Research Collection

Doctoral Thesis

Graphische Behandlung der kompressiblen und inkompressiblenStrömung durch Turbomaschinenstufen

Author(s): Gazarin, Adel

Publication Date: 1951

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000092349

Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted

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ETH Library

Prom. Nr. 2059

Graphische Behandlung

der kompressiblen und inkompressiblen Strömung

durch Turbomaschinenstufen

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH

ZUR ERLANGUNG DER

WÜRDE EINES DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

Adel Gazarin

aus Ägypten

Referent: Herr Prof. H. Quiby

Korreferent: Herr Prof. Dr. J. Ackeret

Zürich 1951 Dissertationsdruckerei Leemann AG.

Erscheint als Mitteilung Nr. 2

aus dem Institut für thermische Turbomaschinen

an der Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

Verlag Leemann Zurich

MEINEN ELTERN GEWIDMET

Vorwort

Die vorliegende Arbeit, welche die Strömung in langen Turbomaschinen¬

schaufeln graphisch behandelt, wurde an der Eidgenössischen Technischen

Hochschule Zürich unter der Leitung von Herrn Professor H. Quiby durch¬

geführt. Ich möchte ihm an dieser Stelle herzlichst danken für seine Anregun¬

gen und für die Mühe, die er sich gab, mir jederzeit mit seinen Ratschlägenbeizustehen.

Ich möchte hier auch nicht versäumen, Herrn Dipl.-Ing. B. Chaix und

Herrn Dipl.-Ing. A. Pescatore für ihre Ratschläge und Hilfsbereitschaft zu

danken.

3

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Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1 : Einleitung 7

1. Problemstellung 7

2. Gliederung der Arbeit 8

3. Bezeichnungen 10

Kapitel 2: Die Grundgleichungen 11

1. Das Koordinatensystem 11

2. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen 12

3. Die thermodynamischen Gleichungen 14

4. Graphische Darstellung der isentropischen Vorgange 17

Kapitel 3: Die Strömung durch eine Turbomaschinenstufe 17

1. Definitionen und Voraussetzungen 17

2. Einzelheiten der Strömung durch eine Stufe 18

3. Allgemeine analytische Behandlung des Problems 20

Kapitel 4 : Die Strömung im feldfreien Raum zwischen zwei koaxialen Zylindern .28

1. Potentialstromung zwischen koaxialen Zylindern 28

2. Graphische Methode zur Bestimmung der kinematischen Großen 29

3. Graphische Methode fur die Bestimmung der übrigen Kenngroßen 31

Kapitel 5 : Potentialstromung durch eine Stufe 33

1. Einleitung 33

2. Die Strömung in den Spaltebenen 33

3. Die Strömung innerhalb der Schaufelkranze 35

4. Graphische Bestimmung der Stromungszustande und der meridionalen Strom¬

linien 37

5. Rechnungsgang fur den Entwurf einer Stufe mit Potentialstromung ....42

6. Zahlenbeispiel 44

Kapitel 6 : Strömung mit konstanter axialer Massenstromdichte 45

1. Einleitung 45

2. Analytische Grundbetrachtungen 46

3. Graphische Lösung des Problèmes 47

4. Der Rechnungsgang fur den Entwurf einer Stufe mit konstanter axialer

Massenstromdichte 50

5. Spezialfall der Stufe mit axialer Austrittsgeschwindigkeit 51

6. Zahlenbeispiel 53

Kapitel 7 : Stufe mit unverdrehten Schaufeln 55

1. Einleitung 55

2. Analytische Grundbetrachtungen 55

5

3. Graphische Bestimmung der Strömungszustände und der Stufenkenngrößen . 57

4. Bechnungsgang für den Entwurf einer Stufe mit unverdrehten Schaufeln . . 58

5. Zahlenbeispiel 59

Kapitel 8 : Stufe mit Strömung nach dem soliden Wirbel 61

1. Einleitung 61

2. Analytische Grundbetrachtungen 61

3. Graphische Bestimmung der Strömungszustände und der Stufenkenngrößen . 65

4. Vorgehen für den Entwurf einer solchen Stufe 68

5. Zahlenbeispiel 68

6. Stufe mit konstanter Beaktion und konstanter Zirkulation 70

Kapitel 9: Stufe mit konischen Begrenzungswänden 73

1. Einleitung 73

2. Die gemachten Voraussetzungen 73

3. Stufe mit Potentialströmung 74

4. Stufe mit anderen Strömungsarten 75

5. Fall der allgemeinen Stufe 76

6. Zahlenbeispiel 77

Kapitel 10: Strömung in einer mehrstufigen Turbomaschine 78

1. Einleitung 78

2. Analytische Betrachtungen 79

Kapitel 11: Besprechung des wirklichen Strömungsverlaufs in einer Stufe 81

1. Einfluß der Zähigkeit 81

2. Der Einfluß des radialen Spaltes 85

3. Einfluß der geometrischen Schaufelgestalt 87

Summary 88

Literaturverzeichnis 89

6

KAPITEL 1

Einleitung

1. Problemstellung

Die Gestaltung der langen Schaufeln von axialen Turbomaschinen, d.h.

der Schaufeln mit kleinem Verhältnis vom Naben- zum Spitzendurchmesser,ist ein wichtiges Problem, das zu zahlreichen theoretischen und experimentellenArbeiten Anlaß gab und immer noch gibt, von denen jedoch nur wenigeveröffentlicht worden sind.

Im allgemeinen werden die Schaufeln entweder unverdreht ausgeführt oder

dann ungefähr so verdreht wie es die Anforderung einer konstanten, spezi¬fischen Arbeitsabgabe (oder -Aufnahme) für alle Radien erheischt, dies unter der

Annahme eines inkompressiblen und zähigkeitsfreien Mediums, Es wird also :

K = — Kc«i - W2<W = konst.

Der Einfluß der radialen Dichteänderung wird außer acht gelassen und

man begnügt sich damit, die im mittleren Radius herrschende Dichte zu

berechnen und sie für die Bestimmung der Schaufelhöhe zu verwenden.

Sofern die Machschen Zahlen niedrig bleiben, ist die Annahme der Inkom-

pressibilität gerechtfertigt. Aus den obigen Berechnungen entstehen dann

brauchbare Angaben für die Schaufelgestaltung. Wenn aber die Machschen

Zahlen hohe Werte erreichen, wie z. B. in den Endstufen der meisten Dampf¬turbinen, oder in den leichten Gasturbinen-Aggregaten, so spielt offenbar die

radiale Dichteänderung eine erhebliche Rolle. Es entstehen nämlich dadurch

radiale Geschwindigkeitskomponenten, welche das Strömungsbild wesentlich

beeinflussen. Die meridionalen Stromlinien werden nicht gerade sein, sondern

im allgemeinen die Form einer welligen Kurve annehmen. Ebenfalls ändert

sich auch die Leistungsabgabe oder -Aufnahme der Stufe längs des Radius.

Es wäre erwünscht, diese Einflüsse näher zu untersuchen und sie bei der

Bestimmung der Schaufelform zu berücksichtigen. Der wichtigste Schritt in

dieser Richtung ist unseres Wissens der Aufsatz von Traupel über die ,,Kom-

pressible Strömung durch Turbinen" (siehe Literaturverzeichnis 16). Diese

Arbeit hat zu den vorliegenden Untersuchungen Anlaß gegeben und dient

ihnen mehr oder weniger als Leitfaden.

7

Wir versuchen, die analytischen Berechnungen soweit als möglich durch

graphische Methoden zu ersetzen, in der Hoffnung, eine anschauliche Dar¬

stellung der Zustands- und Geschwindigkeits-Änderungen zu erzielen, und in

einigen Fällen gewisse, bei der analytischen Berechnung notwendige, verein¬

fachende Annahmen fallen zu lassen. Dazu verwenden wir die von Herrn

Prof. Quiby angegebenen und von ihm für alle Probleme der kompressiblen

Strömung benützten isentropischen Diagramme. In den meisten Fällen bringtdie graphische Rechnungsmethode eine Erleichterung und führt rascher zum

Ziel. Wir begründen sie durchwegs analytisch mit besonderer Hervorhebungder getroffenen Vereinfachungen. Diese Vereinfachungen bestehen hauptsäch¬lich in der Vernachlässigung des Einflusses der Krümmung der meridionalen

Stromlinien in den Kontrollebenen in den Spalten auf die Gleichung des

radialen Gleichgewichtes. Auf diese Weise erhält man Gleichungen einfacher

Gestalt, welche sich für die graphische Lösung gut eignen. Diese Lösung kann

ihrer Einfachheit wegen mit Vorteil für den Entwurf von Turbomaschinen

verwendet werden und liefert Angaben, die für die meisten praktischen Fälle

von zulässiger Genauigkeit sind.

Die genaue Lösung des theoretischen Problems wäre durch die Betrachtungder allgemein dreidimensionalen Strömung um die Schaufeln anhand der

Bewegungsgleichung der wirbelbehafteten Strömung zu erzielen (Marble, Lit.-

Verz. 9). Doch bei der außerordentlichen Kompliziertheit des Problems ist

eine solche Lösung sehr umständlich und kommt für praktische Anwendungenkaum in Frage.

Ferner muß man sich bei den theoretischen Überlegungen stets vergegen-

.. wärtigen, daß die wirkliche Strömung von der dargestellten sehr verschieden

sein kann. Vor allem wird die Zähigkeit besonders in der Laufschaufelung eine

große Rolle spielen. Die notwendigerweise qualitative Schätzung der Störungs¬ursachen ist also unentbehrlich. Eine vertiefte Prüfung der Rechnungsergeb¬nisse läßt auch in vielen Fällen Widersprüche zwischen der Geometrie der

Schaufeloberfläche und den angenommenen Bedingungen der Strömung zu

Tage treten; dies sei hier lediglich erwähnt.

2. Die Gliederung der Arbeit

Im 2. Kapitel dieser Arbeit werden die für die Untersuchungen angewen¬

deten Bewegungsgleichungen und thermodynanüschen Gleichungen mit ihrer

graphischen Darstellung aufgestellt. Diese Gleichungen werden dimensionslos

gemacht, da sich diese Form für die Durchführung der nachfolgenden Über¬

legungen sehr gut eignet.Der erste Teil des 3. Kapitels befaßt sich mit den für die Strömung in

einer Stufe gemachten Voraussetzungen und ihrer Begründung. Im zweiten

8

Teil wird auf analytischem Wege die Strömung sowohl nach dem Leitrad

als auch nach dem Laufrad, bei gegebener Strömung am Eintritt der Stufe,bestimmt. Die abgeleiteten Beziehungen, welche für irgend eine Stufenart mit

den gemachten Voraussetzungen gelten, geben, zusammen mit den isentro-

pischen Kurven, die Lösung jedes Problèmes an.

Im Kapitel 4 werden die Methoden der graphischen Lösung eingeführt.Als erste Anwendung, welche die Erklärung dieser Methoden bezweckt, wird

die Potentialströmung im feldfreien Raum zwischen zwei koaxialen Zylindernbehandelt.

Im Kapitel 5 wird der Fall einer Stufe mit Potentialströmung behandelt.

Die Kenngrößen der Stufe werden graphisch ermittelt. Ferner wird der Rech¬

nungsgang zum Entwurf einer derartigen Stufe angegeben. Einzig in diesem

Fall werden wir auch die Strömung innerhalb der Schaufelkränze selbst

betrachten. Diese Strömung wird anhand der Differenzenrechnung für ver¬

schiedene benachbarte, normale Schnittebenen bestimmt.

In Kapitel 6, 7 und 8 werden die graphischen Methoden für die Bestim¬

mung der Kenngrößen folgender Stufenarten angewednet:Stufe mit Strömung konstanter axialer Massenstromdichte — Stufe mit

unverdrehten Schaufeln — Stufe mit Strömung nach dem soliden Wirbel —

und Stufe mit konstanter Reaktion.

Die erste Art dieser behandelten Stufen zeichnet sich dadurch aus, daß die

meridionalen Stromlinien geradlinig verlaufen.

Kapitel 9 befaßt sich mit dem Fall einer Stufe mit konischen Begrenzungs¬wänden. Für diese Stufe werden zusätzliche Voraussetzungen gemacht, welche

dann die Bestimmung des Strömungsverlaufes in den Spalten erlauben. Als

Spezialfall wird die Stufe mit Potentialströmung ausführlich behandelt.

Kapitel 10 erweitert die Anwendungsmöglichkeiten der graphischen

Methoden, welche bis jetzt nur für einzelne Stufen verwendet wurden, auf

mehrstufige Turbomaschinen. Es wird gezeigt, daß auch hier die graphische

Lösung mit Vorteil benützt werden kann, unter der Bedingung, daß der in

den Vorstufen umgesetzte Energiebetrag über dem Radius konstant bleibt.

Im Kapitel 11 wird der wirkliche Verlauf der Strömung in einer Stufe

besprochen. Infolge der Zähigkeit des Mediums und der endlichen Schaufel¬

dicke kann die wirkliche Strömung von ihrem theoretisch bestimmten Ver¬

lauf stark abweichen. Diese Abweichungen werden untersucht und ihr Einfluß

auf die Schlußresultate qualitativ abgeleitet. Es werden folgende Effekte

untersucht:

1. Die sekundäre Strömung, welche infolge der Grenzschicht entsteht.

2. Die radiale Bewegung der Grenzschicht.

3. Der Einfluß der radialen Spalte und die daraus entstehenden Verluste.

4. Der Einfluß der geometrischen Schaufelgestalt.

9

3. Allgemeine Bezeichnungen

Durch die ganze Arbeit hindurch werden folgende Bezeichnungen verwendet:

A Mechanisches Wärmeäquivalent (kcal m_1 kg"D Durchmesser (m)F Kraft pro Masseneinheit (m sec-2)G Durchströmendes Gewicht (kg sec-1)L Dimensionsloser Ausdruck für die geleistete Arbeit

M Machsche Zahl, bezogen auf die kritische Geschwin¬

digkeit des Ruhezustandes

P Druckenergie pro Masseneinheit (m2-see-2)R ReaktionsgradT Absolute Temperatur (°k)c Absolute Strömungsgeschwindigkeit (m-sec-1)

f Strömungsquerschnitt (m2)

9 Erdbeschleunigung (m-sec-2)

Kd Isentropisches Wärmegefälle (kcal-kg"1)K Das der Umfangsleistung der Stufe entsprechende

Wärmegefälle (kcal-kg-1)n Drehzahl (sec-1)

V Druck (kg-m-2)r Radius (m)t Zeit (sec)u Umfangsgeschwindigkeit (m-sec-1)w Relative Strömungsgeschwindigkeit (m-sec-1)r Zirkulation

e Dimensionslose Massenstromdichte

0 Dimensionloser Ausdruck für die durchströmende

MengeOL Absoluter Strömungswinkel

ß Relativer Strömungswinkel8 Stoßwinkel

y Spezifisches Gewicht (kg-m"3)

Neigungswinkel der Meridianstromlinien

£ Wirbelvektor

n Radius bezogen auf die BezugslängeK Isentropenexponent = cp/cv v

P Dichte (kg • m-4 • sec*

T VerengungsfaktorO) Winkelgeschwindigkeit (sec-1)

10

Index N bedeutet an der Nabe

M bedeutet im mittleren Radius

S bedeutet an der Spitze0 bezeichnet die normale Schnittebene vor dem Leitrad

1 bezeichnet die normale Schnittebene nach dem Leitrad

2 bezeichnet die normale Schnittebene nach dem Laufrad

u bezeichnet die Komponenten in Umfangrichtungz bezeichnet die Komponenten in Richtung der Drehachse

r bezeichnet die Komponenten in radialer Richtung.

KAPITEL 2

Die Grundgleichungen

1. Das Koordinatensystem

Als Koordinatensystem werden zylindrische Koordinaten, die sich

für die Behandlung des Problems sehr zweckmäßig zeigen, gewählt. Abb. 1

stellt das angewandte System dar. Die Z-Achse fällt mit der Drehachse der

<W''""S*>

Abb. 1. Angewandtes Koordinatensystem

Turbine zusammen. Ein beliebiger Punkt P besitzt nun die drei Koordinaten

(r, <p, z). Die Geschwindigkeitskomponenten in diesem Punkt sind: cr in

radialer, cu in Umfangs- und cs in axialer Richtung.

2. Die allgemeinen Bewegungsgleichungen

Wie bereits erklärt, wird das strömende Medium reibungsfrei vorausgesetztund die Strömung stationär angenommen. Die Bewegungsgleichungen einer

solchen Strömung sind:

a) Die Kontinuitätsgleichung

div(p-"c) = 0 (1)

In zylindrischen Koordianten ausgedrückt, lautet sie:

p-cr|8(p-cr)

{1 8{p-cu)

[8(p-cs)

_Qr 8r r 8<p dz

Ist die Strömung ferner rotationssymmetrisch, so verschwinden die

Ableitungen nach cp, und es gilt:

p-crt8(p-cr)

|d{p-cz)

= Qr 8r 8z

Eindimensional, auf ein Stromfadenelement mit dem Querschnitt / angewendet,schreibt sich die Kontinuitätsgleichung:

p-c-f = konst. (4)

Dabei ist p "c die Massenstromdichte, die in drei Komponenten zerlegt werden

kann.

b) Die dynamischen Gleichungen

Das System der Eulerschen Bewegungsgleichungen, die das dynamischeVerhalten der Strömung angeben, läßt sich vektoriell folgendermaßen zusam¬

menfassen:9 ,

grad• — — ex rot c = F grad p (5)Z p

Dabei ist:

F* = die Feldkraft pro Masseneinheit, die hier ausschließlich die Schaufel¬

kraft ersetzt.

p = der Druck.

p — die Dichte.

12

In Zylinderkoordinaten sind die drei Komponenten dieser Gleichung:

8_8r\

r~8~^> (t) ~(c*'tr~Cr'& = ^^ 7"7e^ in Umfangsrichtung,

8_dz'

Dabei sind £r, £„, £2 die drei Wirbelkomponenten :

1 8 c, 8 c„

; ijj -icu-L-cz-D =K t^tin r-Richtung,

J^I-^-^-^'W =Fz äz"in axialer Richtung.

r =

rr 8cp 8z

r -

ëCr 'àcz8z 8

r

r =1 d(r-cM) 1 ^ts r' er r'8cp

Wegen der Rotationssymmetrie verschwinden die Ableitungen nach <p:

8 (c2\ ,„ r , r, ml 8P

Jp(-|j-(««-C.-c.-0=

Fr- J 8r(6)

~{cz-lr-cr-Q =FU (7)

lz{j)-(°r-L-c„-U = Fz-y/z (8)

Dabei sind die Wirbelkomponenten:

<- —17 (9)

*"r 8r

K '

Bei Anwendung der Gleichung (5) auf irgend eine Stromlinie verschwindet

c X rot c, da dieses Vektorprodukt senkrecht zur Stromlinie steht.

Zwischen zwei Punkten, 1 und 2, wird dann:

~+S^'SF'mda (i2)2

l l

wobei:

i^s = die Feldkraftkomponenten in Richtung der Stromlinie,ds = ein Linienelement.

13

2

JFsds stellt die von dem strömenden Medium gegen die äußeren Kräfte

î

geleistete Arbeit zwischen den Punkten 1 und 2 dar. Ist keine Feldkraft vor¬

handen oder steht sie in jedem Punkte senkrecht zur StromUnie, so wird keine

Arbeit geleistet. Somit wird Gleichung (12):

1 J Pl

Diese Gleichung stellt die bekannte Bernoullische Energiegleichungdar, die allgemein wie folgt geschrieben wird:

c2 f dpÄ*

h*, die totale Energie, ist bei reibungsfreier Strömung für jede Stromlinie eine

Konstante, ändert sich jedoch von einer Stromlinie zur anderen. Für wirbel¬

freie Strömung gilt diese Gleichung in jeder Richtung, so daß h* für alle

Stromlinien gleich bleibt.

3. Die thermodynamischen Gleichungen

Da als Medium ein ideales Gas vorausgesetzt ist, gilt die Gasgleichung:

^-= R-T (14)

P

R = die Gaskonstante, bezogen auf die Masseneinheit (für Luft = 287 m2

sec-^k-1).Für die angenommenen verlustfreien und adiabatischen Zustandsänderun-

gen gelten die isentropischen Beziehungen:

p_

Po

k = der Isentropenexponent = cpjcv.

Index 0 bezeichnet den Ruhezustand, bei dem die Geschwindigkeit c = 0 ist.

Durch Integration der Energiegleichung (12) zwischen dem Ruhezustand 0

und irgend einem anderen Zustand, wobei dp/p aus (14) und (15) zu ersetzen

ist, ergibt sich:

C2=2k Po l-~j-2JFs-ds (16)

»0

K-l pQ

Für die weiteren Betrachtungen wird folgende Geschwindigkeitszahleingeführt:

ïî* "*/ * ,-,r,^&M* = cjc* (17)

14

c* ist die durch den Ruhezustand festgelegte kritische Geschwindigkeit:

/c+1io (18)

(siehe Sauer 12).

Da in der ganzen Arbeit nur diese M* verwendet werden, so wird einfach¬

heitshalber der Index * weggelassen. Mit M wird also die Strömungs¬geschwindigkeit, bezogen auf die kritische Geschwindigkeit und

nicht auf die örtliche Schallgeschwindigkeit, definiert.

Abo. 2. Dimensionsloses, Koordinatensystem

Im Unterschallgebiet ist if < 1, im Überschallgebiet ist M > 1.

FürM= 1 ist die Strömungsgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit.Gleichung (16) kann durch Division mit c*2 dimensionslos gemacht werden:

Jf2 =/c + 1

/C-l1 -

Setzt man:

2s

/ R-ds

~2.JFs-ds = L (19)

wobei L das dimensionslose Maß für die vom Gas gegen die äußeren Kräfte

geleistete Arbeit ist, so wird die Gleichung:

TM* =

/c + 1

/c-l-1

Tn-2L (20)

15

Dies ist die Energiegleichung in dimensionsloser Form. Wird von der Strömungkeine Arbeit geleistet, so ist L = ö, und die Gleichung (20) wird:

Um die dynamischen Gleichungen vollkommen dimensionslos schreiben zu

können, definieren wir nun irgend eine Bezugslänge l, die beispielsweise ein

Hauptradius der Turbinenstufe sein kann. Wir werden im folgendenstets l = rN, den Radius an der Nabe wählen. Durch Division der

absoluten Längenkoordinaten (r, z) mit l gelangt man zu den dimensionslosen

Koordinaten (rj, <p, £), Abb. 2.

