rÚdszerkezetek keresztmetszeti feszÜltsÉgei

RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI

FESZÜLTSÉGEI

SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006.

KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

2

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK• RÚD: olyan egyenes tengelyű tartószerkezet,

melynek egyik mérete a másik kettőnél lényegesen nagyobb (L>>h, b)

• RÚDSZERKEZET: rudakból csomóponti kapcsolatokkal és támaszokkal összeállított tartószerkezetMEGJEGYZÉS: szűkített értelemben (RÁCS)RÚDnak azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK normálerő működik, azokat a rudakat pedig, amelyek a terhelést jellemzően nyíróerőkkel és nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak nevezzük.A görbe tengelyű rúdszerű szerkezeteket poligonálisan egyenes tengelyű darabokból összeállítottnak tekinthetjük.



3

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK• KERESZTMETSZET: a rúd tengelyére

MERŐLEGESEN FELVETT metszet• A rúd PRIZMATIKUS (a km. alakja-mérete

a hossz mentén nem változik)TENGELYEK: • a rúd tengelye x• a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely y a

függőleges tengely z (ezek nem feltétlenül tehetetlenségi főirányok!)

• a km. síkjában az „erős” tengely (1. főirány) u, a „gyenge” tengely (2. főirány) v



4

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOKANYAGTULAJDONSÁGOK: a rúd anyaga • HOMOGÉN (az anyagjellemzők

HELYfüggetlenek)• IZOTROP (az anyagjellemzők

IRÁNYfüggetlenek)• (ideálisan) RUGALMAS (F/e ill.

/konstans)• lokálisan RUGALMAS-KÉPLÉKENY



5

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOKVISELKEDÉSI TULAJDONSÁGOK: • A RÚD alakváltozása ELÉG KICSINY ahhoz,

hogy hatását az igénybevételek számítása során elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendű számítás)

• az alakváltozás során a rúd KERESZTMETSZE-TEI SÍKOK maradnak és a hossztengellyel párhu-zamos ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra MERŐLEGESEK maradnak (ez utóbbi feltevés nem minden esetben tartható!)



6

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOKIGÉNYBEVÉTELEK: térbeli rúd egy kereszt-metszetében előfordulható igénybevételek:

Nx normálerő

Tz vagy Tv nyíróerő

Ty vagy Tu nyíróerő

Mx csavarónyomaték

My vagy Mu hajlítónyomaték

Mz vagy Mv hajlítónyomaték

x

z (=v)

y(=u)

Nx

MxTy =Tu

My =Mu

Mz =Mv

Tz =Tv



7

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOKAz igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: • A számítások során arra törekszünk, olyan

közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes igénybevételekből származó feszültségek a többi igénybevételtől FÜGGETLENÜL legyenek számíthatók.

MEGJEGYZÉS: a Tz nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van My hajlítónyomaték, ill. a Ty nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték!!!!

d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x)



8

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOKAz igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: Alapállapotban a megfelelőséget a normál- ill. a nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenőriz-zük, a különböző hatásokból származó, de azonos jellegű (normál- ill. nyíró-) feszültségeket (vekto-riálisan) összegezve.Erős kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon pontban egyidejűleg működő feszültség EGYÜTTES hatását is vizsgálni kell (összehasonlító feszültségvizsgálat, törési feltételek, főfeszültségvizsgálat).



9

Nx

Tiszta húzás (nyomás) esetén CSAK tengely-

irányú, centrikus (a teher- bírási középponton támadó) erő terheli a keresztmetszetet. Az ébredő

p(x,y,z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan lesz x irányú, azaz feszültségkomponense, vagy másként: ez a normálerő a keresztmetszeti feszültségrendszer eredőjeként értelmezhető.

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS)Nx Ty Tz Mx My Mz



10

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁSHa a keresztmetszetben általános állású feszültségvektorokat tétele-zünk fel, akkor az egyes pontok-ban a nyírófeszültségek a két csat-lakozó darabon ellentétes kereszt-irányú deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott keresztmet-szetben a két tartódarab végmetsze-tei nem illeszkedhetnének, ami vi-szont sérti az anyag folytonosságát.

EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS!



11

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS)

Ha a keresztmetszetben csak normál-feszültséget tételezünk fel, de annak eloszlását nem egyenletesnek tekint-jük, akkor az egyes pontokban az el-térő normálfeszültségi értékek miatt a fajlagos nyúlások is különbözők len-nének, és emiatt az átvágott kereszt-metszetben a két tartódarab végmet-szetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát.

EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS!



12

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁSA centrikusan húzott rúd közbenső ke-resztmetszeteiben az anyag folytonos-sága csak úgy biztosítható, ha a ke-resztmetszetekben CSAK x fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben EGYENLE-TES azaz a keresztmetszetben CSAK x normálfeszültség ébred, és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben (szintén) EGYENLETES. x=Nx/A



13

TISZTA NYÍRÁSNx Ty Tz Mx My Mz

A keresztmetszeti igénybevételek differenciális összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróerő léte meg-kívánja a (vele azonos síkban műkö-dő, azonos terhelésből származó) nyomatéki igénybevétel létét.

A tiszta (más igénybevételektől mentes) nyírás tehát tényleges rúd-keresztmetszetekben valójában NEM FORDULHAT ELŐ!!!

Tz =Tv

My!

Ty =Tu

Mz!

d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x)!



