s2 3-c1v continuidad
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8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad
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CÁLCULO DE UN V RI BLE
FORM CIÓN POR COMPETENCI S
CONTINUID D
DE
UN
FUNCIÓN
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Formación Básica Cálculo de una variable
CONTINUIDAD
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Formación Básica Cálculo de una variable
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Objetivos
1. Entiende el concepto de continuidad.
2. Identifica los tipos de discontinuidad de una
función.
3. Analiza la continuidad de una función
4. Resuelve problemas relacionados a funciones
continuas.
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Noción de continuidad
Para una función definida sobre un intervalo o sobre un sub conjunto de
ℝ, nuestra idea intuitiva de continuidad es que la curva que representa la
gráfica de
se debe realizar mediante un trazo «ininterrumpido», sobre
el intervalo o sub conjunto de ℝ
Y
X
Y
X
Y
X
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Noción de continuidad
X
Y
()
Y
X
Para una función definida sobre un sub conjunto discreto de ℝ.
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Definición de continuidad en un punto
Una función es continua en el punto si se satisfacenlas 3 condiciones siguientes:
(1) () está definida.(2) lim→ () existe y es un número real.(3)
lim→ () =
Si la gráfica de no tiene interrupción alguna en ,() entoncescuando tiende a , () debe aproximarse a . De una función que no es continua en un punto se dice que esdiscontinua en dicho punto
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lim→ () = ±∞
→
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Tipos de Discontinuidad
Y
X
Y
X
Existe un salto «finito»
e = ∈ (). Existe un salto «infinito»e = ∈ ().
Salto finitoinevitable
Salto
infinito
Los limites laterales son reales y diferenteslim→ () ≠ lim→ ()
Al menos un limite lateral
resulta ∞ o ∞
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Tipos de Discontinuidad
Y
X
Salto finito
evitable
Existe un salto «finito» de un solo
punto e
=
∈ ().
Los limites laterales en son:• Reales
• Iguales (es decir
lim→ ()
existe)
• Diferentes a ()
lim→ () = lim→ () =
≠ Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posiblehacer una redefinición de
de manera que resulte continua en .
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Ejemplos de funciones continuas
Todas las funciones especiales estudiadas en los capítulos
previos son continuas en su respectivo dominio:
Función polinómica.
Función raíz cuadrada.
Función valor absoluto.
Función racional.
Función exponencial.
Función logaritmo.
Funciones trigonométricas.
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Propiedades de la continuidad
Si es un número real, y y son funciones continuas en =
entonces las siguientes funciones también son
continuas continuas en = (1) Múltiplo escalar: (2) Suma y diferencia: ± (3) Producto:
(4) Cociente: si () ≠ 0 Si es continua en y es continua en (), entoncesla función compuesta dada por
∘ = () es
continua en .
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Ejercicio
Analice la continuidad de las siguientes funciones
= 1 , ≤ 23 , > 2 = 1 , 3 < ≤ 0 1 , 0 < < 25 , 2 ≤ ≤ 2 3
= −
− , ≠ 0 , = , donde
es una constante
positiva.
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Ejercicio
En cada caso determine los valores de y/o para que lafunción dada sea continua en todo su dominio.
= , ≤ 1 , 1 < < 42 , ≥ 4 = 3 , < 1 , = 1+−− , > 1
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Referencias Bibliográficas
[1] Larson, R. y Edward, B. (2011) Cálculo. 9ª ed. México,
D.F.: McGraw-Hill.
[2] Stewart, J. (2010) Cálculo de una variable conceptos y
contextos. 4ª ed. México. Cengage
[3] Larson, R. y Edward, B. (2010) Cálculo 2: de variasvariables. 9ª ed. México: McGraw-Hill
[4] Thomas, G. B. (2006) Cálculo una variable. 11ª ed.
México: Pearson
[5] Kong, Maynard (2004). Cálculo diferencial. Lima:
Pontificia Universidad Católica del Perú.