Dividiert man nun (6), (7) und (8) durch c*2 und ersetzt gleichzeitig p und p

aus den Isentropengleichungen, multipliziert man ferner die beiden Seiten der

resultierenden Gleichungen mit l, so gelangt man schließlich zur folgendendimensionslosen Form:

ffl-M-W'-ifflM% <22>

Hier ist

8 rj

-{M,-i,-Mr-U = P, (23)

if (~) -<Jf,-fc- *.-U - J5-i (^) £ fö) <">

IFP =

—^5- das dimensionslose Maß der Feldkraft.c*2

_SM,_e_M,4»

8{ 8,' '

t-±-^ (27)rj Cr)

Auf ähnliche Weise kann man auch die Kontinuitätsgleichung dimensions¬

los schreiben:

Po V

oder:

Po

+nM+nfe-*-)-° (28>

M-F/P = konst. (29)

M-p/p0 ist die dimensionslose Massenstromdichte und wird bezeichnet mit:

0=plPo-M (30)

16

4. Graphische Darstellung der isentropischen Vorgänge

Man betrachtet die Strömung im feldfreien Raum. Zwischen der

Strömungstemperatur T/T0 und der Geschwindigkeitszahl M besteht die

Beziehung (21), die man auch folgenderweise schreiben kann:

T.

K-

M2 (31)

(32)

T0 K+l

oder: £=fi_irl.jfï|ï=ï

Po 1 " + 1 J

Diese Beziehungen lassen sich graphisch darstellen, indem man TjT0 und

pIp0 in Funktion von M aufträgt. Die sich ergebenden Kurven sind mit k als

Parameter in Tafel 1 dargestellt für: k = 1,1 — 1,2 — 1,3 — 1,4.

Für M = 1, das heißt für die kritische Geschwindigkeit ist :

T* 2

Bei T/T0 = 0 erreicht M den maximalen Wert: Mmax = ]//c + 1. Ferner läßt

\ K—\sich 8 = plp0-M auftragen. Diese Kurve hat ein Maximum für M = 1.

Diese Kurven, die wir als isentropisches Diagramm bezeichnen werden,sind unser Hauptarbeitsmittel für die graphische Berechnung der kompressi-blen Strömung.

Für die inkompressible Strömung ist die p//30-Kurve eine zur M-Achse

parallele Gerade, und die M -pjpa-Werte liegen auf einer Geraden zwischen

dem Ursprung und dem Punkt (p/p0= 1, M=\). Im Ursprung ist diese Gerade

der ©-Kurve der kompressiblen Strömung tangent.Durch den Vergleich der Ordinaten der ©-Kurve und der Geraden beurteilt

man jeweils leicht, je nach dem Zweck der Berechnungen, ob die Strömungals kompressible oder inkompressible betrachtet werden darf.

17

KAPITEL 3

Die Strömung durch eine Turbomaschinenstufe

1. Definitionen und Voraussetzungen

Die Turbomaschinenstufe setzt sich zusammen aus einem Leitrad und dem

nachgeschalteten Laufrad. Die normalen Schnittebenen kurz vor dem Leitrad,

in der Spaltmitte zwischen dem Leit- und dem Laufrad und kurz nach dem

Laufrad bezeichnen wir mit 0, 1 und 2 (Abb. 3).Für diese Stufe werden

folgende Voraussetzungen

gemacht:

a) Die innere und die äußere

Begrenzungsfläche sind zunächst

als koaxiale Zylinder voraus¬

gesetzt. Die innere Begrenzungs¬wand bezeichnen wir mit N

(Nabe), die äußere mit S (Spitze).

b) Das Schaufelgitter bestehe

aus unendlich vielen Schaufeln,d.h. die Gitterteilung sei unend¬

lich klein. Dies entspricht der

Annahme von rotationssymmetri¬schen Stromflächen und erlaubt,

die Schaufelkräfte durch Feld¬

kräfte zu ersetzen.

Abb. 3. Turbomaschinenstufe mit

zylindrischen Begrenzungswänden

2. Einzelheiten der Strömung durch eine Stufe

Man denke sich zuerst das Leitrad als alleinstehendes Gitter. Betrachtet

man eine Ebene 0-0 weit, vorher (theoretisch unendlich weit entfernt), so

verläuft die Strömung dort längs koaxialen Zylindern.Durch passende Formgebung der Schaufeln wird die Strömung in der

Umfangsrichtung abgelenkt, was eine radiale Veränderung der Dichte und der

18

Massenstromdichte hervorruft. Demzufolge wird die Strömung auch in radialer

Richtung abgelenkt. Diese tangentialen und radialen Ablenkungen machen

sich theoretisch in großer Entfernung vor und nach dem Gitter fühlbar. Sie

klingen asymptotisch ab, so daß die Strömung erst in einer weit entfernten

Ebene 1 — 1 wieder längs zylindrischen Flächen verläuft. Die Strömung in

dieser Ebene ist jedoch von derjenigen in der Ebene 0 — 0 verschieden.

In den zwei Ebenen 0 — 0 und 1 — 1 verschwinden sowohl die radialen

Geschwindigkeits-Komponenten Mr, als auch die radialen Beschleunigungen

längs der Stromlinien, welche durch Mz • ~-^~ gegeben sind. Es ist zu bemerken,çs -mr

& *o

daß -~^7r anderseits ein Maß für die Krümmung der Stromlinien ist.Ol,

°

Das gleiche gilt für die Strömung durch das. Laufrad. Auch hier müssen,

streng genommen, die Kontrollebenen 1 — 1 und 2 — 2 in sehr große Ent¬

fernung gelegt werden.

Für die folgenden Betrachtungen der Stufe legen wir jedoch die Kontroll-

flächen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2 in die Spaltmitten zwischen den Leit- und Lauf¬

kränzen. Wir nehmen also an, daß die Strömung in diesen Ebenen

kurz vor und kurz nach dem Gitter schon ausgeglichen ist und

axial verläuft. Dies kommt einer Vernachlässigung des Einflusses der

Krümmung der meridionalen Stromlinien auf das radiale Gleichgewicht in

den Spalten gleich.Zur Rechtfertigung dieser Annahme muß bemerkt werden, daß die

theoretischen radialen Ablenkungen in den praktisch vorkommenden Fällen

immer schwach sind. Sie verschwinden ganz an den beiden Begrenzungs¬wänden. Da weiter sehr viele Einflüsse, vor allem die Zähigkeit des strömenden

Mediums, mit im Spiel sind, ist eine allzu große, theoretische Genauigkeit illuso¬

risch. Zudem beweisen experimentelleArbeiten (Bowen 2), daß die Strömung kurz

nach Austritt aus der Schaufelung bereits ausgeglichen ist und axial verläuft.

Eine genaue Behandlung des Strömungsverlaufes ist im allgemeinen und

sogar unter vereinfachender Annahmen äußerst verwickelt (Marble 9). Für

die Berechnung von Turbomaschinen kommt sie überhaupt nicht in Frage.

Folgende Betrachtungen beschränken sich auf die Untersuchung der

Strömung in den Ebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2, wo die obigen Voraussetzungen

gelten. Die Strömung innerhalb der Schaufelkränze selbst wird, außer für den

Fall der Potentialströmung, nicht betrachtet. Die Wirkung der Schaufeln

erscheint also nur in ihrem Einfluß auf die Strömung am Austritt. In dieser

Weise läßt sich eine einfache Methode zur Bestimmung der Strömungszuständeund der Kenngrößen einer Stufe ableiten, die für den Entwurf einer Turbo¬

maschine hinreichend genaue Grundlagen liefert.

Bei dem im folgenden behandelten Problem lassen sich zwei Fälle

unterscheiden:

19

Abb. 4. Strömung durch das Leitradgitter

a) Für eine Stufe seien sowohl die Strömung in der Ebene 0 — 0, als auch

die Schaufelformen des Leit- und Laufrades gegeben. Wie verläuft dann die

Strömung in den Ebenen 1 — 1 und 2 — 2 ? Welche Eigenschaften besitzt diese

Strömung?

b) Die Strömung in den Ebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2 ist vorgeschrieben.Welche Form müssen dann die Schaufeln haben, damit eine solche Strömungzustandekommt ?

Die Behandlung dieser zwei Probleme ist im wesentlichen die gleiche.

3. Allgemeine analytische Behandlung des Problems

Für die Strömung in einer Stufe, wie sie im vorigen Abschnitt definiert

wurde, wird folgendes vorausgesetzt:Am Eintritt in die Stufe handle es sich um eine Strömung konstanter

Energie, welche dementsprechend einen einheitlichen Ruhezustand besitzt.

Eine Strömung mit konstanter, über dem Radius axial gerichteter Geschwin¬

digkeit erfüllt diese Bedingung und wird für die folgenden Betrachtungen

angenommen. Der Ruhezustand dieser Strömung läßt sich auf Grund der

Geschwindigkeit und des bekannten thermodynamischen Zustandes am Ein¬

tritt bestimmen und ist durch T00 und p00 festgelegt.

20

/. Strömung im Leitrad

Die Strömung im Leitrad erfolgt ohne Arbeitsaustausch mit den Schaufeln,

so daß L = 0 ist. Für die Ebene 1 — 1 gilt also nach Gleichung (21):

%±= 1 - ^-i

•if,2 oder

Too K+lx

<(£)--£<•*.• (33)

Diese Gleichung, in Verbindung mit dem Ausdruck des radialen Gleichgewich¬tes und mit der Kontinuitätsgleichung, beschreibt unter Einbeziehung der

jeweiligen Randbedingungen die Strömung in der Ebene 1 — 1.

Das radiale Gleichgewicht ist durch die Komponente der dynamischen

Gleichung in Richtung des Radius (Gleichung (22)) gegeben. Ersetzt man in

dieser Gleichung £s und £u aus (25) und (26), wobei entsprechend den bereits

besprochenen Annahmen Mr = 0 und——y-

= 0 einzusetzen sind, so folgt

schließlich:

n 2

Durch Einsetzen von diT^T^) aus (33) wird:

M\x 1 AM? 1 d

m-^rn

dr) 2 dr)

dM.„, dM.

{Ml +MU

= -Jf„ -^ -M„ «i

Uldv

Sl dr,

(M,„ dM„\„

dM„

Es ist aber:

1

7] dr]

r =_^

iui dr]

.-. MUi-iZi-MSx-lul = 0 (35a)

oder m l«1 =Ml

Diese Gleichung zeigt, daß der Wirbelvektor (rot M) in der Austritts¬

strömung die gleiche Richtung haben muß wie die Austrittsgeschwindigkeit

21

Mx (in Übereinstimmung mit dem zweiten Helmholtzschen Wirbelsatz). Da

vor dem Leitrad eine wirbelfreie Strömung vorausgesetzt wurde, sind die am

Austritt vorhandenen Wirbel auf die Schaufelwirkung zurückzuführen.

a) Ist nun die Schaufelform gegeben, so muß der Austrittswinkel

<xx in Funktion von -q ausgedrückt werden und zugleich mit der Austritts¬

strömung durch folgende Beziehung verbunden werden:

ctg «i = irr (36)

Diese Gleichung setzt eine unendlich kleine Teilung voraus, wobei Austritts¬

richtung von Strömung und Schaufeln parallel sind. Sie entspricht ferner

unserer Annahme, daß die Geschwindigkeit Mx (der Ebene 1 — 1 ) sich schon

weitgehend an der Austrittskante eingestellt hat.

Wir ersetzen nun MUl aus (36) in (35):

Mit ctg2ax = F (tj), ergibt sich:

eine Differentialgleichung erster Ordnung, die sich durch Trennung der

Variabein lösen läßt. Von der Nabe aus integrierend, erhält man:

,Z(2)+ /"('»)

! d^t=-\ ^wf-^ oder:

nMZi 1

ff (q) F'ir,)

-JU-,. .

-d2

if J F(r,) + l

-jT= 6" <37)

Das Integral kann in eine Form gebracht werden, die seine graphische Berech¬

nung vereinfacht :

!F(V)

,

F'jr,)1 Lü _| l_LL- 1

F'i-q)[F(r,) + 1] 2 [*•(,)+!]

1 1

-[*(,<„„+.>*)]-J^vlF^j+l]

22

MÄh^K'"(£&IÄ «

oder

MZl i f ^ ( l ) + l |VSL di]

lW(ri)+ r\ (38a)

NMZl r, [F^ + l

Aus Gleichung (38a) ersieht man, daß MZi längs des Radius nach einer Expo¬nentialfunktion verläuft. Das Integral läßt sich in allen technisch wichtigenFällen graphisch leicht lösen. Unter Umständen ist es einfacher, die Lösung

analytisch, durch Zerlegung in Partialbrüche, durchzuführen.

Aus dem Verlauf von MZl ergibt sich unmittelbar auch der Verlauf von

Mu mit Gleichung (36) und M1 aus:

Ist M^ berechnet, so kann man mit Hilfe der Kurve p\pm und ® (M) die zuge¬

hörige Dichte und Massenstromdichte direkt bestimmen. Damit ist die Strö¬

mung in der Ebene 1 — 1 vollkommen gegeben.

b) Ist andererseits die Strömung in der Ebene 1 — 1 vorgeschrie¬ben, so ist sie es im allgemeinen durch den radialen Verlauf von Mm.

Nach Trennung der Variablen in Gleichung (35) wird diese:

TMU dMUllttl[ -n dv

dr, = -MSi-dMzl

Die Integration zwischen -q = 1 und 7? liefert:

M2 -M2 }m2 M2 - M2

2= J ,

-dr>+2

-

und schließlich:

Mx2 = XM^ -

1

(39)

(39a)

Die Gleichungen (39) und (39a) geben den radialen Verlauf von MZl be¬

ziehungsweise M1 an.

Die in den Gleichungen (38) und (39) erscheinende axiale Geschwindigkeitan der Nabe NMZl muß so gewählt werden, daß die Kontinuitätsgleichung im

ganzen zylindrischen Ringraum erfüllt ist. Zwischen den Ebenen 0 — 0 und

1-1 lautet diese Gleichung:

1?» V'

Jlo-ö*.drj0=J1j1-Öftdij1 (40)

23

Da am Eintritt Mz und p0jpw längs des Radius konstant angenommen

werden, ist auch ®e<j konstant. Es gilt folglich:

^[%2-l]=j\®sl^! (41)

Die mittlere axiale Stromdichte am Austritt ist gegeben durch:

(0) =1JNl^L^L=© (42)

Da ©Zl (yj) vorerst unbekannt ist, werden wir als erste Annäherung den

Mittelwert (®Zl)m (Gleichung (42)) im mittleren Radius einsetzen. Die Lösungfür die verschiedenen behandelten Fälle wird später weitergeführt.

Die in diesem Abschnitt abgeleiteten Gleichungen (35), (38) und (39) geltensowohl für kompressible als auch für inkompressible Strömungen. Für inkom-

pressible Strömungen sind einfach die Geschwindigkeitszahlen M durch die

entsprechenden Geschwindigkeiten c zu ersetzen. Der Einfluß der Kompressi¬bilität erscheint einzig in der Kontinuitätsgleichung (41), die für den Fall der

inkompressiblen Strömung lautet:

^W-l]=]'7,-Ctl-dr,

II. Strömung im Laufrad

Die absolute Strömung am Eintritt des Laufrades entspricht derjenigen amAustritt des Leitrades (in der Ebene 1 — 1), wie sie im vorigen Abschnitt

bestimmt wurde. Betrachtet man nun die Ebene 2 — 2 am Austritt des

Laufrades, so gilt dort nach Gleichung (20):

^ = 1-^XTW + 2£) (20a)1

oo K + l

L ist das dimensionslose Maß für die im Rad pro Masseneinheit geleisteteArbeit, entsprechend Gleichung (19). Diese Arbeit ist gegeben durch:

Wr = (%cMl-w2c„2)

% und u2 differieren wenig voneinander im Vergleich mit dem Unterschied

zwischen cUl und cM2, da die radialen Ablenkungen nur klein sind und sogar

an den zwei Begrenzungswänden gänzlich verschwinden. Man kann also

mit genügender Genauigkeit u^=u2 setzen, damit wird:

W = co-r(cUl-cJ (43)

24

Definieren wir nun eine Umfangs-Geschwindigkeits-Zahl:

if,.. = ^

so wird Gleichung (43), nach Division mit c*2:

L = v.Ma>(MUi-Mu.1)

(44)

(45)

Der Ausdruck des radialen Gleichgewichtes in der Ebene 2 — 2 ist die Gleichung

(34), wenn Index 1 durch den Index 2 ersetzt wird. Setzt man L aus (45) in

(20) ein und differenziert man nach -q, so wird:

d(T2IT0d -n

77 M 2

--j-*-+2MJMUl -Mm) + 2:,dMUl dMu\

In Verbindung mit der Gleichung des radialen Gleichgewichtes erhalten wir:

M2«2 d(Ml+Ml)

d;

IdM^ dM„\

und nach Umformen:

(-r,Mw + M^dMuA

,rdMz,

,riMu, dMm\if„2 dM„

(46)

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck (Abb. 5) geht hervor, daß:

In (46) eingesetzt:

dr\

dMz1 dt] (-f+-*f-° (46a)

Diese Gleichung beschreibt die Strömung in der Ebene 2 — 2 für den gegebenenEintrittszustand. Man kann sie weiter umformen mit Berücksichtigung der

Gleichung (35) und der Beziehung:

Man erhält schließlich:

MWU2 • £„ - Mz.2 £M2 - Mmi ^ + Mei iUl = 0 (47)

Für wirbelfreie Strömung vor dem Laufrad ist:

£ = 0 und 4, = 0, und folglich

M„ k--tf„-£* = o

25

Abb. 5. Geschwindigkeitsdreieck der Strömung in einer Turbinenstufe

was der Gleichung (35) des Leitrades analog ist, wenn man die absoluten

Geschwindigkeiten durch die relativen ersetzt. Diese Gleichung zeigt, daß der

Wirbelvektor am Austritt die Richtung der relativen Austrittsgeschwindig¬keit M,„ haben muß.

Wie für das Leitrad, unterscheiden sich nun zwei Fälle:

a) Die Schaufelform ist gegeben. Folglich ist auch der Austritts¬

winkel der Schaufel ß2 in Funktion des Radius bekannt.

Ctg& =?(??) =

M,xmi% V M...-M,.

M, M..(48)

Ersetzt man Mu und MWUi in (46), so wird:

- Mz% -g (,,)[- ^ -g (V) +Ma- MZ2 • g' (,) - g (,) • ü£± + M<^

M,(49)

Diese Gleichung hat die Form:

fi(v)-K +h (V) M« d~'+f3(v)-M,2=h(v)

wobei /j, /2, f3, /4 bekannte Funktionen von rj sind. Dies ist eine Differential¬

gleichung erster Ordnung, deren Lösung M (tj) liefert. Sie ist jedoch nicht

26

linear und besitzt deswegen keine allgmeine Lösung. Mit Hilfe der Rand¬

bedingungen läßt sie sich aber graphisch anhand der Isoclinienmethode lösen.

Die Randbedingungen sind hier durch die Kontinuitätsgleichung festgelegt,welche lautet:

ÏK Vd 7,= f&SlV d t, = % (V - 1). (50)

b) Ist der Strömungsverlauf in der Ebene 2 — 2 vorgeschrie¬

ben, so ist MV9 in Funktion des Radius angegeben.

Mu,2, = h(v) (51)

in (46) eingesetzt, ergibt:

[-vM^ + hir,)]'h(v)

+ h'(V)"

dt]V "> 4--

Diese Differentialgleichung erster Ordnung läßt sich durch Trennung der

Variablen lösen:

if2, d M,2 = J - nMa £ri + [vMm - h (,)]

= F(v)-dv

h(V)+ V(V) d;

(52)

MU-SMUii

I F(t])-dt)

NM^ ist hier wieder durch die Kontinuitätsgleichung (50) festgelegt.Auch hier gelten die Gleichungen (46), (49) und (50) für kompressible und

für inkompressible Strömung. Für die letztere gilt folgende Kontinuitäts¬

gleichung:,/4 2

[e»vdri=-^(7l*-l)

Laufschaufeln mit konstanter Zirkulation

Die längs des Radius konstante Zirkulation um die Schaufeln ist dimen¬

sionslos gegeben durch die Gleichung:

rr = 2nV(Mul-Mu.2)

Für rr{-q) = konst., gilt:

dy] Y dt] dt)

d(vMUl)=

djriMJ

dt] dt]

(53)

= 0

27

Dividiert durch 17, bedeutet dies, auf Grund von (27)

k = Z» = ^ (54)

d.h. die axiale Wirbelkomponente bleibt beim Durchströmen der Schaufeln

unverändert. Damit wird Gleichung (46a):

U^+^J-^/L, = °

oder:

MU2-tz-M,2-^ = 0 (55)

MJMH = W£*

d.h. der Wirbelvektor am Austritt wird in diesem Fall die gleiche Richtunghaben wie die absolute Austrittsgeschwindigkeit M2. Diese Gleichungist sehr wichtig für die Behandlung der Strömung in mehrstufigen Turbo-

maschinen.

KAPITEL 4

Die Strömung im feldfreien Raum zwischen zwei koaxialen Zylindern

1. Potentialströmung zwischen koaxialen Zylindern

Zur Erläuterung der graphischen Methoden betrachten wir den einfachen

Fall der Strömung im feldfreien Raum zwischen zwei koaxialen Zylindern.Die Strömung ist wirbelfrei vorausgesetzt:

rot M = 0.

Gleichungen (25), (26) und (27) werden dann:

_^»= 0, ^r_iM»

= o 8(T?Jf")^Q.dt,

'

8t, d 7]'

dt]

Daraus folgt, daß für Wirbelfreiheit die drei Komponenten von M folgendeBedingungen erfüllen müssen :

rj-Mu = Konst. = NMU (56)

Mz = Konst. = NMS (57)

Mr = 0. (58)

28

Die Kontinuitätsgleichung ist hier offensichtlich erfüllt. Da keine radialen

Geschwindigkeiten existieren, sind die Stromflächen koaxiale Zylinder. Die

Strömung ist die Überlagerung einer gleichförmigen, parallelen, axialen Strö¬

mung und eines Potentialwirbeis.

Wichtig ist hier hervorzuheben, da es sich um eine Strömung konstanter

Energie handelt, daß alle Geschwindigkeiten einen einheitlichen Ruhe¬

zustand besitzen.