14

dx

T


Az elméleti lehetetlensé-get elismerve mégis adó-dik olyan terhelési eset, amelyben a keresztmetszet pontjaiban a nyíróerő ha-tása dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötőele-mekben előforduló) ese-tekre (közelítő megoldás-ként) alkalmazhatónak elfogadjuk a TISZTA NYÍRÁSi igénybevételt.

dx

dz

A tiszta nyírásban a nyíróerőből csak feszültségekre számítunk.

dxdz



15


A tiszta nyírás igénybevétele a ke-resztmetszeteket a tartótengelyre MERŐLEGESEN mozdítja el, és így az elemi szálaknak a keresztmetsze-tekkel bezárt (eredetileg merőleges) állása megváltozik. Az elemi hasáb tengelyre merőleges elmozdulásának a tartótengely mentén mért hosszhoz viszonyított értékét a nyírásra jellem-ző deformációnak, NYÍRÁSI SZÖGTORZULÁSnak nevezzük.

Általános esetben az elemi hasáb torzulása szimmetrikus, így a /2 jelenik meg az ábránkon.

dxdz

T

dx

dz

dx



16

T=0

=0

=0

=0

=0

TISZTA NYÍRÁSNx Ty Tz Mx My Mz A rúd oldalfelületén, az

érintősíkokban (a VALA-MI és SEMMI határfelü-letén) SEMMILYEN IRÁNYÚ NYÍRÓFE-SZÜLTSÉG NEM ÉB-REDHET. Emiatt a ke-resztmetszet SÍKJÁBAN a kerület mentén CSAK ÉRINTŐIRÁNYÚ NYÍ-RÓFESZÜLTSÉG kelet-kezhet.

=0

Tx

x=0

x

x

xx

x

x

x

x

x

x=0

A dualitás miatt tehát a keresztmetsze-ti nyírófeszültségek pontról-pontra mind állásukban, mind nagyságukban ELTÉRŐK lesznek.



17

TISZTA NYÍRÁSNx Ty Tz Mx My Mz MÉGIS:

a gyakorlat számára a kapcsolóelemekben egy ÁTLAGOSÍTOTT, FIK-TÍV nyírófeszültséget veszünk figyelembe, amelynek IRÁNYÁT a nyíróerő irányával azo-nosnak, ELOSZLÁSÁT pedig egyenletesnek vesszük.

TTx

x=0

x

x

xx

x

x

x

x

x

x=0Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkal-mazása a tiszta nyírású metszetekben rész-ben a képlékeny kiegyenlítődés, részben pedig az anyagellenállás hasonló módon történt meghatározása miatt elfogadható.



18

Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki.

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazásA húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel.

A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak.



19

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazásA húzott-nyomott acéllemezek csava-rozott-szegecselt kapcsolatában a kö-tőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybe-vételi állapotot tételezhetünk fel.

Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki.

A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak.



20

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazásMás egyszerűsítések:

A valós palástnyomá-si feszültségek helyett (is) fiktív, az átmérő mentén egyenletes, a húzóerővel párhuza-mos „feszültségeket” alkalmazunk. A kö-tőelemek között az erőt egyenletesen el-osztottnak tekintjük.

A palástnyomási (fiktív!) „feszültségeket” az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága mentén (is) állandónak vesszük.



21

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazásMás egyszerűsítések:A teljes húzóerőt a nyírásvizsgálat során (is) a kötőelemek kö-zött egyenletesen el-osztottnak tekintjük.(A kimért erőeloszlás a végelemekre nagyobb ér-téket ad, de ha az egymás mögött álló elemek szá-mát korlátozzuk, a kép-lékeny kiegyenlítődés alapján az egyenletesség elfogadható.)

A kötőelemek „nyírás-számát” a tönkremene-telhez (a szabad mozgáshoz) egyidejűleg elnyíródni kényszerülő felületek száma adja.



22

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSAMás egyszerűsítések:A húzott elemekben a lyukgyengítések ke-resztmetszetében ki-alakuló normálfe-szültségek eloszlását (is) egyenletesnek tekintjük.A mérések szerint a lyu-kak mellett (az erővona-lak összesűrűsödése mi-att) a feszültség lényege-sen nagyobb, de a képlé-keny átrendeződés itt is segít.

A gyengített keresztmetszet (számítási!) „fe-szültségeit” mind a keresztirányú (hatékony) szélesség, mind az egy irányban dolgozó le-mezek (összegzett) vastagsága mentén állan-dónak vesszük.

A húzott lemez ill. a heveder mértékadó gyengített keresztmetszete(i)



23

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA

KÖ

ZÉPK

ER

ES

ZTM

ETS

ZE

KÖ

ZÉPK

ER

ES

ZTM

ETS

ZE

X

Y

Sxx K

[kN/ cm2 ]

60,00

54,00

48,00

42,00

36,00

30,00

24,00

18,00

12,00

6,00

0

A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen megoszló erővel hú-zott acéllemez számított hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlá-sát mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében van anomália: a lyukak szélessé-gében a lyuk előtt-mögött a hosszirányú normálfeszültség lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentősen megnő.



24


KÖ

ZÉPK

ER

ES

ZTM

ETS

ZE

KÖ

ZÉPK

ER

ES

ZTM

ETS

ZE

X

Y

Sxx K

[kN/ cm2 ]

60,00

54,00

48,00

42,00

36,00

30,00

24,00

18,00

12,00

6,00

0

A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre jellemző 200 N/mm2 (itt: 20 kN/cm2) értékű normálfeszültség a lyuk mellett több, mint kétsze-resére ugrik fel, de az is látható, hogy ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul ki, azaz a képlékeny átrendeződés elfogadható.



25

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSAA feszültségeloszlás térbeli képe



26

18,8

5

56,8

1

48,9

3

20,8

0

57,5

9

48,9

5

18,8

518,8

5

48,9

5

57,5

9

20,8

0

48,9

3

56,8

1

18,8

518,8

5

56,8

1

48,9

3

20,8

0

57,5

9

48,9

5

18,8

518,8

5

48,9

5

57,5

9

20,8

0

48,9

3

56,8

1

18,8

5

KÖZÉPKERESZTMETSZEKÖZÉPKERESZTMETSZE

Y

Z

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

20,0

0

ÁLTALÁNOS KM.ÁLTALÁNOS KM.

