia layanan. Dalam hal ini pemanfaatan TIK baru sebatas penggunaan
Tape Recorder maupun OHP.
3. Masih kurangnya kemampuan guru dalam menggunakan TIk dalam
pembelajaran.
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 8
Kurangnya kemampuan guru dalam pemanfaatan TIK merupakan
masalah yang cukup serius dalam rangka pengembangan TIK dalam
pembelajaran di sekolah. Pemerintah sudah berusaha meningkatkan
kemampuan guru dalam TIK melalui pelatihan-pelatihan tetapi hasilnya
belum menggembirakan. Kurangnya minat guru dalam pemanfaatan TIK
dalam Pembelajaran merupakan permasalahan yang serius untuk ditangani.
Sebagian besar guru masih berfikiran tradisional sehingga belum memandang
perlu mengintegrasikan TIK dalam pembelajaran.
Kurangnya fasilitas TIK sebenarnya bukanlah menjadi halangan dalam
pemanfaatan TIK dalam pembelajaran apabila disertai “minat dan
keinginan” yang tinggi bagi guru, kepala sekolah, maupun
pemangkukebijakan di sekolah. Selain minat dan keinginan memang perlu
“Duit” dalam pengembangan TIK dalam pembelajaran yaitu perlu adanya
“Dorongan” yang kuat dari guru dalam memanfaatkan TIK, disertai
“Usaha” yang keras dengan belajar dan perlu sedikit mengeluarkan
“Investasi” dalam membelanjakan sebagian gaji kita untuk membeli fasilitas
pendukung dalam TIK, dan “Tekat” yang kuat untuk hidup lebih maju
dengan berusaha memanfaatkan TIK dalam pembelajaran. Hidup adalah
perubahan.
D. Software GeoGebra
Komputer dapat digunakan sebagai alat instruksional yang disebut
pembelajaran dengan bantuan komputer ( Computer Aided Instruction disingkat
CAI). Dalam pelaksanaan CAI, komputer difalisitasi dengan beberapa jenis
perangkat lunak pembelajaran sebagai bentuk bantuan langsung kepada siswa
dalam proses pembelajaran. Software atau perangkat lunak adalah sekumpulan
data elektronik yang disimpan dan diatur oleh komputer, data elektronik yang
disimpan oleh komputer itu dapat berupa program atau instruksi yang akan
menjalankan suatu perintah. Menurut Oemar Hamalik (2001:237) bentuk
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 9
perangkat lunak pembelajaran dengan bantuan komputer yaitu: latihan dan
praktek (drill and practice), tutorial, simulasi dan pembelajaran dengan instruksi
komputer (computer managed instruction).
Software GeoGebra menyajikan masalah-masalah dan siswa merespon
dengan cara melakukan praktek. Tingkat kesulitan tertentu menuntut latihan
praktek tertentu pula. Program ini juga menyediakan penguatan visual agar minat
dan perhatian siswa terus terpelihara sepanjang latihan dan praktek.
GeoGebra merupakan software dinamis yang menggabungkan geometri,
aljabar dan kalkulus. Software ini dikembangkan untuk mempelajari matematika
dan diajarkan pertama kali di sekolah oleh Markus Hohenwarter dari Universitas
Florida Atlantic.
“GeoGebra is dynamic mathematics software that joins
geometry, algebra and calculus. It is developed for mathematics
learning and teaching in schools by Markus Hohenwarter at
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 10
Florida Atlantic University. (Markus Hohenwarter & Judith,
GeoGebra Help 3.2. www.GeoGebra.org)
GeoGebra adalah sebuah software systemgeometri dinamis sehingga dapat
mengkontruksikan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, bahkan fungsi
dan mengubahnya secara dinamis. Selain itu dengan GeoGebra kita dapat
menggambar dan menentukan persamaan dan koordinat secara langsung.
GeoGebra juga memiliki kemampuan untuk menghubungkan variabel dengan
bilangan, vektor dan titik, menemukan turunan dan mengintegralkan fungsi serta
memberikan perintah untuk menemukan titik ekstrim atau akar.
“….On the one hand, GeoGebra is a dynamic geometry system.
You can do constructions with points, vectors, segments, lines,
conic sections, as well as functions, and change them
dynamically afterwards.
On the other hand, equations and coordinates can be entered
directly. Thus, GeoGebra has the ability to deal with variables
for numbers, vectors, and points, finds derivatives and integrals
of functions, and offers commands likeRoot or Extremum.”