Der Ruhezustand der Umfangs-Geschwindigkeits-Komponenten, welche

nach einem Potentialwirbel verlaufen, besteht für 77 = oo. Auch die axialen

Komponenten haben ihren Ruhezustand, welcher der gleiche ist für den ganzen

Querschnitt.

Sind nun in einer bestimmten Stromfläche, die wir hier an die Nabe legenwollen, der Geschwindigkeitsvektor M und die Zustandsgrößen bekannt, so

können sie graphisch für jede andere Stromfläche bestimmt werden. Die dazu

gebrauchten Verfahren, die sich nicht nur für diesen Fall, sondern auch für

jede andere Strömung anwenden lassen, werden im folgenden beschrieben.

2. Graphische Methode zur Bestimmung der kinematischen Größen

Es sollen die Geschwindigkeiten, die Zirkulation und der Reaktionsgradbestimmt werden. Das Prinzip der Konstruktion ist in Abb. 6 dargelegt.

In dieser Abbildung stellt OA die Geschwindigkeitszahl M, die bei dem

Radius 77 auftritt, in einem Maßstab m dar und ist gegenüber der waagrechtenGeraden OB um den Winkel a geneigt.

OA' = itf cosa = MuA'A= if sin a = Mz

OB wird so gewählt, daß es mit demselben Maßstab m die Geschwindigkeits¬zahl M = 1 darstellt. Senkrecht zu OB tragen wir weiter, mit dem Maßstab n

(i. allg. wird n^=m), die Strecke BC — 7] auf.

Die Strecke A' D', die wir mit h bezeichnen wollen, wird dann die Zirku¬

lation Fz um die Z-Achse darstellen.

Beweis:OA' OB

A'D~

BC

OA' --= l/m.JfBOB--= 1/mBC == 1/n-rj

so daß A'D = l\n(t]-Mu) = h wird.

29

Abb. 6. Prinzipskizze zur graphischen Methode für die Bestimmung der Zirkulation

um die Drehachse

Anderseits ist:„ -. ,,

rz= •lvn-Mu

d.h. r2 = 2n-h-n (59)

was die Richtigkeit der Konstruktion beweist.

Diese Konstruktion kann man für jeden anderen Radius wiederholen. Der

radiale Verlauf der Zirkulation ergibt sich dann als eine Kurve oder eine

Gerade und gibt ein anschauliches Bild ihrer Verteilung.Nun wird diese Konstruktion auf die vorher behandelte Strömung ange¬

wandt. Diese Strömung erfüllt die Gleichungen (56), (57) und (58). Aus (56)

folgt, daß die Zirkulation um die Zylinderachse längs des Radius konstant

bleibt. Dementsprechend wird sie vielfach „Strömung mit konstanter

Zirkulation" genannt.Für diese Strömung nehmen wir an, die Geschwindigkeit Ms an der Nabe

(^=1) sei gegeben. Durch Anwendung der vorher beschriebenen Konstruk¬

tion, wobei OA die Geschwindigkeit MN darstellen würde, läßt sich die Zir¬

kulation rz durch die Strecke h angeben. Da diese Zirkulation zunächst kon¬

stant bleiben muß, ist ihr Verlauf durch eine von D parallel zu OB gezeich¬nete Gerade gegeben (Abb. 7).

Aus dieser Konstruktion läßt sich dann leicht die Geschwindigkeitszahl M

für jeden anderen Radius -q bestimmen. Nimmt man zum Beispiel BE =

tjs =

dem Radius an der Spitze, so schneidet die Gerade OE diese, zu OB paralleleGerade, in F. Die Senkrechte von F schneidet eine von A parallel zu OB

gezeichnete Gerade in G, wobei dann OG die Geschwindigkeit Ms an der

Spitze angibt. In gleicher Weise kann man M für irgend einen Radius tj

bestimmen.

30

Abb. 7. Graphische Methode zur Bestimmung der kinematischen Größen der Strömungzwischen zwei koaxialen Zylindern

3. Graphische Methode für die Bestimmung der übrigen Kenngrößen

Damit die Strömung vollkommen gegeben ist, bleibt noch die zu jedemRadius gehörende Temperatur, Dichte und Massenstromdichte zu bestimmen.

Dies kann ebenfalls graphisch, an Hand der Kurven TjT00, p/p00 und 8 in

Funktion von M erfolgen.Man trägt M {-q) auf (siehe Tafel 2). Für irgend einen Punkt P mit dem

Radius -q ist M aus dieser Kurve gegeben. Gleichzeitig können für diese M

die Werte von plp00, TjTm und 0 unmittelbar abgelesen werden.

Für die gegebene axiale Komponente Mz, die hier konstant längs des Radius

bleibt, kann man die Kurve der axialen Massenstromdichte ©z = Mz-pjpm aus

der pIpqq (M)-Kurve unmittelbar bestimmen. Damit ist auch die axiale Massen¬

stromdichte @z im betrachteten Punkt gegeben.

Die durchströmende Menge

Durch einen Ringquerschnitt vom Radius -q und der Breite 8-q ist die

durchströmende Menge durch folgenden, dimensionslosen Ausdruck gegeben:

d& = 27T-7]-Srj-@z

Die totale durchströmende Menge ist dann:

ris

0=j 27T-7]-0z-dv (60)in

Ol

In Tafel 2 können wir für jeden Radius die entsprechende axiale Massenstrom -

dichte ablesen. Tragen wir nun ©z(r]) auf, multiplizieren wir sodann @z mit

seiner Abszisse, so erhalten wir die Kurve rj-6z(7]). Diese Kurve dient zur

Bestimmung der durchströmenden Menge und der meridionalen Stromlinien,

wie später gezeigt wird.

Der Integralwert \r\-®z-dr\ der Gleichung (60) wird durch die Fläche unter

w

der <9s-^-Kurve, zwischen den Werten r\N und -r]s dargestellt.Damit sind alle Strömungszustände bestimmt, und das Problem ist voll¬

ständig gelöst.

Geometrische Ortskurve der Strömungsgeschwindigkeiten

Für eine Strömung, welche die in diesem Kapitel gesetzten Bedingungenerfüllt, können wir eine Kurve definieren, die der geometrische Ort der Schnitt¬

punkte aller Geschwindigkeits-Komponenten Mu und Mz einer gegebenen

Geschwindigkeit M ist. Diese geometrische Ortskurve bestimmt sich aus dem

Schnittpunkt von zwei Kreisbögen: der erste vom Durchmesser M und mit

Zentrum auf der M-Achse in M/2, der zweite vom Radius Mz und Zentrum

in M.

Diese Kurve hat beim Ursprung einen Krümmungsradius Mz und läuft

asymptotisch gegen einen Wert Mz = konstant. Für irgend eine Geschwindig¬keitszahl kann man aus ihr die zwei Komponenten Mu und Mz bestimmen.

In Tafel 3 sind diese Ortskurven mit Mz als Parameter angegeben.

4. Zahlenbeispiel

Die Strömung verlaufe zwischen zwei zylindrischen Begrenzungswändenmit folgenden Durchmessern:

DN = 800 mm

Ds = 1200 mm.

Als Bezugslänge wird DN gewählt, damit wird:

7]N = 1,0 und r]s = 1,5.

Die Geschwindigkeitszahl Mw sei noch gegeben:

MN = 1,0 und oln = 30°.

Für das Medium ist k= 1,35 anzunehmen.

32

Für p/p0 und T/T0 findet man nach Gleichungen (31) und (32):

TjT0= 1-0,149 J/2

pjPo = (1-0,149 Jf2)2.86

Mit den zwei graphischen Methoden, welche die Strömung vollkommen

bestimmen, findet man:

rz == 5,45

0 = 1,41

Die Lösung des Problems ist in Abb. 7 und Tafel 2 gegeben.

KAPITEL 5

Potentialströmung durch eine Stufe

1. Einleitung

Zu folgenden Betrachtungen setzen wir eine Stufe, wie sie in Kapitel 3

definiert wurde, voraus. Wir nehmen an, die Strömung am Eintritt in die

Stufe sei eine Potentialströmung, welche aber im Gegensatz zu den bisher

getroffenen Annahmen nicht axial sein muß. Es handelt sich aber wohl, da

es eine Potentialströmung ist, um eine Strömung konstanter Energie, die also

einen einheitlichen Ruhezustand besitzt.

Es fragt sich nun, ob es möglich ist, den Charakter der Potentialströmung,der am Eintritt vorhanden ist, durch das Gitter beizubehalten. Wenn ja,welche Bedingungen muß die Schaufelform erfüllen? Wie verlaufen die Kenn¬

größen der Stufe in radialer Richtung ?

2. Die Strömung in den Spaltebenen

Nach den Annahmen von Kapitel 3 ist in den Kontrollebenen 0 — 0, 1 — 1

und 2 — 2 die Strömung schon ausgeglichen und besitzt keine radialen Ge¬

schwindigkeits-Komponenten mehr. Sie ist also die gleiche wie die im Kapitel 4

behandelte Potentialströmung im feldfreien Raum. Folglich gelten auch die

dortigen Bedingungen, welche sich für die Ebene 0 — 0 folgendermaßen schrei¬

ben lassen:

33

Nach (31) und (32) ist:

•itfUo= konst. = „MUi) (61)

MZ(s = konst. = NMZ0 (62)

k = 1-^M°*i

(63)

(l-^|jf..)^i (64)Po

Poo

Beim Durchströmen des Leitrades findet kein Energieaustausch zwischen

Medium und Schaufelung statt, so daß die totale Energie unverändert bleibt

(L = 0). In der Ebene 1 — 1 gelten also auch die Gleichungen (63) und (64),

wobei der Index 0 durch den Index 1 zu ersetzen ist.

Die Strömungszustände in den Ebenen 0 — 0 und 1 — 1 lassen sich durch die¬

selben Kurven, die auch für die Strömungszustände innerhalb des Schaufel¬

gitters selbst gelten, darstellen.

Im Laufrad gibt das Medium einen Teil seiner Energie an die Schaufelungab (Turbine), oder nimmt von der Schaufelung Energie auf (Kompressor).Der Betrag dieser Energie ist durch Gleichung (45) gegeben.

Für Potentialströmung muß aber -q Mu in den beiden Ebenen 1 — 1 und

2 — 2 längs des Radius konstant sein. Daraus folgt, daß auch L konstant sein

muß, d. h. in jedem Radius ist derselbe Energiebetrag umgesetzt.

Lst. = Mw (XMU1 -XMJ = konst. (65)

Demnach ist auch die Temperatur, gegeben durch Gleichung (20a), für jedenRadius durch dieselbe Kurve in Funktion von M dargestellt. Das Gleiche giltfür die Dichte, die sich aus folgender Beziehung bestimmt:

-^=(1-^(^+2 2,«.))^ (66)

In den betrachteten drei Ebenen müssen noch die Kontinuitätsgleichungen(40) und (50) erfüllt sein.

Da für die vorher gefundenen StrömungsVerhältnisse die Dichte sich bei

konstantem Mz längs des Radius ändert, entsprechend der Änderung der

totalen Geschwindigkeit M, wird sich auch die axiale Massenstromdichte

Ms-p/p0 längs des Radius ändern. Demzufolge werden die Stromlinien radial

nach innen respektiv nach außen abgelenkt.Ist die Strömung als inkompressibel zu betrachten, so nimmt die Kon¬

tinuitätsgleichung folgende Form an :

c20 = cn = cS2 (67)

Die Strömung verläuft in diesem Fall längs koaxialen Zylindern und

erfahrt keine radiale Ablenkung in den Schaufeln.

34

3. Die Strömung innerhalb der Schaufelkränze

Bis jetzt haben wir die Strömung nur in den Spaltebenen 0 — 0, 1 — 1 und

2 — 2 betrachtet und die Bedingungen abgeleitet, die erfüllt sein müssen, damit

dort Potentialströmung herrscht. Es stellt sich die Frage, ob die Wirbelfreiheit

auch innerhalb der Schaufeln erhalten werden kann.

Für die inkompressible Potentialströmung wurde festgestellt, daß

die Strömung axial verläuft. Die Abwesenheit von radialen Strömungen in

diesem Fall gestattet das Einhalten der Wirbelfreiheit der Strömung in dem

Schaufelgitter, indem man in jeder normalen Schnittebene die zwei Bedingun¬

gen (61) und (62) erfüllt. Die Wirbelkomponenten verschwinden in der axialen

und in der Umfangsrichtung. In radialer Richtung existiert jedoch wegen der

Strömungsablenkung im Gitter eine Wirbelkomponente

r =_^£»tr~

dz

Das Gitter kann also durch eine radiale Wirbelschicht, die die gleiche Ablen¬

kung der Strömung hervorruft, ersetzt werden.

Um die Kontinuitätsgleichung auch innerhalb der Schaufelkränze anwenden

zu können, führen wir einen Verengungskoeffizienten r ein.

für den Durchtritt des Gases freier Ringquerschnitt

gesamter Ringquerschnitt.

Dieses Verhältnis ändert sich sowohl in radialer als auch in axialei Richtung,da die Schaufeldicke sich axial und radial ändert.

Die Kontinuitätsgleichung für irgend einen Normalquerschnitt wird somit:

ezo-Vo.Srlo = r-0z.V.SV (68)

Hier ist t ein Mittelwert über S ij.

Für inkompressible Strömung wird diese Gleichung:

Dabei wurde berücksichtigt, daß in diesem Fall: 8-q =8r]0.Tritt nun die Kompressibilität in Erscheinung, so entstehen,

als Folge der radialen Änderung der axialen Massenstromdichte, radiale

Strömungen, die innerhalb der Schaufelkränze beträchtlich sein können.

Die Dichteänderung wächst mit der Umfangskomponenten der Strömungs¬

geschwindigkeit, wie aus (34) hervorgeht. Zugleich wächst auch die Änderungder axialen Stromdichte, sofern Mz sich verhältnismäßig wenig längs des

Radius ändert. Daraus schließen wir, daß die radiale Geschwindigkeit sich

von einer Normalebene zur nächsten ändert entsprechend der Änderung der

35

N\\\\

Abb. 8. Strömung innerhalb der Schaufelkränze. Skizze zur Differenzenrechnung

Umfangskomponenten der Strömungsgeschwindigkeit. Die dadurch entstehen¬

den Wirbelkomponenten in der Meridiansebene können durch eine radiale

Änderung von Mz ausgeglichen werden.

Im letzteren Fall ist £„ = 0 zu setzen und nach (26):

dM,_ 8_Mz8Ç

~

dr,(69)

Mit Hilfe der Differenzenrechnung kann man Mz Schritt für Schritt in jedernormalen Schnittebene bestimmen.

Ist Mz in einem Punkt P(r),t) der normalen Schnittebene E gegeben

(Abb. 8), so gilt im nahe liegenden Punkt P' (£, -q + B-q) der gleichen Ebene:

oder durch Ersetzen von8M,8 rj

aus (69):

Me(Z,v + Sv) = M,U,v)+(^Y ^8- (70)

Wir betrachten zunächst eine Normalebene im kleinen Abstand § £ von der

Ebene 0 — 0. Es seien sowohl NMZ an der Nabe gegeben als auch der radiale

36

Verlauf des Verengungskoeffizienten r. Ausgehend von der Nabe läßt sich mit

Hilfe der Kontinuitätsgleichung (68) der kleine radiale Abstand 8rj, der 8ij0am Eintritt entspricht, bestimmen. Dabei ist zu berücksichtigen, daß rj0N = r)N.

Da-^y

an der Nabe verschwindet, ist im Punkt (rjy+ 87], £0 + S£) nach

Gleichung (70) noch: MZ = NMZ. In erster Annäherung ist in diesem Punkt Mrgegeben durch die Beziehung:

Mr S17 — 6 770

und da an der Ebene 0 — 0, Mr — 0 angenommen wird, folgt:

*-*;) Jjü±!^.m (vi)

In einem Punkt, der um 2 S17 von der Nabe entfernt liegt, wird dann nach

Gleichung (69):

Htts + ih-q, £0 HS£) %v+8)7,^+8^^

(S£)2z ^

Dadurch ist Jfa in diesem neuen Punkt bestimmt. So geht man Schritt für

Schritt vor, bis man zur Spitze gelangt. Der gefundene Verlauf von Mz muß

die Kontinuitätsgleichung erfüllen:

jMi9.^--ri0-dr,0=Jr-Ms.^--V.dV'In POO >1N Poo

Andernfalls muß man ein anderes NMZ annehmen und die Rechnung wieder¬

holen. Der Vorgang wiederholt sich für jede der im Abstand S£ hegendenNormalebenen.

Damit ist die Strömungsgeschwindigkeit M und der Verlauf der meridio-

nalen Stromlinien in jedem Punkt zwischen 0 — 0 und 1 — 1 bestimmt. Die

Schaufelform ist daraus eindeutig gegeben.

4. Graphische Bestimmung der Strömungszustände und der

meridionalen Stromlinien

Für eine Stufe seien in der Ausgangsstromfläche, die an der Nabe gewähltwird, der Verlauf des Geschwindigkeitsvektors M und der Dichte p/p00 gegeben.Auf graphischem Wege wird nun der radiale Verlauf dieser beiden Größen in

den Ebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2 ermittelt. Daraus lassen sich die Kenngrößender Stufe, wie z.B. der Reaktionsgrad und das Umfangsgefälle für jedenRadius bestimmen. Ferner kann man damit auch die meridionalen Strom¬

linien näherungsweise aufzeichnen.

37

a) Bestimmung der Geschwindigkeiten, des Umfangsgefällesund des Reaktionsgrades

Wir betrachten zuerst die Strömung in der Ebene 0-0. Sie ist der

im letzten Kapitel behandelten Strömung im feldfreien Raum zwischen

koaxialen Zylindern gleich. Die dort gebrauchte Konstruktion (Abb. 7) kommt

für die Bestimmung der Geschwindigkeit M0 in jedem Radius zur Anwendung

(Tafel 5). Der Abstand h, den wir hier mit h0 bezeichnen, ergibt längs des

Radius konstante Zirkulation F, um die Drehachse.so

Auf ähnliche Weise werden die Geschwindigkeiten M1 der Ebene 1 — 1 und

M2 der Ebene 2 — 2 bestimmt. Die Zirkulationen in diesen Ebenen sind durch

ht und h2 dargestellt.Daraus folgt die Zirkulation um das Leitrad:

r,=rzo-rzl = 27r-w.(A0-A1) (72)

und um das Laufrad:

rr = r01-r22 = 27r-».(A1-A2) (73)

rr ist ein Maß für die in den Laufschaufeln geleistete Arbeit. Nach (45) ist:

= n-Mw(h1-h2) (74)

Diese Arbeit ist gleich dem in der Stufe umgesetzten Umfangsgefälle hu:

hu = Alg-c**-L kcal/kg (75)

Für die betrachtete Stufe ist hu vom Radius unabhängig.Bei verlustfreier Strömung beträgt das totale Stufengefälle:

In vielen Fällen ist der Unterschied zwischen c2 und c0 klein und kann

vernachlässigt werden. Dann gilt:

Kt. = K (76)

Weiter lassen sich auch die relativen Geschwindigkeiten MWi und Mm für

jeden Radius bestimmen, indem man vom Ursprung aus die Umfangs¬geschwindigkeit rj-M^ aufträgt (z.B. in der Mitte: OM' = rjMMw). Die Rela¬

tivgeschwindigkeiten sind dann gegeben durch die Geraden zwischen den End¬

punkten dieser Umfangsgeschwindigkeiten und den Spitzen der Absolut¬

geschwindigkeiten (an der Nabe: M'A = MWi und M'K = MW2).

38

Der Reaktionsgrad

Der Reaktionsgrad einer Turbomaschinenstufe ist im allgemeinen durch

folgenden Ausdruck definiert:

h M2 ~M2

K + K M^-M2W1+ M^-M02{ '

Dabei ist:

hr = Gefälle im Laufrad,

ht = Gefälle im Leitrad.

Mit Berücksichtigung von (75) und (76) wird Gleichung (77):

M2—M2

R = M^M^ (?8)

Gleichung (78) läßt sich für jeden Radius graphisch darstellen.

Wir werden dies für die Mitte durchführen (Tafel 5a).

Mm = AM' m

Mw^ = M' K m, dabei ist m der Maßstab für die Geschwindigkeitszahlen.

Ml, - M2Wi = m2(M'K*-A M'2)

Über M'K zeichnet man den Halbkreis k, mit M'K als Durchmesser; von M'

aus einen Bogen mit dem Radius A M', der den Kreis k in I schneidet. Dann

wird: —

IK2 = M'K3-AM'2 und weiter:

m2-ÏK2

Ii"-2nM<u(h1-h2) (79)

Mit dieser Konstruktion kann E für jeden Radius bestimmt werden.

Für den Fall der Stufe mit Potentialströmung läßt sich fol¬

gende, einfache Beziehung für den radialen Verlauf des Reak¬

tionsgrades herleiten.

In Gleichung (78) kann man setzen:

M2 -M2 = (M2 -M2 ) + (M2 ~M2 )

Da im allgemeinen der Unterschied zwischen M^ und MZi klein ist gegenüberdem Unterschied zwischen MWUi und MWUi, kann man in dieser Gleichung das

zweite Glied der rechten Seite weglassen. (Diese Annahme ist für die inkom-

pressible Strömung streng erfüllt.)

M12-M2W1 = (M^-Mmi) (*£„„, +MWUl)

= {MI,1-MUI)(MU,I2 + MWU1)

39

Dies in (78) ersetzt und ferner für L den Ausdruck (45) benützt, liefert:

R =

(M^+M^)2V-Mt

Es ist aber:\

- ^1WU2 «2

M,„,„= M„n-ri-Mu

Mwu^Mm-y1-Mw und:

^„3 + ^Ml = konst. l/r,

Durch Einsetzen dieser Mw-Werte in obiger Gleichung und durch Umformen

gelangt man schließlich zu folgender Form:

oder

Aus dieser Gleichung ersieht man, daß R mit wachsendem Radius stark

zunimmt.