Y

Z


A számított feszültségeloszlás a keresztirányú metszetekben

a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben)egy általános helyen lévő keresztmetszet

(a feliratok a normálfeszültség számított értékei kN/cm2-ben)



27

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁSHa a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS.

Nx Ty Tz Mx My Mz

A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg.

Myx

z

y

a hajlítás síkja



28

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁSHa a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS.

Nx Ty Tz Mx My Mz

A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg.

x

z

y

Mz

a hajlítás síkja



29

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS

(Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan a (szimmetria miatt) az fajlagos nyúlások értéke állandó.)

A keresztmetszetek torzulás-mentessége miatt a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet pontjai egy SÍKRA illesz-kednek, azaz a keletkező faj-lagos nyúlások-összenyomódá-sok a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei.

dA=dy×dz

z

yMy

zP

yP P(y,z)

x (y,z)

P,x



30


(Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuza-mosan (a szimmetria miatt) a normálfeszültségek értéke állandó.)

Az anyag ideális rugalmassága miatt ( =E× ) a nyomaték hatására elforduló keresztmet-szet feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA il-leszkednek, azaz a keletkező normálfeszültségek a semleges tengelytől mért távolság line-áris függvényei.

dA=dy×dz

z

yMy

zP

yP P(y,z)

x (y,z)

P,x



31


Az ábrán a P ponthoz tartozó dA=dy×dz elemi felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk, de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz, azaz a dF elemi erő helye tart a P pont y-z koordinátáihoz.

A km. nyomatéki igénybevéte-le valójában az elemi felületda-rabokon ébredő (fajlagos) bel-ső erők nyomatékainak össze-ge. Az egy pontban ébredő ele-mi erő (dF) a pont z koordiná-tájával, az általa kifejtett nyo-maték (dM) a pont z koordiná-tájának négyzetével arányos.

dA=dy×dz

z

yMy

zP

yP P(y,z)

x (y,z)

P,x



32


dA=dy×dz

z

yMy

zP

yP P(y,z)

x (y,z)

P,x

dF=x×dydz=x×dA=E××dA=E×max/zmax×z×dA

dM=z×dF=z×x×dA=z×E××dA==z×E×max/zmax×z×dA==E×max/zmax×z2×dA

Mbelső=∫dM=∫E×max/zmax×z2×dA= =E×max/zmax×∫z2×dA= E×max/zmax×Jy=max/zmax×Jy

Mbelső= Mkülső max/zmax×Jy= Mkülső

max= Mkülső/Jy× zmax max/zmax ×z

A P pontban ébredő feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk.



33


dA=dy×dz

z

yMy

zP

yP P(y,z)

x (y,z)

P,x

dF=x×dydz=x×dA=E××dA=E×max/zmax×z×dA

dM=z×dF=z×x×dA=z×E××dA==z×E×max/zmax×z×dA==E×max/zmax×z2×dA

Mbelső=∫dM=∫E×max/zmax×z2×dA= =E×max/zmax×∫z2×dA= E×max/zmax×Jy=max/zmax×Jy

Mbelső= Mkülső max/zmax×Jy= Mkülső

max= Mkülső/Jy× zmax max/zmax ×z

A P pontban ébredő feszültségből származó elemi erő nyomatékát fel-írva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk.



34

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁSA tiszta egyenes hajlítással terhelt keresztmetszetben tehát a normál-feszültségek a nyomatékkal egye-nes arányban, a keresztmetszet (nyomatékvektorral megegyező állású semleges tengelyére vett) inercianyomatékával fordított arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a semleges tengelytől mért z távolságától függnek (egyenes arányban).

z= Mkülső/Jy× zx,yz= Mkülső (x) /Jy (x) × z

y= sem-leges tengely

z

x

zy

(Jy: főirány!)



35

d

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁSA tiszta egyenes hajlítás ese-tében feltételeztük a sík ke-resztmetszetek és a tengely-lyel párhuzamos elemi szá-lak merőlegességének állan-dóságát. Emiatt a pontok környezetében felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet fel, azaz a xz feszültség a keresztmetszet minden pontjában zérus.

dxdx

dzh



36

felső szál

alsó szál

1,felső 2,felső

1,felső2,felső

max

max

ábra

ábradiagram

diagram

Ha egy igénybevételi állapot a keresztmetszetben változó nagy-ságú feszültségeket ébreszt (haj-lítás, nyírás, csavarás), a legna-gyobb feszültségű pontok képlé-keny alakváltozása a keresztmet-szet elmozdulásának növelésével újabb pontokban-elemi szálak-ban teszi lehetővé a maximális szilárdság elérését és ezzel a ke-resztmetszetet többletigénybevé-tel felvételére teszi alkalmassá.

KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET



37

KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET

A lokális képlékeny alakváltozásokat megengedő teherbírásnövelő folyamat (elvileg) addig folytat-ható, míg a keresztmetszet minden pontja, elemi szála eléri a képlékenységi határt, hiszen ekkor már a keresztmetszetelmozdulások további igény-bevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a kereszt-metszet képlékeny teherbírása (is) kimerült. Ehhez az állapothoz a keresztmetszet derékszögű elfordulása tartozna, tehát ez az (elvi) állapot a gyakorlatban sohasem érhető el!



38

KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS

Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, de még maximális értékük is kisebb az anyagra jellemző rugalmas határfeszültségnél.

Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékkal megegyező értékű, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, és maximális értékük az anyagra jellemző rugalmas határfeszültséggel (az anyag folyási határszilárdságával) azonos.



