ĐỀ THI THỬ SỐ 1

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 2 12

xyx+

=+

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0.

Câu 2 (1,0 điểm).

a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 3cos cos cos .3 3 2

x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Giải phương trình 222log ( 3) 8log 2 1 4.x x− − − =

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 0

( sin ) .I x x x dxπ

= −∫

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( 1) 3 (5 )z z i i+ = + − . Tính môđun của z. b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, n 060 ,BAC = cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a= . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.

Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện n 090 ,AIB = chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 5.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình ( )2 22

4 23( 2) 1 3 1 .1

x x x xx x

− + > − + −− +

Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 .S x y z= + +

---------------- Hết ----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….……...

1

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

1 2,00

a (1,00 điểm) • TXĐ: D = \ 2.−\

• Giới hạn và tiệm cận:

2 2lim 2; lim ; lim

x x xy y y

+ −→±∞ →− →−= = −∞ = +∞

⇒ Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2.

0,25

• Sự biến thiên: 23' 0, \ 2

( 2)y x

x= > ∈ −

+\

⇒ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–∞;–2) và (–2;+∞). 0,25

• Bảng biến thiên:

• Hàm số không có cực trị.

0,25

• Đồ thị:

0,25

b (1,00 điểm) Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x0) = 3. 0,25

Ta có phương trình 0202

00

13 3 ( 2) 13.( 2)

xx

xx= −⎡

= ⇔ + = ⇔ ⎢ = −+ ⎣ 0,25

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là: 3 2, 3 14y x y x= + = + . 0,25

Từ giả thiết ta được 3 2.y x= + 0,25

2

2 1,00

a (0,5 điểm)

Ta có 3 1 2 4cos 2 cos 2 cos 22 2 3 3

A x x xπ π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 0,25

( ) [ ]3 1 3 1 3cos 2 2cos 2 cos cos 2 cos 2 .2 2 3 2 2 2

x x x xππ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − = + − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

0,25

b (0,5 điểm)

ĐK: 1 , 3.2

x x> ≠ Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

2 2 23

4 log 3 4log (2 1) 4 log 12 1x

x xx−

− − − = ⇔ =−

0,25

3 4 232 3 4 2 1.

3 4 22 1x xx

x x xx xx− = −− ⎡

⇔ = ⇔ − = − ⇔ ⇔ =⎢ − = − +− ⎣

Phương trình có nghiệm 1.x = 0,25

3 1,00

3 32

0 0 00

( sin ) sin sin .3 3xI x x x dx x xdx x xdx

ππ π ππ= − = − = −∫ ∫ ∫ 0,25

Tính 10

sin .I x xdxπ

= ∫

Đặt sin cos .

u x du dxdv xdx v x= =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨= = −⎩ ⎩

0,25

1 0 00

cos cos sin .I x x xdx xπ

π ππ π⇒ = − + = + =∫ 0,25

3.

3I π π⇒ = − 0,25

4 1,0

a (0,5 điểm)

Đặt , ( , )z a bi a b= + ∈\ . Khi đó: 2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0.z z i i a bi a bi i a b i+ = + − ⇔ + + = − + + ⇔ − + − =

0,25

12.

1a

zb=⎧

⇔ ⇒ =⎨ =⎩ 0,25

b (0,5 điểm)

Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. Ta có 5 5 5 5

20 15 10 5C C C CΩ = cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D. 0,25

Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có 5 5 515 10 5C C C cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại

Do vai trò các nhóm như nhau, có 5 5 515 10 54C C C cách chia các bạn vào các nhóm A, B,

C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm.

Xác suất cần tìm là: 520

4 1( )3876

P XC

= = .

0,25

5 1,00

3

Xét tam giác ABC có 0

2

tan 60 2 3

2 3.ABC

BC AB a

S a∆

= =

⇒ =

0,25

2 3.

1 1. 3.2 3 2 .3 3S ABCD ABCV SA S a a a∆= = = 0,25

- Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB // (CMN) nên

( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )).

d SB CM d SB CMNd B CMNd A CMN

===

- Kẻ ,AE MC E MC⊥ ∈ và kẻ ,AH NE H NE⊥ ∈

Chứng minh được ( )AH CMN⊥ ( , ( )) .d A CMN AH⇒ =

0,25

Tính 2 AMCSAEMC∆= trong đó:

n 21 1 3. .sin .4 . 3 2 3 .2 2 213

13

AMCS AM AC CAM a a a aAEMC a

∆

⎫= = = ⎪⇒ =⎬

⎪= ⎭

Tính được 2 3 2 3 2 3( , ( )) ( , ) .29 29 29

a a aAH d A CMN d SB CM= ⇒ = ⇒ =

0,25

6 1,00

Do n 090AIB = ⇒ n 045ACB = hoặc n 0135ACB = n 045ACD⇒ = ⇒ tam giác ACD vuông cân tại D nên DA = DC. Hơn nữa, IA = IC. Suy ra, DI ⊥ AC ⇒ đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và AC vuông góc ID.