Es ist zu bemerken, daß diese Beziehung nur dann streng erfüllt ist, wenn

das strömende Medium inkompressibel ist, da dort cg = cZ2.Ist dagegen das Medium kompressibel, so ist für eine Turbinenstufe mit

zylindrischen Begrenzungswänden Mz% > MZi > MZo.Gleichung (77) kann man folgendermaßen schreiben:

B=(Ml^-Ml^ + iMl-M^)

2r,-Mto(MVa~MUl) + {M0*-M2*

Da MZi>MZfj, dagegen im allgemeinen MU2 = MVf) eingesetzt werden kann,

folgt, daß M2 > M0. Das zweite Glied im Nenner wird also negativ. Anderer¬

seits addiert sich zum Zähler ein zusätzliches positives Glied, so daß R größerwird. Wir haben also folgendes Resultat:

Bei Einfluß der Kompressibilität wird der Reaktionsgrad

längs der Schaufeln immer stärker variieren als bei gleicher

Schaufelung und inkompressiblem Medium.

Dieser Satz, der nicht bloß für Potentialströmung, sondern auch für jedeandere Strömungsart gilt, wurde schon von Traupel [15] qualitativ abgeleitet.

b) Bestimmung der thermodynamischen Zustandsgrößen und der

meridionalen Stromlinien

Diese geschieht auf gleiche Art wie in Kapitel 4 für Potentialströmung im

feldfreien Raum. Für die Ebenen 0 — 0, 1 — 1 gelten die gleichen TjT00- und

40

A^

îc<

K

/V M S ?

Abb. 9. Graphische Methode zur Bestimmung der Meridianstromhnien

p/p00-Kurven nach Gleichung (63) und (64), fur die Ebene 2-2 nach (20)und (66).

Wir bestimmen die axiale Massenstromdichte 0S (M) und tragen sie über -q

auf, woraus sich die Kurve -q-@s(M) unmittelbar ergibt.Wenn die Begrenzungswande zylindrisch sein sollen, folgt aus der Kon-

tinuitatsgleichung (50), daß die Flachen unter den Kurven tj-&„(?)), von -qN

bis rj8 fur die Ebenen 0-0, 1-1 und 2-2 gleich sein müssen. Wie bereits

erwähnt, ist diese Bedingung durch die passende Wahl der axialen Geschwin¬

digkeitskomponenten Mei in einer jeden dieser Ebenen zu erfüllen. Eine

Methode zur Bestimmung von MZlii wird spater angegeben.Man kann nun die radiale Verschiebung der Stromlinien zwi¬

schen den Ebenen 0-0, 1-1 und 2-2 graphisch wie folgt ermit¬

teln:

Fur die Ebenen 0-0 und 1-1 gilt nach der Kontinuitatsgleichung (68):

& ^o-8r?o & •%-ô1?i (68a)

0 den AbstandMan betrachtet eine méridionale Stromlinie, die in der Ebene 0

a0 b0 = S 7]0 von der Nabe hat.

Die linke Seite der Gleichung (68a) ist durch die Flache a0b0b0'a0' zwischen

der rj-Achse und der 77• <9Zo-Kurve dargestellt (Abb. 9). In der Ebene 1 - 1 ist

der Abstand a1b1 von der Nabe aus so zu wählen, daß die Flache a16161'a1'zwischen der Kurve -q-@Zl und der 77-Achse gleich ist der Flache a0b0b0'a0'.

Die méridionale Stromlinie durch b0 muß auch durch bx laufen. Die radiale

Ablenkung dieser Linie ist :

«] b1- a0b0

Auf diese Weise geht man radial Schritt fur Schritt vorwärts und bestimmt

zu den Punkten a0,b0,c0,d0.. .der Ebene 0-0 die entsprechenden Punkte

41

a1,b1,c1,d1... der Ebene 1 — 1. Das gleiche wiederholt man mit der Kurve

V' ®s„ (v) un(i bestimmt die Punkte a2, b2, c2, d2.. .

der Ebene 2 — 2. Die radiale

Ablenkung im Laufrad ist somit:

a2b2~axbx

Der Verlauf der meridionalen Stromlinien zwischen den so bestimmten Punk¬

ten a0axa2, b0b1b2... kann auf Grund des Geschwindigkeitsverlaufs näherungs¬weise gezeichnet werden.

Dieser Verlauf von M innerhalb der Stufe ist durch einen Geschwindig-

keitshodographen darstellbar (Tafel 5b). Für eine Stromfläche ist dann

für jeden Punkt innerhalb der Schaufelkränze die Geschwindigkeit in Betragund Richtung festgelegt. In Tafel 5 b ist dieser Verlauf für eine Stufe mit

R — 0 an der Nabe gezeigt.Wie früher erklärt wurde, entspricht der radialen Ablenkung der Strom¬

linien eine axiale Änderung der radialen Geschwindigkeitskomponenten, deren

Betrag hauptsächlich von der Größe der Umfangskomponenten abhängt.Daraus kann man folgendes schließen:

Strömt das Medium in einer Richtung mit abnehmendem Mu,so werden auch die nach außen gerichteten radialen Geschwin¬

digkeitskomponenten abnehmen. Demzufolge wird die méridio¬

nale Stromlinie nach innen abgelenkt. Umgekehrt, wenn Mu

zunimmt, werden die Stromlinien nach außen abgelenkt.Mit Hilfe dieses Satzes und dem Geschwindigkeitshodographen vom

Stufeneintritt bis zum Stufenaustritt kann man den Verlauf der meridionalen

Stromlinien in den Schaufelkränzen angenähert aufzeichnen.

5. Rechnungsgang für den Entwurf einer Stufe mit Potentialströmung

Für den Entwurf einer Turbinenstufe sind im allgemeinen vorgeschrieben :

das sekundliche Gewicht des strömenden Mediums, der Nabendurchmesser,

die Schaufelhöhe und der Strömungszustand am Eintritt.

rs

G = J p-g-cz-27rr-dr kg/sec

= iTr^-pwg-^lpjpM-Mz-iq-äT]

= rN2-p00g-c*-$ (81)

Dabei ist 0 nach Gleichung (60) das dimensionslose Maß für das Gewicht des

sekundlich strömenden Mediums.

42

Aus 0 läßt sich die mittlere axiale Massenstromdichte (<PS])m nach Glei¬

chung (42) bestimmen. Wir werden zunächst annehmen, daß die

mittlere axiale Massenstromdichte sich im mittleren Radius

befindet. Dies stellt in den meisten Fällen eine gute Annäherung an die Wirk¬

lichkeit dar..„ . .„

,

(ö,)m = (@^)m

a) Das Leitrad

Wir wählen nun den Austrittswinkel ax des Leitrades im mittleren Radius:

(®zx)m = MMX sin <xx W/pooWoder

= mMi-{PiIpw)m = (0iWsm^

Aus der @x (M)-Kurve kann man die zu diesem Wert von @x gehörende Ge¬

schwindigkeitszahl MMX unmittelbar bestimmen.

In vielen Fällen ist die maximale Geschwindigkeit am Austritt

vorgeschrieben. Diese Geschwindigkeit wird zuerst an der Nabe auftreten,

so daß dort die Geschwindigkeitszahl lXM1 ihren maximalen Wert haben wird.

Aus der p/p00-Kurve kann man unmittelbar den zu diesem M gehörendenpJpw-Wert ablesen. Sodann wählt man versuchsweise den Austrittswinkel x<xv

Bei dieser Wahl muß in Betracht kommen, daß NM1-sin<x1-(p1lp00)s etwas

kleiner als (ßZl)M wird. Durch diese Bedingung beschränkt sich die Wahl von

oc1 auf einen sehr kleinen Bereich, so daß man schnell zum richtigen Wert

gelangt. Nun ist MMZ = NMZl = yikfj-sin vax bekannt. Ferner ist:

M1 = MU1 +MM'Z1

(Pi/Poo)m kann aus der p//o00-Kurve abgelesen werden. Damit wird:

(02lW = (PiIPw>)m-mMz1

Stimmt dieser gefundene Wert mit dem vorgeschriebenen (@Sl)M überein, so

ist unsere Annahme richtig; widrigenfalls ist eine andere Annahme zu machen

und der Rechnungsgang zu wiederholen.

Hat man die Geschwindigkeitszahl M1 in Richtung und Betrag in irgendeinem Punkte der Austrittsebene 1 — 1, so läßt sich die Strömung, nach den

früher erklärten Methoden, in jedem anderen Punkte vollkommen bestimmen.

b) Das Laufrad

Die mittlere axiale Massenstromdichte ist in der Ebene 2-2 durch

(8h)h = (®h)m gegeben.

43

Im aligemeinen ändert sich die Austrittsdichte (/o2/p0o) über dem Radius

nur wenig, weil Mu, welches die Änderung von M2 und der Dichte verursacht,

in den meisten Fällen klein ist. Da andererseits Jf über dem Radius konstant

bleibt, so folgt, daß (&Zi)N nur wenig von {&Zi)M abweicht. Für den Entwurf

nimmt man also {&z^jN etwas kleiner als {®^M an-

Der Reaktionsgrad darf keinesfalls negativ werden. Der kleinste Reaktions¬

grad befindet sich an der Nabe und darf also nicht kleiner als 0 sein. Wir

nehmen beispielsweise an: RN = 0, somit ist:

(PnlPooh = (PiIpoo)n

. Jv^2 = (6>22).v/Wpoo)iv

Daraus ergibt sich JfS2. Und da M = MWi, läßt sich nun das Austritts-

geschwindigkeits-Dreieck aufzeichnen und daraus M2 bestimmen.

Der radiale Verlauf von M2 und die übrigen Strömungszustände bestimmen

sich dann graphisch, wie vorher erklärt.

6. Zahlenbeispiel

Für eine Turbinenstufe sind folgende Daten gegeben :

v«o =71°

A.ax = 17° 28' sin^a! = 0,300

rix= 1 wächst bis:

n's = 1.5

Mm = 0,44

Für die Berechnung wurde k= 1,35 genommen.

Man wendet die graphische Methode zuerst für die Ebene 1 — 1 an und

bestimmt dort die verschiedenen Strömungszustände. Sie sind in Funktion

des Radius in Abb. 14 gegeben. Man findet:

0 = 0,138-277 = 0,884

Daraus folgt nach Gleichung (42):

(0Zl)M = 0,221 = (@JM = (0JM

Nach einem Rechengang, welcher demjenigen zur Bestimmung von M1 ähnlich

ist, findet man in der Ebene 0 — 0:

MZ0 = 0,23

Die Eintrittsströmungszustände können dann ebenfalls für jeden Radius

graphisch bestimmt werden.

44

Für das Laufrad nimmt man an: i? = 0 an der Nabe. Mit der Annahme

(0^)^ = 0,220, welche sich als richtig erweist, findet man:

MZ2 = 0,35 und

Lst = 0,432

Somit lassen sich die Strömungszustände in der Ebene 2 —2 in Funktion

des Radius bestimmen. Sie sind in Tafel 4 aufgetragen.Der Reaktionsgrad kann auch graphisch bestimmt werden. Er variiert von

J? = 0 an der Nabe bis i? = 0,60 an der Spitze.Mit Hilfe des Geschwindigkeitshodographen, welcher für die Nabe ange¬

nommen wird, wird der Verlauf der meridionalen Stromlinien schätzungsweise

aufgezeichnet. Ebenfalls werden in Tafel 4 und 5 die Schaufelprofile an der

Nabe und an der Spitze angegeben. Man sieht daraus, daß sowohl das Leitrad

als auch das Laufrad stark verdreht werden müssen.

KAPITEL 6

Strömung mit konstanter axialer Massenstromdichte

1. Einleitung

Wie im vorhergehenden Kapitel gezeigt wurde, sind die Stromflächen im

Falle der Potentialströmung eines kompressiblen Mediums durch eine Stufe

keine koaxialen Zylinder. Es treten infolge der radialen Änderung der axialen

Massenstromdichte Querströmungen auf.

Damit eine rein axiale Strömung zustande kommen kann, ist die axiale

Massenstromdichte längs des Radius konstant zu halten. Für zylindrische

Begrenzungswände muß dann, wie es aus der Kontinuitätsgleichung hervor¬

geht, diese axiale Massenstromdichte vor und nach den Schaufeln, d h. in den

Ebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2 gleich sein.

0ZO = &Zl = &Z2 = Konstant (82)

Es treten dabei Wirbel auf, so daß es sich nicht mehr um eine Potentialströmunghandelt. Beim Verschwinden des Kompressibilitätseinflusses geht jedoch diese

Strömung in Potentialströmung über. Dabei ist bekanntlich cz überall kon¬

stant, so daß die Strömung axial verläuft.

45

2. Analytische Grundbetrachtungen

Wir nehmen an, daß am Eintritt die Geschwindigkeit über den ganzen

Querschnitt konstant und axial sei. Sie besitzt also für jeden Radius den

gleichen Ruhezustand Tw, p00, p00.

a) Die Strömung nach dem Leitrad

Für die Strömung im Leitrad, die ohne Energieaustausch erfolgt, geltenfür den Verlauf der Temperatur und der Dichte die Energiegleichungen nach

(31) und (32). Wir betrachten die Ebene 1 — 1 am Leitradaustritt. Nach

Differentiation der Gleichung (31) erhält man für (33) folgende Form:

(33) ^l=s.^.2M1dM1J

oo« T i

Das radiale Gleichgewicht in dieser Ebene ist durch Gleichung (34) gegeben:

Ersetzt man hier diT^T^) aus (33), so wird:

*2U__**L_ (82)

Nach Integration von 77= 1 (Nabe) bis 77 ergibt sich:

SdMt

„Mux cos <*i

77 = eM> (83)

woraus für jedes M1 das entsprechende 77 errechnet werden kann. Dies erfolgt

graphisch anhand der p/|O0o-Kurven und der ©-Kurven, wie es im nächsten

Abschnitt gezeigt wird.

b) Das Laufrad

Im Laufrad findet ein mit dem Radius variabler Energieaustausch zwischen

den Schaufeln und dem strömenden Medium statt. Der Temperaturverlauf ist

in der Ebene 2 — 2 durch (20a) gegeben. In dieser Gleichung ändert sich L,

entsprechend der Änderung von 7? MUl und 77• M^. Diese Tatsache macht die

direkte Verwendung der Gleichung zur graphischen Lösung umständlich, da

für jeden Radius andere Arbeitskurven benötigt würden.

Um die graphische Behandlung des Problems zu erleichtern, führen wir

eine Vereinfachung ein, welche für die meisten Fälle zulässig ist.

Wir nehmen an, daß L längs des Radius konstant bleibt und

setzen es der im mittleren Radius umgesetzten Arbeit gleich.

46

Der Fehler, der durch diese Annahme begangen wird, ist, wie es sich noch

anhand eines Zahlenbeispieles zeigen wird, nur sehr gering. Bei verschwinden¬

dem Kompressibilitätseinfluß bleibt L tatsächlich über dem Radius konstant.

Je kleiner also das DruckVerhältnis der Stufe ist, desto kleiner wird auch der

Fehler sein1).Mit dieser Annahme und durch Kombination der Energiegleichung (20a)

mit der Gleichung des radialen Gleichgewichtes in der Ebene 2-2 kommt man,

wenn man den Index 1 durch den Index 2 ersetzt, zu einer Gleichung, die

durch (83) gegeben ist. Die Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeiten so¬

wie der anderen Zustandsgrößen wird hier ebenfalls graphisch erfolgen.

3. Graphische Lösung des Problems

a) Strömung mit konstanter axialer Massenstromdichte, ohne Energieaustauschim Raum zwischen zwei koaxialen Zylindern

Der Verlauf der Temperatur, der Dichte und der Massenstromdichte in

Funktion von M ist durch (31) und (32) bzw. (30) gegeben. Die konstante

axiale Massenstromdichte &z = konst. stellt eine waagrechte Gerade dar

(Tafel 7). Für irgend eine Geschwindigkeitszahl M=AO ist AC die entspre¬

chende Massenstromdichte. AC schneidet die Gerade @z = konst. in B. Die

Parallele zu OC, durch B, schneidet die M-Achse in D.

AD = MzBeweis:

AB/AC = AD/AO aber: AB = M,-plPoAC =M.plPoOA=M

.-. AD =MZ

Der Punkt E, Schnittpunkt des Kreises mit dem Durchmesser OA und des

Bogens um A mit dem Radius AD, bestimmt die beiden Komponenten Muund Mz von M. Wiederholt man diese Konstruktion für verschiedene M-Werte,

x) Die radiale Variation von Tm, also des Ruhezustandes der Strömung in der Ebene

2—2 ist ein Maß der Änderung der abgegebenen Energie in radialer Richtung. Nach

Gleichung (20a) mit M% = 0, für Ruhezustand wird:

pt=l-!L^.2L (84)1

00 K-f 1

Nehmen wir also L — konst. an, so entspricht dem die Annahme eines konstanten Ruhe¬

zustandes am Eintritt der nachfolgenden Stufe.

47

so erhält man die Punkte Ev E2, E3.... Diese Punkte bestimmen die Orts¬

kurve der Schnittpunkte der beiden Katheten Mu und Mz eines rechtwinkligenDreieckes, dessen Hypothenuse M ist. Damit kann man also, sobald man M

kennt, seine beiden Komponenten bestimmen, oder umgekehrt kann man M

bestimmen wenn eine dieser Komponenten gegeben ist.

Zu jeder axialen Massenstromdichte 0Z gehört eine bestimmte Ortskurve.

In Tafel 6 sind diese Ortskurven für verschiedene ®z dargestellt. Dabei ist der

Isentropenexponent k = 1,35. (Vergleiche diese Kurven mit denjenigen von

A. Betz [1]).Die Eigenschaften dieser Ortskurven sind folgende:Im Ursprung ist der Krümmungsradius OFJ2, dabei ist F durch den

Schnittpunkt der ©-Kurve und der Geraden &z = konst. gegeben. OF gibt die

Strömungsgeschwindigkeit an, wenn diese rein axial verläuft. Eine durch 0

gezeichnete Tangente zur Ortskurve gibt den minimalen Winkel a an, den

die Strömung besitzen kann. Der Berührungspunkt liegt auf dem Halbkreis

mit dem Durchmesser 1 und ist die Grenze zwischen dem Unterschall- und

dem Überschallgebiet der Kurve. Bei irgend einem anderen Winkel a schneidet

die, der M-Achse gegenüber um a geneigte Gerade, diese Kurve in zwei Punk¬

ten, welche zwei mögliche Lösungen darstellen. Eine dieser Lösungen wird im

Unterschallgebiet sein, die andere dagegen im Überschallgebiet.

b) Heranziehung des radialen Gleichgewichtes zur Bestimmung der

Strömung nach dem Leitrad

Wir betrachten die Strömung in der Ebene 1 — 1 nach dem Leitrad. Für

diese Ebene gilt, neben den vorher definierten geometrischen Ortskurven,

die Bedingung des radialen Gleichgewichtes nach Gleichung (82).Die Geschwindigkeit M1 sei an der Nabe gegeben. Ferner sei @Zl = @Zo vor¬

geschrieben, so daß man die Ortskurve für diesen Wert aufzeichnen kann.

Aus dieser Kurve lassen sich die zwei Komponenten MZi und MUi für jedenM-Wert bestimmen.

Der radiale Verlauf von Mx kann nun folgenderweise gefun¬den werden:

Für verschiedene M-Werte bestimmt man aus der Ortskurve die zugehöri¬

gen MUi-, ocj- und M cos o^-Werte, welche direkt abgelesen werden können

(Tafel 7). Damit trägt man die Kurve 1/JWM -cosat in Funktion von M auf

(Tafel 8).M

Das Integral f dM

J 5f cosajNM

kann nun graphisch ermittelt werden. Daraus bestimmt man nach (83) den

48

zu jedem M1 gehörenden Radius rj und trägt M1 in Funktion von r/ auf. Die

zwei Komponenten MUl und MZl von Mx sind durch die Ortskurve gegeben.Es ist zu bemerken, daß die Kurve 1/Jf^cosoc! in Funktion von Mt bei

<x1 = 90°, d.h. für axiale Strömung ins Unendliche geht. Die GeschwindigkeitM1 bleibt in diesem Falle konstant längs des Radius.

Die Wirbelkomponenten der Strömung

Wie schon erwähnt wurde, ist die Strömung mit konstanter axialer Massen-

stromdichte wirbelbehaftet. Wir bestimmen nun den Betrag der Wirbelkom¬

ponenten in der Ebene 1 — 1.

1. Die méridionale Komponente

Nach Gleichung (26) ist diese Komponente, mit Betrachtung, daß Jfr = 0:

=_8_M.

0 7]

Zeichnet man die Kurve von Ms in Funktion von rj, so ist £„ in jedemPunkt durch die Neigung der Tangente zu dieser Kurve gegeben.

Man könnte £Ml auch rechnerisch bestimmen. Nach Gleichung (82) ist:

6> = jf ..£,

= konst. .-. M, =®*i

'21 Z\ .

«.v^.uv. . .

^„2lPoo Pllp00

dM*- a (PiY2 d(PllPoo)

V \Poo/drl Zl \Poo!

dr)

Ersetzt man pjpw aus (22) und dMJdrj aus (82), so folgt:

2© /n \-K M2

K+l \Poo/ V

PilPoo kann für jedes M1 bzw. MUl direkt aus der p^p00-K.uTve abgelesen wer¬

den. Daraus kann man £ für jeden Radius bestimmen.

C = -? + -^ (27)

2. Die axiale Wirbelkomponenten ist gegeben durch Gleichung (27):

Mmi,dMu

rj dt]

Mittels der M (77)-Kurve kann man £Zl in jedem Radius bestimmen. Nach

Gleichung (35) besteht zwischen Ç^ und £M1 folgende Beziehung:

Bei bekanntem radialen Verlauf von ax ergibt sich damit eine Komponenteaus der anderen.

49

c) Strömung nach dem Laufrad

Der Verlauf der Temperatur und der Dichte in der Ebene 2 — 2 ist durch

(20a) gegeben, wobei L = konst. angenommen wurde. Der Wert von L wird

aus (45) für den mittleren Radius berechnet. Die graphische Bestimmung der

Strömungszustände in dieser Ebene erfolgt dann genau in gleicher Weise wie

es für die Ebene 1 — 1 erklärt wurde.

Die Wirbelkomponenten der Strömung sind auch hier durch die Gleichun¬

gen (85) und (27) gegeben, wenn man Index 1 durch Index 2 ersetzt.

d) Graphische Bestimmung des Reaktionsgrades und des Umfangsgefälles

Durch Anwendung der im Kapitel 4, Abschnitt 2, dargelegten Konstruktion

kann man nun das Umfangsgefälle der Stufe in jedem Radius bestimmen

(Tafel 10c). Man fängt hier an, indem man die Geschwindigkeitsdreiecke, die

vorhin bestimmt wurden, für den betrachteten Radius in die Konstruktion

einzeichnet. Damit ergeben sich hx und h2, wobei die Arbeit L durch Gleichung(74) und das Umfangsgefälle durch Gleichung (75) ausgedrückt sind.