39

KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁSHa a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon (szélső) elemi szálai, amelyekben a megnyúlás-összenyomódás már elérte a folyási határt, a feszültség változatlan értéke mellett tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló keresztmetszetelfordulás-növekmény a belső elemi szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A belső erő-növekmény (egyre csökkenő erőkarral) a keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli. Határesetben már minden elemi szál képlékeny állapotba került, és a keresztmetszet nem tud további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá alakul.A képlékeny határállapotban a keresztmetszet pontjaiban csak a rugalmas, határ léphet fel.



40

TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY NYOMATÉKI TÖBBLETE

HrugHrug

hbhbNH ,, 42

1

2

HrugHrugHrug

hbh

hbM ,

2

,, 63

2

4

hkru

galm

as rugalmas, határ

Nrugalmas

Hrugalmas

Hképlékeny

Nképlékeny

kk

éplé

ken

y

hkru

galm

as

rugalmas, határ

M

HrugHrugképlképl

hbhbNH ,, 42

1

2

képlképlképlképlHképl kNkHM ,

HrugHrugHképl

hbh

hbM ,

2

,, 123

1

4

RUGALMAS ÁLLAPOT

KÉPLÉKENY TÖBBLET

rugrugHrug kNkHM ,



41

TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY HATÁRNYOMATÉKA

Nteljes

Hteljes

kte

lj

esh

rugalmas, határ

M

HrugHrugteljesteljes

hbhbNH ,, 22

teljesteljesteljesteljeshatárképlékeny kNkHM ,

HrugHrugHkép

hbh

hbM ,

2

,, 42

1

2

4

2

,

hbW képlékenyy

6

2

,

hbW rugalmasy

A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka:

A képlékeny többlet a nyomaték növekedésének függvényében egyre lassabban nő, a modellünkben bemutatott képlékeny határállapotot a keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát ez az elméleti teherbírási tartalék nem érhető el.



42

KÉPLÉKENY CSUKLÓ

rugalmas állapotF

képlékeny alakváltozás a középkeresztmetszetben

F+F

A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási növekmény lokális folyási-morzsolódási hatás révén mobilizálódik, és visszafordíthatatlan többlet alakváltozást okoz a szerkezetben.

Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, a további terheléssel szembeni nyomatéki merevsége zérusra csökken, így a statikailag határozott szerkezeteink teherbírása megszűnik, a szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak.

MH,rug

MH,rug +Mképl



43

KÉPLÉKENY TARTALÉK

q

qMképlékeny

Mrugalmas

-Mrugalmas, határ

+Mrugalmas, határ

A statikailag határozatlan szerkezeteknek legalább egy külső vagy belső többletmerevsége van, így egy keresztmetszet nyomatéki merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a szerkezet belső merevségét, de a szerkezet állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a képlékeny csukló(k) kialakulása után is terhelhetők, mégpedig a képlékeny csuklót valós csuklóként megjelenítő statikai vázon. A szerkezet csak akkor tekintendő tönkrementnek, ha a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai határozatlanság fokszámát.



44

KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY TARTALÉKA

h

0)2

()(2

)()]([

2

ny

Hnyny

Hny

zhzb

zhzhb

hNM

0)()]([ HnyHny zbzhbN A nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélső szálára felírva:

Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyoma-ték terheli, akkor a képlékeny határállapot-ban a húzott és a nyomott felületek terüle-tének meg kell egyeznie, azaz a képlékeny ha-tárállapothoz tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a nyomott felületek területazonossá-ga alapján számítható. Hajlítónyomaték és normálerő együttes működése esetén az egyensúlyi egyenletek a következőképpen alakulnak:

húzóM

nyomóM

nyomóN

N

Mz n

yom

ot

t

nyomóM

semleges tengely

b

húzó

nyomóN



45

KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY SZÁMÍTÁSA

húzó

nyomó

semleges tengely

A két egyenletből két ismeretlen határoz-ható meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert normálerőhöz meghatároz-hatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető nyomatékot, vagy fordítva: ismert nyomatékhoz meg-határozhatjuk a nyomott zóna magassá-gát és az egyidejűleg működtethető nor-málerőt. Ha a keresztmetszetben mind a normálerő, mind a nyomaték ismert, ak-kor nem biztos, hogy a keresztmetszetben kialakul a képlékeny határállapot.

Mkülső=Mbelső

Nkülső=Nbelső



46

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁSA hajlítással egyidejűleg működő nyírás esetén a kereszt-metszeti síkok és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegessége NEM tartható, hiszen akkor nem ébred-hetne nyírófeszültség, ami viszont a nyíróerő léte miatt nem lehetséges. Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a nyomatékból származó normálfeszültségek értékének és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel elfogad-ható a tiszta egyenes hajlítás összefüggése. Ugyancsak elfogadható az a feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK normálfeszültség, a nyíróerőből CSAK nyíró-feszültség keletkezik.



47

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS

My(x+dx)

dA=dy×dzz

zP

P(y,z)

x (y,z)

P,x

yx

yP

Az x irányú egyensúlyt csak a szelet belsejében (a z normá-lisú síkon) ébredő zx nyírófeszültségek révén biztosítható.

