s1 teoria errores

8/19/2019 S1 TEORIA ERRORES

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DR. SORIA QUIJAITE JUAN JESÚS MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB

TEORÍA DE ERRORES1. ERROR ABSOLUTO ( ) x

Es el valor absoluto de la diferencia que existe entre el valor exacto x a medir y el valor

aproximado * x . Es decir*

x x x

Se verifica que:*

x x x ó*

x x x

2. ERROR RELATIVO ( ) x

Es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número exacto x . Es decir*

x

x x x

x x

Se verifica que:

*

1 x

x x

ó

* .(1 ) x x x

3. COTA DEL ERROR ABSOLUTO ( a )Una cota del error absoluto de un número aproximado * x es cualquier número no menor que el

error absoluto de dicho número que llamaremosa

y que viene dado por:*

a x x .

4. COTA DEL ERROR RELATIVO ( r )

Una cota del error relativo de um número aproximado * x es cualquier número no menor que el

error relativo de dicho número, que llamaremosr

y que viene dado por:*

r

x x

x

.

5. CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS

A) TEOREMA 1Dado un número aproximado * x decimos que sus n primeras cifras significativas sonexactas si se verifica lo siguiente:

1(0.5) 10m n x

Donde m = orden del número aproximado*

x .

B) TEOREMA 2

Dado un número aproximado * x decimos que sus k cifras significativas son exactas si severifica lo siguiente:

(0.5) 10 k x

6. FÓRMULA GENERAL DE PROPAGACIÓN DE ERRORESERROR ABSOLUTO GENERALIZADO

Sean * * * * *1 2 3 4; ; ; ; ; n x x x x x , n números aproximados redondeados presentes en una expresiónaritmética llamada M, dicha expresión se puede expresar mediante una función que depende de

estos n números aproximados * * * * *1 2 3 4( ; ; ; ; ; )n M f x x x x x . Luego la cota del error absoluto de

la expresión M es:*

1

.n

M i

i i

f x

x

(Error máximo)

Donde *i i

x x x , error absoluto

ERROR RELATIVO GENERALIZADO


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Sean * * * * *1 2 3 4; ; ; ; ; n x x x x x , n números aproximados redondeados presentes en una expresiónaritmética llamada M, dicha expresión se puede expresar mediante una función que depende de

estos n números aproximados * * * * *1 2 3 4( ; ; ; ; ; )n M f x x x x x . Luego la cota del error relativo de la

expresión M es:*

1

( ).

n

M i

i i

Ln f x

x

(Error máximo)

Donde

*

i i x x x

, error absoluto

7. ORDEN DE UN NÚMERO (m)Es el mayor valor que adopta el exponente de 10 en la descomposición polinómica del numeral,asumiendo que su coeficiente es diferente de cero.

8. NOTACIÓN CIENTÍFICA NORMALIZADAUn número real 0 x , puede expresarse como 10

n

x r , donde1

10 1 ;r n Z . En el

sistema binario, la notación científica es: 2m x q , donde

12

1 ; , 0;q m Z x q mantisa .

9. FUNCIÓN ERROREsta función es denotada por ( )erf x y es definida por medio de la integral

2

0

2( )

xt erf x e dt

.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Dada la función en dos variables2( , ) f x y xy , determinar el error máximo cometido en el

cálculo de ( , ) f x y para 2.0 0.1 x ; 3.0 0.2 y . Use propagación de error.

2. Se compra una barra de metal cuyas medidas son 5; 10 y 200 cm (paralelepípedo) si elvendedor asegura que cada medida tiene a lo más 0.1%. ¿Cuál es el error estimado en el peso

p de dicho metal? ( .e p p volumen ; 37.8 kg

e dm p )

3. Las dimensiones de una caja están dadas 1,50 m, 1,15 m y 0,56 m dichos valores fueron

medidos con una cota máxima de error del orden del 0,3%. Calcular:a) El valor aproximado del volumen de la caja así como su error absoluto.

b) Escriba los dígitos correctos que tiene el volumen aproximado (V ).

c) Escriba el intervalo donde se encuentra el valor exacto V.

4. Usando la fórmula general de propagación de errores, resuelva el siguiente problema.Considere la siguiente expresión:

d

cba E

, donde

005,0231,404,025,0

003,0569,3

01,036,2

d c

b

a

Hallar:


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a) El error absoluto de E aproximado.b) Los dígitos correctos que tiene.

5. Los lados de un rectángulo son 4,02 m y 9,46 m. Si cada uno de estos valores tiene un error nomayor que 0,01. ¿El área del rectángulo, que error tiene?

6. Los catetos de un triángulo rectángulo son 12,10 m y 25,51 m si fueron medidos con un error nomayor a 0,001. ¿La tangente del ángulo opuesto al primer cateto cuánto de error tiene?

7. Usando el TEOREMA 2, determinar con que precisión se debe tener el argumento para que elvalor de la función tenga 4 cifras significativas exactas, si:

a) 2;)(.)( 3 x xSen x x f

b) x x Ln x x f ;)(.)(

c) 3;)(.)( x xCose x f x

d) )2(;1)( Ln x x x f

8. Dada la sucesión n

x definida por la fórmula 1;2)1( 0)1(

1

e x xn x

n

nn (5 cifras

significativas exactas). Tabule 10,,3,2,1; i xi

; redondeando cada valori

x a cinco cifras

significativas y utilizando este resultado para hallar el siguientei

x . ¿Cuál es la precisión de10

x ?

