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ESCUELASUPERIORPOLITÉCNICADELLITORALFACULTADDECIENCIASNATURALESYMATEMÁTICAS

DEPARTAMENTODEMATEMÁTICAS

AÑO: 2018 PERÍODO: SEGUNDOTÉRMINO

MATERIA: Cálculodeunavariable PROFESORES:

ArgüelloG.,BaquerizoG.,ChóezM.,CrowP.,LavegliaF.,MejíaM.,RamosM.,RonquilloC.

EVALUACIÓN: SEGUNDA FECHA: 28/enero/2019

SOLUCIÓNyRÚBRICA1) (6 PUNTOS) Justificando su respuesta, establezca si cada proposición es VERDADERA o

FALSA.a) “Si 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝟑

𝟎 = 𝟔, 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝟓𝟐 = 𝟒y 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝟑

𝟐 = −𝟐;entonces 𝒇 𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙𝟐.𝟑 = 𝟏𝟐”.

Solución:

Sepuedehaceruncambiodevariablealafunciónintegrandodelconsecuente.Si𝑢 = 𝑥 + 3,entonces𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Secambian los límitesde integración; si𝑥 → −3,entonces𝑢 → 0;y,si𝑥 → 2,entonces𝑢 → 5:

𝑓 𝑥 + 3 𝑑𝑥9

.:= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

;

<

SeaplicalapropiedadADITIVAdelaintegraldefinida:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥;

<= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

:

<+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

9

:+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

;

9= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

:

<− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

:

9+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

;

9

𝑓 𝑥 𝑑𝑥;

<= 6 − −2 + 4 = 12

∴LaproposiciónesVERDADERA.

Rúbrica:Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudianteconocesobrelapropiedadaditivadelasintegralesdefinidas.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNihaceelcambiodevariable,niaplicabienlapropiedadaditiva.

Replanteabienlaintegral

definidaperoaplicamallapropiedadaditiva.


definida,aplicabienla

propiedadaditiva;pero,oseequivocaenlasumaonoconcluye.


definida,sumacorrectamenteyconcluye

sobreelvalordeverdaddelaproposición.

0 1 2 3


b) “Dadoelnúmero𝒂 ∈ ℝyunafunción𝒇:𝑿 ⊆ ℝ ↦ 𝒀 ⊆ ℝ;si 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒂.𝒂 = 𝟎,

entonces𝒇esimpar”.

Solución:SeproporcionaráunCONTRAEJEMPLOparalaproposición,elcualpermitaevidenciarquealtratarsedelaRECÍPROCAdelTEOREMADESIMETRÍAesunaproposiciónfalsa.Sealafunción𝑓: −1, 1 ↦ ℝ,lacualnoesimpar,talque:

𝑓 𝑥 = 𝑥9, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0

−13, 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥L

.L= 𝑥9𝑑𝑥

<

.L+ −

13 𝑑𝑥

L

<=

𝑥:

3.L

<

−𝑥3

<

L

𝑓 𝑥 𝑑𝑥L

.L= 0 − −

13 −

13 − 0 =

13 −

13 = 0

Nóteseque:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥L

.L= 0

L

→ 𝑓𝑒𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟<

≡ 0

∴LaproposiciónesFALSA.

Rúbrica:

Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudianteconocesobreelteoremadesimetríadelaintegraldefinida.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteIndicaque

laproposición

esverdadera.

Intentaconstruirun

contraejemploperotienedificultades.

Construyebienel

contraejemploperono

concluyequelaproposiciónes

falsa.

Proporcionauncontraejemploadecuadoyconcluyequelaproposición

esfalsa.

0 1 2 3

Observación.-Elestudiantepuedeproporcionarotrocontraejemploválido.

2) (5PUNTOS)Obtenga:

𝟏𝒙 + 𝒙𝒍𝒏 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟐

𝒙𝟑 𝒅𝒙


Solución:SeaplicalapropiedaddeLINEALIDADdelaintegralindefinida:

1𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛9

𝑥3 𝑑𝑥 =

𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛9

𝑥3 𝑑𝑥

Seobtienelaantiderivadadecadafunción:

𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥

=𝑑𝑥

𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥

Sea𝑢 = 1 + 𝑙𝑛 𝑥 ,entonces𝑑𝑢 = L

[𝑑𝑥.