A tartó x koordinátájú kereszt-metszetében működő igénybe-vételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú metszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). A tar-tószeletre a véglapokon műkö-dő nyomatékok nem egyenlí-tik ki egymást, és így az ezek-ből származó normálfeszültsé-gek sem.

dx



48


dxdx

xdMxMdxxM y

yy

)()()(

A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú keresztmetszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). Az My(x) és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, az elsőfokú tagokat megtartva:

dxdx

xdTxTdxxT z

zz

)()()(

x xx+dx F(x)

F(x+dx)

F közelítő,0 fok (x+dx)=

F(x)

F közelítő,1 fok (x+dx)=

F(x)+F’(x)×dx

dx

egy F(x) függvény sorbafejtésének 0-adfokú és elsőfokú tagjai



49

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁSA fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére az x koor-dinátájú (vég)keresztmetszetben –My(x), az x+dx koordiná-tájú keresztmetszetben +My(x)+dMy(x) nyomaték működik. Ennek alapján a tartó dx vastagságú szeletének két oldalán működő normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból származó része x irányú vetületben kiegyenlíti egymást, x irányú kiegyenlítetlen erő csak az x+dx koordinátájú met-szetet terhelő dMy nyomatéki többletből származik. Ha a tartószeletet egy z koordinátájú magasságban vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó vagy felső) elemre felírva a Fix=0 vetületi egyenletet, a dMy nyomatékból származó kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a vízszintes met-szetben keletkező nyírófeszültségek kompenzálhatják.



50


A feszültségek itt már csak a nyomaték növekményéből származnak, dM/dx pedig a (negatív) nyíróerőt adja.

dxbdAzJ

dMyzx

A y

y '

yP

N’x=∫x(y,z)dy×dz

x (y,z)

zx(x,y)

A’

T’x=∫zx(x,y)dx×dy

dx by

x

z

ydMy

x (y,z)

x

a dx vastagságú szeletet a vizsgálandó pont magasságában vízszintesen (is)

elvágjuk:

Fix=0dxbdA yzx

A

x '

xzzxyy

yz

Ayy

y

bJ

STdAz

bJdx

dM

'1

'



51


A feszültségekre a víz-szintes síkú metszeten a keresztirányú eloszlást a szimmetria miatt, a hossz-irányú eloszlást a határát-menetben 0-hoz tartó vas-tagság miatt konstansnak tekinthetjük.

N’x=∫x(y,z)dy×dz

x (y,z)

zx(x,y)

A’

T’x=∫zx(x,y)dx×dy

dx by

x

A hajlított-nyírt tartó egy pontjában a nyíróerőből származó és vele párhu-zamos vektorú nyírófeszültség tehát egyenesen arányos a T nyíróerővel, az „elcsúszni akaró rész”-nek a hajlí-tási semleges tengelyre vett statikai nyomatékával, fordítottan arányos a keresztmetszeti síkidomnak a hajlítási semleges tengelyre vett inercianyo-matékával és a keresztmetszetnek a pontban, a hajlítási tengellyel párhu-zamosan mért szélességével.



52

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vek-tora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük.

1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll

2. alapeset: a kereszt-metszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt

3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamo-san működik



53

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vek-tora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük.

1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll

2. alapeset: a kereszt-metszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt

3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamo-san működik

a terhelés síkja a terhelés

síkja

a terhelés síkja



54

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszet tehetet-lenségi főirányai ismertek, a nyomatékvektor mindig fel-bontható főirányokba eső összetevőkre, amelyek kü-lön-külön egyenes hajlítás-ként kezelhetők. A kereszt-metszet pontjaiban a két e-gyenes hajlításból származó normálfeszültségeket skalá-risan összegezve kapjuk a ferde hajlításból adódó nor-málfeszültség-eloszlást.

a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral!

Mz

x

z=v=2

My

a semleges tengely

y=u=1

Meredő



55

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi fő-irányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybeesik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhu-zamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges met-szetekben lineárisan válto-zó értékűek lesznek.a semleges tengely átmegy a

súlyponton, és egybeesik a nyomatékvektorral!

x

z=v=2

My

a semleges tengelyy=u=1



56

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi fő-irányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybeesik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhu-zamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges met-szetekben lineárisan válto-zó értékűek lesznek.a semleges tengely átmegy a

súlyponton, és egybeesik a nyomatékvektorral!

x

z=v=2

a se

mle

ges

ten

gely

y=u=1

Mz



57

FERDE HAJLÍTÁSHa a keresztmetszetet mind-két tehetetlenségi főirány körül terheli nyomaték, ak-kor a két (külön-külön egye-nes hajlításként kezelt) nyo-matékból származó normál-feszültségeket pontonként rendre előjelhelyesen ösz-szadva rajzolódik ki a ke-resztmetszet normálfeszült-ségeinek eloszlása.

a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral!a feszültségvektorok végpontjai egy, a súlyponton átmenő ferde síkra illeszkednek!

z=v=2

My

x

a semleges tengely

y=u=1

MzMeredő



58

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁSHa a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyíró-feszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel pár-huzamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges ten-gelyre merőleges metszetek-ben (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan válto-zó értékűek lesznek.

a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí-rófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak

x

z=v=2

Tz

y=u=1

P

xz,P

xy,P = xy = 0!



59

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁSHa a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyíró-feszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tarto-zó) semleges tengellyel pár-huzamos metszetekben kons-tans értékűek, a semleges ten-gelyre merőleges metszetek-ben (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan válto-zó értékűek lesznek.

a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí-rófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak

z=v=2

xy,P

x

Tyy=u=1

P

xz,P = xz= 0!



60

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁSHa a keresztmetszetet mind-két szimmetriatengelyben nyíróerő terheli, a nyírófe-szültségek pontonként a kü-lön-külön meghatározott nyí-rófeszültségek vektoriális összegzésével határozhatók meg. (Ha a keresztmetszet határoló élei a nyíróerőkkel párhuzamosak, keresztirányú nyírófeszültség egyik nyíró-erőből sem származik.)

a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyíró-feszültségek a nyíróerőkkel párhuzamosak

x xy,P

xz,P

Tz

y=u=1

xz,PTy

= xz

Ty= 0!

xy,PTz

= xy

Tz= 0!