Wie im Kapitel 5, Abschnitt 4, erklärt wurde, bestimmt sich ebenfalls der

Reaktionsgrad graphisch. Er nimmt mit dem Radius stark zu und erreicht

seinen Maximalwert an der Spitze.

4. Der Rechnungsgang für den Entwurf einer Stufe mit konstanter

axialer Massenstromdichte

Für die Stufe seien spezifisches Gewicht des Mediums, Nabendurchmesser,Schaufelhöhe und Strömungszustand am Eintritt gegeben. Die Eintritts¬

strömung ist axial und in allen Punkten mit gleicher Geschwindigkeit voraus¬

gesetzt.Aus (81) berechnet man 0, und da @z konstant ist, folgt:

0 = 7r-0a(V-^2)-

Aus 0 bestimmt sich 02. Der Schnittpunkt der Geraden &z = konst. mit der

0-Kurve ergibt die axiale Geschwindigkeit MZf> am Eintritt.

a) Das Leitrad

Man wählt o^ am Leitradaustritt, und zwar an der Nabe oder in der Mitte.

Die Gerade, die mit der M-Achse diesen Winkel macht, schneidet die Orts¬

kurve für 0S in einem Punkt (im Unterschallgebiet), der M,M und M1

festlegt. Der radiale Verlauf von Mx ist dann mit der vorher dargelegtenMethode zu bestimmen.

50

Statt x1 zu wählen ist man manchmal an eine vorgeschriebene maximale

Geschwindigkeitszahl Mx gebunden. Diese tritt an der Nabe auf. Der Schnitt¬

punkt des Halbkreises über M1 als Durchmesser mit der Ortskurve liefert die

Komponenten MU1 und MZl von Mx.

b) Das Laufrad

Der Entwurf der Laufschaufeln kann beispielsweise von einem gewähltenSchaufelaustrittswinkel ß2 im mittleren Radius ausgehen. In diesem Fall ist

der Rechnungsgang der folgende:Aus dem Geschwindigkeitsdreieck ist:

Mu, = M^ctgß2 + r,Mw

Dies in die Gleichung der Arbeit (45) eingesetzt, liefert:

Lst. = Vm-Mw [MUl - {MZi ctg ß2 + v MJ\M

In (66) eingeführt, mit MUi wie vorgehend ausgedrückt, führt schheßlich zur

Gleichung:

{£m$*1 = [l ~J+i (cosec2i82-^;22+2'?-^-^ul-^lw] (86)

Diese Bestimmungsgleichung von MMZ läßt sich am besten graphisch lösen,

indem man die beiden Seiten der Gleichung als Kurven aufzeichnet, deren

Schnittpunkt die Lösung angibt.Ist MMZ bekannt, so lassen sich MMU und LM berechnen. Man betrachtet

zunächst LM als konstant längs des Radius und setzt die Lösung, wie sie im

vorhergehenden Abschnitt erklärt wurde, radial fort.

5. Spezialfall der Stufe mit axialer Austrittsgeschwindigkeit

Der Fall axialer Austrittsgeschwindigkeit ist von besonderer Wichtigkeit,da bei senkrechtem Austritt die Austrittsverluste auf ein Minimum vermindert

werden. Dies ist für die letzte Stufe einer Turbomaschine immer erwünscht.

Es ist also: <x2 = 90°, MU2 = 0, dann wird L:

L = tj Mw Mx cos olx (87)

Nach (66) ist dann die Dichte am Austritt:

P2 _\1_K~1Poo l « + 1ï(M^ + 2vMœ-M1coscc1)^-^

51

Da @z = &Sl = &z sein muß, kann man:

PilpOO = ®JMz,in diese Gleichung einsetzen :

~ M2K+1 - (l -^2vMa-M1coB0^ M*~X + er' = 0 (88)

In jedem Radius sind M1 und acj aus der Verdrehung des Leitrades bekannt.Setzt man diese Werte in der Gleichung ein, so ergibt sich für jeden Radius

eine algebraische Gleichung für M2, die am besten graphisch gelöst wird.

Die Lösung vereinfacht sich, indem man die Gleichung in zwei Funktionen

zerlegt:

Zeichnet man die beiden Funktionen:

ft(M2) = -M2* + £t] -2vMOJ-M1 cos«^ (89)

und

/2(I2)=^|.C''^" (90)

so ergibt sich das gesuchte M2 als Schnittpunkt der beiden Kurven j1(M2)und/a(Jf,).

Es ist zu bemerken, daß die Funktion f2 (M2) vom Radius unabhängig ist.

Dagegen ändert sich in der Funktion ft (M2) das Glied L = 2 r\ Mw Mx cos a1

über dem Radius. Diese Änderung ist jedoch im allgemeinen sehr klein, beson¬

ders bei kleinen Geschwindigkeitszahlen. Ihr Einfluß in Gleichung (89) ist

deswegen kaum bemerkbar, so daß man ihn vernachlässigen kann.

Dementsprechend wird Ms sowie auch p2/Poo längs des Radius

konstant bleiben.

Der Reaktionsgrad einer solchen Stufe nimmt mit dem Radius zu. Beim

Entwurf der Stufe ist es dann wichtig, an der Nabe, wo die Reaktion am klein¬

sten ist, einen negativen Reaktionsgrad zu vermeiden.

Ist der Reaktionsgrad an der Nabe gleich 0, so gilt dort:

PzIPoo = PilPoo und da ©Si = ©,2, ist:

M2 = MZ2 = MSI, sowie MWx = MWi

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck folgt unmittelbar:

MU1 = 2VMW (91)

Damit also an der Nabe keine negative Reaktion auftritt, muß dort: 2-qM^ =

M,„ sein.

52

6. Zahlenbeispiel

Als Beispiel betrachten wir nun eine Stufe, die die gleichen Daten hat wie

diejenige im Zahlenbeispiel des letzten Kapitels. Es sei bloß a0 = 90° = kon¬

stant über dem Radius, im Unterschied zum Leitrad der Stufe im vorigen

Kapitel. Der Austrittswinkel des Laufrades wird im mittleren Radius:

(ß^M = 25°> gewählt.Tafel 7, 8, 9 und 10 geben die vollkommene Lösung des Problèmes. Man

findet:@21 = @Z0 = ©z„ = 0,1915

Mfi = Mll) =0,192

0 = 0,1196-277 = 0,75

ist hier also kleiner als in der Stufe mit Potentialströmung.Der Verlauf von sin xv ilfMlund Mz sowie auch der Verlauf derselben für

Potentialströmung (gestrichelte Linien) sind, zum Vergleich in Funktion von rj,

in Tafel 10 b aufgetragen. Wie leicht ersichtlich, unterscheiden sich die Kurven

der beiden Strömungsarten nur wenig voneinander.

Ferner ist die radiale Änderung von <x.x nur sehr klein und dementsprechendist das Leitrad nur schwach zu verdrehen.

Die Bestimmungsgleichung von MMZt (Gleichung (86)) wird:

MM^- 1,09 MM,*** + 0,675 = 0

daraus:MMH = 0,35

Für die Arbeit LM findet man: vLst = 0,533

Mit MLst = konst. längs des Radius ist die Bestimmung der Strömungs-zustände in der Ebene 2 — 2 ermöglicht. MZo, Jf„2 und sin|S2 sind in Funktion

von 17 aufgetragen sowie auch ihre entsprechenden Werte für Potential¬

strömung (Tafel 10 b).Aus diesem Beispiel geht hervor, daß die radiale Änderung der Arbeit L

nur klein ist. An der Nabe ist £^ = 0,525 und nimmt mit dem Radius zu, bis

an der Spitze Ls = 0,535 ist. Die maximale Abweichung vom Wert im mitt¬

leren Radius, den wir in der Berechnung einsetzten, beträgt etwa 1,3%.Der Reaktionsgrad ändert von 23,8% an der Nabe bis 69% an der Spitze.

Stufe mit axialem Austritt

Betrachtet man die im vorhergehenden Beispiel behandelte Stufe und ver¬

sucht man für diese ein Laufrad mit axialem Austritt zu entwerfen (bei dem

gleichen Leitrad), so findet man, daß der Reaktionsgrad an der Nabe negativwird. Dies erklärt sich dadurch, daß die Bedingung (91) nicht erfüllt ist.

2,^ = 0,88

yMUl =0,95>2t1nMiu

53

Im folgenden wird diese Stufe für axiale Austrittsgeschwindigkeit neu ent¬

worfen, und zwar so, daß die Stufe von der gleichen Menge durchströmt wird.

• 0 = 0 = 0 =0 1915

Man nimmt nun an, daß der Reaktionsgrad an der Nabe = 0 wird. Dann muß

nach Gleichung (91):NMUI = 2vMai = 0,88 sein.

Für dieses MUl findet man aus der Ortskurve:

KM1 -= 0,925

JV*1 == 18°00'

A == 0,27

Der radiale Verlauf von M1 und <xj ist dann graphisch zu bestimmen

Daraus folgt:M1 ai L

Nabe 0,925 18°00' 0,387

Mitte 0,755 19°20' 0,391

Spitze 0,654 20°40' 0,404

Man sieht, daß die Änderung der Arbeit L klein ist. Die maximale Abweichungtritt zwischen der Mitte und der Spitze auf:

0,404-0,391h ~

0^91~6'66 /o

Für das Laufrad ergeben die Gleichungen (89) und (90):

f^M^) = -M22 + (6,83 - 0,88 • M1 cos 0Lt)

/8(Jf8) = 3,78Jf,-w»

In Tafel 11 sind diese beiden Funktionen aufgetragen, wobei /1(ilf2) für

Nabe, Mitte und Spitze gezeichnet ist. Ihre Schnittpunkte mit der Kurve

/2(Jf2) liefern die gesuchten Werte von M2:

Nabe Mitte Spitze

M2 0,283 0,287 0,29

Der Einfluß der Arbeitsänderung auf M2 ist sehr gering und ohne weiteres

vernachlässigbar. Man nimmt also Mz = 0,287 als konstant über dem Radius

an. Dementsprechend wird die Dichte am Austritt gleich:

PilPoo = 0,681

Die Geschwindigkeitsdreiecke sind in Tafel 12 für Nabe, Mitte und Spitze

aufgezeichnet. Der Reaktionsgrad ändert sich von 0 an der Nabe bis 37,6%in der Mitte und 58,2% an der Spitze.

54

KAPITEL 7

Stufe mit unverdrehten Schaufeln

1. Einleitung

Wie es in den zwei vorigen Kapiteln gezeigt wurde, müssen, damit Poten¬

tialströmung oder Strömung mit konstanter axialer Massenstromdichte in

einer Stufe zustande kommen kann, die Schaufelprofile im allgemeinen stark

verwunden werden. Da die Herstellungskosten solcher Schaufeln hoch sind,

ist es wünschenswert, so lange wie möglich unverdrehte Schaufeln anzuwenden.

Zu diesem Behufe werden wir nun eine solche Schaufelung betrachten, um die

Grenze festzulegen, bis zu welcher die Schaufeln nicht zu verdrehen sind.

Bei enger Teilung bleibt der absolute Austrittswinkel a,1 des Leitrades

sowie der relative Austrittswinkel ß2 des Laufrades über dem Radius konstant.

Am Eintritt in das Laufrad entspricht der Schaufelwinkel y1 nicht mehr der

Strömungsrichtung. Die Strömung tritt also mit einem Stoßwinkel S, der sich

über dem Radius ändert, in das Laufrad ein. Es muß gesorgt werden, daß

dieser Winkel den Wert, für den Ablösung auftritt, nicht überschreitet.

2. Analytische Grundbetrachtungen

a) Das Leitrad

Wie im Kapitel 3 schon angenommen wurde, ist die Strömungsgeschwindig¬keit am Eintritt in das Leitrad axial und konstant längs des Radius.

In der Ebene 1 — 1 am Austritt des Rades ist :

ctgai = / (rj) = konst. (92)

Für den radialen Verlauf von MZl gilt Gleichung (38), wobei hier F (77) =

ctg2 <xx zu setzen ist. Dann wird:

- dn

M, 1 J, (ctgV+l)= — • e

1—— . ^sin'cd _ „-cos«ai

N-

M„, /l\cossai

55

Der Verlauf von MZl, das mit wachsendem Radius abnimmt, gestaltet sich

in diesem Fall sehr einfach. M1 ist durch eine ähnliche Beziehung gegeben:

M-, /l\c°s'oii

Die Wirbelkomponenten der Strömung:

Nach Gleichung (26) ist die méridionale Wirbelkomponente unter Benützungvon Gleichung (93) gegeben durch:

£M1 = —-cos2^ (95)

Die axiale Wirbelkomponente ergibt sich unmittelbar aus Gleichung (95)

mit Hilfe von (35): __

£« = -»J1-sin2ai (96>

Die beiden Wirbelkomponenten nehmen mit dem Radius stark ab. Zusätz¬

lich zu den oben abgeleiteten Gleichungen gilt ferner die Kontinuitätsgleichung

(41), die durch passende Wahl von NMZ an der Nabe erfüllt werden kann.

b) Das Laufrad

Für die Ebene 2 — 2 am Austritt des Laufrades ist :

ctgß2=g(v) =konst. (97)

Der radiale Verlauf von MZ2 ist durch Gleichung (49) mit g(-q) aus (97)

gegeben. Die radiale Wirbelkomponente am Eintritt £Sl ist dabei aus (96) zu

ersetzen.

-.r('-., cts2S,

.„W.,

, ,, , „ , „, sin2<x, „_.1

^2(^2^-2+cosec2^^f-

^ctg&) =

-^.-^.„Jf^—

Nach dem Differentialquotienten aufgelöst:

~d^~~ ~~^~Ä+2^0,008^8111 ft j^iï ^*^*rMn (98)

Dies ist eine nicht lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Ausgehendvon der durch die Kontinuitätsgleichung festgelegten Randbedingung an der

Begrenzungswand kann sie schrittweise graphisch gelöst werden.

Ist M^ für einen Radius bestimmt, so ergibt sich die totale Strömungs¬

geschwindigkeit aus:

Jf2= {( - J*„ ctg ßt + r, MJ* + Jf|JV. (99)

56

3. Graphische Bestimmung der Strömungszustände und der Stufenkenngrößen

a) Die Strömung nach dem Leitrad

Ist bei der Ausgangsstromfläche an der Nabe die AustrittsgeschwindigkeitvJfx und der Austrittswinkel y<x1 vorgeschrieben, so läßt sich der radiale Ver¬

lauf von Mt aus Gleichung (94) bestimmen. In Tafel 13 a ist M1 so über 77

aufgetragen, daß für jeden Radius nebst M1 auch pJpqq und die Massenstrom-

dichte herausgelesen werden können.

Eine durch den Ursprung 0 gehende, um den Winkel xt gegen die M-Achse

geneigte Gerade stellt den geometrischen Ort aller Dreieckspitzen dar, die

sich aus den zwei Komponenten MUi und M2l ergeben. Die Ortskurven bilden

ein Geradenbüschel mit dem Parameter ax. (Vergleiche mit den Ortskurven

für die zwei vorher betrachteten Fälle.)Ist in einem Punkte P die Geschwindigkeit M1 — (OA) gegeben, so erhält

man die beiden Komponenten mittels einer Senkrechten von A auf die Orts¬

gerade. AB ist die axiale Komponente, OB die Umfangskomponente. Die

axiale Massenstromdichte in P kann in gleicher Weise wie im vorigen Kapitel,Abschnitt 3a, ermittelt und aufgetragen werden.

Die radiale Ablenkung der Meridianstromlinien zwischen den Ebenen 0 — 0

und 1 — 1 bestimmt sich mit Hilfe der Kurve @z (-q), wie bereits für die Poten¬

tialströmung (Kap. 5, Abschnitt 3 b) gezeigt wurde.

Im Falle des inkompr'essiblen Mediums wird die Strömung auf Grund

der Zunahme der axialen Geschwindigkeits-Komponenten cSl gegen die Nabe

nach Gleichung (93) radial nach innen abgelenkt.Bei Kompressibilität bedeutet die Zunahme der axialen Geschwindig¬

keit nach innen, welche mit einer Zunahme der totalen Austrittsgeschwindig¬keit verbunden ist, eine Abnahme der Dichte in dieser Richtung. Die Kom¬

pressibilität vermindert also die radiale Änderung der axialen Massenstrom-

dichte und folglich die besprochene Verschiebung der Strömung gegen die

Nabe. Bei Überschallgeschwindigkeit überwiegt sogar die Dichteabnahme

gegenüber der Geschwindigkeitszunahme und bewirkt eine Verschiebung der

Strömung nach außen. In der Gegend der Schallgeschwindigkeit (M=l)

erfolgt die Strömung beinahe axial1).

b) Die Strömung nach dem Laufrad

Für jeden Radius ist nun M1 sowie auch Mw bekannt. Man kann also das

Eintrittsdreieck zeichnen und daraus Mw bestimmen.

!) Diese Tatsache ist auf Grund der Ortskurven der Strömung mit konstanter axialer

Massenstromdichte leicht begreiflich. Weil für M = 1 die Komponente Mu tangent an

die Ortskurve (Tafel 6) ist, wird oe für Änderungen von M im Bereich von 1 praktischsehr wenig variieren. Man kann also dort die Strömung in unverdrehten Schaufeln als

Strömung mit konstanter axialer Massenstromdichte betrachten.

57

Die Richtung der Schaufeleintrittskante kann höchstens für einen Radius

mit der Geschwindigkeitsrichtung MWi übereinstimmen. Der Stoßwinkel 8

gibt die Abweichung dieser beiden Richtungen an:

8=ßi-Yi (10°)

8 kann positiv oder negativ sein, je nach der Wahl des Ausgangsradius,für den 8 = 0 ist.

8 ist praktisch dadurch begrenzt, daß für einen bestimmten Wert dieses

Stoßwinkels Ablösung und entsprechend eine starke Wirkungsgradvermin-

derung auftritt. Der Bereich, in dem die Schaufeln unverdreht belassen werden

können, ist also durch einen maximalen Wert von 8, der am besten experimen¬tell festgelegt werden kann, gegeben.

Betrachten wir nun die Ebene 2 — 2 am Laufradaustritt, so ist der Verlauf

von MZ2 dort nach Gleichung (99), ausgehend vom Bezugsradius, graphischzu ermitteln. Ähnlich ergibt sich der Verlauf von M2 nach Gleichung (100)und für jeden Radius berechnet sich die in der Stufe umgesetzte Arbeit L nach

Gleichung (45) und die Dichte am Austritt p2lp00 nach Gleichung (43).Wie es sich noch anhand eines Zahlenbeispieles zeigen wird, ist die Ände¬

rung der Arbeit L längs des Radius im allgemeinen sehr klein,so daß für deren Größe ihr Wert im mittleren Radius angenommen werden

kann. Für den Verlauf der Dichte ergibt sich also eine Kurve nach Gleichung(43). Die Strömungszustände lassen sich dann, ähnlich wie für das Leitrad,

graphisch bestimmen. Die radiale Ablenkung der Stromlinien kann ebenfalls

ermittelt werden.

c) Bestimmung des Reaktionsgrades und des Umfangsgefälles

Wie im vorigen Kapitel kann man auch hier das Umfangsgefälle und den

Reaktionsgrad für jeden Radius graphisch bestimmen. Der Reaktionsgrad ist

am kleinsten an der Nabe und nimmt mit wachsendem Radius zu.

4. Rechnungsgang für den Entwurf einer Stufe mit unverdrehten Schaufeln

Der Vorgang unterscheidet sich von dem vorigen Fall lediglich durch

folgendes:

a) Das Leitrad

Ist der Schaufelaustrittswinkel ax vorgeschrieben, so wird:

58

Aus der (9 (Jf)-Kurve läßt sich dann sowohl MM1 als auch (/>i//30o)m bestim¬

men, wonach der radiale Verlauf von M1 und die anderen Strömungszuständeermittelt werden können.

b) Das Laufrad

Wir nehmen nun an, daß der Reaktionsgrad an der Nabe = 0 ist. Es ist

(PiIpoo)n = (PzIpooÎn

Wie es sich noch im Beispiel zeigen wird, ändert sich die Austrittsdichte

p2/p00 mit dem Radius nur sehr wenig, so daß man sie praktisch als konstant

betrachten kann. Im mittleren Radius wird dementsprechend:

WPooW = (PzIpooJn

(Um sicher zu sein, daß an der Nabe kein negativer Reaktionsgrad auftritt,

nimmt man (p2Ipoo)m etwas kleiner als (p2Ipoo)n an-)Daraus folgt: n

lM ) -J**k_

\p2lPw)M

Ist MMZn bestimmt, so läßt sich MM ermitteln:

(A) .

\ POO/M

oder nach Umformungen:

-(^n=o (loi)\P00/M J

MMl + 2VMMa(MUl-MJM+MMl- ^±4Dies ist eine quadratische Gleichung in MUi, deren Lösung zwei Werte für

MU2 liefert. Von diesen beiden Lösungen ist jedoch nur eine für die betrachtete

Strömung möglich. Der Austrittswinkel ß2 ist dann:

taR -

M*

und bleibt längs des Radius konstant. Damit sind die Konstanten in Glei¬

chung (99) bestimmt; sie kann also mit Hilfe des Ausgangspunktes (y]M>M^z2)gelöst werden.

5. Zahlenbeispiel

Es wird hier wiederum das gleiche Beispiel wie vorhin betrachtet. Es ist

an der Nabe:,,

,,

, „o«n/

NM1 = 1 und Nx1 = 17° 28'

Nach Gleichung (95) wird:M =

/J\0'91

59

Die graphische Bestimmung der Strömungszustände in der Ebene 1 — 1 ist in

Tafel 13 angegeben. Man findet:

(&S)M =0,18

0 = 0,706

(PiIpoo)n = °>635

Das Eintrittsgeschwindigkeitsdreieck wird für Nabe, Mitte und Spitze

gezeichnet, und dort die relativen Eintrittsrichtungen der Strömung daraus

bestimmt. Wir nehmen an, daß für den mittleren Radius § = 0 ist. Dement-

sprechend wird:^ ^

= l {^he) g = _ lg0

bei 7)S = 1,5 (Spitze) 8 = 42°

S an der Spitze ist also schon sehr groß und kann kaum zugelassen werden.