𝑑𝑥

𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥=

𝑑𝑢𝑢= 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶

𝑑𝑥

𝑥 1 + 𝑙𝑛 𝑥= 𝑙𝑛 1 + 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶

𝑠𝑒𝑛9𝑥3𝑑𝑥 =

1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥3

2𝑑𝑥


𝑑𝑥2−

𝑐𝑜𝑠 2𝑥3

2𝑑𝑥


12𝑥 −

34𝑠𝑒𝑛

2𝑥3

+ 𝐶

1

𝑥 + 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛9𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 1 + 𝑙𝑛 𝑥 +

12 𝑥 −

34 𝑠𝑒𝑛

2𝑥3 + 𝐶; 𝐶 ∈ ℝ

Rúbrica:

Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudianteaplicalapropiedaddelinealidad,latécnicadeintegraciónporsustituciónylaantiderivadadefuncionestrigonométricasyracionales.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNolograidentificarlatécnica

deintegraciónquedebeaplicar.

Aplicalapropiedaddelinealidadperonointegra

correctamentelosdos

términosdelintegrando.

Aplicalinealidadeintegrabienutilizandouncambiodevariableylaidentidad

trigonométrica,peronoincluyelaconstante𝑪.

Aplicalinealidadeintegra

correctamentelosdos

términosdelintegrandoyconsideralaconstante𝑪

enlaantiderivada.

0 1 2–4 5

3) (5PUNTOS)Deserposible,calculeelvalorde:𝒅𝒙

𝒙𝟑 + 𝒙

ab

𝟑

yconcluyasilaintegralimpropiaesCONVERGENTEoDIVERGENTE.


Solución:Como el integrando es una función racional y el polinomio del denominador sepuededescomponerenfactores,dichafunciónsepuedeexpresarasí:

1𝑥: + 𝑥 =

1𝑥 𝑥9 + 1 =

𝐴𝑥 +

𝐵𝑥 + 𝐶𝑥9 + 1

Entonces:

1 = 𝐴 𝑥9 + 1 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥9 + 𝐶𝑥 + 𝐴Dedonde:

𝐴 = 1𝐶 = 0

𝐴 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −11

𝑥: + 𝑥 =1𝑥 −

𝑥𝑥9 + 1

Se aplica la técnica de INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES, por lo que la nuevaintegralimpropiaseredefineasí:

𝑑𝑥𝑥: + 𝑥

ab

:= lim

h→ab1𝑥 −

𝑥𝑥9 + 1 𝑑𝑥

h

:= lim

h→ab𝑙𝑛 𝑥 −

12 𝑙𝑛 𝑥

9 + 1:

h

= limh→ab

𝑙𝑛𝑥

𝑥9 + 1 L 9:

h= lim

h→ab𝑙𝑛

𝑏𝑏9 + 1 L 9 − 𝑙𝑛

310

= limh→ab

𝑙𝑛1

1 + 1𝑏9

L 9 + 𝑙𝑛103 = 𝑙𝑛 1 + 𝑙𝑛

103

𝑑𝑥𝑥: + 𝑥

ab

:= 𝑙𝑛

103

∴LaintegralimpropiaesCONVERGENTE.Rúbrica:Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudianteconocesobreintegralesimpropiasysutratamientoconlímites.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNoreconoce

queesintegral

impropia,niquedebeaplicarlímites.

Tieneproblemas

paraseleccionarlatécnicadeintegraciónapropiada.

Oseequivocaenla

integraciónoenlaevaluaciónonoconcluye.

Integrayevalúabien,asícomo

concluyecorrectamente.

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4) (6 PUNTOS)Determinelasdimensionesdelrectángulodeáreamáximaquepuedeser inscrito en la región acotada por la función 𝒇 𝒙 = 𝟑 − 𝒙𝟐 y el eje 𝑿.Representelasituacióndescritaenelplanocartesianoadjunto.Solución:Serealizalarepresentacióngeométricadelasituacióndescrita:

Sepuedenotarque:𝐴 𝑥, 𝑦 = 𝐵𝐻 = 2𝑥 𝑦

Laexpresiónparaelcálculodeláreaquedaráentérminosdeunasolavariable:

𝐴 𝑥 = 2𝑥 3 − 𝑥9 = 6𝑥 − 2𝑥:; 𝑥 ∈ − 3, 3 Sederivaestaexpresiónparaobtenerlospuntoscríticos:

