risolvere equazioni goniometriche riconducibili a … grafici delle funzioni circolari e le...
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Risolvere equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari
1 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodi per risolvere equazioni trigonometriche non elementari
2 Daniela Valenti, Treccani scuola
A. Ricondurre l’equazione ad equazioni elementari con procedimenti algebrici, che utilizzano anche varie formule studiate.
B. Risolvere l’equazione con metodi grafici, basati anche sulle trasformazioni del piano.
Vediamo i due metodi su qualche esempio.
Risolvere 2sin(x) – 1 = 0
3 Daniela Valenti, Treccani scuola
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo
dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale.
Risolvere
4 Daniela Valenti, Treccani scuola
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
€
sin 2x+π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
Ho così ottenuto le soluzioni
€
xk = −π12
+ kπ , x'k =π4
+ kπ
Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo
dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale.
5 Daniela Valenti, Treccani scuola
Equazioni e identità trigonometriche Tante uguaglianze scritte in trigonometria. Ecco alcuni esempi per riflettere
€
A. sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
32
cos x +12
sin x
€
C. 32
cos x +12
sin x =12
€
B. sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
12
Formula di addizione del seno Identità, cioè uguaglianza vera per qualunque numero reale x.
Equazione, cioè uguaglianza vera solo per alcuni numeri reali x da determinare.
Equazioni equivalenti
6 Daniela Valenti, Treccani scuola
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
Il lavoro di gruppo è dedicato a due attività: - risolvere equazioni trigonometriche
riconducendole a quelle elementari; - confrontare identità ed equazioni
trigonometriche.
Attività 2. Equazioni e identità
7 Daniela Valenti, Treccani scuola
Che cosa abbiamo ottenuto
8 Daniela Valenti, Treccani scuola
Equazioni risolte
9 Daniela Valenti, Treccani scuola
Equazioni e identità
10 Daniela Valenti, Treccani scuola
B. Metodi grafici e trasformazioni del piano
Vediamo ora a qualche equazione risolta con metodi grafici, che applicano anche le trasformazioni del piano
11 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodo grafico Un primo esempio
€
sin 2x( ) =12
€
sin(x) =12⇔
y = sin(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
sin(2x) =12⇔
y = sin(2x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Contrazione del piano che dimezza le ascisse
€
xk =π6
+ 2kπ , x'k =56π + 2kπ
€
xk =π
12+ kπ , x'k =
512π + kπ
12 Daniela Valenti, Treccani scuola
Confronto fra metodo algebrico e grafico
€
sin 2x( ) =12
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
Ritrovo così le soluzioni
€
xk =π12
+ kπ , x'k =5
12π + kπ
13 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodo grafico Un secondo esempio
€
sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
€
sin(x) =12⇔
y = sin(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
12⇔
y = sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
y =12
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
T r a s l a z i o n e verso sinistra, che sottrae π/3 alle ascisse
€
xk =π6−π3
+ 2kπ = −π6
+ 2kπ , x'k =56π −
π3
+ 2kπ =π2
+ 2kπ
Risolvere
14 Daniela Valenti, Treccani scuola
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
€
sin x+π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
Ritrovo così le soluzioni
€
xk = −π6
+ 2kπ , x'k =π2
+ 2kπ
Confronto fra metodo algebrico e grafico
15 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodi grafici e algebrici a confronto Requisiti del punto di vista grafico Conoscere e applicare correttamente i grafici delle funzioni circolari e le trasformazioni del piano
Requisiti del punto di vista algebrico Conoscere e applicare correttamente le formule risolutive delle equazioni elementari e le identità trigonometriche.
16 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodi grafici e algebrici a confronto Caratteristiche del punto di vista grafico Posso sviluppare l’intuizione grafica e ‘vedere’ le soluzioni anche senza disegnare i grafici.
Caratteristiche del procedimento algebrico Posso sviluppare l’abilità nel manipolare formule ed espressioni e saper risolvere varie equazioni.
17 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodi grafici e algebrici a confronto
Una ‘saggia’ mescolanza dei due metodi può essere una scelta vincente: - pensare ai grafici per ‘vedere’ le soluzioni e controllare i risultati dei calcoli;
- conoscere formule risolutive e identità trigonometriche per verificare le intuizioni grafiche.