Wir gehen nun zur Ebene 2 — 2 über und setzen für die Nabe R = 0. Ent¬

sprechend Abschnitt 4b wählen wir:

(PilPooÏM = °>628

also etwas kleiner als (pilp00)y

0 18

•••A=ö^28 = 0'287

Die Bestimmungsgleichung von MU1 (Gleichung (101)) wird:

^2-l,lMitf„2-0,069 = 0

und ergibt:MMU2 = - 0,055

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck in der Mitte, welches nun gezeichnetwerden kann, findet man:

ß2 = 25° (konstant über dem Radius).

Gleichung (99), welche MZo angibt, wird:

d4^ = 0,338-0,82^ -°^674. *

Mit dem Ausgangspunkt (ij = l,25, Mz = 0,287) läßt sich nun diese Gleichungschrittweise graphisch lösen.

MSti in Funktion des Radius ist in der Abbildung 23 c gegeben, welche

zeigt, daß es mit dem Radius zunimmt.

Der radiale Verlauf des Reaktionsgrades und der Arbeit L wird in Tafel 14

graphisch ermittelt. Daraus geht hervor, daß L sich nur sehr wenig mit dem

Radius ändert, so daß man es praktisch als konstant ansehen kann.

60

Die Dichte p2/Poo bleibt ebenfalls praktisch konstant längs des Radius

( =0,628). Da aber ilf mit dem Radius zunimmt, wird dementsprechend auch

die axiale Massenstromdichte mit dem Radius zunehmen.

Die radiale Verschiebung der Meridianstromlinie zwischen den Ebenen 0 — 0,

1-1 und 2 — 2 wird in Tafel 13 a und 15 graphisch ermittelt. Der Verlauf

dieser Linien, welche im Leitrad nach innen, im Laufrad dagegen nach außen

abgelenkt werden, wird näherungsweise gezeichnet (Tafel 13 c).

KAPITEL 8

Stufe mit Strömung nach dem soliden Wirbel

1. Einleitung

Die Schaufelung von Axialkompressoren sowie auch gelegentlich diejenigevon Gasturbinen wird so entworfen, daß die Mu-Verteilung am Austritt dem

Rotationsgesetz eines festen Körpers entspricht, was man als „soliden

Wirbel" bezeichnen kann. Mu ist dabei proportional dem Radius.

Wir betrachten vorerst eine solche Stufe, bei welcher sowohl die Leitschau¬

feln als auch die Laufschaufeln dem Gesetz der soliden Wirbel gehorchen.Eine solche Stufe hat den Nachteil, daß die in ihr umgesetzte Arbeit sich

proportional dem Quadrat des Radius ändert.

An zweiter Stelle wird eine Stufe untersucht, bei der die Arbeit über dem

Radius konstant gehalten wird. Das Gesetz der soliden Wirbel ist hier nur am

Austritt des Leitrades erfüllt. Die Laufschaufelprofile dagegen sind durch die

Bedingung konstanter Zirkulation festgelegt.Schließlich wird der Fall einer Stufe mit konstanter Reaktion behandelt.

Die Bedingung konstanter Reaktion, zusammen mit der Bedingung konstanter

Zirkulation über dem Radius, legt die Schaufelform fest. Solche Stufen werden

in der letzten Zeit viel untersucht und in Kompressoren verwendet.

2. Analytische Grundbetrachtungen

a) Die Strömung nach dem Leitrad

In der Ebene 1 — 1 ist die Verteilung der Umfangskomponenten der Aus¬

trittsgeschwindigkeit gegeben durch das Gesetz :

MUl = h-r), (102)

kx ist dabei eine Konstante.

61

Den radialen Verlauf der axialen Komponente MZl erhalten wir durch

Gleichung (39), wenn wir MUl aus (102) ersetzen:

und schließlich:„ , „ „

MZl = {NMl-2kl*(v>-l)yi> (103)

Me nimmt mit wachsendem Radius stark ab, bis zu einem Radius, wo es

gerade verschwindet. Darüber hinaus würde MZ1 imaginär und die Strömungunmöglich werden. Damit also die Strömung existieren kann, muß

in Gleichung (103):

2k^

da aber:

folgt als Bedingung:

AM

(^-1)<1

= 2ctg2iV«1

('?8-l)<itgVi (104)

Für ein gegebenes Jva1 darf also rj das sich aus dieser Formel ergebendeMaximum nicht überschreiten.

Der radiale Verlauf der totalen Geschwindigkeit Mx nach Gleichung (39)lautet:

Jtf^U-afi'-fci2^»-!)}1/' (los)

Mit der Abnahme von Mt nach außen ist eine Zunahme der Dichte p^p^Verbunden. Wie aus den Gleichungen hervorgeht, überwiegt aber die Abnahme

von Jf. mit wachsendem Radius, so daß die axiale Massenstromdichte nach

außen abnimmt. Folglich werden die Meridianstromlinien im Leitrad radial

nach innen abgelenkt.

Die Wirbelkomponenten der Strömung

Die axiale Komponente, welche nach Gleichung (27) gegeben ist, lautet:

£., = 2*! (106)

t,z bleibt über dem Radius konstant.

Aus dieser Komponente läßt sich die méridionale Komponente mit Hilfe

der Gleichung (35a) sofort ableiten:

£Bl = 2*1.ctga1 = 2*1»1?- (107)

Dabei ist MBl aus (103) zu ersetzen. £ nimmt mit dem Radius stark zu.

62

b) Die Strömung nach dem LaufradFall 1:

In einem ersten Fall werden die Laufschaufeln so entworfen, daß die Um-

fangskomponente der Austrittsgeschwindigkeit nach einem soliden Wirbel

verläuft. Es ist also: ,» , /,no\

MU2 = k2-v (108)

Dabei ist k2 eine Konstante.

Die in der Stufe umgesetzte Arbeit L ergibt sich aus (102) und (108):

L = v*-MM(k1-k2) (109)

Die Tatsache, daß diese Arbeit proportional dem Quadrat des Radius

zunimmt, bietet einen festigkeitstechnischen Nachteil, da der Verlauf der

Umfangskraft einen ungünstigen Belastungsfall der Schaufel ergibt. Ferner

wird auch die Verwendung einer solchen Stufe für eine mehr¬

stufige Turbomaschine unmöglich, weil dann die umgesetzte Energiekonstant über dem Radius bleiben müßte.

Der radiale Verlauf von MSi ist nach Gleichung (52) gegeben. Wenn dort

£s aus (106) und MU2 aus (108) ersetzt sind, erhält man:

M^d-^ = 2-V-Mm(h-h)-2-lc22-ri

Integrieren wir die beiden Seiten zwischen 1 und -q, so wird:

M% -NM*tl = 2 (,» - 1 ) [Ma (k2 - k,) - k2*]

Berücksichtigt man, daß Mm {k2 — k^) = - LN die an der Nabe geleisteteArbeit ist, so kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

M,, = [AJf»,-2(Zv + V)('?,-l)],/' (HO)

MZ2 nimmt wiederum mit wachsendem Radius stark ab. Damit obige

Gleichung eine reelle Lösung liefert, muß:

4r(ijv + V)(i,-i)<iN1Uzî

NMZi2 ist andererseits durch die Kontinuitätsgleichung (50) festgelegt. Die

obige Bedingung muß also durch die Wahl von k2 erfüllt werden.

Die totale Geschwindigkeit M2 am Austritt kann nun aus (108) und (110)

unmittelbar berechnet werden.

M22 = Ml +Ml = NM*t - 2 (Lv + fc22) (Vs - 1 ) + h2 V2

und man erhält schließlich:

M2 = {NM2Z- (2- LN + k*){if -1)}'/. (111)

03

Auch hier nimmt M2 mit dem Radius ab. Die Austrittsdichte p2//'oo läßt

sich mit Hilfe der Gleichung (111) berechnen und mit (109) in Gleichung (20)

ersetzt, ergibt sich:

Poo

Poo

= { 1 ~ ^î Lv^22 + 2 • Ls - k* tf - 1)] }^îoder:

=ï (112)

Es ist zu bemerken, daß im allgemeinen fc2 klein ist, und dementsprechendK— 1

wird der Term -—.- k^(tf — 1) sehr klein und hat nur einen geringen Einflußk -|- x

auf die Dichteänderung. Die Dichte am Austritt bleibt also längs des Radius

praktisch konstant.

Da Jf mit dem Radius abnimmt, so wird auch die axiale Massenstrom-

dichte &, nach außen abnehmen.

Die Wirbelkomponente der Strömung am Austritt

Die axiale Komponente ist nach Gleichung (27):

£* = 2-i2 (113)

und bleibt wie Ç längs des Radius konstant. Die méridionale Komponente

ergibt sich durch Ableitung der Gleichung (110) nach -q:

"A-1" «-2 ) J

Sie nimmt mit dem Radius stark ab.

^=2(LV+ V)W- (H*)

«2

Fall 2:

In einem zweiten Fall wird die Zirkulation über dem Radius konstant

gehalten, so daß bei jedem Radius die gleiche Arbeit abgegeben oder auf¬

genommen wird.

Es muß also:v- (MUi -MUo) = konst. = k3

»2v

~-"J«l

M«*=ki-V-~ (HS)

64

Die Änderung von MUii ist eine Kombination der zwei Gesetze des soliden

Wirbels und des Potentialwirbels.

Da die Zirkulation um das Laufrad konstant über dem Radius bleibt, so

bleibt auch die axiale Wirbelkomponente in der Strömung beim Durch¬

strömen des Laufrades unverändert.

Der radiale Verlauf von M, am Austritt bestimmt sich mit Hilfe der Glei-

chung (55), wenn man MUl> aus (115) ersetzt:

2-k1(k1-v-kA +M ^5 = 0

\ VI dt]

i(.vifIï-Jfl2)=2.A1{|(^-l)-*3ln^)Joder:

M,2 = {yMli~2.k^(rl2-l) + 4.k1-k3\nr])}^ (116)

Die totale Austrittsgeschwindigkeit ist gegeben durch die Beziehung:

M* = Ml + Ml2 = AMl-2.k1*(vZ-l) + 4-k1-k3-\nv + k1z-vz+ -| - 2 - jfcx ifcB

Man erhält schließlich :

^2={M^22-(*i2+^)(^2-l) + 4-41-fc3-m^j1/2 (117)

3. Graphische Bestimmung der Strömungszustände und der Stufengrößen

a) Strömung nach dem Leitrad

Der radiale Verlauf von M1 ist durch Gleichung (105) gegeben. Ähnlich

wie im vorigen Kapitel, Abschnitt 3, kann man für jedes M1 die Größen pjpw,

@! und &Zi graphisch bestimmen. Schließlich läßt sich &Zi und r]-0Zl in Funk¬

tion von rj auftragen, und damit die radialen Verschiebungen der Meridian¬

stromlinien ermitteln. Wie bereits angezeigt, erfolgt die Ablenkung nach

innen. Sie wird durch die Kompressibilität vermindert, da die Zunahme der

Dichte nach außen die Abnahme von M zum Teil ausgleicht.

b) Die Strömung nach dem LaufradFall 1:

Die starke Änderung der Arbeit über dem Radius verhindert es, die Strö¬

mungszustände in der Ebene 2 — 2 rein graphisch zu bestimmen. Die Dichte

65

pjpoo in dieser Ebene ist jedoch durch die Gleichung (112) gegeben und kann,

wie bereits vermerkt, bei kleinem k2 als konstant betrachtet werden. Anderer¬

seits liefert Gleichung (110) die axiale Geschwindigkeit MZi, die mit />2//,oo

multipliziert, uns die axiale Massenstromdichte ©S2 angibt. Die radiale Ablen¬

kung der Meridianstromlinien zwischen den Ebenen 1 — 1 und 2 — 2 kann dann

mit Hilfe der Kurve ©Z2(rj) graphisch ermittelt werden.

Fall 2:

Da die Arbeit in diesem Falle in jedem Radius gleich ist, ist der radiale

Verlauf der Temperatur und der Dichte in der Ebene 2 - 2 je durch dieselbe

Kurve gegeben. Die Strömungszustände bestimmen sich dann ähnlich wie für

das Leitrad graphisch.

c) Bestimmung des Reaktionsgrades und des Umfangsgefälles

Die graphische Konstruktion zur Bestimmung des Umfangsgefälles und

des Reaktionsgrades unterscheidet sich hier von der im vorigen Kapitel dar¬

gelegten lediglich dadurch, daß auch die Umfangskomponenten der Geschwin¬

digkeiten MUI und JfU2 (im Fall 1) graphisch ermittelt werden.

Diese zwei Komponenten sind durch (102) und (108) gegebenund lassen sich wie folgt graphisch bestimmen:

Wie in der Konstruktion, Abb. 10, stellt ON und OS die Umfangsgeschwin¬

digkeit 7) Mm an der Nabe beziehungsweise an der Spitze dar. Senkrecht zu ON

sind die Abstände OA und OB so aufgetragen, daß:

OAIOB = k1IMw

Die von A parallel zu BN und BS gezeichneten Geraden schneiden OS in D

und F, wobei, wie leicht ersichtlich, OD und OF die Umfangskomponenten

NMUl und sMUl angeben. Das Gleiche gilt auch für irgend einen anderen

Punkt zwischen N und S.

Die Umfangskomponente am Austritt M^ ist in gleicher Weise zu ermitteln,

wenn man OC so wählt, daß:

OCIOB^kJM»

Der Reaktionsgrad

Der Reaktionsgrad ist nach Gleichung (81):

M2 -M2M~

2l

(M2 -M2 ) + IM2 - M2 )

2-r)-Mul(MUi-MJ

66

Ö[ D £ FN M

Abb. 10. Bestimmung der Umfangsgeschwindigkeit der Strömung nach dem soliden

Wirbel-Gesetz

Betrachten wir den ersten Fall, in dem MUi und MU(i sich nach dem Gesetz

des soliden Wirbels verhalten, so ist dort im allgemeinen:

f2M2Z2-Ml<M2m-Ml

so daß in erster Annäherung M'*2 — M\x weggelassen werden kann. Damit wird

(M^ +M^)B =

2-r,-Mw

(-2-v-M„+k1-v + ki-ii)

2-rj-M,

B=l-K-t "T~ fCn

am

In erster Annäherung ist also der Reaktionsgrad eine Konstante.

In Wirklichkeit ändert er sich jedoch entsprechend dem Unterschied zwischen

JfS2 und MZl. Seine Änderung ist immerhin sehr klein. Man kann also diese

Stufe als Stufe mit konstanter Reaktion betrachten.

Im zweiten Fall, wo die Zirkulation über dem Radius konstant bleibt,

darf man das Glied M2 —M^ nicht mehr vernachlässigen, da es unter

Umständen beträchtlich sein kann. Der Reaktionsgrad ist also direkt aus

Gleichung (81) zu ermitteln. Er ist am kleinsten an der Nabe und wächst

gegen die Spitze.

67

4. Vorgehen für den Entwurf einer Stufe

Der Rechnungsgang beim Entwurf des Leitrades ist derselbe wie beim

Entwurf einer Stufe mit Potentialströmung (Kapitel 5, Abschnitt 4).

Das Laufrad wird wie folgt berechnet:

Fall 1:

Nach Gleichung (110) und (112) ist die axiale Massenstromdichte im mitt¬

leren Radius gegeben durch:

e** = {l ~ ^t\ [ä+2 • JU*i - h) -V (vm2 -1)]}^{NMI2-2[Mu(k1-k2) + k2*(VM2-l)]yi* (119)

Dabei ist noch zu berücksichtigen, daß:

NMa* = NMlt + ka*

Diese Gleichung enthält die zwei Parameter NMs,t und fc2. Schreibt man sich

nun h2 vor, so bleibt #-ïf0 als einzige Unbekannte.

Fall 2:

Man schreibt sich L vor, daraus bestimmt sich k3 nach Gleichung (115).Die Kurve der Dichte p2/poo wird nun aufgetragen. Im mittleren Radius ist:

(02,W = PzIpwmM^

Diese Gleichung ist am besten graphisch zu lösen. Man nimmt versuchsweise

M2 an und bestimmt die zugehörenden />2/Poo~ un(i Mz-Werte graphisch.Erfüllen diese Werte die obigen Gleichungen, so ist unsere Annahme richtig,wenn nicht, muß die Rechnung mit einer neuen Annahme wiederholt werden.

5. Zahlenbeispiel

Wir betrachten eine Stufe mit den gleichen Abmessungen wie im letzten

Kapitel. Folgende Größen seien gegeben:

NMX = 1

iv«i = 60°

NMU1 = 0,5 = fcx

Nach Gleichung (103) wird:

MZ2 = {0,75- 0,5 (^-l)}1/*

undnach(105):^ = (1-0,25(^-1)}'/,

68

Die Strömung in der Ebene 1 — 1 wird graphisch bestimmt (Tafel 16a). Man

findet:(&e)M= 0,437

0 = 1,715

Am Eintritt ist:

M0 = i^0 = 0,48

Fall 1:

In diesem Fall wählen wir für das Laufrad:

k2 = 0,09

MU2 = 0,09-,,

Aus Gleichung (109) findet man dann:

sMz, = 0,87

Der Verlauf von MZo ist durch (110) gegeben:

MZ2 = {0,758-0,4(^-1)}'/.

und die Dichte durch (112):

P2/P00 = {0,828 - 0,0025 • 0,149 (t,2-I)}2*6

Wie ersichtlich, ist der zweite Term vernachlässigbar. Somit wird die

Dichte überall gleich:P2IP00 = °>589

Die meridionalen Stromlinien werden im Leitrad nach innen, im Laufrad

nach außen abgelenkt. Die Ablenkung im Laufrad ist schwächer als die im

Leitrad (Tafel 16b).Die Arbeit der Stufe ist nach Gleichung (109):

L = 0,198-tj2

Nach Gleichung (118) ist der Reaktionsgrad:

R = 37,5 %

Der radiale Verlauf der verschiedenen Kenngrößen ist in Tafel 16 und 17

gegeben.

Fall 2:

In diesem Fall wird die Arbeit, die konstant über dem Radius bleibt, gleichder Arbeit im mittleren Radius der vorigen Stufe gewählt :

L = 0,309

69

Man findet daraus:k3 = 0,704

0,704••• if«, = 0,5-,,--!—-

Die Dichte am Austritt wird:

P2//>oo = {1-0,149(^ + 0,618)12.86

Man findet: MMZ2 = 0,76

und MZi = (0,545-0,5 (t?2 - 1) +1,408 In r/}1'*

M2 ändert sich nur sehr wenig über dem Radius. Dementsprechend ist auch

die Dichte am Austritt p2//>oo praktisch konstant (Tafel 18).Der Reaktionsgrad ist an der Nabe: RN = 34,4%, an der Spitze: Rs =

81,0 %. Man sieht, daß er sich stark ändert. Der radiale Verlauf des Reaktions¬

grades und der anderen Kenngrößen ist in Tafel 18 gegeben.

6. Stufe mit konstanter Reaktion und konstanter Zirkulation

Wie im vorigen Abschnitt gezeigt, wird, wenn man JfJ. —M\ vernach¬

lässigt, der Reaktionsgrad:

B = -

(MWU2+MWU1)2vMw

2.v.Mmoder

MU1 + MU.2 = 2.V.MW(1-B) (120)

WTegen der Forderung konstanter Arbeitsabgabe (oder -Aufnahme) über

dem Radius muß andererseits folgende Bedingung erfüllt sein:

V-Mœ (MU1 - MJ = L = konst.

vltf„

Aus Gleichung (120) und (121) folgt:

M^~Mu, =

-^r (121)

70

71

(131)J1/s^y^-l)+i-AB-lnrj+U^M^LmS-

ersetzt:(124)ausMmanwennwird,undgegeben

(39a)GleichungnachistM1GeschwindigkeittotalenderVerlaufradialeDer

werden.erfüllt(Spitze)RadiusgrößtendenfürmußBedingungDiese

(130)0,5MJ(ri*-l)<NMl+L.\nr,muß:

wird,möglichStrömungdieundkannbesitzenWertreelleneinenMDamit

(129)0,5JfO)»(,»-l)]}'/.+{JVJfI1-[i-ln17=Jf,1

Gleichung:diesewird50%=RFür

(128)2.A*(v*-l)]yi-+M^={NMl-[4-A-B-hi7,*odpr

A*(7l*-l)+2-A-B'hi7,=HxMl-MD

schließlich:erhältMan

B)*\+-(ABW+v[(A+1r,d•-B/V)*.+=J(A-nMl)-(„Ml\

folgender:

ersetzt,(124)ausMumanwenn(39),nachMZivonVerlaufderist1—1Ebene

derInEintritt.amStrömungaxialerAnnahmediewiederhiergiltEs

LeitraddemnachStrömunga)

ersichtlich.dreiecken

Geschwindigkeits-denausweiteresohneauchistBeziehungletzteDiese

(127)7l-Ma=Mva+Muiund

(126)A=0,5-Ma

wird:(122)GleichungAussind.

symmetrischGeschwindigkeitsdreieckediedemind.h.ist,%50=R

deminder,istReaktionkonstantermitStufederFallwichtigsteDer

Wirbels.solidendesundPotentialwirbelsdesGesetze,

zweiderKombinationeineistVerlaufDieser.MuundMUlkomponenten

Umfangs-beidenderVerlaufradialendengeben(125)und(124)Gleichung

(125)

(124)wird:dann

-B/r,A-T]=*«

BIV+A-7]=MUl

B=MwLß

A=

\-R)Ma

(123)

(122)A=

M0)(l-R)nun:setzenWir

Für # = 50% ist:

^1 = {iv^i2-[^-ln^+(o,25.if2+?:A^j(TJ2_1)jj1/2 (132)

M1 nimmt mit wachsendem Radius ab.

b) Strömung nach dem Laufrad

Da die Zirkulation um das Laufrad über dem Radius konstant bleiben

soll, gilt für die Strömung in der Ebene 2-2 Gleichung (55).Die axiale Wirbelkomponente, die sich beim Durchströmen des Laufrades

nicht ändert, ist durch folgende Gleichung gegeben:

lz = ldhJMJ = 2A (133)7] dt]

Ersetzt man £z und MUo in Gleichung (55), so wird:

AM,,

ZA^-^+A^+M^- ^= 0

dt]

MZ2-dM^~2A(Av-jj.dvoder nach Integration :

M22 = {sMl + 4,ABln-n-2A2(v2-l)}^ (134)

Bei R = 50% wird:

M» = {NMl + L\nv-0,5MJ(rj*-l)yi> (135)

Damit hier MZ2 einen reellen Wert besitzt, muß :

0,5MJ(^-l)-L\n1<NMl (136)

Es ist zu bemerken, daß NMZI und y-M^ durch die Kontinuitätsgleichungzusammenhängen.