P

x,Pz=v=2

Ty



61

FERDE HAJLÍTÁS

Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi főirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak, egyetlen (akár y vagy z tengelyű) nyomaték is fer-de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhe-lyesen kaphatók.

z

y

v

u

cossin

sincos

(u = y × cos + z × sin ; v = -y × sin +z × cos )

Mu

Mv

y

z

u=1

y=v

PzPM

x

yPuP

vP



62

FERDE HAJLÍTÁS

Ha a keresztmetszeti síkidom tehe-tetlenségi főirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak, egyetlen (akár y vagy z tengelyű) nyomaték is fer-de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhe-lyesen kaphatók.

z

y

v

u

cossin

sincos

(u = y × cos + z × sin ; v = -y × sin +z × cos )

Mu

Mv

y

z

u=1

y=v

PzPM

x

yPuP

vP



63

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁSA Ty nyíróerőből keletkező nyírófe-szültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y tengely a ke-resztmetszet szimmetriatengelye le-gyen. Ez esetben a nyíróerővel meg-egyező állású txy nyírófeszültség:

y

z

Tz

xz

xy

x x

xy

xz

by/2by/2

t y

yy

yzxz bJ

zSTzy

)(

),('

(a szimmetria miatt a xz a pont y koordinátájának nem függvénye!)

My



64

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁSA keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek:

y

z

Tz

xz

xy

x x

xy

xz

by/2by/2

t y y

yxzxy t

bzyzy

2),(),(

(a szimmetria miatt a xy a pont y koordinátájának lineáris függvénye!)

My



65

xz

xyx

b z/2

tz

b z/2


y

z

Ty

A Ty nyíróerőből keletkező nyíró-feszültségek meghatározhatóságá-hoz az szükséges, hogy az y ten-gely a keresztmetszet szimmetria-tengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású xy nyírófeszültség:

zz

zyxy bJ

ySTzy

)(

),('

(a szimmetria miatt a xy a pont z koordinátájá-nak nem függvénye!)

Mz



66

xz

xyx

b z/2

tz

b z/2


y

z

Ty

(a szimmetria miatt a xy a pont z koordinátájának lineáris függvénye!)

A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófe-szültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófe-szültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek:

z

zxyxz t

bzyzy

2),(),(

Mz



67

FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS

Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely, mindkét ten-gely mentén működhet kereszt-metszeti nyíróerő. A kerületi pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora egy egyenesbe esik, értékük tehát skalárisan (is) összegezhető.

(az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!)

y

z

Tz

Ty

x

xz

xz

xxy

xy



68

FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS

Ha mind az y, mind a z tengely

szimmetriatengely, mind-két tengely mentén működhet

keresztmetszeti nyíró-erő. A belső pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora nem egy egyenesbe esik, értékük tehát csak vektoriálisan összegezhető.

(az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!)

y

z

Tz

Ty

xxz

xy

xxy

xz



69


0,40

0

EGYENLETESEN MEGOSZLÓ TEHER

4,000

X

Z

A hajlított-nyírt gerendában az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alak-változás után is síkok maradnak.

A hajlított-nyírt tartók viselkedése kapcsán bemutatjuk, hogy a tar-tómagasság/támaszköz arány hogyan befolyásolja a feszültségek alakulását, meddig alkalmazhatók a gerendaszerkezetekre levezetett feszültségszámítási eljárások.



70


0,40

0


4,000

X

Z

(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik.)

Az ábrában a színek határvonalai az azonos normálfeszültségű ponto-kat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti normál-feszültségek változása a tartó közbenső szakaszán a legerősebb.



71


0,40

0


4,000

X

Z

(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik.)

Az ábrában a színek határvonalai az azonos nyírófeszültségű ponto-kat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti nyíró-feszültségek változása a tartóvégek közelében a legerősebb.



72


0,40

0


4,000

X

Y

Z

A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának

megfelelően (itt: parabolikusan) alakulnak.

(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet-erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok.)



73


0,4

00

4,000

EGYENLETES TEHER

X

Y

Z

(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet-erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes változás.)

A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrá-

nak megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak.



74

0,40

0

4,000

KONCENTRÁLT TEHER

X

Y

Z

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁSA hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság

mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak.

(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányok-kal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek elosz-lását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. A koncentrált erő helyén a lokális z irányú feszültség hatása jelenik meg.)



75

0,40

0

4,000

KONCENTRÁLT TEHER

X

Y

Z


(Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszet-erőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél és a koncentrált erő helyén az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes változás.)

A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrá-

nak megfelelően (itt: konstansként) alakulnak.



76


4,000

2,00

0

X

Z

A tartómagasságot L/10-ről L/2-re növelve a tartó (most már faltartó, vagy tárcsa) alsó és felső szálá-ban látahtóan eltérő a görbület, és emiatt várható, hogy a keresztmetszetek sem maradhatnak síkok.



77


4,000

2,00

0

X

Z

A kéttámaszú faltartóban a az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alak-változás után is síkok maradnak.



78


4,000

2,00

0

X

Z



79


4,000

2,00

0

X

Y

Z

A kéttámaszú faltartóban a keresztmetszeti normál-feszültségek a magasság mentén nem

lineárisak, a támaszok-hoz közeledve

a keresztmet-szet semleges tengelye egyre alacsonyabbra kerül.



80


4,000

2,00

0

X

Y

Z

A kéttámaszú fal-tartóban a kereszt-metszeti nyírófe-szültségek a ma-gasság mentén nem szimmetriku-sak: a támaszok-hoz közeledve a maximumhely egyre alacso-nyabbra kerül.



81

TISZTA CSAVARÁSA tartó tengelyével párhuzamos állású nyomaték által a kereszt-metszetben kialakuló, a kereszt-metszetet a rúd tengelye körül elcsavarni akaró igénybevételi állapotot csavarásnak nevezzük. Ha a csavarónyomaték egyedüli keresztmetszeti igénybevétel, tiszta csavarásról beszélünk.

