SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

NNoommee:: ______________________________________________ ddaattaa:: ______________________

Scomporre un polinomio significa trasformarlo nel prodotto di più polinomi di grado inferiore . Il grado di un monomio si calcola sommando tutti gli esponenti della parte letterale Il grado di un polinomio è uguale al massimo grado dei suoi termini Non sempre è possibile scomporre un polinomio (allora il polinomio è detto irriducibile). Non esiste un metodo unico per scomporre i polinomi: occorre fantasia, esperienza e molto esercizio.

Metodo 1 ) Raccoglimento a fattor comune:

a) 2 2 2 26 4 2 2x y xy x y xy+ − + = 2 (3 2 1)xy x y xy+ − +

b) 2( ) 8 ( ) ( )x y y x y x y+ − + + + = ( )[( ) 8 1]x y x y y+ + − + (si può raccogliere a fattor comune anche un polinomio)

c) ( ) ( )2 6 2x y x y x− + − = ( ) ( )2 6 2x y x y x− − − + = ( ) ( )2 1 6x y x− ⋅ − (occorre cambiar segno al secondo polinomio)

Metodo 2 ) Raccoglimenti successivi a fattor comune: d) 2 2 3 2 2 4 3 23 3x xy x x y x x y− − + − + = 2 2 2 3 2 2(3 3 )x x y x xy x x y− − + − + =

2 2 2 2[3( ) ( ) ( )]x x y x x y x x y− − − − − = 2 2( )[3 ]x x y x x− − −

Metodo 3-4-5-6-7-8 ) Scomposizione mediante prodotti notevoli:

2 2 ( ) ( )A B A B A B− = + ⋅ − 2 2 22 ( )A AB B A B+ + = + 2 2 2 22 2 2 ( )A B C AB AC BC A B C+ + + + + = + + 3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B+ + + = +

3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + − + 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B− = − + +

Talvolta si devono applicare più tecniche nello stesso esercizio:

e) 2 29 6 1x x y− + − = ( )2 23 1x y− − = ( ) ( )3 1 3 1x y x y− + − − (prima quadrato di binomio poi differenza di quadrati)

f) 3 11 72x x x− − + = ( )3 8 41 2x x x− + − = ( )23 41x x− − = ( )( ) 23 2 21 1x x x − + − = ( ) ( ) ( )2 2 23 21 1 1x x x x− + + −

(prima raccoglimento totale poi quadrato di binomio poi differenza di quadrati due volte)

Metodo 9 ) Scomposizione di un trinomio notevole: 2 ( ) ( )( )x a b x ab x a x b+ + + = + +

g) 2 5 6x x− + = ( 2)( 3)x x− −

Metodo 10 ) Scomposizione con la regola di Ruffini:

in un polinomio a coefficienti interi, gli eventuali zeri razionali vanno cercati fra i numeri di tipo /p q± , dove p è un divisore intero del termine noto e q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo.

h) 3 2( ) 2 5 6P x x x x= − − + . I divisori interi del termine noto sono: 1; 2; 3± ± ± , si verifichi quali tra questi costituiscono degli zeri per il polinomio:

(1) 1 2 5 6 0P = − − + = � 1 è uno zero del polinomio

( 1) 1 2 5 6 0P − = − − + + ≠

(2) 8 8 10 6 0P = − − + ≠

( 2) 8 8 10 6 0P − = − − + + = � -2 è uno zero del polinomio

(3) 27 18 15 6 0P = − − + = � 3 è uno zero del polinomio

Quindi il polinomio ( )P x è divisibile per ( 1)x − , ( 2)x + e ( 2)x − Si può applicare la regola di Ruffini per due volte oppure…… In ogni caso il polinomio fattorizzato è: 3 2( ) 2 5 6P x x x x= − − + = ( 1)( 2)( 3)x x x− + −

A

A

B

B

A

A

B

B C C

AB

AB

AB

AB

AC

AC

BC

BC2B

2C

2A

2A

2B

a =

a =