Die totale Geschwindigkeit Mt ist gegeben durch die Beziehung:

Ersetzt man Mz^ und MUi aus Gl. (134) und (125), so erhält man schließlich:

M2 = {NM22 + 4:ABlnrj-{A2 + Bijr,i){7]2-\)yi' (137)

Wenn .ß = 50%, so wird:

^2 ={(a-^22 + L In 7,- (0,26MJ + L*14: M^tf-l)}1'' (138)

Für die weitere Bestimmung der Strömung, sowohl nach dem Leitrad als

auch nach dem Laufrad, läßt sich hier die graphische Methode mit Vorteil

anwenden.

72

KAPITEL 9

Stufe mit konischen Begrenzungswänden

1. Einleitung

Alle bis jetzt betrachteten Stufen setzten zylindrische Begrenzungswändevoraus. Wir werden nun den allgemeineren Fall einer Stufe mit konischen

Begrenzungswänden betrachten. Die Radialkomponenten der Strömung durch

eine solche Stufe sind auf zwei Ursachen zurückzuführen:

1. Infolge der Neigung der Wände entsteht eine radiale Ablenkung, die

auch in den Kontrollebenen erhalten bleibt. Unsere Annahme, daß in diesen

Ebenen keine Radialkomponenten Mr vorhanden sind, gilt also nicht mehr.

Mr ändert sich entsprechend der Variation von Mz, das durch die Neigungder Begrenzungswände gegeben ist.

2. Infolge der radialen Variation der axialen Massenstromdichte entstehen

in genügender Entfernung von den Begrenzungswänden abwechselnd negativeund positive Radialkomponenten, die den welligen Verlauf der Meridional-

stromlinien verursachen.

Durch passende Wahl der Schaufelform kann man jedoch geradlinigeMeridionalstromlinien erhalten. In den Kontrollebenen treten dann keine

Ablenkungen infolge der Ursache 2 auf. Die unter 1 erwähnten radialen

Geschwindigkeitskomponenten bestehen jedoch weiter. Dieser Fall, bei dem

die meridionaien Stromlinien Geraden sind, wurde analytisch von Traupel [16]behandelt. Eine graphische Lösungsmethode bietet hier keinerlei Vorteile, da

die verwendeten Gleichungen sich kaum graphisch lösen lassen.

Wir betrachten zunächst den allgemeinen Fall der Strömung in einer solchen

Stufe. Wie für die Stufe mit zylindrischen Begrenzungswänden untersuchen

wir hier nur die Strömung in den drei Kontrollebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2.

Um die graphische Lösung zu ermöglichen, sind vereinfachende Voraussetzun¬

gen zu treffen, die, wie es im nächsten Abschnitt gezeigt wird, hauptsächlich

in der Annahme -4rrr- = 0 in den Kontrollebenen bestehen.dÇ,

Als besonderen Fall werden wir die Stufe mit Potentialströmung, die von

größerer praktischer Bedeutung ist, behandeln. Mit Hilfe der graphischenMethode läßt sich die Strömung in den drei Kontrollebenen, und somit auch

der Verlauf der meridionaien Stromlinien näherungsweise ermitteln.

2. Voraussetzungen

Der Verlauf der meridionaien Stromlinien kann angesehen werden als eine

periodische Kurve, die sich einer gegen die Achse geneigten Geraden über¬

lagert (Tafel 19 b).

73

/////////////A ^^

Abb. 11. Turbomasohine mit konstantem axialen Strömungsquersehnitt

Erste Voraussetzung: Die Wendepunkte dieser Kurve hegen jeweils in

den Kontrollebenen und die Tangenten in diesen Punkten sind parallel zu

den Grundgeraden. Diese Annahme trifft bei kleinen radialen Ablenkungen,die meist vorkommen, wegen der Periodizität zu.

Zweite Voraussetzung: Das Glied 8Mrjdt, in der Gleichung des radia¬

len Gleichgewichtes wird in den Kontrollebenen vernachlässigt.Bleibt zudem Ms in den Spalten konstant, was z. B. in dem in Abb. 11 dar¬

gestellten Kanal der Fall ist — es handelt sich dort um einen Kanal mit kon¬

stantem Ringquerschnitt — so entspricht diese Annahme einer Vernach¬

lässigung der Krümmung der Meridianstromlinien. Wir haben deswegen einen

analogen Fall wie bei der Strömung zwischen zylindrischen Wänden. Für eine

Stufe mit konischen Begrenzungswänden ist aber Mz im allgemeinen wegen

der Konizität nicht konstant, so daß die Strömung durch die Spalten eine

zusätzliche Beschleunigung oder Verlangsamung erfährt.

Mit diesen zwei Voraussetzungen läßt sich der Fall der Stufe mit Potential¬

strömung auf einfache Weise behandeln. Für die übrigen Strömungsarten muß

man jedenfalls noch weitere Annahmen treffen, um eine graphische Lösungzu ermöglichen.

3. Stufe mit Potentialströmung

Damit Potentialströmung in den Spalten herrschen kann, muß die Umfangs-

komponente der Geschwindigkeit das Gesetz des Potentialwirbels erfüllen.

Vi-Mui = k{ (139)

i = 0, 1, 2

Ferner, damit auch die méridionale Wirbelkomponente nach Gl. (26) ver-

schwindet, muß, da-^y-

= 0 vorausgesetzt wird:

^=0 (140)

d.h.: Mzi = konst. (141)

74

Mz muß also längs des Radius konstant bleiben. Dies ist dieselbe Bedingungwie für die Stufe mit zyHndrischen Begrenzungswänden. Die Gleichung des

radialen Gleichgewichtes ist hier von selbst erfüllt.

Auf einer Stromfläche ist die in den Laufschaufeln geleistete Arbeit gegebendurch die Gleichung:

L *= M^M^-ntMJ (142)

In jeder Fläche wird also der gleiche Arbeitsbetrag pro Mengeneinheitumgesetzt. Die thermodynamischen Zustände nach dem Laufrad, d.h. in der

Ebene 2 — 2 werden also für alle Radien durch die gleichen isentropischenKurven dargestellt.

4. Verlauf der Berechnungen

Es sei der Strömungszustand in der Ebene 0 — 0 gegeben, d. h. die axialen

und die Umfangs-Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit (die radialen

Geschwindigkeitskomponenten sind noch unbekannt), und die Dichte in einem

bestimmten Punkt, z.B. an der Nabe. Ferner sei die Neigung der inneren und

der äußeren Begrenzungswand vorgeschrieben.In erster Annäherung sehen wir von den radialen Geschwin¬

digkeits-Komponenten ab und betrachten die Strömung nur in

der Richtung der Achse und in der Umfangsrichtung. In der

Ebene 0 — 0 läßt sich dann der radiale Verlauf der Dichte p0/p00 bestimmen,woraus man (@Zo)M ermitteln kann.

Zwischen den drei Ebenen 0 — 0, 1 — 1 und 2 — 2 gilt die Kontinuitäts¬

gleichung:

^,t>-lodVo=^z1-Vidrli=i&z,-V2dr)2 (143)los rlix 'hx

Die mittleren axialen Massenstromdichten in den Kontrollebenen hängen

folgenderweise zusammen :

(®*X «s- <V) = PJmhls- VU = (&Jm(vls~VtN) (1**)

Bei gegebener Schaufelbreite b lassen sich t)1N, rjis, r]2N und -qiS bestimmen

und man kann folgüch (&Zl)m und (<9Z2)m aus (144) berechnen. Nimmt man

nun an, daß diese mittleren axialen Massenstromdichten sich jeweils im mitt¬

leren Radius befinden, so liefert die gleiche Rechnungsweise wie sie im Kapitel 5,

Abschnitt 4, erklärt wurde, MSl und MZ2 sowie auch MUl und MUi. Die Arbeit L

läßt sich dann ebenfalls berechnen, woraus der Verlauf der Dichte pjpoo fest¬

gelegt ist. Schließlich kann man die Kurven r?f {&z)i in Funktion von 77 auf¬

tragen.

75

Ausgehend von der inneren Begrenzungswand betrachten wir einen kleinen

radialen Abstand 8 ^0 in der Ebene 0 — 0. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichungund der Kurven rji (&zf) bestimmen sich die entsprechenden Abstände S tj1

und 3 rj2 in der Ebene 1 — 1 bzw. 2 — 2.

Laut unseren Voraussetzungen erhalten wir die Richtung der Grund¬

geraden, welcher die Meridiankurve überlagert wird, indem wir die Punkte

(tjojv + § t]0) und (ij2iv + ^ Vz) geradlinig verbinden. Die Neigung dieser Geraden e

ist also bekannt. Dementsprechend werden die radialen Geschwindigkeits¬komponenten in den drei bestimmten Punkten gegeben durch:

MH=Mzi-tge (146)wo i= 1, 2, 0.

Die totale Geschwindigkeit M = (Mz2 + Mu2 + Mr2)Va kann nun für diese

Punkte berechnet werden. Dann hat man p^p^ und &zi wieder zu berechnen,

wobei jetzt Mr berücksichtigt wird. Diese neuen Werte in der Kontinuitäts¬

gleichung (145) eingesetzt, liefern eine bessere Annäherung für S^ und 8r)2.Auf diese Weise geht man Schritt für Schritt in radialer Richtung vorwärts

und bestimmt den Verlauf der meridionalen Stromlinien bis zur äußeren

Begrenzungswand.Es ist zu beachten, daß zwischen den beiden Begrenzungswänden die Kon¬

tinuitätsgleichung (144) erfüllt sein muß. Ist das nicht der Fall, müssen Mzyund MZ2 von neuem gewählt werden und die Rechnung ist zu wiederholen.

5. Fall der allgemeinen Stufe

Für die drei Kontrollebenen geschrieben, mit Berücksichtigung, daß

d MJd £ = 0, lautet die Gleichung des radialen Gleichgewichtes (Gleichung (22)):

dr,\ 2 ) \2 dri 2 2 drj } 2\k-iJ d v

Setzt man Mt2 = M^ +M^ + M^ ein, so wird:

In den meisten Fällen sind sowohl Mr, als auch dMrijdr) klein, so daß das

zweite Glied der linken Seite (Mri-dMrijdr)) sehr klein im Vergleich zum

ersten ausfällt und vernachlässigt werden kann. Damit reduziert sich die

Gleichung (147) zu:M2--Lrj-W

76

welche dieselbe ist wie Gleichung (34), die das radiale Gleichgewicht in einer

Stufe mit zylindrischen Begrenzungswänden angibt. In diesem Fall wird also

die Behandlung der Strömung im wesentlichen die gleiche, wie für die Stufe

mit zylindrischen Begrenzungswänden sein. Die mit Hilfe der Gl. (34) abge¬leiteten Beziehungen, die die Strömung in den Ebenen 1 — 1 und 2 — 2 beschrei¬

ben, gelten also auch hier. Dies sind für Ebene 1 — 1 Gl. (35), (38) und (39) und

für Ebene 2 - 2 Gl. (46), (47) und (52). Wichtig ist hier zu bemerken, daß diese

Gleichungen nur gültig sind, wenn am Eintritt eine Strömung mit konstanter

Energie besteht.

Die Bestimmung der meridionalen Stromlinien und der sich daraus ergeben¬den radialen Geschwindigkeitskomponenten erfolgt auf die gleiche Art und

W'eise, wie für die Potentialströmung.

6. Zahlenbeispiel

Für eine Stufe seien nun folgende Größen gegeben:

die Neigung der inneren Begrenzungswand: £v = 7°

die Neigung der äußeren Begrenzungswand: £s =30°

Als Bezugslänge wird der Nabenradius in der Ebene 0 — 0 gewählt. Es ist

also :

7]0 ;V= 1 und wächst bis zur Spitze r]os= 1,5

Die Breite der Leit- und Laufschaufelung, d.h. der Abstand zwischen den

Ebenen 0 — 0 und 1 — 1, und 1 — 1 und 2 — 2 ist:

6/rVffl = 0,25

Für die Strömung seien folgende Größen gegeben :

_va0 = 60°

MS0 = 0,40

Mit Vernachlässigung der radialen Geschwindigkeits-Komponenten findet man :

0,0.,, = °.366

Dementsprechend wird:^ — n •>«

®22m = 0'196

Ist der Austrittswinkel aus dem Leitrad A,a1= 20°, so findet man XM1 — 0,964.

Somit kann der radiale Verlauf der Strömung in der Ebene 1 — 1 bestimmt

werden (Tafel 19).

77

Für den Entwurf des Laufrades nehmen wir an:

WPooW = (PiIPoo)n = °>65

MH = 0,302

Es ergibt sich:0 Ol0

Pw= Si

^^ = -0,083

Damit wird die von der Stufe in jeder Stromfläche geleistete Arbeit:

L = 0,420

Der Verlauf der Dichte in der Ebene 2 — 2 ist gegeben durch die Gleichung:

- /)2/Poo = (0,875-0,149 if22)2-86

Danach ermittelt sich der radiale Verlauf der Strömung in der Ebene 2-2.

Mit Hilfe der ?ji®ai(ij)-Kurven werden nun die Meridianstromlinien Schritt

für Schritt ermittelt und ihr Verlauf näherungsweise gezeichnet. Der Einfluß

der radialen Geschwindigkeits-Komponenten, die nunmehr gefunden werden

können, wird für eine zweite bessere Annäherung berücksichtigt. Man stellt

aber fest, daß dieser Einfluß auf den Verlauf der Meridianstromlinien nur

geringe Wirkung hat, so daß man sich mit der ersten Annäherung begnügenkann.

In Tafel 19 a sind die totalen Geschwindigkeiten M0, Mx und M2 über dem

Radius aufgetragen (vollausgezogene Kurve). Die gestrichelte Kurve stellt

diese Geschwindigkeit ohne ihre radiale Komponente dar.

Der radiale Verlauf der Stufenkenngrößen ist in Tafel 20 aufgetragen.Ebenfalls sind dort die Geschwindigkeitsdreiecke an der Nabe, an der Spitzeund in der Mitte gegeben.

KAPITEL 10

Strömung in einer mehrstufigen Turbomaschine

1. Einleitung

Für die bis jetzt behandelten einzelnen Stufen wurde außer für den Fall der

Potentialströmung stets eine reine Axialströmung konstanter Energie am Ein¬

tritt angenommen. Dies geschah in Hinsicht auf die Gleichungen (35) und

(47), die einen einheitlichen Ruhezustand voraussetzen. Einzig die Potential-

78

Strömung, welche eine Strömung mit konstanter Energie ist, erfüllt diese

Bedingung, auch wenn sie nicht axial verläuft.

In Luft- und Gasturbinen sowie auch im Kompressorenbau treten diese

axialen Eintrittsbedingungen nur in der ersten Stufe (Vorstufe) auf, die im

allgemeinen von einer Anzahl gleichartiger Stufen gefolgt wird. Wie es von

Trawpel klargelegt wurde [15], herrscht dann in den einzelnen Stufen mit sehr

guter Näherung der gleiche Strömungszustand, der sich einfach periodischwiederholt. Der Strömungsvorgang zeichnet sich dadurch aus, daß die auf den

Stromflächen gebildete Zirkulation um die Schaufeln für Leit- und Laufrad¬

schaufeln konstant ist. Die von der Strömung aufgenommene oder abgegebeneArbeit wird also in einer Stufe für jede Stromfläche die gleiche sein. Tritt also

die Strömung aus der Vorstufe mit konstanter Energie aus, so bleibt auch

beim Durchströmen der nachfolgenden Stufen diese Eigenschaft erhalten. Vor

jeder Stufe haben wir dann eine Strömung mit konstanter Energie, welche

dementsprechend überall den gleichen Ruhezustand besitzt. Diese Strömungist jedoch keine Potentialströmung.

Wir werden zunächst eine derartige Stufe betrachten und die dafür geltenden

Strömungsgleichungen ableiten. Die graphische Methode läßt sich hier mit

Vorteil anwenden, sowohl für die Bestimmung der Strömung nach dem Leit¬

rad, als auch nach dem Laufrad. Dies wird dadurch ermöglicht, daß die Zir¬

kulation über dem Radius konstant bleibt.

2. Analytische Betrachtungen

Da wir eine Vorstufe mit über dem Radius konstanter Zirkulation im Lauf¬

rad voraussetzen, gilt für die Strömung an deren Austritt Gl. (55):

(55) (JV£.-JVWi = 0

Diese Austrittsströmung ist die Eintrittsströmung in die nachfolgendeStufe, so daß man Gl. (55) auch folgenderweise schreiben kann:

(^«.•S.-^-U» = ° (149>

(^„„)2 = {MJX

Ä„)2 = Wi

Da nun auch das Leitrad konstante Zirkulation über dem Radius besitzt,

bleibt ls beim Durchströmen des Rades unverändert (Gl. 54)). In der Ebene

1-1, am Leitradaustritt, ist die Strömung durch Gl. (35) gegeben:

79

wobei:

und

80

Stromdichtekurven.undDichte-vonSchareineentsprechend

undTemperaturkurvenverschobenengegeneinandervonSchareinealsoman

erhältStufenfolgendenacheinandermehrereFürist.ArbeitgeleisteteStufe

derindieLwobeiL,——r2umkurveTemperaturdiealsosichverschiebt1—K

2—2AustrittsebeneihrerundStufeeiner0—0EintrittsebenederZwischen

(152)^(M^-liL)l-K\TJ

:2—2Ebenederinund

<im>{k)„-i-^{M"+^L>

Stufe:n-tender1—1und0—0EbenendeninStrömung

diefürgiltGleicherweiseArbeit.geleisteteStufezweitenderindieistL2

Laufraddemnach2—2Ebenediefür

+Kl2/\P00

00

2Ll)1-^(^,1+2/

00-*\

=(—)

gegeben:Gleichungenfolgendedurch1—1Ebenediefürauchals0—0

EbenediefürsowohlDichteundTemperatursindStufezweitedieFür

wird.berechnetZustanddiesemausdie

Geschwindigkeit,kritischedieaufGeschwindigkeitenalleauchwirbeziehen

Dementsprechendbeziehen.StufeerstendervorT00undp00p00,zustand

Ruhe¬denaufimmerStufenalleninZuständediesewerdenWirbestimmen.

zuZustandsgrößenthermodynamischenderVerlaufdernunbleibtEs

ist.vorgeschriebenStrömungsverlaufderobodersind,gegeben

Schaufelformendieobnachdem,jeberechnen,(39)oder(38a)mitEbenen

dreidiefürsichläßtMzGeschwindigkeitaxialenderVerlaufradialeDer

2.1,0,=iwo:

(150)(Mui.^z-M2iUn=0

:gegebenGleichungdieselbedurch2-2und1-10-0,

EbenendreideninStrömungdiealsowirdStufederartigeeineirgendFür

Stufe.nächstediefürsichwiederholtgleicheDasersetzt.2durch1Indexden

manwenn(35),wiederumgilt2—2Ebenederind.h.Laufradaustritt,Am

Wichtig ist hier zu bemerken, daß die vorigen Betrachtungen nur dann

gelten, wenn in der Vorstufe die Zirkulation um das Laufrad konstant ist.

Unter der in dieser Arbeit behandelten Stufenarten erfüllen

folgende diese Bedingung:

Stufe mit Potentialströmung,Stufe mit konstanter Reaktion und konstanter Zirkulation.

Wie es gezeigt wurde, bleibt die Zirkulation um das Laufrad auch für die

Stufe mit einer Strömung konstanter axialer Massenstromdichte praktischkonstant über dem Radius. Polglich kann also auch diese Stufenart in die

besprochenen eingereiht werden.

KAPITEL 11

Besprechung des wirklichen Strömungsverlaufes1)

1. Einfluß der Zähigkeit

Infolge der Zähigkeit des strömenden Mediums bilden sich sowohl auf den

Schaufelflächen, als auch an der Nabe und am Gehäuse Grenzschichten. Die

drei-dimensionalen Strömungen in Turbomaschinen, die in Anwesenheit die¬

ser Schichten entstehen, wurden in letzter Zeit viel behandelt. Einige dieser

Abhandlungen, wie die von Weske [17], geben ein vollständiges Bild über die

auftretenden Vorgänge, sind aber dafür iein qualitative Schilderungen. Andere

Arbeiten, wie diejenige von Carter [3], führen zu Verlustformeln, doch ihr

Gültigkeitsbereich ist beschränkt und ihr Charakter empirisch.Im folgenden werden wir die aus diesen Untersuchungen gewonnenen

Resultate in Kürze zusammenstellen und zum Verständnis des wirklichen

StrömungsVerlaufes für verschiedene Schaufelarten anwenden. Die vielen Fak¬

toren, die einerseits das Strömungsbild, und anderseits die Abhängigkeit einer

Stufe von den vorhergehenden festlegen, verbieten eine brauchbare theoreti¬

sche Behandlung des Problems. Nur durch Vernachlässigung eines Teils dieser

Faktoren läßt sich das Problem gewissermaßen lösen, wie es eben in den

vorhergehenden Kapiteln geschah. Die Korrekturen, deren diese theoretische

Strömung bedarfum praktisch benutzt zu werden, sollen dann auf Grund der im

vorliegenden Abschnitt zusammengefaßten Erkenntisse abgeschätzt werden.

1) Der Zweck dieses Kapitels ist, die aus verschiedenen Literaturstellen (3), (10), (15)und (17) gewonnene Kenntnisse, welche die bei der wirklichen Strömung eintretenden

Erscheinungen klar zeigen, kurz darzulegen.

81

a) Sekundäre Strömungen infolge der Kanalkrümmung

Unter dem Einfluß der Grenzschichten auf die inneren und äußeren Begren¬

zungswände entstehen sekundäre Strömungen in Form zweier Wirbel, die sich

der Hauptströmung überlagern. Man kann sich die Entstehung dieser

Wirbel leicht vergegenwärtigen, indem man sich die Schaufel¬

gitter als eine Anzahl von gekrümmten Kanälen vorstellt

(Abb. 12) und die Zustände in einem dieser Kanäle betrachtet.

