riemannhypotesen og de komplekse tals magi · carl sagan (cosmos)2 2youtube: sagan eratosthenes...
TRANSCRIPT
![Page 1: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/2.jpg)
Riemannhypotesen og de komplekse talsmagi
Niels Lauritzen
Institut for MatematikAarhus Universitet
UNF, 18. april 2013
![Page 3: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/3.jpg)
Primtal
I De naturlige tal er 0,1,2,3, . . . . De betegnes medsymbolet (blackboard bold) N1.
I Vi siger at d går op i b og skriver d | b, hvis der findes a så
b = ad .
Eksempler?I Et primtal er et naturligt tal med præcis to divisorer. Med
denne definition er 1 er altså ikke et primtal!
2,3,5,7,11,13,17,19, . . .
Disse tal er de smukkeste, men samtidig også deallermystiske objekter i matematikken.
1fordi det er svært at lave bold face på en tavle
![Page 4: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/4.jpg)
Eratosthenes (276 – 194 BC)
![Page 5: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/5.jpg)
Eratosthenes’ si
![Page 6: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/6.jpg)
Matematikkens forunderlige styrke!
![Page 7: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/7.jpg)
Carl Sagan (Cosmos)2
2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33)
![Page 8: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/8.jpg)
Euklids elementer og primtal
![Page 9: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/9.jpg)
Verdens største primtal
257.885.161 − 1Curtis Cooper (GIMPS), University of Central Missouri
Januar 2013.
![Page 10: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/10.jpg)
Entydig faktorisering
2 · 3 · 11 6= 5 · 13
Gauss (1777–1855)
![Page 11: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/11.jpg)
Euler og den harmoniske række
1 +12+
13+ · · · =∞
Euler (1707 (15/4) – 1783)
![Page 12: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/12.jpg)
Dominobrikker/spillekort
![Page 13: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/13.jpg)
Nu til nogle “formelle” formler
I Månedlig opsparing på 100 kr bliver med en rente på 5%per måned på et år til ...
I
1 + r + r2 + · · ·+ rn =rn+1 − 1
r − 1=
1− rn+1
1− r
I
1 +12+
13+
14+ · · · = 1
1− 12
11− 1
3
11− 1
5
· · ·
I Wooops:∞ =∞
![Page 14: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/14.jpg)
En funktion på de reelle tal!!!
I
ζ(s) = 1 +12s +
13s +
14s + · · · = 1
1− 12s
11− 1
3s
11− 1
5s
· · ·
I Her er ζ(1) =∞, men faktisk er ζ(s) <∞ for s > 1.Mindsandten ...
ζ(2) =π2
6.
![Page 15: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/15.jpg)
Hvordan ganger man et tal med sig selv?
I
22 = 2 · 2 23 = 2 · 2 · 2,etc
22.5 = 22 · 20.5 = 4√
2
I Hvad med2√
2?
![Page 16: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/16.jpg)
Rentes regning igen
I 1000 kroner bliver med 10% i rente om året til
1000(1 + 0.1) = 1100 kroner.
I Hvis renten tilskrives månedligt bliver det
1000(1 +0.112
)12 = 1104.71 kroner
I Hvis renten tilskrives dagligt bliver det
1000(1 +0.1365
)365 = 1105.16 kroner
![Page 17: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/17.jpg)
Eksponentialfunktionen og logaritmen
I
ex = limn→∞
(1 +xn)n = (1 +
x∞
)∞.
I Renten tilskrevet hvert nanosekund giver
100 e0.1 = 1105.17 kroner.
I Beregning af e = e1:
(1 +15)5 = 2.48
...
(1 +1
1000)1000 = 2.72
![Page 18: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/18.jpg)
2√
2??
Husk på regnereglen(ab)
c= abc
Logaritmen er defineret ved
n = elog(n).
Derfor ernx = (elog(n))
x= ex log(n).
![Page 19: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/19.jpg)
f (x) = ex for x ∈ R
Funktionen f (x) = ex er nu defineret for alle tal x ∈ R.Eller er den ...?Hvad med de komplekse tal?
C = {a + bi | a,b ∈ R}?
![Page 20: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/20.jpg)
Et dansk islæt!
Caspar Wessel (1745–1818).
![Page 21: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/21.jpg)
Hvad????????????
√−1?
i =√−1 eller i2 = −1
Regneregler?
(a + bi)(c + di) =?