(Markus Hohenwarter & Judith, GeoGebra Help 3.2.
www.GeoGebra.org)
Beberapa kelebihan software GeoGebra yaitu:
a. Icon-icon disajikan dalam ukuran yang besar untuk menghindari kesalahan
dalam memilih menu.
b. Semua objek dapat diberi label atau keterangan baik itu berupa titik, garis,
bidang, sudut dan sebagainya.
c. Dapat menentukan persamaan garis linear, kuadrat, kubik, hiperbolik,
parabolik dan eliptik
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 11
d. Objek dapat digeser, dicerminkan, diputar dan diperbesar.
e. Warna objek dapat diubah dengan 41 pilihan warna agar mudah dibedakan
dengan objek lain.
f. Dapat meng-import gambar untuk dijadikan background.
g. Dapat mengukur panjang, luas, dan besar sudut pada objek.
Tabel 2.1. Daftar icon pada GeoGebra beserta fungsinya
(Markus Hohenwarter & Judith, GeoGebra Help 3.2. www.GeoGebra.org)
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 12
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 13
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 14
BAB III
APLIKASI SOFTAWARE
A. Modul atau Bahan Ajar
Tampilan layar program GeoGebra cukup sederhana, seperti tampak pada Gambar 1 di bawah ini.Seperti yang Anda lihat pada Gambar 1, layar program GeoGebra terdiri atas beberapa bagian, yakni:1) Baris informasi: menampilkan nama program
(GeoGebra) dan nama file yang sedang dibuka2) Baris menu: berisi daftar nama menu baku seperti
program-program berbasis Windows lain: File, Edit, View, Options, Tools, Window, Help.3) Baris Toolbar:terdiri atas sekumpulan tool(disebut modus) yang berguna untukmenggambar secara langsung pada jendela geometri (papan gambar) dan memanipulasinya dengan menggunakan mouse.Hanya satu tool (modus) yang dapat diaktifkan dengan cara mengklik ikon yang terkait.
4) Jendela Aljabar: memuat informasi (persamaan dan koordinat) objek-objek pada jendela geometri. Pada jendela aljabar ditampilkan tiga kelompok objek, yakni:a. Free objects(objek bebas): objek-objek yang dapat dimanipulasi secara bebas
b. Dependent objects(objek tak bebas): objek-objek yang tergantung dengan objek-objek lain, sehingga tidak dapat dimanipulasi secara bebas
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 15
c. Auxiliary objects(objek pertolongan): objek-objek bantuan (tidak selalu digunakan)
5) Jendela geometri (papan gambar): tempat untuk menggambar objek-objek geometri (titik, ruas garis, vektor, garis, irisan kerucut, kurva, dan poligon). Pada jendela geometri dapat ditampilkan sumbu koordinat Kartesius maupungrid(garis-garis koordinat).
6) Baris input:tempat untuk menuliskan persamaan, koordinat, atau fungsi beserta parameternya. Hasilnya akan langsung ditampilkan pada jendela geometri setelah Anda menekan tombol ENTER. Jendela aljabar dan jendela geometri terletak bersebelahan.
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 16
B. Diskriminan
Misal diketahui garis g dengan persamaan y=mx+k dan lingkaran L dengan
persamaan : x2+ y2+ Ax+By+C=0. Dengan mensubstitusikan persamaan
garis g ke dalam persamaan lingkaran L diperoleh :
x2+(mx+k )2+ Ax+B (mx+k )+C=0
x2+m2 x2+2mx+k2+ Ax+Bmx+Bk+C=0
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 17
x2 (1+m2 )+x ( A+2mk+Bm )+C+Bk+k2=0 … (¿)
Persamaan (*) ini merupakan persamaan kuadrat dalam x, nilai x yang
memenuhi atau akar-akar persamaan, merupakan absis dari titik potong garis
dengan lingkaran.
Jika ada nilai x yang real, maka garis akan berpotongan atau
bersinggungan dengan lingkaran.
Jika tidak ada nilai x yang real maka garis tidak berpotongan dengan
lingkaran.
Didalam persamaan kuadrat ada tidaknya nilai x yang real dapat diselidiki
dengan menggunakan diskriminan ( D=b2−4 ac ).
Diskriminan dari persamaan (*) diatas adalah
D= ( A+2 mk+Bm )2−4 (1+m2 ) (C+Bk+k2 )
Dengan menggunakan nilai D ini, kita dapat merumuskan hubungan garis
dengan lingkaran seperti berikut ini:
1. D>0⟺ garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan
2. D=0⟺ garis g menyinggung lingkaran L
3. D<0⟺ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L
C. Rangkuman Materi :
Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap
lingkaran L ad 3 macam, yaitu :
1. Pada gambar 1, garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
yaitu titik A ( x1 , y1 ) dan B ( x2 , y2 ).
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 18
2. Pada gambar 2, garis memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan
garis menyinggung lingkaran di titik S ( xs , y s ).
3. Pada gambar 3, garis tidak memotong maupun menyinggung
lingkaran.