A csavarási hatás centrális szimmetriája miatt a csavarásból származó feszültségek vizsgálatát először körszimmetrikus tulajdonságú keresztmetszeteken végezzük el.

z dx

y

x

Mcs

r

d



82

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSAA folytonosság, a megelőző-követő

keresztmetszetek illeszkedése csak akkor biztosítható, ha a csavarónyomatékból származó nor-málfeszültség a teljes keresztmetszetben azonosan zérus. A Bernoulli-Navier hipotézisnek az első fele, amely szerint a kereszt-metszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak, a csavarás esetében is igaz.

A csavarásból tehát a keresztmetszetben csak nyírófeszültség keletkezik, azaz egy dx vastagságú lamella vastagsága az elcsavaro-dás nyomán nem változik. Az anyag folytonossága, szakadás- és torlódásmentessége a csatlakozó metszetekben csak akkor áll fenn, ha a feszültségnek nincs sugárirányú összetevője, azaz a csava-rásból származó nyírófeszültség vektora - a körszimmetrikus keresztmetszetekben - mindig érintő irányú.



83

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA

Az elcsavarodásból származó nyírási szögtorzulás mértéke a pontnak a ten-gelytől mért távolságával arányos, az-az a szögtorzulásból számítható x nyírófeszültség az r sugár lineáris függvénye lesz.A dx vastagságú lamellán a kerület mentén a d elcsavarodásból származó (ívmenti) eltolódás meg fog egyezni a hossz mentén a szögtorzulásból adódó eltolódással.

z dx

y

x

Mcs

rd

r×d = ×dx=r×(d/dx)



84

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA

JG

M

dx

d

rGrcsxx

rJ

MrG

JG

M cscsx

A csavarásból a körszimmetrikus kereszt-metszetű rúdon keletkező fajlagos elcsa-varodás tehát az Mcs csavarónyomatékkal egyenesen, a G×J○ csavarómerevséggel pedig fordítottan arányos.

Felhasználva a nyírófeszültségre levezetett x=G×=G×r×(d/dx) összefüggést, és ebből kifejezve x-et

JG

M

dx

d cs



85

CSAVARÁS A GERENDAKAPCSOLATOKBAN

A fióktartó (konzol) végkeresztmetszetén mű-ködő F erőt a főtartó (gerenda) csavarónyoma-tékokkal (emellett nyíróerőkkel és hajlítónyo-matékokkal is) egyensúlyozza.

F

Mcs,A Mcs,B

F

Mcs,A

Mcs,B

Mcs



86

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA (BREDT-KÉPLET)

x d

K középvonal

Mx=Mcs

v1

ds=r×d

dx

v2

d

1

2

r()

A fal vékonysága miatt a v falvastagság mentén a nyírófeszültségeket egyenletes eloszlásúnak tekinthetjük, így: 1×v1×dx=2×v2×dx, azaz a vékonyfalú zárt szelvény csavarása során a keresztmetszetben ébredő (a falvastagság mentén állandó) nyírófeszültségek és a falvastagságok szorzata (a nyírófolyam) állandó.

1×v1=2×v2=×v



87

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA

A falvastagságok felezőpontjait összekötő görbén mért ds hosszúságú szakaszon ébredő nyírófeszültségek által az x tengelyre kifejtett elemi nyomaték körintegrálásával a teljes keresztmetszet nyírófeszültségeinek nyomatékát kapjuk, aminek a terhelő csavarónyomatékkal kell megegyeznie.

dMcs=dMx=r×(×v)×ds=(×v)×r2×d

Mcs=Mx=r×(×v)×ds=2×(×v)×r×ds/2=2×(×v)×AK

x d

K középvonal

Mx=Mcs

Mcs=(×v)×r2×d



88


Mcs=Mx=r×(×v)×ds=2×(×v)×r×ds/2=2×(×v)×AK

Mcs=Mx=×v×2AK x=Mcs/(2AK×vmin)

A nyírófeszültségek elemi csavarónyomatékait az teljes 2 tartományán integrálnunk kell, de ennek során a (×v) szorzat állandóként kiemelhető, és az integrálkifejezés a K középvonal által határolt terület nagyságát adja.

AK



89


A vékonyfalú zárt szelvény csavarásából származó nyírófeszült-ségek számítási összefüggése igen egyszerű, de tudnunk kell, hogy közelítés, hiszen a falvastagság mentén állandó nyírófeszültségek-kel számol, pedig a csavarási elcsúszás (az elcsavarodás) a tengely-től mért távolsággal lineárisan növekszik. A közelítéssel elkövetett hiba a falvastagság növekedésével nő. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy a zárt szelvény csavarási ellenállása, csavarómerevsége igen nagy, így a csavarónyomatékokból általában kis értékű nyírófe-szültségek keletkeznek. A közelítéssel elkövetett hiba tehát egy (relatíve) kicsiny feszültségnek (az esetleg magas százalékos) hányadaként is a teljes nyírófeszültség abszolút értékében (az egyéb hatásokból származó nyírófeszültségekkel összevetve) nem okoz nagy hibát.



90


Ide kívánkozik a mérnöki számításoknak egy fontos elve:

a pontos eredménytelenségnél

hasznosabb a pontatlan eredmény



91

ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSAA BREDT-képlet lehetővé teszi bonyolult szekrénytartók csava-rási (nyíró-) feszültségeinek egyszerű meghatározását, igaz, hibá-val terhelten. Az alternatíva az, hogy vagy nem tudjuk ezeket a feszültségeket kiszámítani, vagy igen bonyolult matematikai apparátust kell alkalmaznunk. A közelítő számítás révén kapott érték hibáját megbecsülve szerkezeteink megfelelősége egyszerűen és kielégítő pontossággal ellenőrizhető.