𝐴l 𝑥 = 6 − 6𝑥9Los puntos críticos de frontera no serán tomados en consideración porque elrectángulonoexistiría.Lafuncióndeáreanotienepuntoscríticossingularesporquesuderivadaesunafuncióncuadrática.Seanalizalaexistenciadeposiblespuntoscríticosestacionarios:

6 − 6𝑥9 = 0 → 6 1 − 𝑥9 = 0 → 𝑥9 = 1 → 𝑥 = 1Sederivaporsegundavez:

𝐴ll 𝑥 = −12𝑥𝐴ll 1 < 0 → 𝐸𝑠𝑢𝑛𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜𝑝𝑎𝑟𝑎𝐴.

Lasdimensionesdelrectángulocuyasuperficieesdeáreamáxima,son:

• 𝐵 = 2𝑥 = 2 1 = 2 𝑢 • 𝐻 = 𝑦 = 3 − 1 9 = 3 − 1 = 2 𝑢

Esdecir,setratadeuncuadradoinscrito.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

𝐻

𝐵

𝑥



Elestudiantereconoceunproblemadeaplicacióndemáximosymínimosendondepuedeaplicarloscriteriosdelaprimeraylasegundaderivada.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNolograasociar

losdatosproporcionadosonosabequedebederivar.

Derivabien,perotienealgún

problemapararesolverlaecuaciónplanteadaconlaprimeraderivada.

Resuelvebienlaecuaciónconla

primeraderivada,peropresentaalgúninconvenienteenlaevaluación

delpuntocrítico

estacionarioparapoderdecidir.

Concluyebiensobrelas

dimensionesdelrectánguloinscrito,cuyasuperficietengaáreamáxima.

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5) (6PUNTOS)Dadalafunción𝒇:𝑿 ⊆ ℝ ↦ 𝒀 ⊆ ℝdefinidapor:

𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒕 + 𝟓𝒕𝟐𝒅𝒕𝒍𝒏 𝒆𝟐a𝟑𝒙

𝟐

Identifiqueeltipodeindeterminaciónyluegocalcule:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒇 𝒙𝒙

Solución:Severificalaindeterminación:

lim[→<

𝑓 𝑥𝑥 =

lim[→<

𝑓 𝑥

lim[→<

𝑥 =lim[→<

1 + 2𝑡 + 5𝑡9𝑑𝑡99

lim[→<

𝑥 =00

SepuedeaplicarlaregladeL’Hopital:

lim[→<

𝑓 𝑥𝑥 = lim

[→<𝑓l 𝑥1 = lim

[→<𝑓l 𝑥 = lim

[→<𝑑𝑑𝑥 1 + 2𝑡 + 5𝑡9𝑑𝑡

uv wxa:[

9

SeaplicaelPRIMERTEOREMAFUNDAMENTALDELCÁLCULO:

𝑓l 𝑥 = 1 + 2𝑙𝑛 𝑒9 + 3𝑥 + 5𝑙𝑛9 𝑒9 + 3𝑥 ∙1

𝑒9 + 3𝑥 ∙ 3


Entonces:

lim[→<

𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓l 0

𝑓l 0 = 1 + 2𝑙𝑛 𝑒9 + 3 0 + 5𝑙𝑛9 𝑒9 + 3 0 ∙1

𝑒9 + 3 0 ∙ 3 = 25 ∙1𝑒9 ∙ 3

lim[→<

𝑓 𝑥𝑥 =

15𝑒9


Elestudianteconocesobrecálculodelímites,elprimerteoremafundamentaldelcálculoylaregladeL’Hopital.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNoidentificabieneltipodeindeterminaciónonosabecómo

calcularcorrectamente

ellímite.

Identificaeltipode

indeterminaciónyaplicabienelprimerteoremafundamental

delcálculo,peroaplicamallaregladelacadena.

Identificaeltipode

indeterminaciónyaplicabienelprimerteoremafundamentaldelcálculoylaregladela

cadena,perotienealgún

inconvenienteenla

evaluación.

Identificaeltipode

indeterminaciónycalcula

correctamenteellímite.