0,25

Viết phương trình đường thẳng AC: 2 9 0x y− + = .

Gọi (2 9; )A a a AC− ∈ . Do 2 ( , ) 2 10DA d D AC= = nên 0,25

2 2 2 1 ( 7;1)(2 8) ( 1) 2 10 6 5 0

5 (1;5)a A

a a a aa A= ⇒ −⎡

− + + = ⇔ − + = ⇔ ⎢ = ⇒⎣

Theo giả thiết bài cho ⇒ (1;5)A . 0,25

Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi ( 3 4; ).B b b− − Tam giác IAB vuông tại I nên

. 0 3( 3 2) 4( 1) 0 2IA IB b b b= ⇔ − − + − = ⇔ = −JJG JJG

(2; 2).B⇒ − Đáp số: (1;5), (2; 2).A B −

0,25

7 1,0

Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0).I 0,25

Bán kính của (S) là 32

ABR = = .

Phương trình của (S): 2 2 2( 2) ( 3) 3.x y z− + − + = 0,25

4

Gọi (0;0; )M t Oz∈ . Do VMABC = 5 nên 1 [ , ] 56

AB AC AM =JJJG JJJG JJJJG

11 4 5.t⇔ + = 0,25

1 (0;0;1)11 4 1511 4 15 13 1311 4 15 (0;0; ).

2 2

t Mtt

t t M

= ⇒⎡+ =⎡ ⎢⇔ + = ⇔ ⇔⎢ ⎢+ = − = − ⇒ −⎣ ⎣

0,25

8 1,00

ĐK: 1.x ≥ Với điều kiện đó

( ) ( )

2 2 22

2 22 2 2

2

8 26( 2) 2 6 1 01

4 2 3 1 1 2 5 0.1

BPT x x x x xx x

x x x x x xx x

⇔ − + − − − − >− +

⎛ ⎞⇔ − − + − − + + − − >⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

0,25

Xét hàm số 4 2( ) 51

f t tt

= + −+

với 0.t ≥ Ta có 2 2'( ) 1 .( 1) 1

f tt t

= −+ +

• '( ) 0 1.f t t= ⇔ = • Bảng xét dấu

Suy ra ( ) (1), [0;+ ) ( ) 0, [0;+ ).f t f t f t t≥ ∈ ∞ ⇒ ≥ ∈ ∞ Dấu “=” xảy ra ⇔ t = 1.

0,25

Do 2 22

4 20, [0;+ ) 5 0, [0;+ ).1

x x x x x xx x

− ≥ ∈ ∞ ⇒ + − − ≥ ∈ ∞− +

Dấu “=” xảy ra khi 2 1 51 .2

x x x +− = ⇔ =

0,25

Khi đó: ( ) ( )2 22 2 2

2

4 23 1 1 2 5 01

x x x x x xx x

⎛ ⎞− − + − − + + − − >⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

2

2

22

1 01 51 0 .

24 2 5 0

1

x x

x x x

x xx x

⎡⎢ − − ≠⎢

+⎢⇔ − − ≠ ⇔ ≠⎢⎢

+ − − ≠⎢− +⎣

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1 5[1; ) \2

S⎧ ⎫+⎪ ⎪= +∞ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

.

0,25

9 1,00

Ta có: 2( ) ( 7)x y z xy+ = − . Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0.

Khi đó, từ giả thiết ta được 2( ) .7

x yzxy+

=−

Suy ra: 4( )( ; ) 27

x yS f x y x yxy+

= = + +−

với điều kiện 0, 0, 7x y xy> > > (*)

0,25

Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được: 2

'2 2

4( 7) 4 ( ) 28 4( ; ) 1 1 .( 7) ( 7)y

xy x x y xf x yxy xy

− − + += + = −

− −

' 2 2 20 2

7 7( ; ) 0 14 21 4 0 2 1 .yf x y x y xy x yx x

= ⇔ − + − = ⇔ = + +

5

Suy ra: 0 211 7( ; ) 2 4 1 .f x y xx x

= + + +

0,25

Xét hàm số 211 7( ) 2 4 1g x xx x

= + + + với x > 0 với 23

2

11 28'( ) 2 .71

g xx x

x

= − −+

'( ) 0 3.g x x= ⇔ = Khi đó ( ) (3) ( ) 15.g x g g x≥ ⇔ ≥

0,25

Với điều kiện (*), ta có 0( ; ) ( ) 15.S f x y g x≥ = ≥ Vậy min 15S = khi 3, 5, 2.x y z= = =

0,25

------------ Hết -------------