Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

SATE11XXSÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA

(LISÄOSA)

2. FARADAYN LAKI JA SÄHKÖMAGNEETTINEN

INDUKTIO

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 2 / 14

Faradayn laki

t

BE

Muuttuva magneettivuontiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen.

Sähkökentän voimakkuutta E ei voi esittää skalaaripotentiaalin V gradienttina alueessa, jossa on muuttuva magneettivuontiheys B.Soveltamalla Stokesin integraalilausetta yhtälö saadaan muotoon:

C S Sd d d

t

BE l E S S

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 3 / 14

Ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä oleva liikkumaton

piiri

Määritellään ääriviivalla C olevaan piiriin indusoitunut sähkömotorinen voima Usmv:

C Sdd ddt

E l B SJos piiri pysyy paikallaan alueessa S, yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon:

smv CdU E l

Ja alueen S läpi kulkeva magneettivuo :S

d B S

smvddUt

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 4 / 14

Lenzin laki

Suljettuun piiriin indusoituu sähkömotorinen voima Usmv, joka aiheuttaa silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutokselle vastakkaisen magneettivuon smv.

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 5 / 14

Staattisessa magneettikentässä liikkuva johdin

aiheuttaa sen, että johtimessa vapaasti liikkuvat elektronit siirtyvät johtimen toiseen päähän, jättäen johtimen toisen pään positiiviseksi varautuneeksi.

m q F v B

Kun johdin liikkuu nopeudella v staattisessa (ajan mukaan muuttumattomassa) magneettikentässä B, niin voima

Varausten erkautuminen jatkuu, kunnes sähköiset ja magneettiset voimat tasapainottavat toisensa.

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 6 / 14

Liikkuva johdin staattisessa magneettikentässä

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 7 / 14

Liikkeestä johtuva sähkömotorinen voima

jota kutsutaan smv C

dU v B l

Jos liikkuva johdin on osa suljettua piiriä C, piiriin muodostuu sähkömotorinen voima

vuon leikkaavaksi tai liikkeestä johtuvaksiSähkömotoriseksi voimaksi

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 8 / 14

Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä (1 / 2)

Jos ajatellaan havainnoitsijan liikkuvan samalla nopeudella samaan suuntaan varauksen q kanssa, ei ole olemassa näennäistä liikettä ja varaukseen q vaikuttava voima voidaan tulkita aiheutuvan sähkökentästä E’.

q F E v B

Kun varaus q johdin liikkuu nopeudella v alueessa, jossa on olemassa sekä sähkökenttä E että magneettikenttä B, varaukseen q vaikuttaa Lorenzin yhtälön mukaisesti voima

' tai'

E E v BE E v B

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 9 / 14

Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä (2 / 2)

smvkok C S C' d d dU

t

BE l S v B l

Jos johtava piiri C ja pinta-ala S liikkuvat nopeudella nopeudella v kentässä (E ’, B) piiriin muodostuva kokonaissähkömotorinen voima:

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 10 / 14

Suorakaiteen muotoinen johdinsilmukka ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä

Suorakaiteen muotoinen (korkeus h, leveys W) johdinsilmukka on sijoitettu muuttuvaan magneettikenttään

0 sin .yB tB e

Silmukan muodostamalle tasolle kohtisuora normaali en muodostaa kulman y-akselin suunteisen yksikkövektorin ey kanssa.Määritä silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima, kuna) silmukka on levossab) silmukka pyörii x-akselin ympäri kulmanopeudella

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 11 / 14

Silmukka levossa

Kun silmukka on levossa, silmukan läpi kulkeva magneettivuo voidaan ratkaista yhtälöllä

0 n 0S0 0

d sin d d sin cosw h

yB t x y B hw t B S e e

Tällöin silmukkaan indusoituva sähkömotorinen voima on

Missä S = hw on silmukan pinta-ala

asmv 0d cos cosdU B S t

t

Esimerkkitilanteessa silmukan päässä 1 on matalampi potentiaali kuin silmukan päässä 4, eli jos silmukka on kytketty ulkoiseen kuormaan, virta tule kiertämään silmukassa ”vastapäivään”.

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 12 / 14

Silmukka pyörii x-akselin ympäri

Kun silmukka pyörii x-akselin ympäri, silmukkaan muodostuva pyörimisliikkeen aiheuttama sähkömotorisen voiman muutos ratkaistaan yhtälöllä

bsmv C1

n 02

3

n 04

0

d

sin d2

sin d2

2 sin sin2

y x

y x

U

w B t x

w B t x

w B t h

v B l

e e e

e e e

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 13 / 14

Silmukka pyörii x-akselin ympäri

Silmukan sivuihin 2 -> 3 ja 4 - > 1 ei indusoidu sähkömotorista voimaa, koska sivuilla ei ole ex suuntaista komponenttia.Jos kulma = 0 ajanhetkellä t = 0, niin = t ja

Silmukkaan muodostuva kokonaissähkömotorinen voima koostuu muuttuvan magneettikentän ja silmukan liikkeen yhteisvaikutuksesta

bsmv 0 sin sinU B S t t

smv asmv bsmv

2 20

0

cos sincos2

U U U

B S t t

B S t

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka

06.09.2012 SATE.11XX.02 / mv 14 / 14

Ratkaisutapa 2

Silmukkaan muodostuva kokonaissähkömotorinen voima voidaan määrittää myös suoraan määrittämällä ensin silmukan läpi kunakin ajanhetkenä kulkeva kokonaisvuo

Ja sen jälkeen määrittämällä sähkömotorinen voima

n 0 sin cost t S t B S t B e

smv

0

0

ddd 1 sin2d 2

cos2

Ut

B S tt

B S t