Infolge der Kanalkrümmung entstehen Zentrifugalkräfte, die von einem

Druckgradienten nach außen im Gleichgewicht gehalten werden müssen. Der

Druck wächst also gegen die Kanalseite, die von dem Krümmungsmittel¬

punkte weiter entfernt liegt. In der Nähe der inneren und äußeren Begrenzungs¬wände werden aber die Strömungsgeschwindigkeiten durch den dort spür-

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Abb. 12. Entstehung von sekundären

Wirbeln in den Schaufelkanälen. We¬

gen der Grenzschicht wird der Druck

in A größer als der Druck in C, bzw.

der Druck in D größer als der Druck

in S

Abb. 13. Sekundäre Wirbel in einem Schaufel¬

kanal. Die sekundären Wirbel verursachen im

Abstrom zwei freie Wirbel

82

baren Einfluß der Wandreibung verkleinert. Dementsprechend müssen auch

die Druckgradienten, die den dort vorhandenen Zentrifugalkräften das Gleich¬

gewicht halten sollten, kleiner sein.

In einem Punkte A (Abb. 12), der in der Nähe der Begrenzungswand liegt,muß also der Druck kleiner sein als im Punkt B, der in der Mitte zwischen den

Wänden liegt. Umgekehrt muß auch der Druck im Punkt C größer als der¬

jenige in D sein. Diese Druckunterschiede verursachen zwei Wirbel, die sich

in der Richtung ACDB drehen und der Hauptströmung überlagert werden.

In den Kanälen zwischen den Schaufeln eines Gitters entstehen also sekun¬

däre Zirkulationsströmungen, welche im Abstrom erhalten bleiben. Hinter

den Schaufelaustrittskanten entsteht, zwischen je 2 solchen Zirkulations¬

strömungen, eine freie Wirbelschicht, die von der Hauptströmung getragenwird. Die Richtung der einzelnen Wirbel dieser Schichten, welche sich haupt¬sächlich an den beiden Enden der Schaufeln konzentrieren, ist derjenigen der

Wirbel in den Kanälen entgegengesetzt. Da diese Schichten aber unstabil sind,

rollen sie sich in zwei freie Wirbel auf (Abb. 13). Die kinetische Energie dieser

Wirbel kann nicht mehr rückgewonnen werden, sondern geht in Form von

innerer Reibungsenergie verloren.

b) Einfluß der sekundären Strömungen in Turbomaschinenstufen

Infolge der Grenzschichten an den beiden Begrenzungswänden und den

sekundären Strömungen, die daraus entstehen, ändert sich der radiale Ge¬

schwindigkeitsverlauf. Die axiale Geschwindigkeitskomponente nimmt gegen

Nabe und Spitze ab; in der Mitte nimmt sie zu. Dadurch ändert hauptsächlichdie Richtung der totalen Strömungsgeschwindigkeit. Für eine Turbinenstufe

entspricht dies einer Verminderung der Zirkulation gegen die Nabe und die

Spitze, und einer Vergrößerung derselben in der Mitte.

Für eine Turbinenstufe mit konstanter Zirkulation um die Lauf¬

schaufeln, z.B. eine Stufe mit Potentialströmung, wird infolge der sekundären

Strömungen die Zirkulation in den mittleren Teil vergrößert, gegen die Nabe

und Spitze dagegen verkleinert (Abb. 14). Die Mitte liefert also eine größere

Leistung, was die Verluste an der Nabe und Spitze teilweise ausgleicht. Durch

die Änderung der Zirkulation treten jedoch Änderungen der Geschwindigkeits¬

richtung und entsprechend Stoßverluste auf, die die totale Leistungsabgabe

verringern.Für den Fall einer unverdrehten Stufe wurde festgestellt, daß die theore¬

tische Zirkulation mit dem Radius zunimmt. Tritt nun die oben beschriebene

Erscheinung ein, so bewirkt sie einen Ausgleich der Zirkulationsverteilungzwischen dem mittleren und dem oberen Teil. Die resultierende Zirkulation

bleibt also über diesem Abschnitt bis nahe zur Spitze fast konstant. Gegen

83

die Nabe, wo die Zirkulation schon klein ist, erfährt sie eine weitere Vermin¬

derung, so daß sie in diesem Teil recht klein wird. Dementsprechend ist auch

die Leistung die dieser Teil liefert gering (Abb. 15).Das gleiche gilt für die Laufschaufeln mit soliden Wirbeln am Austritt.

r

J*^r-r ^^^\

(l~

Abb. 14. Zirkulationsverteilung um das Laufrad einer Stufe mit theoretisch konstanter

Zirkulation, unter Berücksichtigung der Zähigkeit

Abb. 15. Zirkulationsverteilung um das Laufrad einer Stufe mit unverdrehter Schau-

felung, unter Berücksichtigung der Zähigkeit

Für eine Kompressorstufe entspricht dem neuen Verlauf der axialen

Geschwindigkeitskomponenten eine Vergrößerung der Anstellwinkel gegen

Nabe und Spitze. Die Arbeitsaufnahme nimmt dementsprechend zu, die Ver¬

dichtungsarbeit dagegen nicht immer, da oft Ablösung infolge der vergrößertenAnstellwinkel in diesen Teilen eintritt. Gegen die Mitte der Schaufelhöhe

nimmt der Anstellwinkel ab und dementsprechend die aufgenommene Arbeit

und die abgegebene Verdichtungsarbeit. Wegen der Grenzschicht und der

sekundären Strömungen wird also die Arbeitsaufnahme der Stufe und in

höherem Maße die Nutzarbeit verkleinert.

84

c) Radiale Bewegung der Grenzschicht in rotierenden Schaufelkanälen

Eine andere Erscheinung, die die Strömungsverhältnisse einer Stufe beein¬

flußt, ist das Zentrifugieren der Grenzschicht längs den Laufschaufeln. Die

Entstehung dieser Bewegung kann folgenderweise begründet werden:

Man betrachte eine Laufschaufel, die sich mit einer Umfangsgeschwindig¬keit u bewegt. Auf den Schaufelseiten befindet sich eine Grenzschicht, die man

in erster Annäherung als relativ zur Schaufel in Ruhe betrachten kann. Im

absoluten Sinn bedeutet diese Annahme, daß diese Schicht sich mit der

Schaufel dreht und dementsprechend die Umfangsgeschwindigkeit u besitzt.

Infolge dieser Drehbewegung entstehen Zentrifugalkräfte, die nur durch einen

starken Druckgradienten nach außen im Gleichgewicht gehalten werden könn¬

ten. Der Druck ist jedoch seinerseits durch das außerhalb der Grenzschicht

strömende Medium festgelegt. Dieses Medium besitzt eine Umfangskompo-nente c„, die im allgemeinen kleiner als u ist. Folglich ist auch der Druck¬

gradient, der das radiale Gleichgewicht sichert, kleiner als derjenige, der für

den Ausgleich der Zentrifugalkräfte in der Grenzschicht nötig wäre. Infolge¬dessen wird nur ein Teil dieser Kräfte durch diesen Gradienten ausgeglichen.Der übrige Teil dieser Kräfte bewirkt eine radiale Beschleunigung und eine

Bewegung der Grenzschicht nach außen.

Diese Bewegung verursacht eine Verengung der Grenzschicht gegen die

Nabe und eine Verdickung gegen die Spitze. Die Verengung dieser Schicht

gegen die Nabe bringt eine Verbesserung des dortigen Strömungsfeldes mit

sich, was sehr wünschenswert ist angesichts der an dieser Stelle relativ engen

Kanäle und der damit verbundenen größeren Reibungsverluste.Es ist zu bemerken, daß dort, wo cu größer als u ist, wie es z.B. bei vielen

Curtislaufrädern der Fall ist, die Grenzschicht radial nach innen verdrängtwird.

2. Der Einfluß des radialen Spaltes

Infolge des radialen Spaltes zwischen den Schaufeln und den Begrenzungs¬wänden im Leit- und im Laufrad strömt ein Teil des Mediums über das Schau¬

felende von der Druckseite der Schaufeln zur Saugseite. Dieser Teil des

Mediums entzieht sich der Ablenkung durch das Rad und geht für die Stufe

verloren. Die Umströmung verursacht an den Schaufelenden das Entstehen

von Wirbeln, die sich zu den in Abschnitt 1 besprochenen sekundären Wirbeln

addieren und kinetische Energie verbrauchen. Das Entstehen dieser Wirbel

und ihr Einfluß auf die Strömung wurde von Meldahl [10] besprochen. Man

kann sich ihr Zustandekommen leicht wie folgt vergegenwärtigen:

Infolge der Umströmung am Schaufelende werden die Stromlinien auf der

85

Hohlseite der Schaufeln nach außen abgelenkt (in Richtung des Schaufelendes),auf der Rückseite werden sie dagegen vom Schaufelende fortgedrängt. An der

Austrittskante werden dann die Stromlinien, die von beiden Seiten der Schaufel

kommen, nicht mehr parallel sein, sondern werden sich kreuzen. Deswegenlösen sich Wirbel von der Austrittskante ab.

Diese Umströmungsbewegung ist stark beeinflußt von der relativen Bewe¬

gung der Begrenzungswände und der sich darauf bildenden Grenzschicht. Wie

es im Artikel von Carter [3] gezeigt wird, fördert die Bewegung der Wand bei

einem Kompressor die Vergrößerung der umströmenden Menge und also die

Spaltverluste. Die durch diese Bewegung entstehenden Wirbel zeigen sich in

diesem Fall als zusätzliche sekundäre Zirkulationsströmungen. Es ist noch zu

bemerken, daß die normalen sekundären Strömungen diese Umströmungs¬

bewegung verstärken.

Für den Fall der Turbine wirkt dagegen die Bewegung der Wände

im günstigen Sinn und vermindert die umströmende Menge. Ebenfalls ist die

Wirkung der normalen sekundären Strömungen hier günstig, da sie diese

Umströmungsbewegung abschwächen. Die daraus entstehenden Wirbel var-

einigen sich in diesem Fall mit den sekundären Wirbeln.

Der Betrag des umströmenden Mediums ist abhängig von der Gestalt des

Schaufelendes, d. h. von der Schaufelform einschließlich der eventuellen Schär¬

fung des Schaufelendes, von der Teilung und vom Spiel. Ferner ist die Schau-

felbelastung für diesen Betrag maßgebend. Je stärker die Schaufeln belastet

sind, um so höher werden auch die SpaltVerluste. Es wäre also angesichts der

Spaltverluste erwünscht, die Belastung der Laufschaufeln gegen die Spitzehin zu verkleinern. Diese Forderung ist aber bei mehrstufigen Maschinen nicht

erfüllbar, da eine Variation der Belastung längs des Radius eine Variation des

Stufengefälles über dem Radius und eventuell auch eine Vergrößerung des

Dralles von Stufe zu Stufe mit sich bringt, wie dies in Kapitel 10 geschildertwurde.

Ein anderer Faktor, der die Spaltverluste indirekt beeinflußt,ist das Druckgefälle im Schaufelkranz (s. Diss. Traupel [15]). Bei

gegebener Schaufelbelastung, anders gesagt, bei gegebenem Stufengefälle,werden die Spaltverluste um so größer, je größer die Druckänderung in den

Schaufeln ist. Damit also die Spaltverluste der Stufe am kleinsten werden,muß das Druckgefälle im Leitrad gegen die Nabe und im Laufrad gegen die

Spitze klein sein. Es muß also der Reaktionsgrad gegen die Nabe groß sein

und mit dem Radius abnehmen. Der Verlauf des Reaktionsgrades ist allerdingsin den meisten praktisch vorkommenden Stufenarten gerade umgekehrt. An

der Nabe ist er am kleinsten und wächst mit dem Radius. Von den behandelten

Schaufelungen zeigen sich also, hinsichtlich der Spaltverluste, diejenigen mit

konstanter Reaktion längs der Schaufellänge am günstigsten.

86

3. Einfluß der geometrischen Schaufelgestalt

Für die theoretische Behandlung der Strömung in den verschiedenen

Stufenarten wurde stets angenommen, daß die Schaufeln streng radial stehen.

Es Zeigt sich aber, daß diese Annahme bei verdrehten Schaufeln nicht erfüllt

ist. Wegen der Verdrehung werden nämlich die Schaufelkanten vorwärts oder

rückwärts geneigt. Infolge dieser Neigung entstehen zusätzliche radiale

Gesohwindigkeitskomponenten, die das resultierende Strömungsbild in gewis¬sem Maße beeinflussen.

P'

Abb. 16. Radiale Neigung der verdrehten Schaufeln

Um diese Schiefstellung klar zu zeigen, betrachtet man eine verdrehte

Schaufel (Abb. 16). Der äußeren Schaufelkante an der Nabe wird der Punkt P'

in radialer Richtung an der Spitze entsprechen. Dieser Punkt hat sich also um

P P' von der streng radialen Richtung entfernt. Die Neigung der Schaufel¬

kante bei P ist also gegeben durch P P'/l, wobei 1 die Schaufelhöhe ist. Diese

Neigung der Schaufelkante verursacht nun das Entstehen von radialen Kräf¬

ten auf die Strömung, welche radiale Beschleunigungen und radiale Geschwin¬

digkeiten erzeugen.

87

Summary

The present work deals with the three dimensional compressible and

incompressible flow between the long blades of turbomachines such as those

often encountered in the last stages of steam and gas turbines. The flow

through these stages is assumed to be isentropic, and the blade spacing is

taken to be infinitely small. With the help of the isentropic curves, relatingthe temperature, density and mass rate of flow in terms of the Mach-number,

a graphical method is developed which determines the radial variation of the

velocity and the density in the axial gap between the fixed and moving blades.

These in turn determine the characteristics of the stage and the location of the

meridional stream lines. These lines turn out to have a periodical wave shape

except in the case of a stage with a constant axial mass rate of flow, where

they are straight.The graphical determination of the flow in the gap is based on the con¬

dition of radial equilibrium between the centrifugal forces and the pressure

gradient. The influence of the curvature of the meridional stream lines on this

radial equilibrium is nevertheless not taken into account. This assumption,which is permissible in the majority of practical cases, simplifies the solution

to a large extent. Although greater accuracy may be secured by labourious

analytical calculations, the graphical method has the practical advantage of

presenting clearly the various factors involved, in a relatively short time.

Furthermore it is felt, as explained in the last chapter, that since the real flow

deviates from the ideal, the approximate method presented is adequate for

practical requirements.

88

Literaturverzeichnis

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of the A.S.M.E., January 1951.

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The Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers. Vol. 159, 1948.

4. A. D. S. Carter and E. M. Cohen: Prelimenary investigations into the three dimen¬

sional flow through a cascade of Aerofoils. Aeronautical Research Council Reportsand Memorandum No. 2339, 1946.

5. 0. Darrieus: Contribution au tracé des aubes radiales des turbines. Stodola-Fest-

schrift, Zurich 1928.

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length. N.A.C.A. T.M. 1118, 1947.

7. Howel: Fluid mechanics of axial compressors. The Proceedings of the I.M.E.,

Vol. 153, 1945.

8. R. Legendre: Remarques Diverses sur l'écoulement dans les turbomachines a circu¬

lation variable. Association Technique Maritime et Aéronautique Session, 1950.

9. J. E. Marble: Flow of a perfect fluid through an axial turbomachine with prescribedblade loading. Journal of aeronautical sciences, August 1948.

10. Melddahl: End losses in a turbine blade. B.B.C. Review, Vol. 28, 1941.

11. Reeman: The turbine for the simple jet propulsion engine. The Proc. of J.M.E.,

Vol. 153, 1945.

12. Sauer: Theoretische Gasdynamik.13. W. T. Sawyer: Experimental investigation of a stationary cascade of aerodynamic

profiles. Mitt. 17 aus dem Institut für Aerodynamik E.T.H.

14. Stodola: Dampf- und Gasturbinen, 5. Auflage.15. W. Traupel: Neue allgemeine Theorie der mehrstufigen axialen Turbomaschinen.

Promotionsarbeit 1942.

16. W. Traupel: Kompressible Strömung durch Turbinen. Schweizer Archiv, Mai und

Juni 1950.

17. J. R. Weske: Fluid dynamics aspects of axial flow compressors and turbines. Journal

of aeronautical sciences, Vol. 14, 1947.

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19. C. R. Wisclicenus: Fluid mechanics of turbomachinery. 1947.

20. L. Wolfenstein and Chung Hu Wu: Application of radial equilibrium condition to

axial flow compressor and turbine design. N.A.C.A. Report 955, 1950.

89

Lebenslauf

1. Personalien

Name: Gazarin, Adel Ismail.

Geburtsdatum: 20. März 1926.

Geburtsort: Alexandrien (Ägypten).

2. Studiengang

1933—1941: Primär- und Sekundärschule.

Matura im Juli 1941.

1941—1946: Technische Hochschule an der „Farouk I University" Alexan¬

drien. Bachelor of Science in Mechanical Engineering.

1947—1951: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. Zwei Semester

als Fachhörer. Doktorarbeit unter Leitung von Herrn Prof.

Quiby.

Abbildungen

NABE

=-7°

= 30°

£ = 15°

MITTLERE STROMFLACHE M-M

= 0.1 M

b

1,9

1.7

7.6

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

0.9

/

/\

\ /r

1H 7/

«0

AX

\ /

y\y

\!

^

0 10 20 30 40 SO 60 70 30 90

%R.<*o.i ,ß2

Tafel 20. Potentialstromung in einer Stufe mit konischen Begrenzungswânden.

a. Radialer Verlauf von a0, ax, ß2 und R.

b. Geschwindigkeitsdreiecke.

„M, = 1.0

y»*

LEITRAD

LAUFRAD

Tafel 17. Stufe mit Strömung nach dem soliden Wirbel (Fall 1).

a. Bestimmung der kinematischen Zustandsgrößen und des Reaktionsgrades.

b. Geschwindigkeitsdreiecke.

c. Schaufelprofile.

L.

und

R

M2l,

M^,

von

Verlauf

Radialer

e.

Meridianstromlmien.

der

Verlauf

b.

Meridiansstromlinien.

der

und

Zustandsgrößen

sohen

thermodynami-

der

Bestimmung

a.

'-'

1)(F

all

Wirbel

soliden

dem

nach

Strömung

mit

Stufe

16.

Tafel

M,L,R.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

\1

i.

.

\%V

«\

LMuz

h,

1.0.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5T

Strömung nach dem Laufrad.

Tafel 15. Stufe mit unverdrehten Schaufeln.

Bestimmung der thermodynamischen Zustandsgrößen nach dem Laufrad.

M„2.

und

MZ3

Mlt

MSl,

MMl,

von

Verlauf

Radialer

c.

R.

und

L8,

y,

ßv

von

Verlauf

Radialer

b.

Reaktionsgrades.

des

und

Zustandsgrößen

kinematischen

der

Bestimmung

a.

Schaufeln.

unverdrehten

mit

Stufe

14.

Tafel

T)

0.1

=

M0.1

a-"

IX)

0.8

0.6

0.4

0.2

ßt,t

r80

80

40

20

/?7,

00.8

0.6

0.4

0,2

<*, = 77 28

SPITZE

"} 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0

Tafel 13. Stufe mit unverdrehten

Schaufeln.

a. Bestimmung derthermodynamisohen

"'*

Zustandsgrößen nach dem Leitrad.

b. Geschwindigkeitsdreiecke.c. Meridianstromlinien, Schaufelprofile

1.0

0.9

0.8

0,7

0.6

0.S

e

f e

/////U.t

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—0.2

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V 0 2 0 4 /0(A 9 1 0 1 2 1 4 1. 6

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1.0£

MNT

1.1

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"-ȣ = X7 28

k1.3

1.4

1.S

1

/

1

Strömrung rlach (iem ] ^eitra i.

Geschwindigkeitsdreiecke.

Massenstromdichte.

axialer

konstanter

Strömung

mit

Stufe

12.

Tafel

M0,1

=

11.

Tafel

*10~'MZ

3,5

Zustandsgrößen.

kinematischen

der

Bestimmung

c.

M22.

und

MSl

M„2,

MUl,

von

Verlauf

Radialer

b.

L.

und

Rsin/i2,

sm/3i;

smccj,

von

Verlauf

Radialer

a.

Massenstromdichte.

axialer

konstanter

Strömung

mit

Stufe

10.

Tafel

Potentialströmung.

der

Fall

sino<f.flt,âg

.L

K,*~

MITTE

Profil an der Nabe.

Profil an der Spitze.

SPITZE

= 0,1 H

Tafel 9. Stufe mit Strömung konstanter

axialer Massenstromdichte.

a, b. Bestimmung der thermodynamischen

Zustandsgrößen nach dem Laufrad.

c. Geschwindigkeitsdreiecke.

d. Schaufelprofile.

Leitrad.

dem

nach

Strömung

Potentialströmung.

mit

Stufe

8.

Tafel

M1A

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

7.0

7.7

7.2

7J

1A

7.5

7.6

7.71

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v\Oj4

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0

\JOS«

M

OA

1.0

\

\.,

\2

7

\1.4

\\7.6

M,/;oSo<

1*

Potentialströmung.

mit

Stufe

7.

Tafel

M7.6

1.4

1.2

7.0

*1y

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///

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\e

/

0.1

0.2

0.3

OA

O.S

c

V^

0.7

0.8

0.9

14

Tafel 6. Geometrische Ortskurve der Strömung mit konstanter axialer

Massenstromdichte. a: Überschallgebiet. b: Unterschallgebiet.

Schaufelprofile.

c.

Spitze.

der

an

Profil

Geschwindigkeitsdreiecke.

b.

Nabe.

der

an

Profil

Reaktionsgrades.

des

und

Znstandsgrößen

kinematischen

der

Bestimmung

a.

c

Potentialströmung,

mit

Stufe

5.

Tafel

\\

Tafel 4. Stufe mit Potentialströmung.

a. Bestimmung der thermodynamischen Zustandsgrößen.

b. Verlauf der Meridianstromlinien.

Tafel 3. Ortskurven der Potential-Strömung.

a. Unterschallgebiet

b. Überschallgebiet

Tafel 2. Potentialströmung m feldfreien Raum zwischen zwei koaxialen Zylindern.

Bestimmung der thermodynamischen Zustandsgrößen.

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0,1

1

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0.2 OA 0.6 0.8 10 1.2 1.4 1.6 1.8 M

Tafel 1. Isentropisches Zustandsdiagramm