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6) (10PUNTOS)Dadalafunción𝒇:ℝ ↦ ℝcuyaregladecorrespondenciaes:

𝒇 𝒙 =𝟏

𝟏 + 𝒆𝒙 𝟐

a) Demuestreque𝒇notienepuntoscríticos.b) Determinelosintervalosdemonotoníade𝒇.c) Demuestrequesuúnicopuntodeinflexiónes𝑷 −𝒍𝒏 𝟐 , 𝟒𝟗 .d) Determineelintervalodonde𝒇escóncavahaciaarribayelintervalodonde𝒇

escóncavahaciaabajo.Solución:Derivamosporprimeravezparadeterminarlaexistenciaonodepuntoscríticos:

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑒[ .9

𝑓l 𝑥 = −2 1 + 𝑒[ .: 𝑒[ = −2𝑒[

1 + 𝑒[ :


Si seobserva la definicióndadade la función, sepuede concluir que𝑓NOTIENEPUNTOSCRÍTICOSDEFRONTERA.La expresión del numerador de la primera derivada 2𝑒[ nunca es igual a ceroporqueestaexpresiónespositivaentodosudominio.Estoes,𝑓NOTIENEPUNTOSCRÍTICOSESTACIONARIOS.Laexpresióndeldenominadordelaprimeraderivada 1 + 𝑒[ :nuncaesigualaceroporquenoexistevalorrealalgunoparaelcual𝑒[ = −1.Estoes,𝑓NOTIENEPUNTOSCRÍTICOSSINGULARES.Porlotanto,𝑓NOTIENEPUNTOSCRÍTICOS.

La función derivada𝑓l 𝑥 = − 2𝑒𝑥

1+𝑒𝑥 3 es siempre negativa por lo ya expuesto

anteriormente.EstopermiteconcluirquelafunciónesESTRICTAMENTEDECRECIENTEentodosudominio.Sederivalafunciónporsegundavez,aplicandolaregladelcociente:

𝑓ll 𝑥 = −21 + 𝑒[ : 𝑒[ − 𝑒[ 3 1 + 𝑒[ 9 𝑒[

1 + 𝑒[ |

𝑓ll 𝑥 = −2 1 + 𝑒[ 9 𝑒[1 + 𝑒[ − 3𝑒[

1 + 𝑒[ |

𝑓ll 𝑥 = −2𝑒[1 − 2𝑒[

1 + 𝑒[ }

Loscandidatosapuntosdeinflexiónseobtienencuando𝑓ll 𝑥 = 0,yaquenohayposibilidaddeque𝑓ll 𝑥 noexistaenalgúnpunto.

𝑓ll 𝑥 = 0 → 1 − 2𝑒[ = 0 → 𝑒[ =12 → 𝑥 = 𝑙𝑛

12 → 𝑥 = −𝑙𝑛 2

Laordenadarespectivaes:

𝑓 𝑙𝑛12 =

1

1 + 𝑒uvL9

9 =132

9 =194=49

Enlarectarealohaciendolasevaluacionesrespectivassepuedeidentificarque:

𝑓ll 𝑥 < 0,si𝑥 < 𝑙𝑛 L9

∴ ∀𝑥 ∈ −∞, 𝑙𝑛12 , 𝑓𝑒𝑠𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.


𝑓ll 𝑥 > 0,si𝑥 > 𝑙𝑛 L9

∴ ∀𝑥 ∈ 𝑙𝑛12 ,+∞ , 𝑓𝑒𝑠𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎.

Alproducirseuncambioenlaconcavidaddelagráficadelafunciónantesydespuésde𝑥 = −𝑙𝑛 2 ,seconcluyequeelpunto𝑃especificadosíesdeinflexión.Rúbricadelosliteralesa)yb):Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudiantesabederivarunapotenciayunafunciónexponencialparadeterminarsusposiblespuntoscríticosysusintervalosdemonotonía.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNosabequedebederivaronoderiva

bien.

Solamenteindicaquenohay

puntosdefrontera.

Derivabienyplantealas

ecuacionesparalosposiblespuntosestacionariososingulares;así

comolainecuaciónparalosintervalosdemonotonía,perodeterminaincorrectamente

susolución.

Derivabienyconcluyesobrela

inexistenciadepuntoscríticosysobrelos

intervalosdemonotonía.

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Rúbricadelosliteralesc)yd):Capacidadesdeseadas Desempeño

Elestudiantesabederivaruncocientedefuncionesydeterminarsusintervalosdeconcavidadysuspuntosdeinflexión.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNosabequedebederivarporsegunda

vez.