![Page 22: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/22.jpg)
Mirakuløse uendelige formler!!
ex = (1 +x∞
)∞ = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+ · · ·
sin(x) = x − x3
3!+
x5
5!− · · ·
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− · · ·
![Page 23: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/23.jpg)
Den smukkeste identitet i verden!
ei x =?
eiπ + 1 = 0
![Page 24: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/24.jpg)
Potenser som er komplekse tal!
s = x + iy
ns = · · ·= nx (cos(log(n)y) + i sin(log(n)y))
Dette giver zeta-funktionen for (næsten alle) komplekse tals = x + iy ∈ C:
ζ(s) = 1 +12s +
13s + · · · = 1
1− 12s
11− 1
3s
11− 1
5s
· · ·
Eneste undtagelse er s = 1.YouTube “pdehaye”
![Page 25: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/25.jpg)
Zetafunktionen og Hollywood
![Page 26: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/26.jpg)
Bernhard Riemann (1826–1866)
![Page 27: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/27.jpg)
Den banebrydende artikel
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenGrösse
(1859)
![Page 28: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/28.jpg)
Riemann hypotesen
Alle nulpunkter for ζ(s) ligger på en bestemtlodret linie:
ζ(x + iy) = 0 =⇒ x =12.
![Page 29: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/29.jpg)
Hvad har det at gøre med primtal?
π(x) = antallet af primtal ≤ x :
x π(x) π(x)/x10 4 0.4
100 25 0.251000 168 0.17
10,000 1,229 0.12100,000 9,592 0.09
1,000,000 78,498 0.0810,000,000 664,579 0.066
100,000,000 5,761,455 0.0581,000,000,000 50,847,534 0.051
![Page 30: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/30.jpg)
Er der en lovmæssighed?
Gauss opdagede ved at studere tabeller (som 14-årig!!!):
x π(x) π(x)/x 1/ log(x)10 4 0.4 0.43
100 25 0.25 0.221000 168 0.17 0.14
10,000 1,229 0.12 0.11100,000 9,592 0.09 0.09
1,000,000 78,498 0.08 0.0710,000,000 664,579 0.066 0.062
100,000,000 5,761,455 0.058 0.0541,000,000,000 50,847,534 0.051 0.048
![Page 31: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/31.jpg)
Gauss’ logaritmetabel
Logaritmisk regel for ϕ(x) = x/π(x) : ϕ(10x) = 2.3 + ϕ(x):
x π(x) x/π(x)10 4 2.5
100 25 4.01000 168 6.0
10,000 1,229 8.1100,000 9,592 10.4
1,000,000 78,498 12.710,000,000 664,579 15.0
100,000,000 5,761,455 17.41,000,000,000 50,847,534 19.7
Men 2.3 er ca. log(10) = 2.30259.
![Page 32: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/32.jpg)
Gauss og Riemann
Gauss opdagede (som meget ung!!) at
x/π(x) ∼ log(x) eller π(x) ∼ x/ log(x)
En bedre approksimation er
Li(x) =∫ x
2
dtlog(t)
og endnu bedre er Riemanns approksimation
R(x) = Li(x)− 12
Li(√
x)− 13
Li( 3√
x)− · · ·
![Page 33: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/33.jpg)
Approksimationer til π(x)
x π(x) x/ log(x) Li(x) R(x)10 4 4.3 6.2 4.6
100 25 21.7 30.1 25.71000 168 144.8 177.6 168.4
10,000 1,229 1,085.7 1,246.1 1,226.9100,000 9,592 8,685.9 9,629.8 9,587.4
1,000,000 78,498 72,382.4 78,627.5 78,527.410,000,000 664,579 620,421 664,918 664,667
![Page 34: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/34.jpg)
Det største tal i verden!
Det ser ud til at π(x) altid er mindre end Li(x),eller ... Faktisk kan man vise at der findes et taly mindre end
10101034
med π(y) > Li(y).
![Page 35: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/35.jpg)
Riemann hypotesen
π(x) = Li(x) + O(√
x log x).
eller
|π(x)− Li(x)| < 18π√
x log x forx ≥ 2657.
![Page 36: Riemannhypotesen og de komplekse tals magi · Carl Sagan (Cosmos)2 2YouTube: Sagan Eratosthenes (6:33) Euklids elementer og primtal. Verdens største primtal 257:885:161 1 Curtis](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050422/5f9106811c12c32953207b10/html5/thumbnails/36.jpg)
Supercomputere!!
I Supercomputers and the Riemann zeta function byA. M. Odlyzko (ATT, Bell Labs).
I De første 2,001,052 nulpukter af Riemanns zeta funktion,med præcision up til 4 · 10−9.
I Det første nulpunkt har imaginærdel:
14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756855674601499634298092567649490103931715610127792029715487974367661426914698822545825053632394471377804133812372059705496219558658602005555667258360107737002054109826615075427805174425913062544819786510723049387256297383215774203952157256748093321400349904680343462673144209203773854871413783 . . .