9. Sea

1

0

1

0 . dxe x I xn

, responder los siguientes ítems y/o justificarlas:

a) Como1

.1

nn

I n I , determine 7,,2,1; j I j si 6321,00 I y trabajando con 4

decimales en sus operaciones.

b) Además si se tiene la expresiónn

I I

n

n

)1(1

, determine 0,,5,6; j I j si 1124,07 I .

c) En cuáles de los casos (a) y (b) se tiene mejor precisión en sus resultados.d) Realice el proceso (b) con 7200,00 I . ¿Se tendrá mejor resultado?

10. Considere el número aproximado x = 23,568±0,004. Calcular el error relativo y los dígitoscorrectos que tiene.

11. Considerar la expresión 22 03,5236,1 E , considere además que los radicandos son

números aproximados redondeados. Encuentre la cota del error absoluto y diga los dígitoscorrectos que tiene. Use la fórmula general de propagación de errores.

12. Un experimento para medir la densidad D de un objeto cilíndrico utiliza la ecuación: L R

M D

.. 2

,

donde: gr M 005,0029,0 ; cm R 01,020,8 ; cm L 012,0431,15 . Considerar

14,3 :

a) Hallar la cota de error absoluto y relativo de la densidad D.b) Calcular los dígitos correctos que tiene.

13. Considere la expresión )3(5 2 yCos x y M , donde 761,3 x e '1252 y son valores

redondeados. Calcular la cota de error absoluto del valor aproximado M, así como los dígitoscorrectos que tiene. Use la fórmula general de propagación de errores.

14. En cada uno de los casos siguientes, hallar el error absoluto x y el error relativo x ydetermine el número de cifras significativas de la aproximación:

a) 8182,2;71828182,2 * x x


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b) 00098;35098 * y y

c) 00006,0;000068,0 * z z

15. Considere los siguientes números redondeados.a) 13,7b) 0,0056c) 25d) 2.07Usando el TEOREMA 1, calcular los intervalos donde se encuentran los valores exactos.

16. Complete el siguiente cálculo

*

0

!3!2

2

0

4

1

644

1

2

)1( xdx xdxe x x x

Determine qué tipo de error se presenta en esta situación y compare su resultado con elvalor exacto 2553074606,0 x .

17. En las siguientes funciones, calcular )( 0 x f y represente dicho valor con el menornúmero de dígitos posible, teniendo además la mayor precisión (

0 x valor aproximado)

a) 414.1;)(.)( 03

x xSen x x f

b) 142.3;)(.)( 0 x x Ln x x f

c) 732.1;)(.)( 0 x xCose x f x

d) 414.1;)()( 02

x xSen x f

18. Un cajón en forma de ortoedro, tiene dimensiones: cma 43.1 cmb 96.0 cmc 57.0

(valores aproximados). Calcular:

a) El volumen aproximado del ortoedro.b) El error absoluto y relativo del volumen.c) Cuántos y cuáles son los dígitos correctos de la aproximación del volumen.

19. Las dimensiones de la profundidad y diámetro de un pozo son 200,54m y 12,78mrespectivamente. Dichas aproximaciones tienen una cota máxima de error relativo delorden del 0,5% (ambas). Calcular los dígitos correctos que tiene el volumen y el áreatotal del pozo.

20. Se compra una barra de aluminio cuyas dimensiones son 8cm 15cm y 230cm

(ortoedro), si el vendedor nos asegura que cada medida tiene a lo más 0,2%. ¿Cuál esel error estimado en el peso W de dicha barra de aluminio?. Use la fórmula general depropagación de errores.

volumenW W AL . ;3

/7,2 dmkmW AL

21. Se sabe que el valor aproximado del radio de la circunferencia es 4,054m, se sabeademás que todas sus cifras son correctas. Calcular:a) El error absoluto y relativo del área de la circunferencia.b) Diga los dígitos correctos que tiene el valor aproximado del área de la circunferencia.Considerar 14,3 .

22. Se compra una barra de cobre cuyas diagonales de sus caras miden m34 m58 y

m74 (ortoedro), si el vendedor nos asegura que el largo, ancho y altura tienen a lo


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más un 0,3%. ¿Cuál es el error estimado del peso W de dicha barra de cobre?. Use lafórmula general de propagación de errores.

volumenW W U C . ;

3/96,8 dmkmW

U C

23. Considere la expresión llamada fórmula de radiación de Mack Plank

1

1

4

);(22

3

T k

w

ec

wT w f

Calcular la cota de error absoluto del valor aproximado f, así como los dígitos correctosque tiene. Use la fórmula general de propagación de errores.Considere:

s xw

1510295,0 e K T 5000 son números redondeados.

s J .10054,1 34 (constante de Plank)

s

kmc 000300 (velocidad de la luz)

14,3

mk

965,4

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