Noderivabienporsegundavezalgunodelostérminosdelcocientedefunciones.

Derivayplantealaecuaciónolasinecuaciones,

peronoobtieneelpuntodeinflexiónonodeterminabienlosintervalos.

Derivabienyconcluyesobrelos

intervalosdeconcavidaddelafunciónysobresupuntodeinflexión.

0 1 2–4 57) (6 PUNTOS) Calcule el área de la región interior a la lemniscata 𝒓𝟐 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 y

exterioralacircunferencia𝒓 = 𝟏.Previamente,bosquejelagráficadeambascurvasenelplanopolar.


Solución:Semuestralaregióndescritaenelplanopolar:

Sedeterminanlospuntosdeinterseccióndeambascurvas:

2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = 1 → 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 =12 → 𝜃 ∈

𝜋6 ,5𝜋6 ,

7𝜋6 ,

11𝜋6

Sepuedeaprovechar la simetríadelproblemayplantearel áreade la siguientemanera:

𝐴 = 412 2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 − 1 𝑑𝜃

�|

<= 2 2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃

�|

<− 𝑑𝜃

�|

<

𝐴 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 <

�| − 𝜃 <

�| = 2

32 − 0 −

𝜋6 − 0

𝐴 = 3 −𝜋3 𝑢9


Elestudianteidentificalaregióncomúnentrecurvaspolaresenformaanalíticayenformagráfica;y,conintegralesdefinidassabecómosecalculaeláreadedicharegión.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNolograidentificarbiencómosegraficanlascurvasonosabe

planteareláreacomo

unaintegraldefinida.

Graficalascurvase

identificasuspuntosde

intersección,peronolaregiónentrelascurvasono

planteacorrectamentelaintegraldefinida.

Graficabienlaregiónconbaseenlospuntosde

intersección,noconoce

cómointegrartodaslas

expresionesonoevalúabien

todoslostérminos.

Graficabienlaregiónconbaseen

lospuntosdeintersección,

integracorrectamente

todaslasexpresionesquesepresentanyevalúabiencada

término.

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8) (6PUNTOS)Sea𝑹laregiónlimitadaporlacurva𝒙 = 𝒚𝟑ylasrectas𝒚 = 𝟏y𝒙 = 𝟖.Bosquejelagráficade𝑹enelplanocartesianoycalculeelvolumendelsólidoderevoluciónquesegeneraalrotar𝑹alrededordelarecta𝒙 = −𝟏.Solución:Sebosquejalagráficadelaregiónenelplanocartesiano:

SeutilizaráelMÉTODODELASARANDELAS,endonde𝑅 = 9 𝑢 ,𝑟 = 𝑥 + 1 𝑢 .

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋 99 − 𝑦: + 1 9 𝑑𝑦9

L= 𝜋 81 − 𝑦| + 2𝑦: + 1 𝑑𝑦

9

L

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋 80 − 𝑦| − 2𝑦: 𝑑𝑦9

L= 𝜋 80𝑦 −

𝑦�

7 −𝑦}

2L

9

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋 160 −2�

7 −2}

2 − 80 −17 −

12

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋 160 −1287 − 8 − 80 +

17 +

12 = 𝜋 72 −

1277 +

12

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋1008 − 254 + 7

14

Porlotanto,elvolumendelsólidoderevolucióngeneradoes:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =761𝜋14 𝑢:

Tambiénsepuedeconsiderarunaintegraciónconelmétododelascapascilíndricas,peroelresultadoseráelmismo.



Elestudianteidentificaunaregiónacotadaporunafunciónyunarecta,elsólidoderevoluciónqueseformaymediantecálculointegralobtienesuvolumen.

Insuficiente Endesarrollo Desarrollado ExcelenteNologra

identificarlaregiónonoplantea

correctamentelaintegraldefinida

asociadaalvolumen.

Identificalaregióna

integrarperotiene

problemasparaplantearlaexpresióndecálculodelvolumendelsólidoderevolución.

Identificalaregiónaintegrar,planteala

expresióndelvolumendelsólidoderevolución,perose

equivocaalintegraralgún

término.

Identificalaregiónaintegrar,planteala

expresióndelvolumen,

integrabiencadatérminoyexpresaelresultadocorrecto.

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