Rumus Lingkaran :
1. Persmaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r.
x2+ y2=r2
2. Persamaan lingkaran dengan pusat P(a ,b) dan berjari-jari r
¿ atau
x2+ y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0
3. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan
x2+ y2+ Ax+By+C=0
Pusat : P(−A2
,−B2
) ; jari-jari : r=√ A2
4+ B2
4−C
4. Diskriminan : D=b2−4ac
Dari tinjauan Aljabar, posisi garis g terhadap lingkaran L dapat dianalisis
dengan menggunakan sistem persamaan linear dan kuadrat dimana bagian
kuadratnya berbentuk implicit yang tidak dapat difaktorkan. Agar lebih
memahami cara menentukan posisi garis terhadap lingkaran, simaklah
beberapa penjelasan berikut ini :
Contoh penggunaannya :
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 19
1) Menggambar persamaan garis dan lingkaran
(i) Tuliskan persamaan garis pada baris input. Misalkan g : x+ y−8=0 ,
lalu klik enter
(ii) Klik , jika bentuk persamaan lingkaran x2+ y2=r2maka
radius dapat diketahui, klik di titik pusat O(0,0) lalu akan muncul
Maka ketik panjang radiusnya, missal : diketahui persamaan
lingkarannya L ≡ x2+ y2=9 maka radiusnya r=3. Klik 3 lalu klik ok.
Jika bentuk persamaan lingkarannya x2+ y2+ Ax+By+c=0 maka
tulis persamaan lingkaran pada baris input, misalnya :
L : x¿2+ y¿2+2 x−6 y−10=0 lalu klik enter, untuk mengetahui titik
pusatnya tuliskan perintah A=Center [L] pada baris input.
(iii) Maka persamaan garis dan lingkaran akan terbentuk
(iv) Dan titik potong antara garis dengan lingkaran akan terlihat
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 20
(v) Pilih dan klik icon New Point, arahkan kursor ke titik potong antara
garis dan lingkaran hingga warna garis dan tepi lingkaran terlihat
lebih tebal dari sebelumnya, kemudian klik
(vi) Maka koordinat titik potong antara garis dan lingkaran terlihat di
jendela aljabar maupun jendela geometri.
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran,
substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk
a x2+bx+c=0.
Beberapa hal yang harus diperhatikan untuk menentukan posisi garis terhadap
lingkaran:
1. Menentukan persamaan kuadrat gabungan
Misalkan persamaan garis g : x+ y−8=0 dan persamaan lingkaran
L ≡ x2+ y2−8 x−2 y+12=0.
Dari persamaan garis g ≡ x+ y−8=0, diperoleh y=−x+8
.Substitusi y=−x+8 ke persamaan lingkaran L ≡ x2+ y2−8 x−2 y+12=0, diperoleh:
x2+(−x+8)2−8 x−2 (−x+8 )+12=0
x2+ x2−16 x+64−8 x+2 x−16+12=0
2 x2−22 x+60=0
Jadi, x2−11 x+30=0 disebut persamaan kuadrat gabungan2. Menentukan nilai diskriminannya
D=b2−4ac
D= (−11)2−4 (1 ) (30 )
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 21
D=121−120
D=1⇒D>0
3. Menentukan titik koordinat potong antara garis dengan lingkaran dengan memfaktorkan persamaan kuadrat gabungan, jika tidak dapat difaktorkan persamaannya maka menggunakan rumus ABC
rumus ABC
x1,2=−b ±√b2−4ac
2a
x1,2=−(−11)±√(−11)2−4 (1 )(30)
2(1)
x1,2=11±√1
2
x1=6
x1=5
Kemudian mensubstitusikan nilai x, terhadap
y=−x+8. Maka akan diperoleh titik koordinatnya.
x=5maka x=6
y=−5+8 y=−6+8
y=3 y=2
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (5,3)dan(6,2)
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 22
Posisi Garis memotong Lingkaran di 2 titik yang berbeda yaitu titik
A dan titik B
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 23
A. Kesimpulan
Berdasarkan uraian materi makalah kami, beberapa hal yang dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Software geogebra dapat membantu siswa dalam menyelesaikan soal
tentang posisi garis terhadap lingkaran
2. Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diksriminasi
D, yaitu :
a. D>0↔ garis g memotong lingkaran L di dua titik yang
berlainan
b. D=0↔ garis g menyinggung lngkaran L
c. D<0↔ garis g tidak memotong maupun menyinggung
lingkaran L
3. Garisg yang memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan apabila
diskriminan persamaan kuadrat gabungan bernilai positif
B. Saran
Dengan dibuatnya makalah ini, diharapkan dapat membantu siswa dalam
memahami dan menyelesaikan posisi atau kedudukan garis g terhadap
lingkaran L.
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 24
LEMBAR KERJA SISWA
Satuan Pendidikan : SMA Nama kelompok :
Mata Pelajaran : Matematika Ketua :
Topik : Posisi garis terhadap lingkaran Anggota : 1.