McsAK

A szekrénytartó valós falvastagsága mellett a hiba akár 50 % is lehet, de megfelelő „rátartással” a szerkezet jól kezelhető



92

A BREDT-KÉPLET HIBABECSLÉSE

a nyírófeszültség a falvastagság mentén lineáris

KÖZELÍTŐ számítás: PONTOS számítás:

a nyírófeszültség a falvastagság mentén állandó

Körszimmetrikus szerkezeten alkalmazva a pontos és a BREDT-féle feszültségszámítást, a falvastagság függvényében adhatunk becslést a hasonló középvonal-területű, de nem szabályos idomok feszültségértékeinek hibájára.



93

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA

A derékszögű négyszög keresztmetszetek sarokpontjaiban a dualitás miatt keresztmetszeti nyírófeszültség sem az y, sem a z irányban nem ébredhet. Ennek megfelelően a sarokpontokban nyírási szögtorzulás sem keletkezhet. Ugyanakkor a kereszt-irányban kivágott dx vastagságú lamellán a csavarónyomatékot csak a keresztmetszet síkjában ébredő,x nyírófeszültségek képesek egyensúlyozni. Másként fogalmazva: a csavarónyoma-ték (közvetlenül) a keresztmetszet síkjában okoz alakváltozáso-kat, tehát itt kell keletkezniük az alakváltozásokhoz igazodó fajlagos belső erőknek, feszültségeknek is.



94


A téglalapszelvényben a z tengellyel párhuzamos oldalélek belső pontjaiban a dualitás már nem tiltja a xz nyírófeszültségek létét, így e vonal mentén kell szá-mítanunk z irányú nyírófeszültségekre. A feszültségekkel összefüggő, az x-z síkban kialakuló nyírási szögtorzulás viszont csak a pontok hossztengely irá-nyú eltolódásai révén valósulhat meg, azaz a Bernoulli-Navier hipotézisnek már az első fele (a keresztmetszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak) sem tartható. A nem körszimmetrikus szelvények csavarása során a keresztmetszet pont-jaiban hosszirányú, rúdtengely-irányú alakváltozások is létrejönnek, a ke-resztmetszet öblösödik. Ha a rúdvégek megtámasztottsága olyan (merev), hogy e hosszirányú alakválto-zások kialakulását meg tudja akadályozni, gátolt csavarásról beszélünk, A gá-tolt csavarás esetében x irányú nyúlások nem ébrednek, a keresztmetszet sík marad, nem torzul, viszont az x irányú nyúlások-összenyomódások gátlása mi-att a keresztmetszetben x irányú, azaz normálfeszültségekkel is számolnunk kell.



95


y

Mcs

z

xyM

x = 0

!

xz

xy

x

xzMx= 0!

Az ábrán a téglalapszelvény kerülete mentén az Mx csavarónyomatékból ébredő nyírófeszültségek alakulását mutatjuk be. Megjegyezzük, hogy a nyíró-feszültségek a keresztmetszet síkjában keletkeznek, a be-rajzolt görbék csak a feszült-ségek nagyságának változását jelzik.

b

h



96


h

b

hb

M csMAXx 8,13

2,

BAcs

BA lhbG

M

3

3

A téglalapszelvény csavarása során a hosszabbik oldal közép-pontjában keletkező maximális nyírófeszültség értéke a következő közelítő összefüggéssel határozható meg:

Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük:



97


hb

M csMAXx

2,

3

BAcs

BA lhbG

M

3

3

Ha a szelvény kisebbik mérete a nagyobbikhoz képest lényege-sen (nagyságrenddel) kisebb, a b/h a zérushoz közelít, így a (mindig a hosszabbik oldal felezőpontjában keletkező) maximális nyírófeszültség:

Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük:



98


bJ

M

cs

csMAXx , BA

cs

csBA l

JG

M

A b3×h/3 kifejezést mind a nyírófeszültség, mind az elcsavarodás képletében megtalálhatjuk. Ezt a kifejezést, amely funkcióját tekint-ve a hajlított keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékával, ill. a csavart körszimmetrikus szelvény poláris inercianyomatékával egyezik meg, keresztmetszet csavarási ellenállóképességének, Jcs csavarási inerciájának nevezzük. A csavarási inercia felhaszná-lásával a maximális nyírófeszültség, ill. az állandó csavaróigény-bevétel esetén az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás összefüg-gése a következőkre egyszerűsödik:



99


Vegyük észre, hogy a csavaróinercia közelítő összefüggésében mindig a rövidebbik oldal van a harmadik hatványon, a maximális nyírófeszültség viszont mindig a hosszabbik oldalak felezőpontjaiban keletkezik. Összetett szelvények csavarása esetén a keresztmetszetet téglalap-elemekre bontva határozhatjuk meg a csavaróinerciát. Ne feledjük, a közelítő összefüggésben is mindig a téglalap-elem rövidebbik oldala van a harmadik hatványon, függetlenül az elem állásától. A mérnöki gyakorlatban az ipari termékként kapható rúdszelvények keresztmetszeti jellemzői táblázatosan hozzáférhetők, a szerkezetszámító programok pedig tetszőleges termék vagy általunk felvett síkidom-elem felhasználásával képesek bármilyen összetett szelvény keresztmetszeti jellemzőit meghatározni. Végül jegyezzük meg, hogy az elemekből összeállított zárt szelvény csavaróinerciája mindig sokszorosa az ugyanazon elemekből összeállított, de nem zárt szelvény csavarási ellenállásának. Ennek megfelelően ha egy rúdban csavaróigénybevételekre számítanunk kell, keresztmetszeti kialakításként igen erősen ajánlott zárt szelvényt alkalmazni.

rÚdszerkezetek keresztmetszeti feszÜltsÉgei

Documents