2.
3. 4.
PETUNJUK:
1. Bacalah dengan teliti setiap uraian yang diberikan.2. Lakukan konstruksi dengan mengikuti langkah yang diberikan.3. Diskusikan dan jawablah setiap pertanyaan yang diberikan.
A. Gunakan Geogebra untuk menkonstruksi garis dan lingkaran dengan
ukuran di bawah ini:
Persamaan garisDan
Persamaan lingkaran
PK Sekutuax2+bx+c=0
Tanda Deskriminan PK Sekutu
Koordinat titik potong pers.
Garis dan pers. Lingkaran
g ≡ x+ y=1L ≡ x2+ y2=4g ≡2 x+ y=5L ≡ x2+ y2=5g≡−x+ y=4L ≡ x2+ y2=4
g ≡ x− y−4=0L ≡ x2+ y2−8 x−2=−12
g ≡ x+ y=−6L ≡ x2+ y2+8 x−12 y=−34
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 25
g≡ 4 x+3 y=−5L ≡ x2+ y2+2 x+4 y+4=0Catatan :
Sketsa gambar dengan Geogebra Posisi garis terhadap lingkaran
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 26
Nilai Diskriminan : D=b2−4 ac
rumus ABC : x1,2=−b ±√b2−4ac
2a
Langkah – Langkah Konstruksi
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 27
Tuliskan persamaan garis pada baris input, lalu klik enter
Klik circle with center and radius lalu klik di pusat O(0,0) jika bentuk pers.lingkaran x2+ y2=r2 lalu tulis
radiusnya. Namun jika bentuk pers. Lingkaran
Kesimpulan
Satuan Pendidikan : SMA Nama kelompok :
Mata Pelajaran : Matematika Ketua :
Topik : Posisi garis terhadap lingkaran Anggota : 1.
2.
3. 4.
PETUNJUK:
4. Bacalah dengan teliti setiap uraian yang diberikan.5. Lakukan konstruksi dengan mengikuti langkah yang diberikan.6. Diskusikan dan jawablah setiap pertanyaan yang diberikan.
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 28
LEMBAR jawaban SISWA
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
B. Gunakan Geogebra untuk menkonstruksi garis dan lingkaran dengan
ukuran di bawah ini:
Persamaan garisDan
Persamaan lingkaran
PK Sekutuax2+bx+c=0
Tanda Deskriminan PK Sekutu
Koordinat titik potong pers. Garis dan pers.
Lingkarang ≡ x+ y=1
L ≡ x2+ y2=42 x2−2 x−3=0 D=28>0 (1,82 ;−0,82 )dan
(−0,82 ;1,82)g ≡2 x+ y=5L ≡ x2+ y2=5
x2−4 x+4=0 D=0 (2 ;1 )
g≡−x+ y=4L ≡ x2+ y2=4
x2−4 x+6=0 D=−8<0 Tidak ada
g ≡ x− y−4=0L ≡ x2+ y2−8 x−2 y=−12
x2−9 x+18=0 D=9>0 (6 ;2 ) dan(3 ;−1)
g ≡ x+ y=−6L ≡ x2+ y2+8 x−12 y=−34
5 y2+40 y+112=0 D=−28<0 Tidak ada
g≡ 4 x+3 y=−5L ≡ x2+ y2+2 x+4 y+4=0
25 x2+10 x+1=0 D=0 (−0,2 ;−1,4 )
Catatan :
Sketsa gambar dengan Geogebra Posisi garis terhadap lingkaran
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 29
Nilai Diskriminan : D=b2−4ac
rumus ABC : x1,2=−b±√b2−4ac
2a
Memotong lingkaran di dua titik yang
berlainan
Menyinggung lingkaran
Tidak memotong maupun
menyinggung lingkaran
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 30
Memotong lingkaran pada dua titik
yang berlainan
Tidak memotong maupun
menyinggung lingkaran
Menyinggung lingkaran
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 31
Langkah – Langkah Konstruksi
Kesimpulan
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 32
Dari latihan yang di berikan maka dapat di simpulkan :
D>0maka garis memotong lingkaran pada dua titik yang berlainan
D=0 maka garis menyinggung lingkaran
Tuliskan persamaan garis pada baris input, lalu klik enter
Klik circle with center and radius lalu klik di pusat O(0,0) jika bentuk pers.lingkaran x2+ y2=r2 lalu tulis
radiusnya. Namun jika bentuk pers. Lingkaran
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, Sartono. 2001. MATEMATIKA untuk SMA Kelas XI, Erlangga:
Jakarta.
www.staff.uny.ac.id
http://mediabelajaronline.blogspot.com/2011/10/persamaan-lingkaran.html?
m=1
www.wikibooks.org
Posisi Garis Terhadap Lingkaran Page 33